Microsoft Word - 中山大学历年考研试题-数学分析（1999~2010）

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1 中山大学历年考研试题 - 数学分析 (999-) 中山大学 年硕士研究生入学考试试题 考试科目 : 数学分析科目代码 :65 一 ( 每小题 6 分, 共 48 分 ) () 求极限 lim ( ) ( ) ; () 求不定积分 ma(,) d ; si t () 已知 f ( ) dt, 求定积分 ( ) t f d ; (4) 求二元函数极限 lim( ) ; (5) 求二次积分 d e d ; d d (6) 计算 I, 其中 L 为一条无重点 分段光滑且不经过原点的连续封闭 曲线, L 的方向为逆时针方向 ; L ( cos )si (7) 讨论函数项级数 在 [, ] 上的一致收敛性 ; (8) 计算 S ds, 其中 S 为曲面 z 与平面 z 所围几何体的表面 ( ) 二 ( 分 ) 单位圆盘中切去圆心角为 的扇形, 余下部分粘合成一锥面 问 为多少时, 该锥面加上底面所围的椎体体积最大? f ( ) 三 (6 分 ) 设 f ( ) 在 某邻域内有二阶连续导数, 且 lim, 证明 : 绝对收敛 f p ( ) si,, 四 (6 分 ) 设 f (, ), 其中 p 为正数 试分, 别确定 p 的值, 使得如下结论分别成立 : () f (, ) 在点 (,) 处连续 ; () f (,) 与 f (,) 都存在 ; () f (, ) 与 f (, ) 在 (,) 点连续 z 五 (6 分 ) 计算由曲面,(,, z, a, b, c ) 所围 a b c 几何体之体积, 其中 a, b, c 为正常数

2 中山大学历年考研试题 - 数学分析 (999-) 六 (6 分 ) 求幂级数 的收敛范围, 并求其和函数! u u u 七 (6 分 ) 设 u f ( r), 其中 r z 变换方程 : z 其成为关于 f ( r ) 的方程, 使 八 ( 分 ) 判断级数 的收敛性 中山大学 6 年硕士研究生入学考试试题 考试科目 : 数学分析科目代码 :69 一 (6 分 ) 证明 : 当 时, 存在 ( ) (,), 使得 ( ), 并求 lim ( ) 和 lim ( ) 二 (6 分 ) 设 S 由两条抛物线 与 在 S 内, 试确定 a, b ( a, b ) 使椭圆面积最大 所围成的闭区域, 椭圆 a 三 (6 分 ) 判别下列级数和广义积分的收敛性, 条件收敛还是绝对收敛 si () ( ) ; () [ l( )]d b 四 (6 分 ) 求 I ( ) ddz ( ) dzd ( ) dd, 其中 是单叶双曲 面 z 在 z 的部分, 取外侧 五 (6 分 ) 设函数列 ( ) 满足 : () ( ) 是 [,] 上的可积函数列, 且在 [,] 一致有界 ; () 任意 (,) c, ( ) 证明 : 对任意 [,] 上的连续函数 f ( ), 有 在 [, c] 和 [ c,] 一致收敛于零 lim [ f ( ) f ()] ( ) d

3 中山大学历年考研试题 - 数学分析 (999-) 一 ( 每小题 6 分, 共 48 分 ) 中山大学 9 年硕士研究生入学考试试题 考试科目 : 数学分析科目代码 :65 cost d () 求 lim( l( )) ; () t si u, 求 du d ; u l () 求 d ; (4) 求 l a e d, a ; t dz (5) 设 z uv si t, u e, v cost, 求 dt ; (6) 设 u ( ( )), 其中 二阶可微, 为自变量, 求 d u ; (7) 求级数 cos 在收敛域上的和函数 ; (8) 判别级数 的敛散性 二 ( 分 ) 将区间 [, ] 作 等分, 分点为, 求 lim ( ) d ( ) d 三 (6 分 ) 计算 I, 其中, L 是从点 A(,) 到点 B (,) 的一 L 条不通过原点的光滑曲线 : f ( ), [,], 且当 (,) 时, f ( ) 四 (6 分 ) 计算 ddz dzd z dd 和 z h( h ) 之间的部分取下侧, 其中 为曲面 z 介于平面 z 五 (6 分 ) 设 f ( ) 在 [, ) 连续, f ( ), f ()=, f () 证明 f ( )= 在 (, ) 有且仅有一个实根 六 (6 分 ) 设函数 f ( ) 在 (, ) 连续, 试证 : 对一切 满足 f ( ) f ( ) e 条件是 f ( ) f () e 的充要 z 七 (6 分 ) 求椭圆面 在一卦限部分的切平面与三坐标平面围成的四面 a b c 体的最小体积 cos( l ) 八 ( 分 ) 讨论 的敛散性

