一 函数 极限 连续 9 考研数学强化课程高等数学内部讲义 题型 函数极限的求法 例 求极限 lim ( + + ) 4 答案 e 8 9 a + b 例 求极限 lim( ), 其中 a, b, a, b 答案 ab + 例 求极限 lim( l ) 答案 e e 例 4 求极限 lim ( +

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1 9 考研数学强化课程高等数学内部讲义 目录 一 函数 极限 连续 二 一元函数微分学 4 三 一元函数积分学 8 四 多元函数微分学 五 二重积分 5 六 微分方程 8 七 无穷级数 ( 数学一, 数学三 ) 八 三重积分 曲线积分与曲面积分 ( 数学一 )

2 一 函数 极限 连续 9 考研数学强化课程高等数学内部讲义 题型 函数极限的求法 例 求极限 lim ( + + ) 4 答案 e 8 9 a + b 例 求极限 lim( ), 其中 a, b, a, b 答案 ab + 例 求极限 lim( l ) 答案 e e 例 4 求极限 lim ( + si si 答案 ) ( cos)[ l( + ta)] 例 5 求极限 lim 答案 4 si 4 例 6 设 f () 连续, 且 f ( ) =, f (), 求极限 lim 题型 数列的求法 例 7 求极限 lim a + b, 其中 a, b 答案 ma{ a, b} f ( t) dt 答案 f ( t) dt 例 8 lim (si + si + + si ) = 答案 si cos ( + ) 例 9 设, + =, =,,, 证明 : 数列 { } 收敛, 并求其极限 答案 + 题型 极限的反问题 l( + ) 例 若 lim{ + a[ ]} = b l( + ), 则 ab = 答案 4 f ( ) si 例 若 lim[ ] =, 则 lim f ( ) = 答案 al( + ) si + b + c 5 5 例 已知极限 lim =, 求 a, b, c 的值 答案 a =, b =, c = 题型 4 无穷小的比较 f ( ) 例 已知 f () 二阶可导, lim =, f () =, 则当 时, = f ( ) 是 = + 的 ( ) (A) 高阶无穷小 (B) 低阶无穷小 (C) 等价无穷小 () 同阶但不等价的无穷小 答案 (C)

3 9 考研数学强化课程高等数学内部讲义 例 4 当 序顺序是 ( ) = l( + ) 时, 无穷小量 t e, = e dt, = arcta 从高阶到低阶的排 (A),, (B),, (C),, (),, 答案 (C) 题型 5 函数的连续性与间断点 例 5 函数 ( ) l ( + ) si,, f =, =, 在 = 处 ( ) si ( t ) dt,, (A) 极限不存在 ; (B) 极限存在, 但不连续 ; (C) 连续, 但不可导 ; () 可导 答案 (C) e e 例 6 讨论 f ( ) = lim t + t e + 的连续性 e t e 答案 f ( ) =,,,, =,, = 是 f () 的跳跃间断点 例 7 求函数 ( ) l si f = 的间断点, 并判断其类型 答案 = 是可去间断点, = 是跳跃间断点 题型 6 平面曲线的渐近线 例 8 求曲线 y = 的渐近线 答案 =, y = + 例 9 求曲线 y = + l( + e ) 的渐近线 答案 =, y =, y = 题型 7 闭区间连续函数性质 例 设 f () 在 [ a, b] 上连续, a c d b, 证明 : 对任意正数 p, q, 存在 [ c, d], 使得 pf ( c) + qf ( d) = ( p + q) f ( ) + 例 证明方程 e + = 在 (,) 内有唯一的实根, 并求 lim ( + ) 答案

