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占矢秋
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1 内部资料请勿外传 7 年全国硕士研究生入学统一考试模拟测试 ( 数一 ) 总分 :5 分用时 :8 分钟姓名 : 专业 : 分数 : 6 年月第页共页总部地址 : 北京市西城区西直门南大街号成铭大厦 C 座

2 一选择题 :~8 小题, 每小题 4 分, 共分, 下列每小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求的, 请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. ( ), () 已知函数 f( ), 则 f ( ) 的一个原函数为 l, ( ), (A) F( ) (l ), ( ), (B) F( ) (l ), ( ), (C) F( ) (l ), ( ) (D) F( ) (l ) () 设有两个数列, a b, 若 lim a, 则 ( ) (A) 当 b 收敛时, ab 收敛. (B) 当 b 发散时, ab 发散. (C) 当 b 收敛时, ab 收敛. (D) 当 b 发散时, ab 发散. () 已知函数 y f( ) 对一切非零满足 f( ) [ f( )] e e f( ) ( ), 则 ( ) (A) f ( ) 是 f ( ) 的极大值 (B) f ( ) 是 f ( ) 的极小值 (C) (, f( )) 是曲线 y f( ) 的拐点 (D) f ( ) 是 f ( ) 的极值, 但 (, f( )) 也不是曲线 y f( ) 的拐点 b (4) 设在区间 [a,b] 上 f ( ), f( ), f( ), 令 S f( ) d, a S f( b)( ba), S [ f( a) f( b)]( b a), 则 ( ) (A) S S S (B) S S S (C) S S S (D) S S S (5) 设矩阵 A, B, 则 A 与 B ( ) (A) 合同, 且相似 (B) 合同, 但不相似 (C) 不合同, 但相似 (D) 既不合同, 也不相似 (6) 设矩阵 AB, 是可逆矩阵, 且 AB, 相似, 则下列结论错误的是第页共页总部地址 : 北京市西城区西直门南大街号成铭大厦 C 座

3 (A) A T T 与 B 相似 (B) A, B 相似 T T (C) A A 与 B B 相似 (D) A A, B B 相似 (7) 设 ABC,, 是三个相互独立随机事件, 且 PC ( ), 则下列给定的四对事件中不相互独立的是 ( ) (A) A B 与 C (B) AC 与 C (C) A B与 C (D) AB 与 C (8) 设随机变量 X, X,, X ( ) 独立同分布, 且其方差, 令 Y X i i, 则 ( ) (A) cov( X, Y ) (B) cov( X, Y ) (C) D( X Y) (D) D( X Y) 二填空题 :94 小题, 每小题 4 分, 共 4 分, 请将答案写在答题纸指定位置上. si tdt (9) 设函数 f( ), 在处连续, 则 a. a, () cos d. dy () 设函数 y y ( ) 由方程 l( y) y si 确定, 则 d. (). 若函数 f ( uv, ) 可微, z zy (, ) 是由方程 ( ) z y f ( z, y) 确定, 则 dz (, ). ()) 若 4 维列向量, T 满足, 其中 T T 为的转置, 则矩阵的非零特征值为. (4) 设 X, X,, Xm 为来自二项分布总体, B p 的简单随机样本, X 和 S 分别为样本均值和样本方差若 X ks 为 p 的无偏估计量, 则 k 三解答题 :5 小题, 共 94 分. 请将解答写在答题纸指定位置上. 解答应写出文字说明证明过程或演算步骤. (5)( 本题满分分 ) 已知平面区域 D(, r ) r (cos ),, 计算二重积分 ddy. (6)( 本题满分分 ) y' ' ( y' ) y 求微分方程的解 y(), y' () D 第页共页总部地址 : 北京市西城区西直门南大街号成铭大厦 C 座

4 (7)( 本题满分分 ) 就 k 的不同取值情况, 确定方程 si k (8)( 本题满分分 ) f(, y) 设函数 f ( y, ) 满足 ( ) e y f(, y) f(, y) 线积分 I() t d dy, 并求 I() t 的最小值. L t y (9)( 本题满分分 ) 求幂级数的收敛域及和函数. 在开区间 (, ) 内根的个数, 并证明你的结论., 且 f (, y) y, L t 是从点 (,) 到点 (, t ) 的光滑曲线, 计算曲 ()( 本题满分分 ) a b 已知向量组,, 向量组与向量组, 秩, 且可由,, 线性表示求 a,b 的值. 9, 6 7 具有相同的 ()( 本题满分分 ) f,, a a 的正负惯指数都是, 试计算 a 的值并用设二次型正交变换将二次型化为标准型 ()( 本题满分分 ) 4 y,, y 已知随机变量 X, Y 的联合概率密度为 ( y, ), 求 X, Y 的联合分布函数 F(, y ), 其它 ()( 本题满分分 ) 设总体 X 的概率密度为 f( ) ( ) e,, 若其中是未知参数. 从总体 X 若中抽取简单随机样本 X, X,, X, 记 mi( X, X,..., X ), () 求总体 X 的分布函数 F( ) ; () 求统计量 () 如果用的分布函数 F ( ) ; 作为的估计量, 讨论它是否具有无偏性. 第 4 页共页总部地址 : 北京市西城区西直门南大街号成铭大厦 C 座

