第4章

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土颁成
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1 第四章不定积分教学目的 : 理解原函数概念不定积分的概念掌握不定积分的基本公式掌握不定积分的性质掌握换元积分法第一第二与分部积分法会求有理函数三角函数有理式和简单无理函数的积分教学重点 : 不定积分的概念; 不定积分的性质及基本公式; 换元积分法与分部积分法教学难点 : 换元积分法; 分部积分法; 三角函数有理式的积分忻州师范学院高等数学课程建设组

2 不定积分的概念与性质一原函数与不定积分的概念定义如果在区间 I 上可导函数 F 的导函数为 f 即对任一 I 都有 F f 或 dffd 那么函数 F 就称为 f 或 fd 在区间 I 上的原函数例如因为 si cos 所以 si 是 cos 的原函数又如当时因为所以是的原函数提问 : cos 和还有其它原函数吗? 原函数存在定理如果函数 f 在区间 I 上连续那么在区间 I 上存在可导函数 F 使对任一 I 都有 F f 简单地说就是 : 连续函数一定有原函数两点说明 : 第一如果函数 f 在区间 I 上有原函数 F 那么 f 就有无限多个原函数 F 都是 f 的原函数其中是任意常数函数则第二 f 的任意两个原函数之间只差一个常数即如果 Φ 和 F 都是 f 的原 ΦF 为某个常数定义在区间 I 上函数 f 的带有任意常数项的原函数称为 f 或 fd 在区间 I 上的不定积分记作 f d 其中记号称为积分号 f 称为被积函数 fd 称为被积表达式称为积分变量根据定义如果 F 是 f 在区间 I 上的一个原函数那么 F 就是 f 的不定积分即 f d F 因而不定积分 f d 可以表示 f 的任意一个原函数例因为 si 是 cos 的原函数所以忻州师范学院高等数学课程建设组

3 cosd si 因为是 d 的原函数所以例求函数 f 的不定积分解 : 当 >0 时 l d l >0; 当 <0 时 [l] d l <0 合并上面两式得到 d l 0 例设曲线通过点且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍求此曲线的方程解设所求的曲线方程为 yf 按题设曲线上任一点 y 处的切线斜率为 y f 即 f 是的一个原函数因为 d 故必有某个常数使 f 即曲线方程为 y 因所求曲线通过点故于是所求曲线方程为 y 积分曲线 : 函数 f 的原函数的图形称为 f 的积分曲线从不定积分的定义即可知下述关系 : d [ f d] f d 或 d [ f d] f d ; 忻州师范学院高等数学课程建设组

4 又由于 F 是 F 的原函数所以 F d F 或记作 df F 由此可见微分运算以记号 d 表示与求不定积分的运算简称积分运算以记号表示是互逆的当记号与 d 连在一起时或者抵消或者抵消后差一个常数二基本积分表 kd k k 是常数 μ μ d μ d l e d e 5 d l 6 cosd si 7 si d cos 8 d sec d t cos 9 d csc d cot si 0 d rct d rcsi sec t d sec csc cotd csc sh d ch 忻州师范学院高等数学课程建设组

5 5 ch d sh 例例 5 例 6 d d d d d d 三不定积分的性质性质函数的和的不定积分等各个函数的不定积分的和即 [ f g ] d f d g d 这是因为 [ f d g d] [ f d] [ g d] fg 即性质求不定积分时被积函数中不为零的常数因子可以提到积分号外面来 kf d k f d k 是常数 k 0 例 d 5 d 例 d5 d d5 d d d d d d d d l 例 9 e cos d e d cosd e si 例 0 例 e e d e d e le l d d d d rct l d 忻州师范学院高等数学课程建设组 5

6 例 d d d d dd d rct 例例例 5 t d sec d sec d d t si d cos d cos d si si cos d d cot si 忻州师范学院高等数学课程建设组 6

7 换元积分法一第一类换元法设 f 有原函数 F ϕ 且 ϕ 可微那么根据复合函数微分法有 d F[ϕ ]d FF d F [ϕ ] dϕ F [ϕ ]ϕ d 所以 F [ϕ]ϕ d F [ϕ] dϕ F d d Fd F[ϕ ] 因此 F ϕ ] ϕ d F [ [ ϕ ] dϕ F d df df [ ϕ ] F[ ϕ ] 即 f [ ϕ ] ϕ d f [ ϕ ] dϕ [ f d] ϕ 定理 [F ] ϕ F[ϕ] 设 f 具有原函数 ϕ 可导则有换元公式 f [ ] ϕ d f [ ϕ ] dϕ f d F F[ ϕ ] ϕ 被积表达式中的 d 可当作变量的微分来对待从而微分等式 ϕ d d 可以应用到被积表达式中在求积分 g d 时如果函数 g 可以化为 g f[ϕ]ϕ 的形式那么 g d f ] ϕ d [ f d] [ ϕ ϕ 例 cosd cos d cosd cosd si si 例例 d d d d l l e d e d e d e d e e 例 d d d d d 忻州师范学院高等数学课程建设组 7

