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爽戈
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3 中考倒计时 100 天 : 数学主编高艳竹

图书在版编目 (IP) 数据中考倒计时 100 天 : 数学 / 高艳竹主编. 上海 : 华东理工大学出版社,2015.1 ISN978 7 5628 4088 6 Ⅰ.1 中 Ⅱ.1 高 Ⅲ.1 中学数学课初中升学参考资料 Ⅳ.

4 图书在版编目 (IP) 数据中考倒计时 100 天 : 数学 / 高艳竹主编. 上海 : 华东理工大学出版社, ISN Ⅰ.1 中 Ⅱ.1 高 Ⅲ.1 中学数学课初中升学参考资料 Ⅳ.1G634 中国版本图书馆 IP 数据核字 (2014) 第号中考倒计时 100 天 : 数学主编 / 高艳竹策划编辑 / 陈月姣责任编辑 / 陈月姣责任校对 / 成俊封面设计 / 裘幼华出版发行 / 华东理工大学出版社有限公司地址 : 上海市梅陇路 130 号, 电话 :(021) ( 营销部 ) (021) ( 编辑室 ) 传真 :(021) 网址 :press.ecust.edu.cn 印刷 / 常熟新骅印刷有限公司开本 /890mm 1240mm 1/16 印张 /10.5 字数 /292 千字版次 /2015 年 1 月第 1 版印次 /2015 年 1 月第 1 次书号 /ISN 定价 /24.80 元联系我们 : 电子邮箱 press@ecust.edu.cn 官方微博 e.weibo.com/ecustpress 淘宝官网 htp: shop taobao.com

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6 基础知识篇 1 第一章数与式 3 第二章图形与变换 9 第三章基本图形和三角形 16 第四章四边形 26 第五章方程 ( 组 ) 和不等式 ( 组 ) 33 第六章函数 39 第七章统计和概率 47 第八章圆 56 知识方法巩固篇 65 专题方法一数形结合思想 67 专题方法二方程和整体思想 75 专题方法三分类讨论思想 82 专题方法四新定义问题和存在性问题 89 综合冲刺篇 99 综合冲刺卷一 101 综合冲刺卷二 106 综合冲刺卷三 112 综合冲刺卷四 117 综合冲刺卷五 123 综合冲刺卷六 128 参考答案与解析 133 基础知识篇 135 知识方法巩固篇 141 综合冲刺篇 150

7 基础知识篇 1

9 第一章数与式第一章数与式考纲要求 1. 了解平方根算术平方根立方根的概念, 开方与乘方互为逆运算, 无理数和实数的概念, 实数与数轴上的点一一对应, 近似数与有效数字的概念, 二次根式的概念, 求代数式的值, 整式的概念, 分式的概念. 2. 理解有理数的意义, 乘方的意义, 用字母表示数. 3. 掌握数轴, 比较有理数大小, 相反数和绝对值的意义, 求有理数的相反数和绝对值, 有理数的加减乘除乘方及简单的混合运算, 有理数的运算律, 对含有较大数字的信息作出合理的解释和推断, 用根号表示数的平方根立方根, 用平方运算求某些非负数的平方根或用计算器求平方根, 用立方运算求某些数的立方根或用计算器求立方根, 用有理数估计一个无理数范围, 用计算器进行近似计算, 二次根式的加减乘除运算法则, 实数的简单四则运算, 列代数式, 解释代数式的实际背景或几何意义, 求代数式的值, 用科学记数法表示数, 简单的整式加减乘运算, 用提公因式公式法进行因式分解, 利用分式基本性质进行约分和通分, 简单的分式加减乘除运算. 4. 灵活运用有理数的运算解决简单问题. 5. 掌握因式分解的方法 : 提公因式法和公因式法, 在中考中常在有关整式的计算中涉及因式分解的知识. 考典在线知识点 1: 实数的有关概念知识点定义性质实数的分类数轴绝对值 ì 正整数 ï ìï 整数 ï { 负整数 ï有理数 í 实数 í ï 正分数 ï ï分数 î { 负分数 ï î无理数无限不循环小数当然还可以分为 : 正实数零负实数有理数还可以分为 : 正有理数零负有理数规定了原点, 正方向和单位长度的直线叫数轴 ìa(a>0) ï 绝对值的代数意义 : a = í0(a=0) ï î-a(a<0) 绝对值的几何意义 : 一个数的绝对值是这个数在数轴上的对应点到原点的距离 3

