考 研 数 学 三 部 曲 之 大 话 高 等 数 学 0. 考 研 数 学 高 等 数 学 部 分 其 实 就 是 一 座 大 楼 房 间 80 房 间 80 第 八 层 房 间 80 房 间 804 房 间 805 房 间 70 房 间 70 房 间 70 第 七 层 房 间 704 房 间 7

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1 第 0 章 超 级 导 读 ( 必 看 ) 本 书 共 8 章, 此 章 虽 不 讲 具 体 的 知 识 点, 但 其 地 位 是 相 当 重 要 的 因 此, 强 烈 建 议 大 家 阅 读 本 章 的 内 容

2 考 研 数 学 三 部 曲 之 大 话 高 等 数 学 0. 考 研 数 学 高 等 数 学 部 分 其 实 就 是 一 座 大 楼 房 间 80 房 间 80 第 八 层 房 间 80 房 间 804 房 间 805 房 间 70 房 间 70 房 间 70 第 七 层 房 间 704 房 间 705 房 间 706 房 间 707 房 间 60 房 间 60 第 六 层 房 间 60 房 间 604 房 间 605 房 间 50 房 间 50 第 五 层 房 间 50 房 间 504 房 间 40 房 间 40 第 四 层 房 间 40 房 间 404 房 间 405 房 间 0 房 间 0 第 三 层 房 间 0 房 间 04 房 间 05 房 间 0 房 间 0 第 二 层 房 间 0 房 间 04 房 间 05 房 间 0 房 间 0 房 间 0 第 一 层 房 间 04 房 间 05 房 间 06

3 第 0 章 超 级 导 读 ( 必 看 ) 图 中 是 一 座 大 楼, 这 座 大 楼 共 八 层 第 层 有 六 个 房 间, 第 层 有 五 个 房 间, 第 层 有 五 个 房 间, 第 4 层 有 五 个 房 间, 第 5 层 有 四 个 房 间, 第 6 层 有 五 个 房 间, 第 7 层 有 七 个 房 间, 第 8 层 有 五 个 房 间 你 是 一 名 工 人, 房 地 产 开 发 商 要 求 你 在 一 片 空 地 上 盖 这 么 一 座 大 楼, 并 且 你 和 开 发 商 签 了 合 同, 合 同 中 规 定 了 停 工 日 期 只 要 到 了 停 工 日 期, 无 论 你 盖 完 没 盖 完, 你 都 不 能 再 盖 了, 必 须 接 受 开 发 商 的 检 查 开 发 商 比 较 懒, 他 并 不 真 正 来 工 地 一 个 一 个 门 牌 号 的 依 次 检 查, 而 是 把 你 叫 到 办 公 室, 然 后 问 你 关 于 其 中 几 个 房 间 的 构 造 是 什 么 样 的 比 如, 你 到 了 他 办 公 室 后, 他 可 能 会 问 三 个 问 题 ( 当 然 有 可 能 问 更 多 的 问 题 ) 你 介 绍 一 下 房 间 0 和 房 间 0 的 构 造 ; 你 介 绍 一 下 房 间 04 的 构 造 ; 你 介 绍 一 下 房 间 50 和 房 间 60 的 构 造 这 三 个 问 题 如 果 你 都 答 得 让 他 满 意, 他 会 认 为 你 已 经 把 大 楼 完 全 盖 好 了, 于 是 他 会 给 你 三 十 万 元 作 为 奖 励 ; 如 果 你 其 中 一 个 问 题 没 有 答 出 来, 只 答 出 了 两 个 问 题, 他 会 给 你 二 十 万 元 ; 如 果 你 只 答 出 了 一 个 问 题, 他 就 只 给 你 十 万 元 ; 如 果 你 一 个 问 题 都 没 答 出, 他 会 非 常 生 气, 认 为 你 根 本 没 盖, 一 分 钱 也 不 给 你 以 上 这 段 话 我 想 说 什 么 呢, 请 继 续 往 后 看 大 楼 : 考 研 数 学 高 等 数 学 这 个 学 科 ; 大 楼 的 每 层 : 指 考 研 数 学 高 等 数 学 这 个 学 科 的 每 一 章 ; 每 层 的 房 间 数 量 : 每 一 章 的 考 点 数 量 ; 房 地 产 开 发 商 : 考 研 数 学 高 等 数 学 部 分 的 命 题 人 ; 工 人 : 你 自 己 ; 停 工 日 期 : 考 试 的 日 期 ; 开 发 商 的 办 公 室 : 考 研 考 场 ; 开 发 商 问 你 的 问 题 : 考 研 数 学 高 等 数 学 部 分 的 题 目 ; 开 发 商 给 你 的 钱 : 考 研 数 学 高 等 数 学 部 分 的 得 分 有 了 这 些 对 应 关 系 后, 我 把 前 面 的 一 大 段 话 换 一 种 方 式 叙 述 一 遍 考 研 数 学 高 等 数 学 部 分 的 知 识 可 以 分 为 8 章 第 章 有 六 个 考 点, 第 章 有 五 个 考 点, 第 章 有 五 个 考 点, 第 4 章 有 五 个 考 点, 第 5 章 有 四 个 考 点, 第 6 章 有 五 个 考 点, 第 7 章 有 七 个 考 点, 第 8 章 有 五 个 考 点 考 研 命 题 人 规 定 了 考 研 的 日 期 日 期 一 到, 不 管 你 有 没 有 复 习 完, 都 要 去 考 场 参 加 考 试 在 考 试 中, 你 也 许 会 在 卷 子 上 遇 到 三 道 ( 当 然, 有 可 能 更 多 ) 高 等 数 学 的 题, 比 如 : 第 一 题 : 考 到 的 是 第 章 的 考 点 和 第 一 章 的 考 点 ; 第 二 题 : 考 到 的 是 第 章 的 考 点 4; 第 三 章 : 考 到 是 第 5 章 的 考 点 和 第 六 章 的 考 点 这 三 个 问 题 你 如 果 都 答 对 了, 你 就 得 满 分 否 则 你 将 会 被 扣 掉 相 应 的 分

4 考 研 数 学 三 部 曲 之 大 话 高 等 数 学 0. 我 帮 你 盖 楼 亲 爱 的 同 学, 相 信 你 看 完 上 一 小 节 后, 已 经 对 你 即 将 要 盖 的 这 座 考 研 数 学 高 等 数 学 大 楼 有 了 最 初 步 的 认 识 而 我, 是 一 个 小 有 名 气 的 建 筑 师, 我 将 和 你 一 起 盖 好 这 座 八 层 的 大 楼 无 论 如 何, 请 相 信 我 一 句 话 : 不 管 你 的 建 筑 功 底 如 何, 哪 怕 你 是 学 音 乐 美 术 的, 对 建 筑 一 窍 不 通 只 要 你 愿 意 接 受 我 的 帮 助, 我 可 以 保 证 你 把 这 座 八 层 的 大 楼 盖 得 金 碧 辉 煌, 我 更 可 以 保 证 你 在 面 对 开 发 商 的 询 问 时, 对 答 如 流 也 许 我 上 面 的 话 太 啰 唆 好, 那 我 说 直 白 点 : 任 何 人, 记 住 是 任 何 人, 只 要 具 有 高 中 的 数 学 基 础, 只 要 你 认 真 看 此 书, 那 么, 考 研 数 学 高 等 数 学 部 分 得 满 分 是 十 分 容 易 的 0. 第 章 到 第 8 章 的 内 容 下 面 我 说 一 下 本 书 第 章 到 第 8 章 的 内 容 : 第 章 : 第 一 层 极 限 与 连 续 ( 其 中 有 六 个 房 间 ); 第 章 : 第 二 层 导 数 与 微 分 ( 其 中 有 五 个 房 间 ); 第 章 : 第 三 层 微 分 中 值 定 理 及 其 应 用 ( 其 中 有 五 个 房 间 ); 第 4 章 : 第 四 层 一 元 函 数 积 分 学 ( 其 中 有 五 个 房 间 ); 第 5 章 : 第 五 层 微 分 方 程 ( 其 中 有 四 个 房 间 ); 第 6 章 : 第 六 层 多 元 函 数 微 分 学 ( 其 中 有 五 个 房 间 ); 第 7 章 : 第 七 层 二 重 积 分 ( 其 中 有 七 个 房 间 ); 第 8 章 : 第 八 层 无 穷 级 数 ( 其 中 有 五 个 房 间 ) 以 上 只 是 第 章 到 第 8 章 的 标 题, 下 面 我 要 告 诉 大 家 的 是 每 一 章 展 开 后 的 样 子 我 就 以 第 章 为 例, 说 一 下 展 开 后 的 第 章 是 什 么 样 子 的, 其 他 各 章 的 表 达 形 式 是 一 样 的 第 章 第 一 层 极 限 与 连 续 第 一 车 砖 :.. 第 二 车 砖 :.. 房 间 0:.. 房 间 0:.. 房 间 0:.. 房 间 04:.. 房 间 05:.. 房 间 06:.. 4