5 模拟测试一数学 ( 一 ) 全真模考测试卷答案一选择题 ()B ()C ()D (4)B (5)D (6)C (7)B (8)A 二填空题 (9) a () 9(4 ) (). () dz (, ) d dy () (4) 三解答题 :5 小题, 共 94 分. 请将解答写在答题纸指定位置上. 解答应写出文字说明证明过程或演算步骤. (5) 注意 r a( cos ) 是心形线, 图形清楚, 题目简单, 另外要记住公式 si d 4, 为奇数 5 cos d, 否则计算量太大., 为偶数 4 D (cos ) 6 ddy d r cosrdr cos ( cos ) d (cos cos cos ) ( ) 5 d 4 6 y' ' ( y' ) y (6) 求微分方程的解 y(), y' () dp dp 解 : 令 y' p, 则 y' ' p 得到 p p y dy dy 令 p du u, 得到 u y 为关于 y 的一阶线性方程. 且 u p () [ y' ()] dy 解得 u y ce y 所以 u y() ce y() ce, c. 于是 u y, p y dy y d y c,, y c c y ( ), 得到, 得解 y (7) 就 k 的不同取值情况, 确定方程 si k 在开区间 (, ) 内根的个数, 并证明你的结论. 第 5 页共页总部地址 : 北京市西城区西直门南大街号成铭大厦 C 座

6 解设 f ( ) si, 则 f ( ) 在 [, ] 上连续. 由 f( ) cos, 得 f ( ) 在 (, ) 内的唯一的驻点 arccos 由于当 (, ) 时, f( ), 当 (, ) 时, f( ). 所以 f ( ) 在 [, ] 上单调减少, 在 [, ] 上单调增加, 因此是 f ( ) 在 (, ) 内的唯一的最小值点, 最小值为 y f( ) si. 又因, 故在 (, ) 内 f ( ) 的取值范围为 [ y,). 故当 k( y,), 即 k y或 k 时, 原方程在 (, ) 内没有根 ; 当 k y 时, 原方程在 (, ) 内有唯一根 ; 当 k ( y,) 时, 原方程在 (, ) 和 (, ) 内各恰有一根, 即原方程在 (, ) 内恰有两个不同的根 f(, y) y (8) 由条件 ( ) e 知 y y f ( y, ) ( ) e d e Cy ( ), 其中 C( y ) 有任意一个可导函数. 又由条件 f (, y) y, 得 C( y) y 从而 y f ( y, ) e y, 显然具有连续的二阶偏导数. f(, y) y f(, y) y 设 Py (, ) () e, Qy (, ) e, 则有 y P f(, y) y Q f(, y) () e, y y y f(, y) f(, y) 也就是曲线积分 I() t d dy与积分路径无关, 则 L t y f(, y) f(, y) I() t d dy () e d ( e ) dy te Lt y t y t, 第 6 页共页总部地址 : 北京市西城区西直门南大街号成铭大厦 C 座

7 di() t t dit () t di() t t 且 e, e 令 e, 得唯一驻点, 所以函数 I() t 在 t 处取得最小值 dt dt dt I () e. (9) 求幂级数的收敛域及和函数. 解 : 因为 u lim lim u, 所以当, 即时, 原幂级数绝对收敛. ( ) 当时, 级数为, 由莱布尼兹判别法显然收敛, 故原幂级数的收敛域为 [,]. 又 ( ) ( ) 令 f( ),, ( ) 则 ( ) f 由于 f, 所以 arcta. f f t dt f 从而幂级数的收敛域为 [,], 和函数为 arcta, [,]. a b () 已知向量组,, 向量组与向量组, 9, 6 具有相同的秩, 且可由,, 线性表示求 a,b 的值. 7 解方法一 : 和线性无关,, 因为关组. 所以向量组,, 线性相关, 且秩为,, 由于向量组,, 与,, 具有相同的秩, 故,, 线性相关. 从而行列式为它的一个极大线性无第 7 页共页总部地址 : 北京市西城区西直门南大街号成铭大厦 C 座