10 中考倒计时知识点定义性质续表 100 天 : 数学相反数倒数三种非负数若 a b 两个数为互为相反数, 则 a+b=0; 若 m n 两个数互为倒数, 则 m n=1 a,a 2,a(a 0) 都表示非负数实数的运算实数的六种运算及整数指数幂的运算知识点 2: 和代数式有关的概念及代数式的运算知识点定义性质代数式的分类各类代数式的概念代数式有意义的条件代数式的运算因式分解 ì 单项式 ï ì ï整式 ï有理式 í { 多项式代数式 í ï ï î分式 ï î无理式单项式多项式整式分式有理式无理式根式二次根式最简二次根式同类二次根式分式有意义的条件是分母不为零整式分式二次根式的加减乘除运算及添括号去括号法则提取公因式, 公式法, 分组分解因式等方法的应用知识点 3: 代数式的恒等变形添括号去括号拆项是代数式恒等变形的常用方法, 乘法公式因式分解是代数式恒等变形的工具. 待定系数法配方法也都可进行代数式的恒等变形. 知识点 4: 代数式的化简求值含有绝对值的代数式的化简, 通常可利用数轴的直观性 ; 整式的化简求值常常要灵活运用配方法换元法整体代换思想和构造思想 ; 分式的化简求值一般可对分子分母的多项式因式分解约分, 再运用分式的性质化简计算 ; 二次根式的化简求值一般应先考虑能否利用二次根式的性质, 配方法乘法公式等化简计算. 知识点 5: 因式分解在有关整式的计算中, 经常会遇到有关因式分解的知识, 分解因式有两种方法 : 提公因式法, 公式法, 能提公因式的要先提取公因式, 然后再利用公式因式分解. 真题溯源例 1 ( 四川 ) 已知实数 x y 满足 2x-3y=4, 并且 x -1,y<2, 现有 k=x-y, 则 k 的取值范围是. 分析 : 本题考查不等式的性质, 利用不等式的基本性质, 对不等式进行变形. 解析 : 先用含 y 的代数式表示 x, 代入 k=x-y 中, 得到 k= y-y= y ; 由 y<2 得, 1 2 y<1, y<2+1 æ, 即 k<3; 再用含 x 的代数式表示 y, 代入 k=x-y 中, 得到 k=x- 2 3 x-4 ö ç è 3 ø = 4

11 1 3 x+4 3, 1 由 x -1, 得 3 x -1 3,1 3 x+4 3 1, 所以 :1 k<3. 故答案为 :1 k<3. 说明 : 本题根据不等式基本性质作出正确判断, 解决这类题, 要先弄清不等号两边进行了什么运算, 第一章数与式然后看这种运算是否符合不等式的基本性质再进行变形. 例 2 ( 贵州 ) 因式分解 2x 4-2=. 解为止. 分析 : 本题考查提公因式法与公式法的综合运用, 还考查了分解因式最后一定是要分解到不可以分解析 : 原式 =2(x 4-1)=2(x 2 +1)(x 2-1)=2(x 2 +1)(x+1)(x-1). 故答案是 :2(x 2 +1)(x+1)(x-1). 说明 : 一个多项式有公因式首先提取公因式, 然后用其他方法进行因式分解, 同时因式分解要彻底, 直到不能分解为止. 例 3 ( 湖南 ) 阅读材料 : 求的值. 解 : 设 S= , 将等式两边同时乘以 2 得 : 2S= ; 将下式减去上式得 2S-S= , 即 S= , 即 = 请你仿照此法计算 : (1) ; (2) n ( 其中 n 为正整数 ). 分析 : 本题是阅读理解题, 先阅读给定的材料, 然后学习材料中的方法, 并利用已知的方法解决给出的问题, 本题考查了同学们的学习能力. 解析 : (1) 设 S= , 两边乘以 2 后得到关系式, 与已知等式相减, 变形即可求出所求式子的值 ; 设 S= , 将等式两边同时乘以 2 得 2S= , 将下式减去上式得 :2S-S=2 11-1, 即 S=2 11-1, 则 =2 11-1; (2) 设 S= n, 两边乘以 3 得 :3S= n +3 n+1, 下式减去上式得 :3S-S=3 n+1-1, 即 S= 3n+1-1 2, 则 n = 3n 说明 : 此题考查了同底数幂的乘法, 弄清题中的技巧是解本题的关键. 例 4 ( 湖南 ) 先化简, 再求值 :(x-1)(x+1)-x(x-3), 其中 x=3. 分析 : 本题考查利用平方差公式及整式的乘法进行整式的运算, 化简之后再把 x=3 代入求值即可. 解析 : 原式 =x 2-1-(x 2-3x)=3x-1, 当 x=3 时, 原式 =3 3-1=8. 说明 : 本题考查了整式的混合运算, 解题的关键是去括号合并同类项. 先根据单项式乘多项式的法则以及平方差公式进行化简, 再去括号, 然后合并, 最后把 x 的值代入计算. 例 5 ( 江苏 ) 实数 a,b 在数轴上的对应点如图所示, 化简 b a 图

