2011年北京市东城区中考数学一模试卷

Size: px

Start display at page:

Download "2011年北京市东城区中考数学一模试卷"

臭华宣
7 years ago
Views:

2011 年北京市东城区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一选择题 ( 共 8 小题, 每小题 4 分, 满分 32 分 ) 1.( 4 分 )(2015 荆州 ) - 2 的相反数是 ( ) A. - B. - 2 C. D.2 考点相反数. 菁优网版权所有分析根据相反数的定义 : 只有符号不同的两个数叫做互为相反数即可得到答案. 解答解 : - 2 的相反数是 2, 故选 :D.

1 2011 年北京市东城区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一选择题 ( 共 8 小题, 每小题 4 分, 满分 32 分 ) 1.( 4 分 )(2015 荆州 ) - 2 的相反数是 ( ) A. - B. - 2 C. D.2 考点相反数. 菁优网版权所有分析根据相反数的定义 : 只有符号不同的两个数叫做互为相反数即可得到答案. 解答解 : - 2 的相反数是 2, 故选 :D. 点评此题主要考查了相反数, 关键是掌握相反数的定义. 2.( 4 分 )(2011 东城区一模 ) 根据国家统计局的公布数据,2010 年我国 GDP 的总量约为亿元人民币. 将用科学记数法表示应为 ( ) A B C D 考点科学记数法表示较大的数. 菁优网版权所有分析确定 a 10 n (1 a <10,n 为整数 ) 中 n 的值是易错点, 由于有 6 位, 所以可以确定 n=6-1=5. 解答解 : = 故选 C. 点评此题考查科学记数法的表示方法. 科学记数法的表示形式为 a 10 n 的形式, 其中 1 a <10,n 为整数, 表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值. 3.( 4 分 )(2011 枣庄 ) 如图, 直线 AB CD, A=70, C=40, 则 E 等于 ( ) A.30 B.40 C.60 D.70 考点三角形的外角性质; 平行线的性质. 菁优网版权所有专题计算题. 分析先根据两直线平行, 同位角相等求出 1, 再利用三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和即可求出 E 的度数. 解答解 : 如图, AB CD, A=70, 1= A=70, 1= C+ E, C=40, E= 1 - E=70-40 =30. 故选 :A. 第 1 页 ( 共 17 页 )

2 点评本题考查的是平行线的性质及三角形外角的性质, 熟知两直线平行, 同位角相等是解答此题的关键. 4.( 4 分 )(2013 绍兴模拟 ) 如图, 在 ABC 中,D E 分别是 BC AC 边的中点. 若 DE=2, 则 AB 的长度是 ( ) A.6 B.5 C.4 D.3 考点三角形中位线定理. 菁优网版权所有专题计算题. 分析根据三角形的中位线定理得出 AB=2DE, 把 DE 的值代入即可. 解答解 : D E 分别是 BC AC 边的中点,DE=2, AB=2DE=4. 故选 C. 点评本题主要考查对三角形的中位线定理的理解和掌握, 能灵活运用三角形的中位线定理进行计算是解此题的关键. 5.( 4 分 )(2013 鞍山 ) 甲乙丙丁四位选手各 10 次射击成绩的平均数和方差如下表 : 选手甲乙丙丁平均数 ( 环 ) 方差 ( 环 ) 则这四人中成绩发挥最稳定的是 ( ) A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁考点方差. 菁优网版权所有专题图表型. 分析根据方差的定义, 方差越小数据越稳定. 解答解 : 因为 S 甲 2 >S 丁 2 >S 丙 2 >S 乙 2, 方差最小的为乙, 所以本题中成绩比较稳定的是乙. 故选 B. 点评本题考查方差的意义. 方差是用来衡量一组数据波动大小的量, 方差越大, 表明这组数据偏离平均数越大, 即波动越大, 数据越不稳定 ; 反之, 方差越小, 表明这组数据分布比较集中, 各数据偏离平均数越小, 即波动越小, 数据越稳定. 6.( 4 分 )(2010 镇江 ) 已知圆锥的母线长为 4, 底面半径为 2, 则圆锥的侧面积等于 ( ) A.8π B.9π C.10π D.11π 第 2 页 ( 共 17 页 )

考点圆锥的计算. 菁优网版权所有分析圆锥的侧面积就等于经母线长乘底面周长的一半. 依此公式计算即可. 解答解 : 侧面积 =4 4π 2=8π. 点评本题主要考查了圆锥的侧面积的计算公式. 7.( 4 分 )(2011 东城区一模 ) 若从 10~99 这连续 90 个正整数中选出一个数, 其中每个数被选出的机会相等, 则选出的数其十位数字与个位数字的和为 9 的概率是 ( ) A.

