Bor to wi (5) y l y ( ) 1 ( 1) ( 1)! (6) y ( ) y ( 1)( 1) 4 五个常用的麦克劳林公式 e e 1!! ( 1)! 1, 在 与 之间 cos 3 si ( 1) ( 1), 在 与 之间 3! ( 1)! ( 3)! 1 cos

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1 Bor to wi 16 年数学考研最后常考公式集锦 - 高等数学篇 牛秀燕 数学教研室 1 无穷小的比较 设在某极限过程 中, 函数 ( ), ( ) 都为无穷小量, 并且都不为 ( ) 若 lim ( ), 则称当 时, ( ) 阶无穷小量, 记作 ( ) o( ( )) ; ( ) 若 lim C ( ), 则称当 时, ( ) 为 ( ) 的高阶无穷小量, 或 ( ) 为 ( ) 的低 与 ( ) 同阶无穷小量, ( ) 若 lim 1, 则称当 时, ( ) 与 ( ) 为等价无穷小量, 记作 ( ) ~ ( ) ( ) k 阶无穷小 : 设在某极限过程 中, 函数 ( ), ( ) 都为无穷小量, 并且都不为 若 ( ) lim C ( ) k, 则称当 时, ( ) 是 ( ) 的 k 阶无穷小 导数的四则运算法则: 设函数 f ( ) 与 g( ) 均可导, 则 f ( ) g( ) f ( ) g( ), f ( ) g( ) f ( ) g( ) f ( ) g( ), f ( ) f ( ) g( ) f ( ) g( ) g( ) g ( ) 3 常用函数的 阶导数公式 (1) y e () y (, 1) ( ) y e ( ) y (l ) (3) y si ( ) y si( ) ( ) (4) y cos y cos( )

2 Bor to wi (5) y l y ( ) 1 ( 1) ( 1)! (6) y ( ) y ( 1)( 1) 4 五个常用的麦克劳林公式 e e 1!! ( 1)! 1, 在 与 之间 cos 3 si ( 1) ( 1), 在 与 之间 3! ( 1)! ( 3)! 1 cos cos 1 ( 1) ( 1), 在 与 之间!! ( )! 1 ( 1) 1 l(1 ) ( 1), 在 与 之间 1 ( 1)(1 ) ( 1) ( 1)( 1) ( 1)( )!! ( 1)! 1 1 (1 ) 1 (1 ), 在 与 之间 5 极值 第一充分条件 : 设函数 f ( ) 在 处连续, 并在 的某去心邻域 (, ) (, ) 可导 内 1 若 (, ) 时 f ( ), 而 (, ) 时 f ( ), 则 f ( ) 在 处取得极大 值 ; 若 (, ) 时 f ( ), 而 (, ) 时 f ( ), 则 f ( ) 在 处取得极小 值 ; 3 若 (, ) (, ) 时, f ( ) 符号保持不变, 则 f ( ) 在 处不能取到极值 第二充分条件 : 设函数 f ( ) 在 处存在二阶导数且 f ( ), 1 若 若 f ( ), 则 ( ) f ( ), 则 ( ) f 在 处取得极小值 ; f 在 处取得极大值 ;

3 Bor to wi 3 若 f ( ), 则 ( ) f 在 处是否取极值未知 6 基本积分公式 1 1 (1) d C,( 1) 1, 1 d l C, () 1 d C, e d e C l (3) cos d si C, si d cos C (4) sec d t C, csc d cot C,, (5) sec t d sec C, csc cot d csc C 1 (6) d rct C, 1 (7) 1 1 d rcsi C 7 定积分的性质 1) 规定 : (1) f ( ) d f ( ) d f ( t) dt () f ( ) d f ( ) d, 特例 : f ( ) d, f ( ) d ) 线性性质 (1) f ( ) g( ) d f ( ) d g( ) d, () kf ( ) d k f ( ) d, k 为常数 3) 1d c 4) 区间可加性 : f ( ) d f ( ) d f ( t) dt c c 注 : 不要求 c, 只要 f ( ) d 和 f ( ) d 都存在就可以使用定积分的区间可加性 5) 比较定理 : (1) 若在区间 [, ] 上恒有 f ( ) g( ), 则有 f ( ) d g( ) d c ; 推论 :(1) 若在区间 [, ] 上恒有 f ( ), 则有 f ( ) d

