第一节 导数的概念
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1 第 2 章一元函数微分学 2.1 导数的概念 2.2 导数的运算法则与基本公式 2.3 高阶导数 2.4 微分及其计算 2.5 中值定理罗比塔法则 2.6 函数的单调性与极值 2.7 微分在经济中的应用 1
2 2.1 导数概念 导数概念的实例 切线问题 如图, 如果割线 MN 绕点 M 旋转而趋向极限位置 MT, 直线 MT 就称为曲线 C 在点 M 处的 o 切线. 极限位置即 MN, NMT. 设 M 割线 MN 的斜率为 tan 沿曲线 C N M,, 切线 MT 的斜率为 k tan α C α M ϕ,, N,. ϕ, lim. N T 2
3 导数的定义,,,,, ;,, + + 记为处的导数在点数并称这个极限为函处可导在点则称函数时的极限存在之比当与如果得增量取相应地函数仍在该邻域内时点处取得增量在当自变量有定义的某个邻域内在点设函数定义 2.1
4 4. lim h h h + 其它形式. lim + lim lim, d d d d 或即,, + 则只须令
5 对于任一 导数值. 这个函数叫做原来函数 记作, I, 都对应着, d d 或 + 即 lim + h 或 lim. h h 注 :.. 1 d. d 的一个确定的 的导函数. 2. 导函数 瞬时变化率 是函数平均变化率 的逼近函数. 5
6 例 1 解 设函数 sin, 求 sin 及 sin π 4. 6
7 定义 2.3 单侧导数 1. 左导数 : lim 2. 右导数 : + lim + lim lim 函数 在点 处可导 左导数 和右导 数 + 都存在且相等. 如果 在开区间 b b 都存在, 就说 a, 内可导, 且 + a 及 在闭区间 [ b] ; ; a, 上可导. 7
8 例 2 讨论函数 在 处的可导性. 解 8
9 2.1.3 可导与连续的关系 定理 2.1 若 在 点可导, 则 在点连续. 证设函数 在点 可导, lim lim lim 函数 在点 连续. 注 : 连续是可导的必要非充分条件, 即连续函数并不一定可导, 但不连续函数必不可导. 9
10 2.1.4 导数的几何意义 1. 几何意义 在点 M 表示曲线, 切线的斜率, 即 tanα, 处的 α为倾角 o α M T 切线方程为法线方程为. 1. 1
11 1 1 求等边双曲线 在点,2 处的切线的 2 斜率, 并写出在该点处的切线方程和法线方程. 例 7 解 11
12 导数的四则运算法则性质则处可导在点如果函数,, g. ] [ ; ] [ ; ] [ ] [ ± ± g g g g g g g g g g C C C 为常数 2.2 导数的运算法则与基本公式
13 13 定理 2.2 反函数求导法则.,,, I I 1 ϕ ϕ ϕ 且有可导在对应区间时, 当则它有反函数内严格单调且可导在设函数即反函数的导数等于原函数导数的倒数.
14 例 1 求函数 arcsin 的导数. 解 14
15 导数的基本公式 C tan sec sec sec tan cos sin 2 cot csc csc csc cot sin cos 2 1 µ µ µ a a a a a ln 1 log ln e e 1 ln arctan 1 1 arcsin cot 1 1 arccos + arc
16 例 2 解 求 sin 的导数. 例 3 求 sec 的导数. 解 16
17 例 4 求函数 a ln 的导数. 解 例 5 设 1 2 1, 求 1. 解 17
18 2.2.3 复合函数求导法则 定理 2.3 在点 u 可导, d d 如果函数 u d d g 可导 且其导数为, u g [ g ] g g 在点 可导 则复合函数, [ g ] 在点 而 { [ g ] } [ g ] g. u 即因变量对自变量求导, 等于因变量对中间变量求导, 乘以中间变量对自变量求导. 链式法则. 18
19 推广 设 u, u ϕ v, v ψ, 则复合函数 d d d du { ϕ[ ψ ]} 的导数为 du dv dv d. 例 6 2 求函数 的导数. 解 19
20 例 7 求函数 e 1 sin 的导数. 解 例 8 解 求函数 ln 3 > 2 2 的导数. 2
21 对数求导法则 : ln ln ln ln 适用于幂指函数 u 例 9 解 v sin 求函数 1+ 2 > 的导数. 1 及复杂的乘除式 21
22 2.2.4 隐函数的导数 定义 : 由方程所确定的函数 形式称为显函数. 称为隐函数. F, 隐函数的显化 问题 : 隐函数不易显化或不能显化如何求导? 隐函数求导法则 : 用复合函数求导法则直接对方程两边求导. 22
23 例 1 求由方程 e + e 所确定的隐函数 的导数 d d, d d. 解 23
24 由参数方程所确定的函数的导数., 称此为由参数方程所确定的函数间的函数关系与确定若参数方程 t t ψ ϕ 例如,, 2 2 t t 2 t t 消去参数问题 : 消参困难或无法消参如何求导? t
25 25, 1 t t ϕ ϕ 具有单调连续的反函数设函数 ] [ 1 ϕ ψ,,, t t t ϕ ψ ϕ 且都可导再设函数由复合函数及反函数的求导法则得 d dt dt d d d dt d dt d 1 t t ϕ ψ. t t dt d dt d d d 即, 中在方程 ψ ϕ t t
26 例 11 设曲线的方程是 e e t t sin 2t, 求 cos t d d. 解 26
27 2.2.6 分段函数求导 1 在各个部分区间内, 用导数公式与运算法则求导 ; 2 在分段点 处, 可用导数定义来求导. 例 12 解 设, <, 求. ln1 +, 27
28 28
29 2.3 高阶导数 问题 : 变速直线运动的加速度. 定义 2.4 设 s t, 则瞬时速度为 v t t 加速度 a是速度 v对时间 t的变化率 a t v t [ t]. 如果函数 的导数 在点 处可导, 即 + lim 存在, 则称 为函数 在点 处的二阶导数. 29
30 3 记作.,, d d d d 或 阶导数记作的函数阶导数的导数称为的函数一般地, 1, n n.,, n n n n n n d d d d 或三阶导数的导数称为四阶导数, 二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.. ;, 称为一阶导数称为零阶导数相应地.,, 3 3 d d 二阶导数的导数称为三阶导数,.,, d d
31 例 1 解 设 arctan, 求,. 31
32 2.4 函数的微分 微分的概念 定义 2.5 设函数 在某区间内有定义, 及 + 在这区间内, 如果 + 成立 其中 A是与 无关的常数, 则称函数 记作 d 在点 在点 可微, 相应于自变量增量 的微分, 或 d, 即 d A + o 并且称 A 为函数 A. 微分 d叫做函数增量 的线性主部. 微分的实质 32
33 例 1 解 3 求函数 当 2,.2时的微分. 即函数的微分 d与自变量的微分 d之商等于该函数的导数. 导数也叫 " 微商 ". 33
34 2.4.2 微分的几何意义及其在近似 计算的应用 几何意义 : 如图 当 是曲线的纵坐标增量时, d 就是切线纵坐标对应的增量. o α M N P d + T o 当 很小时, d. 34
35 计算函数的近似值 求 在点 附近的近似值 ; o 例 2 计算 cos6 3 的近似值. 解. 很小时 35
36 36
37 2.4.3 微分运算法则 d d 求法 : 先求, 则 d d. 1. 基本初等函数的微分公式 d C d µ µ µ 1 d dsin cos d dcos sin d dtan sec 2 d dcot csc 2 d dsec sec tan d dcsc csc cot d 37
38 38 d d d d d d d d d d d a d d e e d ad a a d a cot 1 1 arctan 1 1 arccos 1 1 arcsin 1 ln ln 1 log ln 函数和 差 积 商的微分法则 2 v udv vdu v u d udv vdu uv d Cdu Cu d dv du v u d + ± ± arc
39 例 3 设 ln + e 2, 求 d. 解 例 4 设 e 1 3 cos, 求 d. 解 39
40 2.4.5 微分形式的不变性 设函数 有导数, 1 若 是自变量时, d d; 2 若 是中间变量时, 即另一变量 t的可 微函数 ϕ t, 则 d ϕ t dt ϕ t dt d, d d. 结论 : 无论 是自变量还是中间变量, 函数 的微分形式总是 d d 微分形式的不变性 4
41 例 5 设 sin 2 + 1, 求 d. 解 例 6 设 e a sin b, 求 d. 解 41
42 2.5 中值定理罗必塔法则 中值定理 定理 2.4 罗尔 Rolle 定理 2 1 如果函数 在闭区间 [ a, b] 上连续, 在开区间 a, b 内可导, 且 a b, 那末在 a, b 内至少有一点 3 ξ a < ξ < b, 使得函数 在该点的导数等于零, ' 即 ξ 例如, 2 2 在 [ 1,3] 上连续, 且 在 1,3 上可导,, , 取 ξ 1, 1 1,3 ξ. 42
43 几何解释 : 在曲线弧 AB上至少有一 C 点 C, 在该点处的切线是 水平的. o a ξ1 ξ 2 b 注 1: 常用于判别的零点, 未必连续, 它与零点存在定理有区别. 注 2: 若罗尔定理的三个条件中有一个不满足, 其结论可能不成立 43
44 例 1 5 证明方程 有且仅有一个小于 1的正实根. 证 44
45 例 2 a + a 1 a 设 a a 1 n an + +, 证明 : 方程 n + 1 n 在,1 内必有实根. 证 45
![定理 2.5 拉格朗日 Lagrange 中值定理 1 2 如果函数 在闭区间 [ a, b] 上连续, 在开区间 a, b 内可导, 那末在 a, b 内至少有一点](/docs-images/92/110776433/images/46-0.jpg "ξ a < ξ < b, 使等 ' 式 b a ξ b a 成立. 注 : 结论亦可写成 罗尔定理是拉格朗日定理当 时的特殊情况. b b a a a ξ. b 46")
46 定理 2.5 拉格朗日 Lagrange 中值定理 1 2 如果函数 在闭区间 [ a, b] 上连续, 在开区间 a, b 内可导, 那末在 a, b 内至少有一点 ξ a < ξ < b, 使等 ' 式 b a ξ b a 成立. 注 : 结论亦可写成 罗尔定理是拉格朗日定理当 时的特殊情况. b b a a a ξ. b 46
47 几何解释 : 在曲线弧 AB 上至少有一点 C, 在该点处的切线平行于弦 AB. C M B N D A o a ξ1 ξ 2 b 推论 1 若 I,, 则 I, C, 其中 C为常数. 推论 2 若 g, I, 则 g + C. 推论 3 若 I,, 则 在 I上严增 严减. 47
48 例 3 证 证明 arcsin π + arccos
![定理 2.6 柯西 Cauch 中值定理 如果函数 及 g 在闭区间 [ a, b] 上连续, 在开区 ' 间 a, b 内可导, 且 g 在 a,](/docs-images/92/110776433/images/49-0.jpg "b 内每一点处均不为 零, 那末在 a, b 内至少有一点 ξ a < ξ < b, 使等式 b g b a g a g ' ' ξ ξ 成立.")
