2013年专转本高等数学试卷及答案解析（卫飚）.doc

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1 江苏省 年普通高校 专转本 统一考试模拟试卷 ( 一 ) 高等数学注意事项 : 考生务必将密封线内的各项填写清楚 考生必须要钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上, 写在草稿纸上无效 本试卷五大题 4 小题 5 分, 考试时间 分钟 一 选择题 ( 本大题共 6 小题, 每小题 4 分, 满分 4 分, 在每 小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求, 请把所选项前的字 母填在题后的括号内 ) 当 时,( cos )l( + ) ta 是比 si( ) 是比 e 高阶的无穷小, 则正整数 为 ( ) 高阶的无穷小, 而 ) A B C D 4 设 f () =, αβ, 为常数, 且 αβ, 则 f( α) f( β) lim A α + β B α β C + D α β α β 由方程 d d (,) si 为 ( ) si( = ( ) + = 所确定的隐函数 = ( ) 在点 (,) 处的导数 A B C D 4 设 z = z (, ) 是由方程 z = 确定, 则 z + z =( ) A B + C + D - - PDF pdffactor

2 5 在空间直角坐标系下, 与平面 + + z = 垂直的直线方程为 ( ) A + + z = + + z = B z = = C + + z = 5 D = = z 6 设级数 u 收敛, 则下述结论中, 不正确的是 ( ) A u + u ( ) 收敛 B ku ( ) k 收敛 C u 收敛 D limu = 时, 级数发散 二 填空题 ( 本大题共 6 小题, 每小题 4 分, 满分 4 分 ) 7 设函数 f ( ) =, 则其第一类间断点为 ( ) 8 已知函数 l, 9 定积分 已知函数 = 则 d = 4 (+ cos d ) = Φ ( ) = si tdt, 则 Φ ( ) = 交换积分次序 d 4 f( d, ) = 幂级数 的收敛域为 ( ) 三 解答题 ( 本大题共 8 小题, 每小题 8 分, 满分 64 分 ) 设函数 续? l cos > f( ) = k = < e, 当 k 为何值, f( ) 在点 = 处连 - - PDF pdffactor

3 4 已知参数方程 = l( + t ) = t arcta t 5 求不定积分 d e 6 求定积分 l d e 7 求过点 P(,,) 垂直于直线 z+ = 的直线方程, 求 d d, d d z = = 且平行于平面 设函数 z = f(, ), 其中 f 有二阶连续偏导数, 求 9 计算二重积分 域 dd, 其中 D 为,, D 求非齐次微分方程 + = e 的通解 z + 所围成的区 四 综合题 ( 本大题共 小题, 每小题 分, 满分 分 ) 设函数 f( ) = +, 试求 : () 函数 f () 的单调区间与极值 ; () 曲线 = f () 的凹凸区间与拐点 ; () 函数 () f 在闭区间 [,] 求微分方程 d ( d ) 线, 积最小 上的最大值和最小值 + = 的一个解 ( ) =, 使曲线 = ( ) 与直 = = 及 轴所围成的平面图形绕 轴旋转一周所得的旋转体体 五 证明题 ( 本大题共 小题, 每小题 9 分, 满分 8 分 ) 证明 : 方程 4 证明 : 当 + t dt = 在 [,] 内有唯一实根 < < 时, 有 e > PDF pdffactor

4 江苏省 年普通高校 专转本 统一考试模拟试卷 ( 二 ) 高等数学注意事项 : 考生务必将密封线内的各项填写清楚 考生必须要钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上, 写在草稿纸上无效 本试卷五大题 4 小题 5 分, 考试时间 分钟 一 选择题 ( 本大题共 6 小题, 每小题 4 分, 满分 4 分, 在每小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求, 请把所选项前的字母填在题后的括号内 ) 设 ( + a ) lim = cos, 则必有 a =( ) A B C 曲线 = 有 ( ) 渐近线 D- A 条 B 条 C 条 D 4 条 f + h f h h ( ) ( ) = h 若函数 f () 在点 可导, 且 f ( ) = a, 则 lim ( ) A a B a C a D 5a 4 若 e 是 () f 的一个原函数, 则 f (l d = ( ) ) A B C 下列级数条件收敛的是 ( ) D A B ( ) ( ) C ( ) ( ) D + ( ) + 4 PDF pdffactor

