目 录 第 I 部分函数极限连续...2 第 1 讲函数...2 一 函数的基本概念...2 二 常见的函数类...3 三 函数的构造方法...4 四 函数的基本性质...6 五 常用的重要公式...7 第 2 讲数列极限...10 一 数列极限的概念...10 二 数列极限的性质...10 三 收

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1 目 录 第 I 部分函数极限连续... 第 讲函数... 一 函数的基本概念... 二 常见的函数类...3 三 函数的构造方法...4 四 函数的基本性质...6 五 常用的重要公式...7 第 讲数列极限... 一 数列极限的概念... 二 数列极限的性质... 三 收敛准则... 四 数列极限的运算法则... 重点问题归纳... 第 3 讲函数极限...3 一 函数极限的概念...3 二 函数极限的性质...3 三 函数极限的运算法则...4 四 无穷大量...4 五 无穷小量...5 重点问题归纳...6 第 4 讲连续函数及其性质... 一 连续函数的概念... 二 间断点及其分类... 三 初等函数的连续性... 四 闭区间上连续函数的性质... 重点问题归纳... 第 II 部分一元函数微分学... 5 第 5 讲导数和微分...5 一 导数与微分概念...5 二 微分...6 三 高阶导数...7 四 导数计算法则...7 五 基本导数表...8

2 重点问题归纳...8 第 6 讲微分中值定理...33 一 Fermt 引理 二 Rolle 中值定理...33 三 Lgrge 中值定理 四 Cuchy 中值定理 重点问题归纳...34 第 7 讲 Tylor 公式及其应用 一 Tylor 公式 二 常用 Tylor 公式 重点问题归纳...4 第 8 讲导数研究函数的形态...43 一 单调性...43 二 极值...43 三 最值...44 四 凹凸性与拐点...44 五 渐近线...45 六 曲率 ( 仅限数学, 数学 )...45 七 函数作图...45 重点问题归纳...46 第 III 部分一元函数积分学...49 第 9 讲不定积分...49 一 不定积分的概念...49 二 基本积分公式...5 重点问题归纳...5 第 讲定积分的概念 性质和计算 一 定积分的概念...58 二 定积分的性质...58 三 定积分的基本定理...59 四 反常积分 无穷区间上的反常积分... 6 五 反常积分 瑕积分...6 重点问题归纳...6

3 一 试卷满分及考试时间 考试形式和试卷结构 试卷满分为 5 分, 考试时间为 8 分钟. 二 答题方式 答题方式为闭卷 笔试. 三 试卷内容结构 微积分 56% 线性代数 % 概率论与数理统计 % 四 试卷题型结构试卷题型结构为 : 单项选择题选题填空题解答题 ( 包括证明题 ) 8 小题, 每题 4 分, 共 3 分 6 小题, 每题 4 分, 共 4 分 9 小题, 共 94 分

4 第 I 部分函数极限连续 大纲要求 一 函数. 理解函数的概念, 掌握函数的表示法, 会建立应用问题的函数关系.. 了解函数的有界性 单调性 周期性和奇偶性. 3. 理解复合函数及分段函数的概念, 了解反函数及隐函数的概念. 4. 掌握基本初等函数的性质及其图形, 了解初等函数的概念. 二 极限 5. 理解极限的概念, 理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左极限 右极限之间的关系. 6. 掌握极限的性质及四则运算法则. 7. 掌握极限存在的两个准则, 并会利用它们求极限, 掌握利用两个重要极限求极限的方法. 8. 理解无穷小量 无穷大量的概念, 掌握无穷小量的比较方法, 会用等价无穷小量求极限. 三 连续 9. 理解函数连续性的概念 ( 含左连续与右连续 ), 会判别函数间断点的类型.. 了解连续函数的性质和初等函数的连续性, 理解闭区间上连续函数的性质 ( 有界性 最大值和最小值定理 介值定理 ), 并会应用这些性质. 第 讲 函数 函数是高等数学的基本研究对象, 而极限是研究变量的最基本方法, 高等数学的核心概 念 连续 微分 积分 都是建立在极限的基础之上 一 函数的基本概念 邻域和去心邻域 设 δ >, 称集合 { } 为 的邻域, 记为 U (, ) ; 称集合 { } 为 的去心邻域, 记为 U (, ) 函数的定义设, y 是两个变量,D 是一个给定的数集, 若对于 D, 按照一个规定的对应法则 f, 都有一个唯一确定的数值 y 与之对应, 则称 y 是关于 的 ( 单值 ) 函数, 记为 y f ( ) 否则, 若 D 有多个数值 y 与之对应, 则称 y 是关于 的多值函数 称 D 为定义域 ; 称 C y y f ( ), D 为值域 ; 称点集 G (, y) y f ( ), D 在二维平面内的图像为函数图象 ;

5 3 函数关系的常用表示法 () 显函数表示 : y f ( ), D () 隐函数表示 : F (, y) ( t) (3) 参数方程形式 : y ( t),t T 二 常见的函数类 基本初等函数 常数, 幂函数, 指数函数, 对数函数, 三角函数, 反三角函数 初等函数由基本初等函数经过有限次的四则运算和复合并且能用一个表达式表示的一切函数, 称为初等函数 注意 : 初等函数在其定义域内是连续的 多项式函数 : P ( ), 其中 N,,,, R, 有理函数 : y m m b b b m m, m N,,,,, b, b,, b R,, b. 其中 m m 3 分段函数 在自变量的变化范围内, 对应法则用不同的代数式来表示的函数称为分段函数 3

6 常见分段函数主要包括 : () 绝对值函数 例 (8, 数学,,3) 下列函数中, 在 处不可导的是 ( ). (A) f ( ) si (B) f ( ) si (C) f ( ) cos (D) f ( ) cos, () 符号函数 : sg( ),, (3) 取整函数 : y [ ],, Z (4) 最值函数 : m{ f ( ), g( )}, mi{ f ( ), g( )} 4 幂指函数 ( ) 形如 u( ) v 的函数 5 特殊函数 狄利克雷函数 :, 为有理数 D( ), 为无理数 例 下列命题正确的是 ( ) (A) 若函数 f () 在 处连续, 则函数 f () 在 的邻域内连续. (B) 若函数 f () 在 处可导, 则函数 f () 在 的邻域内可导. (C) 若函数 f () 处处可导, 则其导函数处处连续. (D) 若函数 f () 在 处连续, 在其去心邻域内可导, 且 lim f ( ) 存在, 则 f () 在 处可导 三 函数的构造方法 复合函数定义 : y f ( u), u ( ) 是两个函数, 若 u ( ) 的值域与 y f ( u) 定义域交集非空, 则 y f ( u), u ( ) 组成的函数 y f ( ( )) 称为复合函数 4