4 二 一元函数微分学 9 考研数学强化课程高等数学内部讲义 题型 导数的概念 ( 定义法求导 ) 例 设 f () 在 = 的某邻域内有定义, f ( ) =, 则 f () 在 = 处可导的充要条件是 ( ) f ( ) f ( ) (A) lim 存在 f ( cos) (B) lim 存在 (C) lim f ( e ) f ( si ) 存在 () lim 存在 答案 (C) 例 设 g () 在 = a 处连续, 讨论 f ( ) = a g( ) 在 = a 处的可导性 答案 当 g ( a) = 时, f () 在 = a 处可导 当 g ( a) 时, f () 在 = a 处不可导 例 f ( ) = ( + ) 的不可导点的个数是 (A) (B) (C) () 答案 (C) 例 4 设 f ( ) = + ( )arcsi, 则 f ( ) = + 答案 + 4 f ( a + ) 例 5 设函数 f () 在点 = a 处可导, 且 f ( a), 求数列极限 lim[ ] f ( a) f ( a) ( f a 答案 e ) 题型 公式法求导 例 6 求下列函数的导数:() l( y = + + ) ;( ) y = ( + ) ( ) 答案 () y = ;( ) y = ( + ) [l( + ) ] + + = t + t, 例 7 已知 t y + si y =, d y d 求 d y 答案 d t ( t + )si y = [ ] ( t + ) ( cos ( cos f y y 例 8 设 e ( ) = e, 其中 f 二阶可导, 且 f ( ), 求 y 4

5 9 考研数学强化课程高等数学内部讲义 f ( [ f ( ] 答案 y = [ f ( ] ( ) cos, 例 9 设 f ( ) = a,, =, 其中 () 具有二阶导数, 且 ( ) =, () = () 确定 a 的值, 使 f () 在 = 处连续 ;() 求 f () ; () 讨论 f () 在 = 处的连续性 答案 () a = ;() ( ) + si ( ) cos, f ( ) = [ () + ],, () 连续 = ; 题型 高阶导数的求法 例 设 y e () = cos, 求 y ( ) 答案 y = e cos( + ) 4 ( ) 例 设 y = l( ), 则 y = ( ) 答案 y () = ( ) ( )![ + ] ( + ) ( ) 例 设 y = si cos, 则 y () = 答案 8 (5) 题型 4 导数的几何意义及其应用 例 设曲线 f ( ) = 在点 (, ) 处的切线与 轴的交点为 (,), 求极限 lim f ( ) 答案 e 例 4 求心脏线 r =+ cos 在对应于 = 的点处的法线方程 ( 用直角坐标表示 ) 答案 y = 题型 5 利用导数研究函数性态 例 5 设 f ( ) = si + cos, 下列正确的是 5

6 9 考研数学强化课程高等数学内部讲义 (A) f () 是极大值, f ( ) 是极大值 (B) f () 是极大值, f ( ) 是极小值 (C) f () 是极小值, f ( ) 是极大值 () f () 是极小值, f ( ) 是极小值 答案 (C) 例 6 设 f( ) 满足 =, 且 f () = 则 ( ) f ( ) ( ) f ( ) f ( ) si (A) f () 为 f( ) 的极小值 (B) f () 为 f( ) 的极大值 (C) f () 为 f ( ) 的极大值 ()(, f ()) 为曲线 y = f ( ) 的拐点 答案 () 例 7 设 f () 在 R 内连续且在 (,) (, +) 内有二阶连续导数, f ( ) 的图形如图, 则 y = f ( ) 的驻点 极值点与拐点的个数分别为 ( ) (A)4,4,4 (C)4,,4 答案 (B) (B)4,4, ()5,4,4 题型 6 讨论方程根 例 8 针对常数 k, 讨论方程 l + k = 在 (, + ) 内根的个数 e 答案 k 没有根 ; k = 有一个根 ; k 两个根 题型 7 证明函数不等式 4 例 9 设 e a b e, 证明 : l b l a ( b a) e p p 例 证明: + ( ) (, p ) p a + b 例 证明: ( a + b)l al a + bl b ( a b ) 例 设 f () 在 [ a, b] 上连续, 在 ( a, b) 内二阶可导, 且 f ( ), 证明 : 对, ( a, ), 成立不等 式 f ) f ( ) + f ( )( ) ( 题型 8 微分中值等式与不等式的证明 b 例 设 f( ) 在 [, ] 上连续, 在 (, ) 内可导, 且 f () =, f ( ) =, f ( ) =, 证明存 在 (, ), 使得 f ( ) + f( )cos = 6