5 6 设函数 si( ), < f ( ) = 在 (, +) a a e e +, 上连续, 则 a = ( ) A 任意实数 B l C D 二 填空题 ( 本大题共 6 小题, 每小题 4 分, 满分 4 分 ) 7 设函数 π f( ) si tdt = r r a= b= =, 则 f[ f( )] 8 同时垂直于向量 (,, ), (,,) 的单位向量为 π 9 定积分 ( + )si d = π 已知曲线 m = 4 4 = m + 的一个拐点处的切线方程为 =, 则 设函数 z = arcta, 则 z = 已知, 当时级数绝对收敛 p ( ) 三 解答题 ( 本大题共 8 小题, 每小题 8 分, 满分 64 分 ) 求极限 lim ta si si 4 设曲线 = t (), = t () 由方程组 时的斜率 + e 5 求不定积分 d l 6 求定积分 e d 7 求过直线 方程 z l : = = t = te t e + e = e 所确定, 求该曲线在 t = 且垂直于平面 + z+ 7= 的平面 8 已知函数 z = f(, ), 其中 f 有二阶连续偏导数, 求 z z, PDF pdffactor

6 9 计算二重积分 dd, 其中 D 是由曲线 l 轴所围成的区域 求微分方程 e D = 满足条件 (), () = 直线 =, = e和 = = 的解 四 综合题 ( 本大题共 小题, 每小题 分, 满分 分 ) 设 D 是抛物线 = 和直线 = a, = 及 = 所围成的平面区域 ; D 是由抛物线 = 和直线 =, = a 所围成的平面区域, 其中 < a < () 试求 D 绕 轴旋转而成的旋转体体积 V ; D 绕 轴旋转而成的 旋转体体积 V ; () 问当 a 为何值时, V + V 取得最大值? 试求此最大值 设函数 f( ) 在 (, + ) 内连续, 条件 t t f( udu ) = t f( udu ) f( udu ) +, 求 ( ) 5 f () =, 且对所有 t, (, ) f 五 证明题 ( 本大题共 小题, 每小题 9 分, 满分 8 分 ) 设 f( ) = e, 求证在区间 (,) 内至少有一点, 使 e 4 求证 : 当 > 时, ( )l ( ) +, 满足 = PDF pdffactor

7 江苏省 年普通高校 专转本 统一考试模拟试卷 ( 三 ) 注意事项 : 高等数学 考生务必将密封线内的各项填写清楚 考生必须要钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上, 写在草稿 纸上无效 本试卷五大题 4 小题 5 分, 考试时间 分钟 一 选择题 ( 本大题共 6 小题, 每小题 4 分, 满分 4 分, 在每 小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求, 请把所选项前的字 母填在题后的括号内 ) + l + a 已知函数 f ( ) =, 若极限 f ( ) 存在, 则 a 等 于 ( ) < < > A B C D lim 已知函数 + ( ) = 4 f, 则 = 为 () f 的 ( ) A 跳跃间断点 B 可去间断点 C 无穷间断点 D 震荡间断点 设 f ( ) = α cos > = 在 = 处连续但不可导, 则 α 的取值范围是 ( ) A α < B < α C > α DA,B,C 均不正确 4 设 l 是 f ( ) 的一个原函数, 则不定积分 f ( d ) =( ) PDF pdffactor

8 l + + C B 9 A l + C C l + + C D l + + C 5 对于级数 ( )( a > ), 下列结论中正确的是 ( ) a + A a > 时, 级数收敛 B a < 时, 级数发散 C a = 时, 级数收敛 D a = 时, 级数发散 6 设函数 z = l( + ), 则 =( ) (,) A B z C D 二 填空题 ( 本大题共 6 小题, 每小题 4 分, 满分 4 分 ) si( ) lim 7 = 8 设向量 α = {,4,, } β = (,, k), αβ, 且互相垂直, 则 = + f tdt 9 当 时, () =, 其中 f() t 连续, 则 () 微分方程 d+ ( 4 d ) = 的通解为 交换二次积分次序 e d f( d, ) = e 设幂级数 a 的收敛半径为 R( < R<+ ), 则 径为 k f = a ( ) 三 解答题 ( 本大题共 8 小题, 每小题 8 分, 满分 64 分 ) l 求极限 ( ) lim 4 已知 ( ) = 由方程 ( ) e e e 5 求不定积分 d + + = 所确定, 求 () 的收敛半 PDF pdffactor