4 中山大学历年考研试题 - 数学分析 (999-) 一 ( 每小题 6 分, 共 48 分 ) () 求 lim + 中山大学 8 年硕士研究生入学考试试题 考试科目 : 数学分析科目代码 :66 ; () 求 si d ; e d + e () 求 ; (4) 求 ( l ) d ; ( e ) (5) 方程 z f (, ) ( z) 确定函数 z z(, ), 求全微分 dz ; (6) 求曲线 (7) 求二重积分 (8) 判别级数 (4 ) 所围图形的面积 ; u D ( ) dd, 其中 D {(, ) } ; a b 的敛散性, 其中 u!!!,,, ( )! 二 (6 分 ) 求函数 f ( ) e 的导函数, 以及函数 f ( ) 的极值 三 ( 分 ) 设 f ( ) 在 [,] 上有一阶连续导数, 且 f () f (), 记 M ma f ( ) 求证 : f ( ) d M 4 ( ), (, ) (,) / 四 (8 分 ) 设函数 f (, ) ( ), 证明 :, (, ) (,) () f (, ) 在原点处连续 ; () f (, ) 在原点的偏导数 f (,) 和 f (,) 存在 ; () f (, ) 在原点不可微 五 (6 分 ) 求曲面 z 上与原点最近的点的坐标 i j 六 (6 分 ) 设 F, 曲线 L 由圆 和椭圆 4 组成, 方向均为逆 时针方向, 求 F ds L 4

5 中山大学历年考研试题 - 数学分析 (999-) 七 (6 分 ) 求函数项级数 的和函数, 并讨论在 (, ) 上的一致收敛性 ( ) 八 ( 分 ) 研究级数 + 的敛散性 一 (6 分 ) 设 处处存在 中山大学 5 年硕士研究生入学考试试题 考试科目 : 数学分析科目代码 :7 e (si cos ), f ( ), 确定常数 a, b, c, 使得 f ( ) 在 (, ) a b c, 二 (6 分 ) 设 a si ( ), 试确定参数 a, 使得曲线 asi 和它在点 (,) 法线方程, 以及 轴所围成区域的面积最小 三 (6 分 ) 计算曲面积分 ( a) 绕 轴旋转而成的曲面的外侧 ddz dzd zdd, 其中 s 是曲线 ( ) 8 4 S 四 (6 分 ) 求函数项级数 l( ) 的收敛域, 并证明该级数在收敛域是一致收敛 的 五 (6 分 ) 设 f ( ) 在有限区间 ( a, b ) 有定义, 试证 f ( ) 在 ( a, b ) 一致连续的充要条件是 : 若 是 ( a, b ) 中的收敛列, 则 f ( ) 也是收敛列 e 的 5