7 9 考研数学强化课程高等数学内部讲义 b b a 例 4 设 f () 在 [ a, b] 上连续, 在 ( a, b) 内可导, 且 f ( a) = a, f ( ) d =, 证明 : 在 ( a, b) a 内至少存在一点, 使得 f ( ) = f ( ) + 例 5 设 f () 在 [ a, b] 上具有二阶导数, 且 f ( a) = f ( b) =, f ( a) f ( ), 证明 : 存在 ( a, b), 使得 f ( ) = + b 例 6 设 f( ) 在 [ ab, ] 上连续, ( ab, ) 内可导, 且 f( ), 证明 : 存在, ( ab, ), 使得 b f ( ) e e = f ( ) b a a e 例 7 设 f () 在 [,] 上连续, 在 (,) 内可导, 且 f ( ) =, f ( ) =, a, b 为任意正数, 证明 : () 存在 c (, ), 使得 a f ( c) = ; a + b a b () 存在, (, ),, 使得 + = a + b f ( ) f ( ) 7

8 三 一元函数积分学 9 考研数学强化课程高等数学内部讲义 题型 基本概念与性质 例 选择题 () 若 f () 的导函数是 cos, 则 f () 的一个原函数是 ( ) (A) + si (B) si (C) + cos () cos 答案 () () 下列结论中正确的是 (A) 奇函数的原函数一定是偶函数 (B) 偶函数的原函数一定是奇函数 (C) 周期函数的原函数一定是周期函数 () 周期函数的原函数一定不是周期函数 答案 (A) + () 下列定积分 I = d, J = (sec ta) d e +, K = d 的由小到大顺序为 ( ) si (A) I J K (B) J K I (C) K J I () I K J 答案 () 例 填空题 () 若 f ( e ) = +, 则 f ( ) = 答案 l + C 4 () [si + ( )] d = 答案 + 6 () 设 = 答案 4e ( + )( + ) ( + ), 则 lim = 题型 各种积分的计算 ( 换元积分法与分部积分法 ) arcta + e 例 计算不定积分:() d;( ) d ; / + ( + ) si () d;( 4) e arcta e d + +cos ;( 5) d ;( 6) d 4 + ta si 8

9 答案 () + + arcta arcsi + C ;( ) e + C ; + () ta + C ;( 4) e arcta e e [ + ( e )] + C ; (5) l arcta + C ;( 6) (l ta + ta) + C 4 + si,, 例 4 设 f ( ) = 求 l( + ),, f ( ) d cos + C, 答案 ( + )l( + ) + C, l, 例 5 计算定积分:() e d ;( ) l( + e ) d 答案 () l( + ) ;( ) 例 6 设 I = cos cosd, =,,,, 证明 : I = I, 并求 I 答案 I = + 例 7 计算反常积分 :() d ;() + ( ) e d + e 9 考研数学强化课程高等数学内部讲义 答案 () ;( ) l t 例 8 设 f ( ) = e dt, 计算定积分 f ( ) d 答案 ( e ) 4 题型 变限积分与含参量积分 例 9 求下列函数的导数, 其中 f () 连续 : l( + ) () ( ) = t F te dt, ;( ) F( ) = ( t ) f ( t) dt ;( ) F( ) = t f ( t ) dt 答案 () F ( ) = l( + ) e ;( ) F( ) = f ( t) dt ;( ) F ( ) = f ( ) 例 设 f () 为 [ a, b] 上连续函数, F( ) = t f ( t) dt ( a b ), 求 F () b a 9

10 9 考研数学强化课程高等数学内部讲义 答案 F ( ) = f ( ) t 例 若 lim = si dt, 则 ( a, b) = a b + t 答案 (, 4) 题型 4 积分等式与不等式的证明 例 设 f () 在 [ a, b] 上连续, 证明 : f ( ) d f ( a + b ) d b a 例 设 f ( ), g( ) 在区间 [ a, a] ( a ) 上均连续, g () 为偶函数, 且 f () 满足条件 f ( ) + f ( ) = A ( A 为常数 ) a a () 证明 : f ( ) g( ) d = A a g( ) d ;( ) 计算 : si arcta e d = b a 答案 () a a a 例 4 设函数 f () 在 [, a ] 上可导, 且 f ( ) =, f () 单调增加, 证明 : f ( ) d f ( ) d 例 5 设函数 f () 在区间 [ a, b] 上有连续的导函数, 且 f ( a) =, 证明 : b a b ( b a) f ( ) d f ( ) d a 例 6 设 f () 在 [ a, b] 上有二阶连续导数, 证明 : 存在 [ a, b], 使得 b a + b ( b a) f ( ) d = ( b a) f ( ) + f ( ) a 4 例 7 证明: 对任意的 且, 均存在 ( ) (, ) 并求极限 lim ( ), 使得 l( + t) dt = l[ + ( )], 题型 5 定积分的应用 例 8 求下列图形的面积: () 由曲线 y= l 与两直线 y = e + 及 y = 围成平面图形 ; = a( t si t), () 由曲线 ( t, a ) 与 轴围成平面图形 ; y = a( cost)