8 a b,,, 由此解得 a. b 又可由,, 线性表示, 从而可由, 线性表示, 于是,, 线性相关. 因此有 b,,, 化简得 b, 于是 a 5. b 5. 方法二 : 可由,, 因线性表示, 故线性方程组 9 b 6 7 有解, 对增广矩阵施行初等行变换 : 9 b 9 b 9 b 6 b 6 b 6 7 b b 6 由非齐次线性方程有解的条件知 b b, 6 解得 b 5 又因为, 线性无关, 所以向量组,, 的秩为, 而题设,, 与,, 同秩, 从而有 a 5,,, 由此解得 a 5. f,, a a 的正负惯指数都是, 试计算 a 的值并用正 () 设二次型第 8 页共页总部地址 : 北京市西城区西直门南大街号成铭大厦 C 座

9 交变换将二次型化为标准型 a 解 : 二次型的矩阵为 A a a 由二次型的正负惯性指数都是, 可知 ra ( ), 所以 a, 或 a 又 a 时, 显然 ra ( ), 故只取 a 此时 E A ( )( ) 所以 A 的特征值是,, 当时, 解方程组 ( EA) X, 得基础解系为 (,,) T a A a a a a ( )( ) 当时, 解方程组 ( EA) X, 得基础解系为 (,, ) T 当时, 解方程组 ( EA) X, 得基础解系为 (,, ) T 将,, 单位化得 T T T (,, ), (,, ), (,, ), 因此所求的正交变换为 6 y y 6 y 6 所求的标准型为 y y 4 y,, y () 已知随机变量 X, Y 的联合概率密度为 ( y, ), 求 X, Y 的联合分布函数 F(, y), 其它解 : 由分布函数的定义可知 Fy (, ) PX Y, y 因此, 当, y 当 y 时, Fy PX Y y, 由于 X, Y 只在区域 X,Y 上取值 (, ),, 或时, Fy PX Y y (, ), 第 9 页共页总部地址 : 北京市西城区西直门南大街号成铭大厦 C 座

10 当, y 时, y F(, y) P X, Y y f ( u, v) dudv dv 4uvdu y 当, y 时, u, vy u, vy F(, y) P X, Y y f ( u, v) dudv dv 4uvdu 当, y 时, u, vy F(, y) P X, Y y f ( u, v) dudv dv 4uvdu y y, 或 y y dv 4,, uvdu y y 则 F(, y),, y y,, y,, y () 设总体 X 的概率密度为 f( ) ( ) e, 若, 若其中是未知参数. 从总体 X 中抽取简单随机样本 X, X,, X, 记 mi( X, X,..., X ), () 求总体 X 的分布函数 F( ) ; () 求统计量 () 如果用解 : () F ( ) ftdt ( ) 的分布函数 F ( ) ; 作为的估计量, 讨论它是否具有无偏性., 当, F( ) ; ( t ) ( ) 当时, F ( ) e dte. () mi(,,..., ), 所以 X X X 第页共页总部地址 : 北京市西城区西直门南大街号成铭大厦 C 座

11 F ( ) P Pmi( X, X,..., X) P X X X PX X X PX PX PX F mi(,,..., ),,, ( ),,,, ( ) ( ) e, e, ( ) ( ) e, e, () ', 的概率密度为 f( ) F ( ) ( ) e, ( ) E f ( ) d e d, 所以, 可见 E, 即不是的无偏估计. 第页共页总部地址 : 北京市西城区西直门南大街号成铭大厦 C 座

Born to win 2019 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一选择题 :1~8 小题, 每小题 4 分, 共 32 分, 下列每小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求的, 请将所选项前的字母填在答题纸... 指定位置上. k (1) 当 x 0 时, 若 x tan x与

Born to win 2019 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一选择题 :1~8 小题, 每小题 4 分, 共 32 分, 下列每小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求的, 请将所选项前的字母填在答题纸... 指定位置上. k (1) 当 x 0 时, 若 x tan x与 9 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一选择题 :~8 小题, 每小题 4 分, 共分, 下列每小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求的, 请将所选项前的字母填在答题纸... 指定位置上. () 当时, 若 t 与是同阶无穷小, 则 (A). (C). (B). (D)4. 答案 C 解析 t ( o( )) ~, 故.,, () 设函数 f ( ) l,, 则是 f (