6 中山大学历年考研试题 - 数学分析 (999-) 中山大学 7 年硕士研究生入学考试试题 考试科目 : 数学分析科目代码 :75 一 ( 每小题 6 分, 共 6 分 ) 计算 si () d ; () arcsi e d si cos ; e () lim + e ; (4) lim( cos ) ; (5) 设 z z(, ) 由方程 z e e 确定, 求 ; (6) 求曲面 z 6 在点 (,,) 处的切平面方程 二 ( 每小题 6 分, 共 4 分 ) 判断下列级数或广义积分的收敛性, 条件收敛还是绝对收敛 (l ) () ( ) ; () (l ) ( si ) ; () e d ; (4) l d ( ) a(cost si t) 三 (4 分 ) 求平面曲线 上对应于 t t 点的法线方程, 并讨论曲线在 a(si t tcos t) t (, ) 一段的凹凸性 四 (8 分 ) 设函数 (, ), (, ) f (,) 在 P (,) 点处, (, ) (,) () 连续性 ; () 可微性 ; () 沿 l (cos,si ) 方向导数的存在性 五 (4 分 ) 计算曲线积分 右手系 六 (8 分 ) 对幂级数 () 求收敛域 ; () 求和函数 ;, 其中曲线 c : c zd ( ) z z, 其方向与 z 轴构成 6

7 中山大学历年考研试题 - 数学分析 (999-) () 讨论幂级数在收敛域上的一致收敛性 七 ( 每小题 8 分, 共 6 分 ) 在 O 平面上, 光滑曲线 L 过 (,) 点, 并且曲线 L 上任意一 点 P(, )( ) 处的切线斜率与直线 OP 的斜率之差等于 a ( a 为常数 ) () 求曲线 L 的方程 ; () 如果 L 与直线 a 所围成的平面图形的面积为 8, 确定 a 的值 八 ( 分 ) 设 f ( ) 在 [,] 连续, 令 t f ( t) f ( ) d, t [,],,, 证明函数列 { f ( t )} 在 [,] 一致收敛于函数 g( t) tf () 中山大学 4 年硕士研究生入学考试试题 考试科目 : 数学分析科目代码 :7 一 (6 分 ) 讨论 f ( ) ( t )( t ) dt 在 [,5] 的极值与最值 z 二 (6 分 ) 已知方程 si( ) si( z) 确定隐含数 z z(, ), 求 三 (6 分 ) 计算 l ( ) d d C 域的正向边界, 其中 C 为四条直线, 四 (6 分 ) 求极限 lim ( ) 五 (6 分 ) 设函数 f (, ) 在 a A, b B 所围区 上连续, 而函数列 ( ) 在, a A 一 致收敛, 且 b ( ) B,(,,) 证明函数列 F ( ) f (, ( )), (,,), 在 a, A 也一致收敛 7

8 中山大学历年考研试题 - 数学分析 (999-) 中山大学 年硕士研究生入学考试试题 考试科目 : 数学分析科目代码 : 一 选择题 ( 单选题, 每小题 分, 共 4 分 ) 下列说法中, 正确的是 (A) 若 (B) 若 (C) 若 (D) 若 无界, 则 lim 无界, 则 发散 单调有上界, 则 收敛 和 都是无穷大量, 则 函数在下述哪一区间上非一致连续 是无穷大量 (A) ( a, a), 其中 a (B) ( c,), 其中 c (C) (, ) (D) (, ) cos, 已知函数 f ( ),, 则 f ( ) 在 点 l( ), e (A) 连续 (C) 右连续, 但不左连续 4 下列命题中, 正确的是 (A) 正项级数 (B) 若 limu 无界, 则 (B) 左连续, 但不右连续 (D) 既不左连续, 也不右连续 u 收敛的充要条件是其部分和数列 S u 收敛 (C) 若 lim f ( ), 则 f ( ) d 收敛 (D) 若正项级数 u a u 满足 (,, ), 则 u u 有上界 收敛, 5 已知函数 f (, ), 则 f (, ) 在点 (,), (A) 可微 (B) 连续, 但偏导数不存在 8

