第五章　导数和微分

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蚊沚凤
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1 第五章导数和微分一学习要求 : 正确理解微商的概念 ; 知道微商的几何意义与物理意义 ; 3 掌握可导与连续的关系 ; 4 牢固掌握求导的四则运算公式复合函数求导的法则和反函数求导的法则, 能迅速正确地求初等函数的导数 ; 5 熟悉基本初等函数的求导公式 ; 6 掌握隐函数的求导法, 对数求导法, 由参数方程确定的函数的求导法 ; 7 正确理解微分概念 ; 8 了解可微与可导的关系, 知道导数与微分的区别与联系 ; 9 正确理解一阶微分的形式不变性, 并会用它求导. 二学习的重点与难点重点 : 微商与微分的概念, 求导的四则运算法则, 复合函数的求导法则, 基本初等函数的求导公式. 难点 : 复合函数的求导法则, 一阶微分的形式不变性. 三导数的常用计算方法利用微商的定义求导 ; 利用求导的四则运算法则及基本初等函数的导数公式求导 ; 3 利用反函数求导法则求导 ; 4 利用复合函数的链式法则求导 ; 5 利用对数求导法则求导 ; 6 隐函数求导法 ; 7 由参数方程给出的函数的求导 ; 8 用莱布尼兹公式求高阶导数. 四微分的求法用 dy d 来求 ; 利用微分的四则运算公式来求 ; 3 利用一阶微分的形式不变性来求复合函数的微分. 一导数的概念. 定义的提出 : 由两个问题引入导数的思想 : 瞬时速度和切线的斜率. 定义设函数 y 在点的某领域内有定义, 若极限 lim 存在, 则称在可导, 并称该极限为在点的导数, 记为. 注 : 几个等价的形式 : 若令 + Δ, Δ y + Δ, 则

2 Δy 式也可写成 : lim lim Δ + Δ Δ. 在不求极限时, 这个增量比称为函数关于自变量的平均变化率, 而导数则为在处关于自变量的变化率. 3 导数的几何意义 : 过, 的切线的斜率. 例利用定义求 : y 在处的导数, 并求曲线在, 处的切线方程. 例证明 y 在处不可导. 下面介绍可导与连续的关系 : 定理若函数在可导, 则在点连续. 但是反之一般不成立. 证明要用到有限增量公式, 即 : y Δ Δ + o Δ 例 3 证明函数 y D 仅在处可导, 其中 D 为狄利克雷函数. 由于导数的概念是由极限给出的, 因此也可考虑单侧的极限, 进而就有单侧导数的概念 : 定义设函数 y 在点的某右领域内有定义, 若极限 lim + 存在, 则称在右可导, 并称该极限为在点的右导数, 记为 +. 类似的, 可以定义左导数的概念. 定理在可导的充要条件是 : 在左, 右可导. 这个定理通常针对分段函数的分界点. cos, 例 4 设, 讨论函数在的左, 右导数以及导数., <. 导函数若函数在区间 I 上的每一点都可导对区间端点, 近考虑相应的单侧导数, 则称为 I 上的可导函数. 此时对每个 I, 都有的一个导数与之对应. 这样就定义了一个在 I 上的函数, 称其为在 I 上的导函数. 记为, y 或

3 dy 者. d 例证明 si cos, cos si 3 log a log a e a >, a, > 3. 导数的几何意义 3 例求曲线 y 在点 P, y 处的切线与法线方程. 4. 关于极值极值是函数的局部性质. 定义若函数在的某邻域 U 内对一切 U 有则称在取得极大值极小值. 极大, 极小通称为极值. 例证明 : 若 + >, 则存在 δ >, 对任何, + δ, 有 < 定理费马定理设函数在的某邻域内有定义, 且在可导. 若点是的极值点, 则. U 称满足方程的点为稳定点. 因此费马定理表明 : 可导的极值点必为稳定点, 但反之一般是不成立的. 定理达布定理若函数在 [ a, b] 上可导, 且 a b,k 为介于 + a 与 + b 之间的任一实数, 则至少存在一点 ξ a, b, 使得二求导法则 ξ k. 四则运算 u ± u ± u u + u

4 u u u 例设 π, 求例 y cos l, 求 y π 例 3 证明例 4 求 sec sec ta, csc csc cot. 反函数的导数定理设 y 是 y 的反函数, 若 ϕ y 在点的某邻域内连续, 严格单调且 ϕ y, 则在点可导, 且 3. 复合函数的导数 y 引理在可导的充要条件是在的某邻域内, 存在一个在点连续的函数 H, 使得从而 H. y H U 注 : 在可导的充要条件是 : 是函数的可去间断点. 定理设 u 在点可导, y u 在点 u ϕ 可导, 则复合函数 oϕ 在点可导, 且 o ϕ u. 复合函数求导的链式法则例设 y si, 求 y 例设 +, 求, 例 l + +, ta, 求例对数求导法整体来看, 仅含有乘法和除法运算, 在求导的过程中, 这两个运算式比较麻烦的, 而利用取对数可以把乘除转化为加减.