9 6 求函数 I( ) = l t dt t+ 在区间 [ ] e 7 求过点 A(,, ) 且通过直线 t, 上的最大值 4 + z 5 = = 的平面方程 8 已知函数 z = f(, e ), 其中 f 有二阶连续偏导数, 求 dd 9 计算二重积分, 其中 D 由直线, 成的 D z = = 和曲线 = 所围 设函数 a e < = f( ) = b, + b > si, 讨论 :( ) 若 lim f( ) 存在, 求 ab, 的关系 ;() 若 f( ) 在 = 处连续, 求 ab, 的值 四 综合题 ( 本大题共 小题, 每小题 分, 满分 分 ) 求微分方程 = e α 的通解 ( 其中 α 为实数 ) 设曲线方程为 e ( ) =, () 把曲线 = e, 轴, 轴和直线 = kk ( > ) 所围平面图形绕 轴旋 转一周, 得一旋转体, 求此旋转体体积 V( k ) 以及求满足 的 a V( a) = lim V( k) k + () 在此曲线上找一点, 使过该点的切线与两个坐标轴所围平面图 形的面积最大, 并求出该面积 五 证明题 ( 本大题共 小题, 每小题 9 分, 满分 8 分 ) 证明 : 当 时, 4 4 证明方程 + 4 = 只有一个正根 PDF pdffactor

10 江苏省 年普通高校 专转本 统一考试模拟试卷 ( 四 ) 注意事项 : 高等数学 考生务必将密封线内的各项填写清楚 考生必须要钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上, 写在草稿 纸上无效 本试卷五大题 4 小题 5 分, 考试时间 分钟 一 选择题 ( 本大题共 6 小题, 每小题 4 分, 满分 4 分, 在每 小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求, 请把所选项前的字 母填在题后的括号内 ) 设 f ( ) 为奇函数,g ( ) 为偶函数, 则下列函数中为奇函数的是 ( ) A f[ g ( )] B g f [ ( )] C f [ f ( )] D g[ g( )] 设当 时, e ( a + b + ) 是比 高阶的无穷小量, 则 ( ) A a =, b = B a =, b = C a =, b = D a =, b = 若函数 f( ) = a, = t ( e ) dt, 在 = 点连续, 则 a = ( ) A 9 B C D 4 若函数 f( ) = +, 则 ( ) A 函数 f( ) 在 = 可导, 且 = 是 f( ) 的极大值点 B 函数 f( ) 在 = 不可导, 且 = 是 f( ) 的极小值点 C 函数 f( ) 在 = 可导, 但 = 是 f( ) 的极小值点 - - PDF pdffactor

11 D 函数 f( ) 在 = 不可导, 但 = 是 f( ) 的极大值点 5 下列级数绝对收敛的是 ( ) A B ( ) ( ) C ( ) D ( ) '' 6 微分方程 + ' + = 的通解为 ( ) A = Ce + Ce + B Ce Ce C = Ce + Ce + D Ce Ce = + + = + + 二 填空题 ( 本大题共 6 小题, 每小题 4 分, 满分 4 分 ) + lim 7 极限 = 8 定积分 ( ) d = z = 9 设 z = z (, ) 是由 z+ z + = 确定的函数, 则 设函数 交换积分次序 t t, 则 F ( ) = F( ) = e dt+ e dt d (, ) (, ) f d+ d f d = ( ) 幂级数 ( ) 的收敛域为 + 三 解答题 ( 本大题共 8 小题, 每小题 8 分, 满分 64 分 ) lim( ) 求极限 si 4 已知参数方程 t = e si t t = e cost 5 求不定积分 si d 6 求定积分 e d, 求 d d 7 求通过点 P (,,) 且垂直于两平面 : + = 和 5 z + = 的平面方程 - - PDF pdffactor