12 中考倒计时 100 天 : 数学 a 2-4ab+4b 2 + a+b 的结果为. 分析 : 本题考查根据数轴上点的坐标特点, 判断所给数的正负和绝对值大小, 再把二次根式化简的能力. 解析 : 根据数轴可知 b<a<0, 且 b > a, 所以 a-2b>0,a+b<0, 所以 a 2-4ab+4b 2 + a+b = (a-2b) 2 -(a+b)=a-2b-a-b=-3b. 说明 : 本题的解题关键是先判断所求的代数式的正负性. 要熟记 a 2 = a 这一公式并会熟练应用. 例 6 ( 内蒙古 ) 先化简, 再求值 : 2a+2 a-1 (a+1)+ a2-1 a 2-2a+1, 其中 a= 3+1. 分析 : 本题主要考查了分式运算法则, 二次根式化简的关键是运算法则的应用. 解析 : 原式 = 2 (a+1) a-1 1 a+1 +( a+1)(a-1) = 2 (a-1) 2 a-1 +a+1 a-1 =a+3 a-1 当 a= 3+1 时, 原式 = = 说明 : 看到除法要将除法转换成乘法, 约分化简, 然后将字母的值代入进行二次根式化简. 举一反三 1.( 湖北 )-(-3) 2 =( ) ( 江苏 ) -2 等于 ( ) ±2.± ( 重庆 ) 计算 (2x 3 y) 2 的结果是 ( )..4x 6 y 2.8x 6 y 2.4x 5 y 2.8x 5 y 2 4.( 山东 ) 下列运算正确的是 ( )..x 2 +x 3 =x 5.(x-2) 2 =x 2-4.2x 2 x 3 =2x 5.(x 3 ) 4 =x ( 广东 ) 计算 x-2 - x 的结果是 ( ). x x 5 6.( 四川 ) 要使分式有意义, 则 x 的取值范围是 ( ). x-1.x 1.x>1.x<1.x -1 7.( 广东 ) 函数 y= x+3 中, 自变量 x 的取值范围是 ( )..x>-3.x -3.x -3.x -3 8.( 湖北 ) 下列计算正确的是 ( )..a 3 a 2 =a 3 a -2. a 2 =a.2a 2 +a 2 =3a 4.(a-b) 2 =a 2 -b 2 9.( 广东 ) 实数 a 在数轴上的位置如图所示, 则 a-2.5 =( )..a a.a+2.5.-a a 图

13 10.( 广东 ) 若代数式 x 有意义, 则实数 x 的取值范围是 ( ). x-1.x 1.x 0.x>1.x 0 且 x 1 11.( 湖南 )2013 年五月份, 由于 H7N9 禽流感的影响, 我市鸡肉的价格下降了 10%, 设鸡肉原来的价格为 a 元 / 千克, 则五月份的价格为元 / 千克. 12.( 广东 ) 广州某慈善机构全年共募集善款元, 将用科学记数法表示为. 13.( 湖南 ) 已知 a+b=4,a-b=3, 则 a 2 -b 2 =. 14.( 湖南 ) 因式分解 :x 2-9y 2 =. æ 15.( 贵州 ) 先化简, 再求值 :1-1 ö ç a è a+1 ø a 2 +2a+1, 其中 a= 3-1. 第一章数与式 16.( 贵州 ) 先化简, 再求值 : m2-4m+4 m 2-1 m-2 m m-1, 其中 m=2. 17.( 山东 ) 计算 : (3) 2 +(π+ 3) æ 18.( 湖北 ) 计算 :(-20) - 1 ö ç è 4 ø 19.( 江苏 ) 计算 :(1) -2-9+(-2013) 0 ; æ (2)1+ 1 ö ç x è x-1 ø x

14 中考倒计时 100 天 : 数学 20.( 山东 )(1) 计算 : 2-1 æ ö ç +(π-3.14) 0-2sin ; è3 ø (2) 先化简, 再计算 : a2-1 a 2-2a+1 a-1 a+1 a a-1, 再选取一个你喜欢的数代入求值. 8

15 第二章图形与变换第二章图形与变换考纲要求本章内容主要研究对象是 : 平移轴对称旋转中心对称 (1) 平移 : 主要考查的内容是 :1 平移的概念 ;2 根据题述, 对图形进行平移. 主要以选择解答题的形式出现. (2) 轴对称 : 主要考查的内容是 :1 轴对称的概念 ;2 判断轴对称图形 ;3 作轴对称图形 ;4 轴对称图形与其他问题结合. 主要以选择填空和解答题的形式出现. (3) 旋转 : 主要考查的内容是 :1 旋转的定义 ;2 旋转前后图像的特点和性质. (4) 中心对称 : 主要考查的内容是 :1 中心对称的定义 ;2 中心对称与旋转的关系 ;3 做中心对称图形 ; 4 中心对称图形与其他问题结合. 主要以选择解答题的形式出现. 考典在线变换平移轴对称旋转中心对称性质平移前后两个图形的位置改变, 但是大小和形状不改变轴对称图形的对应点的连线垂直平分对称轴旋转前后的两个图形的形状和大小不变 1 对称中心平分中心对称图形内通过该点的任意线段且使中心对称图形的面积被平分 ;2 成中心对称的两个图形全等 ;3 中心对称图形上每一对对称点所连成的线段都被对称中心平分真题溯源例 1 ( 湖南 ) 如图所示, 在平面直角坐标系中, 将点 (-2,3) 向右平移 3 个单位长度后, 那么平移后对应的点 ' 的坐标是 ( )..(-2,-3).(-2,6).(1,3).(-2,1) 分析 : 本题考查平移的原则和性质, 点的坐标变化和平移之间的联系, 点的坐标变化规律左减右加. 解析 : 根据题意, 从点平移到点 ', 点 ' 的纵坐标不变, 横坐标是 -2+3=1, 故点 ' 的坐标是 9

