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拐宓
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3 闻彬数理化系列疯狂的几何 ( 初中版 ) 闻彬著

4 图书在版编目 (IP) 数据疯狂的几何 : 初中版 / 闻彬著. 上海 : 华东理工大学出版社,05. ( 闻彬数理化系列 ) ISN Ⅰ. 疯 Ⅱ. 闻 Ⅲ. 几何课初中教学参考资料 Ⅳ.G64.6 中国版本图书馆 IP 数据核字 (05) 第 594 号闻彬数理化系列疯狂的几何 ( 初中版 ) 闻彬著策划编辑 / 陈月姣责任编辑 / 陈月姣责任校对 / 成俊封面设计 / 视界创意出版发行 / 华东理工大学出版社有限公司地址 : 上海市梅陇路 0 号,007 电话 :(0)645006( 营销部 ) (0)64575( 编辑室 ) 传真 :(0) 网址 :press.ecust.edu.cn 印刷 / 江苏凤凰数码印务开本 /787mm 09mm /6 印张 /8 字数 /9 千字版次 /05 年月第版印次 /05 年月第次书号 /ISN 定价 /5.00 元联系我们 : 电子邮箱 press@ecust.edu.cn 官方微博 e.weibo.com/ecustpress 天猫旗舰店 htp://hdlgdxcbs.tmal.com

5 前言公元前 4 世纪, 欧氏几何创立以来, 不知孕育了多少伟人, 从哥白尼到伽利略, 从牛顿到爱因斯坦. 可以说, 几何创造了整个西方文明. 在古希腊, 几何被公认为专门提高智商的一门课. 这种观点, 在西方一直延续至今. 我国的中考, 尤以欧氏几何为最重要的内容. 而几何学头上的皇冠几何辅助线问题, 从来都是中考压轴题的不二之选. 教育界公认, 学好辅助线, 需要极高的智商和个人的天赋. 由于学习难度太大, 能够掌握辅助线的学生不到 %, 关于辅助线的教学, 一直在黑暗中摸索, 关于几何, 也一直没有形成一种行之有效的教学方式疯狂的几何揭示了几何学的 6 大基本要素及由 6 大基本要素组成的 9 张基本图形, 全面揭开了几何学的基因图谱. 第一次让几何的教学, 从黑暗走向光明. 金字塔沙漏大山母子兄弟等 9 张基本图形的发现, 标志着疯狂的几何进入了完善的阶段, 9 张基本图形在几何教学中的地位, 相当于三基色在色度学中的地位, 三基色按照不同比例进行组合, 组成了成千上万种颜色, 形成了多姿多彩的世界. 同样, 几何学的所有题目, 都是由 9 张基本图形不同组合的结果, 只要掌握了 9 张基本图形, 就可以在几何的世界里游刃有余. 疯狂的几何可以让 50% 的学生彻底掌握辅助线技巧, 可以让 00% 的学生将几何能力提高到自己的极限. 几何这扇智慧之门, 将彻底向普通大众敞开疯狂的几何的诞生, 标志着几何的教学, 将进入一个崭新的时代, 出版后, 人手一本, 只是一个时间问题. 疯狂的几何也是闻彬数理化最得意之作. 一群孩子迎面走来, 你能一眼看出, 哪些是我们的学生, 那些满嘴都是金字塔扫把飞机的后生, 皆是闻彬数理化的子弟闻彬数理化工作室 05 年 0 月 0 日

7 目录目录第讲几何中的 6 大基本要素 [ 总纲 ] 第讲三角图 ()[ 全等三角形 ()] 第讲 T 台折线 [ 全等三角形 ()] 5 第 4 讲踩高跷 [ 平行线 ()] 7 第 5 讲大队长 [ 平行线 ()] 9 第 6 讲小红旗 [ 全等三角形 ()] 第 7 讲尺字形小红旗 [ 全等三角形 (4)] 5 第 8 讲金字塔基础题 [ 全等三角形 (5)] 8 第 9 讲来自沙漠的塔铃 [ 等边三角形 ] 0 第 0 讲等腰群 [ 等腰三角形 ()] 第讲雨伞 () 基础题 [ 等腰三角形 ()] 6 第讲雨伞 () 辅助线 [ 等腰三角形 ()] 9 第讲青蛙嘴 () 基础题 [ 全等三角形 (6)] 第 4 讲青蛙嘴 () 辅助线 [ 全等三角形 (7)] 5 第 5 讲直角群 [ 全等三角形 (8)] 7 第 6 讲母子情深 () 角之间的关系 [ 全等三角形 (9)] 4 第 7 讲母子情深 () 残缺的母子 [ 全等三角形 (0)] 4 第 8 讲兄弟和鹅掌 [ 全等三角形 ()] 45 第 9 讲圆规基础题 [ 全等三角形 ()] 47 第 0 讲巍峨的大山 () 基础题 [ 全等三角形 ()] 49 第讲神秘的沙漏 () 基础题 [ 全等三角形 (4)] 5 第讲神秘的沙漏 () 辅助线 [ 全等三角形 (5)] 54 第讲银白色的飞机 [ 角平分线定理 ()] 57

