第一节 导数的概念

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1 第 章一元函数微分学 导数的概念 导数的运算法则与基本公式 3 高阶导数 4 微分及其计算 5 中值定理罗比塔法则 6 函数的单调性与极值 7 微分在经济中的应用

2 导数概念 导数概念的实例 切线问题 如图 如果割线 MN 绕点 M 旋转而趋向极限位置 MT 直线 MT 就称为曲线 C 在点 M 处的 o 切线 极限位置即 MN NMT 设 M 割线 MN 的斜率为 tan 沿曲线 C N M 切线 MT 的斜率为 k tan α C α M ϕ N ϕ N T

3 3 导数的定义 ; 记为处的导数在点数并称这个极限为函处可导在点则称函数时的极限存在之比当与如果得增量取相应地函数仍在该邻域内时点处取得增量在当自变量有定义的某个邻域内在点设函数定义

4 4 h h h 其它形式 d d d d 或即 则只须令

5 对于任一 导数值 这个函数叫做原来函数 记作 I 都对应着 d d 或 即 h 或 h h 注 : d d 的一个确定的 的导函数 导函数 瞬时变化率 是函数平均变化率 的逼近函数 5

6 6 例 sin sin sin 4 π 及求设函数解 h h h sin sin sin sin cos h h h h cos cos sin 即 4 4 cos sin π π

7 定义 3 单侧导数 左导数 : 右导数 : 函数 在点 处可导 左导数 和右导 数 都存在且相等 如果 在开区间 b b 都存在 就说 a 内可导 且 a 及 在闭区间 [ b] ; ; a 上可导 7

8 例 讨论函数 在 处的可导性 解 h h h h h h h h h h o h h h h h h 即 函数 在 点不可导 即 在 处连续 8

9 3 可导与连续的关系 定理 在 点可导 则 在点连续 若 证设函数 在点 可导 函数 在点 连续 注 : 连续是可导的必要非充分条件 即连续函数并不一定可导 但不连续函数必不可导 9

10 4 导数的几何意义 几何意义 在点 M 表示曲线 切线的斜率 即 tanα 处的 α为倾角 o α M T 切线方程为法线方程为

11 求等边双曲线 在点 处的切线的 斜率 并写出在该点处的切线方程和法线方程 例 7 解由导数的几何意义 得切线斜率为 k 4 所求切线方程为 4 法线方程为 4 即 4 4 即 8 5

12 导数的四则运算法则性质则处可导在点如果函数 g ] [ ; ] [ ; ] [ ] [ 4 3 ± ± g g g g g g g g g g C C C 为常数 导数的运算法则与基本公式

13 3 定理 反函数求导法则 I I ϕ ϕ ϕ 且有可导在对应区间时 当则它有反函数内严格单调且可导在设函数即反函数的导数等于原函数导数的倒数

14 例 求函数 arcsin 的导数 解 sin 在 I 且 sin cos > π π 内严格单调 可导 在 I 内有 arcsin sin cos sin 同理可得 arccos arctan ; arccot 4

15 5 导数的基本公式 C tan sc sc sc tan cos sin cot csc csc csc cot sin cos µ µ µ a a a a a ln log ln ln arctan arcsin cot arccos arc

16 例 求 3 sin 的导数 解 4 3 cos 例 3 求 sc 的导数 解 sc cos cos sin sc tan cos cos 同理可得 csc csc cot 6

17 7 例 4 ln 的导数求函数 a 解 a a a a a a ln ln ln ln ln 求设 99! 例 5 解

18 3 复合函数求导法则 定理 3 在点 u 可导 d d 如果函数 u d d g 可导 且其导数为 u g [ g ] g g 在点 可导 则复合函数 [ g ] 在点 而 { [ g ] } [ g ] g u 即因变量对自变量求导 等于因变量对中间变量求导 乘以中间变量对自变量求导 链式法则 8

19 推广 设 u u ϕ v v ψ 则复合函数 d d d du { ϕ[ ψ ]} 的导数为 du dv dv d 例 6 求函数 的导数 解 d d

20 例 7 求函数 sin 的导数 解例 8 解 sin sin sin cos sin cos 求函数 ln 3 > ln ln 3 3 的导数 3

21 sin 的导数求函数 > 例 9 ] ln sin cos sin [ sin ln cos sin ] ln sin [ ln sin 解及复杂的乘除式适用于幂指函数 v u ln ln ln ln 对数求导法则 :