16 中考倒计时 100 天 : 数学 (1,3). 故选. 说明 : 平移时点的坐标变化规律是上加下减, 左减右加. y O 1 x F E 图图例 2 ( 四川 ) 如图所示, 将面积为 5 的沿方向平移至 EF 的位置, 平移的距离是边长的两倍, 那么图中的四边形 E 的面积为. 分析 : 本题考查了平移的性质, 三角形的面积, 熟练运用对应点间的距离等于平移的距离的性质的能力. 解析 : 设点到的距离为 h, 则 S = 1 2 h=5, 因为平移的距离是的长的 2 倍, 所以 =2,E=, 所以 S 四边形 E = 1 2 ( +E) h= 1 2 ( 2+) h=3 1 2 h=3 5=15. 故答案为 :15. 说明 : 本题要熟练运用平移的性质, 利用平移求出四边形 E 的底和高才可以求出它的面积, 所以要结合已知求出这些量, 进而求得结果. 例 3 ( 四川 ) 在平面直角坐标系 xoy 中的位置如图所示. (1) 作关于点成中心对称的 (2) 将向右平移 4 个单位, 作出平移后的 (3) 在 x 轴上求作一点 P, 使 P 1 +P 2 的值最小, 并写出点 P 的坐标.( 不写解答过程, 直接写出结果 ) y y (2, 3) (2, 3) 1 2 (0, 2) (0, 2) (1, 1) O x (1, 1) O P x 图图分析 : 本题主要考查平移和中心对称的性质和作图的能力, 有助于培养数形结合思想. 10

17 解析 : (1) 如图所示 ;(2) 如图所示 ;(3) 如图所示 : 作出 1 的对称点 ', 连 æ 接 ' 2, 交 x 轴于点 P, 可得 P 点坐标为 : 7 3, ö ç 0 è ø. 说明 : 此题主要考查了图形的平移与旋转和相似三角形的性质等知识, 利用轴对称求最小值问题是第二章图形与变换考试重点, 同学们应重点掌握. 例 4 ( 湖南 ) 下列四种图形都是轴对称图形, 其中对称轴条数最多的图形是 ( ).. 等边三角形. 矩形. 菱形. 正方形分析 : 本题考查了轴对称的性质和对称轴的条数的求法, 要结合图形的特点进行解答, 所以要求同学们熟练掌握各个图形的特点. 解析 : 由于等边三角形有 3 条对称轴 ; 矩形有 2 条对称轴 ; 菱形有 2 条对称轴 ; 正方形有 4 条对称轴 ; 故选. 说明 : 本题考查了轴对称图形的知识, 注意掌握轴对称及对称轴的定义, 熟悉图形的特征是解答本题的关键. 例 5 ( 山东 ) 以下图形中, 不是中心对称图形的是 ( )..... 分析 : 本题主要考查了中心对称图形的概念, 和同学们的想象能力. 解析 : 选项是中心对称图形, 故错误 ; 选项不是中心对称图形, 故正确 ; 选项是中心对称图形, 故错误 ; 选项是中心对称图形, 故错误 ; 故选. 说明 : 本题考查了中心对称图形的知识, 解题的关键是掌握中心对称图形的概念. 中心对称图形是要寻找对称中心, 旋转 180 度后重合. 举一反三 1.( 山西 ) 在下列图案中, 不能用平移得到的图案是 ( ) ( 山东 ) 如图所示, 图案 6 是由五种基本图形中的两种拼接而成的, 这两种基本图形是 ( ). 11

18 中考倒计时 100 天 : 数学图 ( 湖北 ) 图要被移动到其他位置, 下面哪个图形是移动后的该图 ( ). 图 ( 江苏 ) 下列图形中, 是轴对称图形但不是旋转对称图形的是 ( ) ( 贵州 ) 按图中所示的排列规律, 在空格中应填 ( ). 图 ( 甘肃 ) 一个直角三角形两条直角边为 a=6,b=8, 分别以它的两条直角边所在直线为轴, 旋转一周, 得到两个几何体, 它们的表面面积相应地记为 S a 和 S b, 则有 ( )..S a =S b.s a <S b.s a >S b. 无法确定 7.( 四川 ) 如图所示, 下面的图形绕着一个点旋转 120 后, 能与原来的位置重合的有 ( ). 图

19 8.( 江苏 ) 如图所示, 小慧用图示的胶滚沿从左到右的方向将图案滚涂到墙上, 下列给出的四个图形中, 符合胶滚滚出的图案是 ( ). 图第二章图形与变换 ( 浙江 ) 将叶片图案 ( 图 ) 旋转 180 后, 得到的图形是 ( )..... ' 图 ( 湖南 ) 如图所示, 将沿直线向右平移后到达 E 的位置, 若 =50, =100, 则 E 的度数为. E 图图 ( 河北 ) 如图 , 两个等边的边长均为 1, 将沿方向向右平移到 ''' 的位置得到图 , 则阴影部分的周长为. 12.( 宁夏 ) 如图所示, 正三角形网格中, 已有两个小正三角形被涂黑, 再将图中其余小正三角形涂黑一个, 使整个被涂黑的图案构成一个轴对称图形的方法有种. P 1 M P O N P 2 图图 ( 安徽 ) 如图所示, O 内一点 P,P 1 P 2 分别是 P 关于 O O 的对称点,P 1 P 2 交 O 于 M, 交 O 于 N, 若 P 1 P 2 =5cm, 则 PMN 的周长是. 14.( 湖北 ) 如图所示, 等腰直角 O 绕顶点 O 至少旋转次, 可得到一个正方形. O 图图