3 考点圆锥的计算. 菁优网版权所有分析圆锥的侧面积就等于经母线长乘底面周长的一半. 依此公式计算即可. 解答解 : 侧面积 =4 4π 2=8π. 点评本题主要考查了圆锥的侧面积的计算公式. 7.( 4 分 )(2011 东城区一模 ) 若从 10~99 这连续 90 个正整数中选出一个数, 其中每个数被选出的机会相等, 则选出的数其十位数字与个位数字的和为 9 的概率是 ( ) A. B. C. D. 考点列表法与树状图法. 菁优网版权所有专题计算题. 分析找出 10~99 中十位数字与个位数字的和为 9 的数 :18,27,36,45,54,63,72, 81,90, 然后根据概率的概念计算即可. 解答解 : 在 90 个正整数中, 十位数字与个位数字的和为 9 数有 :18,27,36,45,54, 63,72,81,90, 共有 9 种结果, 所以选出的数其十位数字与个位数字的和为 9 的概率 = =. 故选 B. 点评本题考查了用列表法与树状图法求概率的方法 : 先利用列表法与树状图法表示所有等可能的结果 n, 然后找出某事件出现的结果数 m, 最后计算 P=. 8.( 4 分 )(2011 东城区一模 ) 如图, 在矩形 ABCD 中,AB=5,BC=4,E F 分别是 AB AD 的中点. 动点 R 从点 B 出发, 沿 B C D F 方向运动至点 F 处停止. 设点 R 运动的路程为 x, EFR 的面积为 y, 当 y 取到最大值时, 点 R 应运动到 ( ) A.BC 的中点处 B.C 点处考点一次函数的应用. 菁优网版权所有专题几何动点问题 ; 压轴题. C.CD 的中点处 D.D 点处分析根据题意, EFR 的面积 = 边 EF 其对应的高, 当 EFR 的面积最大时, 边 EF 对应的高最大, 从而转化为求点 R 运动到何处时, 到线段 EF 的距离最大. 解答解 : 根据题意, EFR 的面积 = 边 EF 其对应的高, 当 EFR 的面积最大时, 边 EF 对应的高最大, 从而将问题转化为求点 R 运动到何处时, 到线段 EF 的距离最大. 由所给图形可以看出当点 R 运动到 C 点时, 点 R 到线段 EF 的距离最大. 故选 B. 点评本题考查了一次函数的应用, 难度不大, 将问题适当的转化是解答该题的关键. 二填空题 ( 共 4 小题, 每小题 4 分, 满分 16 分 ) 第 3 页 ( 共 17 页 )