12 f 8 已知函数 z = (, ), 其中 f 有二阶连续偏导数, 求 z 9 计算二重积分 dd, 其中 D 为圆周 + = a 与 轴在第一象 限所围部分 D ( ) () 求连续函数 f( ), 使它满足 f + f tdt = 四 综合题 ( 本大题共 小题, 每小题 分, 满分 分 ) 设函数, 且 f( ) = 4, > 且, 求函数的间断点, 并判断其类型 设函数 f( ) 在 [ ), + 上连续, 若由曲线 = f( ), 直线 =, = tt ( > ) 与 轴所围成的平面图形绕 轴旋转一周所成的旋转体体积为 π Vt t f t f () [ () ()] =, 试求 = f( ) 所满足的微分方程, 并求该微分方 9 程满足条件 = = 的解 五 证明题 ( 本大题共 小题, 每小题 9 分, 满分 8 分 ) 证明 : 当 e e 时, l e 成立 4 设函数 f( ) 在 [, ] 连续, 在 (,) 内可导, 且 = f() + f() + f() =, f () =, 证明必存在 ξ (,), 使 f ( ξ ) - - PDF pdffactor

13 江苏省 年普通高校 专转本 统一考试模拟试卷 ( 五 ) 高等数学注意事项 : 考生务必将密封线内的各项填写清楚 考生必须要钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上, 写在草稿纸上无效 本试卷五大题 4 小题 5 分, 考试时间 分钟 一 选择题 ( 本大题共 6 小题, 每小题 4 分, 满分 4 分, 在每小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求, 请把所选项前的字母填在题后的括号内 ) 若函数 f () 可导, 且 f ( ) = f () =, 则 lim h f ( h) h =( ) A B C 4 D 设函数 Φ ( ) = tdt, 则 ( ) si Φ =( ) A 4 si B si C si D = + 曲线 拐点的个数为 ( ) A B C D 4 下列级数发散的是 ( ) 4 si A B ( ) l( + ) C ( ) D f ( ) 5 设 f ( ) d = arcta + C, 则 d = ( ) A C arcta + B + C C + C + D ( + ) + C 6 设函数 = f () 满足方程 + 4 =, 且 f ) >, f ( ), 则 - - ( = PDF pdffactor

14 f () ( ) A 在点 处取得极小值 B 在点 处取得极大值 C 在点 的某邻域内单调增加 D 在点 的某邻域内单调减少 二 填空题 ( 本大题共 6 小题, 每小题 4 分, 满分 4 分 ) 7 如果 lim + 4 = b + a, 则 a =,b = 8 若 e 是 f () 的一个原函数, 求 f (l ) d = r r r r r r 9 已知向量 a= (,,), b= (,,), c= (,,),, 则 ( a b) c= 定积分 4 ( ) d = 设二元函数 + z = e + ( + )l( + ), 则 dz (,) = 幂级数 的收敛域为 ( ) ( ) 三 解答题 ( 本大题共 8 小题, 每小题 8 分, 满分 64 分 ) + + 求极限 lim( ) 4 设 ( ) = 由方程 l + = 确定 ( ) d d = e =, 求 = e 5 设函数 e a, f( ) = b(+ si ) + a+, >, 试确定 ab, 之值, 使 f( ) 在点 = 处可导 6 求定积分 arcta d 7 求过点 M (,,) 且与平面 : z 直线方程 π + = 和 π : + z = 平行的 8 已知函数 z = f(, + ), 其中 f 有二阶连续偏导数, 求 z PDF pdffactor

15 9 计算二重积分 e dd, 其中 D 是第一象限中由直线 = 和曲线 = 所围成的封闭区域 d 求微分方程 D d = + 满足 e e = = 的特解 四 综合题 ( 本大题共 小题, 每小题 分, 满分 分 ) () 求由直线 =, =, = 与抛物线 = + 所围成的平面图形 的面积 S; () 求上述平面图形绕 轴旋转一周所得旋转体的体积 V 设 f ( uv, ) 具有连续偏导数, 且满足 f ( uv, ) + f ( uv, ) = uv, 求 e f ( ) (, ) = 所满足的一阶微分方程, 并求其通解 u v 五 证明题 ( 本大题共 小题, 每小题 9 分, 满分 8 分 ) 证明 : 当 > 时, 有 4 设 ( ) f 在 [, ] b f ( ) f ( d ) = a > ab 上有连续导数, 且 f( a) = f( b) =, f ( d ) =, 证明 : a b PDF pdffactor