11 () 由曲线 r =+ cos 围成平面图形 答案 () () a () 9 考研数学强化课程高等数学内部讲义 例 9 过坐标原点作曲线 y= l 切线, 该切线与曲线 y= l 及 轴围成平面图形 () 求 的面 积 A ;( ) 求 绕直线 = e旋转一周所得旋转体的体积 V e 答案 () 5 ;( ) ( e e + ) 6 例 设某水库闸门为椭圆形水泥板, 椭圆的长轴平行于水面且在水下离水面的距离为 h, 求闸门所 受到的压力 答案 ab gh

12 四 多元函数微分学 9 考研数学强化课程高等数学内部讲义 题型 多元函数微分学基本概念及其关系 例 4 函数 f (, = y 在点 (,) 处 ( ) (A) 连续, 但偏导数 f(, ) 和 f (, y ) 不存在 (B) 不连续 (C) 连续且偏导数 f(, ) 和 f (, y ) 都存在 () 可微 答案 (C) 题型 偏导数与全微分的求法 cos( y ) ( y )cos 例 4 设 f (, =, 则 f y (,) = + si + si( y ) 答案 例 4 设 z = f (4 y ), 其中 f (u) 可微, 且 答案 4d dy f ( ) =, 则 dz (,) = y y z 例 44 设 z = f ( ) + g( y, ), 其中 f 二阶可导, g 具有连续二阶偏导数, 求 y z 答案 y y y = f f + g g + yg + g 例 45 设 y = f (, u), 而 u = u(, 是由方程 F (, y, u) = 确定的可微函数, 其中 f (, u), F(, y, u) 均可微, 且 F + f F, 求 答案 dy d dy d f F f F F + f F = y y 例 46 设 w (, = e f ( + t) dt, 其中 f 可导, w y 答案 w y y = e [ f ( + f ( )] + e f ( + y ) y 例 47 已知 f (, 具有二阶连续偏导数, 且 f =, f (,) =, f y (,) =, 求 f (, yy 答案 f (, = y + y +

13 9 考研数学强化课程高等数学内部讲义 题型 多元函数极值 条件极值与最值 例 48 求二元函数 f (, = ( + y ) + yl y 的极值 答案 f mi = f (, ) = e e 例 49 求由方程 ( + + ( y + z) + ( z + ) = 所确定的函数 z (, 的极值 答案 z mi = ; z ma = 例 4 将长为 m 的铁丝分成三段, 依次围成圆 正方形与正三角形三个图形的面积之和是否存在最 小值? 若存在, 求出最小值 答案 S mi = 例 4 已知函数 z = f (, 的全微分 dz = d+ ydy, 并且 f (,) =, 求 f (, 在有界闭区域 = {(, ( ) + y 答案 z 9, z = 最大值 = 最小值 4} 上的最值 题型 4 偏导数的几何应用 ( 数学一 ) 例 4 由曲线 答案 {,, } 5 + y =, 绕 y 轴旋转一周形成的旋转曲面在点 (,, ) 处的外侧单位法向量为 z = 例 4 过点(,, ) 与 (,, ), 且与 z = + y 相切的平面方程为 ( ) (A) z = 与 + y z = (B) z = 与 + y z = (C) y = 与 + y z = () y = 与 + y z = 答案 (B) 6 y z 例 44 求过直线 L : = = 且与椭球面 : + y + z = 相切的平面方程 答案 : + z = 7 和 : + 4y + 6z = 题型 5 方向导数与梯度 散度 旋度 )( 数学一 ) 例 45 求函数 z = + y 在点 (,) 处沿任意方向 l 的方向导数