20 中考倒计时 100 天 : 数学 15.( 江苏 ) 在如图所示的单位正方形网格中, 将向右平移 3 个单位后得到 '''( 其中的对应点分别为 ' ' '), 则 ' 的度数是度. 16.( 黑龙江 ) 已知 a<0, 则点 P(-a 2,-a+1) 关于原点的对称点 P' 在第象限. 17.( 浙江 ) 如图所示, 矩形中,=6, 第 1 次平移将矩形沿的方向向右平移 5 个单位, 得到矩形 , 第 2 次平移将矩形沿 1 1 的方向向右平移 5 个单位, 得到矩形 , 第 n 次平移将矩形 n-1 n-1 n-1 n-1 沿 n-1 n-1 的方向平移 5 个单位, 得到矩形 n n n n (n>2) n n1 n n n1 n 图 (1) 求 1 和 2 的长 ; (2) 若 n 的长为 56, 求 n. 18.( 湖南 ) 在图所示的方格纸中 (1) 作出关于 MN 对称的图形 ; (2) 说明是由经过怎样的平移得到的? M N 图

21 19.( 湖南 ) 在边长为 1 的小正方形网格 ( 图 ) 中, O 的顶点均在格点上, (1) 点关于 y 轴的对称点坐标为 ; (2) 将 O 向左平移 3 个单位长度得到 1 O 1 1, 请画出 1 O 1 1 ; (3) 在 (2) 的条件下, 1 的坐标为. 第二章图形与变换 y O x 图 ( 湖北 ) 如图 , 在直角坐标系中,(0,4),(3,0). (1)1 画出线段关于 y 轴对称线段 ; 2 将线段绕点顺时针旋转一个角, 得到对应线段, 使得 x 轴, 请画出线段 ; (2) 若直线 y=kx 平分 (1) 中四边形的面积, 请直接写出实数 k 的值. y O 图 x 15

中考倒计时 100 天 : 数学第三章基本图形和三角形考纲要求本章主要内容包括几何图形初步及相交线与平行线三角形及其性质全等三角形解直角三角形相似三角形, 其中全等三角形和解直角三角形以及相似三角形都属于中考考查的重点, 有一定的难度, 并且解相似三角形的运算量较大, 学生得全分比较困难. 1. 几何图形初步及相交线与平行线是学习几何的基础, 中考对这部分知识的考查主要涉及平行线的性质和判定线段最小值角平分线的性质及判定, 题型为选择题或填空题.

22 中考倒计时 100 天 : 数学第三章基本图形和三角形考纲要求本章主要内容包括几何图形初步及相交线与平行线三角形及其性质全等三角形解直角三角形相似三角形, 其中全等三角形和解直角三角形以及相似三角形都属于中考考查的重点, 有一定的难度, 并且解相似三角形的运算量较大, 学生得全分比较困难. 1. 几何图形初步及相交线与平行线是学习几何的基础, 中考对这部分知识的考查主要涉及平行线的性质和判定线段最小值角平分线的性质及判定, 题型为选择题或填空题. 2. 三角形及其性质是中考的重点内容, 考查主要涉及三角形的三边关系内角和及外角性质直角三角形的性质和判定等腰三角形的性质等知识, 命题方向侧重于三角形相关知识的综合应用. 3. 中考对于全等三角形的考查主要以解答题的形式出现, 涉及全等三角形的判定和性质, 通常与四边形及动点等问题综合考查. 4. 解直角三角形是中考的必考内容, 并且以解答题的形式出现, 主要考查利用解直角三角形的知识求线段长利用解直角三角形解决实际问题. 5. 中考对于相似三角形的考查涉及相似三角形的判定及性质等知识, 主要以解答题的形式出现, 综合函数思想动点知识来考查, 难度较大. 考典在线一几何图形初步有关概念 1. 基本元素 : 点线面体. 2. 基本的线条 : 直线线段射线. 3. 角的概念和角的表示方法及分类. 4. 两线段的位置关系 : 相交和平行. 5. 两直线平行的判定方法及性质. 二三角形基本概念分类性质重要线段特殊三角形 (1) 不等边三角形和等腰三角形 ; (2) 锐角三角形直角三角形和钝角三角形 (1) 角与角的关系 ; (2) 边与边的关系中线高中线中位线等腰三角形等边三角形直角三角形三全等三角形 1. 全等三角形的判定公理可简述为 : 边边边 (SSS) 边角边 (SS) 角边角 (S) 角角边 (S) 斜边 16