16 江苏省 年普通高校 专转本 统一考试模拟试卷 ( 六 ) 高等数学注意事项 : 考生务必将密封线内的各项填写清楚 考生必须要钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上, 写在草稿纸上无效 本试卷五大题 4 小题 5 分, 考试时间 分钟 一 选择题 ( 本大题共 6 小题, 每小题 4 分, 满分 4 分, 在每小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求, 请把所选项前的字母填在题后的括号内 ) 已知 f ( ) = l( + t) dt, 则当 时, 下列函数中与 f () 是等价无 穷小的是 ( ) 4 A B C D 4 函数 f ( ) = ( )( ) A 条垂直渐进线, 条水平渐进线 B 条垂直渐进线, 条水平渐进线 C 条垂直渐进线, 条水平渐进线 D 条垂直渐进线, 条水平渐进线 设 = lta l, 则 在 (, + ) 上有 ( ) π = ( ) 8 6 +π A B C D PDF pdffactor

17 4 下列级数条件收敛的是 ( ) A B ( ) + ( ) C D ( ) ( ) ( + ) 5 设函数 ( ) ( ) A ϕ 在 [, ] ab 上连续, 且 ϕ ( b) = a, ϕ ( a) = b, 则 ϕ ( ) ϕ ( ) ( ) a b B ( ) a b C a b D a b 6 设 = ( ) t ( t ) dt, 则 f () 的极值点的个数是 ( ) f b a d = A B C D 二 填空题 ( 本大题共 6 小题, 每小题 4 分, 满分 4 分 ) 7 极限 lim si = + rr 8 已知向量 ab, 的夹角为 4 π, r r r r 且 a =, b =,, 则 a b = 9 若抛物线 = a 与 = l 相切, 则 a 等于 已知 f ( d ) = l + c, 则 ( ) 交换积分次序 f = d (, ) (, ) f d+ d f d = 幂级数 的收敛域为 + ( ) 三 解答题 ( 本大题共 8 小题, 每小题 8 分, 满分 64 分 ) + t 设 () = lim ( ), 求 f () t 4 已知 f t t t l + d d =, 求 (,) + 5 求不定积分 d 6 设 f( ) si t dt t =, 求定积分 f( d ) PDF pdffactor

18 7 求平行于 轴, 且过点 A(, 5,) 与 B(,, ) 的平面方程 8 设函数 z = f(, ) + ϕ(, ), 其中函数 f 具有二阶连续偏导数, 函 数 ϕ 具有二阶连续偏导数, 求 z 9 计算二重积分 ( dd ), 其中 D 由直线, + = 围成的图形 D = + = 与 求微分方程 ( e + d ) = d 在初始条件 = = 下的的特解 四 综合题 ( 本大题共 小题, 每小题 分, 满分 分 ) 设平面图形由曲线 =, = 与直线 = 所围成 () 求该平面图形绕 轴旋转一周所得的旋转体的体积 ; () 求常数 a, 使直线 = a 将该平面图形分成面积相等的两部分 设函数 = ( ) 满足条件 = () =, () = 4, 求广义积分 五 证明题 ( 本大题共 小题, 每小题 9 分, 满分 8 分 ) 设 f( ) 在点 f( a) af( ) = a处可导, 证明 lim = f( a) af ( a) a a π π < < 成立 4 证明 : 当 < < 时, si + d ( ) PDF pdffactor