8 例 5 t d si d d cos cos cos d l l cos 即 t d l cos 类似地可得 cot d l si 熟练之后变量代换就不必再写出了例 6 d d d rct 即 d rct 例 7 ch d d ch sh 例 8 当 >0 时即例 9 d d d rcsi d rcsi d d [ d d ] [ d d ] [l l ] 即 d l 例 0 d d l d l l l l l 忻州师范学院高等数学课程建设组 8

9 例 e l l e d d e d e 含三角函数的积分 : 例 si d si si d cos d cos d coscos d cos cos cos 例 5 si cos d si cos d si si si d si 6 si si si d si 例例 5 例 6 5 si si si cos d cos d cos d d d cosd si cos d cos d [ cos] d cos cos d cos cos d si si 8 si si 8 cos5 d cos cosd cos si si5 0 忻州师范学院高等数学课程建设组 9

10 例 7 si cscd d d si cos d d t l t l csc cot t cos t 即 cscd l csc cot 例 8 d π d l csc π cot π sec csc l sec t 即 secd l sec t 二第二类换元法定理设 ϕt 是单调的可导的函数并且 ϕ t 0 又设 f [ϕt]ϕ t 具有原函数 Ft 则有换元公式 f d f t t dt F t F [ ϕ ] ϕ [ ϕ ] 其中 tϕ 是 ϕt 的反函数这是因为 { F [ ϕ ]} F t dt f [ ϕ t] ϕ t f [ ϕ t] f d d dt 例 9 求 d >0 解 : 设 si t d cos t d t 于是 π π < t < 那么 si t cost d cost costdt 因为 t rcsi cos tdt t sit sit sitcost 所以忻州师范学院高等数学课程建设组 0

11 d t sit rcsi 解 : 设 si t π < t < π 那么 d cost costdt cos tdt t sit rcsi 提示 : si t cost dcos tdt 提示 : t rcsi sit sitcost 例 0 求 d 解法一 : 设 t t >0 π < t < π 那么 t t t t sec t d sec t d t 于是因为 sect d sec t dt sectdt sect l sec t t t t t 所以 d l sec t t t l l 其中 l 解法一 : 设 t t π < t < π 那么 d sec t sect dt l 其中 l sectdt l secttt l 忻州师范学院高等数学课程建设组

12 提示 : t t sect d sec t dt 提示 : sect t t 解法二 : 设 sh t 那么 d ch t dt dt t t rsh ch l l 其中 l 提示 : sh t ch t d ch t d t 于是例求 d >0 解 : 当 > 时设 sec t 0<t < π 那么 sec t sec t t t 因为 tt d sect tt dt sectdt l sec t t t tt sec t 所以 d l sec t t t l l 其中 l 当 < 时令则 > 于是 d d l l l l l 忻州师范学院高等数学课程建设组

13 其中 l 综合起来有 d l 解 : 当 > 时设 sec t 0<t < π 那么 d sect tt dt sectdt tt l sect tt l l 其中 l 当 < 时令则 > 于是 d 其中 l d l l l l 提示 : sec t sec t tt 提示 : tt 综合起来有 sec t d l 补充公式 : 6 t d l cos 7 cot d l si 8 secd l sec t 9 cscd l csccot 忻州师范学院高等数学课程建设组

14 0 d rct d l d rcsi d l d l 忻州师范学院高等数学课程建设组

15 分部积分法设函数及 vv 具有连续导数那么两个函数乘积的导数公式为 v vv 移项得 v v v 对这个等式两边求不定积分得 v d v vd 或 dv vvd 这个公式称为分部积分公式分部积分过程 : v d dv vvd v vd 例 cosd d si si si d si cos 例 e d de e e d e e 例 e d de e e d e e d e de e e e d 例例 5 例 6 e e e e d d l l l d l d l rccosd rccos d rccos rccos d rccos d rct d rct d rccos rct d rct d rct rct 忻州师范学院高等数学课程建设组 5

16 例 7 求 e si d 解因为 e si d si de e si e d si e cosd e si e si cosde e si e cos e d cos e si e cos e d cos e si e cos e si d 所以 e si d e si cos 例 8 求 sec d 解因为所以 sec d sec d sec sec d secd t sect sect d secsec sec t d sec d sect secd sect l sec t sec d sec t l sec t 例 9 求 I d 其中为正整数解 I d rct ; 当 > 时用分部积分法有 d d 忻州师范学院高等数学课程建设组 6

17 d [ ] 即 I I I 于是 I [ I ] 以此作为递推公式并由 I rct 即可得 I 例 0 求 e d 解令 t 则 dtdt 于 e d t te t dt e t e e d e d e d de e e d e e e 第一换元法与分部积分法的比较 : 共同点是第一步都是凑微分 f ϕ ] ϕ d [ f [ ϕ ] dϕ 令 ϕ f d v d dv v v d 哪些积分可以用分部积分法? cos d e d e d ; l d rccosd rct d ; e si d sec d e d e d e d e d de e e d 忻州师范学院高等数学课程建设组 7