49 定理 2.6 柯西 Cauch 中值定理 如果函数 及 g 在闭区间 [ a, b] 上连续, 在开区 ' 间 a, b 内可导, 且 g 在 a, b 内每一点处均不为 零, 那末在 a, b 内至少有一点 ξ a < ξ < b, 使等式 b g b a g a g ' ' ξ ξ 成立. 49
50 2.5.2 罗必塔法则 一 型及型未定式解法 : 洛必达法则 定义如果当 X 时, 两个函数 与 g 都趋于零或都趋于无穷大, 则 极限 lim X 可能存在 也可能不存在. 通 g 常把这种极限称为 或 型未定式. tan 例如, lim, lnsin a lim, lnsin b 5
51 51 法则 1 型 定义这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达 L Hospital 法则 有的翻成 罗彼塔法则.. lim lim ; lim 3 ; 2 ; lim lim 1 或则或且都存在及时, 在满足条件 : 及设函数 A g g A g g g X g g X X X X X
52 52. lim lim ; lim 3 ; 2 ; lim lim 1 或则或且都存在及时, 在满足条件 : 及设函数 A g g A g g g X g g a X X X X 法则 2 型
53 53 例 4 解. 2 2 cos lim 2 π 求例 5 解 lim 求
54 用洛必达法则时须注意三点 : 注 1: 化简, 分离出非未定式 注 2: 结合其他方法 如等价无穷小量替换 使用, 效果更好注 3: 有时须连续使用该法则 sin a a 例 6 求 lim. 3 解 54
55 例 7 求 lim ln e + e 2 ln2cos 解 55
56 例 8 tan lim 2 tan 求. 解 56
57 注 4: 洛必达法则的使用条件. 例 9 解 求 lim + cos. lim g 总结 : 若 X 是未定式, 如果 X g' 不存在, lim g lim ' 则洛必达法则失效, 但 X 可能存在 57
58 二,,,1, 型未定式解法 关键 : 将其它类型未定式化为洛必达法则可解决 的类型. 1., 型 1 1 步骤 :, 或. 例 1 求 lim 2 e. + 解 58
59 2. 步骤 : 型 1 1. 例 11 求 1 lim sin 1. 解 等价替换时, 乘除可以, 加减要小心 59
60 3.,1, 型 步骤 : 例 12 1 ln ln1 ln 取对数. 求 lim. + 解 6
61 例 13 1 lim 1 求. 1 1 解 例 14 1 ln 求 lim cot. + 解 61
62 2.6 函数的单调性与极值 函数的单调性 B A A B o a b o a b 定理 2.7 a, b 内可导. 则 在 [ a, b] 上单增 或单减 的 充要条件 是 设函数 在 [ a, b] 上连续, 在 或, a, b. 62
63 注 1: 将性质中的闭区间换成其他各种区间 包括无穷区间, 结论仍成立 注 2: a, b, ' a, b, 严增 如 3 在, + 严增, 但 ' 注 3: a, b, ' 是 a, b, 严增 的充分非必要条件. 63
64 例 1 讨论函数 e 1 的单调性. 解 注 : 函数的单调性是一个区间上的性质, 要用导数在这一区间上的符号来判定, 而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性. 64
65 问题 : 如上例, 函数在定义区间上不是单调的, 但在各个部分区间上单调. 定义 : 若函数在其定义域的某个区间内是单调的, 则该区间称为函数的单调区间. 函数在定义区间上的驻点和不可导点, 可能是单调区间的分界点. 方法 : 用方程来划分函数 数的符号. 的根及 不存在的点 的定义区间, 然后判断区间内导 65
66 例 2 确定函数 的单调区间. 解 66
67 例 3 确定函数 3 2 的单调区间. 解
68 二 单调性的应用 : 可以确定某些方程实根的个数和证明不等式. 例 5 当 > 1 时, 试证 ln1 + 成立. 证设 ln1 +, 则. 1 + 则 1, 时, ', 故 在 - 1, 上单减 ;, + 时, ', 故 1, 时,, + 时, 即 1, +, ln1 + 在, + 上严增.,., 即 ln
69 例 6 证 2 3 证明方程 只有一个根. 69
70 2.6.2 函数的极值 定义 2.6 设函数 则称 在 是函数 的某一邻域 O δ, O 内有定义, 的一个极小值 极大值 ; 函数的极大值与极小值统称为极值, 使函数取得极值的点称为极值点. δ a o b 7
71 定理 2.8 第一充分条件 在 点连续, ' 1 如果 δ,, 有 > ; 而, +, δ ' 有 <, 则 在 处取得极大值. ' 2 如果 δ,, 有 < ; 而, + δ ' 有 >, 则 在 处取得极小值. ' 3 如果当 δ, 及, + δ 时, 符号相同, 则 在 处无极值. o + + 教材 P13 有错 o 是极值点情形 71
72 + + o 求极值的步骤 : o 不是极值点情形 1 求导数 ; 2 求驻点和不可导点 ; 3 检查 在驻点和不可导点左右的正负号, 判断极值点 ; 4 求极值. 72
73 例 7 3 求出函数 的极值. 解 73
74 定理 2.9 第二充分条件 设 在 处具有二阶导数, ' 且, 则 '' 1 当 < 时, 函数 在 处取得极大值 ; '' 2 当 > 时, 函数 在 处取得极小值 ; '' 3 当 时, 函数 在 处是否取得极值需进一步判定 注 : 可用性质 证 1 lim <, 故 + 与 异号, 当 < 时, 有 + >, 当 > 时, 有 + <, 所以, 函数 在 处取得极大值. 同理可证 2. 74
75 例 求出函数 1 + 1的极值. 解 75
76 2.6.3 最值的求法求 在 [ a, b] 上的最大值 M 或最小值 m 的步骤 : 1. 求驻点和不可导点, 求 a, b 极大值 或极小值 ; 2. 求 a, b ; 3. 取 a, b 与所有的极值 中最大者 或最小者 在 内的所有 76
77 77. ], [ ], [,, ], [ 中的最小者或最大者和定是上最小值 或最大值 一在上的最大值 或最小值, 在一定是极大值 或极小值, 则是, 且内有唯一驻点在若内可导, 上连续, 在在设 b a b a b a b a b a b a 注 : 的小字部分证明在 15 P
78 例 9 求函数 的在 [ 3,4] 上的最大值与最小值. 解 78
79 导数与微分在经济学中的应用 一 函数的变化率 --- 边际函数..,. 处的瞬时变化率 边际函数值 在为内的平均变化率在为也称为边际函数则导函数可导, 设函数 边际分析
80 8.. 1,, lim lim 1. 生产该单位产品的近似成本边际成本的意义 : 当产量增加一个单位时, 近似有当 边际成本 : 为成本函数, 设 q C C q q q C q q C q C q C q C C q q +
81 例 1: 设每天生产 件产品的成本函数为 C C1 每天生产 1件产品的平均成本为 1 若增产 件, 则增产产品的平均成本为 : C C1 + C1 当 1, 则 C6.3. 但边际成本函数为 C 2. 即生产第 11件产品的 近似 成本是 6元 , 则 C
82 2. 边际收益 : R q 的 近似 值. 3. 边际利润 : L q 的 近似 值. 其中 R 其中 L q dr dq, R q R q qp q 为收益函数. 意义 : 当销售量增加一个单位时, 收益增加量 dl dq dr dq dc dq C q 为利润函数. 意义 : 当销售量增加一个单位时, 利润增加量 82
83 例 2: 设需求由方程 p +.1 8所确定, 其中 p为价格, 为销售量, 成本函数为 C 5 + 2, 求边际利润函数并计算 15, 4时的边际利润. 83
84 2.7.2 弹性分析 定义 2.8 函数 存在, 称此极限值为 在 间的相对变化率或弹性. 在 处可导, 则若 到 lim + 两点 / / 记作 : E E E,. E E 弹性函数 : E. 84
85 需求价格弹性 : η p 它反映了商品需求量对价格变动反应的强弱. 需求量 Q 在经济学中, η p 需求对价格依赖很大 ; 1 η p 低弹性的, 表明需求对价格依赖不大 ; η p 1, 百分数是一样的. p Q dq dp Q p 是价格 p的单减函数, 故 η p. 1, 称需求是弹性的, 表明, 称需求是 称需求有单位弹性, 表明价格上升和需求下降的, 85
86 5 3 P 例 : 设某商品需求函数为 Q, 求需求弹 性函数和 P 3, P 5, P 6时的需求弹性. e 86
87 需求收入弹性 : η M 需求量 Q 故 η M Q M. 它反映了商品需求量对收入 变动反应的强弱 : 当收入增加 减少 %, 1 需求量增加 减少 η M M Q 是收入 M的单增函数, %. dq dm, 87
88 2.7.3 经济函数的优化 经济函数优化的步骤 : 1 建立目标函数 ; 2 求目标函数的极值点, 往往也是最值点, 即得最优点 若目标函数只有唯一驻点, 则该点的函数 值即为所求的最 或最小 值. 88
89 例 4 某房地产公司有 5 套公寓要出租, 当租金定为每月 18 元时, 公寓会全部租出去. 当租金每月增加 1 元时, 就有一套公寓租不出去, 而租出去的房子每月需花费 2 元的整修维护费. 试问房租定为多少可获得最大收入? 解 89
90 例 5 某厂每日生产 Q 单位某商品的总成本为 TC 元, 其中固定成本为 2 元, 且生产 1 单位商品的变动成本均为 1 元 每单位商品售价 P 元, 又需求函数为 解 Q P 15 2P, 问每日产量为多少时能使总利润 L 最大?
