第八章不定积分 1 不定积分概念与基本积分公式 2 换元积分法与分部积分法

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奎喻
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1 第八章不定积分不定积分概念与基本积分公式换元积分法与分部积分法

2 不定积分概念与基本积分公式正如加法有其逆运算减法, 乘法有其逆运算除法一样, 微分法也有它的逆运算积分法. 我们已经知道, 微分法的基本问题是研究如何中从已知函数求出它的导函数, 那么与之相反的问题是 : 求一个未知函数, 使其导函数恰好是某一已知函数. 提出这个逆问题, 首先是因为它出现在许多实际问题之中. 例如 : 已知速度求路程 ; 已知加速度求速度 ; 已知曲线上每一点处的切线斜率 ( 或斜率所满足的某一规律 ), 求曲线方程等等. 本章与其后两章 ( 定积分与定积分的应用 ) 构成一元函数积分学.

3 一原函数与不定积分的概念引例 : 一个质量为 m 的质点, 在变力 F Asin t 的作下沿直线运动, 试求质点的运动速度 v(t). F A 根据牛顿第二定律, 加速度 a( t) sin t m m A 因此问题转化为 : 已知 v ( t) sin t, 求 v( t)? m 定义. 若在区间 I 上定义的两个函数 F () 及 f () 满足 F ( ) f ( ) 或 F( ) f ( ), 则称 F () 为 f () 在区间 I 上的一个原函数. 如引例中, A A sin t 的原函数有 cos t m m, A m cost 3,

4 问题 :. 在什么条件下, 一个函数的原函数存在?. 若原函数存在, 它如何表示? 定理 8. 若函数 f ( ) 在区间 I 上连续, 则 f ( ) 存在原函数. ( 下章证明 ) 在 I 上初等函数在定义区间上连续初等函数在定义区间上有原函数

5 定理 8. 设 F 是 f 在区间 I 上的一个原函数, 则 ( i ) F+ 也是 f 在 I 上的原函数, 其中为任意常量函数 ( ii ) f 在 I 上的任意两个原函数之间, 只可能相差一个常数证 : ) ( F( ) ) F() f () F( ) 是 f ( ) 的原函数 ) 设 ( ) 是 f ( ) 的任一原函数, 即 ( ) f ( ) 又知 F( ) f ( ) [ ( ) F( )] ( ) F( ) f ( ) f ( ) 0 ( ) F( ) ( 0 为某个常数 ) 故 0 它属于函数族 F( ).

6 定义. f () 在区间 I 上的原函数全体称为 f ( ) 在 I 上的不定积分, 记作 f ( ), 其中积分号 ; f () 被积函数 ; 积分变量 ; f ( ) 被积表达式. 若 F ( ) f ( ), 则例如, f ( ) F( ) ( 为任意常数 ) e e 3 3 (P77) 称为积分常数, 不可丢! sin cos

8 注由定义可见, 不定积分与原函数是总体与个体的关系, 即 F 若是 f 的一个原函数, 则 f 的不定积分是一个函数族 {F+}, 其中是任意常数为方便起见, 写作 f ( ) F( ). (5) 这时又称为积分常数, 它可取任一实数值.

9 f ( ) F( ) f ( ), 注注 3 f ( ) [ F( ) ] f ( ). (3) 按照写法 (), 本节开头所举的几个例子可写作 3, 3 sin cos, arctan arctan ln( ). 一个函数存在不定积分与存在原函数显然是等同的说法

10 不定积分的几何意义若 F 是 f 的一个原函数, 则称 y F( ) 的图象为 f 的一条积分曲线于是,f 的不定积分在几何上表示 f 的某一积分曲线沿纵轴方向任意平移所得一切积分曲线组成的曲线族 ( 图 8 ), 显然, 若在每一条积分曲线上横坐标相同的点外作切线, 则这些切线互相平行

11 例. 设曲线通过点 (, ), 且其上任一点处的切线斜率等于该点横坐标的两倍, 求此曲线的方程. 解 : y y y 所求曲线过点 (, ), 故有 (,) O 因此所求曲线为 y

12 二基本积分表实例 ( ) 启示能否根据求导公式得出积分公式?.

