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由翁袁
5 years ago
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1 第一章主要内容一极限定义 : 运算法则 : 四则运算复合函数 3 性质 : 有界性唯一性 3 保号性 4 有界函数与无穷小量的乘积是无穷小量 5 lim A A α, 其中 lim α 4 无穷小量的阶 :

2 5 求极限的方法 : 定义, 运算法则及性质 ; 夹逼定理 ; 3 单调有界原理求数列极限 ; 4 单侧极限与极限的关系 ; 5 两个重要极限 : si lim lim e lim lim e e

3 6 利用等价无穷小代换 ; 7 罗必达法则注意应用条件 ; 8 利用泰勒公式常用的等价无穷小量 : 当时, si ~, ta ~, l ~ arcsi ~, arcta ~, e ~, cos ~, a ~ l α ~ α,

4 二连续性定义 : lim ; lim Δy Δ 性质 : 初等函数在其定义域内是连续的连续等价与左右连续且相等 3 间断点的类型 : 第一类间断点 ; 第二类间断点 4 闭区间上连续函数的性质 : 零点存在定理 ; 介值定理 ; 3 最大值, 最小值定理 ;

5 导数的定义. lim lim y y Δ Δ Δ Δ Δ Δ ; lim lim Δ Δ Δ ; lim lim Δ Δ Δ 函数在点处可导左导数和右导数都存在且相等. 第二章主要内容

6 基本导数公式 C si ta sec a log a arcsi arcta a cos sec sec l tg a l a 常数和基本初等函数的导数公式 cos cot csc e μ μ μ si csc l arccos arccot csc ctg e

7 3 求导法则函数的和差积商的求导法则设 u u, v v 可导, 则 u ± v u ± v, cu cu c 是常数, u v uv v 3 uv u v uv, 4 v. 反函数的求导法则如果函数 ϕ y 的反函数为 y, 则有. ϕ y u v

8 3 复合函数的求导法则设导数为 y y u, 而 y u u u ϕ 则复合函数或 y y u ϕ. [ ϕ ] 的 4 对数求导法先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导方法求出导数. 适用范围 : 多个函数相乘和幂指函数 u v 的情形.

9 5 隐函数求导法则用复合函数求导法则直接对方程两边求导. 6 参变量函数的求导法则若参数方程 y y t t ϕ t 确定 y与间的函数关系, y ψ t ψ t ; ϕ t y 注意 : 熟记求导公式 ; ψ t ϕ t ψ t ϕ t. 3 ϕ t 复合函数求导要熟练掌握 ; 3 求分段函数在分段点处得到是要用定义

10 4 高阶导数, lim Δ Δ Δ 二阶导数记作阶导数的阶导数的导数称为函数的函数一般地,,.,, y y 或二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数莱布尼兹公式.!! k k k k k k v u C uv v u k k v u v u v u v u

11 常用的高阶导数公式 a si k 3 cos k 4 α a l a a > k si k α α α! 5 ± l π k cos k π! ± α e e!!!

12 5 微分的定义定义在这区间内, 如果 Δy Δ 成立其中 A是与 Δ无关的常数, 则称函数 y 在点设函数 y 在某区间内有定义, 可微, 并且称 A A 于自变量增量 Δ的微分, 记作 y y Δ为函数 y A Δ. Δ o Δ 或及, 在点即 Δ 相应微分 y 叫做函数增量 Δ y 的线性主部. 微分的实质

13 6 导数与微分的关系定理函数在点在点可微的充要条件是函数处可导, 且 A. 7 微分的求法 y 求法 : 计算函数的导数, 乘以自变量的微分.