19 江苏省 年普通高校 专转本 统一考试模拟试卷 ( 七 ) 注意事项 : 高等数学 考生务必将密封线内的各项填写清楚 考生必须要钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上, 写在草稿 纸上无效 本试卷五大题 4 小题 5 分, 考试时间 分钟 一 选择题 ( 本大题共 6 小题, 每小题 4 分, 满分 4 分, 在每 小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求, 请把所选项前的字 母填在题后的括号内 ) + a b 设 lim = A + b = a B a = b, 则 a, b 满足 ( ) a e b C = a e b e D e = f ( + si ) f ( ta ) 已知函数 f () 可导, 且 f ( ) =, 则 lim = ( ) A B C5 D4 已知点 (,) 是曲线 = a + b 的拐点, 则 ( ) 9 9 =, b = A a =, b = B C a D 4 在 ( )! < <+ 的和函数 ( ) 9 a =, b = a =, b = 9 S= ( ) A e B e C e D e 5 曲线 + l( ) = si 在点, ) A = + ( 处的切线方程为 ( ) B = + C = D = PDF pdffactor

20 6 d f( d, ) = ( ) d f ( d, ) B d A f( d, ) D d C d f( d, ) f( d, ) 二 填空题 ( 本大题共 6 小题, 每小题 4 分, 满分 4 分 ) 7 极限 t ( e ) dt lim = cos 8 函数 f( ) = ( ) ( + ) 的无穷间断点为 9 设 A(,,), B(,4,5), C (,4,7), 则 ABC 的面积为 设 z = l( + ), 则全微分 dz = = = 微分方程 d+ d = 的通解 函数 f( ) = + 的幂级数展开式为 f( ) = a ( < < ), 则系数 a = 三 解答题 ( 本大题共 8 小题, 每小题 8 分, 满分 64 分 ) 求极限 lim( ) e f( ) l tdt 4 求函数 = 的极值点和极值 5 设函数 6 求定积分 + + g ( ) = f( ) 8 d 满足 f ( ) = arcta, 求 g () 7 求过 M (,,) 且与直线 L, L 都垂直的直线 其中 z+ + z L : = =, L : = = 8 设 z = f (, ), 其中 f ( u, v) 的二阶偏导数存在, 求 z z - - PDF pdffactor

21 + + 9 计算二重积分 dd, 其中 D 为圆域, 求微分方程 = + 的通解 D + 四 综合题 ( 本大题共 小题, 每小题 分, 满分 分 ) 已知两曲线 = 与 = c, () 当 cc> ( ) 为何值时, 由此两曲线所围成的图形的面积为 ; () 求把上述图形绕着 轴旋转而成的立体体积 设函数 = 在 = 处取得极大值, 且点 (,) 是其图 a b c 形的拐点, 求常数 abc,, 的值 五 证明题 ( 本大题共 小题, 每小题 9 分, 满分 8 分 ) 证明 : 当 < < 时, e + si< + d ( ) f( d ) ( b ) f( d ) b b 4 证明 : = a a a - - PDF pdffactor

22 江苏省 年普通高校 专转本 统一考试模拟试卷 ( 八 ) 注意事项 : 高等数学 考生务必将密封线内的各项填写清楚 考生必须要钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上, 写在草稿 纸上无效 本试卷五大题 4 小题 5 分, 考试时间 分钟 一 选择题 ( 本大题共 6 小题, 每小题 4 分, 满分 4 分, 在每 小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求, 请把所选项前的字 母填在题后的括号内 ) 若 f ( ) lim = A, 则 lim = ( ) f ( ) B C D 设 f( ) = a + b + c+ da ( ), 若 ( ) ( ) f 在 (, ) A a>, b ac B C a>, b ac D + 内单调增加, 则 a<, b ac a<, b ac 若 si 是 f( ) 的一个原函数, 则 f ( d ) = ( ) A cos si + c B si+ cos + c C cos+ si + c D si cos + c 4 的收敛半径 R = ( ) PDF pdffactor

23 A B C D 5 直线 l 5 z+ 8 : = = 与 l = 6 : + z = 的夹角为 ( ) π π π π A B C D 6 4 z 6 已知函数 z = ( + ) =, 则 =( ) = A B 4 C D 二 填空题 ( 本大题共 6 小题, 每小题 4 分, 满分 4 分 ) 7 若 > k, cos lim e ta( k ) 8 若函数 ( ) 9 曲线 =, 则 = 由 6e k = + = 确定, 则 ( ) = e 的下凹区间为 + + 定积分 d 的值为 设函数 ( ) = 由方程 l 处的切线方程是 将 f( ) = 展开成 ( ) = + = 确定, 则曲线 ( ) 的幂级数为 三 解答题 ( 本大题共 8 小题, 每小题 8 分, 满分 64 分 ) 求极限 costdt si lim 4 设 f( ) = ( )( ) L ( ), 求 f (), f () + 5 设函数 = ( ) 由方程 + e = 所确定, 求 e 6 计算定积分 d (l ) d d, d d = 在点 (,) 7 已知平面 Π 通过点 M (,,) 与 轴, 求通过点 N (,,) 且与平面 Π 平 - - PDF pdffactor