4 Bor to wi () f ( ) d f ( ) d (3) 估值定理 : 设 M和 m 为函数 f ( ) 在区间 [, ] 上的最大值与最小值, 则有 : m( ) f ( ) d M ( ) (4) 积分中值定理 : 设函数 f ( ) 在区间 [, ] 上连续, 则至少存在一点 [, ] 8 微积分基本定理 1) 内容 : f ( ) d f ( )( ) (1) 设函数 f ( ) 在区间 [, ] 上可积, 令 ( ) f ( t) dt, 分上限函数 ) () 变上限积分的导数 :, 使得 称为变上限积分 ( 积 定理 : 若函数 f ( ) 在区间 [, ] 上连续, 则变上限积分 ( ) f ( t) dt 在 [, ] 上可导, ( ) ( ) f t dt f ( ), 且 (3) 牛顿 莱布尼兹公式 : 设 f ( ) 在区间 [, ] 上连续, F( ) 是 f ( ) 在区间 [, ] 上 的一个原函数, 则 f ( ) d F ( ) F ( ) ) 计算导函数 f ( t ) dt f ( ), (1) f ( t ) dt f ( ), () f ( t) dt f ( ) ( ) ( ) (3) (4) ( ) f ( t) dt f ( ( )) ( ) f ( ( )) ( ) ( ) 9 平面图形的面积 1) 直角坐标系下平面图形的面积 形式 计算公式

5 Bor to wi f ( ) d c d y dy f ( ) g( ) d c d ( y) y dy ) 极坐标系下平面图形的面积 在极坐标系下, 由直线 和 和曲线 r ( ) 所围图形的面积为 简单几何体的体积 1) 平行截面面积已知立体图形的体积 1 S ( ) d 立体在过点, 且垂直于 轴的两个平面之间, 以 S( ) 表示过点 且垂直于 轴的截面面积

6 Bor to wi 则所求立体的体积为 : V S( ) d ) 旋转体的体积由连续曲线 y f ( ) 直线, 及 轴所围曲边梯形绕 轴旋转一周而成的立体 该立体的体积为 : V f ( ) d 1 偏导数 设函数 z f (, y) 在点 P (, y) 的某一邻域内有定义, 把 y 固定在 y 而 在 处有 增量, 相应的函数有增量 z f (, y) f (, y), 若极限 lim f (, y) f (, y) 存在, 则称函数 z f (, y) 在点 P (, y ) 处关于 的偏导数存在, 并定义此极限值为函数 z z f (, y) 在点 P (, y ) 处对变量 的偏导数, 记作 类似地, 可以定义函数 z f (, y) f,, z, f (, y) y y y y y y 在点 P (, y ) 处对变量 y 的偏导数 lim y f (, y y) f (, y), y

7 Bor to wi z 记作 y f,, zy, f ( (, ), y ) y y y (, y ) (, y ) 全微分 : 若函数 z f (, y) 在点 (, y ) 的全增量 z f (, y y) f (, y) 可表示为 z A By o y, 其中 A B 仅依赖于 (, y ) 而与 y 无关, 则称函数 z f (, y) 在点 (, y ) 可微, 其中 A B y 称为函数 z f (, y) 在点 (, y ) 的全微分, 记作 dz, 即 dz A B y 11 极值的充分条件 : 设函数 z f (, y) 在 (, y ) 点的某邻域内具有连续的一阶及二阶偏导数, 又设 f (, y), f y (, y) 令 f (, y ) A, f (, y ) B, f (, y ) C y yy (1) 若 AC B, 则函数 z f (, y) 在 (, y ) 点具有极值 当 A 时取得极小值 ; 当 A 时取得极大值 () 若 AC B, 则函数 z f (, y) 在 (, y ) 点不能取到极值 (3) 若 AC B, 则函数 z f (, y) 在 (, y ) 点可能有极值, 也可能没有极值 条件极值 1) 函数 z f (, y) 在条件 (, y) 下的极值, 称为条件极值, 其中函数 z f (, y) 称为目标函数, (, y) ) 拉格朗日乘数法 : 称为约束条件 对条件极值给出解题方法 : (1) 作拉格朗日函数 : L(, y, ) f (, y) (, y) L f (, y) (, y) () 解方程组 : L y f y (, y) y (, y) ( 本质是找三元函数 L(, y, ) 的驻点 ) (, y) (3) 根据实际条件判断所求出的点是极大值还是极小值 1 直角坐标与极坐标相互之间的转化公式 直角坐标与极坐标相互之间的转化公式为 : cos, 其中 d d d d y si 极坐标下二重积分计算公式 : f (, y) ddy f ( cos, si ) d d