第一节 导数的概念
第 章一元函数微分学 导数的概念 导数的运算法则与基本公式 3 高阶导数 4 微分及其计算 5 中值定理罗比塔法则 6 函数的单调性与极值 7 微分在经济中的应用 导数概念 导数概念的实例 切线问题 如图 如果割线 MN 绕点 M 旋转而趋向极限位置 MT 直线 MT 就称为曲线 C 在点 M 处的 o 切线 极限位置即 MN NMT 设 M 割线 MN 的斜率为 tan 沿曲线 C N M 切线
第五章 导数和微分
第五章导数和微分 一 学习要求 : 正确理解微商的概念 ; 知道微商的几何意义与物理意义 ; 3 掌握可导与连续的关系 ; 4 牢固掌握求导的四则运算公式 复合函数求导的法则和反函数求导的法则, 能迅速正确地求初等函数的导数 ; 5 熟悉基本初等函数的求导公式 ; 6 掌握隐函数的求导法, 对数求导法, 由参数方程确定的函数的求导法 ; 7 正确理解微分概念 ; 8 了解可微与可导的关系, 知道导数与微分的区别与联系
8. e f ( e ) d = f ( t) dt, 则 ( ) b A) =, b = B) =, b = e C) =, b = D) =, b = e 9. ( sin ) d = ( ) A) B) C) D). ln( + + ) d = ( ) A) B) C) D). 若 f ( )
高等数学 试题 考试日期 :4 年 7 月 4 日星期三考试时间 : 分钟 一. 选择题. 当 时, y = ln( + ) 与下列那个函数不是等价的 ( ) A) y = B) y = sin C) y = cos D) y = e. 函数 f() 在点 极限存在是函数在该点连续的 ( ) A) 必要条件 B) 充分条件 C) 充要条件 D) 无关条件. 下列各组函数中, f () 和 () f
第二章导数与微分 主要内容 : 一 导数的概念二 导数的运算法则三 高阶导数四 隐函数的导数以及由参数方程所确定的函数的导数 五 函数的微分
第二章导数与微分 导数思想最早由法国数学家 Ferma 在研究极值问题中提出 微积分学的创始人 : Newton( 英 )Leibniz( 德 ) 微分学 导数 微分 描述函数变化快慢 描述函数变化程度 都是描述物质运动的工具 ( 从微观上研究函数 ) 第二章导数与微分 主要内容 : 一 导数的概念二 导数的运算法则三 高阶导数四 隐函数的导数以及由参数方程所确定的函数的导数 五 函数的微分 .1
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一 主要内容 Cuchy 中值定理 F 洛必达法则 型 g g g 型 型 令 y 取对数 g g 型 g 型 Lgrnge 中值定理 n Tylor 中值定理 Rolle 定理 常用的泰勒公式 导数的应用单调性 极值与最值 凹凸性 拐点 函数图形的描绘 ; 曲率 ; 求根方法. 7 年 8 月南京航空航天大学理学院数学系马儒宁 罗尔中值定理 罗尔 Rolle 定理如果函数 在闭区间 [ ] 上连续
A. 存在,, 有 b a b ab a B. 存在,, 有 a b a b ab a C. 存在 a,b, 有 a b a b D. 存在 a,b, 有 b a a b a, 则方程 a b c 9. 若 b ( ) A. 无实根 B. 有唯一的实根 C. 有三个实根 D. 有重实根 sin. 求
微分中值定理与导数的应用练习题 一 选择题 :. 在下列四个函数中, 在, 上满足罗尔定理条件的函数是 ( ) A. y 8 B. y 4 C. y D. y sin 满足拉格朗日中值定理条件的区间是 ( ) A., B., C., D.,. 函数 在, 5. 方程 5 内根的个数是 ( ) A. 没有实根 B. 有且仅有一个实根 C. 有两个相异的实根 D. 有五个实根 4. 若对任意 a, b,
三 判断题 ; ; ; ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; ; ; ; ; ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; ; ; ; ; ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; ;. 四 计算题 : 解 : 函数的定义域 (-,+) y ( )( ) ( y ) 令 y 得 =, = -
微分中值定理与导数的应用答案 一 选择题 :.B;.C;.B;.D; 5.C; 6.A; 7.C; 8.B; 9.B;.C;.C;.D;.C;.D; 5.C; 6.B; 7.D; 8.D; 9.B;.D;.D;.C; 5.B; 6.C; 9.C;.B;.C;.B;.D; 6.D; 7.D; 8.B; 9.B;.C;.D;.B; 7.B; 8.D;.C; 5.C;.B;.C. 二 填空题 ; (, )
没有幻灯片标题
第四章中值定理与导数的应用习题课 主要内容典型例题 一 主要内容 Cuchy 中值定理 F 洛必达法则 型 g g g 型 型 令 y 取对数 g g 型 g 型 Lgrnge 中值定理 n Tylor 中值定理 b Rolle 定理 常用的泰勒公式 导数的应用单调性 极值与最值 凹凸性 拐点 函数图形的描绘 ; 最值的经济应用 . 罗尔中值定理 罗尔 Rolle 定理如果函数 在闭区间 [ b]
第一天 核心考点 极限的概念, 极限的计算, 连续性, 间断点的分类, 闭区间上连续函数的性质 巩固练习 一 选择题 设 时, e cos n e 与 是同阶无穷小, 则 n 为 ( ) ( A) 4 ( B) 5 ( C ) 5 ( ) 设 时, 下列 4 个无穷小量中比其它 个更高阶的无穷小量是
目录 第一天... 第一天参考答案... 4 第二天... 7 第二天参考答案... 9 第三天... 第三天参考答案... 4 第四天... 7 第四天参考答案... 9 第五天... 第五天参考答案... 4 第六天... 6 第六天参考答案... 8 第七天... 第七天参考答案... 中公教育考研学员专用资料报名专线 :4-6-966 第一天 核心考点 极限的概念, 极限的计算, 连续性,
一 罗尔定理与拉格朗日定理 定理 6.( 罗尔中值定理 ) 设函数 f ( ) 在区间 [ a, b] 上满足 : (i) 在闭区间 [a, b] 上连续 ; (ii) 在开区间 (a, b) 上可导 ; (iii) f(a) = f(b). 那么在开区间 (a, b) 内必定 ( 至少 ) 存在一
![一 罗尔定理与拉格朗日定理 定理 6.( 罗尔中值定理 ) 设函数 f ( ) 在区间 [ a, b] 上满足 : (i) 在闭区间 [a, b] 上连续 ; (ii) 在开区间 (a, b) 上可导 ; (iii) f(a) = f(b). 那么在开区间 (a, b) 内必定 ( 至少 ) 存在一](/thumbs/49/25862895.jpg "一 罗尔定理与拉格朗日定理 定理 6.( 罗尔中值定理 ) 设函数 f ( ) 在区间 [ a, b] 上满足 : (i) 在闭区间 [a, b] 上连续 ; (ii) 在开区间 (a, b) 上可导 ; (iii) f(a) = f(b). 那么在开区间 (a, b) 内必定 ( 至少 ) 存在一")
拉格朗日定理和函数的单调性 中值定理是联系 中值定理, 就可以根据 质来得到 f 在该区间上的整体性质. f 一 罗尔定理与拉格朗日定理 二 函数单调性的判别 f 与 f 的桥梁. 有了 在区间上的性 返回 一 罗尔定理与拉格朗日定理 定理 6.( 罗尔中值定理 ) 设函数 f ( ) 在区间 [ a, b] 上满足 : (i) 在闭区间 [a, b] 上连续 ; (ii) 在开区间 (a, b)
5 注意如果定理的三个条件有一个不满足, 则定理的结论就不一定成立. 经济数学 ( 第三版 ).. 拉格朗日中值定理 设函数 f ( ) 满足条件 : () 在闭区间 [ a, b ] 上连续 ; () 在开区间 ( a, b ) 内可导, 则在 ( a, b ) 内至少存在一点 ξ, 使得 f (
![5 注意如果定理的三个条件有一个不满足, 则定理的结论就不一定成立. 经济数学 ( 第三版 ).. 拉格朗日中值定理 设函数 f ( ) 满足条件 : () 在闭区间 [ a, b ] 上连续 ; () 在开区间 ( a, b ) 内可导, 则在 ( a, b ) 内至少存在一点 ξ, 使得 f (](/thumbs/91/105953583.jpg "5 注意如果定理的三个条件有一个不满足, 则定理的结论就不一定成立. 经济数学 ( 第三版 ).. 拉格朗日中值定理 设函数 f ( ) 满足条件 : () 在闭区间 [ a, b ] 上连续 ; () 在开区间 ( a, b ) 内可导, 则在 ( a, b ) 内至少存在一点 ξ, 使得 f (")
第 章中值定理与导数的应用 本章学习目标 了解中值定理的条件和结论, 特别是拉格朗日中值定理 理解洛必达法则及其应用条件, 会用洛必达法则求相应的极限 了解函数与曲线的对应关系, 掌握函数的增减区间与极值的求法 掌握曲线的凹凸区间与拐点的判别方法 会求曲线的渐近线, 知道描绘函数图形的基本步骤 知道导数在经济中的一些简单应用. 中值定理.. 罗尔定理 设函数 f ( ) 满足条件 : () 在闭区间
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西华大学应用数学系朱雯 一 主要内容 Cuch 中值定理 F 洛必达法则 型 g g g 型 型 令 取对数 g g 型 g 型 Lgrnge 中值定理 n Tlor 中值定理 b Rolle 定理 常用的泰勒公式 导数的应用单调性 极值与最值 凹凸性 拐点 函数图形的描绘 ; 曲率 ; 求根方法. 罗尔中值定理 罗尔 Rolle 定理如果函数 在闭区间 [ b] 上连续 在开区间 b 内可导 且在区间端点的函数值相等
高等数学（上）（ 学年）
7 高等数学上册半期复习题参考解答 一 选择题. A. C. C 4. D 5. B 二 填空题 6. si cos 7. 8. 8 ( 4 ) d 9.. 三 计算题. 解 ( )( 4 )( ) ( )( 4 si cos(si ). 解法 si 6 si ( ) )( ) 6. ( ] 4 法 cos(si ) si(si ) 6 cos. 其他方法略. 6 si(si si ) si 6 d.
幻灯片 1
第一类换元法 ( 凑微分法 ) 学习指导 复习 : 凑微分 部分常用的凑微分 : () n d d( (4) d d( ); (5) d d(ln ); n n (6) e d d( e ); () d d( b); ); () d d( ); (7) sin d d (cos ) 常见凑微分公式 ); ( ) ( ) ( b d b f d b f ); ( ) ( ) ( n n n n d f
1 导数和微分的概念 导数和微分的定义 1 导数和微分的概念 考虑函数 y = 在 x 0 的邻域内有定义 当 x x 0 时, 记 x = x x 0 ; y = f(x 0 ). 定义 1.1. 若函数 y = 在其定义域中的一点 x 0 处极限 y x x 0 x = f(x 0
第三章一元微分学 2017 年 11 月 2 日 目录 1 导数和微分的概念 2 1.1 导数和微分的定义..................................... 2 1.2 导数的几何意义...................................... 2 1.3 单侧导数.......................................... 3 2 导数的计算
d. 两个无穷小的比较 4. 用无穷小重要性质和等价无穷小代换 5. 用泰勒公式 ( 比用等价无穷小更深刻 )( 数学一和数学二 ) f() 设 limf()=0,limg()=0, 且 lim=l g (1)l=0, 称 f() 是比 g() 高阶的无穷小, 记以 n 当 0 时,e=1+++Λ+
高数总结 考研数学知识点 - 高等数学一. 函数的概念 1. 用变上 下限积分表示的函数 (1)y= ()y= 连续, 则公式 1.lim sin =1 0 n u f(t)dt, 其中 f(t) 连续, 则 1 dy =f() d ϕ()f(t)dt, 其中 ϕ(),ϕ() 可导,f(t) 1 ϕ() 1 1 公式.lim 1+ =e;lim 1+ =e; n u n u lim(1+v)=e v
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arctan lim ln +. 6 ( + ). arctan arctan + ln 6 lim lim lim y y ( ln ) lim 6 6 ( + ) y + y dy. d y yd + dy ln d + dy y ln d d dy, dy ln d, y + y y dy dy ln y+ + d d y y ln ( + ) + dy d dy ln d dy + d 7.
