2005年普通高等学校专升本招生考试

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1 机密 启用前 题号 一 二 三 四 总 分 分数 安徽省 年普 通高等学校专升 本招生考试 高等数学 注意事项 : 本试卷共 8 页 请用黑色签字笔答题 答案按要求写指定的位置 答题前将密封线内的项目填写清楚 得 分 评卷人 一 选择题 ( 下列每小题给出的四个选项中 只有一项符合题目要求 请将表示该选项的字母填题后的括号内 每小题 分 共 分 函数 l( 的定义域是 ( [] B (] C ( D [ > < 故选 B 参见冲刺试卷 ( 第 题 :( 几乎完全一样吧 函数 log ( 的定义域为 ( ( [] (B [] (C (] (D [ 当 时 下列各式为无穷小量的是 ( si cos B si 有界 故选 C C si D 参见冲刺试卷 ( 第 题 : 下列变量给定的变化过程中不是无穷小量的是 ( ( l( si ( π ( C si ( 参见模考试卷 ( 第 题 : ( B ( si ( D ( 当 时 下列函数中与 是等价无穷小量的是 ( si cos B 函数 cos 其定义域内 ( 单调减少且无界 B 单调减少且有界 C si D l(

2 C 单调增加且有界 D 单调增加且无界 si ( cos 且 故选 D 参见冲刺试卷 (9 第 题 :( 几乎完全一样吧 函数 l ( 内 ( ( 严格单调增加且有界 (C 严格单调减少且有界 设函数 f ( si 则 cos C B f ( d ( cos C (B 严格单调增加且无界 (D 严格单调减少且无界 si C C f d d ( si si d cos C 故选 基本题 不解释 你懂得!! I d 设 l f ( d 交换积分次序得 I ( D si C d f ( d f ( d C d d B f ( d d f ( d D 画出积分区域即得答案 参见冲刺试卷 ( 第 题 :( 完全一样 l d 交换积分次序 f ( d 6 下列级数中发散的是 ( ( B 由 - 级数知 发散的是 D 参见冲刺试卷 ( 第 6 题 : ( C D 6 下列级数中收敛的是 ( B 参见模考试卷 ( 第 6 题 : ( C D l( 6 下列级数中收敛的是 ( B ( C ( D l(

3 7 已知 B B 且 6 则 ( B C D B 6 6 基本题型 故选 B 8 设 为三阶矩阵 且 则 ( B C 6 D6 基本题型 ( 故选 参见训练营试卷 ( 第 8 题 : 8 设 为 阶矩阵 * * 为 的伴随矩阵 且的行列式 则 ( B C D 参见模考试卷 ( 第 8 题 : 8 设 为 阶可逆矩阵 且 则 ( B C8 D6 9 设随机变量 X 服从正态分布 X ~ N( 则 {X } ( B C D { X } 由正态分布的对称性易得 基本题 不解释 你懂得!!! 参见冲刺试卷 ( 第 题 : 设随机变量 X ~ N( µ σ 且 { µ < X < µ } 则概率 { X > µ } 等于 ( ( (B (C (D6 参见模考试卷 ( 第 题 : 设随机变量 X ~ N ( Y ~ N ( 6 且 { X } 8 则 {Y > 6} 设 B 是两个随机事件 若 B 发生时 则 必发生 则下式一定成立的是 ( ( B ( B ( B C ( B ( D ( B 由题意知 B B B B 故选 C 基本题 不解释 你懂得!!!

4 得分评卷人 二 填空题 ( 请将答案填题中横线上 每小题 分 共 分 曲线 ( 处的切线方程为 ( 则切线方程为 ( 参见冲刺试卷 (7 第 题 : 曲线 ( 处的切线方程为 参见模考试卷 ( 第 题 : π ta( 曲线 点 ( 处的切线方程为 参见训练营试卷 ( 第 题 : 曲线 ( 拐点处的切线方程是 设函数 a > f ( cos 连续 则常数 a f ( f ( a 基本题 不解释 你懂得!!! 参见冲刺试卷 ( 第 题 : l( > f ( arcsi 设函数 a 连续 则 a 参见冲刺试卷 (9 第 题 : f ( 设函数 m 设函数 f ( l 则 f ( 处连续 则 m f ( l f ( 基本题 不解释 你懂得!!! 参见冲刺试卷 (9 第 题 : 设函数 f ( 则 ( ( t ( dt