8 Bor to wi 极坐标适用范围 : 积分区域边界为圆或与圆相关图形 ( 扇形, 环形等 ); 被积函数可写成 f y 或被积函数中多次出现 y 模棱两可时用极坐标 对称性 ⅰ) 若积分区域关于 轴对称, 且被积函数是关于变量 y 的奇函数, 则积分值为零 ; 若积分 区域关于 轴对称, 且被积函数是关于变量 y 的偶函数, 则积分值为等于第一二象限积分的 两倍 ⅱ) 若积分区域关于 y 轴对称, 且被积函数是关于变量 的奇函数, 则积分值为零 ; 若积分 区域关于 y 轴对称, 且被积函数是关于变量 的偶函数, 则积分值为等于第一四象限积分的 两倍 ⅲ) 特别地, 若积分区域关于两个坐标轴都对称, 被积函数关于两个变量都是偶函数, 则积 分值等于第一象限内的积分的四倍 ⅳ ) 轮换对称性 : 若设将积分区域 y 的变量, y 交换之后的区域为 y, 则有 f (, y) ddy f ( y, ) ddy 特别地, 当 y 关于直线 y 对称时, y y, 此 y y 时则有 f (, y) ddy f ( y, ) ddy y y 13 球面坐标系下的三重积分计算 : 球面坐标通过三个变量式来确定三维空间中的点 其中 为点到原点的距离, 确定了该距离后, 该点就被限制在了一个以原点为圆心的球面上 ; ( ) 和 ( ) 是两个角度 : 将 oz 平面 部分的半平面逆时针旋转, 当旋转到经过该点时, 所转过的角度即为, 可见, 的作用类似于地球仪上的经度 ; 将该点与原点连接, 该连线与 z 轴正半轴的夹角即为, 可见 的作用类似于纬度 ( 只不过这 si cos 个纬度是以南纬 9 度作为 度的 ) 它与直角坐标系的转换公式为 y si si z cos 三重积分球面坐标转换公式 : f (, y, z) ddydz f ( si cos, si si, cos ) si d d d 当被积函数中形如 f y z 标 14 对弧长的曲线积分计算方法 : 或 f ( t) 1 设曲线 L 的参数式为, t, 则有计算公式 : y y( t) L z, 积分区域为球体 锥体时, 可考虑用球面坐 f (, y) ds f ( ( t), y( t)) ( t) y ( t) dt