5 第 0 章 超 级 导 读 ( 必 看 ) 看 到 这 里, 我 相 信 大 家 一 定 会 觉 得 很 奇 怪, 因 为 根 据 我 之 前 说 的, 你 们 觉 得 第 章 的 样 子 应 该 如 下 图 所 示 第 章 第 一 层 极 限 与 连 续 房 间 0:.. 房 间 0:.. 房 间 0:.. 房 间 04:.. 房 间 05:.. 房 间 06:.. 可 实 际 上, 为 什 么 除 了 房 间 以 外, 又 多 了 砖 呢? 听 我 解 释 : 没 有 砖 能 盖 楼 吗? 不 能 吧, 因 为 巧 妇 难 为 无 米 之 炊, 砖 是 盖 楼 的 基 础 那 么 这 个 砖 类 比 到 高 等 数 学 大 楼 中 又 相 当 于 什 么 呢? 我 以 高 考 数 学 举 例 高 考 数 学 考 试 大 纲 中 一 定 会 写 : 要 考 排 列 组 合 要 考 等 差 数 列 要 考 立 体 几 何 等, 却 绝 对 不 会 写 : 要 考 加 减 乘 除 四 则 运 算 要 考 正 负 数 要 考 绝 对 值, 等 等 为 什 么 不 写 考 这 些? 因 为 这 些 是 基 础, 是 砖, 会 这 些 东 西 是 必 需 的, 是 最 基 本 的 要 求, 所 以 高 考 考 试 大 纲 里 就 不 必 提 了 尽 管 没 提, 但 是 你 能 不 会 吗? 显 然 不 能 不 会 在 高 等 数 学 中 也 是 一 样, 虽 然 考 研 卷 子 上 只 考 房 间, 但 是 如 果 没 有 砖, 你 怎 么 可 能 搭 建 一 个 个 的 房 间 呢? 明 白 了 吧 所 以 接 下 来 每 一 章 的 内 容 都 是 由 砖 和 房 间 两 部 分 组 成 的 0.4 你 最 后 要 这 样 才 行 想 要 考 研 数 学 高 等 数 学 部 分 全 对, 这 是 每 位 考 生 的 心 愿 要 想 达 成 这 个 心 愿, 你 需 要 做 到 以 下 两 点 () 书 中 的 每 一 个 知 识 点 都 要 看 我 想 强 调 的 是 : 本 书 不 存 在 任 何 看 不 懂 的 可 能 性, 因 为 我 采 用 的 表 达 方 式 非 常 通 俗 因 此, 书 中 的 每 个 知 识 点 你 要 都 看 一 遍, 别 落 下 任 何 一 个 知 识 点 () 在 你 看 完 每 一 章 后, 你 需 要 把 每 一 章 的 房 间 背 下 来 ( 砖 不 用 刻 意 去 背, 只 要 会 了 就 行 了, 因 为 砖 是 最 基 本 的 正 如 同 参 加 高 考 的 考 生 要 背 高 考 考 试 大 纲 中 的 考 点, 而 不 用 去 背 最 基 本 的 加 减 乘 除 四 则 运 算 法 则 ) 不 是 看 懂 就 行, 一 定 要 背 下 来, 这 一 点 至 关 重 要 我 举 个 例 子, 比 如 当 你 看 完 第 一 章 之 后 你 需 要 对 自 己 说 : 这 章 共 有 六 个 房 间, 每 个 房 间 的 内 容 是 什 么 什 么 如 果 忘 了, 就 查 书, 直 到 背 下 来 为 止 相 信 我, 这 一 招 可 以 收 到 奇 效 当 然, 如 果 能 够 默 写 5

6 考 研 数 学 三 部 曲 之 大 话 高 等 数 学 下 来 的 话, 那 就 更 好 了 比 如, 当 你 看 完 第 章 后, 你 最 好 的 方 式 就 是 拿 一 张 白 纸, 白 纸 上 这 么 写 : 大 楼 第 一 层 : 房 间 0: 房 间 0: 房 间 0: 房 间 04: 房 间 05: 房 间 06: 你 只 要 能 默 写 出 来, 那 么 这 层 就 可 以 算 是 盖 好 了 每 层 都 这 样, 考 研 数 学 高 等 数 学 部 分 一 定 是 可 以 得 满 分 的 0.5 送 给 大 家 的 话 莫 道 功 名 需 百 战, 愿 效 滴 水 洞 石 穿 为 有 胸 怀 摘 星 志, 手 足 协 力 共 登 攀 莫 道 征 途 路 漫 漫, 愿 效 江 水 去 不 还 大 势 所 向 天 地 宽, 终 究 奔 涌 归 浩 瀚 6

7 第 章 第一层 极限与连续 由于我不确定你是否看了 超级导读 所以再次提醒 每章我将按照 砖房间 的 方法来讲解 其中 砖 只要全看懂 因为砖是最基础的内容 就可以了 而 房间 则 要看懂后默写出来 因为房间是考研的考点 只要你每章都如此 那么 不管你是什么 基础的同学 考研数学高等数学部分就一定能拿到高分

8 考 研 数 学 三 部 曲 之 大 话 高 等 数 学. 第 一 车 砖 极 限 长 什 么 样 极 限 是 高 等 数 学 中 最 重 要 的 知 识 点 之 一, 本 节 我 们 来 看 看 极 限 长 什 么 样 极 限 分 为 两 种, 分 别 是 : 函 数 的 极 限 数 列 的 极 限 函 数 的 极 限 长 这 个 样 子 : lim 某 某 数 列 的 极 限 长 这 个 样 子 : lim n 某 某 大 家 看 见 了 吧, 函 数 的 极 限 和 数 列 的 极 限 非 常 好 区 分, 它 们 的 区 别 仅 仅 在 于 到 底 是 还 是 n 如 果 是, 那 么 就 是 函 数 的 极 限 ; 如 果 是 n, 那 么 就 是 数 列 的 极 限 我 们 来 看 几 个 例 子 例. 请 判 断 lim( ) lim(sin cos ) lim lim ln lim lim n lim 4n 各 属 于 哪 n n n n 种 极 限 解 : 由 于 lim( ) lim(sin cos ) lim lim ln 这 四 者 都 是, 所 以 这 四 者 属 于 函 数 的 极 限 ; 由 于 lim lim n lim 4n 这 三 者 都 是 n, 所 以 这 三 者 属 于 数 列 的 n n n n 极 限 好, 相 信 大 家 现 在 已 经 可 以 轻 松 地 区 分 开 函 数 的 极 限 与 数 列 的 极 限 了. 第 二 车 砖 极 限 的 计 算 方 法 由 于 极 限 分 为 函 数 的 极 限 和 数 列 的 极 限 两 大 类, 所 以 在 讲 解 极 限 的 计 算 方 法 时, 肯 定 也 要 分 函 数 的 极 限 的 计 算 方 法 和 数 列 的 极 限 的 计 算 方 法 来 讲.. 函 数 的 极 限 的 计 算 方 法 函 数 的 极 限 的 计 算 方 法 一 共 有 四 种 分 别 是 : 基 本 计 算 方 法 等 价 无 穷 小 法 洛 必 达 法 则 法 固 定 套 路 法 方 法. 基 本 计 算 方 法 ( 包 括 代 入 法 画 图 法 九 个 小 技 巧 ) 我 们 先 来 讲 一 下 基 本 计 算 方 法 中 的 代 入 法 代 入 法 指 的 是 : 直 接 将 趋 于 的 那 个 东 西 代 入 到 f() 中 我 们 来 看 几 个 例 子 例. 请 计 算 lim( ) 解 : 由 于 此 题 是, 所 以 此 题 属 于 函 数 的 极 限, 我 们 采 用 刚 刚 讲 完 的 代 入 法 来 做 由 于 是, 所 以 我 们 直 接 把 = 代 入 到 中 即 可 所 以 有 8

9 第 章 第 一 层 极 限 与 连 续 lim( ) = = 9 本 题 就 做 完 了, 代 入 法 简 单 吧! 注 意 : 用 代 入 法 时 前 面 的 lim 一 定 要 去 掉, 如 本 题 中, 就 不 能 写 成 lim( ), 而 要 写 成 lim( ) = 让 我 们 再 来 看 几 道 例 题 例. 请 计 算 lim(sin cos ) lim( ) = 解 : 由 于 此 题 是, 所 以 此 题 属 于 函 数 的 极 限, 我 们 采 用 刚 刚 讲 完 的 代 入 法 来 做 由 于 是, 所 以 我 们 直 接 把 = 代 入 到 sin cos 中 即 可 所 以 有 lim(sin cos ) = sin cos 例. 请 计 算 lim(sin cos ) 0 解 : 由 于 此 题 是, 所 以 此 题 属 于 函 数 的 极 限, 我 们 采 用 刚 刚 讲 完 的 代 入 法 来 做 由 于 是 0, 所 以 我 们 直 接 把 = 0 代 入 到 sin cos 中 即 可 所 以 有 lim(sin cos ) = sin 0 cos0 = 0 = 0 例. 请 计 算 lime 0 解 : 由 于 此 题 是, 所 以 此 题 属 于 函 数 的 极 限, 我 们 采 用 刚 刚 讲 完 的 代 入 法 来 做 由 于 是 0, 所 以 我 们 直 接 把 = 0 代 入 到 e 中 即 可 所 以 有 0 0 lim(e ) = e = e = 0 例. 请 计 算 lim e 0 解 : 本 题 跟 上 面 的 四 道 题 是 有 区 别 的, 区 别 就 在 于 : 上 面 的 四 道 题 中 趋 于 的 那 个 东 西 的 右 上 角 什 么 也 没 写, 而 本 题 中 趋 于 的 那 个 东 西 的 右 上 角 写 了 一 个 加 号 我 来 告 诉 大 家, 趋 于 的 那 个 东 西 的 右 上 角 不 光 可 以 写 加 号, 还 可 以 写 减 号 那 么 像 这 种 右 上 角 写 了 加 号 或 减 号 的 题 我 们 应 该 如 何 去 做 呢? 非 常 简 单, 在 用 代 入 法 的 时 候, 不 用 关 注 趋 于 的 那 个 东 西 的 右 上 角 写 没 写 加 减 号, 而 是 直 接 把 趋 于 的 那 个 东 西 代 入 就 可 以 了 由 此 可 知, 本 题 的 做 法 和 上 一 道 题 的 做 法 完 全 一 样, 没 有 任 何 区 别 即 0 0 lim (e ) = e = e = 0 本 题 就 做 完 了 那 么 lim e 大 家 会 不 会 算 呢? 答 案 是 多 少? 答 案 当 然 也 是! 因 为 我 0 刚 刚 说 了, 用 代 入 法 时 不 用 关 注 趋 于 的 那 个 东 西 的 右 上 角 写 没 写 加 减 号, 而 是 直 接 把 趋 于 的 那 个 东 西 代 入 就 可 以 了 所 以 说 有 : lim e lim e lime 0 0 = e = e = 例. 请 计 算 lim 4 0 解 : 由 于 此 题 是, 所 以 此 题 属 于 函 数 的 极 限, 我 们 采 用 刚 刚 讲 完 的 代 入 法 来 做 由 于 是 4, 所 以 我 们 直 接 把 = 4 代 入 到 中 即 可 所 以 有 0 0 9