14 9 考研数学强化课程高等数学内部讲义 答案 例 46 函数 u = yz 在点 (,, ) 处沿由点 (,, ) 到点 (,,) 方向 l u 的方向导数 = l 答案 例 47 已知函数 u = ay + byz + c z 在点 (,, ) 处沿 oz 轴正向的方向导数有最大值 64, 求 a, b, c 答案 a = 6, b = 4, c = 8 例 48 求 A(, y, z) = {y, y, si z} 的散度与旋度 答案 diva = y + cosz, rota = {, si z, } 4

15 五 二重积分 9 考研数学强化课程高等数学内部讲义 题型 二重积分的概念与性质 例 5 若 I = cos + y d, I = cos( + y ) d, I = cos( + = {(, + y }, 则 ( ) y ) d, 其中 (A) I I I (B) I I I (C) I I I () I I I 答案 (A) 例 5 设 = {(, y 4, y, }, 则 [ l( y + + y )] d = 答案 题型 二重积分的计算 例 5 计算 ( ddy 答案 8, 其中 (, ( ) ( y ), y 例 54 计算 答案 = + yd, 其中 是由心脏线 r = ( + cos ) 的上半部分与极轴所围成的区域 = t si t, 例 55 设平面区域 由曲线 ( t ) y = cost 答案 y 例 56 计算 e ddy, 其中 : + y,, y e 答案 例 57 计算 答案 4 y y 与 轴围成, 计算二重积分 + d, 其中 = {(,, y } ( ddy 5

16 9 考研数学强化课程高等数学内部讲义 例 58 计算 f (, d, 其中 f (, =, + y, + y, + y, = {(, + y } 答案 + 4 l( + ) 例 59 计算 + 答案 ( cos) 8 例 5 计算 + 64 答案 4 例 5 计算 答案 si( + y ) ddy, 其中 : + y,, y y ( y ) ddy, 其中 是由 y =, =, + y =, + y = 所围不含原点的平面区域 e yddy, 其中 是以曲线 y =, y = 及 y 轴为边界的无界区域 例 5 计算反常积分 + I = e d 答案 题型 二次积分相关问题 cos 例 5 二次积分 d f ( r cos, r si ) rdr = ( ) (A) (C) y dy f (, d (B) dy y d f (, dy () d 答案 () l( + 例 54 计算二次积分 dy y 答案 8 4l y f (, d f (, dy 题型 4 二重积分综合题 例 55 设 f( ) 在 = 的某邻域内连续, 在 = 处可导, 且 f() =, f() =, 求极限 6

17 9 考研数学强化课程高等数学内部讲义 lim t + t f ( + y t + y ) d 答案 例 56 设 f() t 在, + ) 上连续, 且满足方程 答案 ( ) 4 t f t = e (4 t + ) 4t f ( t) = e + f ( + y )ddy, 求 f() t + y 4t 7

18 六 微分方程 9 考研数学强化课程高等数学内部讲义 题型 微分方程的基本概念与理论 例 6 以 y = + 与 y = + + 为解的一阶非齐次线性微分方程是 答案 y y = + + 例 6 利用待定系数法求微分方程 y y + y = ( e + ) 特解时, 其形式为 答案 y 例 6 已知 y * = ( a+ b) e + c + d = e + e y = e + e, 求此微分方程 答案 y y y = ( ) e, y = e + e e 都是某个二阶常系数非齐次微分方程的解, 题型 常规微分方程的解法 dy 例 64 解微分方程 d = y 答案 = y Ce + + y + y 4 例 65 微分方程 y + y = y l 答案 + (l ) = C y 的通解是 例 66 求微分方程 y + y = 的通解 C 答案 y = + C 例 67 求方程 y y e = 满足 y( ) y( ) =, = 的解 答案 y = ( + ) e y e 4 例 68 微分方程 y sec y + ta y = 满足 y ( ) = 的解为 + 答案 ta y = ( + ) + 8