7 例 3 设 f ( ) 求 f ( f ( )), f ( f ( f ( ))), f ( f ( f ( ))) 重 例 4 () 设 f ( ) ( ), 求 f ( ), f ( e ) () 设 f ( ) f ( ), 其中,. 求 f ( ). 例 5 f ( ), g( ),,,,, 求 g( f ( )) ( ), [ f ( )], f ( ) ( ), 答案 : g( f ( )) [ f ( )], f ( ) [ ], ( ), f ( g( )) ( ), ( ), g g g g 4 [ ( )], ( ), 应用极限, / 例 6, lim( ( ) ) m{,, },, 5

8 例 7 设 y si y y f (, y), 其中, y, 求 g( ) lim f (, y) y rct y 3 反函数 函数 y f () 的反函数 ( y) 通常记作 y (), 或 y f ( ) 四 函数的基本性质 有界性设函数 f ( ) 的定义域为 D, 若 D, M, s. t. f ( ) M, 则称 f ( ) 为有界函数 ; 反之, 若 M, D, s. t. f ( ) M, 则称 f ( ) 为无界函数 ; 定理 若 f ( ) 在闭区间 [,b] 内连续, 则 f ( ) 在闭区间 [,b] 上有界 定理 若 f ( ) 在开区间 (,b) 内连续, 且 lim f ( ) 与 lim f ( ) (,b) 内有界 b 存在, 则 f ( ) 在开区间 定理 3 函数 f ( ) 在区间 I 上无界的充要条件是存在一个数列 { } I, 使得 { f ( )} 为无穷大的数列 单调性 () 若 ( ) 是增函数, 则 f ( ( )) 的单调性与 f ( ) 的单调性相同 ; () 若 ( ) 是减函数, 则 f ( ( )) 的单调性与 f ( ) 的单调性相反 3 奇偶性方法 : 定义方法 : 利用运算性质 () 若 f ( ) 与 g( ) 为奇函数, 且 f g, 则 f g 为奇函数 ; () 若 f ( ) 与 g( ) 为偶函数, 则 f g 为偶函数 ; 6

9 (3) 奇 偶 = 奇 偶 偶 = 偶 奇 奇 = 偶 ( 奇 ) = 偶 ( 偶 ) = 奇 奇 d= 偶偶 d= 奇 4 周期性 设函数 f ( ) 是可导的周期函数, 则它的导函数仍然是周期函数, 且周期不变, 但其原 函数不一定是周期函数 si( ) 例 8 函数 f ( ) ( )( ) 在下面哪个区间内有界 ( ) (A)(-,) (B)(,) (C)(,) (D)(,3) 五 常用的重要公式 常用简单函数的定义域 y D { : } y rcsi D { : } y rccos D { : } y log [ f ( )] D { :,, f ( ) } y cot D { : k, k Z} y t D { : k, k Z} 数列公式 等差数列求和 : 首项, 公差 d, 等比数列求和 : 首项, 公比 q, k k k k ( ) ( q ) q k ( )( ) 6 k k k( k ) 7

10 3 三角函数公式 () 诱导公式 () 倍角公式 (3) 半角公式 (4) 和差化积 (5) 积化和差 (6) 万能公式 4 因式分解公式 () 立方和, 立方差 () b ( b)( b b b ) k k k (3) 二项展开式 : ( b) C b k 5 阶乘和双阶乘 : 6 排列组合公式 7 重要不等式 () 三角不等式 : b b b () 平均值不等式 : i i 其中当 i i i,,,, i 8

11 重要特例 :) b b,, b R ; b ) 当, b 时, b b, b ; b c 3 3) bc,, b, c R ; 3 b 4), 其中 b ; b 5), R ;, R 6) b b b b (, b R ) b c 3bc ( b c 即可 ) (3) 当 时, l( ) ; (4) 当 时, si t ; (5) 柯西不等式 ( 离散形式 ) 设 i, bi 为任意数 i,,,, 则 ibi i bi i i i 当且仅当 与 b 成比例时等号成立 i (6) 柯西不等式 ( 连续形式 ) 若 f g 在 b i, 上可积, 则 b f b b gd f d g d. ) 9

12 第 讲数列极限 一 数列极限的概念 定义 lim : ( N 语言 ) 对于, N, 当 N 时有 - ; 二 数列极限的性质 唯一性: 数列收敛, 则极限值唯一 ; 有界性: 数列收敛, 则数列必有界 ; 3 保号性: lim N, N时, ;( 类似 ) 4 数列收敛的充要条件 : lim 对于 { } 的任意子列 { k, k,, }, 都有 lim k k 奇子列 {,,, } 和偶子列 {,,, } 都收敛且极限相等 三 收敛准则 定理 ( 夹逼定理 ) 设三个数列 { } { y } { z } 满足下列条件, () 存在 N, 当 N 时, 总有 y z ; () lim lim z ; 则 lim y 存在, 且 lim y 定理 ( 单调有界收敛定理 ) 若数列 { } 四 数列极限的运算法则 是单调且有界的数列, 则 lim 存在 若 lim u,lim v b 都存在, 则 () lim( u v ) lim u lim v b () lim( u v ) (lim u )(lim v ) b u lim u (3) b, lim v lim v b (4) u 且 lim u v, 则 lim lim u lim u v

13 重点问题归纳 一 数列极限的概念 例 由 lim, 对于给定的, 则定义中 N 满足 ( ) (A) (B) (C) (D) 例 设 lim, 则当 充分大时, 必有 ( ) (A) > (B) < (C) 3 3 > (D) <+ 二 数列极限的存在性 方法 : 例 3 下列数列极限是否存在 : (), 为奇数 ; (), 为偶数 +, 为奇数 (3), 为偶数 ( ) cos( ) 方法 : 单调有界收敛定理 例 4 证明,, 证明极限存在并求之 例 5 设, ( ), 证明极限存在并求之. 例 6 设数列 满足, si (,, ), 则 lim 存在, 并求之

14 例 7 设,, 证明 lim 存在, 并求该极限 方法 3 夹逼定理 例 8 lim 例 9 lim k k 三 数列极限的求解 例 lim ( ) ( ) 3 例 lim ; ( ) 3 例 lim 3 ( )

15 一 函数极限的概念 语言 : () lim f ( ) A 第 3 讲函数极限 : 函数 f ( ) 在 的某去心邻域内有定义, 则,, 当 时, 有 f ( ) A 注 : 在一点的极限值和该点的函数值是两码事, 不可混为一谈 () 右极限 (3) 左极限 f ( ) : lim f ( ) A f ( ) : lim f ( ) A 定理函数在一点极限存在的充要条件是左 右极限都存在且相等 ; M 语言 : () lim f ( ) A 设函数 f ( ) 在某无穷区间内有定义, 则定义为 : 对于, M, 当 M 时, 有 f ( ) A ; () lim f ( ) A lim f ( ) A (3) 二 函数极限的性质 唯一性 局部有界性 3 函数极限的局部保号性 4 函数极限和数列极限的关系 ( 海涅定理 ) lim f ( ) A 存在 任何满足 lim 的数列 { },( ), 总有 lim f ( ) A 3