10 考 研 数 学 三 部 曲 之 大 话 高 等 数 学 lim = 4 通 过 这 道 题 我 想 告 诉 大 家 的 是 : 常 数 的 极 限 永 远 是 它 本 身 例. 请 计 算 lim 4 解 : 在 做 这 道 题 之 前, 我 先 告 诉 大 家 一 点, 那 就 是 :limc f ( ) = clim f( ), 其 中 c 是 不 为 0 的 常 数 换 句 话 说, 常 数 可 以 提 到 极 限 之 外 那 好, 我 们 现 在 就 利 用 刚 刚 讲 的 这 个 知 识 点 来 做 本 题 由 刚 刚 讲 完 的 这 个 知 识 点 可 知 lim = lim 4 4 Δ Δ 也 就 是 说, 我 们 现 在 只 需 算 出 lim, 然 后 用 算 出 的 结 果 乘 以 即 可 4 由 于 是, 所 以 lim 属 于 函 数 的 极 限, 我 们 采 用 代 入 法 来 做 由 于 是 4, 4 所 以 我 们 直 接 把 = 4 代 入 到 中 即 可 所 以 有 lim = 4 4 所 以 lim = lim = 4 = 本 题 就 做 完 了 当 然 了, 本 题 也 可 以 根 本 不 用 知 识 点 limc f ( ) = clim f( ) 来 做, 也 就 是 说 本 题 也 可 以 Δ 直 接 用 代 入 法 将 =4 代 入 到 中 相 信 通 过 以 上 几 个 例 子, 大 家 对 于 代 入 法 已 经 掌 握 地 很 好 了 不 过 现 在 我 要 告 诉 大 家, 有 些 题 用 代 入 法 无 法 做 下 面 我 来 给 大 家 举 几 个 例 子 例. 请 计 算 lim 0 解 : 由 于 此 题 是, 所 以 此 题 属 于 函 数 的 极 限, 我 们 用 代 入 法 看 看 能 不 能 做 由 于 是 0, 所 以 我 们 直 接 把 = 0 代 入 到 而 我 们 知 道, y = 的 定 义 域 是 0 例. 请 计 算 lim ln 0 Δ 中, 结 果 发 现 代 入 完 了 以 后 是 0, 所 以 没 有 意 义, 所 以 此 题 不 能 用 代 入 法 来 做 0 解 : 由 于 此 题 是, 所 以 此 题 属 于 函 数 的 极 限, 我 们 用 代 入 法 看 看 能 不 能 做 由 于 是 0, 所 以 我 们 直 接 把 = 0 代 入 到 ln 中, 结 果 发 现 代 入 完 了 以 后 是 ln 0 而 我 们 知 道, y = ln 的 定 义 域 是 > 0, 所 以 ln 0 没 有 意 义, 所 以 此 题 不 能 用 代 入 法 来 做 例. 请 计 算 lim 解 : 由 于 此 题 是, 所 以 此 题 属 于 函 数 的 极 限, 我 们 用 代 入 法 看 看 能 不 能 做 由 于 是, 而 是 无 法 代 入 的, 所 以 此 题 不 能 用 代 入 法 来 做 大 家 现 在 明 白 了 吧, 代 入 法 有 很 大 的 局 限 性 ( 当 代 入 后 没 有 定 义 或 者 是 时, 无 法 使 用 代 入 法 ), 所 以 光 讲 代 入 法 还 不 足 以 让 大 家 做 出 所 有 的 函 数 的 极 限 的 计 0

11 第 章 第 一 层 极 限 与 连 续 算 题 那 怎 么 办? 有 办 法! 画 图 法 可 以 有 效 地 弥 补 代 入 法 的 不 足 现 在 我 们 来 讲 一 下 基 本 计 算 方 法 中 的 画 图 法 画 图 法 指 的 是 : 画 出 f() 的 图, 然 后 看 一 下 当 越 来 越 接 近 某 个 东 西 时,f() 越 来 越 接 近 谁 在 看 例 题 之 前, 我 先 告 诉 大 家 一 句 非 常 关 键 的 话 : 之 前 我 给 大 家 讲 过, 在 使 用 代 入 法 的 时 候 根 本 不 用 关 注 趋 于 的 那 个 东 西 的 右 上 角 写 没 写 加 减 号, 而 是 直 接 把 趋 于 的 那 个 东 西 代 入 就 可 以 了 但 是 用 画 图 法 时, 趋 于 的 那 个 东 西 的 右 上 角 写 没 写 加 减 号, 咱 们 可 就 必 须 要 关 注 了 例. 请 计 算 lim 0 解 : 由 于 此 题 是, 所 以 此 题 属 于 函 数 的 极 限, 我 们 用 代 入 法 看 看 能 不 能 做 由 于 是 0, 所 以 我 们 直 接 把 = 0 代 入 到 中, 结 果 发 现 代 入 完 了 以 后 是 0 而 我 们 知 道, y = 的 定 义 域 是 0, 所 以 没 有 意 义, 所 以 此 题 不 能 用 代 入 法 来 做 0 然 而, 此 题 虽 然 不 能 用 代 入 法 做, 却 可 以 用 画 图 法 做 具 体 做 法 如 下 : 首 先, 我 们 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 画 出 y = 的 图 像 由 于 是 0, 所 以 我 们 现 在 来 看 看 当 从 右 侧 ( 如 果 是 0, 那 就 是 从 左 侧 ) 越 来 越 接 近 0 时, 越 来 越 接 近 谁 从 图 中 可 以 很 明 显 的 看 出, 当 从 右 侧 越 来 越 接 近 0 时 ( 即 取 0. 取 0. 取 0. 取 0.0 等 ), 越 来 越 接 近 所 以 本 题 的 答 案 是 本 题 就 做 完 了 注 意 : 与 代 入 法 一 样, 用 画 图 法 时 前 面 的 lim 一 定 要 去 掉, 如 本 题 中, 就 不 能 写 成 lim = lim, 而 要 写 成 lim = 现 在 我 来 问 问 大 家, lim 你 们 会 计 算 吗? 提 示 : 用 不 了 代 入 法, 只 能 用 画 图 法, 0

12 考 研 数 学 三 部 曲 之 大 话 高 等 数 学 画 出 的 图 和 上 面 的 那 个 图 是 一 模 一 样 的, 因 为 都 是 然 后, 由 于 是 0, 所 以 我 们 现 在 来 看 看 当 从 左 侧 越 来 越 接 近 0 时, 越 来 越 接 近 谁 从 图 中 可 以 很 明 显 地 看 出, 当 从 左 侧 越 来 越 接 近 0 时 ( 即 取 0. 取 0. 取 0. 取 0.0等 ), 越 来 越 接 近 所 以 lim = 0 最 后, 我 来 给 大 家 讲 一 个 很 重 要 的 知 识 点, 那 就 是 : 若 一 道 极 限 的 计 算 题 最 终 的 计 算 结 果 是, 那 么 这 属 于 极 限 不 存 在 我 估 计 这 么 讲 的 话, 肯 定 有 不 少 同 学 还 是 不 太 明 白 我 就 拿 本 题 举 例 吧, 本 题 刚 才 我 们 已 经 计 算 完 了 lim = 那 么 我 问 大 家, lim 存 在 吗? 我 给 大 家 两 个 选 项 0 0 选 项 是 : 存 在 啊, 是 选 项 是 : 不 存 在 正 确 的 选 项 应 该 是 选 项 大 家 现 在 应 该 明 白 我 刚 刚 说 的 若 一 道 极 限 的 计 算 题 最 终 的 计 算 结 果 是, 那 么 这 属 于 极 限 不 存 在 的 意 思 了 吧 好, 现 在 我 还 没 讲 完, 继 续 讲 难 道 说 极 限 不 存 在 这 五 个 字 就 特 指 这 一 种 情 况 吗? 当 然 不 是 那 么 极 限 不 存 在 这 五 个 字 指 的 是 哪 些 情 况 呢? 极 限 不 存 在 一 共 包 含 两 种 情 况 第 一 种 情 况 是 ( 这 刚 刚 讲 完 ), 第 二 种 情 况 是 虽 然 不 存 在, 但 却 不 是 ( 这 刚 才 没 讲 ) 我 还 是 给 大 家 举 个 例 子 吧 比 如 说 我 们 来 看 一 下 lim sin 先 来 看 看 lim sin 能 不 能 用 代 入 法 来 做, 明 显 不 能, 因 为 我 早 就 给 大 家 讲 过 是 无 法 代 入 的 于 是 我 们 尝 试 使 用 画 图 法 来 做 首 先, 我 们 需 要 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 画 出 函 数 y = sin 的 图 像 从 图 像 中 我 们 可 以 很 明 显 地 看 出, 当 越 来 越 接 近 时, sin 根 本 就 不 会 越 来 越 接 近 某 个 数 ( 因 为 y = sin 是 周 期 函 数 ), 所 以 lim sin 不 存 在