4 9.( 4 分 )(2014 衢州 ) 若分式有意义, 则实数 x 的取值范围是 x 5. 考点分式有意义的条件. 菁优网版权所有专题计算题. 分析由于分式的分母不能为 0,x - 5 为分母, 因此 x - 5 0, 解得 x. 解答解 : 分式有意义, x - 5 0, 即 x 5. 故答案为 :x 5. 点评本题主要考查分式有意义的条件 : 分式有意义, 分母不能为 ( 4 分 )(2010 恩施州 ) 分解因式 :a 2 b - 2ab+b= b(a - 1) 2. 考点提公因式法与公式法的综合运用. 菁优网版权所有分析先提取公因式 b, 再利用完全平方公式进行二次分解. 解答解 :a 2 b - 2ab+b, =b(a 2-2a+1), ( 提取公因式 ) =b(a - 1) 2. ( 完全平方公式 ) 点评本题考查了提公因式法, 公式法分解因式, 提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解, 注意要分解彻底. 11.( 4 分 )(2009 咸宁 ) 已知 A B 是抛物线 y=x 2-4x+3 上位置不同的两点, 且关于抛物线的对称轴对称, 则点 A B 的坐标可能是 (1,0) 或 (3,0) ( 写出一对即可 ). 考点二次函数图象上点的坐标特征; 坐标与图形变化 - 对称. 菁优网版权所有专题开放型. 分析此题是开放性题目, 主要根据抛物线是轴对称图形的性质写出一组关于对称轴对称的点即可, 如最简单的一对点是与 x 轴的两个交点 (1,0) 与 (3,0). 解答解 : 先找出这条抛物线的对称轴 x=2, 当 y=0 时,x=1 和 3. 点 A B 的坐标可能是 (1,0) 与 (3,0). 点评主要考查了抛物线的对称性和点的坐标的特点. 解题的关键是根据解析式得出对称轴, 结合函数解析式或图象找出对称的点, 最简单的是与 x 轴的两个交点. 12.( 4 分 )(2010 福州 ) 如图, 直线, 点 A 1 坐标为 (1,0), 过点 A 1 作 x 的垂线交直线于点 B 1, 以原点 O 为圆心,OB 1 长为半径画弧交 x 轴于点 A 2 ; 再过点 A 2 x 的垂线交直线于点 B 2, 以原点 O 为圆心,OB 2 长为半径画弧交 x 轴于点 A 3,, 按此做法进行下去, 点 A 5 的坐标为 ( 16, 0 ). 考点一次函数综合题. 菁优网版权所有第 4 页 ( 共 17 页 )

5 专题压轴题. 分析点 A 1 坐标为 (1,0), 且 B 1 A 1 x 轴, B 1 的横坐标为 1, 将其横坐标代入直线解析式就可以求出 B 1 的坐标, 就可以求出 A 1 B 1 的值,OA 1 的值, 根据锐角三角函数值就可以求出 xob 3 的度数, 从而求出 OB 1 的值, 就可以求出 OA 2 值, 同理可以求出 OB 2 OB 3, 从而寻找出点 A 2 A 3 的坐标规律, 最后求出 A5 的坐标. 解答解: 点 A 1 坐标为 (1,0), OA 1 =1 B 1 A 1 x 轴点 B 1 的横坐标为 1, 且点 B 1 在直线上 y= B 1 (1, ) A 1 B 1 = 在 Rt A 1 B 1 O 中由勾股定理, 得 OB 1 =2 sin OB 1 A 1 = OB 1 A 1 =30 OB 1 A 1 = OB 2 A 2 = OB 3 A 3 = = OB n A n =30 OA 2 =OB 1 =2,A 2 (2,0) 在 Rt OB 2 A 2 中,OB 2 =2OA 2 =4 OA 3 =4,A3(4,0) 同理, 得 OA 4 =8,,0A n =2 n-1,a n (2 n-1,0) OA 5 =2 5-1 =16 A 5 (16,0). 故答案为 :(16,0). 点评本题是一道一次函数的综合试题, 也是一道规律试题, 考查了直角三角形的性质, 特别是 30 所对的直角边等于斜边的一半的运用, 点的坐标与函数图象的关系. 三解答题 ( 共 13 小题, 满分 0 分 ) 13.( 2010 济宁 ) 计算 : - 4sin45 +(3 - π) 考点实数的运算. 菁优网版权所有分析本题涉及零指数幂特殊角的锐角三角函数值二次根式化简绝对值的化简 4 个考点. 在计算时, 需要针对每个考点分别进行计算, 然后根据实数的运算法则, 求得计算结果. 解答解 : - 4sin45 +(3 - π) = =5. 点评本题主要考查了实数的综合运算能力, 是各地中考题中常见的计算题型. 解决此类题目的关键是熟练掌握零指数幂特殊角的锐角三角函数值二次根式绝对值的化简等考点的运算. 第 5 页 ( 共 17 页 )