16 5 函数极限的存在准则 夹逼准则 设三个函数 f ( ), g( ), h( ) 满足下面条件 : () 在定义域内总有 g( ) f ( ) h( ) ; () lim g( ) lim h( ) ; 则 lim f ( ) 存在, 且 lim f ( ) 三 函数极限的运算法则 四则运算法则若 lim f ( ) A, lim g( ) B, 则 () lim[ f ( ) g( )] lim f ( ) lim g( ) A B () lim[ f ( ) g( )] lim f ( ) lim g( ) AB ( ) lim ( ) (3) 当 B 时, lim f f A g ( ) lim g ( ) B ( ) (4)( 幂指函数运算 ) lim[ ( )] g B f A, 当 A 复合函数的极限运算法则 3 定理 设 lim ( ), 当 时, 有 ( ),lim f ( u) A, 则 u u lim f [ ( ) ] lim f ( u) A () 若 lim f 存在, lim g, 则 lim f g f () 若 lim A g, lim f, 则 lim g 四 无穷大量 定义: lim f ( ), lim f ( ) 无穷大量是在某个变化过程中的极限 无穷大量与无界变量的关系 定理若 lim f ( ), 则对于任意一个满足 lim 的数列 { }, 都有 lim f ( ) 4

17 例 讨论函数 f ( ) si 在定义域内是否是无界函数, 当 时, 函数极限是否存在, 此时是否是无穷大量? 例 若 lim y, 则下列说法是否正确? (), y 至少有一个是无穷大量 () 若 lim, 则 lim y 五 无穷小量 定义 无穷大量与无穷小量的关系 同一变化过程中, 无穷大量的倒数是无穷小量 ; 在无穷小量不等于 的前提下, 无穷小 量的倒数是无穷大量 3 无穷小量的比较 设 f ( ) g ( ) 都是 时的无穷小量, 若 g( ), 且 lim f g, () 低阶的无穷小量 ; () (3), 称 f 是比, 称 f 与 g 高阶的无穷小, 记 f ( ) o( g( )) g 是同阶无穷小 ;, 称 f 与 g 是等价无穷小, 记 g f ~, 称 g 是比 f 4 无穷小量的运算规则 () 有限个无穷小量的和仍是无穷小量 ; 有限个无穷小量积仍是无穷小量 ; 无穷小量与有界变量的乘积仍是无穷小量 ; 5

18 () 高阶无穷小的运算 m k o( ) o( ) o( ), k mi{ m, } m m m m o( ) o( ) o( ), o( ) o( ), m m m k o( ) o( k ) o( ), k 5 常用的等价无穷小量 时 : ~ si ~ t ~ l( ) ~ e - ~ rcsi ~ rct ; - ~ l, ( ), cos ~. 重点问题归纳 一 极限定义与性质 例 lim( ), 对于给定的, 则定义中 满足 ( ) 5 (A) (B) (C) (D) 例 l( ), f ( ),, 求 lim f ( ) e, cos rct( si ) 例 3 lim ( ) si A. B. C.3 D. 不存在 6

19 二 函数极限的求解 方法 : 极限的四则运算 ( ) (3 ) 例 4 () lim 5 ( ) 3 ( ) () lim 3 方法 : 等价无穷小替换等价无穷小的代换定理设自变量 在同一变化过程中, ( ), ( ), ( ), ( ) 都是无穷小量, 且 ( ) ~ ( ), ( ) ~ ( ), ( ) ( ) ( ), ( ), lim A 则 lim A ( ) ( ) 例 5 () lim ; () lim 9 9 cos 6 例 6 lim cos 方法 3: 重要极限 公式 公式 si lim lim lim u u u v lim v v e 7

20 例 7 si lim l( ) 例 8 3 t lim si b c 例 9 lim,, b, c 3 方法 4: 洛必达法则 定理设函数 f 和 g 满足 :. lim f ( ) lim g( ) 或 lim f ( ) lim g( ) ; b. 在点 的去心邻域内可导, 且 g '( ) ; c. f '( ) lim A( 或 ) ; g '( ) f f '( ) 则 lim lim A ( 或 ) g g '( ) 8

21 ( 一 ) e 例 lim 9 ( 二 ) 形如 例 lim si l. ( 三 ) 形如 - 例 lim e. 例 3 lim t [ t ( e ) t] dt l( ) 9

22 ( 四 ) 型, 型, 型 例 4 求 lim si. 例 5 lim rct 例 6 lim rct 例 7 lim ( t )

23 第 4 讲 连续函数及其性质 一 连续函数的概念 函数 y f 在点 处连续 定义 设函数 y f 在点 的某个邻域内有定义, 且, 即 f f () lim y lim, 或 () lim f f, 则称函数 y f 在点 处连续 定义 设函数 y f, 如果 lim f f, 则函数 如果 lim f f, 则称函数 注意 : 若函数 y f 在点 处连续, 则 函数在区间内连续的 如果函数 如果 f 在点 处右连续 f 在 处既左连续也右连续 f 在点 处左连续 ; y f 在开区间, b 内的每一点都连续, 则称 f 在 b, 内连续 y f 在开区间内连续, 在区间端点 右连续, 在区间端点 b 左连续, 则称 f 在闭区间 b 二 间断点及其分类 间断点的分类 是 () 第一类间断点 设 是函数, 上连续 y f 的间断点, 如果 f 在间断点 处的左 右极限都存在, 则称 f 的第一类间断点 包括可去间断点和跳跃间断点 : 可去 : lim f 存在, 不等于 f 跳跃 : lim f, lim f () 第二类间断点 都存在但不相等 第一类间断点以外的其他间断点称为第二类间断点 包括 振荡间断点 : y si 在 的过程中, 函数值在 之间交替取值 ; 无穷间断点 : y 在

24 三 初等函数的连续性. 在区间 I 连续的函数的和 差 积及商 ( 分母不为零 ), 在区间 I 仍是连续的. 由连续函数经有限次复合而成的复合函数在定义区间内仍是连续函数 3. 在区间 I 连续且单调的函数的反函数, 在对应区间仍连续且单调 4. 基本初等函数在它的定义域内是连续的 5. 初等函数在它的定义区间内是连续的 四 闭区间上连续函数的性质定理 ( 有界定理 ) 如果函数 f 在闭区间, b上连续, 则 f 必在 b 定理 ( 最大值和最小值定理 ), 上有界 如果函数 f 在闭区间 b, 上连续, 则在这个区间上一定存在最大值 M 和最小值 m 定理 3( 介值定理 ) 如果函数 f 在闭区间 b, 上连续, 且其最大值和最小值分别为 M 和 m, 则对于 介于 m 和 M 之间的任何实数 C, 在 推论 ( 零点定理 ) 如果函数, b上至少存在一个, 使得 f C ; f 在闭区间, b 上连续, 且 f 与 f b 异号, 则在 b 存在一个点, 使得 f, 内至少 重点问题归纳一 函数的连续性 si 例 若函数 f ( ) p, 在 = 处连续, 求 p 和 q. si q