13 第 章 第 一 层 极 限 与 连 续 大 家 现 在 看 见 了 吧, lim sin 虽 然 不 存 在, 但 却 不 是 到 目 前 为 止, 关 于 什 么 叫 极 限 不 存 在 已 经 全 都 给 大 家 讲 完 了 最 后 为 大 家 再 次 总 结 一 下 : 极 限 不 存 在 一 共 包 含 两 种 情 况 第 一 种 情 况 是, 第 二 种 情 况 是 虽 然 不 存 在, 但 却 不 是 我 们 再 来 看 几 道 题 例. 请 计 算 lim ln 0 解 : 由 于 此 题 是, 所 以 此 题 属 于 函 数 的 极 限, 我 们 用 代 入 法 看 看 能 不 能 做 由 于 是 0, 所 以 我 们 直 接 把 = 0 代 入 到 ln 中, 结 果 发 现 代 入 完 了 以 后 是 ln 0 而 我 们 知 道, y = ln 的 定 义 域 是 > 0, 所 以 ln 0 没 有 意 义, 所 以 此 题 不 能 用 代 入 法 来 做 然 而, 此 题 虽 然 不 能 用 代 入 法 做, 却 可 以 用 画 图 法 做 具 体 做 法 如 下 : 首 先, 我 们 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 画 出 y = ln 的 图 像 由 于 是 0, 所 以 我 们 现 在 来 看 看 当 从 右 侧 越 来 越 接 近 0 时, ln 越 来 越 接 近 谁 从 图 中 可 以 很 明 显 地 看 出, 当 从 右 侧 越 来 越 接 近 0 时 ( 即 取 0. 取 0. 取 0. 取 0.0 等 ), ln 越 来 越 接 近 所 以 本 题 的 答 案 是, 本 题 就 做 完 了 例. 请 计 算 lim ln 解 : 由 于 此 题 是, 所 以 此 题 属 于 函 数 的 极 限, 我 们 用 代 入 法 看 看 能 不 能 做 由 于 是, 而 是 无 法 代 入 的, 所 以 此 题 不 能 用 代 入 法 来 做 然 而, 此 题 虽 然 不 能 用 代 入 法 做, 却 可 以 用 画 图 法 做 具 体 做 法 如 下 : 首 先, 我 们 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 画 出 y = ln 的 图 像

14 考 研 数 学 三 部 曲 之 大 话 高 等 数 学 由 于 是, 所 以 我 们 现 在 来 看 看 当 越 来 越 接 近 时,ln 越 来 越 接 近 谁 从 图 中 可 以 很 明 显 地 看 出, 当 越 来 越 接 近 时 ( 即 取 000 取 0000 取 取 等 ), ln 越 来 越 接 近 所 以 本 题 的 答 案 是, 本 题 就 做 完 了 例. 请 计 算 lim 解 : 由 于 本 题 是, 所 以 本 题 属 于 函 数 的 极 限, 我 们 用 代 入 法 看 看 能 不 能 做 由 于 是, 而 是 无 法 代 入 的, 所 以 此 题 不 能 用 代 入 法 来 做 然 而, 此 题 虽 然 不 能 用 代 入 法 做, 却 可 以 用 画 图 法 做 具 体 做 法 如 下 : 首 先, 我 们 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 画 出 y = 的 图 像 然 后 问 题 就 来 了, 本 题 说 的 是, 而 我 们 知 道, 包 括 和 两 类 也 就 是 说, 本 题 只 是 笼 统 地 说, 并 没 有 具 体 指 定 到 底 是 还 是 那 怎 么 办? 解 决 的 方 法 是 : 这 两 种 情 况 都 要 考 虑 也 就 是 说, 我 们 为 了 计 算 本 题 的 问 题 lim, 既 要 计 算 lim, 又 要 计 算 lim 4

15 第 章 第 一 层 极 限 与 连 续 lim 你 们 会 计 算 吗? lim 你 们 会 计 算 吗? 我 想, 有 前 几 道 题 做 铺 垫, lim 和 lim 的 计 算 对 大 家 来 说 应 该 很 容 易 吧? 我 就 直 接 说 答 案 了 啊 : lim =0 lim = 0 好, 现 在 我 们 已 经 算 出 了 lim =0 lim = 0, 那 么 lim 等 于 多 少 呢? 下 面 我 要 给 大 家 讲 四 个 结 论, 等 我 讲 完 这 四 个 结 论, 大 家 自 然 就 知 道 lim 等 于 多 少 了 注 意, 接 下 来 的 四 个 结 论 不 是 只 是 针 对 这 道 题 的, 而 是 通 用 的 第 一 个 结 论 : lim f ( ) = lim f( ) = A lim f( )= A 注 : 其 中 A 为 任 意 常 数 或 第 二 个 结 论 : lim f( ) lim f( ) lim f( ) 不 存 在 但 不 是 第 三 个 结 论 : lim f ( ) = lim f( ) = A lim f( ) = A 注 : 其 中 A 为 任 意 常 数 或 第 四 个 结 论 : lim f( ) lim f( ) lim f( ) 不 存 在 但 不 是 好, 我 们 现 在 回 到 本 题 上 来 由 于 lim = lim = 0, 根 据 第 三 个 结 论 可 知 lim = 0 本 题 就 做 完 了 例. 请 计 算 lim 0 解 : 由 于 本 题 是, 所 以 本 题 属 于 函 数 的 极 限, 我 们 用 代 入 法 看 看 能 不 能 做 由 于 是 0, 所 以 我 们 直 接 把 = 0 代 入 到 中, 结 果 发 现 代 入 完 了 以 后 是 0 而 我 们 知 道, y = 的 定 义 域 是 0, 所 以 没 有 意 义, 所 以 此 题 不 能 用 代 入 法 来 做 0 然 而, 此 题 虽 然 不 能 用 代 入 法 做, 却 可 以 用 画 图 法 做 具 体 做 法 如 下 : 首 先, 我 们 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 画 出 y = 的 图 像 然 后 问 题 就 来 了, 本 题 说 的 是 0, 而 我 们 知 道, 0 包 括 0 和 0 两 类 5

16 考 研 数 学 三 部 曲 之 大 话 高 等 数 学 也 就 是 说, 本 题 只 是 笼 统 地 说 0, 并 没 有 具 体 指 定 到 底 是 0 还 是 0 那 怎 么 办? 解 决 的 方 法 是 : 这 两 种 情 况 都 要 考 虑 也 就 是 说, 我 们 为 了 计 算 本 题 的 问 题 lim, 0 既 要 计 算 lim, 又 要 计 算 lim 0 0 lim 你 们 会 计 算 吗? lim 你 们 会 计 算 吗? 我 想, 有 前 几 道 题 做 铺 垫, lim 和 lim 的 计 算 对 大 家 来 说 应 该 很 容 易 吧? 我 就 直 接 说 答 案 了 啊 : lim = lim = 0 0 好, 现 在 我 们 已 经 算 出 了 lim = lim = 0 0 现 在 我 想 要 告 诉 大 家 的 是, 如 果 一 个 极 限 的 计 算 结 果 是 或 者, 那 么 此 计 算 结 果 也 可 以 写 为 由 此 可 知 : lim = 或 lim =, lim = 或 lim = 那 么 lim 等 于 多 少 呢? 由 于 lim = lim =, 根 据 上 一 道 题 中 所 讲 的 四 个 结 论 中 的 第 一 个 结 论 可 知 lim = 0 本 题 就 做 完 了 sin, > 0 8, = 0 例. 已 知 f ( ) =, 请 计 算 lim f ( ) 0, < 0 解 : 本 题 与 之 前 的 所 有 题 不 同, 之 前 的 所 有 题 的 lim 后 面 跟 的 都 是 一 个 具 体 的 函 数 表 达 式, 而 本 题 则 不 同, 本 题 的 lim 后 面 跟 的 是 f ( ) 那 怎 么 办? 很 显 然, 我 们 应 该 把 f ( ) 显 化 可 是 f ( ) 是 一 个 分 段 函 数, 有 三 段, 那 么 我 们 到 底 应 该 将 lim f ( ) 0 中 的 f ( ) 显 化 成 这 三 段 中 的 哪 一 段 呢? 本 题 说 的 是 0, 翻 译 成 中 文 语 言 就 是 趋 于 0 什 么 叫 趋 于 0? 意 思 是 无 限 地 接 近 0 但 却 永 远 达 不 到 0 既 然 永 远 达 不 到 0, 因 此 我 们 是 绝 对 不 能 将 lim f ( ) 中 的 f ( ) 显 化 成 8 那 么 到 底 我 们 应 该 将 lim f ( ) 中 的 f ( ) 显 化 成 sin 还 0 是 呢? 那 要 看 到 底 是 怎 么 趋 于 0 如 果 是 从 左 侧 趋 于 0( 比 如 说 取 0., 0.0, 0.00 这 些 ), 那 么, 由 于 < 0, 所 以 应 该 将 lim f ( ) 0 0( 比 如 说 取 0.,0.0,0.00 这 些 ), 那 么, 由 于 > 0 成 sin 所 以 有 : 0 中 的 f ( ) 显 化 成 ; 如 果 是 从 右 侧 趋 于, 所 以 应 该 将 lim f ( ) 中 的 f ( ) 显 化 0 6