24 行, 又与 轴垂直的直线方程 z 8 设函数 = si( ) + ϕ(, ), 其中函数 f 具有二阶连续偏导数, 函数 ϕ 具有二阶连续偏导数, 求 z 9 计算二重积分 + dd, 其中 D 是圆 + = 围成的区域 D 求微分方程 = e 的通解 四 综合题 ( 本大题共 小题, 每小题 分, 满分 分 ) 过曲线 = ( ) 上某点作一切线, 使之与曲线及 轴围成图形 的面积为, 求 : () 切点 A 的坐标 ; () 过切点 A 的切线方程 ; () 由上述图形绕 轴旋转而成的旋转体体积 设 F( ) = f( g ) ( ), 其中函数 ( ), ( ) f( ) g ( ), g ( ) f( ) f g 在 (, ) = =, 且 f(), f( ) g ( ) e = + =, () 求 F( ) 所满足的一阶微分方程 ; () 求出 F( ) 的表达式 + 内满足以下条件 : 五 证明题 ( 本大题共 小题, 每小题 9 分, 满分 8 分 ) 证明不等式 : 4 证明方程 : + = + l( + + ) +, < <+ 在 [, ] 上有且仅有一根 PDF pdffactor

25 江苏省 年普通高校 专转本 统一考试模拟试卷 ( 九 ) 注意事项 : 高等数学 考生务必将密封线内的各项填写清楚 考生必须要钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上, 写在草稿 纸上无效 本试卷五大题 4 小题 5 分, 考试时间 分钟 一 选择题 ( 本大题共 6 小题, 每小题 4 分, 满分 4 分, 在每 小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求, 请把所选项前的字 母填在题后的括号内 ) 当 时, cos ( ) 与 l( a ) + 是等价无穷小, 则常数 a 的值为 A B C D 4 si 设 ϕ ( ) = tl( + tdt ), 则 ϕ ( ) = ( ) A sicosl(+ si ) B sil(+ si ) C sicosl(+ si ) D sil(+ si ) 函数 = e 单调递减且其图形为下凹的区间是 ( ) A (,) B (, + ) C (,) D (,) 4 如果函数 f () 在区间 [,] 上连续, 且 f ( d = a, 则 f ( d = ( ) A a 5 下列级数收敛的是 ( ) ) B a C a B a ) PDF pdffactor

26 A B = + C + ( ) D ( ) 6 已知函数 值为 -9, 则有 ( ) f( ) = a 6 a + ba ( > ) 在区间 [,] 上的最大值为, 最小 A a=, b= B a =, b= C a =, b= D a =, b= 二 填空题 ( 本大题共 6 小题, 每小题 4 分, 满分 4 分 ) 7 极限 lim( ) + 8 已知 f ( ) =, 则 lim π = f( + ) f( ) = 4 9 定积分 π = r 4 si+ si cos d 设 a = (,,), b = (,,) r r r r r 则 ( a+ b) ( a b) = z 设函数 z = z (, ) 由方程 e + z = 所确定, 则 z = 幂级数 的收敛域为 三 解答题 ( 本大题共 8 小题, 每小题 8 分, 满分 64 分 ) 求极限 4 求函数 5 求由 e e + lim si f( ) = e 的间断点, 并判断其类型 t e dt + si tdt = 所确定的函数 ( ) 6 求不定积分 d d d = 对 的导数 = + t 7 设直线通过点 (-,,), 垂直于直线 = t又与平面 z = t + z = 平行, 求其直线方程 PDF pdffactor