25 例 下面结论正确的是 ( ) (A) 若 f ( ) 在 处连续, 则 f ( ) 在 处连续 ; (B) 若 (C) 若 f ( ) 在 处连续, 则 f ( ) 在 处连续 ; 在 f ( ) (D) 若 f ( ) 在 处连续, 则 f ( ) 在 处连续, 则 在 f ( ) 处连续 ; 处连续 ; 例 3 设函数 f ( ), g ( ) 在实数集上都有定义, 且 f ( ) 为非零连续函数, g ( ) 有间断点, 则 ( ) (A) g( f ( )) 必有间断点 ; (B) g ( ) 必有间断点 ; g (C) f ( g( )) 必有间断点 ; (D) ( ) 必有间断点 f ( ) 二 间断点类型的判定 例 4 (5, 数 ) 函数 f si t lim( ) t 在 (, ) 内 ( ) t (A) 连续 (B) 有可去间断点 (C) 有跳跃间断点 (D) 有无穷间断点 例 5 求函数 f ( ) 的间断点, 并确定其类型. 4 3

26 si 例 6 讨论 f ( ) e 的间断点类型. 例 7 f ( ) lim l( ) l (si si) 三 闭区间上连续函数性质的应用 例 8 设 f ( ) 在区间 [, b ] 上连续, 证明存在 [, b], 使得 f ( ) 3 f ( b) 5 f ( ) 4

27 第 II 部分 一元函数微分学 大纲要求. 理解导数和微分的概念, 理解导数与微分的关系, 理解导数的几何意义, 会求平面曲线的切线方程和法线方程, 了解导数的物理意义, 会用导数描述一些物理量, 理解函数的可导性与连续性之间的关系.. 掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则, 掌握基本初等函数的导数公式. 了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性, 会求函数的微分. 3. 了解高阶导数的概念, 会求简单函数的高阶导数. 4. 会求分段函数的导数, 会求隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函数的导数. 5. 理解并会用罗尔 (Rolle) 定理 拉格朗日 (Lgrge) 中值定理和泰勒 (Tylor) 定理, 了解并会用柯西 (Cuchy) 中值定理. 6. 掌握用洛必达法则求未定式极限的方法. 7. 理解函数的极值概念, 掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法, 掌握函数最大值和最小值的求法及其应用. 8. 会用导数判断函数图形的凹凸性, 会求函数图形的拐点以及水平 铅直和斜渐近线, 会描绘函数的图形. 9. 了解曲率 曲率圆与曲率半径的概念, 会计算曲率和曲率半径.( 仅限数 数 ) 一 导数与微分概念 第 5 讲导数和微分 定义设函数 y f 在点 的某邻域内有定义, 自变量 在 地函数增量 y f f, 如果极限 处有增量, 相应 y () lim lim f f 存在 ; 或 () lim f f 存在 ; 或 (3) lim f f 存在, 则称之为函数 f 在 处的导数 ( 也称微商 ), 记作 f, 称函数 y f 在点 处 5

28 可导 否则, 则称为在 处不可导 单侧导数 : 右导数 : f 左导数 : f f f f f lim lim f f f f lim lim 定理 f 在点 处可导 f 在点 处左 右导数皆存在且相等 几何意义 表示曲线 y f 在点 f f, 处的切线的斜率 切线方程 : y f f 法线方程 : y f f f 3 物理意义: f t 表示物体在时刻 t 时的瞬时速度 4 可导与连续的关系 如果函数 y f 在点 处可导, 则 f 在点 处一定连续, 反之不然 二 微分 定义设函数 y f 在点 处有增量 时, 如果函数的增量, y f f A o 其中 A 与 无关, o 可微, 称 A 为 可微与可导的关系 f 在 f 在 处可微 f 在 是 时比 高阶的无穷小, 则称 f 在 处 处的微分, 记以 dy 自变量的微分 d 就是 处可导, 且 dy A f d. 6

29 3 微分的几何意义 y f f 是曲线 y f f 的增量, 微分 的增量 ( 见图 ) 在点 处相应于自变量增量 的纵坐标 dy 是与曲线 y f 在点 M f, 处切线的纵坐标相应 三 高阶导数 如果函数 的导数称为 y f 的导数 y f y f 在点 处的二阶导数, 记以 f 在点 处二阶可导 在 处仍是可导的, 则把 y f 在点 处 y 或 y d y 或 d 等, 也称 如果 y f 的 阶导数的导数, 称为 y f 的 阶导数, 记以 d y,, 等, 这时也称 y f y f d 是 阶可导 四 导数计算法则 导数的四则运算法则 f g f g f g f g f g f f g f g g g g 复合函数运算法则 设 y f u, u, 如果 在 处可导, f 函数 y f dy d dy du du d 在 处可导, 且有 f u 在对应点 u 处可导, 则复合 7

30 3 一阶微分形式的不变性: 不管 u 是自变量或中间变量都成立 dy f u du f d 五 基本导数表 实常数 c si cos cos si t sec cot csc sec sec t log, l l l, e csc csc cot e rcsi rccos rct l l 重点问题归纳 一 导数定义的应用 例 设 f (), 下面选项中 f ( ) 在 点可导的充分条件是 ( ) (A) lim h f ( cos h) 存在 ; h (B) lim h h f ( e ) 存在 ; h (C) lim h f ( h si h) 存在 ; h (D) lim h f ( h) f ( h) 存在 ; h 8

31 例 设 f ( ) lim cos, 问 f () 是否存在, 若存在并求之 k k 例 3 确定常数, b, 使得 f ( ) b 在 可导 例 4 函数 3 f ( ) ( ) 不可导点的个数是 ( ) 个 例 5 设函数 f 具有二阶连续导数, 且 且导函数连续 f ( ) f, 证明 g( ) 可导, f () 二 导数的计算 显函数的导函数 例 6 求下列函数的导数 l cot () y () y l( ) si 9

32 例 7 求导函数: y f (si ) l f ( ), 其中 f ( ) 为可导函数. 分段函数的导函数 例 8 求分段函数的导函数: f ( ) ( ) si 3 ( ) 3 求参数方程的导函数 ( 数学,) 设 t, y t 确定函数 y y, t, t 存在 t, 则 dy d t t t ; dy dy d d d y d d t t t t 二阶导数 : = 3 d d dt d t dt t e d y 例 9 设 t l( y u ), 求 du d t ( t si t) 例 求摆线 在 t 处的切线. y ( cos t) 3