17 第 章 第 一 层 极 限 与 连 续 lim f( ) = lim, 用 画 图 法 求 得 答 案 为 lim f ( ) = lim sin, 用 代 入 法 求 得 答 案 为 由 于 lim f ( ) lim f( ), 所 以 根 据 四 个 结 论 中 的 第 二 个 结 论 可 知, lim f ( ) 不 存 在 0 0 到 目 前 为 止, 代 入 法 和 画 图 法 就 基 本 给 大 家 讲 完 了 注 意, 我 用 的 词 是 基 本, 而 不 是 彻 底 也 就 是 说, 还 有 一 点 点 内 容 没 有 讲, 那 就 是 : 代 入 法 画 图 法 都 只 能 把 需 要 求 极 限 的 那 个 函 数 当 成 一 个 整 体 来 考 虑, 而 不 能 局 部 使 用 以 上 加 粗 的 话 其 实 是 一 个 非 常 重 要 的 知 识 点 大 家 可 能 现 在 还 不 太 明 白 以 上 加 粗 的 话 的 意 思, 没 关 系, 我 们 来 看 几 个 例 子 sin 例. 请 计 算 lim 0 sin 0 解 : 有 的 同 学 这 样 做 : 由 代 入 法 可 知 lim = = = 这 种 做 法 完 全 错 误, 0 sin 本 题 的 答 案 根 本 不 得 那 么, 这 么 做 为 何 错 了 呢? 因 为 只 对 的 一 部 分 ( sin ) 使 用 了 代 入 法, 相 当 于 是 局 部 使 用 了 代 入 法, 这 是 不 允 许 的, 大 家 一 定 要 注 意 那 么 本 题 究 竟 应 该 怎 么 做 呢? 这 个 大 家 先 不 用 管, 后 面 会 讲 我 们 再 来 看 一 个 例 子 例. 请 计 算 lim 0 解 : 有 的 同 学 这 样 做 : 由 画 图 法 可 知 lim = = 0 这 种 做 法 完 全 错 误, 本 题 的 答 案 根 本 不 得 0 那 么, 这 么 做 为 何 错 了 呢? 因 为 只 对 的 一 部 分 ( ) 使 用 了 画 图 法, 相 当 于 是 局 部 使 用 了 画 图 法, 这 是 不 允 许 的, 大 家 一 定 要 注 意 0 7

18 考 研 数 学 三 部 曲 之 大 话 高 等 数 学 那 么 本 题 究 竟 应 该 怎 么 做 呢? 正 确 的 做 法 应 该 是 : 先 对 lim 进 行 化 简, lim = lim ( ) = lim, 然 后 利 用 画 图 法, 画 出 y = 的 图 由 于 是, 所 以 我 们 现 在 来 看 看 当 越 来 越 接 近 时, 越 来 越 接 近 谁 从 图 中 可 以 很 明 显 地 看 出, 当 越 来 越 接 近 时 ( 即 取 000 取 0000 取 取 等 ), 越 来 越 接 近 所 以 本 题 的 答 案 是, 本 题 就 做 完 了 通 过 以 上 两 个 例 子, 想 必 大 家 应 该 已 经 明 白 了 什 么 叫 代 入 法 画 图 法 都 只 能 把 需 要 求 极 限 的 那 个 函 数 当 成 一 个 整 体 来 考 虑, 而 不 能 局 部 使 用 函 数 极 限 的 基 本 计 算 方 法 中 还 剩 下 九 个 小 技 巧 没 有 讲, 现 在 就 来 给 大 家 讲 九 个 小 技 巧 指 的 是 : 小 技 巧. 若 lim f ( ) = A lim g( ) = B, 则 有 Δ Δ 若 lim f ( ) = A lim g( ) = B, 则 有 lim( f( ) ± g( )) = A± B ( 其 中 A, B为 任 意 常 数 ) Δ Δ Δ 若 lim f ( ) = A lim g( ) = B, 则 有 lim( f( ) g( )) = A B ( 其 中 A, B为 任 意 常 数 ) Δ Δ Δ f( ) A 若 lim f ( ) = A lim g( ) = B, 则 有 lim = ( 其 中 A为 任 意 常 数, B为 不 为 0 Δ Δ Δ g ( ) B 的 任 意 常 数 ) e 例. 请 计 算 lim 解 : 首 先 我 们 来 看 一 下 这 道 题 能 不 能 用 代 入 法 来 做 由 于 本 题 说 的 是, 而 我 在 前 面 的 讲 解 中 已 经 告 诉 过 大 家 是 不 能 代 入 的, 所 以 本 题 无 法 使 用 代 入 法 来 做 那 好, 我 们 现 在 再 来 看 看 这 道 题 能 不 能 用 画 图 法 来 做 本 题 要 想 用 画 图 法 来 做 的 话, e e 那 么 首 先 就 应 该 画 出 函 数 y = 的 图 像 可 是 实 际 上, 函 数 y = 的 图 像 并 不 是 那 么 好 画 出 来 的, 因 此 本 题 利 用 画 图 法 来 做 也 不 太 现 实 ( 尽 管 可 以 ) 那 么, 本 题 到 底 应 该 用 什 么 方 法 去 做 呢? 就 用 我 刚 刚 给 大 家 讲 的 小 技 巧 去 做 就 可 以 了 具 体 做 法 如 下 : e lim = lim ( e ) 由 画 图 法 可 知 lim = 0, 由 画 图 法 可 知 lim e = 0 e 由 于 lim = 0 lim e = 0, 根 据 小 技 巧 可 知 lim = 0 0=0 例. 请 计 算 lim ( e ) 解 : 首 先 我 们 来 看 一 下 这 道 题 能 不 能 用 代 入 法 来 做 由 于 本 题 说 的 是, 而 我 8

19 第 章 第 一 层 极 限 与 连 续 在 前 面 的 讲 解 中 已 经 告 诉 过 大 家 是 不 能 代 入 的, 所 以 本 题 无 法 使 用 代 入 法 来 做 那 好, 我 们 现 在 再 来 看 看 这 道 题 能 不 能 用 画 图 法 来 做 本 题 要 想 用 画 图 法 来 做 的 话, 那 么 首 先 就 应 该 画 出 函 数 y = e 的 图 像 可 是 实 际 上, 函 数 y = e 的 图 像 并 不 是 那 么 好 画 出 来 的, 因 此 本 题 利 用 画 图 法 来 做 也 不 太 现 实 ( 尽 管 可 以 ) 那 么, 本 题 到 底 应 该 用 什 么 方 法 去 做 呢? 就 用 我 刚 刚 给 大 家 讲 的 小 技 巧 去 做 就 可 以 了 具 体 做 法 如 下 : 由 画 图 法 可 知 lim e = 0, 由 画 图 法 可 知 lim = 0 e 由 于 lim e = 0 lim = 0, 根 据 小 技 巧 可 知 lim = 0 g ( ) 小 技 巧. 若 lim f( ) = 0 lim g ( ) =, 则 lim = Δ Δ Δ f ( ) 例. 请 计 算 lim 0 解 : 如 果 没 讲 小 技 巧 的 话, 那 就 只 能 用 画 图 法, 画 出 y = 的 图, 然 后 看 当 从 右 侧 越 来 越 接 近 0 时, 越 来 越 接 近 谁 答 案 是 而 现 在 呢, 我 们 可 以 利 用 小 技 巧 来 做 由 代 入 法 可 知 lim = 0, lim =, 由 小 技 巧 可 知 lim = 0 可 能 有 的 同 学 会 感 到 奇 怪, 为 何 用 画 图 法 做 出 的 本 题 答 案 为, 而 用 刚 刚 讲 完 的 小 技 巧 做 出 的 本 题 答 案 是 呢? 难 道 说 这 两 个 答 案 都 对 吗? 我 的 回 答 是 : 当 然 都 对, 我 之 前 给 大 家 讲 过, 如 果 一 个 极 限 的 计 算 结 果 是 - 或 者, 那 么 此 计 算 结 果 也 可 以 写 为 ( 当 然, 对 于 本 题 来 说, 用 画 图 法 做 出 的 更 加 精 确 ) 例. 请 计 算 lim 0 sin 解 : 由 代 入 法 可 知 lim(sin ) = 0 0 = 0, lim =, 由 小 技 巧 可 知 lim sin = 0 小 技 巧. 若 lim f( ) = 0, g ( ) 有 界, 则 lim( f( ) g( )) = 0 Δ Δ 例. 请 计 算 lim ( cos(arctan )) 0 6 解 : 如 果 没 讲 小 技 巧 的 话, 那 就 只 能 用 代 入 法 : 0 lim ( cos(arctan )) = 0 cos(arctan ) = 0 cos(arctan 0) = 0 cos 0 = 0 = 而 现 在 呢, 由 于 lim = 0, y = cos 是 有 界 函 数 ( 大 家 都 应 该 知 道, y = cos 的 值 域 0 是 [,], 所 以 y = cos 有 界 ), 根 据 刚 刚 讲 完 的 小 技 巧 可 知 lim ( cos(arctan )) =

