一根据所给图表，回答下列问题。

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射懋经
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1 7 全国研究生入学考试考研数学 ( 数学一 ) 真题解析本试卷满分 5, 考试时间 8 分钟一选择题 :~8 小题, 每小题 4 分, 共 3 分, 下列每小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求的, 请将所选项前的字母填在答题纸... 指定位置上. cos, () 若函数 f ( ) a b, (A) ab 答案 (A) 由连续的定义可知 :, 在处连续, 则 ( ) (B) ab (C) ab (D) ab lm f ( ) lm f ( ) f (), 其中 f () lm f ( ) b, ( ) cos lm f ( ) lm lm, 从而 b, 也即 ab, 故选 (A) a a a a () 若函数 f ( ) 可导, 且 f ( ) f ( ), 则 ( ) (A) f () f ( ) (B) f () f ( ) (C) f () f ( ) (D) f () f ( ) 答案 (C) 令 F( ) f ( ), 则有 F( ) f ( ) f ( ), 故 F( ) 单调递增, 则 F() F( ), 即 [ f ()] [ f ( )], 即 f () f ( ), 故选 C (3) 函数 f (, y, z) y z 在点 (,,) 处沿向量 (,, ) u 的方向导数为 ( ) (A) (B) 6 (C) 4 (D) 答案 (D) gradf y z gradf, 则 {,, }, 将点 (,,) 代入得 {4,,} (,,) f u gradf. {4,,}.,, u u (4) 甲乙两人赛跑, 即使开始时, 甲在乙前方 ( 单位 :m) 处, 图中实线表示甲的速度曲线 v v ( t) ( 单位 :m/s), 虚线表示乙的速度 v v ( t), 三块阴影部分面积的数值依次为 3, 即使开始中公考研学员专用资料报名专线 :

2 后乙追上甲的时刻记为 t ( 单位 :s), 则 ( ) (A) t (B) 5 t (C) t 5 (D) t 5 答案 (C) 从到 t 时刻, 甲乙的位移分别为 t V ( t) dt 与 t [ V ( ) ( )] t V t dt, 由定积分的几何意义可知, 5 V t, 故选 (C) (5) 设是维单位列向量, E 为阶单位矩阵, 则 (A) E 不可逆 (B) E (C) E 不可逆 (D) E 答案 (A) t V ( t ) dt 要使乙追上甲, 则有 [ ( ) V ( t )] dt, 可知 t 5 不可逆不可逆因为的特征值为 ( 重 ) 和, 所以 E 的特征值为 ( 重 ) 和, 故 E 不可逆 (6) 设矩阵 A, B, C, 则 (A) A 与 C 相似, B 与 C 相似 (B) A 与 C 相似, B 与 C 不相似 (C) A 与 C 不相似, B 与 C 相似 (D) A 与 C 不相似, B 与 C 不相似答案 (B) 由( E A)= 可知 A 的特征值为,, 3 r( E A) A 可相似对角化, 且 A 由 E B 可知 B 的特征值为,, 3 r( E B ) B 不可相似对角化, 显然 C 可相似对角化, A C 且 B 不相似于 C (7) 设 A, B 为随机概率, 若 P( A), P( B), 则 P( A B) P( A B) 的充要条件是 (A) P( B A) P(B A) (B) P( B A) P(B A) 中公考研学员专用资料

3 (C) P( B A) P(B A) (D) P( B A) P(B A) 答案 (A) 因为 P A B P( A B) P( AB) P( AB) P( A) P( AB), 所以, 从而 P( B) P( B) P( B), 且 P B A P( AB) P( A) P( B) P ( AB ) ( ) ( ), ( ) P B P B A P AB, 所以 P( A) P( A) P( B A) P B A (8) 设 X, X X ( ) 为来自总体 N (,) 的简单随即样本, 记 X X, 则下列结论中不正确的是 (A) (C) ( X ) ( X X ) 服从分布服从分布 (B) ( X X ) 服从分布 (D) ( X ) 服从分布答案 (B) (A) X N(,) 故 ( X ) ( ) ; X X (B) X X N (, ) N (,) () ( ) 即 () (C) 由 S ( X X ),( ) S ( X X ) ( ) (D) ( X ) N,, 则 ( X ) N(,), 所以 ( X ) () 二填空题 :94 小题, 每小题 4 分, 共 4 分, 请将答案写在答题纸... 指定位置上. 中公考研学员专用资料 3 报名专线 :