5 + 5 4 设 y, 求 y 例设 y u, 其中 u >, u, 均可导, 试求此幂指函数的导数. 4. 基本求导法则与公式求导法则 : u ± u ± u u + u u u u dy d d dy dy dy d du 基本的求导公式 c du d c 为常数 α α α α 为任意实数 3 si cos, cos si 4 ta sec, cot csc sec sec ta, csc csc cot 5 a a l a, e e 6 log a log a e, l 7 arcsi, arccos + arcta, arc cot 三参变量函数的导数 + 设平面曲线 C 一般的表达形式是参变量方程 t y ψ t α t β

6 ϕ 与 ψ 在 t 点可导, 且 ϕ t, 则 dy d ψ t t 若 ϕ 与 ψ 在 [ α, β ] 上有连续的导函数, 且 + ψ, 这时称 C 为光滑的曲线. 例试求由上半椭圆的参量方程 a cost y bsi t, t π 所确定的函数 y y 的导数. 四高阶导数背景 : 加速度. 首先讨论二阶导数的概念. 定义若的导函数在可导, 则称在二阶可导, 记为. 即 lim. 注 : 若函数在区间 I 上的每一点都二阶可导, 则得到一个定义在 I 上的二阶导函数, 记做. 在点的阶导数是由的阶导函数来定义的. 3 记法 : 在点的阶导数可记为 : y d y d 例求 y 的各阶导数例 y si, y cos 的各阶导数例 y e 的各阶导数 4 高阶导数的四则运算 u ± u ± 但是对于 u, 其公式类似于二项式展开式的公式 u u + c u + c u + L + c u + u

7 例 y e 5 cos, 求 y., 例求的各阶导数., < 例由参量确定的函数的二阶导数五微分 t y ψ t t dy ψ t d t dy d d y d. 微分的概念由一个具体的例子给出 : 正方形的面积 ψ t t ψ t t t 定义设函数 y 在点的某领域内有定义, 当给一个增量 Δ, 相应地得到函数的增量为 Δ y + Δ 如果存在常数 A, 使得 Δy 能表示成 Δy + Δ A Δ + o Δ 则称函数在可微, A Δ 为在的微分. 记作 : dy A Δ, d A Δ 注 : 在的微分若在可微, 则 dy A Δ 是 Δ 的线性函数. Δy dy lim. Δ Δ 可微与可导的关系 : 定理在可微当且仅当在可导. 可微的几何意义 : 曲线方程为 y, 在点, 的附近, 可以用切线来代替曲线.. 可微函数若函数在区间 I 上的每一点都可微, 则称为 I 上的可微函数. y 在 I 上任意一点的微分, 记作 : dy Δ

8 注 :Q 对于 y, Δ y Δ d, 因此上式写作 dy d. 这样的话. 前面介绍的导数的记号, 就可解释为函数微分与自变量微分的商. 此时 dy Δ 中含有两个独立的变量, 一个是, 一个是 Δ. 例 d α α d dsi cos d dl d 3. 微分的运算法则 d u ± du ± d d u du + ud u du ud d d o g u g d, 其中 u g 注 : 关于一阶为微分的形式不变性 : 对于 y, 为自变量时 dy d. 对于 y, t, 为中间变量, 此时的 dy ϕ t t dt d. 二者形式上是一样的. 例求 y l + cos 的微分. si 例求 a + b y e 的微分. 4. 高阶微分 dy Δ 其中变量和 d 是相互独立的. 那么 d y d dy d d d d + d d d d 注 : d d, d d, d. 一般的, 阶微分是阶微分的微分, 记作 : d y d y d

9 一阶微分具有形式不变性, 但高阶微分不具有形式不变性. 当 y, 为自变量 d y d 当 y, t, 为中间变量, d y d dy d t t dt d t t dt + + t t d t t d 例求 y si t 的二阶导数. 5. 微分在近似计算中的应用求近似值 o 例求 si 33 的近似值. t + t t dt t d t dt 误差估计 si 33 o π π si +, si Δ y o π π π si + cos Δ δ

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第五章 导数和微分

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