33 4 隐函数求导 设 y y 是由方程 F, y 所确定, 求 y 的方法如下 : 把 F y, 两边的 各项对 求导, 把 y 看作中间变量, 用复合函数求导公式计算, 然后再解出 y 的表达式 ( 允 许出现 y 变量 ) dy 例 设 y y( ) 由方程 rct( y ) ye 所确定, 求和 dy. d y dy d y 例 求由方程 y e e 所确定的隐函数 y的导数,. d d 5 反函数求导 设 二阶导数 y f 的反函数 g y, 两者皆可导, 且 f g y f f f g y y d g g y dy d(/ f ) d dy / d f f, 则 f 3 例 3 设 y f ( ) 二阶可导, 且 f () 3, f (), f () 3, 且 ( y) 为其反函数, 求 (3) 6. 对数求导法 例 4 设 y 3 ( ), ( 4) e 求 y 3

34 例 5 si y 求 y ( ),. 三 阶导数的计算 常用的初等函数的 阶导数公式 () y = e y ( ) = e () y = ( >, ¹ ) ( ) y = (l ) ( ) (3) y = si y si ( ) (4) y = cos y cos (5) y = l ( ) - - y = (- ) ( - )! (6) y = + y ( ) = (- )! ( + ) + ( ) 例 6 设 y =, 求 y ( 正整数 ). - 例 7 求函数 f ( ) 的 阶导函数 ( f ) ( ) 3

35 第 6 讲微分中值定理 一 Fermt 引理定理 设 y f ( ) 在 的某邻域内有定义, f ( ) f ( ), f ( ) 存在, 则 f ( ) 二 Rolle 中值定理 定理 设函数 f ( ) 满足 : () 在闭区间 [,b] 上连续 ; () 在开区间 (,b) 内可导 ; (3) f ( ) f ( b). 则存在 (, b), 使得 f ( ). 三 Lgrge 中值定理 定理 3 设函数 f 满足 () 在闭区间 b () 在开区间 b, 上连续 ;, 内可导 ; 则存在 b,, 使得 f b f b f 等价的表达式 () f b f f b b () f f f (3) f b f f ( b ) ( b ) 这里 相当 或 b 都可以, 可正可负 33

36 四 Cuchy 中值定理 定理 4 设函数 f 和 g 满足 : () 在闭区间 b, 上皆连续 ; ; () 在开区间, b 内皆可导且 g f b f f, 使得 b g b g g 则存在 b 几何意义 g t 考虑曲线 AB 的参数方程 t b y f t,, 点 A g f,, 点 B g b, f b 曲线 AB 上是连续曲线, 除端点处是光滑曲线, 那么在曲线上至少有一点, 它的切线平行于割线 AB 定理 ( 导数的零点定理 ) 设函数 y f ( ) 在 [, b ] 上可导, 当 f ( ) f ( b), 则 (, b), 使得 f ( ) 重点问题归纳 一 Rolle 中值定理的应用 直接应用 例 设 f ( ) ( )( )( 3)( 4), 方程 f ( ) 有个根, 它们分别 在区间 例 设函数在 f ( ) 在 [,] 上一阶导数连续, 在 (,) 内二阶可导, f ( ) lim, f (), 则 (,), f ( ) 34

37 构造附助函数 方法 : 直接还原法 () 结论为 ( k f ) ( ) f ( ), k, 辅助函数 ( ) ( ) k e [ f ( ) f ( ) f ( )] () 结论为 (3) 结论为 f ( ) f ( ) f ( ) [ f ( )], 辅助函数 ( ) ; f ( ) f ( ) f ( ) [ f ( )] ;, 辅助函数 ( ) f ( ) f ( ) (4) 结论为 f ( ) g( ) f ( ) g( ), 辅助函数 ( ) f ( ) g( ) f ( ) g( ) ; 例 3 设 f ( ) 在 [,] 上连续, 在 (,) 上可导, f () f (), f (), 则 (,) 使得 3 f ( ). 例 4 设 f ( ) 在 [, ] 上的一阶导数连续, 在 (, ) 内二阶可导, 且 f (), f () 3, f ( ), 证明存在 (, ), 使得 f ( ) f ( ) t 例 5 已知, 证明方程 至少有一个小于 的正根 35

38 例 6 设 f ( ) C[, b], 且在 (, b ) 内二阶可导, f ( ) f ( b) f ( ) d, 则存 在 (, b), 满足 f ( ) f ( ) b 例 7 设 f ( ), g( ) C[, b], 且在 (, b ) 内二阶可导, g( ), (, b), 又 f ( ) f ( b) g ( ) g ( b), 则 () g ( ), (, b) ; () 存在 (, b) f ( ) f ( ), 满足 g( ) g( ) 方法 : 对数还原法 例 8 设 f ( ) 在 [,] 二阶可导, f () f (), 则存在 (,), 满足 f ( ) f ( ) 例 9 f ( ) C[, ], 在 (, ) 内可导, f () f (), f (), 则 (, ), 满足 f ( ) f ( ) 36

39 二 Lgrge 中值定理的应用 类型 结论为单中值的等式 例 设函数 f ( ) 在 [, b ] 上连续, 在 (, b ) 内可导, 证明在 (, b ) 内至少存在一点, b 使得 b f ( ) f ( b) [ f ( ) f ( )] 例 设函数 f ( ) 在区间 [, b ] 内二阶可导, 且连接点 (, f ( )),( b, f ( b )) 的直线段和 曲线 y f ( ) 有交点 ( c, f ( c)), c b, 证明存在 (, b), 使得 f ( ) 类型 结论为含有多中值的等式此类问题求解原则是在区间内分别使用中值定理, 一般是采用 Lgrge 中值定理 例 设 f ( ) C[, b], 且在 (, b ) 内可导, f ( b) f ( ) 则存在, (, b), 满足 e [ f ( ) f ( )] 例 3 设 f ( ) C[,], 且在 (,) 内可导, f (), f () 则 () 存在 c (,), 满足 f ( c) c ; () 存在, (,), 满足 f ( ) f ( ) 例 4 设 f ( ) 在 [,] 内可导, f (), f (), k, k, k 3, 且满足 k k k3, 则存在,, 3 (,), 使得 k k k f ( ) f ( ) f ( )