22 4 隐函数的导数 定义 : 由方程所确定的函数 形式称为显函数 称为隐函数 F 隐函数的显化 问题 : 隐函数不易显化或不能显化如何求导? 隐函数求导法则 : 用复合函数求导法则直接对方程两边求导

23 例 求由方程 所确定的隐函数 的导数 d d d d 解方程两边对 求导 d d d d d 解得 d d d 由原方程知 3

24 4 5 由参数方程所确定的函数的导数 称此为由参数方程所确定的函数间的函数关系与确定若参数方程 t t ψ ϕ 例如 t t t t 4 消去参数问题 : 消参困难或无法消参如何求导? t

25 5 t t ϕ ϕ 具有单调连续的反函数设函数 ] [ ϕ ψ t t t ϕ ψ ϕ 且都可导再设函数由复合函数及反函数的求导法则得 d dt dt d d d dt d dt d t t ϕ ψ t t dt d dt d d d 即 中在方程 ψ ϕ t t

26 例 设曲线的方程是 t t sin t 求 cos t d d 解 d d t t t t sin sin t t t t cos t cos t cos sin t t sin t cos t 6

27 6 分段函数求导 在各个部分区间内 用导数公式与运算法则求导 ; 在分段点 处 可用导数定义来求导 例 解 设 < 求 ln 当 < 时 当 > 时 7

28 当 时 ln ln ln > 8

29 3 高阶导数 问题 : 变速直线运动的加速度 定义 4 设 s t 则瞬时速度为 v t t 加速度 a是速度 v对时间 t的变化率 a t v t [ t] 如果函数 的导数 在点 处可导 即 存在 则称 为函数 在点 处的二阶导数 9

30 3 记作 d d d d 或 阶导数记作的函数阶导数的导数称为的函数一般地 n n n n n n n n d d d d 或三阶导数的导数称为四阶导数 二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数 ; 称为一阶导数称为零阶导数相应地 3 3 d d 二阶导数的导数称为三阶导数 d d

31 例 设 解 arctan 求 ; 3 3

32 4 函数的微分 4 微分的概念 定义 5 设函数 在某区间内有定义 及 在这区间内 如果 成立 其中 A是与 无关的常数 则称函数 记作 d 在点 在点 可微 相应于自变量增量 的微分 或 d 即 d A o 并且称 A 为函数 A 微分 d叫做函数增量 的线性主部 微分的实质 3

33 例 解 3 求函数 当 3 d 3 d 4 3 时的微分 令 则 d d 即 d 其中 d称为自变量的微分 d d d d 即函数的微分 d与自变量的微分 d之商等于该函数的导数 导数也叫 " 微商 " 33

34 4 微分的几何意义及其在近似 计算的应用 几何意义 : 如图 当 是曲线的纵坐标增量时 d 就是切线纵坐标对应的增量 o α M N P d T o 当 很小时 d 34

35 计算函数的近似值 求 在点 附近的近似值 ; o 例 计算 cos6 3 的近似值 很小时 解设 cos π 3 sin 为弧度 π 36 35

36 π π 36 3 cos 3 cos6 o π π 36 3 sin 3 cos π π π 36 3 π 494

37 43 微分运算法则 d d 求法 : 先求 则 d d 基本初等函数的微分公式 d C d µ µ µ d dsin cos d dcos sin d dtan sc d dcot csc d dsc sc tan d dcsc csc cot d 37

38 38 d d d d d d d d d d d a d d d ad a a d a cot arctan arccos arcsin ln ln log ln 函数和 差 积 商的微分法则 v udv vdu v u d udv vdu uv d Cdu Cu d dv du v u d ± ± arc

39 39 例 3 解 ln d 求设 d d 例 4 解 cos 3 d 求设 cos cos 3 3 d d d sin cos d d d sin 3 cos 3 3 sin 3cos 3 d

40 45 微分形式的不变性 设函数 有导数 若 是自变量时 d d; 若 是中间变量时 即另一变量 t的可 微函数 ϕ t 则 d ϕ t dt ϕ t dt d d d 结论 : 无论 是自变量还是中间变量 函数 的微分形式总是 d d 微分形式的不变性 4

41 例 5 设 sin 求 d 解 sin u u d cos udu cos d cos d cos d 例 6 设 a sin b 求 d 解 d a cos bd b sin b a d a a cos b bd sin b a a d a bcos b a sin b d 4