23 与直角边 (HL). 2. 全等三角形的性质 : 全等三角形的对应角相等 ; 对应边相等 ; 对应边上的高相等 ; 对应角的角平分线相等 ; 对应边上的中线相等 ; 面积和周长相等 ; 对应角的三角函数值相等. 四相似三角形 1. 相似三角形的判定可简述为 : 两角对应相等, 两三角形相似 ; 两边对应成比例且夹角相等, 两三角形相似 ; 三边对应成比例, 两三角形相似 ; 斜边与直角边对应成比例, 两直角三角形相似 ; 全等三角形相似.( 相似三角形的判定定理与全等三角形基本相等, 因此全等三角形是特殊的相似三角形 ) 2. 相似三角形的性质 : 相似三角形的对应角相等 ; 对应边成比例 ; 对应高线的比, 对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比 ; 周长的比等于相似比 ; 面积比等于相似比的平方. 第三章基本图形和三角形五解直角三角形 1. 锐角三角函数在 Rt 中, =90, 设 =a,=b,=c, 则正弦余弦正切余切 sin= a c cos= b c tan= a b cot= b a 2. 坡角与坡度坡面与水平面的夹角称为坡角 ; 坡面的铅直高度与水平宽度的比为坡度 ( 或坡比 ), 用字母 i 表示, 即坡角的正切值. 3. 锐角三角函数关系 (1) 平方关系 :sin 2 +cos 2 =1; (2) 倒数关系 :tan= 1 cot ; (3) 除法关系 :tan= sin cos. 4. 互为余角的两个三角函数关系若 + =90, 则 sin=cos,cos=sin,tan=cot,cot=tan. 5. 特殊角的三角函数 sinα cosα tanα cotα 勾股定理若为直角三角形,,, 的对边分别为 a,b,c, 且 =90, 则 a 2 +b 2 =c 2 ; 反之, 已知 a,b,c 为的边, 若 a 2 +b 2 =c 2, 则为直角三角形. 17

24 中考倒计时 100 天 : 数学真题溯源例 1 ( 四川 ) 如图所示, 一个含有 30 角的直角三角形的两个顶点放在一个矩形的对边上, 若 1=25, 则 2=. 分析 : 本题将三角形与矩形联系, 主要是考查了前后知识之间的联系. 1 E 1 F 2 2 G 图图解析 : 如图所示, 因为四边形是矩形, 所以, 所以 2= EG= 1+ FEG=115. 故答案为 :115. 说明 : 解答本题的关键是掌握平行线的性质 : 两直线平行内错角相等. 结合直角三角形的性质求解. 例 2 ( 湖北 ) 如图所示, 平分,, 若 =70, 则的度数为 ( ) 分析 : 本题主要考查了平行线和角平分线的性质, 要结合已知向所求角靠拢. 图解析 : 因为, 所以 + =180, 因为 =70, 所以 = =110, 因为平分, 所以 =55, 故选. 说明 : 此题主要考查了平行线的性质以及角平分线定义, 关键是掌握两直线平行, 同旁内角互补. 例 3 ( 安徽 ) 如图所示, 在中, =90,=3,= 5. 点 P 从点出发, 以每秒 1 个单位长度沿的方 P 向运动 ; 点 Q 从点出发, 以每秒 2 个单位沿方向的运动, 到达点后立即原速返回, 若 P Q 两点同时运动, 相遇后同时停止, 设运动时间为 t 秒. Q (1) 当 t= 时, 点 P 与点 Q 相遇 ; 图 (2) 在点 P 从点到点的运动过程中, 当 t 为何值时, PQ 为等腰三角形? (3) 在点 Q 从点返回点的运动过程中, 设 PQ 的面积为 s 平方单位. 1 求 s 与 t 之间的函数关系式 ; 2 当 s 最大时, 过点 P 作直线交于点, 将中沿直线 P 折叠, 使点落在直线 P 上, 求折叠后的 P 与 PQ 重叠部分的面积. 分析 : 本题将相似三角形的性质, 勾股定理以及方程的知识综合应用进行考查, 正确进行分类讨论 18