6 14.( 2010 清远 ) 求不等式组的整数解. 考点一元一次不等式组的整数解. 菁优网版权所有分析先分别求出每个不等式的解集, 再求出其公共部分----不等式组的解集, 进而求出其整数解. 解答解 : 由 x - 6 0, 得 x 6, 由得 :x> - 2, 所以原不等式组的解集为 : - 2<x 6, 所以原不等式组的整数解为 : - 1,0,1,2,3,4,5,6. 点评解答此题的关键是求不等式组的公共解, 解答时要遵循以下原则 : 同大取较大, 同小取较小, 小大大小中间找, 大大小小解不了. 15.( 2011 东城区一模 ) 先化简, 再求值 :, 其中. 考点二次根式的化简求值; 分式的化简求值. 菁优网版权所有分析先化简再求值, 再将 x 的值代入最简式即可. 解答解 : = ; 故当 x= -时, 原式 =x+2=2 -. 点评本题考查了分式的化简求值问题, 注意在做题过程中不要粗心大意. 16.( 2011 通辽模拟 ) 如图, 在四边形 ABCD 中,AC 是 DAE 的平分线,DA CE, AEB= CEB. 求证 :AB=CB. 考点全等三角形的判定与性质; 平行线的性质. 菁优网版权所有专题证明题. 分析由已知 AC 是 DAE 的平分线可推出 EAC= DAC, 由 DA CE 可推出 ECA= DAC, 所以得到 EAC= ECA, 则 AE=CE, 又已知, AEB= CEB,BE=BE, 因此 AEB CEB, 故 AB=CB. 解答证明 : AC 是 DAE 的平分线, EAC= DAC, 又已知 DA CE, 第 6 页 ( 共 17 页 )

7 ECA= DAC, EAC= ECA, AE=CE, 在 AEB 和 CEB 中, AEB CEB, AB=CB. 点评此题考查的知识点是平行线的性质全等三角形的判定和性质, 解答此题的关键是由已知先证明 EAC= ECA,AE=CE, 再证明 AEB CEB. 17.( 2011 东城区一模 ) 列方程或方程组解应用题随着人们节能意识的增强, 节能产品进入千家万户, 今年 1 月小明家将天燃气热水器换成了太阳能热水器. 去年 12 月份小明家的燃气费是 96 元, 从今年 1 月份起天燃气价格每立方米上涨 25%, 小明家 2 月份的用气量比去年 12 月份少 10 立方米,2 月份的燃气费是 90 元. 问小明家 2 月份用气多少立方米. 考点分式方程的应用. 菁优网版权所有分析设小明家 2 月份用气 x 立方米, 根据明家 2 月份的用气量比去年 12 月份少 10 立方米, 去年 12 月份小明家的燃气费是 96 元, 可先求出原来燃气费的价格, 再根据从今年 1 月份起天燃气价格每立方米上涨 25%,2 月份的燃气费是 90 元, 可列方程求解. 解答解 : 设小明家 2 月份用气 x 立方米, x=30, (1+25%)x=90, 经检验 x=30 是方程的解, 答 : 小明家 2 月份用气 30 立方米. 点评本题考查理解题意的能力, 关键是求出原来每立方的燃气费, 然后根据 2 月份的总燃气费可列方程求解. 18.( 2012 甘谷县模拟 ) 如图, 在平行四边形 ABCD 中, 过点 A 分别作 AE BC 于点 E, AF CD 于点 F. (1) 求证 : BAE= DAF; (2) 若 AE=4,AF=,, 求 CF 的长. 考点平行四边形的性质; 全等三角形的判定与性质 ; 解直角三角形. 菁优网版权所有专题计算题 ; 证明题 ; 压轴题. 第 7 页 ( 共 17 页 )