8 第 4 讲飞机群 [ 角平分线定理 ()] 6 第 5 讲瘦三 [ 直角三角形 ()] 64 第 6 讲胖三 [ 直角三角形 ()] 67 第 7 讲哈利波特的扫把 [ 直角三角形 ()] 70 第 8 讲截取定理 [ 平行四边形 ()] 7 第 9 讲平行四边形与青蛙嘴 [ 平行四边形 ()] 76 第 0 讲矩形与扫把 [ 矩形 ] 79 第讲正方形与圆规 [ 正方形 ()] 8 第讲正方形与大山 [ 正方形 ()] 85 第讲鞋长公式 [ 梯形 ] 88 第 4 讲金字塔和沙漏 [ 相似三角形 ()] 9 第 5 讲歪金字塔 [ 相似三角形 ()] 95 第 6 讲母子情深 () 边之间的关系 [ 射影定理 ] 98 第 7 讲歪母子 () 基础知识 [ 相似三角形 ()] 00 第 8 讲歪母子 () 拓展训练 [ 相似三角形 (4)] 0 第 9 讲三角图 () 相似 [ 相似三角形 (5)] 07 第 40 讲巍峨的大山 () 辅助线 [ 相似三角形 (6)] 第 4 讲遍地都是 45 [ 直角三角形 (4)] 5 第 4 讲找到回家的路 [ 向量 ] 8

9 第讲几何中的 6 大基本要素 [ 总纲 ] ì 平行, 垂直一几何中的 6 大基本要素 : í中点, 角平分线 î等腰三角形, 等边三角形第讲几何中的 6 大基本要素[总纲] 大家知道, 大自然中的几乎所有颜色都可以通过红绿蓝三色按照不同的比例合成产生红绿蓝是三基色, 这三种颜色合成的颜色范围最为广泛 6 大基本要素在几何中的地位, 等同于三基色在色度学中的地位正是 6 大基本要素的排列组合, 让整个几何的世界丰富多彩, 变化万千 6 大基本要素按照不同的方式进行组合, 形成了 9 张基本图形 ( 金字塔沙漏大山, 母子, 兄弟等 ) 几何学的所有题目, 都是这 9 张基本图形互相叠加的结果, 只要掌握了这 9 张基本图形, 就可以在几何的世界里游刃有余 6 大基本要素及由 6 大基本要素组成的 9 张基本图形, 包含了几何学的全部秘密深入地学习 6 大基本要素, 熟练地掌握 6 大基本要素的特点, 是学好几何的必经之路, 更是学好辅助线技巧的不二法门所以, 它的重要性不言而喻二值得注意的是, 在学习的过程中, 要特别留意以下几点注意事项 :. 平时, 我们对中点和中线不加区分. 对 90 和高也不加区分. 边相等和角相等不属于 6 大基本要素

10 第讲三角图 ()[ 全等三角形 ()] 一角的分类. 小角如图所示, O 的内部不包含其他角, 这样的角叫做小角. 小角一般用数字来表示, 如等. 例外当某个点处只有一个角时, 这个角一般是用代表这个点的字母来表示, 如, 而不是用数字来表示. O 图 O 图. 中角如图所示, O 的内部包含个小角, 这样的角叫做中角. 中角只能用三个字母来表示, 如 O.. 大角如图所示, O 的内部包含个或个以上的小角, 这样的角叫做大角. 大角也只能用三个字母来表示, 如 O. O 图 O 图 4

11 二三角图. 三角图如图 4 所示, 图中的个小角拥有一个公共的顶点, 并且上下两个小角相等, 这样的图形, 叫做三角图.. 组成三角图中包含个小角, 个中角和个大角. 三三角图的性质. 小角推中角在三角图中, 如果上下两个小角相等, 那么它的两个中角也相等, 简称小角推中角.. 中角推小角在三角图中, 如果它的两个中角相等, 那么上下两个小角也相等, 简称中角推小角. 第讲三角图( )[全等三角形( )] 例请写出图 5 中所有的小角中角和大角.( 不包括平角 ). 解题思路 : 如图 5 所示. 小角 :,,, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0,,, 中角 :, P,, P, 大角 :, P O 图 5 图 6 例如图 6 所示, 已知 =, 请说明 O= O 的理由. 解题思路 : 因为 =,( 已知 ) ü 所以 + = +,( 等式性质 ) ý小角推中角即 O= O. þ 例如图 7 所示, 将一副直角三角板的直角顶点重叠在一起, 如果 =0, 那么 =. 解题思路 : 因为中角均为 90, 所以 = =0.} 中角推小角图 7

12 4 练习请写出图 8 中所有的小角中角和大角.( 不包括平角 ). 图 8 练习如图 9 所示, 已知 O= O, 请说明 = 的理由. O 图 9 练习如图 0 所示, 将两块三角板的直角顶点重合后重叠在一起, 如果 = 44 8'0, 那么 =. 图 0