42 5 中值定理罗必塔法则 5 中值定理 定理 4 罗尔 Roll 定理 如果函数 在闭区间 [ a b] 上连续 在开区间 a b 内可导 且 a b 那末在 a b 内至少有一点 3 ξ a < ξ < b 使得函数 在该点的导数等于零 ' 即 ξ 例如 在 [ 3] 上连续 且 在 3 上可导 取 ξ 3 ξ 4

43 几何解释 : 在曲线弧 AB上至少有一 C 点 C 在该点处的切线是 水平的 o a ξ ξ b 注 : 常用于判别的零点 未必连续 它与零点存在定理有区别 注 : 若罗尔定理的三个条件中有一个不满足 其结论可能不成立 43

44 5 例 证明方程 5 有且仅有一个小于 的正实根 5 证设 5 则 在 [] 连续 且 3 由零点存在定理 使 即为方程的小于 的正实根 设另有 使 在 之间满足罗尔定理的条件 至少存在一个 ξ 在 之间 使得 ξ 但 5 4 < 矛盾 为唯一实根 44

45 45 例 内必有实根在证明 : 方程设 n n n a a a n a a a 证 令 n a a a n n 使 由罗尔定理知 必上可导 且上连续 在在显然 [] ξ n a a a n n a n a a ξ ξ ξ 即

46 定理 5 拉格朗日 Lagrang 中值定理 如果函数 在闭区间 [ a b] 上连续 在开区间 a b 内可导 那末在 a b 内至少有一点 ξ a < ξ < b 使等 ' 式 b a ξ b a 成立 注 : 结论亦可写成 罗尔定理是拉格朗日定理当 时的特殊情况 b b a a a ξ b 46

47 几何解释 : 在曲线弧 AB 上至少有一点 C 在该点处的切线平行于弦 AB C M B N D A o a ξ ξ b 推论 若 I 则 I C 其中 C为常数 推论 若 g I 则 g C 推论 3 若 I 则 在 I上严增 严减 47

48 例 3 证 证明 arcsin π arccos 设 arcsin arccos [ ] C [ ] 又 arcsin arccos 即 C arcsin π arccos π π π 48

49 定理 6 柯西 Cauch 中值定理 如果函数 及 g 在闭区间 [ a b] 上连续 在开区 ' 间 a b 内可导 且 g 在 a b 内每一点处均不为 零 那末在 a b 内至少有一点 ξ a < ξ < b 使等式 b g b a g a g ' ' ξ ξ 成立 49

50 5 罗必塔法则 一 型及型未定式解法 : 洛必达法则 定义如果当 X 时 两个函数 与 g 都趋于零或都趋于无穷大 则 极限 X 可能存在 也可能不存在 通 g 常把这种极限称为 或 型未定式 tan 例如 lnsin a lnsin b 5

51 5 法则 型 定义这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达 L Hospital 法则 有的翻成 罗彼塔法则 ; 3 ; ; 或则或且都存在及时 在满足条件 : 及设函数 A g g A g g g X g g X X X X X

52 5 ; 3 ; ; 或则或且都存在及时 在满足条件 : 及设函数 A g g A g g g X g g a X X X X 法则 型

53 53 例 4 解 cos π 求 sin sin cos 3 3 π π π π π π π 原式例 5 解 求 原式 6 6 3

54 用洛必达法则时须注意三点 : 注 : 化简 分离出非未定式 注 : 结合其他方法 如等价无穷小量替换 使用 效果更好注 3: 有时须连续使用该法则 sin a a 例 6 求 3 sin sin sin a sin a 解原式 a 3 a 3 sin ln a 3 ln a ln a 3 6 ln cos a 3 54

55 55 例 7 lncos ln 求 sin cos cos sin 原式解

56 例 8 求 tan tan 解 原式 tan 3 sc 6 tan tan 3 3 sc 3 56

57 注 4: 洛必达法则的使用条件 cos 例 9 求 极限不存在解 sin 原式 sin 洛必达法则失效 原式 cos g 总结 : 若 X 是未定式 如果 X g' 不存在 g ' 则洛必达法则失效 但 X 可能存在 57

58 二 型未定式解法 关键 : 将其它类型未定式化为洛必达法则可解决 的类型 步骤 : 或 例 求 解原式 型 58

59 步骤 : 型 例 解 求 原式 sin sin sin sin cos sin 等价替换时 乘除可以 加减要小心 59

60 3 型 步骤 : 例 解 ln ln ln 取对数 求 原式 ln ln ln 6

61 例 3 求 原式 ln ln 解 ln 例 4 求 cot lncot ln ln 解取对数得 cot lncot cot ln sin cos sin 原式 6