8 分析 (1) 根据平行四边形的对角相等, AEB= AFD, 从而可证明 BAE= DAF. (2) 因为 sin BAE=, 设 BE=3x, 那么 AB=5x, 根据勾股定理可求出 AB,BE 的长, 也可求出 tan B, 因为 B= D, 因此可求出 DF 的长, 从而求出 CF 的长. 解答 (1) 证明 : 在 ABE 和 ADF 中, B= D, AEB= AFD, BAE= DAF. (2) 解 : sin BAE=, 设 BE=3x,AB=5x, AB=5,BE=3, tan B=, tan D= DF=, 5 - =. CF= 点评本题考查全等三角形的判定和性质, 平行四边形的性质以及解直角三角形的知识点等. 19.( 2010 广州 ) 市某中学的一个数学兴趣小组在本校学生中开展主题为垃圾分类知多少的专题调查活动, 采取随机抽样的方式进行问卷调查, 问卷调查的结果分为非常了解比较了解基本了解不太了解四个等级, 划分等级后的数据整理如下表 : 等级非常了解比较了解基本了解不太了解频数频率 0.2 m (1) 本次问卷调查取样的样本容量为 200, 表中的 m 值为 0.6 ; (2) 根据表中的数据计算等级为非常了解的频数在扇形统计图所对应的扇形的圆心角的度数, 并补全扇形统计图 ; (3) 若该校有学生 1500 人, 请根据调查结果估计这些学生中比较了解垃圾分类知识的人数约为多少?. 考点扇形统计图; 总体个体样本样本容量 ; 用样本估计总体 ; 频数与频率. 菁优网版权所有第 8 页 ( 共 17 页 )

9 专题图表型. 分析 (1) 由于非常了解频数 40, 频率为 0.2, 即可计算样本容量 ; 表中的 m 是比较了解的频率, 可用频数除以样本容量进行计算 ; (2) 非常了解的频率为 0.2, 扇形圆心角的度数为 = 频率 360 ; (3) 由样本中比较了解的频率 0.6, 可以估计总体中比较了解的频率也是 0.6. 解答解:(1)40 0.2=200; =0.6; (2) =72 ; 补全图如下 : (3) =900( 人 ). 点评统计图表是中考的必考内容, 本题渗透了统计图样本估计总体的知识, 数据的问题在中考试卷中也有越来越综合的趋势. 20.( 2011 东城区一模 ) 已知 :AB 是 O 的弦,OD AB 于 M 交 O 于点 D,CB AB 交 AD 的延长线于 C. (1) 求证 :AD=DC; (2) 过 D 作 O 的切线交 BC 于 E, 若 DE=2,CE=1, 求 O 的半径. 考点切线的性质; 垂径定理. 菁优网版权所有专题证明题. 分析 (1) 欲求 AD=DC, 已知条件中可以推出两组平行线, 根据平行线等分线段定理可以推出结论. (2) 连接 O D 两点, 构建直角三角形 OBD, 根据平行线等分线段定理矩形 DEBM 求出 MB DE 的长度, 根据勾股定理, 求出半径 OB. 解答 (1) AB 是 O 的弦, 半径 OD AB,CB AB, AM=BM,OD BC AD=DC. (2) 连接 O B 两点 O 的切线交 BC 于 E, 第 9 页 ( 共 17 页 )

10 OD DE, 又 OD AB, AB DE, OD BC,OD DE 四边形 MDEB 为矩形, AD=DC,EC=1,DE=2, EC=BE=MD=1,DE=MB=2, 在 Rt BOM 中,OB 2 =OM 2 +MB 2 =(OB - MD) 2 +MB 2, 即 OB 2 =(OB - 1) , OB=2.5 O 的半径为 2.5. 点评本题考查了圆的切线性质, 解直角三角形的有关知识点以及平行线的性质. 运用切线的性质垂径定理来进行计算或论证, 常通过作辅助线连接圆心和切点, 利用垂直构造直角三角形解决有关问题. 21.( 2011 东城区一模 ) 在平面直角坐标系 xoy 中, 一次函数 y=k 1 x+b 与反比例函数 y= 的图象交于 A(1,6), B(a,3) 两点. (1) 求 k 1,k 2 的值 ; (2) 如图, 点 D 在 x 轴上, 在梯形 OBCD 中,BC OD,OB=DC, 过点 C 作 CE OD 于点 E,CE 和反比例函数的图象交于点 P, 当梯形 OBCD 的面积为 18 时, 求 PE:PC 的值. 考点反比例函数与一次函数的交点问题; 待定系数法求反比例函数解析式 ; 梯形. 菁优网版权所有专题常规题型. 分析 (1) 首先根据一次函数 y=k 1 x+b 与反比例函数 y= 的图象交于 A(1,6), B(a, 3) 两点等条件, 把 A 点坐标代入反比例函数的解析式中, 求得 k 2 的值, 知道反比例函数的解析式后把 B 点代入求出 a 的值, 最后求出一次函数解析式的 k 1 的值, (2) 设点 P 的坐标为 (m,n), 易得 C(m,3), CE=3,BC=m-2,OD=m+2, 利用梯形的面积是 12 列方程, 可求得 m 的值, 从而求得点 P 的坐标, 根据线段的长度关系可知 PC=2PE. 第 10 页 ( 共 17 页 )