13 一典型的三角图 ( 图 ) 第讲 T 台折线 [ 全等三角形 ()] 第讲 T 台折线[全等三角形( )] 二 T 台.T 台如图所示,, 这样的图形叫做 T 型台, 简称 T 台.. 节点其中点叫做节点. 图图图三 T 台折线.T 台折线如图所示, 折线经过点, 它叫做 T 台上的折线, 简称 T 台折线..T 台折线的夹角叫做 T 台折线的夹角. 例如图 4 所示, 已知,, () 请说明 = 的理由 ; () 请说明 = 4 的理由. 解题思路 : (), =90., 4 图 4 5

14 6 =90, =, ü - = -, ý中角推小角 =. þ (), =90., =90, =, ü - = -, ý中角推小角 = 4. þ 例如图 5 所示, 已知, =, 请说明的理由. 解题思路 : =, ü + = +, ý小角推中角即 =. þ, =90, =90, 图 5 即. 练习如图 6 所示, 已知, =, 请说明的理由. 图 6

15 第 4 讲踩高跷 [ 平行线 ()] 第 4 讲踩高跷(平行线( ) 一踩高跷. 踩高跷如图所示, 两条直线都垂直于第三条直线, 这种图形叫做踩高跷.. 地面图中, 叫做地面.. 高跷图中, 和叫做两个高跷. 二踩高跷的两种变形 ( 图, 图 ) 图图图例如图 4 所示, 已知,, 垂足分别为, 请你说明为什么? 解题思路 :,( 已知 ) ü =90.( 垂直的意义 ),( 已知 ) ý踩高跷 =90,( 垂直的意义 ) =,( 等量代换 ).( 同位角相等, 两直线平行 ) þ 例如图 5 所示, 已知,, 垂足为, 请你说明为什么? 图 4 7

16 8 解题思路 :,( 已知 ) ü =.( 两直线平行, 同位角相等 ),( 已知 ) ý踩高跷 =90,( 垂直的意义 ) =90,( 等量代换 ).( 垂直的定义 ) þ 例如图 6 所示, 已知 =,G,, 垂足分别为, 请你说明为什么 =? 解题思路 : =,( 已知 ),( 同位角相等, 两直线平行 ) =.( 两直线平行, 内错角相等 ),G,( 已知 ) G,( 垂直于同一直线的两直线平行 )} 踩高跷 =,( 两直线平行, 同位角相等 ) =.( 等量代换 ) 图 5 G 练习如图 7 所示, 点在一条直线上, 并且, =,, 那么与垂直吗? 为什么? 图 6 G 图 7 练习如图 8 所示, =, =, 请你说明与互补的理由. G 图 8

17 第 5 讲大队长 [ 平行线 ()] 第 5 讲大队长[平行线( )] 一三八图. 三八图如图所示, 由两条平行线和一条斜线构成的图形, 叫做三线八角图, 简称三八图.. 截线图中, 和叫做平行线, 叫做截线.. 截线的基本特征和两条平行线都有交点. 图二三八图背后的定理平行线的性质. 两直线平行, 同位角相等. 两直线平行, 内错角相等. 两直线平行, 同旁内角互补三大队长 a b 大队长如图所示, 三条互相平行的直线所构成的图 c 形, 叫做大队长. 图四折线与折点 ( 图 ) % 图明理由. 例如图 4 所示, 已知, =, 那么与平行吗? 为什么? 请说 9

18 0 解题思路 : =,( 已知 ) ü.( 同位角相等, 两直线平行 ) ý大队长又,( 已知 ).( 平行的传递性 ) þ 例如图 5 所示, 已知, 请你说明为什么 + + =60? 图 5 图 6 图 4 解题思路 : 过点作, 如图 6 所示.,( 已知 ) ü 又,( 已作 ) ý大队长.( 平行的传递性 ) þ,( 已作 ) + =80.( 两直线平行, 同旁内角互补 ),( 已证 ) + =80,( 两直线平行, 同旁内角互补 ) =60,( 等式性质 ) 即 + + =60. 练习如图 7 所示, 当满足条件时, 有. 练习如图 8 所示, 当 4 满足条件时, 有. 4 图 7 图 8 练习如图 9 所示,, 那么三者之间的关系为 ( ) = =80

19 . - + = =80 练习 4 如图 0 所示, 已知, 那么 4 之间的关系为. 4 图 9 图 0 第 5 讲大队长[平行线( )] 练习 5 如图所示,, 且 P=60 -α, P=45 +α, P=0 α, 则 α=. 练习 6 如图所示, 已知 =, =, 请你说明的理由. P 图图

已知：AB=4，AC=2，D是BC中点，AD是整数，求AD

已知：AB=4，AC=2，D是BC中点，AD是整数，求AD 1. 已知 :=4,=2, 是中点, 是整数, 求 = = ==2 在中 -