4 (9) 已知函数答案因为 f ( ), 则 f (3) () 4 6 f ( ) ( ) ( ) f ( ) ( ) ( )( ) 将带入 f () 3 () 微分方程 y y 3y 的通解为 y 答案 e ( c cos c s ) 因为 y y 3y, 所以 3,, 通解为 e ( c cos c s ) () 若曲线积分答案 L d aydy 在区域 D {(, y) y } 内与路径无关, 则 a y ay P(, y), Q(, y) y y, P y, P ay y ( y ) ( y ) P P, 则 a, a y () 幂级数 ( ) 在区间 (,) 内的和函数 S( ) 答案 ( ) 中公考研学员专用资料 4

5 ( ) ( ) ( ) (3) 设矩阵 A,,, 3 秩为答案因为 3 3 为线性无关的 3 维列向量组, 则向量组 A, A, A 3 的 ( A, A, A ) A(,, ), 故 r( A), 所以 ( A, A, A 3) 秩为 A 4 (4) 设随机变量 X 的分布函数为 F ( ).5 ( ).5 ( ), 其中 ( ) 为标准正态分布函数, 则 EX 答案 4 f ( ) F( ).5 e.5 e ( 4).5 e.5 e 三解答题 :5 3 小题, 共 94 分. 请将解答写在答题纸指定位置上. 解答应写出文字说明证明过程或演算步骤. dy (5)( 本题满分分 ) 设函数 f ( u, v ) 具有阶连续偏导数, y f ( e,cos ), 求 d, d y d 由复合函数求导法则, 可得 : dy d f ( s ) e f dy (,) f 故 d 进一步地 : 中公考研学员专用资料 5 报名专线 :

6 d y d d ( f ) ( ) e f e cos f s d f d d e f e ( f e f s ) cos f s ( f e f s ) e f cos f e f e s f s f d y 故 f (,) f (,) f (,) d k k (6) ( 本题满分分 ) 求 lm l( ) k 由定积分的定义式可知原式 = lm l l k k d k, 再由分部积分法可知 : l d l d l d l d (7) ( 本题满分分 ) 已知函数 y( ) 由方程 y 3 3y 确定, 求 y( ) 的极值等式两边同时对求导可得, () 3 3y y 3 3y 令 y 可得 3 3, 故由极限的必要条件可知, 函数的极值之梦能取在与处, 为了检验该点是否为极值点, 下面来计算函数的二阶导数, 对 () 式两边同时求导可得, 6 6y y 3y y 3y () 当时, y, 将, y, y 代入 () 式可得 y, 故当时, y, y, 代入 () 式可得 y, 故 y 是函数的极大值 y 是函数的极小值 (8) ( 本题满分分 ) 设函数 f ( ) 在区间 [,] 上具有二阶导数, 且 f (), 证明 :(Ⅰ) 方程 f ( ) 在区间 (,) 内至少存在一个实根 f ( ) lm 中公考研学员专用资料 6

7 (Ⅱ) 方程 f ( ) f ( ) f ( ) 在区间 (,) 内至少存在两个不同实根 f ( ) f 证明 (I) 由于 lm, 则由保号性可知 :, 使得当 (, ) 时, ( ), 也即 f ( ) 又由于 f (), 则由零点存在定理可知, f ( ) 在 (,) 内至少有一个实根 f ( ) (II) 令 F( ) f ( ) f ( ) 由 lm 可知又由 (I) 可知 : (,) 使得 f ( ) f ( ) f () lm 由罗尔定理可知 : (, ) 使 f ( ), 从而 F() F( ) F( ) 再由罗尔定理可知 : (, ), 3 (, ) 使得 F( ) F( 3) 也即 F( ) f ( ) f ( ) [ f ( )] 在 (, ) (,) 内有两个不同的实根 (9)( 本题满分分 ) 设薄片型 S 是圆锥面 z y 被柱面 z 一点的密度为 9 y z, 记圆锥面与柱面的交线为 C (I) 求 C 在 Oy 面上的投影曲线的方程 ; (II) 求 S 的质量 M 割下的有限部分, 其上任 z y (Ⅰ)C 的方程为 z, 从中消去 z 可得 y y 则 C 在 oy 平面上的投影为 z (Ⅱ) S 的质量 m (, y, z) ds 9 y z ds S z z 将 z y 带入可得 : ds ddy ddy y 故 m 9 y ddy, 其中 D 为平面区域 {(, y) y } D 利用极坐标计算该二重积分可得 : S 中公考研学员专用资料 7 报名专线 :