11 解答解 :(1) 一次函数 y=k 1 x+b 与反比例函数 y= 的图象交于 A(1,6), B(a,3) 两点, k 2 =6, 又 B(a,3) 在反比例函数的图象上, 即 a=2, 又知 A(1,6), B(2,3) 在一次函数的图象上,, 解得 k 1 = - 3; (2) 当 S 梯形 OBCD=18 时,PC=2PE. 设点 P 的坐标为 (m,n), BC OD,CE OD,BO=CD,B(2,3), C(m,3), CE=3,BC=m - 2,OD=m+2. S 梯形 OBCD=, 即 18=. m=6, 又 mn=6. n=1, 即 PE= CE. PC=2PE, PE:PC=1:2. 点评本题主要考查反比例函数与一次函数的交点问题的知识点, 此题综合考查了反比例函数与一次函数的性质, 此题难度稍大, 综合性比较强, 注意反比例函数上的点的特点和利用待定系数法求函数解析式的方法. 要灵活的利用梯形的面积公式来求得相关的线段的长度, 从而确定关键点的坐标是解题的关键. 22.( 2013 绍兴模拟 ) 如图 1, 在 ABC 中, 已知 BAC=45,AD BC 于 D,BD=2,DC=3, 求 AD 的长. 小萍同学灵活运用轴对称知识, 将图形进行翻折变换如图 1. 她分别以 AB AC 为对称轴, 画出 ABD ACD 的轴对称图形,D 点的对称点为 E F, 延长 EB FC 相交于 G 点, 得到四边形 AEGF 是正方形. 设 AD=x, 利用勾股定理, 建立关于 x 的方程模型, 求出 x 的值. (1) 请你帮小萍求出 x 的值. (2) 参考小萍的思路, 探究并解答新问题 : 如图 2, 在 ABC 中, BAC=30,AD BC 于 D,AD=4. 请你按照小萍的方法画图, 得到四边形 AEGF, 求 BGC 的周长.( 画图所用字母与图 1 中的字母对应 ) 第 11 页 ( 共 17 页 )

12 考点翻折变换( 折叠问题 ). 菁优网版权所有专题计算题 ; 压轴题. 分析 (1) 正方形 AEGF 的边长是 x. 则 BG=EC - BE=x - 2,CG=FG - CF=x - 3, 在直角 BGC 中利用勾股定理即可得到关于 x 的方程, 即可求解 ; (2) 可以证明 AEF 是等边三角形, EFG 是等腰三角形, 作出底边上的高, 利用三角函数即可求解 EG, 根据 BGC 的周长是 : BG+GC+BC=BG+GC+BD+CD=BG+GC+BE+CF=2EG 即可求解. 解答解 :(1) 分别以 AB AC 为对称轴, 画出 ABD ACD 的轴对称图形, D 点的对称点为 E F, 延长 EB FC 相交于 G 点, 得到四边形 AEGF 是正方形, 根据对称的性质可得 :BE=BD=2,CF=CD=3, 设 AD=x, 则正方形 AEGF 的边长是 x, 则 BG=EG - BE=x - 2,CG=FG - CF=x - 3, 在直角 BCG 中, 根据勾股定理可得 :(x - 2) 2 +(x - 3) 2 =5 2, 解得 :x=6 或- 1( 舍去 ). 故边长是 6; (2) 作 GM EF 于点 M. 根据对称的性质可得 :AE=AF=AD=4, EAB= BAD, FAC= DAC, 又 BAC=30, EAF=60, AEF 是等边三角形, EF=AE=4, AEF= AFE=60, GEF= GFE=30, 则 EG=GF, EM= EF=2, EG= =, BGC 的周长是 :BG+GC+BC=BG+GC+BD+CD=BG+GC+BE+CF=2EG=. 第 12 页 ( 共 17 页 )