40 类型 3 结论为不等式的情形 此时, 可以根据所证明的结论形式构造辅助函数 例 5 已知函数 f 在区间 [, ) 上具有 阶导数, f, f, 设 b, 曲线 y f 在点 b, f b 处的切线与 轴的交点是 f '',,, 证明 b 例 6 设函数 y f ( ) 在区间 [,] 上二阶可导, 且在 (,) 取到函数 f ( ) 的最大值, f ( ) M, 证明 f () f () M 三 Cuchy 中值定理的应用 例 7 设 f ( ) C[, b],, 且在 (, b ) 内可导, 则存在, (, b) f ( ) f ( ) ( b)., 满足 例 8 设 f ( ), g( ) C[, b], 且在 (, b ) 内可导, g( ), (, b), 则 存在 (, b), 满足 f ( ) f ( ) f ( ) g( b) g( ) g ( ) 38

41 第 7 讲 Tylor 公式及其应用 一 Tylor 公式 定理 (Peo 余项的 阶泰勒公式 ) 设 f 在 处有 阶导数, 则有公式 f f f f f R!!! 其中 R o 称为 Peo 余项 定理 (Lgrge 余项的 阶泰勒公式 ) 设 f 在包含 对, b, 的区间, b 内有 阶导数, 在, b 上有 阶连续导数, 则 f f f f f R!!! f 其中 R! 上面展开式称为以 为中心的 阶 Tylor 公式 当 时, 也称为 阶 Mcluiri 公式 ( 在 与 之间 ) 称为 Lgrge 余项 二 常用 Tylor 公式 e o( ),( )!! 3 5 si ( ) o( ) 3! 5! ( )! rcsi o( ) ; t o( ) ( ) rct o( ) 39

42 ( )! 4! ( )! 4 cos o( ) 3 4 ( ) l( ) o( ) 3 4 ( ) ( ) ( ) o!! ( ) ( ) rcsi rccos 重点问题归纳一 求极限 rcsi rct 例 lim si t 例 lim l( ) si l( ) ( b ) 例 3 lim, 求常数, b 例 4 已知 f ( ), f ( ),, 求 lim f ( si 3 ) e 4

43 二 比较无穷小量的阶数 例 5 设函数 l( ) si 是等价无穷小, 求, b, k 的值. f b, 3 g ( ) k, 若 f 与 g 在 例 6 当 时, f si 与 g l b 等价无穷小, 则 ( ) A, b. B, b. 6 6 C, b. D, b. 6 6 例 7 确定, b, c, 使得当 时, f ( ) e l( ) bsi c si 为的 的四阶无穷小 三 求 f ( ) () 例 8 求 f ( ) 的 4 阶麦克劳林公式 ( 带皮亚诺余项 ), 并求 f (4) () 4

44 si 3 f ( ) 例 9 设函数 y f ( ) 在 的二阶导数存在, 且 lim( ) 3, 求 3 f ( ) () f (), f (), f (); () lim( ) 例 f ( ) ( ) l( ) 求 f (5) () 四 证明不等式 例 求 f ( ) 在 [,] 上二阶导数存在, 且 f ( ), f () f (), 则 f ( ). 4 例 当 时, 3 l( ). 3 例 3 设函数 y f ( ) 在区间 [,] 上二阶可导, 且 f () f (),m f ( ), 证明在 (,) 中至少存在一点, 满足 f ( ) 6 4

45 第 8 讲导数研究函数的性态 一 单调性 定理 设函数 f 在, b 内可导, 如果恒有 f, 则 f 在 b, 内严格 单调增加 ( 单调减少 ); 如果恒有 f, 则 f 在 b 不增 ), 内单调不减 ( 单调 二 极值 定义 设函数 f 在 b, 内有定义, 是, b 内的某一点, 则如果点 存在一个邻 域, 使得对此邻域内的任一点, 总有 f f ( f f f 为函数 f 的一个极大值, 称 为函数 ), 则称 f 的一个极大值点 ( 极小值点 ); 函数的极大值与极小值统称极值 极大值点与极小值点统称极值点 必要条件 设函数 f 在 处可导, 且 为 f 的一个极值点, 则 f 称满足 f 的 为 f 的驻点 可导函数的极值点一定是驻点, 反之不然 3 第一充分条件 设 f 在 处连续, 在 内可导, 不存在, 或 f f 如果在, 内的任一点 处, 有 f, 而在, 内的任一 点 处, 有 f, 则 f 为极大值, 为极大值点 ; 如果在, 内的任一点 处, 有 f, 而在, 内的任一 点 处, 有 f, 则 f 为极小值, 为极小值点 ; 3 如果在, 内与, 内的任一点 处, f 的符号相同, 那 么 f 不是极值, 不是极值点 43

46 4 第二充分条件 设函数 f 在 处有二阶导数且 f f 当 f 时, 当 f 时,,, 则 f 为极大值, 为极大值点 f 为极小值, 为极小值点 三 最值 求函数 f 在 b, 上的最大值和最小值的方法 : () 求出 f 在 b, 内所有驻点和不可导点,, k, () 计算 f,, f k, f, f b (3) 比较 f,, f k, f, f b, 则 m{,,, ( ), ( )} ;,, M f f f f b k N mi{ f f, f ( ), f ( b)} k 四 凹凸性与拐点 定义 设 f 在区间 I 上连续, 若对任意不同的两点,, 恒有 f f f f f f 或 则称 f 在 I 上是凹 ( 或凸 ) 的 拐点曲线上凹与凸的分界点 3 拐点的必要条件 4 凹凸性的判别和拐点的求法 设函数 f 在, b 内具有二阶导数 f, 44

47 () 如果在, b 内的每一点, 恒有 f, 则曲线 y f 在 b 凹的 ; 如果在 () 当 f, b 内的每一点, 恒有 f, 则曲线 y f 在 b 在某点 的左右邻域内变号时, 则 (, f ( )) 是拐点, 内是, 内是凸的 五 渐近线沿曲线逐渐远离原点时, 曲线与某直线的距离趋于, 则称该直线是渐近线 垂直渐近线 lim f ( ) 或 lim f ( ) 则 为曲线 y f ( ) 的一条垂直渐近线 水平渐近线 lim f ( ) b 或 lim f ( ) b 则 y b 为曲线 y f ( ) 的一条水平渐近线 3 斜渐近线, lim f 若 lim f f b 或 lim, lim f b, 则 y b 是曲线 y f ( ) 的一条斜渐近线 六 曲率 ( 仅限数学, 数学 ) 设曲线 y f ( ), 它在点, M y 处的曲率 k y y 3/ 若 k 为点 M, y 处的曲率半径, 在 M 点的法线上, 凹向这一边取一点 D, 使 MD 称 D 为曲率中心, 以 D 为圆心, R 为半径的圆周称为曲率圆, 则称 R k R, 则 七 函数作图 () 求出 y f ( ) 的定义域, 判定函数的奇偶性和周期性 () 求出 f, 令 f 求出驻点, 确定导数不存在的点. 再根据 f 找出函数的单调区间与极值 (3) 求出 f, 确定 f 的全部零点及 f 不存在的点, 再根据 f 出曲线的凹凸区间及拐点 的符号 的符号找 45