9 Bor to wi 15 格林公式: 设闭区域 由分段光滑曲线 L 围成, 函数 P(, y ) 及 Q(, y ) 在 上具有连 Q P 续的一阶偏导数, 则有 : Pd Qdy ddy L, 其中曲线 L 取正向边界 y 注 :1) 在运用时要注意检验 P(, y ) 及 Q(, y ) 是否具有所需的连续的一阶偏导数 ) L 是闭合的 3) 正向定义 : 沿着曲线 L 的方向走时, 闭区域 在其左手边 16 对面积的曲面积分的计算方法 : 计算的原则是代入 投影 解题思路 : 首先将积分曲面转化为 z z(, y), 再将 ds 转化为 1 z y z ddy, 最后再 确定曲面 在 oy 平面上的投影即可 17 高斯定理 : 设空间闭区域 是由分块光滑的闭曲面 围成的, 函数 P(, y, z), Q(, y, z), R(, y, z ) 在 上具有一阶连续偏导数, 则有 P Q R Pdydz Qdzd Rddy d y z 其中, 是关于 的外侧 18 斯托克斯公式 : 设 是分段光滑的空间有向闭曲线, 是以 为边界的分片光滑有向 曲面, 与 的方向符合右手规则 ( 当拇指以外的四指沿着 的方向运动时, 拇指所指的 方向与 上法向量的指向一致 ), 函数 P(, y, z), Q(, y, z), R(, y, z ) 在 上具有一阶连续 偏导数, 则有 R Q P R Q P Pd Qdy Rdz dydz dzd ddy y z z y 19 二阶常系数线性微分方程的求解 若二阶线性微分方程 y P( ) y Q( ) y f ( ) 中函数 P( ), Q( ) 均恒为常数, 则称该方 程为二阶常系数线性微分方程 我们下面讨论这类方程的解法, 也即形如 y py qy f ( ) 的方程的求解 先求解二阶常系数齐次线性微分方程 : y py qy 写出 y py qy 对应的特征方程 r pr q 求出特征方程的两个根 r1, r c 根据 r1, r 的不同形式, 我们有如下的公式 :

10 Bor to wi r pr q 的两个根 r1, r 微分方程 y py qy 的通解 r1 r r 为两个不同实根 y C e C e 1, 1 r 1 r r 为两个相同实根 y ( C C ) e r 1, 1 r1, r 为一对共轭复根 i y ( C1 cos C si ) e 再求解二阶常系数非齐次线性微分方程 : y py qy f ( ) 该方程的通解为 C y C y y * 1 1, 其中 C1 y1 C y 齐次线性微分方程的特解 下面讨论 * y 的求法 f ( ) 形式条件所设特解形式 为齐次线性微分方程的通解, y * 为非 f ( ) p ( ) 为 次多项式 不是特征根 * y R ( ) ( y * R ( ) 为 次多项式 ) 是单特征根 * y R ( ) 是重特征根 * y R ( ) f ( ) e p ( ) 为 次多项式 不是特征根 * y e R ( ) 是单特征根 * y e R ( ) 是重特征根 * y e R ( ) f ( ) e [ p ( )cos p ( )si ] m ( 比较审敛法 ) i 不是特征根 i 是特征根 * y e Rk Sk ( ( )cos ( )si ) ( k m m,, S ( ) 为 k 次多项式 ) * y e Rk Sk k ( ( )cos ( )si ) 设 1 与 均为正项级数, 若除了有限项以外, 均有 成立, 则若 1 1 收敛则 1 也收敛, 若 1 发散, 则 也发散 1

11 Bor to wi 推论 1: 设 1 成立 则有, 若 与 均为正项级数, 假设存在 N 使得当 N 时有 k ( k ) 1 1 推论 ( 极限形式 ): 设 收敛则 1 1 当 lim l( l ) 时, 则 当 lim 时, 若 1 也收敛, 若 1 与 均为正项级数, 收敛则 与 1 收敛 若 同敛散 1 发散, 则 也发散 发散则 1 1 发散 当 lim 时, 若 1 收敛则 1 收敛 若 1 发散则 1 发散 (3) p 级数 1 的收敛性 : 当 p 1时收敛, 当 p 1时发散 p 1 1 幂级数求和 S( ),, 为收敛域 1 利用 e,si,cos,l(1 ), 的幂级数展开式求和 1 分析运算在求幂级数的和函数时经常要用到, 其方法是先逐项求导或逐项积分, 将其变为几 个已知和函数的幂级数, 再求和 幂级数间接展开法 常用函数的幂级数展开式 : e,si,cos,l(1 ),(1 ) 通过求导或积分或拆分使 f () 变成已知幂级数展开式函数的组合, 把已知展开式带入