5 t ( dt 基本题 不解释 你懂得!!! 参见模考试卷 ( 第 题 : t dt 求极限 参见冲刺试卷 ( 第 题 : si tdt 参见冲刺试卷 (9 第 题 : l( t dt 求极限 si 曲线 拐点为 6 则由 6 且当 < 时 < 当 > 时 > 所以拐点为 ( 参见模考试卷 ( 第 题 : 曲线 拐点为 参见冲刺试卷 ( 第 题 : 曲线 a 的拐点是 ( a 则 a 参见冲刺试卷 ( 第 题 : 函数曲线 f ( 6 幂级数 的收敛半径 R R 基本题 不解释 你懂得!!! l 的拐点坐标为 参见训练营试卷 ( 第 6 题 :6 幂级数 的收敛半径 R 参见冲刺试卷 ( 第 题 : 幂级数 的收敛域为

6 6 7 行列式 的值为 ( ( 6 基本题 不解释 你懂得!!! 参见模考试卷 ( 第 9 题 : 9 设 为 的转置矩阵 则行列式 8 设 则 所以 基本题 不解释 你懂得!!! 9 设事件 与 B 相互独立 且 6 ( ( B 则 (B ( ( ( B B 基本题 不解释 你懂得!!! 袋中有 个黑球和 个白球 从中无放回地取两次 每次取出一个球 设事件 第一次取黑球 B 第二次取到白球 则 ( B 7 ( B 基本题 不解释 你懂得!!! 三 计算题 ( 第 -7 题每题 7 分 第 8 题 分 共 6 分 求 解 : 或解 : 参见全真训练考试高等数学 ( 一 : 已知 a si 则 a 得分评卷人

7 B- C l D l 设 ( 由方程 d 所确定的隐函数 求 dc 解 : 方程两边对 求导得 d ( d 这是隐函数求导问题 几乎每套试卷都有 不解释 你懂得!! < f ( l 设函数 f ( d 求 解 : f ( d ( d l d ( ( l 参见冲刺试卷 (8 第 题 : f ( si 设 < f ( d 参见模考试卷 ( 第 题 :( 比模拟题容易 你懂得!! f ( f ( d < 设 d d 求微分方程满足初始条件 的特解 d ( 解 : 分离变量得 d d d ( 两边积分得 C 由 C 所以特解为 得 参见冲刺试卷 ( 第 7 题 : d 7 微分方程 d 满足条件 的特解是 7

8 8 已知向量组 t 线性相关 求 t 的值 并将 用 线性表出 解 : 由题意知 t t ( t 从而 参见冲刺试卷 ( 第 8 题 : 8 已知向量组 ( ( ( c 线性相关 则 c 参见教材 7 例 已知向量组 ( ( ( ( (7 求该向量组的秩与一个极大无关组 并将其余向量用该极大无关组线性表示解 : ( 所以该向量组的秩为 一个极大线性无关组为 且有如下的线性表示式 6 求线性方程组 的通解 解 : 对方程组的增广矩阵施行初等行变换

9 所以得等价方程组 故 ( k( k ( ( ( k k 参见模考试卷 ( 第 8 题 :( 比模拟题容易 你懂得!! 为任意常数 b a 8 已知 η ( 是线性方程组 a b 的一个解 ( 求常数 ab; ( 求方程组通解 7 计算二重积分 解 : 画出积分区域 D 如图 所以 dd D d d D ( d 参见教材 9: dd 其中 D 是由直线 与曲线 所围成的区域 I ( dd 例 计算积分 D 其中 D 由抛物线 和直线 所围成 参见冲刺试卷 (8 第 题 : dd 计算二重积分 D 其中 D 是由直线 及 所围成的平面区域 (7 分 参见模考试卷 ( 第 6 题 : 6 设平面区域 D 是由直线 及 围成 计算 < p( 8 设随机变量 X 的概率密度为 dd D O 求 :( { X < } ;( 数学期望 E(X 与方差 D(X p( d d 解 :( 由题意知 : E( X d E( X ( 6 d 8 9

10 [ ] D( X E( X E( X 所以 9 参见冲刺试卷 ( 第 题 : 设随机变量 X 的概率密度为 f < 求 { X > } ( 分布函数 F ( ;( 概率 ;( 方差 D (X ( 分 参见模考试卷第一套 :( 比模拟题容易 你懂得!! 设随机变量 X 的概率密度为 a b < < f ( { X > } 已知 试求 :( 常数 ab 的值 ; ( 分布函数 F( ;( 随机变量 X 的数学期望与方差 ( 分 f ( d { X > } 解 :( 由题意知 : 从而得 a a b b a b 8 ( 由 ( 知 < < f ( 当 < 时 F( ; F( ( t dt ; 当 < < 时 < F( < < 当 > 时 F( ; 所以 > ( E( X ( d E( X ( d 6 D( X E( X E( X 所以 参见冲刺试卷 (9 第 题 : 8 [ ] 设随机变量 X 的概率密度为 6 6 < < f ( 求 :(X 的分布函数 F(;( 概率 ( X ;(X 的数学期望 E(X 与方差 D(X( 分