13 实例 (7) cos sin ;

14 arctan ;

15 ) 0 ( ; ) ( k k ; e e (5) ); (0 ln 4) ( a a a a ; ln (3) ); ( () ; sin cos (7) ; cos sin 6) ( ; cot csc (9) ; tan sec (8) ; csc cot csc () ; sec tan sec 0) ( 0); ( arcsin () a a a 基本积分表 (P.79)

16 ( 3) arctan a a a ( a 0); a ( 4) ln a a a ( a 0); (5, 6) ln a. 另外补充 a (7) sec ln sec tan, (8) csc ln csc cot,

17 定理 8.3 若函数 f 与 g 在区间 I 上都存在原函数, 证 k. k 为两个任意常数, 则 k f 数且 k f ( ) kg( ) k f ( ) k g( ). 在 I 上也有原函这是因为 k f ( ) k g( ) k( f ( ) ) k( g( ) ) 线性法则 (5) 的一般形式为 n i i i i i i k f ( ) k g( ). ( k f ( )) ( k f ( ) ). n k g (6) (5)

18 根据上述线性运算法则和基本积分公式, 可求得一些简单函数的不定积分例例例 3 p( ) a a a a. n n 0 n a a a p a n n 4 ( ) 0 n n n ( ) n. cos sin arctan. 3 3 cos cos sin sin n (csc sec ) cot tan.

19 例 4 cos 3 sin (sin 4 sin ) ( cos 4 cos ) 4 (cos 4 cos ). 8 例 5 (0 0 ) (0 0 ) [(0 ) (0 ) ] ln0 (0 0 )

20 例 6 ) ( ) ( ) (. ln arctan 有理函数拆项 : 4 ) )( ( ) (. arctan 3 3 例 7

21 三角变换 : 例 8 tan (sec. ) tan cos 例 9 cos sin cos cos sin sin ( cos sin ) sin cos.

22 内容小结. 不定积分的概念原函数与不定积分的定义不定积分的性质基本积分表 ( 见 P79). 直接积分法 : 利用恒等变形, 积分性质及基本积分公式进行积分. 分项积分常用恒等变形方法加项减项利用三角公式, 代数公式,

23 思考题符号函数 f ( ) sgn, 0,, (, ) 在内是否存在原函数? 为什么?

24 思考题解答假设有原函数 F() 但 F ( ) 在 0, 0 F( ), 0 3, 0 处不可微, 故假设错误所以 f ( ) 在 (, ) 内不存在原函数. 结论每一个含有第一类间断点的函数都没有原函数.

25 取整函数 y=[], 其中 [] 表示不超过的最大整数 4 3 y o 阶梯曲线 -3-4 结论没有原函数

26 积不出的函数有些初等函数, 其原函数为非初等函数 sin cos e,,,, sin( ), cos( ). ln Liouville 定理设 K 是函数域, 并且导数也在 K 中, 这样的域也称为微分域设 a K 是一个初等函数. 如果 y a 并且 y 是在 K 的初等函数扩张域中, 那么 a K 一定具有如下形式 : n ui ' a ci v ' u i0 其中 c 都是常数, ui K, v K i i

27 f ( z)e g z ( ) Liouville 定理存在初等原函数的充要条件是 f b ' bg ', b K ( z) 推论 e z e z, 不存在初等原函数推论 e z z 不存在初等原函数

28 H ''( r) ah '( r) 0 解 H '(0) p w N month H (0) [ lim ( month) ] ap Y monthjanuary H ap N Y w month (0) [ lim ( month) ] monthjanuary w N [ lim( ) m m ] m ap Y w N [ lim ( ) m m ] m 0 ap Y N [ ] e w ap Y

29 H '( r) ah ( r) H ''( r) ah '( r) 0 H '( r) ah ( r) '. N w N ' [ e ] e p p Y p Y H '( r) ah ( r) ar N w ar e H ( r) e e p Y N ar ( ) w e H r e e ar ap Y N w H ( r) e e ap Y H ap y Ne Ye w ar ar N e W P Y w ap

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