8 m 8 y ddy 8 D D r drd d cos r dr cos 3 d ()( 本题满分分 ) 设 3 阶矩阵 A =(,, ) 有 3 个不同的特征值, 且 = ) 证明 : r( A) ) 若 = + +, 求方程组 A = 3 的通解 (I) 证明因为 A 有三个不同的特征值, 所以 A, r( A), 假若 r( A) 时, 是二重的, 故不符合, 那么 r( A), 又因为 3, 所以 r( A), 即 r( A) (II)因为 r( A), 所以 A 的基础解析只有一个解向量, 又因为 3, 即 3, 即基础解系的解向量为 (,, ), 又因为 3, 故 A 的特解为 (,,), 所以 A 的通解为 k(,, ) (,,), k R ()( 本题满分分 ) 设二次型 f(,, ) = - + a 8, 在正交变换 Qy 下的标准型, y y, 求 a 的值及一个正交矩阵 Q 4 二次型对应的矩阵为 A, 因为标准型为 y 4 a 4 而 a 4 6, 即 a, 代入得 E A 4 y, 所以 A, 从, 解得, 3,6 ; 中公考研学员专用资料 8

9 4 时, E A 4 当, 化简得 5 4 当 3时, 3E A, 化简得时, 6E A 当从而正交矩阵 Q , 化简得, 对应的特征向量为 k (,,) ;, 对应的特征向量为 k (,,) ;, 对应的特征向量为 k ( 3,,) ; () ( 本题满分分 ) 设随机变量为 X, Y 相互独立, 且 X 的概率分布为 P( X ) P( X ),Y 的概率密度为 y, y, f ( y), 其他, ) 求 P( Y EY ) ; ) 求 Z X Y 的概率密度 (Ⅰ) 由数字特征的计算公式可知 : EY yf ( y) dy y dy 则 P{ Y EY} P Y f ( y) dy ydy 3 9 (Ⅱ) 先求 Z 的分布函数, 由分布函数的定义可知 : F ( z) P{ Z z} P{ X Y z} 由于 X 为离散型随机变量, 则由全概率公式可知 F ( z) P{ X Y z} Z Z 中公考研学员专用资料 9 报名专线 :

10 P{ X } P{ X Y z X } P{ X } P{ X Y z X } P{ Y z} P{ Y z } FY ( z) FY ( z ) ( 其中 FY ( z ) 为 Y 的分布函数 : FY ( z) P{ Y z} (3)( 本题满分分 ) 某工程师为了解一台天平的精度, 用该天平对一物体的质量做次测量, 该物体的质量是已知的, 设次测量结果 X, X,..., X 相互独立且均服从正态分布 N(, ) 该工程师记录的是次测量的绝对误差 Z X (,,, ), 利用 Z, Z, Z 估计 ) 求 Z 的概率密度 ; ) 利用一阶矩阵求的矩估计量 ( I ) 因为 X N, 所以 Y X ~ N(, ), 对应的概率密度为 ~ (, ) y fy y e, 设 Z 的分布函数为 F z, 对应的概率密度为 f ( z ) ; 当 z 时, F z ; z 时, 当 y z F z P{ Z z} P{ Y z} P{ z Y z} e dy ; z 则 Z 的概率密度为 z e, z> f ( z) F( z) ;, z ( II ) 因为 z EZ z e dz, 所以 EZ, 从而的矩估计量为 Z Z ; (II) 由题知对应的似然函数为 L( z, z,..., z, ) e, 取对数得 : z 中公考研学员专用资料

11 z d l L( ) z d l L( ) l L l l, 所以 3, 令, d d 得 z, 所以的最大似然估计量为 Z 中公考研学员专用资料报名专线 :

精勤求学自强不息 Bor to w! (A) t (B) 5 t (C) t 5 (D) t 5 答案 B 从到 t 这段时间内甲乙的位移分别为 t v (t) v (t) dt, 当 5 t 时满足, 故选 C. t t v (t) dt, v (t) dt, 则乙要追上甲, 则 (5) 设是

精勤求学自强不息 Bor to w! (A) t (B) 5 t (C) t 5 (D) t 5 答案 B 从到 t 这段时间内甲乙的位移分别为 t v (t) v (t) dt, 当 5 t 时满足, 故选 C. t t v (t) dt, v (t) dt, 则乙要追上甲, 则 (5) 设是 Bor to w 7 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一选择题 :~8 小题, 每小题 4 分, 共 3 分, 下列每小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求的, 请将所选项前的字母填在答题纸... 指定位置上. cos () 若函数 f ( ) a b,, 在处连续, 则 ( ) (A) ab (B) ab (C) ab (D) ab 答案 A cos lm lm, f (

一 根据所给图表，回答下列问题。

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