第六章 微分中值定理
第六章微分中值定理及其应用 在这一章里 讨论了怎样由导数 的已知性质来推断函数质. 微分中值定理正是进行这一讨论的有效工具. 一 拉格朗日中值定理. 罗尔定理 定理设函数 在区间 [ 满足 : i 在区间 [ 上连续 ii 在区间 b 上可导 iii b 则在 b 内至少存在一点 ξ 使得 ξ. 所应具有的性 几何意义 : 在每一点都可导的一段连续曲线上 如果曲线的两端高度相同 则至少存在一条水平切线.
《高等数学》CAI课件
第三部分 中值定理和导数的应用 第三部分中值定理和导数的应用 一重点和难点 : 理解和掌握四个重要的微分中值定理 : 罗尔定理 拉格朗日定理 柯西定理及泰勒定理 的内容 ; 中值定理的条件是定理成立的什么条件? 中值定理中的 唯一吗? 用洛必达法则求未定式极限应注意什么? 3 会判别函数单调性 凹凸性 能利用函数的单调性做证明题 4 熟练掌握求函数极值 确定极大还是极小 和最值的方法 5 求给定函数的竖直渐近线及斜渐近线
0103 收敛数列的性质 (40 分钟 ) 唯一性 有界性 保号性 * 收敛数列与其子数列的关系 0104 自变量趋于无穷大时函数极限的概念 (40 分钟 ) 自变量趋于无穷大时函数极限的直观描述 自变量趋于无穷大时函
注 :(1) 知识点前标 表示该知识点作品在前两届微课竞赛中获过国家一等奖 ; (2) 知识点前标 表示该知识点作品在前两届微课竞赛中获过两次以上国家一等奖, 不在本次竞赛知识点选择范围之内 高等数学 ( 上册 ) 知识点的细分目录第一章函数 极限与连续 (01) ( 注 : 以下括号内的时间为建议的视频讲课时间, 不包括讲习题的时间 ) 0101 函数 (80 分钟 ) 010101 函数的概念
第2章
教学目的 : 理解导数和微分的概念与微分的关系和导数的几何意义 会求平面曲线的切线方程和法线方程 了解导数的物理意义 会用导数描述一些物理量 理解函数的可导性与连续性之间的的关系 熟练掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则 熟练掌握基本初等函数的导数公式 了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性 会求函数的微分 了解高阶导数的概念 会求某些简单函数的 n 阶导数 4 会求分段函数的导数 5
Successful ways to cultivate high quality personnel for exhibition industry
不 定 积 分 显 然 微 分 ( 或 导 数 ) 逆 运 算 的 问 题 就 是 : 找 一 个 还 函 数 y = F (), F( ) f ( ) F( ) 的 导 数 已 知 函 数 一 不 定 积 分 的 概 念 不 定 积 分 的 定 义 : 函 数 f () 的 原 函 数 全 体 称 为 f () 的 不 定 积 分 记 作 f ( ) d F( ) C 积 分 常 数 F() 求
第 章 微分中值定理与导数的应用!"$ %&'' 续函数的性质 在 上必取得最大值 % 和最小值 * 如果 %* 则 在 上恒等于常数 % 因此 对一切 都有 定理自然成立 若 %* 由于 因此 % 和 * 中至少有一个不等于 不妨设 %! 设 *! 证明完全类似 则 应在 内的某一点 处达到最大值
第 章 微分中值定理与导数的应用!"$ %&& 本章将利用函数的导数这一有效工具来研究函数自身所应具有的性质 首先 介绍微分中值定理 然后 运用微分中值定理 介绍一种求未定式极限的有效方法 洛必达法则 最后 运用微分中值定理 通过导数来研究函数及其曲线的某些性态 并利用这些知识解决一些实际问题 微分中值定理 中值定理揭示了函数在某区间的整体性质与该区间内部某一点的导数之间的关系 因而称为中值定理 中值定理既是用微分学知识解决应用问题的理论基础
8 应用数学 ( 第二版 上册 ) 则 m f ( a ) ; 若 M f ( a ) 且 m f ( a ) ). 下面仅以 M f ( a ) 的情况来证明 ( 如果 设 m f ( a ), 证法完全类似 ). 设 M f ( a ), 那么必定在开区间 ( a, b ) 内有一点 ξ, 使得
第 章微分中值定理与导数的应用 学习目标 掌握并会使用罗尔定理 拉格朗日中值定理, 了解柯西中值定理. 熟练使用洛必达法则求未定式极限. 理解拐点的定义, 掌握利用导数判断函数的单调性和凹凸性的方法. 理解并掌握函数极值的概念与求法 ; 会描绘函数的图形 ; 掌握函数的最 大值和最小值的求法及其在工程 物理 科学实验中的简单应用 ; 理解 并掌握边际分析. 前面我们介绍了函数与微分的概念 性质及计算方法.
一、选择：1~8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
6 考研数学 ( 二 ) 真题及答案解析来源 : 文都教育 要求的. 一 选择 :~8 小题, 每小题 分, 共 分. 下列每题给出的四个选项中, 只有一个选项是符合题目 () 设 a (cos ), a In( ), a. 当 时, 以上 个无穷小量按 照从低阶到高阶的排序是 (A) a, a, a. (B) a, a, a. (C) a, a, a. (D) a, a, a. 解析 : 选择 B
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中值定理题型 题型一 : 中值定理中关于 θ 的问题 例题 设 rt C[ ] θ 求 limθ 解答 由 θ 得 rt rt θ 解得 θ rt rt rt lim θ lim lim lim rt 于是 lim θ 例题 设 二阶连续可导 且 又 h θh h < θ < 证明 : lim θ h 解答 由泰勒公式得 h h h! 其中 位于 与 h 之间 于是 θh h h h! 或 θh θh
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+ lim = + + lim = + lim ( ) + + + () f = lim + = + = e cos( ) = e f + = e cos = e + e + + + sin + = = = = = + = + cos d= () ( sin ) 8 cos sin cos = ( ) ( sin ) cos + d= ( + ) = cos sin cos d sin d 4 =
第三章 微分中值定理与导数应用
数学分析考研辅导讲义第三章 - 67 - 第三章 微分中值定理与导数应用 本章主要介绍微分中值定理 泰勒公式及导数的应用. 通过本章的学习 读者应 掌握利用辅助函数的方法证明一些命题. 微分中值定理与泰勒公式 一 内容概要 ( 一 ) 微分中值定理 表 3. 微分中值定理 名称定理几何意义若 满足 :(Ⅰ) 在 某邻域内曲线 y ( ) 在 处费马 定理 或 ; 有水平的切线. 罗尔定理 拉格朗日定理
2014高联高级钻石卡高等数学学习计划
高联学员寒假前后数学计划 特别提醒 : 在考研数学中, 高等数学占到总分 56% 分值, 高数上册又是整个高数中的重中之重 寒假期间的复习宜少而精 高联教育集团数学教研室建议学员能在寒假前后这段把高等数上册前四章根据大纲要求将知识点和章节课后题做熟 吃透即可, 为年后跟上数学基础班打下坚实基础 高联免费配发资料 ( 电子版 ): 考研数学知识分布图 ; 学员自备资料 : 同济大学数学系编写 ; 高等教育出版社
高等数学 C1 教学大纲 (2013 版 ) 课程编码 : 课程名称 : 高等数学 C1 学时 / 学分 : 48/3 先修课程 : 初等数学 立体几何 平面解析几何 适用专业 : 会计学 国际经济与贸易 物流管理 人力资源管理等专业开课教研室 : 大学数学教研室 执笔 : 审定
高等数学 C1 教学大纲 (2013 版 ) 课程编码 :1510308903 课程名称 : 高等数学 C1 学时 / 学分 : 48/3 先修课程 : 初等数学 立体几何 平面解析几何 适用专业 : 会计学 国际经济与贸易 物流管理 人力资源管理等专业开课教研室 : 大学数学教研室 执笔 : 庄乐森 审定 : 王仁举赵国喜 高等数学 C1 教学大纲 (2013 版 ) 课程编码 :1510308903
3. 中值定理. 5. 由图 3. 可以看出, 函数 y fpq 在点, 2, 3, 4 取得极值, 如果有切线, 则切线与 轴平行. 即在极值点, 如果函数 y fpq 存在导数, 则导数为零. 反之不然. 即函数在导数等于 的点不一定取得极值. 例如, 函数 fpq 3, f pq, 但 fpq
第 3 章 导数应用 学习目标与要求. 掌握微分中值定理并能解决实际问题. 2. 掌握洛必达法则及其应用. 3. 掌握用导数求函数的极值 最值的方法. 4. 掌握用导数的方法判断函数的单调性 描绘函数图像. 5. 掌握用导数与微分的知识解决实际问题的方法. 6. 掌握理解曲率的概念, 掌握曲率的应用. 3. 中值定理 3.. 罗尔定理如图 3. 所示, 函数 y fpq 的图像在点, 3 处出现 峰,
【考研帮】2017寒假数学作业
考研帮 7 寒假数学作业 考研帮说 寒假是备考的重要时间段, 对于考研数学来说, 适当的练习必 不可少 每天抽一点时间来完成寒假数学作业吧! 帮帮为你准备了前 5 天的数 学作业, 每天的题目后都附有答案哦 第一天. 设 lim, lim y, lim A. 则下列命题中正确的是 ( ). z (A) lim ( y ). (B) lim ( z ). y (C) lim ( y ). (D) lim
<4D F736F F D20342DA3A8C5C5B0E6A3A9D7A8C9FDB1BEB8DFB5C8CAFDD1A7B8A8B5BCC5C5B0E6202E646F63>
西北工业大学现代远程教育专升本入学测试高等数学复习大纲 ( 第八版 ) 总体要求 考生应按本大纲的要求, 了解或理解 高等数学 中函数 极限和连续 一元函数微分学 一元函数积分学 多元函数微分学 排列与组合 概率论初步的基本概念与理论 ; 学会 掌握或熟练掌握上述各部分的基本方法. 应注意各部分知识的结构及知识的内在联系 ; 应具有一定的抽象思维能力 逻辑推理能力 运算能力 ; 能运用基本概念 基本理论和基本方法准确地计算
函数在一点处极限的定义 左 右极限及其与极限的关系 趋于无穷 (,, ) 时函数的极限四则运算法则夹逼准则 () 无穷小量与无穷大量 无穷小量与无穷大量的定义无穷小量的性质无穷小量的比较 无穷小量与无穷大量 的关系 () 两个重要极限 sin lim, lim( ). 要求 () 了解极限的概念 (