20 考 研 数 学 三 部 曲 之 大 话 高 等 数 学 本 题 就 做 完 了, 实 际 上, 由 小 技 巧 可 知, 无 论 lim( cos ) 中 的 是 什 么, lim( cos ) 都 是 例. 请 计 算 lim(sin( ) sin( )) 6 解 : 如 果 没 讲 小 技 巧 的 话, 那 就 只 能 用 代 入 法 : lim(sin( ) sin( )) = sin( ) sin( ) = sin 0 sin = 0 sin = 而 现 在 呢, 由 于 lim sin( ) = 0, y = sin 是 有 界 函 数 ( 大 家 都 应 该 知 道, y = sin 的 值 域 是 [,], 所 以 y = sin 有 界 ), 根 据 刚 刚 讲 完 的 小 技 巧 可 知 8 5 lim(sin( ) sin( )) = 0 本 题 就 做 完 了, 实 际 上, 由 小 技 巧 可 知, 无 论 6 lim(sin( ) sin ) 中 的 是 什 么, lim(sin( ) sin ) 都 是 0 小 技 巧 4. 若 lim f( ) =,lim g( ) =, 则 Δ lim f( ) g( ) = Δ Δ lim f( ) lim g( ) = Δ Δ 例. 请 计 算 lim (ln ) 0 解 : 由 画 图 法 可 知 lim ln =, 由 画 图 法 可 知 lim =, 由 小 技 巧 4 的 可 知 0 0 lim (ln ) =, 所 以 本 题 的 答 案 为, 本 题 就 做 完 了 当 然, 如 果 更 精 确 的 话, 答 案 应 0 该 应 该 写 为, 因 为 ( ) ( ) = g ( ) 小 技 巧 5. 若 lim f( ) =, lim g ( ) =, 则 lim = 0 Δ Δ Δ f( ) 例. 请 计 算 lim ln 解 : 由 画 图 法 可 知 lim =, 由 画 图 法 可 知 lim ln =, 由 小 技 巧 4 的 可 知 lim ( ln ) =, 由 代 入 法 可 知 lim = 0 由 于 lim ( ln ) =, lim =, 根 据 刚 刚 讲 完 的 小 技 巧 5 可 知 lim = 0 ln 小 技 巧 6. 若 lim f( ) =, g( ) 有 界, 则 lim( f( ) g( )) = Δ Δ 若 lim f( ) =,c 为 任 意 常 数, 则 lim f( ) c = Δ Δ 0

21 第 章 第 一 层 极 限 与 连 续 例. 请 计 算 lim( sin ) 解 : 由 画 图 法 可 知 lim =, 而 y = sin 是 有 界 函 数, 所 以 由 刚 刚 讲 完 的 小 技 巧 6 的 可 知 lim( sin ) = 例. 请 计 算 lim( ) 解 : 由 画 图 法 可 知 lim 以 由 刚 刚 讲 完 的 小 技 巧 6 的 可 知 lim( ) = =, 而 y = 是 有 界 函 数 ( 所 有 常 函 数 都 是 有 界 函 数 ), 所 小 技 巧 7. 若 lim f( ) =, lim g ( ) =, 则 lim( f( ) g( )) = Δ Δ Δ 若 lim f( ) =,lim g ( ) =, 则 lim( f( ) g( )) = 无 法 用 目 前 已 讲 的 方 法 解 答 Δ Δ Δ 若 lim f( ) =,lim g ( ) =, 则 lim( f( ) g( )) = 无 法 用 目 前 已 讲 的 方 法 解 答 Δ Δ Δ 4 若 lim f( ) =, lim g ( ) =, 则 lim( f( ) g( )) Δ Δ Δ = 5 若 lim f( ) =,lim g ( ) =, 则 lim( f( ) g( )) = 无 法 用 目 前 已 讲 的 方 法 解 答 Δ Δ Δ 6 若 lim f( ) =, lim g ( ) =, 则 lim( f( ) g( )) Δ Δ Δ = - 7 若 lim f( ) =, lim g ( ) =, 则 lim( f( ) g( )) = - Δ Δ Δ 8 若 lim f( ) =,lim g ( ) =, 则 lim( f( ) g( )) = 无 法 用 目 前 已 讲 的 方 法 解 答 Δ Δ Δ 大 家 可 能 觉 得 小 技 巧 7 怎 么 这 么 多 啊, 这 怎 么 记 啊? 我 告 诉 大 家, 小 技 巧 7 非 常 容 易, 大 家 根 本 不 用 死 记 硬 背 以 上 八 条, 大 家 就 记 住 一 句 话 就 可 以 了 : 同 号 无 穷 相 减 无 法 用 目 前 已 讲 的 方 法 解 答, 其 他 情 况 答 案 都 是 确 定 的 我 心 里 明 白, 我 这 么 说 导 致 的 结 果 就 是 大 家 仍 然 不 明 白 这 八 条 结 论 应 该 如 何 去 记, 因 此 我 现 在 要 详 细 地 解 释 一 下 上 面 带 下 划 线 的 那 句 话 我 先 来 解 释 同 号 无 穷 相 减 无 法 用 目 前 已 讲 的 方 法 解 答 大 家 先 来 看 第 条, 第 条 是 ( ) ( ), 两 个 正 无 穷 相 减, 即 同 号 无 穷 相 减 大 家 再 来 看 第 条, 第 条 是 ( ) ( ) 而 大 家 初 中 就 学 过, 加 负 数 等 于 减 正 数, 所 以 说 ( ) ( ) 和 ( ) ( ) 是 一 个 意 思 这 第 条 虽 然 形 式 上 是 ( ) ( ), 但 实 际 上 也 可 以 看 成 是 ( ) ( ), 两 个 正 无 穷 相 减, 即 同 号 无 穷 相 减 大 家 再 来 看 第 5 条, 第 5 条 是 ( ) ( ) 而 大 家 初 中 就 学 过, 加 正 数 等 于 减 负 数, 所 以 说 ( ) ( ) 和 ( ) ( ) 是 一 个 意 思 这 第 5 条 虽 然 形 式 上 是 ( ) ( ), 但 实 际 上 也 可 以 看 成 是 ( ) ( ), 两 个 负 无 穷 相 减, 即 同 号 无 穷 相 减 大 家 再 来 看 第 8 条, 第 8 条 是 ( ) ( ), 两 个 负 无 穷 相 减, 即 同 号 无 穷 相 减 综 上 所 述, 第 5 8 条 都 是 同 号 无 穷 相 减, 而 第 5 8 条 的 结 论 都 是 无 法 用 目 前 已 讲 的 方 法 解 答, 这 就 是 所 谓 的 同 号 无 穷 相 减 无 法 用 目 前 已 讲 的 方 法 解 答

22 考 研 数 学 三 部 曲 之 大 话 高 等 数 学 我 再 来 解 释 其 他 情 况 答 案 都 是 确 定 的 所 谓 其 他 情 况, 指 的 就 是 不 是 同 号 无 穷 相 减 的 情 况 在 以 上 八 条 中, 第 条 属 于 不 是 同 号 无 穷 相 减 的 情 况, 这 四 条 的 答 案 都 是 确 定 的 对 吧? 这 就 是 所 谓 的 其 他 情 况 答 案 都 是 确 定 的 好, 关 于 小 技 巧 7 中 的 这 八 条 应 该 如 何 去 记 我 已 经 告 诉 大 家 了 每 当 我 讲 课 讲 到 这 里 时, 总 会 有 一 些 同 学 问 我 这 样 一 个 问 题 : 老 师, 我 按 照 您 所 讲 的, 同 号 无 穷 相 减 无 法 用 目 前 已 讲 的 方 法 解 答, 其 他 情 况 答 案 都 是 确 定 的, 确 实 能 知 道 何 时 答 案 确 定 何 时 无 法 用 目 前 已 讲 的 方 法 解 答, 但 是 您 没 给 我 们 解 释 当 答 案 确 定 时, 答 案 究 竟 是 多 少 的 记 忆 方 法 所 以 我 想 问 问 您, 当 答 案 确 定 时, 答 案 究 竟 是 多 少 应 该 如 何 去 记 呢? 对 于 这 个 问 题, 我 的 回 答 是 : 这 很 简 单 啊, 咱 们 就 拿 以 上 八 条 中 的 第 条 来 看 吧 第 条 是 这 么 描 述 的 : 若 lim f( ) =, lim g ( ) =, 则 lim( f( ) g( )) = Δ 你 们 想 想, 两 个 正 无 穷 大 相 加, 也 就 意 味 着 两 个 特 别 大 的 正 数 相 加, 那 你 们 说 最 后 答 案 是 多 少 啊? 很 明 显 还 是 一 个 特 别 大 的 正 数 嘛, 所 以 结 论 是 啊 第 条 也 是 同 理 现 在 大 家 都 应 该 明 白 了 吧 好, 到 目 前 为 止, 小 技 巧 7 以 及 小 技 巧 7 的 记 忆 方 法 我 已 经 都 给 大 家 讲 完 了 下 面 我 们 来 看 几 道 例 题 例. 请 计 算 lim (ln e ) 解 : 首 先 我 们 来 看 一 下 这 道 题 能 不 能 用 代 入 法 来 做 由 于 本 题 说 的 是, 而 我 在 前 面 的 讲 解 中 已 经 告 诉 过 大 家 是 不 能 代 入 的, 所 以 本 题 无 法 使 用 代 入 法 来 做 那 好, 我 们 现 在 再 来 看 看 这 道 题 能 不 能 用 画 图 法 来 做 本 题 要 想 用 画 图 法 来 做 的 话, 那 么 首 先 就 应 该 画 出 函 数 y = ln e 的 图 像 可 是 实 际 上, 函 数 y = ln e 的 图 像 并 不 是 那 么 好 画 出 来 的, 因 此 本 题 利 用 画 图 法 来 做 也 不 太 现 实 ( 尽 管 可 以 ) 那 么, 本 题 到 底 应 该 用 什 么 方 法 去 做 呢? 就 用 我 刚 刚 给 大 家 讲 的 小 技 巧 7 去 做 就 可 以 了 具 体 做 法 如 下 : Δ 由 画 图 法 可 知 lim ln =, 由 画 图 法 可 知 lim e = 由 于 lim ln = lim e =, 由 小 技 巧 7 的 可 知, lim (ln e ) = Δ 例. 请 计 算 lim( ) 0 tan 解 : 首 先 我 们 来 看 一 下 这 道 题 能 不 能 用 代 入 法 来 做 明 显 不 能, 因 为 0 不 能 做 分 母 那 好, 我 们 现 在 再 来 看 看 这 道 题 能 不 能 用 画 图 法 来 做 本 题 要 想 用 画 图 法 来 做 的 话, 那 么 首 先 就 应 该 画 出 函 数 y = 的 图 像 可 是 实 际 上, 函 数 y = 的 图 像 tan tan 并 不 是 那 么 好 画 出 来 的, 因 此 本 题 利 用 画 图 法 来 做 也 不 太 现 实 ( 尽 管 可 以 ) 那 么, 本 题 到 底 应 该 用 什 么 方 法 去 做 呢? 具 体 做 法 如 下 : 由 代 入 法 可 知 lim = 0 0