13 点评本题考查图形的翻折变换, 解题过程中应注意折叠是一种对称变换, 它属于轴对称, 根据轴对称的性质, 折叠前后图形的形状和大小不变, 如本题中折叠前后角相等. 23.( 2011 东城区一模 ) 已知关于 x 的方程 (m-1)x 2 -(2m-1)x+2=0 有两个正整数根. (1) 确定整数 m 值 ; (2) 在 (1) 的条件下, 利用图象写出方程 (m-1)x 2 -(2m-1)x+2+ =0 的实数根的个数. 考点根与系数的关系; 根的判别式. 菁优网版权所有专题计算题 ; 作图题. 分析 (1) 此题只需判别式 0, 及满足为正整数即可确定整数 m 的值. (2) 将 m 的值代入方程, 令 y=(m-1)x 2 -(2m-1)x+2 及 y= -的函数图象, 判断交点坐标个数即可. 解答解:(1) 根据题意得 : =(2m-1) 2-8(m-1) 0, 又需满足为正整数, 则 m-1=1,m=2. (2) 将 m=2 代入方程 (m - 1)x 2 - (2m - 1)x+2+ =0 得 :x 2-3x+2+ =0; 令 y 1 =x 2-3x+2,y 2 = - ; 分别作其图象如下图 : 第 13 页 ( 共 17 页 )

14 由图象可以看出 : 两函数只有一个交点, 因此方程只有一个根. 点评本题考查了根与系数的关系及判别式的应用, 有一定的综合能力, 同学们要好好掌握. 24.( 2012 海陵区二模 ) 等边 ABC 边长为 6,P 为 BC 边上一点, MPN=60, 且 PM PN 分别于边 AB AC 交于点 E F. (1) 如图 1, 当点 P 为 BC 的三等分点, 且 PE AB 时, 判断 EPF 的形状 ; (2) 如图 2, 若点 P 在 BC 边上运动, 且保持 PE AB, 设 BP=x, 四边形 AEPF 面积的 y, 求 y 与 x 的函数关系式, 并写出自变量 x 的取值范围 ; (3) 如图 3, 若点 P 在 BC 边上运动, 且 MPN 绕点 P 旋转, 当 CF=AE=2 时, 求 PE 的长. 考点旋转的性质; 三角形的面积 ; 等边三角形的判定与性质. 菁优网版权所有分析 (1) 根据三等分点的定义, 求得 BP 与 PC 的长, 进而根据直角三角形中 30 度的锐角所对的直角边等于斜边的一半, 即可求得 BE 的长, 即可作出判断 ; (2) 分别表示出 ABC BPE PCF 的面积, 根据四边形 AEPF 的面积 = ABC 的面积- BPE 的面积- PCF 的面积, 即可求解 ; (3) 首先证明 BPE CFP, 根据相似三角形的对应边的比相等即可求得 BP 的长, 进而即可求得 PE 的长. 解答解 :(1) 点 P 为 BC 的三等分点, BP= BC=4,PC= BC=2, PE AB, 在直角 BPE 中, B=60, BPE=30, BE= BP=2, BE=CP, 第 14 页 ( 共 17 页 )

15 又 MPN=60, EPF 是等边三角形 ; (2) ABC 的面积是 : 6 6 =9 ; BP=x, 则 BE= BP= x.ep= BE= x,pc=6 - x,pf= PC= (6 - x). 则 BPE 的面积是 : BE EP= x= x 2, PCF 的面积是 : PC PF= (6 - x) (6 - x)= (6 - x) 2. 四边形 AEPF 面积的 y=9 - x 2 - (6 - x) 2 ; 即 y= - x 2 +6 x - 9 (3<x<6); (3) 在 BPE 中, B=60, BEP+ BPE=120, MPN=60, BPE+ FPC=120, BEP= FPC, 又 B= C, BPE CFP, =, 设 BP=x, 则 CP=6-x. =, 解得 :x=2 或 4. 当 x=2 时, 在三角形 BEP 中, B=60,BE=4,BP=2, 则 PE=2 ; 当 x=4 时, 在三角形 BEP 中, B=60,BE=4,BP=4, 则 BEP 是等边三角形, PE=4. 故 PE=2 或 4. 点评本题主要考查了相似三角形的判定与性质, 正确根据相似三角形对应边的比相等求得 BP 的长是解题的关键. 25.( 2008 黄石 ) 如图, 已知抛物线与 x 轴交于点 A( -2,0), B(4,0), 与 y 轴交于点 C(0,8). (1) 求抛物线的解析式及其顶点 D 的坐标 ; (2) 设直线 CD 交 x 轴于点 E. 在线段 OB 的垂直平分线上是否存在点 P, 使得点 P 到直线 CD 的距离等于点 P 到原点 O 的距离? 如果存在, 求出点 P 的坐标 ; 如果不存在, 请说明理由 ; 第 15 页 ( 共 17 页 )