西北工业大学网络教育学院 招生考试专科起点本科高等数学复习大纲 ( 第七版 ) 总体要求考生应按本大纲的要求, 了解或理解 高等数学 中函数 极限和连续 一元函数微分学 一元函数积分学 多元函数微分学 排列与组合 概率论初步的基本概念与理论 ; 学会 掌握或熟练掌握上述各部分的基本方法. 应注意各部分知识的结构及知识的内在联系 ; 应具有一定的抽象思维能力 逻辑推理能力 运算能力 ; 能运用基本概念
一 含参量正常积分的定义 设 f (, y ) 是定义在矩形区域 R = [ a, b] [, ] 上的 二元函数. 当 取 [ a, b ] 上的定值时, 函数 定义在 [, ] 上以 y 为自变量的一元函数. 倘若这时 f (, y ) 在 [, ] 上可积, 则其积分值 I( ) = ò f
![一 含参量正常积分的定义 设 f (, y ) 是定义在矩形区域 R = [ a, b] [, ] 上的 二元函数. 当 取 [ a, b ] 上的定值时, 函数 定义在 [, ] 上以 y 为自变量的一元函数. 倘若这时 f (, y ) 在 [, ] 上可积, 则其积分值 I( ) = ò f](/thumbs/91/105953711.jpg "一 含参量正常积分的定义 设 f (, y ) 是定义在矩形区域 R = [ a, b] [, ] 上的 二元函数. 当 取 [ a, b ] 上的定值时, 函数 定义在 [, ] 上以 y 为自变量的一元函数. 倘若这时 f (, y ) 在 [, ] 上可积, 则其积分值 I( ) = ò f")
含参量正常积分 对多元函数其中的一个自变量进行积分形成的函数称为含参量积分, 它可用来构造新的非初等函数. 含参量积分包含正常积分和非正常积分两种形式. 一 含参量正常积分的定义二 含参量正常积分的连续性三 含参量正常积分的可微性四 含参量正常积分的可积性五 例题 返回 一 含参量正常积分的定义 设 f (, y ) 是定义在矩形区域 R = [ a, b] [, ] 上的 二元函数. 当 取 [
第 章一元函数微分学 复合函数求导法则 : 设 = f ( u) u = g( ) 都关于自变量可导, 则 [ f ( g( ))] = f ( u) g ( ) 5 牢记基本导数公式 : α () c = () ( ) = α () ( ) = l () (e ) = e α (5) (log )
![第 章一元函数微分学 复合函数求导法则 : 设 = f ( u) u = g( ) 都关于自变量可导, 则 [ f ( g( ))] = f ( u) g ( ) 5 牢记基本导数公式 : α () c = () ( ) = α () ( ) = l () (e ) = e α (5) (log )](/thumbs/92/107866425.jpg "第 章一元函数微分学 复合函数求导法则 : 设 = f ( u) u = g( ) 都关于自变量可导, 则 [ f ( g( ))] = f ( u) g ( ) 5 牢记基本导数公式 : α () c = () ( ) = α () ( ) = l () (e ) = e α (5) (log )")
第 章一元函数微分学 一 学习要点 掌握导数的概念及其几何意义, 掌握可导性和连续性的关系 会求曲线上一点处的切线方程和法线方程 熟练掌握导数的基本公式 四则运算法则及复合函数的求导方法 掌握隐函数的求导法 对数求导法以及由参数方程确定的函数的求导方法 理解高阶导数的概念, 会求简单函数的 阶导数 理解函数微分的概念, 掌握微分法则, 掌握可微与可导的关系 理解罗尔定理 拉格朗日中值定理的条件 结论及其几何意义
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多元连续函数 多元函数 定义 11..1 设 D 是 R 上的点集 D 到 R 的映射 f : D R z 称为 元函数 记为 z = f 这时D 称为 f 的定义域 f D = 1 { z R z = f D} 称为 f 的值域 Γ={ z R + z = f D} 称为 f 的图象 例 11..1 1 b a z = 是二元函数 其定义域为 D= + 1 b a R 函数的图象是一个上半椭球面
一 导数的概念 1 导数的概念 1. 引言问题 1 瞬时速度设一质点作直线运动, 其运动规律为 s=s(t), 若 t 为某一确定的时刻,t 为邻近于 t 的时刻, 则 s( t) s( t ) t t 是质点在时间段 [t, t]( 或 [t,t ]) 上的平均速度, 若 t t 时平均速度 v
 上的平均速度, 若 t t 时平均速度 v](/thumbs/49/25515966.jpg "一 导数的概念 1 导数的概念 1. 引言问题 1 瞬时速度设一质点作直线运动, 其运动规律为 s=s(t), 若 t 为某一确定的时刻,t 为邻近于 t 的时刻, 则 s( t) s( t ) t t 是质点在时间段 [t, t]( 或 [t,t ]) 上的平均速度, 若 t t 时平均速度 v")
第五章导数和微分 1 导数的概念 一 导数的概念二 导函数三 导数的几何意义 一 导数的概念 1 导数的概念 1. 引言问题 1 瞬时速度设一质点作直线运动, 其运动规律为 s=s(t), 若 t 为某一确定的时刻,t 为邻近于 t 的时刻, 则 s( t) s( t ) t t 是质点在时间段 [t, t]( 或 [t,t ]) 上的平均速度, 若 t t 时平均速度 v 的极限存在, 则称极限
lim f(x) lim g(x) 0, lim f(x) g(x),
2016 11 14 1 15 lim f(x) lim g(x) 0, lim f(x) g(x), 0 0. 2 15 1 f(x) g(x) (1). lim x a f(x) = lim x a g(x) = 0; (2). a g (x) f (x) (3). lim ( ). x a g (x) f(x) lim x a g(x) = lim f (x) x a g (x). 3 15
第二章 导数与微分
第二章 导数与微分 微分学是微积分的重要组成部分, 它的基本概念是导数和微分 本章主要介绍导数的概念 基本的求导公式与运算法则以及与导数密切相关的微分概念 第一节导数概念 在实际生活中, 经常需要了解函数相对于自变量变化而变化的快慢问题, 即函数的变化率 导数就是描述变化率的一个重要的数学概念 牛顿从求变速直线运动瞬时速度出发, 莱布尼兹 从求曲线上一点的切线出发, 分别给出了导数的概念. 一 变化率先介绍三个引例
设函数 一 复合函数的求导法则 = j( s, t) 与 y = y ( s, t) (1) 定义在 st 平面的区域 D 上, 函数 z = f (, y ) () 定义在 y 平面的区域 D 上. 若 { j y } (, y) = ( s, t), y = ( s, t), ( s, t) Î
复合函数微分法 凡是学过一些微积分的人, 没有一个会对 复合函数微分法的重要性产生怀疑. 可以毫 不夸张地说, 谁不懂得复合微分法, 谁就会在计算导数或偏导数时寸步难行. 一 复合函数的求导法则 二 复合函数的全微分 返回 设函数 一 复合函数的求导法则 = j( s, t) 与 y = y ( s, t) (1) 定义在 st 平面的区域 D 上, 函数 z = f (, y ) () 定义在 y
微积分 ( 一 ) 教学大纲 1 (2010 版 ) 课程编码 : 课程名称 : 微积分学时 / 学分 : 60/4 先修课程 : 初等数学 立体几何 平面解析几何 适用专业 : 会计学 国际经济与贸易等专业开课教研室 : 大学数学教研室 执笔 : 审定 :
微积分 ( 一 ) 教学大纲 1 (2010 版 ) 课程编码 :110859 课程名称 : 微积分学时 / 学分 : 60/4 先修课程 : 初等数学 立体几何 平面解析几何 适用专业 : 会计学 国际贸易与经济等专业开课教研室 : 大学数学教研室 执笔 : 庄乐森 审定 : 王仁举赵国喜 微积分 ( 一 ) 教学大纲 1 (2010 版 ) 课程编码 :110859 课程名称 : 微积分学时 /
2009ÄêÈ«¹ú˶ʿÑо¿ÉúÈëѧͳһ¿¼ÊÔÊýѧ¶þÊÔÌâ
9 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 一 选择题 :~8 小题, 每小题 8 分, 共 分, 下列每小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求, 把所选项前的字母填在题后的括号内 () 函数 f ( ) = 与 g( ) = ln( b) 是等价无穷小, 则 () sin n (A) (B) (C) (D) 无穷多个 () 当 时, f ( ) = sin a 与 g( ) = ln( b)
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第三章微分中值定理与导数的应用 上一章我们讨论了导数的概念和计算方法. 本章将介绍微分中值定理, 并利用这些定理 进一步研究导数的应用. 第一节 微分中值定理 本节先介绍罗尔定理, 并由此推出拉格朗日中值定理和柯西中值定理. 一 罗尔定理 定理 ( 罗尔定理 ) 设函数 f ( ) 在闭区间 [ a, b ] 上连续, 在开区间 ( a, b ) 内可导, 且在区间两端点的函数值相等, 即 f (
第4章
第四章 不定积分 教学目的 : 理解原函数概念 不定积分的概念 掌握不定积分的基本公式 掌握不定积分的性质 掌握换元积分法 第一 第二 与分部积分法 会求有理函数 三角函数有理式和简单无理函数的积分 教学重点 : 不定积分的概念; 不定积分的性质及基本公式; 换元积分法与分部积分法 教学难点 : 换元积分法; 分部积分法; 三角函数有理式的积分 忻州师范学院高等数学课程建设组 不定积分的概念与性质
17 无穷小量的比较 18 无穷大量及其与无穷小量的关系 19 函数极限与无穷小量的关系 20 函数的连续性 21 函数的间断点 22 连续函数的和 差 积 商及复合的连续性 23 初等函数的连续性 24 闭区间上连续函数的性质 ( 二 ) 考试要求函数是数学中最重要的基本概念之一, 它是客观世界中
福建省高校专升本统一招生考试 高等数学 考试大纲 一 考试范围 第一章 函数 极限与连续 第二章 导数与微分 第三章 微分学及应用 第四章 一元函数积分学 第五章 空间解析几何 第八章 常微分方程 第一章函数 极阻与连续 1 一元函数的定义 2 函数的表示法( 包括分段表示法 ) 3 函数的简单性 有界性 单调性 奇偶性 周期性 4 反函数及其图形 5 复合函数 6 基本初等函数与初等函数( 包括它们的定义
2013年浙江省专升本统一考试高等数学真题试卷
文亮教育 (www.wligdu.com) 浙江专升本辅导第一品牌 年浙江省专升本统一考试高等数学真题试卷 题号一二三四总分 得分 考试说明 : 考试时间为 5 分钟 ; 满分为 5 分 ; 答案请写在试卷纸上, 用蓝色或黑色墨水的钢笔 圆珠笔答卷, 否则无效 ; 4 密封线左边各项要求填写清楚完整 一 选择题 ( 每个小题给出的选项中, 只有一项符合要求 : 本题共有 5 个小题, 每小题 4 分,