18 几种特殊类型函数的积分一有理函数的积分有理函数的形式 : 有理函数是指由两个多项式的商所表示的函数即具有如下形式的函数 : m m m m Q P 0 0 其中 m 和都是非负整数 ; 0 及 0 m 都是实数并且当 <m 时称这有理函数是真分式 ; 而当 m 时称这有理函数是假分式假分式总可以化成一个多项式与一个真分式之和的形式例如真分式的不定积分 : 求真分式的不定积分时如果分母可因式分解则先因式分解然后化成部分分式再积分例求 d 6 5 解 d 6 5 d d 5 6 d d 5 6 6l 5l 提示 : B A B A B A AB AB A6 B5 分母是二次质因式的真分式的不定积分 : 例求 d 解 d d d d d d rct l 忻州师范学院高等数学课程建设组 8

19 提示 : 例求 d 解 d [ ] d d d d l l 提示 : 二三角函数有理式的积分三角函数有理式是指由三角函数和常数经过有限次四则运算所构成的函数其特点是分子分母都包含三角函数的和差和乘积运算由于各种三角函数都可以用 si 及 cos 的有理式表示故三角函数有理式也就是 si cos 的有理式用于三角函数有理式积分的变换 : 把 si cos 表成 t 的函数然后作变换 t : t t si si cos sec t cos t cos si sec 变换后原积分变成了有理函数的积分例求 si d si cos 解令 t 则 si cos rct d d 于是 si d si cos d d 忻州师范学院高等数学课程建设组 9

20 解令 t 则 l t t l t si d si cos l d t t l t 说明 : 并非所有的三角函数有理式的积分都要通过变换化为有理函数的积分例如 cos si si d d d si l si 三简单无理函数的积分无理函数的积分一般要采用第二换元法把根号消去例 5 求 d 解设即则 d d d 例 6 求 d d rct rct 解设即则 d d d d l 忻州师范学院高等数学课程建设组 0

21 例 7 求 d l 解设 t 6 于是 d 6t 5 d t 5 d 6t dt t 6 t t t 例 8 求解设从而 dt rct d t 即 t 于是 d t t t dt t t dt dt t t t l t t l 6 dt 6 t rctt t 练习 d 求 cos 解 : 作变换 t t 则有 d dt t dt d t cos t t rct t 5 si 求 d cos t cos t t dt t rct t 5 si si cos 解 : d cos d cos cos d cos cos d t 忻州师范学院高等数学课程建设组

22 d cos cos cos cos cos cos 求 d 解 : d d 7 d 7 d d 7l l 忻州师范学院高等数学课程建设组

23 5 积分表的使用积分的计算要比导数的计算来得灵活复杂为了实用的方便往往把常用的积分公式汇集成表这种表叫做积分表求积分时可根据被积函数的类型直接地或经过简单变形后在表内查得所需的结果积分表一含有的积分 d l μd μ μ μ d l d [ l ] 5 d l 6 d l d 7 l 8 d l 9 d l 例求 d 解 : 这是含有的积分在积分表中查得公式 d 现在于是 l l d 9 二含有的积分 d 忻州师范学院高等数学课程建设组

24 d 5 d d 5 d d l rct > 0 < 0 7 d d 8 d d 9 d d 三含 ± 的积分 d rct d d l 四含有 >0 的积分 rct d l > 0 < 0 d l d d d l 5 d d 忻州师范学院高等数学课程建设组 d

25 6 d l 7 d d 五含有 c >0 的积分六含有 >0 的积分 d rsh l d d d 5 d l 6 d l 7 d l 8 d 9 d l 例求 d 9 解 : 因为 d 9 所以这是含有于是 d d l 的积分这里在积分表中查得公式 d 9 l l 9 忻州师范学院高等数学课程建设组 5

26 七含有 >0 的积分 d l rch d d d 5 d l 6 d l 7 d rccos 8 d 9 d l 八含有 >0 的积分 d rcsi d d d 5 d rcsi 6 d rcsi 7 d l 8 d 忻州师范学院高等数学课程建设组 6

27 9 d rcsi 九含有 ± c > 0 的积分十含有 ± 或的积分十一含有三角函数的积分 secd l sec t csc d l csc cot sec t d sec csc cot dcsc 5 si d si 6 cos d si 7 si d si d cos si 8 cos d cos d si cos 9 si cosd cos cos 0 si sid si si cos cosd si si t d rct > si t d l < si t d cos rct t > 忻州师范学院高等数学课程建设组 7

28 t d l cos t < 例求 d 5cos 解 : 这是含三角函数的积分在积分表中查得公式 t > d rct cos 这里 5 > 于是 d 5cos 5 例求 si d 5 rct 5 t rct 5 5 t 解 : 这是含三角函数的积分在积分表中查得公式这里于是 si d si d cos si si d si si d si cos d si si cos si 忻州师范学院高等数学课程建设组 8

幻灯片 1

幻灯片 1 第一类换元法 ( 凑微分法 ) 学习指导复习 : 凑微分部分常用的凑微分 : () n d d( (4) d d( ); (5) d d(ln ); n n (6) e d d( e ); () d d( b); ); () d d( ); (7) sin d d (cos ) 常见凑微分公式 ); ( ) ( ) ( b d b f d b f ); ( ) ( ) ( n n n n d f