16 (3) 过点 B 作 x 轴的垂线, 交直线 CD 于点 F, 将抛物线沿其对称轴平移, 使抛物线与线段 EF 总有公共点. 试探究 : 抛物线向上最多可平移多少个单位长度? 向下最多可平移多少个单位长度? 考点二次函数综合题. 菁优网版权所有专题压轴题. 分析 (1) 由抛物线过 A B C 三点可求出抛物线表达式 ; (2) 假设存在, 设出 P 点, 解出直线 CD 的解析式, 根据点 P 到 CD 的距离等于 PO 可解出 P 点坐标 ; (3) 应分两种情况 : 抛物线向上或下平移, 设出解析式, 代入点求出平移的单位长度. 解答解 :(1) 设抛物线解析式为 y=a(x+2)( x - 4). 把 C(0,8) 代入, 得 a= - 1. y= - x 2 +2x+8= - (x - 1) 2 +9, 顶点 D(1,9);( 2 分 ) (2) 假设满足条件的点 P 存在. 依题意设 P(2,t). 由 C(0,8), D(1,9) 求得直线 CD 的解析式为 y=x+8, 它与 x 轴的夹角为 45. 设 OB 的中垂线交 CD 于 H, 则 H(2,10). 则 PH= 10-t, 点 P 到 CD 的距离为. 又.( 4 分 ). 平方并整理得 :t 2 +20t - 92=0, 解之得 t= - 10±8. 存在满足条件的点 P,P 的坐标为 (2, - 10±8 ).( 6 分 ) (3) 由上求得 E( -8,0), F(4,12). 1 若抛物线向上平移, 可设解析式为 y= -x 2 +2x+8+m(m>0). 当 x= -8 时,y=-72+m. 当 x=4 时,y=m. -72+m 0 或 m 12. 0<m 72.( 8 分 ) 2 若抛物线向下平移, 可设解析式为 y= -x 2 +2x+8-m(m>0). 由, 第 16 页 ( 共 17 页 )

17 有- x 2 +x - m=0. =1-4m 0, m. 向上最多可平移 72 个单位长, 向下最多可平移个单位长.(10 分 ) 点评此题考查待定系数求抛物线解析式, 第二问考查垂直平分线性质, 利用距离相等解题, 最后一问考抛物线的平移, 要注意已知条件和技巧. 第 17 页 ( 共 17 页 )

第一章三角函数 1.3 三角函数的诱导公式 A 组 ( ) 一选择题 : 共 6 小题 1 ( 易诱导公式 ) 若 A B C 分别为 ABC 的内角, 则下列关系中正确的是 A. sin( A B) sin C C. tan( A B) tan C 2 ( 中诱导公式 ) ( ) B. cos(

第一章三角函数 1.3 三角函数的诱导公式 A 组 ( ) 一选择题 : 共 6 小题 1 ( 易诱导公式 ) 若 A B C 分别为 ABC 的内角, 则下列关系中正确的是 A. sin( A B) sin C C. tan( A B) tan C 2 ( 中诱导公式 ) ( ) B. cos( 第一章三角函数 1. 三角函数的诱导公式 A 组一选择题 : 共 6 小题 1 ( 易诱导公式 ) 若 A B C 分别为 ABC 的内角则下列关系中正确的是 A. sin( A B) sin C C. tan( A B) tan C ( 中诱导公式 ) B. cos( B C) cos A D. sin( B C) sin A sin60 cos( ) sin( 0 )cos( 70 ) 的值等于