14 8 微分的基本法则函数和差积商的微分法则 u ± v u ± v uv vu uv 微分形式的不变性 Cu Cu u v vu uv v 无论是自变量还是中间变量, 函数 y 的微分形式总是 y

15 基本初等函数的微分公式 C cot csc csc ta sec sec csc cot sec ta si cos cos si μ μ μ a e e a a a a cot arcta arccos arcsi l l log l arc

16 9 导数和微分的求法. 正确使用导数及微分公式和法则. 熟练掌握求导方法和技巧求分段函数的导数注意讨论分界点处左右导数是否存在和相等隐函数求导法对数微分法转化 3 参数方程求导法极坐标方程求导 4 复合函数求导法可利用微分形式不变性 5 高阶导数的求法逐次求导归纳 ; 间接求导法 ; 利用莱布尼兹公式.

17 第三章内容小结 : 一微分中值定理 : 罗尔 Rolle 中值定理 : 若在 [ a, b] 上连续, 在 a, b 内可导, 且 a b, 则在 a, b 内至少存在一点 ξ a < ξ < b, 使得 : ξ 拉格朗日 Lagrage 中值定理 : 若在 [ a, b] 上连续, 在 a, b 内可导, 则在 a, b 内 b a 至少存在一点 ξ a < ξ < b, 使得 : ξ b a

18 柯西 Cauchy 中值定理 : 设和 g 在 [ a, b] 上连续, 在 a, b 内可导, 且 g 在 a, b 内每一点处均不为零, 则在 a, b 内至少 b a ξ 有一点 ξ a < ξ < b, 使得 : g b g a g ξ 二洛比达法则 : 注意应用的条件

19 !! R! 之间与在其中 R ξ ξ o R 或三泰勒公式 :

20 !! o!!! < < θ θ 麦克劳林 Maclauri 公式带拉格朗日余项的麦克劳林公式带佩亚诺余项的麦克劳林公式

21 常用函数的麦克劳林公式!! o e! 5! 3! si 5 3 o! 6! 4!! cos 6 4 o 3 l 3 o o!! m o m m m m m m 当时

22 四导数的应用函数单调性的判定法 : 若 >, 则 y 若 <, 则函数极值的判定法定理第一充分条件 : y 单调增加 ; 单调减少. 若 δ, 时, > ;, δ 时, <, 则在处取得极大值. 若 δ, 时, < ;, δ 时, > ; 则在处取得极小值. 3 若当 δ, 及, 时, 的符号相同, 则在处无极值. δ

23 定理第二充分条件设在处具有二阶导数, 且,, 则当 < 时, 函数在处取得极大值 ; 当 > 时, 函数在处取得极小值 3 求极值的步骤 : 求导数 ; 求驻点, 即方程的根 ; 及不可导点 3 检查在驻点及不可导点左右的正负号或在该点的符号, 判断极值点 ; 4 求极值.

24 4 最大值最小值问题求最值的步骤 : 求驻点和不可导点 ; 求区间端点及驻点和不可导点的函数值, 比较大小, 最大的就是最大值, 最小的就是最小值实际问题求最值 : 建立目标函数 ; 求最值 ; 注意 : 若目标函数只有唯一驻点, 则该点的数值即为所求的最大值或最小值.

25 5 曲线的凹凸与拐点凹凸性的定义拐点的定义 : 凹凸性的判别 : 若在 a, b 内设在 [ a, b] 上连续 > <,, 则则, 在 a, b 内具有二阶导数在 [ a, b] 上的图形是凹的 ; 在 [ a, b] 上的图形是凸的 ; 3 求拐点的步骤 : 求出的所有零点 ; 求出不存在的点但在此点有定义 ; 3 考查在这些点左右的凹凸性,

26 6 曲率 : 曲率 k y. 3 7 渐近线 : y 水平渐近线 : 如果 lim b 或 lim 那么 y b 就是 y 的一条水平渐近线. 斜渐近线 lim a, lim[ 曲率半径 ρ, k b b 为常数 a] b. 那么 y a b 就是曲线 y 的一条斜渐近线.