第四章 中值定理与导数的应用
第三章中值定理与导数的应用 在第二章中 我们介绍了微分学的两个基本概念 导数与微分 本章是微积分的重要部分 主要利用导数和微分来研究函数以及曲线的某些性质 例如判断函数的单调性和凹凸性 求函数的极限 极值 最大 ( 小 ) 值以及函数作图的方法 并以此进一步解决工程和经济 ( 极值 ) 数学模型等方面的一些实际应用问题 为此 我们首先介绍微分学的几个中值定理 它们反映了导数更深刻的性质 揭示了函数在某区间上的整体性质与函数在该区间内某一点的导数之间的关系
微分中值定理反映了导数更深刻的性质, 也是导数应用的理论基础 微分中值定理应包括罗尔中值定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理 泰勒中值定理 在对微分中值定理的理解和掌握方面要重视以下几点 : 1 微分中值定理的条件和结论各是什么? 2 当微分中值定理的条件不完全满足时, 结论是否还成立? 3 微分中
第六章微分中值定理及其应用 1 拉格朗日定理和函数的单调性 2 柯西中值定理和不定式极限 3 泰勒公式 4 函数的极值与最大 ( 小 ) 值 微分中值定理反映了导数更深刻的性质, 也是导数应用的理论基础 微分中值定理应包括罗尔中值定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理 泰勒中值定理 在对微分中值定理的理解和掌握方面要重视以下几点 : 1 微分中值定理的条件和结论各是什么? 2 当微分中值定理的条件不完全满足时,
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Taylor f( ), ; f ( ) cos( + α ), ; f( ) + si, ; f( ) e si, ; f ( ) ta, ; f( ) l(cos ), 6 ;, ( ) e, f, si l, f ( ),, f( ) + +,. f( ) + ( ) + ( ) + ( ) + ( ) + ( 8 8 + + + + + ( 9 6 7 8 + + + + +( ) 9 8
2014年浙江省专升本统一考试高等数学真题试卷
4 年浙江省专升本统一考试高等数学真题试卷 题号一二三四总分 得分 考试说明 : 考试时间为 5 分钟 ; 满分为 5 分 ; 答案请写在试卷纸上, 用蓝色或黑色墨水的钢笔 圆珠笔答卷, 否则无效 ; 4 密封线左边各项要求填写清楚完整 一 选择题 ( 每个小题给出的选项中, 只有一项符合要求 : 本题共有 5 个小题, 每小题 4 分, 共 分 ) 得分 阅卷人. 当 时, 若 f () 存在极限,
Microsoft Word - 数二答案
数二测试答案 一 选择题 ( 本题共 8 小题, 每小题 分, 满分 分, 每小题给出的四个选项中, 只有一 项符合题目要求, 把所选项前的字母填在题后的括号内 ) 5 6 7 8 C A C B A () 当 时, 下面 个无穷小量中阶数最高的是 (A) + (B) + 5 + 5 (C) 答案 () ln( ) ln( ) + () cos sin t dt 解析 (A) 项 : 当 时, +
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4 6 4 4 ( n ) f( ) = lim n n +, f ( ) = = f( ) = ( ) ( n ) f( ) = lim = lim n = = n n + n + n f ( ), = =,, lim f ( ) = lim = f() = f ( ) y ( ) = t + t+ y = t t +, y = y( ) dy dy dt t t = = = = d d t +
附附录录 高高等等数数学学 考考试试大大 函数的性质 有界性 奇偶性 周期性 单调性 基本初等函数 初等函数 理解函数的概念 了解函数的表示法 会求函数的定义域 理解函数的有界性 奇偶性 周期性和单调性 纲纲 理解分段函数 反函数 复合函数 隐函数和由参数方程所确定的函数的概念 掌握基本初等函数的性
附录 高等数学 考试大纲 高等数学 考试大纲 年版 试点高校网络教育部分公共基础课全国统一考试 遵循网络教育应用型人才的培养目标 针对从业人员继续教育的特点 重在检验学生掌握基础知识的水平及应用能力 以全面提高现代远程高等学历教育的教学质量 高等数学课程是现代远程教育试点高校网络教育实行全国统一考试的部分公共基础课之一 该课程的考试是一种基础水平检测性考试 考试大纲的内容是按照这一要求设计的 课程教学应按照课程教学大纲的要求进行
《 》教学大纲
高等数学 B(1) 教学大纲 一 课程基本信息 开课单位 湖南大学数学与计量 课程代码 GE03027 经济学院 课程名称高等数学 B(1) 英文名称 Advanced Mathematics B(1) 课程性质必修 ( 通识平台课 ) 学分 5 总学时 96 学时 先修课程 中学数学 (80 学时大班主讲 +16 学时小班讨论 ) 开课学期 2013,9,23-2014,1 适应专业全校经济 管理类学
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4 数学教师暑期研修班 新疆大学 高等数学疑难问题选讲 西安交通大学数学与统计学院 hqlee@mil.jtu.edu.cn 李换琴 目录 一元函数微分学其应用 一元函数积分学其应用 西安交通大学数学与统计学院李换琴 /88 4/9/6 第一讲 一元函数微分学及其应用 西安交通大学数学与统计学院李换琴 3/88 4/9/6 问题 导数概念的本质及在科学技术中的含义 y ' lim lim 平均变化率
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8 考研数学 ( 二 ) 真题及答案解析 ( 文都版 ) 来源 : 文都教育 一 选择题 :~8 小题, 每小题 4 分, 共 分. 下列每题给出的四个选项中, 只有一个选项是符合题目要求的.. 若 lim(e + a + b), 则 A. a, b. B. a, b. C. a, b.. a, b. 答案 :(B) e + a + b e + a + b 解析 : lim( e + a + b )
7. 下列矩阵中, 与矩阵 相似的为. A.. C.. B.. D. 8. 设 AB, 为 n 阶矩阵, 记 rx ( ) 为矩阵 X 的秩,( XY?) 表示分块矩阵, 则 A. r( A? AB) r( A). B. r( A? BA) r( A). C. r A B r A r B (? )
8 数二真题 一 选择题 :~8 小题, 每小题 4 分, 共 分. 下面每题给出的四个选项中, 只有一个选项 是符合题目要求的.. 若 lim( e a b), 则 A. a, b. B. a, b. C. a, b. D. a, b.. 下列函数中, 在 处不可导的是 A. f ( ) sin. B. f ( ) sin. C. f ( ) cos. D. f ( ) cos. a,,,,. 设函数
第三章
第三章 微分中值定理与导数的应用 一 内容提要 罗尔定理 拉格朗日中值定理及柯西中值定理是本章的重要定理 是以后用导数研究函数形态的基础 洛必达法则是求极限未定式的极为重要的手段 在灵活运用的基础上 比第一章所学的方法更具规范化 泰勒公式可理解成函数用多项式近似表示 余项便是误差 4 函数单调性 凹凸性是导数的某种具体应用 由单调性产生出求极值 最大与最小值的方法 加上凹凸性等可大概将函数描绘出来
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科学出版社职教技术出版中心 高等教育 十一五 规划教材 高职高专公共课教材系列 高等数学 王晓宏主编 北京 内容简介本书是高等教育 十一五 规划教材. 全书借鉴了近年来国内外先进职业教育理念, 突出了职业教育的特点, 注重学生数学素养 计算能力和应用迁移能力的培养. 本书内容包括极限与连续 导数与微分 微分中值定理与导数的应用 不定积分 定积分及应用 常微分方程 二元函数的微积分 级数 线性代数 概率与统计初步等.
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考研资料下载中心 hp://download.kaoan.com 6 年全国硕士研究生入学考试数学 ( 二 ) 一 填空题 + 4sin () 曲线 = 的水平渐近线方程为. 5 cos sin d,, () 设函数 f ( ) = 在 = 处连续, 则 a =. a, = + d () 广义积分 =. ( + ) ( ) (4) 微分方程 = 的通解是. d (5) 设函数 = ( ) 由方程 =
内 容 简 介本书是根据高职教育的目的和特点 针对当前高职学生实际状况编写的 本书按模块化分类 第一模块为微积分 包括函数与极限 导数与微分 导数的应用 不定积分 定积分及其应用 第二模块为微分方程 第三模块为线性代数 第四模块为积分变换 包括傅里叶变换 拉普拉斯变换 第五模块为无穷级数 第六模块为
高等职业教育 十二五 规划教材 高职实用数学 李志荣 白 静 主 编马芙玲 舒 华李秀琴 黎 捷 副主编 科学出版社职教技术出版中心 www.aboo 北 京 内 容 简 介本书是根据高职教育的目的和特点 针对当前高职学生实际状况编写的 本书按模块化分类 第一模块为微积分 包括函数与极限 导数与微分 导数的应用 不定积分 定积分及其应用 第二模块为微分方程 第三模块为线性代数 第四模块为积分变换 包括傅里叶变换
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科学出版社职教技术出版中心 wwwaboo 高等教育 十一五 规划教材 公共基础课系列教材 微积分 段复建主编张楠李可人刘德光副主编 北京 内容简介本书内容包括函数的极限与连续 导数与微分 微分中值定理与导数的应用 不定积分 定积分 多元函数微分学 二重积分 无穷级数 微分方程与差分方程等 本书从实际例子出发, 引出微积分的基本概念 基本理论和基本方法, 对某些章节适当降低理论深度, 注重数学在经济管理领域中的应用,
数学分析考研辅导班讲义4.doc
数学分析考研辅导讲义第四章 - 9 - 第四章 不定积分 积分学是微积分的主要部分之一 积分运算是微分运算的逆运算. 而不定积分为定积分的计算提供了一种简便快捷的工具 又是今后计算重积分 曲线积分 曲面积分的基础. 本章的重点是不定积分的换元积分法与分部积分法. 难点是第二换元法 三角函数有理式及简单无理式积分. 要点是不定积分的各种积分方法. 通过本章的学习 应掌握不定积分的概念 性质 基本积分公式及积分方法.