48 (4) 求出曲线的渐近线 (5) 将上述 增减 极值 凹凸 拐点 等特性综合列表, 必要时可用补充曲线上某些特殊点 ( 如与坐标轴的交点 ), 作出函数 y f ( ) 的图形 重点问题归纳 一 单调性 极值和最值问题 例 求 3 f ( ) ( ) 的极值. 3 例 由直线 y, 8 和抛物线 y 围成一个曲边三角形, 在曲边上求一个点, 使 得曲线在该点处的切线与两条直线所围成的三角形面积最大 二 不等式的证明 si 例 3 若, 则. 3 例 4 证明 时, si 6 例 5 设在, 上 f, 则 f, f, f f 或 f f 小顺序是 ( ) (A) f f f f (B) f f f f (C) f f f f (D) f f f f 的大 46

49 三 方程根个数的判定 例 6 讨论方程 e ( ) 根的个数 例 7 证明曲线 y e e 与曲线 y 4 cos 在 (, ) 内恰有两个交点 四 求渐近线 例 8 求 y l( e ) 的渐近线 ; 例 9 曲线 l( y e ), 渐近线的条数为 ( ) (A). (B). (C). (D) 3. 五 曲线凹凸性和函数作图 例 设某可导函数 f ( ) 的导函数图像如下, 求其驻点 极值点和拐点的个数 例 作函数 y = + 的图形. ( - ) 47

50 六 曲率的相关问题 ( t si t) 例 求摆线 在 t 点处的曲率和曲率半径 y ( cos t) 例 3 求曲线 y y 3在 (,) 处的曲率 48

51 第 III 部分 一元函数积分学 大纲要求. 理解原函数的概念, 理解不定积分和定积分的概念.. 掌握不定积分的基本公式, 掌握不定积分和定积分的性质及定积分中值定理, 掌握换元积分法与分部积分法. 3.( 仅数,) 会求有理函数 三角函数有理式和简单无理函数的积分. 4. 理解积分上限的函数, 会求它的导数, 掌握牛顿 - 莱布尼茨公式. 5. 了解反常积分的概念 6.( 仅数,) 会计算反常积分. 7.( 仅数,) 掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量 : 平面图形的面积 平面曲线的弧长 旋转体的体积及侧面积 平行截面面积为已知的立体体积 功 引力 压力 质心 形心等 ) 及函数的平均值. 8. ( 仅数 3) 平面图形的面积, 旋转体的体积, 函数的平均值 一 不定积分的概念 定义 设函数 第 9 讲不定积分 f 和 F 在区间 I 上有定义, 若 F f 在区间 I 上成立. 则称 F 为 f 在区间 I 的原函数, f 在区间 I 中的全体原函数称为 f 不定积分, 记 f d 性质 设 f d F C, 其中 F 为 f () F d F C 或 在区间 I 的 的一原函数, C 为任意常数, 则 df F C () f d f 或 (3) kf d k f d d f d f d (4) f g d f d g d 49

52 二 基本积分公式. d C (, 实常数 ). d l C 3. d C (, ) l e d e C 4. cos d si C 5. si d cos C sec csc d d t C cos d d cot C si 8. t sec d sec C 9. (cot csc ) d csc C. t d l cos C. cot d l si C. sec d l sec t C 3. csc d l csc cot C 4. d C ( ) rcsi d 5. rct C ( ) 6. d l C ( ) 5

53 7. d l C ( ) 重点问题归纳 一 初等函数的不定积分 方法 : 直接积分法 例 d d 例 求() t d () si cos 例 3 si sec d 方法 : 第一换元积分法 ( 凑微分法 ) 定理设 f udu F u C, 又 可导, 则 u 令 f d f d f u du 常用的几种凑微分形式 : F( u) C F C ( () f bd f bd b ) 5

54 () f b d f bd b ( d (3) f l f l d l, ) (4) d f f d d (5) f f d l (6) f d f d ( f e e d f e d e (7) f si cosd f sid si (8) f cos sid f cos d cos (9) f t sec d f t d t () f cot csc d f cot d cot () f sec sec t d f sec d sec () f csc csc cot d f csc d csc (3) (4) f rcsi d f d rcsi rcsi f rccos d f d rccos rccos, ) (5) (6) (7) f rct d f d rct rct f rc cot d f d f d l f C f rc cot rc cot f 5

55 例 4 求下列不定积分 4 () cos d () 5 (3) si cos d (4) 4 (5) sec d (6) 5 cos d si cos 4 4 t d d 例 5 求下列不定积分 e () d () e (3) e d d e e (4) e d 53

56 方法 3: 第二换元积分法 定理设 其中 t t 可导, 且 t, 若 f t t dt G t C, 则 令 t f d f t t dt G t C G C, 为 t 例 6 求下列不定积分 () 3 的反函数 d () d (3) rct d 4 ( ) 方法 4 分部积分法 定理设 u v, 均有连续的导数, 则 u dv u v d u v v du 使用分部积分法时被积函数中谁看作 u 谁看作 v 有一定规律 () p e, p si, p cos 情形, p 行 次分部积分法, 每次均取 e si cos 为 次多项式, 为常数 进,, 为 v ; 多项式部分为 u () p l, p rcsi, p rct 的情形, p 为 次多项式取 p v, 而 l rcsi rct 再考虑其他方法,, 为 为 u, 用分部积分法一次, 被积函数的形式发生变化, (3) e si b, e cosb 情形, 进行二次分部积分法后要移项, 合并 (4) 比较复杂的被积函数使用分部积分法, 要用凑微分法, 使尽量多的因子和 d 凑成 dv 54

57 例 7 3 cos d 例 8 l d( ) 例 9 求下列不定积分 d () () rct e d 3 e e 例 (8, 数学,,3) e rcsi e d 二 有理分式和三角函数的积分 ( 仅数学,) 采用待定系数的方法可以将被积函数分解为多项式与部分公式之和, 形如 积分都可以化为多项式和下面四种类型的积分 : P ( ) d 的 Q ( ) A A M N M N d ; d ; d ; d ; ( p) N ( ) p q ( p q) m M M p 55

58 A. d A l C A A. d ( ) ( ) C M N M N 3. d ; d ; p q ( p q) u 将分母配方, 分子适当变形, 即可变成形如 du 与 du u 的形式, 然后再 u 分项积分 三角函数经过有限次的四则运算所构成的函数称为三角函数有理式, 记为 R(si,cos ) 作万能变换, 令 t t, 则 t t si t t t t cos t t 那么 例 t t dt R(si, cos )d R(, ) t t t si d si ( cos ) cos 例 d (3 si cos ) 56