25 是关键. 解析 : (1) 在 Rt 中,= 2-2 =4, 则 Q 从到经过的路程是 9 个单位长度, 需要的时间是 4.5 秒. 此时 P 运动的路程是 4.5 个单位长度,P 和 Q 之间的距离是 : =7.5. 根据题意得 :(t-4.5)+2(t-4.5)=7.5, 解得 :t=7. (2) 点 P 从到的时间是 3 秒, 此时点 Q 在上. 第三章基本图形和三角形则当 0 t 2 时, 点 P 在上, 点 Q 在上, 若 PQ 为等腰三角形, 则一定有 :P=Q, 即 3-t =2t, 解得 :t=1. 当 2<t 3 时, 点 P 在上, 点 Q 在上, 若 PQ 为等腰三角形, 则一定有 PQ=P( 如图 1 3 5). 则 Q 在 P 的中垂线上, 作 QH, 则 QH = 1 2 P. QH, 在 Rt QH 中,Q=2t-4, 则 QH = 3 5 Q=3 5 ( 2t-4). 因为 P=-P=3-t, 1 所以 ( 2t-4)=3-t, 解得 :t= 综上所述,t=1 或 17. P 图 (3)1 在点 Q 从点返回点的运动过程中,P 一定在上, 则 P=t-3,Q=2t-9, 即 Q= 5-(2t-9)=14-2t. 同 (2) 可得 : PQ 中,P 边上的高是 : 3 5 (14-2t), H Q 故 s= 1 2 ( t-3) 3 5 (14-2t)=- 3 5 t2 +6t 由 1 可知,S=- 3 5 t2 +6t- 63 5, 故当 t=5 时,s 有最大值, 此时,P 在的中点.( 如图 1 3 6). Q 因为沿直线 P 折叠, 使点落在直线 P 上, 所以 P 一定是的中垂线. O 则 P= 1 2 =2,P= 1 2 =3 2, E F P 则 S P = 1 2 P P= =3 2. 图 Q=14-2t=14-2 5=4. 则 P 边上的高是 : 3 5 Q=3 5 4=12 5. 如图所示, 连接 ( 即的折叠线 ) 交 PQ 于点 O, 过 Q 作 QE 于点 E, 过 O 作 OF 于点 F, 则 PO 即为折叠后的 P 和 PQ 重叠部分的面积. 则 QE= 3 5 Q=3 5 4=12 5, E= 4 5 Q=4 5 4=16 5. 所以 EP=E-P= =6 5, E=-E= =4 5. 设 FP=x,FQ=y, 则 F=P-FP=2-x. 19

26 中考倒计时 100 天 : 数学由 FO P 得, F P =FO P, 2-x 即 2 =y, 所以 x= y. 2 由 PFO PEQ 得, FP EP =FO EQ, x 即 6 5 = y, 所以 y 6 5 = y, 解得 :y= 所以 PO 即为折叠后的 P 与 PQ 重叠部分的面积 S PO = 1 2 P FO= = 说明 : 解答此题时, 要注意前后知识的联系及前后问之间的联系, 第 (1) 问主要是利用方程即可求得 ; 第 (2) 问要分情况讨论做到不重复不遗漏 ; 第 (3) 问要利用相似三角形的性质表示出变量之间的关系, 然后利用二次函数的性质求解最值, 最后结合相似三角形与方程思想来求重叠部分的面积. 例 4 ( 四川 ) 如图所示, 点 M,N 分别是正五边形 E 的边上的点, 且 M =N,M 交 N 于点 P. (1) 求证 : M N ; (2) 求 PN 的度数. 分析 : 本题主要考查全等三角形的判定, 要熟知正多边形的性质和特点, 结合问题来求解. 解析 : (1) 证明 : 因为五边形 E 是正五边形, 所以 =, M = N. 在 M 和 N 中 ì = ï í M = N ï îm =N 所以 M N (SS). (2) 解 : 因为 M N, 所以 MP= P. 因为 MP+ MP+ PM =180, P+ M+ M=180, 所以 PM = M. 因为 PM = PN, 所以 PN = M= ( 5-2) 108 = =108. M P N 图说明 : 正五边形的各边相等, 各角相等, 全等三角形的对应角相等及三角形的内角和定理, 对顶角相 E 等都是解答本题的知识点, 熟练应用并结合已知条件是解答本题的关键. 例 5 ( 江苏 ) 如图所示, 某测量船位于海岛 P 的北偏西 60 方向, 距离海岛 100 海里的处, 它沿正南方向航行一段时间后, 到达位于海岛 P 的西南方向上的处. 求测量船从处航行到处的路程 ( 结果保留根号 ). 分析 : 本题考查了解直角三角形中方向角知识的应用, 本题是典型的航海问题, 培养了将数学应用于实际生活的能力. 解析 : 因为为南北方向, 所以 EP 和 EP 分别为直角三角形, 在 Rt EP 中, E 图 P 45 20

PE=90-60 =30, E= 1 2 P=1 2 100=50 海里, 所以 EP=100 cos30 =50 3 海里, 在 Rt EP 中, E=EP=50 3 海里, 所以 =(50+50 3) 海里. 第三章基本图形和三角形答 : 测量船从处航行到处的路程为 (50+50 3) 海里. 说明 : 解答类似问题, 要结合题目找到题目中的特殊角并熟悉解直角三角形是解题的关键.