19 题型 微分方程综合应用题 9 考研数学强化课程高等数学内部讲义 例 69 设函数 y( )( ) 二阶可导且 y( ), y( ) =, 过曲线 y = y( ) 上任意一点 (, ) 线的切线及 轴的垂线, 上述两直线与 轴所围三角形的面积记为 S, 区间 边梯形面积记为 S, 并设恒有 S = 答案 y = e S, 求此曲线 y y( ) = 的方程 例 6 设 f () 连续, 且 f ( ) = si tf ( t) dt, 求 f () 答案 f = (si + cos ) y 例 6 已知 y + ( + e ) y =, () 若把 看成未知函数 y 看成自变量, 则上述方程可化为什么形式? () 求此方程的通解 y y 答案 = Ce + Ce + e 例 6 设 f (u) 具有二阶连续导数, 而 z f ( e si 答案 u f ( u) = Ce + C e u y L z z = 满足方程 + = e z y, 上以 y y( ) P y 作该曲 = 为曲边的曲, 求 f (u) 例 6 设 f () 可导, 曲线积分 yf ( ) d+ [ f ( ) + ] dy在 R 内与路径无关, 则 f ( ) = 答案 f ( ) = Ce + ( + ) 例 64 从船上向海中沉放某种探测仪器, 按要求, 需确定仪器的下沉深度 y ( 从海平面算起 ) 与下沉 速度 v 之间的函数关系, 设仪器在重力作用下, 从海平面由静止开始铅直下沉, 在下沉过程中还受到阻力 和浮力的作用设一起的质量为 m, 体积为 B, 海水比重为 ρ, 仪器所受到的阻力与下沉速度成正比, 比 例系数为 k(k>) 试建立 y 和 v 所满足的微分方程, 并求出函数关系式 y y( v) m mf F kv 答案 f ( v) = v l k k F = 题型 4 差分方程 ( 数学三 ) t 例 65 差分方程 yt+ yt = t 通解为 t 答案 y = C + ( t ) t 9

20 七 无穷级数 9 考研数学强化课程高等数学内部讲义 ( 数学一, 数学三 ) 题型 数项级数敛散性的判定 例 7 设级数 = ( ) a 条件收敛, 则下列正确的是 (A) a 收敛 (B) a 收敛 (C) ( a a+ ) 收敛 () a = = = = 答案 (C) 例 7 下列命题中错误的是 ( ) (A) 若 = u ( u, =,, ) 收敛, 则 u 收敛 = (B) 若 u 收敛, 则 ( ) u = = + ( ) 绝对收敛 收敛 = (C) 若 ( u + u ) 收敛, 则 u 收敛 = () 若 答案 (A) 例 7 设 = ( a ) 的敛散性 = + ( ) u 收敛, 则 = = u 绝对收敛 ( ) a 为发散的交错级数, 其中 a ( =,, ), 且 a } 单调减少, 判定级数 { 答案 收敛 例 74 设 a =, a+ = a + a 例 75 判定级数 ( ) = [ + ( ) 答案 条件收敛 ] ( =,, 的绝对收敛性 ) 证明 :() lim a 存在 ;() a 收敛 = a +

21 9 考研数学强化课程高等数学内部讲义 题型 幂级数 例 76 设幂级数 = 是 5 答案 [, ) 例 77 求幂级数 = a ( ) 在点 = 处发散, 在点 = 收敛, 则幂级数 a = + ( ) 的收敛域及和函数 ( ) 的收敛域 答案 S ( ) = 4( ) l ( ),,, =, 例 78 将函数 f ( ) = 展开成关于 + 的幂级数, 并确定其收敛域 ( ) = = 答案 f ( ) ( )( + ) ( ) + + 例 79 将函数 ( ) = arcta,, ( ) f 展开成 的幂级数, 并求级数 的和 =, = 4 答案 ( ) f ( ) = + ( ) = 4 例 7 将函数 f ( ) = l( + + ) 展成麦克劳林级数, 并确定其收敛域 ( ) ( )!! + 答案 f ( ) = ( )!( + ) = )!! 例 7 求幂级数 ( + )! ( + =! 的收敛区间与和函数 arcsi 答案 S ( ) = ( ) 例 7 已知 cos = a ( ), 求 a ( + ) =

22 9 考研数学强化课程高等数学内部讲义 答案 当 = k 时, a = ( ) ( + ) ; 当 = k + 时, a = +! 例 7 设 f ( ) = l( + ), 求 f () 答案 97! () 题型 傅里叶级数 ( 数学一 ) 例 74 已知函数 f ( ) + = ( 则系数 b, S ( ) = = 答案 b =, S ( ) = ) 的傅里叶级数展开式为 a S( ) = + ( a cos + b si ), = 例 75 将函数 f ( ) = + ( ) 展开为周期是 的傅里叶级数, 并求级数 = 的和 5 4 答案 f () = cos( ) ( ), = ( ) = = 6