59 三 抽象函数的不定积分 例 3 已知 si 是 f ( ) 的原函数, 求 f ( ) d 例 4 已知 f ( ) d F( ) C, f ( ) 可微, 且反函数 f f ( ) d f ( ) F f ( ) C ( ) 存在, 则 f ( ) f ( ) f ( ) 例 5 [ ] d 3 f ( ) f ( ) 例 6 设 I t d, 证明 I t I, 并求 I5 57

60 第 讲定积分的概念 性质和计算一 定积分的概念 定义: f 在 b, 上有界, 分割 :, b任意划分为 个小区间 : i i b d m i i, i i i 记 i 近似 : f,, 求和 : f i i i i i i d i 求极限 : lim f i i i i 若极限存在, 则称之为 b f 在, b的定积分, 记作 f d. () 定积分的几何意义 () 定积分的物理意义 3 定积分的存在定理 ( 可积条件 ) () 充分条件 :, b 上的连续函数或只有限个第一类间断点的有界函数都是可积函数 () 必要条件 : b 可积函数必有界 即若 f ( ) d 存在, 则 f ( ) 在 [, b ] 上必有界 二 定积分的性质 b () b f d f d () f d b b b (3) k f k f d k f d k f d 58

61 b b (4) c b f d f d f d ( c 也可以在 b c (5) b f g b,, 则 b b f d g d, 之外 ) b (6) b, m f M b, 则 mb f d M b (7) 设 b b b, 则 f d f d ( 8 ) 积分中值定理 : 设 f 在, b 上连续, 则存在 b f d f b 注意 : 中值定理对于 b b. 积分平均值 (9) 奇偶函数的积分性质 : f 为奇函数, 则 f d f 为偶函数, 则 b,, 使 或都成立称 b f d 为 f 在 b f d f d () 周期函数的积分性质设 f 以 T 为周期, 为常数, 则 T T T f d f d T f d f d, 上的 三 定积分的基本定理 定义 f 在, b上可积, 则 F f t dt b 变限积分的相关定理,, 称为变上限积分的函数 () 若 f 在, b上可积, 则 F f t dt 在 b, 上连续 ; ( ) 若 f 在, b 上连续, 则 F f t dt 在 b F f ;, 上可导, 且 (3) 若 为 f () 的第一类间断点, 则 F ( ) f ( ), F ( ) f ( ) 59

62 ( ) (4) 设 F f t dt,, 可导, f 3 牛顿 莱布尼茨公式 设 ( ) f 在, b上可积, 连续, 则 F f f b F 为 f 在 b b f d F F b F, 上任意一个原函数, 则有 四 反常积分 无穷区间上的反常积分 常积分 将积分区间推广到无穷区间, 被积函数 f 推广到无界函数, 就是两种不同类型的反 定义 : () lim b f d f d b 若极限存在, 则称反常积分 f d 是收敛的, 它的值就是极限值 ; 若极限不存在, 则称反常积分 f d 是发散的, 而发散的反常积分没有值的概念. b b () lim f d f d 同样有收敛和发散的概念, 收敛的反常积分有值的概念. c (3) c b f d f d f d lim lim c b c f d f d 注意 : 判断 f d 的收敛性不能用 f Rlim R R d c f d 和 f d 两个反常积分都收敛, 才能知道 f c 如果已经知道 f d 是收敛的, 而求它的值, 那么计算 f 的极限存在性. 必须要求 d 是收敛的, 但是 Rlim R d 是可以的. R 常用公式 d p, p 收敛, p p 发散, 6

63 e d (l ) du, p 收敛, p p 发散, p p u k e 收敛 ( >) d 发散 ( ),( k ) 五 反常积分 瑕积分 定义 设 f 在 [ b), 内连续, 且 lim f b, 则称 b 为 f 的瑕点, 定义 b b f d lim f d, o 若极限存在, 则称反常积分 b b 称反常积分 f d 发散, 发散的反常积分没有值的概念. 设 f 在 ( b] f d 收敛, 且它的值就是极限值. 若极限不存在, 则, 内连续, 且 lim f b b 定义 lim f d f d b, 则称 为 f 的瑕点, 若极限存在, 则称反常积分 f d 收敛, 且它的值就是极限值, 若极限不存在, 则称反常积分 b f d 发散 3 设 f 在 [, c) 和 ( c b], 皆连续, 且 lim f C, 则称 c 为 f 的瑕点, b c b C b 定义 lim lim f d f d f d f d f d c C 常用公式 d 收敛 ( q< 时 ) q 发散 ( q 时 ) d d 类似地考虑 和 ( ) q q 6

64 重点问题归纳 一 定积分定义求极限 一般的, 应掌握下面的公式 : b b b f ( ) d lim f ( i) i i 特别的, f d lim f, i 例 lim 3 i i e i i 例 lim l( ) i 例 3 lim i i 6 i 例 4 lim si ( ) i 6

65 二 变限积分的相关问题 例 5 设 ( ) f 连续, 且 ( t ) f t dt, 求 例 6 设 f 可导, 且 lim f ( ), 求 3 lim t si f ( t) dt t t e dt cos 例 7 lim. 例 8 设 f ( ) 在 (, ) 内连续, 且 f ( ) 为单调增加函数.. 证明函数 F( ) tf ( t) dt f ( t) dt 在 (, ) 内 三 定积分的计算 定积分在计算时, 当然可以先求出一个原函数, 再由牛 - 莱公式, 求出定积分 但定积分 计算有自己的特点和方法 主要包括换元积分法和分部积分法. 定积分的换元积分法 设 f 在, b上连续, 若变量替换 t () t 在, ( 或, ) 上连续 ; 满足 63

66 (). 定积分的分部积分法 设 u, v 在 b, b, 且当 t 时, t b, 则 b b f d f t t dt, 上连续, 则 b b u v d u v u v d b 或 u dv b b u v v du 类型 初等函数的定积分 例 9 求下列定积分 () 3 rct d () l e d si 例 ( )d. cos 类型 分段函数的定积分 例 计算下列定积分 3 () () 3 d mi, d 64

67 类型 3 抽象函数的定积分 例 f ( ) si t dt, 求 t f ( ) d. 类型 4 重要公式 例 3 设 f ( ) 在 [,] 上连续, 证明 ; () f (si ) d f (cos ) d () f (si ) d f (si ) d ; si (3) 计算 d cos 例 4 求 I si d cos d. 4 例 5 4 d. 65

68 四 反常积分计算 例 6 下列反常积分收敛的是 ( ) (A) d (B) l d (C) l d (D) d e 例 7 求下列反常积分的值. () e d cos d. () ( ) 例 8 设 ( ) ( ) 3 f ( ) f ( ), 求 I d. 3 ( ) f ( ) 66