62 6 函数的单调性与极值 6 函数的单调性 B A A B o a b o a b 定理 7 a b 内可导 则 在 [ a b] 上单增 或单减 的 充要条件 是 设函数 在 [ a b] 上连续 在 或 a b 6

63 注 : 将性质中的闭区间换成其他各种区间 包括无穷区间 结论仍成立 注 : a b ' a b 严增 如 3 在 严增 但 ' 注 3: a b ' 是 a b 严增 的充分非必要条件 63

64 例 讨论函数 的单调性 解 在 上可导 且 在 内 < 函数 在 严减 ; 在 内 函数 > 函数 在 不是单调函数 在 严增 注 : 函数的单调性是一个区间上的性质 要用导数在这一区间上的符号来判定 而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性 64

65 问题 : 如上例 函数在定义区间上不是单调的 但在各个部分区间上单调 定义 : 若函数在其定义域的某个区间内是单调的 则该区间称为函数的单调区间 函数在定义区间上的驻点和不可导点 可能是单调区间的分界点 方法 : 用方程来划分函数 数的符号 的根及 不存在的点 的定义区间 然后判断区间内导 65

66 例 确定函数 解 3 9 在 上可导 且 解方程 得 3的单调区间 < > 当 < 时 在 上严增 ; 当 < < 时 < 当 < < 时 > 在 上严减 ; 严增区间为 严减区间为 在 上严增 ; 66

67 例 3 解 确定函数 处处可导 且 3 的单调区间 在定义域 上除了 当 < < 时 当 < < 时 < 在 上严减 ; > 在 上严增 ; 严减区间为 严增区间为 67

68 二 单调性的应用 : 可以确定某些方程实根的个数和证明不等式 例 5 当 > 时 试证 ln 成立 证设 ln 则 则 时 ' 故 在 - 上单减 ; 时 ' 故 时 时 即 ln 在 上严增 即 ln 68

69 例 6 证 3 证明方程 6 至少存在一点 ξ 在 上严增 在 上有唯一的零点 ξ 即方程 6 只有一个根 只有一个根 3 令 6 显然 : 即 3 在 [- ] 上连续 由零点存在定理知 故 故 ' 3 使 ξ [ ] 69

70 6 函数的极值 定义 6 设函数 则称 在 是函数 的某一邻域 O δ O 内有定义 的一个极小值 极大值 ; 函数的极大值与极小值统称为极值 使函数取得极值的点称为极值点 δ a o b 7

71 定理 8 第一充分条件 在 点连续 ' 如果 δ 有 > ; 而 δ ' 有 < 则 在 处取得极大值 ' 如果 δ 有 < ; 而 δ ' 有 > 则 在 处取得极小值 ' 3 如果当 δ 及 δ 时 符号相同 则 在 处无极值 o 教材 P3 有错 o 是极值点情形 7

72 o 求极值的步骤 : o 不是极值点情形 求导数 ; 求驻点和不可导点 ; 3 检查 在驻点和不可导点左右的正负号 判断极值点 ; 4 求极值 7

73 例 7 解 列表讨论 3 求出函数 3 的极值 得驻点 3 令 在定义域 内有不可导点 极小值 极小值 点 极大值 3 极大值点 73

74 定理 9 第二充分条件 设 在 处具有二阶导数 ' 且 则 '' 当 < 时 函数 在 处取得极大值 ; '' 当 > 时 函数 在 处取得极小值 ; '' 3 当 时 函数 在 处是否取得极值需进一步判定 注 : 可用性质 45 证 < 故 与 异号 当 < 时 有 > 当 > 时 有 < 所以 函数 在 处取得极大值 同理可证 74

75 例 8 3 求出函数 的极值 解 6 令 6 得驻点 3 在 处取得极小值 极小值 考察 6 5 故不能用性质 46来判别 ' 在驻点 - 和 左右邻近的符号 75

76 当 取 - 左侧邻近的值时 当 取 - 右侧邻近的值时 ' ' ' 的符号没有改变 故 在 处没有极值 同理 在 处也没有极值 只有极小值 76

77 63 最值的求法求 在 [ a b] 上的最大值 M 或最小值 m 的步骤 : 求驻点和不可导点 求 a b 极大值 或极小值 ; 求 a b ; 3 取 a b 与所有的极值 中最大者 或最小者 在 内的所有 77