高等数学 E1 教学大纲 (2013 版 ) 课程编码 : 课程名称 : 高等数学 E1 学时 / 学分 :48/3 先修课程 : 初等数学 立体几何 平面解析几何 适用专业 : 机械设计制造及其自动化 材料成型及控制工程 车辆工程 化学工程与工艺 制药工程 化学 计算机科学与技
高等数学 E1 教学大纲 (2013 版 ) 课程编码 :1510310503 课程名称 : 高等数学 E1 学时 / 学分 :48/3 先修课程 : 初等数学 立体几何 平面解析几何 适用专业 : 机械设计制造及其自动化 材料成型及控制工程 车辆工程 化学工程与工艺 制药工程 化学 计算机科学与技术 物理学 电子信息科学与技术 生物技术 园林 土木工程 交通工程等理工专业开课教研室 : 大学数学教研室
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第三章 中值定理与导数的应用 函数的导数刻画了函数相对于自变量的变化快慢, 几何上就是用曲线的切线倾斜度 斜率反映曲线上点的变化情况. 本章将利用函数的一 二阶导数进一步研究函数及曲线的性态, 并介绍导数在一些实际问题中的应用. 微分中值定理给出了函数及其导数之间的联系, 是导数应用的理论基础. 微分中值定理包括罗尔定理 拉格朗日中值定理与柯西中值定理, 它们在微分学理论中占有重要地位. 第一节 中值定理
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第 3 章 导 数 与 微 分 学 习 指 导 与 训 练 导 数 和 微 分 是 微 积 分 学 的 重 要 概 念. 导 数 刻 画 的 是 函 数 相 对 于 自 变 量 的 变 化 快 慢 程 度, 而 微 分 则 给 出 自 变 量 有 微 小 改 变 量 时 函 数 改 变 量 的 近 似 值. 本 章 着 重 对 导 数 与 微 分 的 基 本 概 念 基 本 运 算 及 基 本 应
高等数学 D 教学大纲 (2013 版 ) 课程编码 : 课程名称 : 高等数学 D 学时 / 学分 :48/3 先修课程 : 初等数学 立体几何 平面解析几何 适用专业 : 心理学 小学教育 社会工作 旅游英语等专业开课教研室 : 大学数学教研室 执笔 : 审定 :
高等数学 D 教学大纲 (2013 版 ) 课程编码 :1510309103 课程名称 : 高等数学 D 学时 / 学分 :48/3 先修课程 : 初等数学 立体几何 平面解析几何 适用专业 : 心理学 小学教育 社会工作 旅游英语等专业开课教研室 : 大学数学教研室 执笔 : 庄乐森 审定 : 王仁举赵国喜 高等数学 D 教学大纲 (2013 版 ) 课程编码 :1510309103 课程名称 :
13年考研数学第19，20讲
3 年考研数学第 9, 讲 第 9 讲. 极, 拐, 零点巧讨论 连续函数的图形特征, 在单调性外, 还有极值点, 图形拐点, 零点 ( 与 轴的交点 ) 极值点与图形拐点 极值点与极值定义 如果定义域内存在 的邻域, 在其内恒有 f ( ) f (, 则称 是函数 f ( 的一个极大点,f ( ) 是极大值 ( 潜台词 : 常函数除外, 按照游戏规则, 定义区间端点没有资格做极值点 ) 用增量的语言来说,(
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第三章导数的应用 在第二章建立了导数和微分的概念, 并讨论了它们的计算方法. 本章将利用导数逐步地研究 函数的某些性质, 进而求函数的极值, 并应用这些知识描绘函数的图像. 这些知识在日常生活 科 学实践 经济往来中都有着广泛的应用. 3.1 微分中值定理 中值定理是微分学中最重要的定理, 它描述了函数与其导数之间的联系, 是导数应用的理论基础. 本章的好多结果都是建立在中值定理的基础上. 本节将学习拉格朗日中值定理和利用导数如何判断函数的单调性.
5.1 分模块教学大纲目录 2
五 分模块教学大纲 1 5.1 分模块教学大纲目录 2 3 4 5 5.2 高等数学模块划分和部分教学大纲 高等数学课程模块 2014 版 高数 ( 上 ) 模块 (1) 一元函数微积分学 (1) 学时 :72 课时 教学内容 : 函数 极限与连续 (20 课时 ) 导数与微分 (12 课时 ) 导数的应用 (14 课时 ) 不定积分 (10 课时 ) 定积分及其应用 (16 课时 ) 模块 (2)
《高等数学》考试形式和试卷结构
附件 2 中国矿业大学第二学士学位招生考试参考大纲 (2018 年 ) 高等数学试卷满分及考试时间试卷满分为 150 分, 考试时间为 90 分钟 答题方式答题方式为闭卷 笔试 试卷题型结构单项选择题 60 分填空题 20 分解答题 ( 包括证明题 ) 70 分 一 函数 极限 连续与间断考试内容函数的概念及表示法 : 函数的有界性 单调性 周期性和奇偶性 ; 复合函数 反函数 分段函数和隐函数 ;
二 一元 函数微分 学 运算法则, 掌握利用两个重要极限求极限的方法. 7. 理解无穷小的概念和基本性质, 掌握无穷小量的比较方 法. 了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系. 8. 理解函数连续性的概念 ( 含左连续与右连续 ), 会判别函数 间断点的类型. 运算法则, 掌握利用两个重要极限求极限
2017 年与 2016 年考研微积分大纲变化对比 数三 章节 2016 年数学考试大纲和 2017 年数学考试大纲和变化对比 微 积 分 一 函数 极限 连 续 函数的概念及表示法函数的有界性 单调性 周期性和奇偶函数的概念及表示法函数的有界性 单调性 周期性和奇偶性复合函数 反函数 分段函数和隐函数基本初等函数的性质性复合函数 反函数 分段函数和隐函数基本初等函数的性质及其图形初等函数函数关系的建立及其图形初等函数函数关系的建立数列极限与函数极限的定义及其性质函数的左极限和右极数列极限与函数极限的定义及其性质函数的左极限和右极限无穷小量和无穷大量的概念及其关系无穷小量的性质及无限无穷小量和无穷大量的概念及其关系无穷小量的性质及无穷小量的比较极限的四则运算极限存在的两个准则
9 浙江专升本考试群 答案 (C) 解析 f ( ) 3 3, 切线方程平行于 轴故切线斜率为, 故有 3 3, 可得点为 (,) 或者 (, ), 故选 (C) 3. 函数 3 f ( ) ( ) 不可导的点的个数是 ( ) (A) 3 (B) (C) (D) 思路点拨 对于分段函数
9 浙江专升本考试群 638639 浙江省 4 年选拔优秀高职高专毕业生进入本科学习统一考试 高等数学 请考生按规定用笔将所有试题的答案涂 写在答题纸上 注意事项 : 选择题部分. 答题前, 考生务必将自己的姓名 准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定 的位置上. 每小题选出答案后, 用 B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑, 如需改动, 用橡皮 擦干净后, 再选涂其他答案标号, 不能答在试题卷上
计算机最新技术丛书
面向 世纪全国高校数学规划教材 高等数学 林益 肖兆武 李伶主编 杨殿生副主编 内容提要 本书是为普通高校和高职高专学生编写的基础课教材 高等数学, 内容包括函数与极限 导数及其应用 不定积分 定积分及其应用 空间解析几何 多元函数微分学 二重积分 微分方程, 级数等 本书本着 立足基本理论和基础知识, 普及科学教育, 适应专业需要, 保证未来发展 的指导思想, 按照 必需 够用 的原则, 努力提高学生学习兴趣和数学素养,
考 研 数 学 三 部 曲 之 大 话 高 等 数 学 0. 考 研 数 学 高 等 数 学 部 分 其 实 就 是 一 座 大 楼 房 间 80 房 间 80 第 八 层 房 间 80 房 间 804 房 间 805 房 间 70 房 间 70 房 间 70 第 七 层 房 间 704 房 间 7
第 0 章 超 级 导 读 ( 必 看 ) 本 书 共 8 章, 此 章 虽 不 讲 具 体 的 知 识 点, 但 其 地 位 是 相 当 重 要 的 因 此, 强 烈 建 议 大 家 阅 读 本 章 的 内 容 考 研 数 学 三 部 曲 之 大 话 高 等 数 学 0. 考 研 数 学 高 等 数 学 部 分 其 实 就 是 一 座 大 楼 房 间 80 房 间 80 第 八 层 房 间 80
Ζ # % & ( ) % + & ) / 0 0 1 0 2 3 ( ( # 4 & 5 & 4 2 2 ( 1 ) ). / 6 # ( 2 78 9 % + : ; ( ; < = % > ) / 4 % 1 & % 1 ) 8 (? Α >? Β? Χ Β Δ Ε ;> Φ Β >? = Β Χ? Α Γ Η 0 Γ > 0 0 Γ 0 Β Β Χ 5 Ι ϑ 0 Γ 1 ) & Ε 0 Α
学年冬学期 国奖采访记录 问 : 平时复习吗? 答 : 没有特意的复习, 真正开始复习是在考试前一个月, 所以要调整好时间. 问 : 复习的建议? 答 :. 刷题还是有用的, 也是必须的.. 如果刷题的话, 先刷课后的题目, 把老师布置的都做一遍, 把例题都看懂. 其实数学只要掌握了模式, 题都是可
学年冬学期 资料白皮书 科目 : 微积分 出版单位 : 丹青学业指导中心 出版时间 : 年 月 学年冬学期 国奖采访记录 问 : 平时复习吗? 答 : 没有特意的复习, 真正开始复习是在考试前一个月, 所以要调整好时间. 问 : 复习的建议? 答 :. 刷题还是有用的, 也是必须的.. 如果刷题的话, 先刷课后的题目, 把老师布置的都做一遍, 把例题都看懂. 其实数学只要掌握了模式, 题都是可以变化的.
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第三章 微分中值定理与导数的应用 导数是研究函数在一点处性态的有力工具, 是函数的局部概念, 而我们常常需要知道函数在整个区间上的各种性态, 即整体概念. 中值定理就是沟通二者之间的桥梁. 也正是由于中值定理的出现, 才使得导数的应用得到了长足的发展. 本章主要内容包括微分中值定理 洛必达法则 函数的单调性与极值 函数的最值 曲线的凹凸与拐点 函数图形的描绘 曲线的曲率等. 微分中值定理的起源与发展人们对微分中值定理的认识可以追溯到古希腊时代.