9 中山大学历年考研试题 - 数学分析 (999-) (C) 不连续, 但偏导数存在 (D) 连续且偏导数存在, 但不可微 6 设曲线 l 为 R ( R ) 在二象限的部分, 则曲线积分 ds l (A) R (B) R (C) R (D) R 7 设 D 是椭圆 ( a, b ) 所围成的有界闭区域, 则积分 a b D dd (A) (B) (C) ab (D) ab 8 设 C 是由 和 所围成区域 D 的正向边界, 则曲线积分 d d C (A) (B) (C) (D) 二 填空题 ( 每小题 分, 共 分 ) lim si tdt 4 螺旋线 R cos t, R si t, z kt 在点 ( R,,) 处的法平面方程为 设 f ( t ) 是二阶可微函数, u f ( z ), 则 u 4 级数 ( ) 的收敛区域为 三 (6 分 ) 求幂级数 的和函数 又 的和为多少 4? 四 ( 6 分 ) 计算曲面积分 I ddz z dzd z dd, 其中 S 是由曲面 z 与, 平面围成的有界区域的边界的外侧 S 五 ( 分 ) 设 f (, ) 在 P (, ) 点连续, g(, ) 在 P (, ) 点可微, g(, ) h () 证明 h(, ) f (, ) g(, ) 在 P (, ) 点偏导数存在, 并求 h, P P f (, ) f (, ) g(, ) () 证明 lim, 其中 ( ) ( ) 六 ( 分 ) 设 f ( ) 在 [ a, ) 一致连续, ( ) 在 [ a, ) 连续, 且 lim[ f ( ) ( )] 证明 ( ) 在 [ a, ) 一致连续 ; 9

10 中山大学历年考研试题 - 数学分析 (999-) 中山大学 年硕士研究生入学考试试题 考试科目 : 数学分析科目代码 :44 一 选择题 ( 单选题, 每小题 分, 共 4 分 ), 当 设函数 f ( ) A, 当 在 点连续, 则 A (A) (B) (C) (D), 当 已知函数 f ( ), 那么 cos, 当 (A) 左导数 f () 和右导数 f () 都存在 (B) 左导数 f () 和右导数 f () 都不存在 (C) 左导数 f () 不存在, 但右导数 f () 存在 (D) 左导数 f () 存在, 但右导数 f () 不存在 si 设 f ( ) t t dt ( ), 则 f ( ) (A) (C) si si cos (B) cos (D) si si cos cos 4 幂级数 ( ) ( ) 的收敛域是 (A) (,] (B) (,] (C) (,] (D) [,) ( )si, 5 已知函数 f (, ), 则, (A) f (,), f (,) (B) f (,), f (,) 不存在 (C) f (,) 不存在, f (,) (D) f (,) 和 f (,) 都不存在 6 设 S 为球面 z R, 则曲面积分 S ds z

11 中山大学历年考研试题 - 数学分析 (999-) (A) R (B) 4 R (C) 7 设 S 为球面 z R 的外侧, 则曲面积分 (A) 4 R (B) 4 R (C) R (D) 4 R S 4 R ddz dzd zdd (D) R 8 设 L 是球面 z R 与平面 z 相交的圆周, 从 轴正向看去圆周 沿逆时针方向, 则曲线积分 (A) R (B) zd d L R (C) R (D) R 二 填空题 ( 每小题 分, 共 分 ) lim( ) 由直线, 和曲 si, cos 线所围成图形的面积是 z 方程 e z 确定 z 是 的函数, 则 z 4 级数 ( ) 的和函数是 e e ( e ) 三 (6 分 ) 求极限 lim si ( si ) 4 四 (6 分 ) 计算三重积分 I ( z) dddz, 其中 V 为椭球 z a b c ( a, b, c ) V 五 (6 分 ) 若 lim g( ) u, 且函数 f ( u ) 在点 u u 连续, 求证 : lim f ( g( )) f ( u) 六 (6 分 ) 设函数序列 { f ( )} 在开区间 ( a, b ) 上一致收敛于 f ( ), 且 f ( ) (,, ) 都在 ( a, b ) 上一致连续, 求证 f ( ) 在 ( a, b ) 上一致连续