11 参见模考试卷第二套 :( 比模拟题容易 你懂得!! 9 设随机变量 X 的概率密度为 a < < b f ( ( < a < b 且 E( X 其它 ( 求常数 ab 的值 ;( 求概率 { X < } ;( 求数学期望 E(X 得分评卷人 四 证明题与应用题 ( 每题 分 共 分 z 9 设函数 f ( 其中 f (t 可微 证明 : 证明 : f ( ( f ( f ( f ( f ( 代人得 : 参见冲刺试卷 ( 第 题 : z f ( 设函数 z z 其中 f 可导 求 并验证 解 f ( f ( f ( z 代人得 : 设 D 是由曲线 ( 及 轴所围成的平面区域 求 :( 平面区域 D 的面积 S; (D 绕 轴旋转一周所得旋转体的体积 V 解 : ( 联立方程组 得交点 ( ( ( S d 6 8π ( V π d π π π 参见冲刺试卷 ( 第 8 题 : 如图 8 设两条抛物线 所围成的平面图形记为 D ( 求 D 的面积 S; ( 求 D 绕 轴旋转一周所得旋转体的体积 V( 分 O

12 8 解 : ( 联立方程组 得交点 (( 由对称性所求 D的面积为 S ( d ( d π π ( V π d π ( π d 参见冲刺试卷 (8 第 7 题 : O 7 由点 ( ( 求切线 L 方程 ; 向抛物线 ( 求区域 D 的面积 ; 作切线 L 区域 D 是由抛物线 ( 求区域 D 绕 轴旋转一周所成的旋转体的体积 V( 分 参见模考试卷 ( 第 题 : 设直线 a 与 且 <a<( 如图 ( 确定 a 使 S S 达到最小 并求此最小值 ; 切线 L 及 轴所围成 所围图形的面积为 S 它们与直线 所围图形面积为 S ( 求取得最小值时所对应平面图形 ( 阴影部分 绕 轴旋转一周所得旋转体的体积 a ( a a S a S S ( a d ( a a d 7 ( a S ( a 由 9 a 所以 ( V a S ( > 得 时 S(a 9 π ( 9 d S( 取得最小值 最小值为 ; 9 ( (9 d π 设函数 F ( f ( λ 其中 f ( [] 二阶可导 且 F ( f ( ( 求 λ 值 ; ( 证明 : 至少存一点 η ( F ( η ; ( 证明 : 至少存一点 ξ ( F ( ξ 解 :( F ( f ( λ λ λ ; ( 证明 : 由 ( 知 F ( f ( 所以由 f ( [] S 二阶可导 知函数 F ( S O [] 上连续

13 ( 内可导 又 F ( F ( 由罗尔定理知 至少存一点 η ( F ( η ( 证明 : F ( f ( f ( 则 F ( 又由 ( 知 F ( η 从而 F ( [ η ] 上满足罗尔定理 至少存 ξ ( η ( 使 F ( ξ 即至少存一点 ξ ( F ( ξ 参见冲刺试卷 ( 第 8 题 : 这是一道压轴题 我们压到实属不易 体现我们的水平不同一般吧!! 几乎一模一样吧 我平时最担心的是证明题很难压到 这次我们压到了 不多解释 你们大家都懂 得!!!!!!!!!! 对我们的信任就是你们的成功!!!!!!!!!! 8 设函数 F ( ( f ( 其中 f ( [] 具有二阶导数 且 f ( 证明 : 存 ξ ( F ( ξ 8 设函数 F ( ( f ( 其中 f ( [] 具有二阶导数 且 f ( 证明 : 存 ξ ( F ( ξ 证明 : 由已知函数 F ( 又 F ( F ( ( f ( [] 上连续 ( 内可导 由罗尔定理知 存 η ( 使 F ( η ((((( 分 又 F ( ( f ( ( f ( 则 F ( (((((6 分 从而 F ( [ η ] 上满足罗尔定理 故存 ξ ( η ( 使 F ( ξ 即存 ξ ( F ( ξ (((((8 分