23 9 考研数学强化课程高等数学内部讲义 八 三重积分 曲线积分与曲面积分 ( 数学一 ) 题型 三重积分的计算 例 8 计算 ( + y z) dv, 其中 是以点 A (,,), B(,,), C(,,), (,, ) 为顶点的四面体 5 答案 4 例 8 计算 ( + y + z) dv, 其中 是由曲面 z = + y 和 z = y 所围成的空间区域 答案 8 y z 例 8 计算 ( + + ) dv, 其中 : + y + z R a b c 4R 答案 5 5 题型 对弧长的曲线积分的计算 例 84 设椭圆 L : 4 + 9y = 6 的周长为 a, 则 ( ds = 答案 6 a 例 85 计算 ( y + ) ds, 其中 L 是星形线 + y = a ( a ) 答案 7 4a L 4 4 L y z 例 86 计算 y ( z) ds, 其中 C 是椭球面 + + = 与平面 + z = 的交线在第一卦限中点 4 4 (,,) 与 (,, ) 的一段 答案 ( ) C 题型 对坐标的曲线积分的计算 例 87 计算曲线积分 ( + y ) d dy, 其中 L 是 y = a 从点 A( a,) 经 B (, a) 到 C (a,) 的 L

24 9 考研数学强化课程高等数学内部讲义 弧段 答案 a + a 例 88 计算曲线积分 I = ( e d+ ( e cos dy, 其中 L 是 y = 上由点 A (, ) 到点 B (, ) 的 一段 答案 e dy yd 例 89 计算曲线积分 I =, 其中 + 4y L L y () L 是不过原点的分段光滑的逆时针方向的有向闭曲线 ; () L 是沿单位圆 + y = 上半圆周由 A (, ) 到 B (, ) 的有向曲线段 答案 () 当 L 不环绕原点时, I = ; 当 L 环绕原点时, I = () y 例 8 计算 [ + yf ( ] d + [ f ( ] dy, 其中 f () 连续可导,L 是由点 A (, ) 到 B (, ) 的 y y 有向直线段 答案 4 例 8 计算曲线积分 针方向 答案 L + y =, ( z d + ( z) dy + ( dz, 其中 L : 从 z 轴正向看取逆时 y + z =, 例 8 设, 有连续导数, L 是平面上任意一条分段光滑的有向曲线, 曲线积分 [ ( + ( ] d+ [ ( + y ( ] dy与路径无关, 求 ( ), ( ) L 答案 ( ) = si +, ( ) = cos + 题型 4 对面积的曲面积分的计算 例 8 设 + y + z = 4 答案 :, 求 例 84 计算 I = ( + y + z) ds 7 答案 6 ( + y ) ds, 其中 : z = + y ( z ) 4

25 题型 5 对坐标的曲面积分的计算 例 85 计算 I = 部分的外侧 5 答案 例 86 例 8 ydydz dzd + z ddy 9 考研数学强化课程高等数学内部讲义, 其中 为圆锥面 z = + y 被平面 z = 和 z = 所截 dydz + ydzd + zddy 例 87 计算曲面积分 I =, 其中 是不过原点的球面 / ( + y z ) + ( = R a) + ( y b) + ( z c) 的外侧 答案 当 不环绕原点时, I = ; 当 环绕原点时, I = 4 题型 6 重积分 曲线积分与曲面积分的应用 例 88 求由曲面 z = + y 与 z = + y 所围成的立体的体积和表面积 5 答案, (5 5 ) 6 6 例 89 设有一半径为 R 的球体, P 是此球的表面上的一个定点, 球体上任一点的密度与该点到 P 距离 的平方成正比 ( 比例常数 k ), 求球体的重心的位置 5 答案 (,, R ) 4 y z 例 8 质点在力 F = { yz, z, y} 的作用下, 由原点 O (,,) 沿直线运动到椭球面 + + = 第一卦 a b c 限上点 M (,, ), 求点 M, 使得力 F 所作的功最大 a b c 答案 (,, ) 5