12 中山大学历年考研试题 - 数学分析 (999-) 中山大学 年硕士研究生入学考试试题 考试科目 : 数学分析科目代码 :444 一 选择题 ( 单选题, 每小题 分, 共 4 分 ) 则 t t t 设 a, f ( ) ( ) dt, g( ) ( ) dt a t, h( ) ( ) dt a t, a t (A) f ( ) g( ) h( ) (B) f ( ) h( ) g( ) (C) h( ) g( ) f ( ) (D) g( ) f ( ) h( ) 给出等式 : () ( ) d si cos, () () l( ) dd, 其中 D 为矩形 [,;,] D S e z, dd, 其中 S 为球面 z 的外侧, 则上述等式中正确的个数是 : (A) (B) (C) (D) 设 为不超过 的最大整数, 又 则 ( ) l [si ], (,], (,] f ( ), g( ) ( ) l( ),,, (A) f ( ) 和 g( ) 都在 [,] 可积 (B) f ( ) 和 g( ) 都在 [,] 不可积 (C) f ( ) 在 [,] 可积, 但 g( ) 都在 [,] 不可积 (D) g( ) 在 [,] 可积, 但 h( ) 都在 [,] 不可积 4 设,,, 则级数 ( ) 收敛的充分条件是 (A) lim (B) 收敛

13 中山大学历年考研试题 - 数学分析 (999-) (C) { } 单调上升有上界 (D) { } 单调下降 5 设 F( ) l, 则级数在 (,] 上 (A) 一致收敛且 F( ) 在 (,] 连续 (B) 一致收敛但 F( ) 在 (,] 不连续 (C) 不一致收敛且 F( ) 在 (,] 不连续 (D) 不一致收敛但 F( ) 在 (,] 连续 t ( ) 6 设 F( ) e dt, [, ), 则 F( ) 在 [, ) 上 (A) 严格单调递增 (C) 非单调 (B) 严格单调递减 (D) 恒为常数 7 已知正值函数 z z(, ) 有关系式 z(, ) z z ( ( ) ( ) ), 则函数 z(, ) (A) 既有最大值也有最小值 (C) 有最小值但无最大值 8 下列命题中正确的是 (B) 有最大值但无最小值 (D) 既无最大值也无最小值 (A) 若 f (, ) 和 f (, ) 在点 (,) 都存在, 则 f (, ) 在点 (,) 连续 ; (B) 若 f (, ) 和 f (, ) 在点 (,) 的某邻域内都存在且有界, 则 f (, ) 在点 (,) 可微 ; (C) 若 f (, ) 在点 (,) 存在, f (, ) 在点 (,) 连续, 则 f (, ) 在点 (,) 可 微 ; (D) 若 f (, ) 在点 (,) 可微, 则 f (, ) 和 f (, ) 在点 (,) 连续 二 填空题 ( 每小题 分, 共 分 ) sit e 函数 ( ) 由 所确定, 则曲线 ( ) 在对应于 t 处的切线方 t t si t 程为 用极坐标表示的心脏线 r cos 所围图形的面积是 f ( ) 设 f ( ) 在 点有二阶导数, 且 lim l( ), 则 f ( ) 在点 的 二阶泰勒展开式 ( 带皮亚诺余项 ) 为 4 改变累次积分 d f (, ) d 的顺序后的累次积分为

14 中山大学历年考研试题 - 数学分析 (999-) u u 三 (6 分 ) 设函数 u f (, ) 有二阶连续偏导数, 且满足拉普拉斯方程 s t u u 证明在变换, 下形状保持不变, 即仍有 s t s t s t z 四 ( 6 分 ) 计算曲面积分 I ( ) ddz ( a, b, c ), 其中 S 是椭球面 S a b c z 的外侧 a b c, 五 (6 分 ) 设正项级数 a 收敛, 且数列 { a } 单调下降, 证明 :lim a 六 (6 分 ) 设 f ( ) 在 (, ) 上可导, 且 lim f ( ) A 证明 lim f ( ) 中山大学 年硕士研究生入学考试试题 考试科目 : 数学分析科目代码 :7 一 (6 分 ) 求 f ( ) a l 在 (, ) 上的极值 ; 求方程 a l 有两个正实根的条件, S 为 V : 二 (6 分 ) 计算 ( ) dd ( z) ddz S 的表面外侧 z u u 三 (6 分 ) 设 f ( t ) 在 [,] 连续, u(, ) f ( t) t dt,,, 求, 四 (6 分 ) 求极限 lim t ( si t ) ( ) t ( e ) t t dt 五 (6 分 )() 证明级数 在 [, ) 一致收敛 ; () 令 f ( ), [, ), 证明 f ( ) 在 [, ) 一致连续 4