23 第 章 第 一 层 极 限 与 连 续 由 代 入 法 可 知 lim = 0 由 于 lim = 0 lim =, 所 以 根 据 小 技 巧 可 知 lim = 由 代 入 法 可 知 lim tan = 0 0=0 0 由 代 入 法 可 知 lim = 0 由 于 lim tan =0 lim =, 所 以 根 据 小 技 巧 可 知 lim = tan 由 于 lim = lim =, 所 以 lim( ) 属 于 0 0 tan 0 tan 由 于 是 同 号 无 穷 相 减, 由 小 技 巧 7 可 知, 本 题 无 法 用 已 讲 的 方 法 解 答 ( 后 续 会 讲 解 答 方 法 ) 此 时 想 必 大 多 数 同 学 心 里 都 会 想 : 不 明 白 不 明 白, 这 题 是 无 穷 相 减 的 确 是 毫 无 疑 问, 但 是 怎 么 就 成 了 同 号 无 穷 相 减 呢? 怎 么 就 同 号 了 呢? 这 个 问 题 我 来 给 大 家 解 释 如 果 大 家 遇 到 类 似 本 题 这 种 只 能 判 断 出 是 无 穷 相 减 而 不 能 判 断 出 是 同 号 无 穷 相 减 的 题, 那 就 当 做 都 是 同 号 无 穷 相 减 现 在 大 家 明 白 了 吧 小 技 巧 8. 若 lim f( ) =, 则 lim c f( ) = clim f( ) = ( 其 中 c 是 任 意 不 为 0 的 Δ Δ 常 数 ) 关 于 小 技 巧 8 的 解 释 : 大 家 千 万 不 要 认 为 小 技 巧 8 想 告 诉 大 家 的 是 limc f ( ) = clim f( ), 这 个 式 子 我 在 前 面 早 就 已 经 给 大 家 讲 完 了 小 技 巧 8 想 告 诉 大 家 的 Δ Δ Δ 是, 当 lim f( ) = 的 时 候, limc f( ) = clim f( ) =, 仅 此 而 已 函 数 y Δ 例. 请 计 算 lim Δ Δ 解 : 我 们 先 来 计 算 一 下 lim, 用 画 图 法 来 计 算 首 先 我 们 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 画 出 = 的 图 像 从 图 像 中 我 们 可 以 很 明 显 地 看 出, 当 越 来 越 接 近 时, y 越 来 越 接 近 所 以 lim =

24 考 研 数 学 三 部 曲 之 大 话 高 等 数 学 由 于 lim =, 是 非 零 常 数, 所 以 根 据 小 技 巧 8 可 知, lim = 小 技 巧 9. 当 遇 到 抽 象 函 数 求 极 限 时, 我 们 要 首 先 将 lim 深 入 进 去, 然 后 计 算 出 结 果, 之 后 看 看 那 个 抽 象 函 数 在 我 们 计 算 出 的 那 个 点 处 是 否 连 续 若 连 续, 则 说 明 确 实 可 以 深 入 若 不 连 续, 则 说 明 不 能 深 入 以 上 就 是 小 技 巧 9, 我 相 信 大 家 现 在 根 本 不 知 道 小 技 巧 9 到 底 想 表 达 什 么 意 思 没 有 关 系, 我 说 几 道 例 题 例. 已 知 函 数 f ( ) 在 = 处 连 续, 且 f () = 9, 求 lim f( 4 ) 0 解 : 大 家 现 在 不 用 看 别 的, 就 看 本 题 的 问 题 即 可 本 题 的 问 题 问 的 是 lim f( 4 ), 这 就 属 于 抽 象 函 数 求 极 限 ( 因 为 带 着 " f " 呢, 所 以 是 抽 象 ) 按 0 照 小 技 巧 9 所 述, 我 们 首 先 要 将 lim 深 入 到 f 里 面 去 即 : 我 们 要 计 算 出 lim( 4 ) 由 代 入 法 可 知, lim( 4 ) = = 0 好, 按 照 小 技 巧 9 所 述, 我 们 现 在 要 看 看 函 数 f ( ) 在 = 处 是 否 连 续 大 家 可 能 现 在 会 比 较 奇 怪 地 对 我 说 : 老 师, 您 还 没 给 我 们 讲 什 么 叫 连 续 呢 啊 的 确, 我 确 实 还 没 给 大 家 讲 什 么 叫 连 续, 但 是 这 完 全 不 影 响 大 家 理 解 小 技 巧 9( 因 为 小 技 巧 9 只 关 注 是 连 续 还 是 不 连 续, 而 根 本 不 关 注 连 续 的 定 义 是 什 么 ) 那 么 现 在 我 们 就 看 看 函 数 f ( ) 在 = 处 是 否 连 续 由 于 题 中 说 函 数 f ( ) 在 = 处 连 续, 这 已 经 属 于 是 最 最 明 显 地 告 诉 我 们 f ( ) 在 = 处 是 连 续 的 所 以 根 据 小 技 巧 9, 有 : lim f( 4 ) = f(lim 4 ) () 0 0 由 于 刚 才 我 们 已 经 算 出 了 : lim( 4 ) = () 0 所 以 有 f (lim 4 ) = f() () 0 我 们 将 式 () 式 () 相 结 合, 得 lim f ( 4 ) = f() (4) 0 由 于 题 中 说 f () = 9 (5) 我 们 将 式 (4) 式 (5) 相 结 合, 得 lim f( 4 ) = 9 (6) 0 本 题 就 做 完 了 0 例. 已 知 函 数 f ( ) 在 = 处 的 函 数 值 是 f () = 9, 求 lim f( 4 ) 0 解 : 大 家 现 在 不 用 看 别 的, 就 看 本 题 的 问 题 即 可 本 题 的 问 题 问 的 是 lim f( 4 ), 这 就 属 于 抽 象 函 数 求 极 限 ( 因 为 带 着 f 呢, 所 以 是 抽 象 ) 按 0 照 小 技 巧 9 所 述, 我 们 首 先 要 将 lim 深 入 到 f 里 面 去 即 : 我 们 要 计 算 出 lim( 4 ) 由 代 入 法 可 知, lim( 4 ) = = 0 0 4