第一讲 1. 难度偏大 217 平稳 2. 知识基础 手法新颖 3. 计算量大 4. 覆盖面广 例 1 若积分 d 收敛, 则 1 1 A 1且 1 B 1且 1 C 1且 1 D 1且 如 : lim
新东方在线考研 216 新东方在线考研数学高数基础课程配套讲义 授课教师 : 张宇 欢迎使用新东方在线电子教材 目录 216 新东方在线考研数学高数基础课程配套讲义... 1 授课教师 : 张宇... 1 第一讲... 2 第二讲... 1 第三讲... 18 1 第一讲 1. 难度偏大 217 平稳 2. 知识基础 手法新颖 3. 计算量大 4. 覆盖面广 例 1 若积分 d 收敛, 则 1 1
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第三章微分中值定理和导数的应用 上一章以几个实际问题的变化率为背景, 抽象出函数的导数概念, 讨论了导数的计算方法. 由于函数在一点的导数仅反映函数在这点邻近的局部性质, 这一章将用导数研究函数的整体性质, 在函数的整体性质中, 单调性是最基本的性质, 利用导数讨论函数的单调性, 首先必须在函数的定义区间内寻求联系自变量增量 函数增量和导数之间的数量关系式, 这就是本章的微分中值定理. 然后在微分中值定理的基础上讨论函数的单调性
上海师范大学本科课程教学大纲格式
微积分 教学大纲 课程名称 : 微积分 英文名称 : calculus 学分 : 6 总学时 :108 实验 ( 上机 ) 学时 : 无 开课专业 : 经济学专业 财务管理专业 资产管理专业 物业管理专业 一 课程性质 目的和培养目标 : 微积分 是一门数学基础课程, 它的主要内容包括函数 极限 连续 导数与微分, 中值定理与导数的应用, 不定积分, 定积分, 多元函数微分法及其应用, 重积分, 无穷级,
解析 : 由于 a >, 则 a 为正项级数,S =a +a + a 为正项级数 a 的前 = 项和 正项级数前 项和有界与正向级数 (4) 设 I = sid(=,,3), 则有 D (A)I < I <I 3. (B) I < I < I 3. = a = 收敛是充要条件 故选 A (C) I
年全国硕士研究生入学统一考试 数学二试题解析 一 选择题 :~8 小题, 每小题 4 分, 共 3 分, 下列每小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求 的, 请将所选项前的字母填在答题纸... 指定位置上. () 曲线 = + 渐近线的条数为 () (A) (B) (C) (D)3 答案 :C 解析 : lim + =, 所以 = 为垂直的 + lim =, 所以 = 为水平的, 没有斜渐近线故两条选
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數學教育學習領域
高 中 数 学 课 程 补 充 资 料 013/14 学 年 就 读 中 四 学 生 适 用 013 ( 空 白 页 ) 目 录 页 数 1. 概 论 1 1.1 背 景 1 1. 关 注 事 项 及 考 虑 因 素 1 1.3 短 期 方 案 摘 要 1 1.4 评 核 设 计 概 要. 修 订 后 的 高 中 数 学 课 程 学 习 内 容 3.1 修 订 后 的 必 修 部 分 学 习 内 容
(6) 初等函数 (1) 理解函数的概念 会求函数的表达式 定义域及函数值 会求分段函数的定 义域 函数值, 会作出简单的分段函数的图像 (2) 理解函数的单调性 奇偶性 有界性和周期性 (3) 了解函数与其反函数之间的关系 ( 定义域 值域 图像 ), 会求单调函数的反 函数 (4) 熟练掌握函数
本大纲适用于工学理学 ( 生物科学类 地理科学类 环境科学类 心理学类等四 个一级学科除外 ) 专业的考生 总要求考生应按本大纲的要求, 了解或理解 高等数学 中函数 极限和连续 一元函数微分学 一元函数积分学 向量代数与空间解析几何 多元函数微积分学 无穷级数 常微分方程的基本概念与基本理论 ; 学会 掌握或熟练掌握上述各部分的基本方法 应注意各部分知识的结构及知识的内在联系 ; 应具有一定的抽象思维能力
9 浙江专升本考试群 ( ) S d 3 6 故选 (D) 5. 二阶微分方程 y y 6y 3e si cos 则其特解的形式为 ( ) (A) e ( cos bsi ) (B) e ( cos b si ) (C) e ( cos bsi ) (D) e ( cos b si
9 浙江专升本考试群 638639 浙江省 3 年选拔优秀高职高专毕业生进入本科学习统一考试 高等数学 请考生按规定用笔将所有试题的答案涂 写在答题纸上选择题部分注意事项 :. 答题前 考生务必将自己的姓名 准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定 的位置上. 每小题选出答案后 用 B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑 如需改动 用橡皮 擦干净后 再选涂其他答案标号不能答在试题卷上 一
平面曲线的切线和法线 ; 导数和微分的四则运算 ; 基本初等函数的导数 ; 复合函数 反函数 隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法 ; 高阶导数 ; 相关变化率 ; 洛必达 (L'Hospital) 法则 ; 函数单调性的判别 ; 函数的极值与最值 ; 函数图形的凹凸性 拐点及渐近线 ; 函数图形
硕士 ( 港澳台 ) 数学考试大纲与要求 对知识的要求层次 : (1) 初步的感性认识, 能处理简单的问题, 用语 : 知道, 会 ; (2) 一定的理性认识, 能模仿解决一般问题, 用语 : 了解, 掌握 ; (3) 较深刻的理性认识, 能主动利用知识解决相对复杂的问题, 用语 : 理解, 能够运用 高等数学一 函数 极限与连续 考试内容 函数的概念及表示法 ; 函数的有界性 单调性 周期性和奇偶性
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第 章导数的应用 在上一章中, 从实际问题中因变量相对于自变量的变化率出发, 我们引进了导数的概念, 并讨论了导数的计算方法 本章中, 我们将应用导数来研究函数以及曲线的某些性态, 并利用这些知识解决一些实际问题 为此, 我们先介绍微分中值定理, 它们建立了函数在一个区间上的平均变化率与函数在区间内部一点的瞬时变化率之间的联系, 是导数应用的理论基础 微分中值定理 首先让我们观察如图 中的连续曲线弧
考 纲 解 读 14 浙 江 省 普 通 高 考 语 文 科 考 纲 研 读 吴 美 琴 今 年 的 考 试 说 明, 我 用 了 八 个 字 进 行 概 括, 那 就 是 稳 中 微 调, 关 注 生 活 稳 中 微 调 :14 年 的 语 文 考 试 说 明 是 近 几 年 来 调 整 幅 度
14 年 第 1 期 ( 总 第 87 期 ) 目 录 考 纲 解 读 语 文 吴 美 琴 (1) 数 学 王 芳 (3) 英 语 王 文 伟 (8) 物 理 季 倬 (1) 浙 江 省 义 乌 中 学 信 息 科 研 处 主 办 化 学 杨 军 (14) 生 物 吴 贵 忠 (16) 政 治 王 雪 娟 (17) 历 史 陈 旭 明 (7) 总 编 : 方 维 华 主 编 : 陈 平 执 行 主
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3 4 5 6 7 χ χ m.303 B = f log f log C = m f = = m = f m C = + 3( m ) f = f f = m = f f = n n m B χ α χ α,( m ) H µ σ H 0 µ = µ H σ = 0 σ H µ µ H σ σ α H0 H α 0 H0 H0 H H 0 H 0 8 = σ σ σ = ( n ) σ n σ /
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第三章一元函数积分学 3. 不定积分的概念 3. 不定积分的计算方法 3.3 定积分概念及性质 3.4 积分学基本公式 3.5 定积分的换元积分法与分部积分法 3.7 定积分的应用 3. 不定积分的概念 3.. 原函数与不定积分的概念 3.. 不定积分的性质与基本积分公式 3.. 原函数与不定积分的概念 定义 3. 设 f 使得对 在区间 I内的一个原函数 例 sin cos ln > 0 ln 是区间
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第 1 6 章 导数的应用 本章先介绍微分的概念及其简单应用, 再利用导数 来研究函数的某些性态, 讨论函数单调性的判定, 函数极 值的求法, 最后解决有关最大值 最小值的实际问题. 16-1 微分 图 16-1 一 微分的定义及表达式在许多实际问题中, 有时需要计算当自变量有一微小增量 Δ x 时, 相应函数的改变量 Δ y 的大小. 但一般来说如果函数很复杂, 计算函数的改变量 Δ y 也就很复杂.
广东专插本考试网 : b.cc 公众号 :gdzcb_cc 手机 : ( 微信同号 ) 第一章函数 极限和连续 一 函数 二 极限 三 连续 第二章一元函数微分学 一 导数 二 微分 三 中值定理 四 导数的应用 第三章一元函数积分学 一 不定积分 二 定积分 第四章多元函数微积分学初步
广东专插本考试网 : b.cc 公众号 :gdzcb_cc 手机 :3850967( 微信同号 ) 高等数学 广东专插本考试网 : b.cc 公众号 :gdzcb_cc 手机 :3850967( 微信同号 ) 广东专插本考试网 : b.cc 公众号 :gdzcb_cc 手机 :3850967( 微信同号 ) 第一章函数 极限和连续 一 函数 二 极限 三 连续 第二章一元函数微分学 一 导数 二 微分
出版发行 : 广州尚德机构睿博学院教研中心 尚德睿博学院 教研中心学习是一种信仰! 版权声明 编 委 : 陈立霞 陈思敏 陈月玉 邓莞丹 洪天玮 林淑霞 马剑凡 Susi 王飞 王雁鹏 王志鹏 余静 均按姓氏拼音排序 学术指导 :Susi 本册主编 : 洪天玮王雁鹏 责任主编 : 洪天玮 版面设计
赠送教材 高等数学 一 课程代码 : 尚德机构睿博学院教研中心 / 出版发行 : 广州尚德机构睿博学院教研中心 尚德睿博学院 教研中心学习是一种信仰! 版权声明 编 委 : 陈立霞 陈思敏 陈月玉 邓莞丹 洪天玮 林淑霞 马剑凡 Susi 王飞 王雁鹏 王志鹏 余静 均按姓氏拼音排序 学术指导 :Susi 本册主编 : 洪天玮王雁鹏 责任主编 : 洪天玮 版面设计 : 洪天玮 最终修订 : 洪天玮
Bor to wi (5) y l y ( ) 1 ( 1) ( 1)! (6) y ( ) y ( 1)( 1) 4 五个常用的麦克劳林公式 e e 1!! ( 1)! 1, 在 与 之间 cos 3 si ( 1) ( 1), 在 与 之间 3! ( 1)! ( 3)! 1 cos
Bor to wi 16 年数学考研最后常考公式集锦 - 高等数学篇 牛秀燕 数学教研室 1 无穷小的比较 设在某极限过程 中, 函数 ( ), ( ) 都为无穷小量, 并且都不为 ( ) 若 lim ( ), 则称当 时, ( ) 阶无穷小量, 记作 ( ) o( ( )) ; ( ) 若 lim C ( ), 则称当 时, ( ) 为 ( ) 的高阶无穷小量, 或 ( ) 为 ( ) 的低 与
第8章
教学目的 : 理解多元函数的概念和二元函数的几何意义 了解二元函数的极限与连续性的概念 以及有界闭区域上的连续函数的性质 理解多元函数偏导数和全微分的概念 会求全微分 了解全微分存在的必要条件和充分条件 了解全微分形式的不变性 4 理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法 5 掌握多元复合函数偏导数的求法 6 会求隐函数 包括由方程组确定的隐函数 的偏导数 7 了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念
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一些初等函数 : 两个重要极限 : e e 双曲正弦 : sh e e 双曲余弦 : h sh e 双曲正切 : h h e sh l h l h l e e si lim lim e 三角函数公式 : 三角函数 : 正弦函数 si ; 余弦函数 ; si 正切函数 ;
高等数学公式导数公式 : 基本积分表 : 三角函数的有理式积分 : si g g g g g l log l s s se se s se si g g sh h h sh g g g g l l s s se se s si se g g g g g si l l l s s l se se l si l I I si l l si 一些初等函数 : 两个重要极限 : e e 双曲正弦 : sh