15 中山大学历年考研试题 - 数学分析 (999-) 中山大学 999 年硕士研究生入学考试试题 考试科目 : 数学分析科目代码 :,,4,5 一 选择题 ( 单选题, 每小题 分, 共 4 分 ) si( ),, 设 f (, ), g(, ), 则,, (A) f 和 g 都在 (,) 点连续 (B) f 和 g 都在 (,) 点不连续 (C) f 在 (,) 点连续, 但 g 在 (,) 点不连续 (D) f 在 (,) 点不连续, 而 g 在 (,) 点连续 方程 a l 在 有两个实根的充要条件是 (A) a (B) a e e (C) a e (D) a e 设 f ( ) 在 [, ) 上单调递增, 且只有有限个间断点, 则函数 (, ) 上 F( ) f ( t) dt 在 (A) 连续且单调 (C) 单调但不连续 (B) 连续但不单调 (D) 既不连续, 也不单调 4 心脏线 r a( cos ) ( ) 的弧长是 (A) a (B) 4a (C) 8a (D) 6a 5 设 lim a a, 且 a a (,, ), 则级数 (A) 绝对收敛 (C) 发散 (B) 条件收敛 a a (D) 可能收敛亦可能发散 6 设 u f (, ) 在 (, ) 点的某邻域内有定义, 则下列命题中正确的是 (A) 若 f (, ) 在 (, ) 沿任意方向的方向导数都存在, 则 f (, ) 和 f (, ) 都存在 (B) 若 f (, ) 和 f (, ) 都存在, 则 f (, ) 在 (, ) 连续 (C) 若 f (, ) 存在, 且 f (, ) 在 (, ) 连续, 则 f (, ) 在 (, ) 可微 5

16 中山大学历年考研试题 - 数学分析 (999-) (D) 若 f (, ) 在 (, ) 可微, 则 f (, ) 和 f (, ) 在 (, ) 都连续 7 下列命题中正确的是 (A) 若 f ( ) 在 [ a, b ] 单调, 且 f ( a) f ( b), 则存在 ( a, b), 使 f ( ) b (B) 若 f ( ) 在 [ a, b ] 可积, 且 f ( ) d, 则存在 ( a, b), 使 f ( ) a (C) 若 f ( ) 在 ( a, b ) 可导, 且 f ( a) f ( b), 则存在 ( a, b), 使 f ( ) (D) 若 f ( ) 在 ( a, ) 可导, 且 lim f ( ) lim f ( ) A, 则存在 ( a, ), 使 f ( ) a 8 设函数 z z(, ) 由方程 ( ) ( z) ( z ) 所确定, 则 (A) (, ) 和 (, ) 都是它的极大值点 (B) (, ) 和 (, ) 都是它的极小值点 (C) (, ) 是极大值点, 而 (, ) 是极小值点 (D) (, ) 是极小值点, 而 (, ) 是极大值点 二 填空题 ( 每小题 分, 共 分 ) p lim b 设 f ( ) l( a) 当 时是 的三阶无穷小, 则 a,b 设 u e,l 是曲线, 且沿逆时针方向, 则 gradu dl 4 ( ) 4 ( )! t t( e ) dt 三 (6 分 ) 求极限 lim 4 si 四 (6 分 ) 计算曲面积分 I z 内的部分 zds S, 其中 S 为球面 L z R 夹在圆锥 五 (6 分 ) 设 S( ) (,, ) 定义在 [ a, b ) 上, 且在点 a 右连续, 但 { S ( a )} 发散 证 明在任何开区间 ( a, a ) ( 这里 b a ) 内,{ S ( )} 都不一致收敛 6

17 中山大学历年考研试题 - 数学分析 (999-) 六 (6 分 ) 设在 [ a, ) 上 g( ), 且 g( ) 和 f ( ) 在任意有限区间 [ a, b ] 上可积, 而 a f ( ) f ( t) dt a g( ) d 发散, 又 lim, 证明 lim g( ) g( t) dt a 7