25 第 章 第 一 层 极 限 与 连 续 按 照 小 技 巧 9 所 述, 我 们 现 在 要 看 看 函 数 f ( ) 在 = 处 是 否 连 续 大 家 可 能 现 在 会 比 较 奇 怪 地 对 我 说 : 老 师, 您 还 没 给 我 们 讲 什 么 叫 连 续 呢 啊 的 确, 我 确 实 还 没 给 大 家 讲 什 么 叫 连 续, 但 是 这 完 全 不 影 响 大 家 理 解 小 技 巧 9( 因 为 小 技 巧 9 只 关 注 是 连 续 还 是 不 连 续, 而 根 本 不 关 注 连 续 的 定 义 是 什 么 ) 那 么 现 在 我 们 就 看 看 函 数 f ( ) 在 = 处 是 否 连 续 由 于 题 中 没 有 任 何 一 处 说 了 函 数 f ( ) 在 = 处 连 续, 所 以 这 也 就 意 味 着 f ( ) 在 = 处 连 续 还 是 不 连 续 我 们 不 知 道, 这 也 正 是 本 题 与 上 一 道 题 的 唯 一 区 别 所 以 说, 这 就 要 分 两 种 情 况 了 情 况 : 若 函 数 f ( ) 在 = 处 连 续, 那 么 根 据 刚 刚 讲 完 的 小 技 巧 9 有 lim f( 4 ) = f(lim 4 ) () 0 0 由 于 刚 才 我 们 已 经 算 出 了 : lim( 4 ) = () 0 所 以 有 f (lim 4 ) = f() () 0 我 们 将 式 () 式 () 相 结 合, 得 lim f ( 4 ) = f() (4) 0 由 于 题 中 说 f () = 9 (5) 我 们 将 式 (4) 式 (5) 相 结 合, 得 lim f( 4 ) = 9 (6) 0 情 况 : 若 函 数 f ( ) 在 = 处 不 连 续, 那 么 根 据 刚 刚 讲 完 的 小 技 巧 9 有 lim f( 4 ) f(lim 4 ) 0 0 因 此 我 们 无 法 求 出 lim f( 4 ) 0 例. 已 知 函 数 f ( ) 在 区 间 (, 9) 内 连 续, 且 f () = 9, 求 lim f( 4 ) 0 解 : 大 家 现 在 不 用 看 别 的, 就 看 本 题 的 问 题 即 可 本 题 的 问 题 是 lim f( 4 ), 这 就 属 于 抽 象 函 数 求 极 限 ( 因 为 带 着 f 呢, 所 以 是 抽 象 ) 按 照 小 技 巧 9 所 述, 我 们 首 先 要 将 lim 深 入 到 f 里 面 去 即 : 我 们 要 计 算 出 lim( 4 ) 0 由 代 入 法 可 知, lim( 4 ) = = 0 按 照 小 技 巧 9 所 述, 我 们 现 在 要 看 看 函 数 f ( ) 在 = 处 是 否 连 续 大 家 可 能 现 在 会 比 较 奇 怪 地 对 我 说 : 老 师, 您 还 没 给 我 们 讲 什 么 叫 连 续 呢 啊 的 确, 我 确 实 还 没 给 大 家 讲 什 么 叫 连 续, 但 是 这 完 全 不 影 响 大 家 理 解 小 技 巧 9( 因 为 小 技 巧 9 只 关 注 是 连 续 还 是 不 连 续, 而 根 本 不 关 注 连 续 的 定 义 是 什 么 ) 那 么 现 在 我 们 就 来 判 断 一 下 函 数 f ( ) 在 = 处 是 否 连 续 在 判 断 之 前, 我 先 来 告 诉 大 家 一 个 非 常 重 要 的 知 识 点 : 如 果 某 函 数 在 某 区 间 内 连 续, 那 么 就 意 味 着 该 函 数 在 该 区 间 内 的 任 何 一 点 都 连 续 0 5

26 考 研 数 学 三 部 曲 之 大 话 高 等 数 学 6 有 了 这 个 知 识 点, 这 道 题 就 变 的 很 容 易 了 由 于 题 中 说 函 数 f ( ) 在 区 间 (, 9) 内 连 续, 而 这 个 数 处 于 区 间 (, 9) 中, 根 据 刚 刚 的 知 识 点 可 知, 函 数 f ( ) 在 = 处 是 连 续 的 所 以 根 据 小 技 巧 9, 有 : lim f( 4 ) = f(lim 4 ) () 0 0 由 于 刚 才 我 们 已 经 算 出 了 : lim( 4 ) = () 0 所 以 有 f (lim 4 ) = f() () 0 我 们 将 式 () 式 () 相 结 合, 得 lim f ( 4 ) = f() (4) 0 由 于 题 中 说 f () = 9 (5) 我 们 将 式 (4) 式 (5) 相 结 合, 得 lim f( 4 ) = 9 (6) 0 本 题 就 做 完 了 到 目 前 为 止, 函 数 的 极 限 的 计 算 方 法 中 的 方 法 已 经 给 大 家 讲 完 了, 接 下 来 我 们 来 看 函 数 的 极 限 的 计 算 方 法 中 的 方 法 方 法. 等 价 无 穷 小 法 首 先, 我 先 来 解 释 一 下 我 为 什 么 要 给 大 家 讲 方 法 原 因 很 简 单, 因 为 方 法 ( 基 本 计 算 方 法 ) 并 不 是 万 能 的 我 举 个 例 子 sin 例. 请 计 算 lim 0 解 : 我 们 来 看 一 下 这 道 题 能 不 能 用 刚 刚 讲 完 的 方 法 ( 基 本 计 算 方 法 ) 来 做 基 本 计 算 方 法 分 为 代 入 法 画 图 法 九 个 小 技 巧 我 们 先 看 看 这 道 题 能 不 能 用 代 入 法 来 做 很 显 然 不 能, 因 为 代 入 完 以 后 分 母 就 是 0 了, 而 我 们 都 知 道 0 是 不 能 做 分 母 的, 所 以 说 这 道 题 不 能 用 代 入 法 来 做 我 们 再 来 看 看 这 道 题 能 不 能 用 画 图 法 来 做 要 想 用 画 图 法 来 做 这 道 题 的 话, 我 们 就 需 sin sin 要 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 画 出 函 数 y = 的 图 像 而 函 数 y = 的 图 像 并 不 好 画, 所 以 说 这 道 题 用 画 图 法 来 做 也 不 太 现 实 那 么 九 个 小 技 巧 呢? 大 家 可 以 挨 个 验 证, 发 现 没 有 任 何 一 个 小 技 巧 可 以 用 来 解 这 道 题 因 此 这 道 题 也 不 能 用 九 个 小 技 巧 来 做 综 上 所 述, 用 方 法 ( 基 本 计 算 方 法 ) 是 无 法 做 这 道 题 的 e 例. 请 计 算 lim 0 解 : 我 们 来 看 一 下 这 道 题 能 不 能 用 刚 刚 讲 完 的 方 法 ( 基 本 计 算 方 法 ) 来 做

27 第 章 第 一 层 极 限 与 连 续 基 本 计 算 方 法 分 为 代 入 法 画 图 法 九 个 小 技 巧 我 们 先 看 看 这 道 题 能 不 能 用 代 入 法 来 做 很 显 然 不 能, 因 为 代 入 完 以 后 分 母 就 是 0 了, 而 我 们 都 知 道 0 是 不 能 做 分 母 的, 所 以 说 这 道 题 不 能 用 代 入 法 来 做 我 们 再 来 看 看 这 道 题 能 不 能 用 画 图 法 来 做 要 想 用 画 图 法 来 做 这 道 题 的 话, 我 们 就 需 e e 要 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 画 出 函 数 y = 的 图 像 而 函 数 y = 的 图 像 并 不 好 画, 所 以 说 这 道 题 用 画 图 法 来 做 也 不 太 现 实 那 么 九 个 小 技 巧 呢? 大 家 可 以 挨 个 验 证, 根 本 没 有 任 何 一 个 小 技 巧 可 以 用 来 解 这 道 题 因 此 这 道 题 也 不 能 用 九 个 小 技 巧 来 做 综 上 所 述, 用 方 法 ( 基 本 计 算 方 法 ) 是 无 法 做 这 道 题 的 我 就 不 再 举 更 多 的 例 子 了, 总 之 我 想 要 告 诉 大 家 的 是 : 基 本 计 算 方 法 并 不 是 万 能 的 那 么 怎 么 办? 很 简 单, 那 就 再 给 大 家 讲 新 的 方 法 呗 下 面 我 给 出 九 个 式 子 sin ~ arcsin ~ tan ~ 4 arctan ~ 5 e ~ 6 a ~ lna 7 ln( ) ~ a 8 ( b ) ~ ab 9 cos ~ 大 家 现 在 一 定 很 困 惑, 因 为 大 家 不 知 道 以 上 九 个 式 子 到 底 是 什 么 意 思 这 很 正 常, 因 为 我 还 没 有 给 大 家 解 释, 我 马 上 就 要 给 大 家 解 释 但 是 在 我 给 大 家 解 释 以 上 九 个 式 子 之 前, 我 先 跟 大 家 说 一 件 很 重 要 的 事 情, 那 就 是 : 大 家 一 定 要 把 这 九 个 式 子 牢 牢 地 背 下 来, 背 的 越 熟 练 越 好 现 在 我 来 给 大 家 解 释 这 九 个 式 子 这 九 个 式 子 中, 都 出 现 了, 我 现 在 就 先 来 解 释 一 下 什 么 叫 在 趋 于 某 数 的 前 提 下, 极 限 为 0 的 那 个 东 西 就 可 以 被 当 成 是 以 上 加 粗 的 话 就 是 我 对 的 解 释 但 是 实 际 上, 我 心 里 明 白, 这 么 讲 大 家 肯 定 还 是 不 理 解 到 底 何 为 没 有 关 系, 大 家 不 用 着 急, 我 马 上 就 要 举 例 例. lim cos, 请 问 在 本 题 中 可 以 被 当 成 吗? 可 以 被 当 成 吗? cos 0 可 以 被 当 成 吗? 解 : 由 于 lim = 0, 所 以 在 本 题 中 可 以 被 当 成 0 由 于 lim = 0, 所 以 在 本 题 中 可 以 被 当 成 0 由 于 lim cos = 0, 所 以 在 本 题 中 cos 不 能 被 当 成 0 大 家 现 在 算 是 明 白 了 吧 7