27 8 函数作图的步骤第一步确定函数 y 的定义域, 间断点对函数进行奇偶性周期性等性态的讨论 ; 第二步求出的点和不存在的点, 即求出的所有可能的极值点 ; 第三步求出的点和不存在的点, 即求出的所有可能的拐点 ; 第四步列表, 判断单调区间, 凹凸区间, 极值点, 拐点等 ; 第五步求曲线的渐近线 ; 第六步必要时, 定出曲线的某些特殊点, 如截距等 ; 第七步作图

28 9 证明不等式常用的方法 :. 利用单调性极值最值 ;. 利用拉格朗日中值定理 ; 3. 利用泰勒公式带拉格朗日余项 ; 4. 利用函数凹凸性的定义

29 第四章内容小结不定积分的概念: F C; 不定积分的计算: 第一换元法凑微分法 ; 第二换元法变量替换法 ; 分部积分法

30 ; ; b a a 常用的凑微分公式 : cos si ; si cos ; ; l ; ta sec cot csc arcsi ; arcta e e ;

31 基本积分表 k k C k是常数 μ μ C μ μ ; 特别地 C, C, 3 l C; 4 cos si C; 5 si cos C;

32 6 arcta C; 7 arcsi C; 8 sec ta C; cos 9 csc cot C; si e C a e ; a la C; sh ch C; 3 ch sh C;

33 4 sec l sec ta C; 5 csc l csc cot C; 6 l ± a C. ± a

34 第五章内容小结定积分的概念 : b a λ lim ξi Δi, λ ma{ Δi }, ξi [ i, i i i ] 定积分的几何意义 : 曲边梯形的面积 3 性质 : 线性性质 ; 区间可加性 ; 不等式的性质 ; 估值定理 ; 积分中值定理

35 4 Newto-Leibiz 公式 : 是的原函数, 则 F 5 变上限积分 :, Φ a t t a F b F F b a b a Φ 则若, Φ g h t t 推广 :. h h g g Φ

36 6 定积分计算法 : 换元法与分部积分法 ; 注意 : 被积函数带绝对值或被积函数是分段函数时定积分的计算积分一些特殊积分 : a a, 偶函数 ; a, 奇函数 T T T ;

37 7 定积分应用平面图形的面积体积 : 旋转体的体积切片法和柱壳法 ; 已知平行截面的面积求立体的体积 3 平面曲线的弧长 4 变力所作的功 5 水的侧压力 6 引力

38 定积分应用的常用公式平面图形的面积直角坐标情形 y y y y o A A a b a b o y A b a A ] b a [

39 参数方程所表示的函数如果曲边梯形的曲边为参数方程 y ϕ t ψ t 曲边梯形的面积 A ψ t ϕ t t 其中 t 和 t 对应曲线起点与终点的参数值在 [ t, t ] 或 [ t, t ] 上 ϕt y ψ t 连续. t t 具有连续导数,

40 β α θ θ ϕ A ] [ o β θ α ϕθ r β α o ϕ θ r ϕ θ r β α θ θ ϕ θ ϕ A ] [ 极坐标情形

41 旋转体的体积 y o V b π[ a ] y c ϕ y V c π[ϕ y] y o

42 平行截面面积为已知的立体的体积 A o a b V A b a

43 求旋转体体积柱壳法曲边梯形 y,a,b,y 绕 y 轴旋转 y V π a b y a b

44 3 平面曲线的弧长 A. 曲线弧为弧长 s B. 曲线弧为 y b y a y 其中 t, ψ t ϕ t ψ t ϕ 在 [ α, β ] y o α t β a 上具有连续导数 } y b 弧长 s ϕ t ψ t t β α C. 曲线弧为 r rθ α θ β 弧长 β s r θ r θ θ α

45 第六章内容小结一阶微分方程的解法可分离变量的微分方程形如 g y y g y y 解法分离变量法齐次方程形如 y y 解法作变量代换 u y

46 3 可化为齐次的方程形如 y a by c, 其中 a b y c 当 c c 时, 为齐次方程. 否则为非齐次方程. 解法其中, 令 y y 是方程 X Y y,, a a b b 化为齐次方程. a by c 的根 a b y c y 4 形如 a by c a, b, c是常数解法令 u a by c

47 5 一阶线性微分方程形如 y P y Q 当 Q, 上方程称为齐次的. 当 Q 解法, 非齐次微分方程的通解为上方程称为非齐次的. 齐次方程的通解为 P y Ce. y [ Q e P C] e P

48 6 伯努利 Beroulli 方程形如 y P y Q α y 当 α, 时, 方程为线性微分方程. 当 α, 时, 方程为非线性微分方程. α 解法令 z y, y α e z α P α P Q α e C.