27 PE=90-60 =30, E= 1 2 P= =50 海里, 所以 EP=100 cos30 =50 3 海里, 在 Rt EP 中, E=EP=50 3 海里, 所以 =( ) 海里. 第三章基本图形和三角形答 : 测量船从处航行到处的路程为 ( ) 海里. 说明 : 解答类似问题, 要结合题目找到题目中的特殊角并熟悉解直角三角形是解题的关键. 例 6 ( 四川 ) 小强在教学楼的点 P 处观察对面的办公大楼, 如图所示. 为了测量点 P 到对面办公大楼上部的距离, 小强测得办公大楼顶部点的仰角为 45, 测得办公大楼底部点的俯角为 60, 已知办公大楼高 46m, =10m. 求点 P 到的距离 ( 用含根号的式子表示 ). 分析 : 本题是数学应用于实际生活的题目, 有助于加强对方位角的认识和三角函 P M 数知识的应用. 解析 : 连接 P P, 过点 P 作 PM 于点 M ; 延长, 交 PM 于点 N, 如图所示. 则 PM =45, PM =60,NM =10m 设 PM =xm 在 Rt PM 中,M =PM tan PM =xtan45 =x(m) 在 Rt PN 中,N =PN tan PM =(x-10)tan60 =(x-10) 3(m) 由 M +N =46m, 得 x+(x-10) 3=46 图 N P M 解得,x= , 即 x= 所以点 P 到的距离为 (18 3-8)m. 图说明 : 此类问题如果没有直接给出直角三角形都要根据已知条件去添加辅助线进行求解, 然后进行分析, 看需要什么条件, 进而求解. 举一反三 1.( 广东 ) 如图所示, 已知 1=70, 如果 E, 那么的度数为 ( ) ( 福州 ) 下面四个图形中, 能判断 1> 2 的是 ( ) 图 E

28 中考倒计时 100 天 : 数学 3.( 安徽 ) 如图所示, 直线 l 1 l 2, 1=55, 2=65, 则 3=( ) l 1 E F 1 l 2 图图 ( 四川 ) 如图所示,E 是的中位线, 延长 E 至 F 使 EF=E, 连接 F, 则 S EF S 四边形 E 的值为 ( ) ( 福建 ) 如图所示, 在长方形网格中, 每个小长方形的长为 2, 宽为 1, 两点在网格格点上, 若点也在网格格点上, 以为顶点的三角形面积为 2, 则满足条件的点个数是 ( ) E 图图 ( 浙江 ) 如图所示,E 是的中位线, 若的长是 3cm, 则 E 的长是 ( )..2cm.1.5cm.1.2cm.1cm 7.( 山东 ) 如图所示, 在某监测点处望见一艘正在作业的渔船在南偏西 15 方向的处, 若渔船沿北偏西 75 方向以 40 海里 / 小时的速度航行, 航行半小时后到达处, 在处观测到在的北偏东 60 方向上, 则, 之间的距离为 ( )..20 海里.10 3 海里.20 2 海里.30 海里 E F 图图 ( 江苏 ) 如图所示, 给出下列四组条件 : 1 =E,=EF,=F; 2 =E, = E,=EF; 3 = E,=EF, = F; 4 =E,=F, = E. 其中, 能使 EF 的条件共有 ( ). 22

29 .1 组.2 组.3 组.4 组 9.( 四川 ) 如图所示, E = F =90, =,E =F, 结论 :1EM =FN ;2 =N ; 3 FN = EM ;4 N M. 其中正确的有 ( )..1 个.2 个.3 个.4 个 E M 第三章基本图形和三角形 F N 0.8 m 4 m 3.5 m h 图图 ( 四川 ) 如图所示, 小明在打网球时, 使球恰好能打过网, 而且落在离网 4m 的位置上, 则球拍击球的高度 h 为. 11.( 浙江 ) 如图所示, 在中,=, E 是内两点, 平分, E= E=60, 若 E=6cm,E=2cm, 则 = cm. E P 图图 ( 江西 ) 如图所示, 在中, 点 P 是的内心, 则 P+ P+ P=. 13.( 上海 ) 如图所示, 点在同一条直线上,E, =90, 如果 E =36, 那么 =. E E 图图 ( 湖南 ) 如图所示, 在中, =90,=3,=5, 将折叠, 使点与点重合, 折痕为 E, 则 E 的周长为. 15.( 重庆 ) 如图所示, 四边形是边长为 2 的正方形, 点 G 是 E 延长线上一点, 连接 G, 点 E F 分别在 G 上, 连接 E F, 1= 2, 3= 4. F (1) 证明 : E F; 2 (2) 若 G=30, 求 EF 的长. G 图

第一章三角函数 1.3 三角函数的诱导公式 A 组 ( ) 一选择题 : 共 6 小题 1 ( 易诱导公式 ) 若 A B C 分别为 ABC 的内角, 则下列关系中正确的是 A. sin( A B) sin C C. tan( A B) tan C 2 ( 中诱导公式 ) ( ) B. cos(

第一章三角函数 1.3 三角函数的诱导公式 A 组 ( ) 一选择题 : 共 6 小题 1 ( 易诱导公式 ) 若 A B C 分别为 ABC 的内角, 则下列关系中正确的是 A. sin( A B) sin C C. tan( A B) tan C 2 ( 中诱导公式 ) ( ) B. cos( 第一章三角函数 1. 三角函数的诱导公式 A 组一选择题 : 共 6 小题 1 ( 易诱导公式 ) 若 A B C 分别为 ABC 的内角则下列关系中正确的是 A. sin( A B) sin C C. tan( A B) tan C ( 中诱导公式 ) B. cos( B C) cos A D. sin( B C) sin A sin60 cos( ) sin( 0 )cos( 70 ) 的值等于