78 78 ] [ ] [ ] [ 中的最小者或最大者和定是上最小值 或最大值 一在上的最大值 或最小值 在一定是极大值 或极小值 则是 且内有唯一驻点在若内可导 上连续 在在设 b a b a b a b a b a b a 注 : 的小字部分证明在 5 P

79 3 例 9 求函数 3 上的最大值与最小值 解 6 4的在 [ 34] 解方程 得 计算 3 3 ; 34; 7 ; 4 4; 比较得 最大值 4 4 最小值 7 79

80 8 7 导数与微分在经济学中的应用 一 函数的变化率 --- 边际函数 处的瞬时变化率 边际函数值 在为内的平均变化率在为也称为边际函数则导函数可导 设函数 7 边际分析

81 8 生产该单位产品的近似成本边际成本的意义 : 当产量增加一个单位时 近似有当 边际成本 : 为成本函数 设 q C C q q q C q q C q C q C q C C q q

82 例 : 设每天生产 件产品的成本函数为 C 3 C 每天生产 件产品的平均成本为 若增产 件 则增产产品的平均成本为 : C C C 当 则 C63 但边际成本函数为 C 即生产第 件产品的 近似 成本是 6元 则 C

83 边际收益 : R q 的 近似 值 3 边际利润 : L q 的 近似 值 其中 R 其中 L q dr dq R q R q qp q 为收益函数 意义 : 当销售量增加一个单位时 收益增加量 dl dq dr dq dc dq C q 为利润函数 意义 : 当销售量增加一个单位时 利润增加量 83

84 例 : 设需求由方程 p 8所确定 其中 p为价格 为销售量 成本函数为 C 5 求边际利润函数并计算 5 4时的边际利润 解 : R p 8 L R C L 6 L 5 3 L 4 即销售第 5个产品时 利润会增加 6 5 3元 但 销售第 4个产品时 利润反而会减少 元 84

85 7 弹性分析 定义 8 函数 存在 称此极限值为 在 间的相对变化率或弹性 在 处可导 则若 到 两点 / / 记作 : E E E E E 弹性函数 : E 85

86 需求价格弹性 : η p 它反映了商品需求量对价格变动反应的强弱 需求量 Q 在经济学中 η p 需求对价格依赖很大 ; η p 低弹性的 表明需求对价格依赖不大 ; η p 百分数是一样的 p Q dq dp Q p 是价格 p的单减函数 故 η p 称需求是弹性的 表明 称需求是 称需求有单位弹性 表明价格上升和需求下降的 86

87 5 3 Q P 例 : 设某商品需求函数为 性函数和 P 解 : Q 3 P 5 P 求需求弹 6时的需求弹性 P P P 5 η P - - P η3-6 表明价格上涨 % 需求减少 6%; η5 η6 5 P 5 - 表明价格上涨 % 需求减少 %; - 表明价格上涨 % 需求减少 %; 87

88 需求收入弹性 : η M 需求量 Q 故 η M Q M 它反映了商品需求量对收入 变动反应的强弱 : 当收入增加 减少 % 需求量增加 减少 η M M Q 是收入 M的单增函数 % dq dm 88

89 73 经济函数的优化 经济函数优化的步骤 : 建立目标函数 ; 求目标函数的极值点 往往也是最值点 即得最优点 若目标函数只有唯一驻点 则该点的函数 值即为所求的最 或最小 值 89

90 例 4 某房地产公司有 5 套公寓要出租 当租金定为每月 8 元时 公寓会全部租出去 当租金每月增加 元时 就有一套公寓租不出去 而租出去的房子每月需花费 元的整修维护费 试问房租定为多少可获得最大收入? 解设房租为每月 元 8 租出去的房子有 5 套 每月总收入为 8 R 5 9

91 R 68 R R 35 唯一驻点 故每月每套租金为 35 元时收入最高 最大收入为 R 元 35 9

92 例 5 某厂每日生产 Q 单位某商品的总成本为 TC 元 其中固定成本为 元 且生产 单位商品的变动成本均为 元 每单位商品售价 P 元 又需求函数为 解 Q P 5 P 问每日产量为多少时能使总利润 L 最大? L TR TC 令 L TR TC 即 MR MC 得出驻点 对于实际经济问题 此驻点就是最大利润点 TR TC 75 Q PQ 75 Q / Q Q TC 也是最大值点 为最优解 75Q Q / TR 75 Q 得唯一驻点 Q 65 它为 L Q 的极大值点