49 可降阶的高阶微分方程的解法 y 解法 y, y 解法令 y 型接连积分次, 得通解. 型 P, 代入原方程, 得 P, P. 特点不显含未知函数 y. y P, y y, 型特点不显含自变量. p 解法令 y P y, y P, y p 代入原方程, 得 P y, P. y 3 y

50 3 二阶常系数齐次线性方程解法形如 y P y P y P y y py qy 阶常系数线性微分方程二阶常系数齐次线性方程 y py qy 二阶常系数非齐次线性方程解法由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为特征方程法.

51 y py qy 特征方程为 r pr q 实根实根复根特征根的情况通解的表达式 r r r r r α ±, iβ r r C e Ce r C C e α C cos β C si β y y y e

52 y P y P P y y 特征方程为 P r P P r r 特征方程的根通解中的对应项若是 k 重根 r r k k e C C C α iβ k ± 复根重共轭若是 k k k k e D D D C C C α β β ] si cos [ 推广 : 阶常系数齐次线性方程解法

53 4 二阶常系数非齐次线性微分方程解法 y py qy 二阶常系数非齐次线性方程解法待定系数法. λ e P 设 y e k λ Q m m, 型 k λ不是根 λ是单根 λ是重根,

54 λ e [ P cosω P siω] 型设 y k e λ [ R m l cosω R m 其中 Rm, Rm 是 m次多项式, siω], { l } m ma, k λ ± λ ± iω 不是特征方程的根时 iω 是特征方程的单根时 ;.

55 5 欧拉方程 y y 形如 p qy 的方程称为欧拉方程, 其中 p, q是常数 t 作变量变换 e 或 t l, 则 y y t t y t, y y t 代入原方程得 y y t p qy e t t 6 一阶线性微分方程组 : 消元法 ; y t,

56 7 解微分方程应用题的方法和步骤找出事物的共性及可贯穿于全过程的规律列方程. 常用的方法 : 根据几何关系列方程 ; 根据物理规律列方程 ; 比例关系 ; 牛顿第二定律 ; 3 利用微元法列方程 ;

57 利用反映事物个性的特殊状态确定定解条件. 确定定解条件个性初始条件边界条件可能还要衔接条件 3 求通解, 并根据定解条件确定特解. 4 分析解所包含的实际意义

0103 收敛数列的性质 (40 分钟 ) 唯一性有界性保号性 * 收敛数列与其子数列的关系 0104 自变量趋于无穷大时函数极限的概念 (40 分钟 ) 自变量趋于无穷大时函数极限的直观描述自变量趋于无穷大时函

0103 收敛数列的性质 (40 分钟 ) 唯一性有界性保号性 * 收敛数列与其子数列的关系 0104 自变量趋于无穷大时函数极限的概念 (40 分钟 ) 自变量趋于无穷大时函数极限的直观描述自变量趋于无穷大时函注 :(1) 知识点前标表示该知识点作品在前两届微课竞赛中获过国家一等奖 ; (2) 知识点前标表示该知识点作品在前两届微课竞赛中获过两次以上国家一等奖, 不在本次竞赛知识点选择范围之内高等数学 ( 上册 ) 知识点的细分目录第一章函数极限与连续 (01) ( 注 : 以下括号内的时间为建议的视频讲课时间, 不包括讲习题的时间 ) 0101 函数 (80 分钟 ) 010101 函数的概念