27 8 设函数 z = f( +, ), 其中 f 有二阶连续偏导数, 求 9 计算二重积分 ( + ) 区域 dd, 其中 D 为, 求 ( ) + cos= 的通解 D z = = 在第一象限所围的 四 综合题 ( 本大题共 小题, 每小题 分, 满分 分 ) 已知曲线 = + () 作出曲线的草图 ; () 求曲线在 轴上介于两极值点间的曲边梯形的面积 ; () 求 () 中的曲边梯形绕 轴旋转产生的旋转体的体积 已知函数 f( ) 的一个原函数为 e, 求微分方程 4 4 f( ) + + = 的通解 五 证明题 ( 本大题共 小题, 每小题 9 分, 满分 8 分 ) 若 f( ) 是具有连续导数的函数, 且 f () =, 设 tf() tdt Φ ( ) =, =, 证明 Φ () = () f 4 证明 : 当 < < 时, 4 l > PDF pdffactor

28 江苏省 年普通高校 专转本 统一考试模拟试卷 ( 十 ) 注意事项 : 高等数学 4 考生务必将密封线内的各项填写清楚 5 考生必须要钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上, 写在草稿 纸上无效 6 本试卷五大题 4 小题 5 分, 考试时间 分钟 一 选择题 ( 本大题共 6 小题, 每小题 4 分, 满分 4 分, 在每 小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求, 请把所选项前的字 母填在题后的括号内 ) 若 [ f( ) f()] lim = cos, 则 f () =( ) A- B C D 下图是函数 f () 的导函数 = f () 的图像, 那么函数 f () 有 ( ) A 两个极值点 三个拐点 B 两个极值点 两个拐点 C 三个极值点 三个拐点 D 三个极值点 两个拐点 f (l ) d 设 f ( ) = e, 则 = ( ) A c + B + c 4 下列级数收敛的是 ( ) l C c D l + c PDF pdffactor

29 A ( ) B ( ) C D r = = 5 设向量 a (,,), b (,,4), 则 a b 等于 ( ) + A B 5 C5 D 6 交换积分次序 4 4 d f ( d, ) + d f ( d, ) = ( ) f( d, ) B d 4 A d C d f( d, ) D 4 d f( d, ) f( d, ) 二 填空题 ( 本大题共 6 小题, 每小题 4 分, 满分 4 分 ) 7 若 ( ) f 在 = 8 若曲线 f() 处连续, 且 f( ) lim = = 在点 (, f ( )), 则 f () = P 处的切线方程是 = k( +), 则 f( ) + f ( ) = 9 定积分 d ( + ) = z = z 设 z+ e =, 则 d d = 已知方程 si+ l( ) =, 则 幂级数 ( ) = = 的收敛域为 三 解答题 ( 本大题共 8 小题, 每小题 8 分, 满分 64 分 ) 求极限 + lim( ) + 4 已知摆线的参数方程 = at ( si t) = a( cos t), 求 d d PDF pdffactor

30 5 设函数 b( cos ) < = f( ) = a, costdt > 在 = 处连续, 求 ab, 的值 6 求不定积分 d + e 7 求定积分 d 8 求过直线 l 程 + + z = : 4+ z = 且平行于直线 l : + z 4 = = 的平面方 9 设函数 z = f( si, + ), 其中 f 有二阶连续偏导数, 求 z 计算二重积分 ( + 6 dd ), 其中 D 是由 =, = 5, = 所围成的 区域 D 四 综合题 ( 本大题共 小题, 每小题 分, 满分 分 ) 设曲线 4 =, () 在曲线上求一点, 使过该点的切线 L 平行于 轴 ; () 求由上述切线 L 与该曲线及 轴所围平面图形的面积 ; () 求 () 中平面图形绕 轴旋转一周所成的旋转体的体积 已知连续函数 f( ) 满足条件 t f( ) = f( ) dt+ e, 求 ( ) f 五 证明题 ( 本大题共 小题, 每小题 9 分, 满分 8 分 ) 证明 : 当 > 时, 有 4 设 f( ) 有二阶连续导数, 且 arcta l( + ) > + f( ) f() =, g ( ) = f () = =, 证明 : - - PDF pdffactor

31 g ( ) 有一阶连续导数 - - PDF pdffactor

32 江苏省 年普通高校 专转本 统一考试模拟试卷 ( 一 ) 高等数学答案解析 一 选择题 ( 本大题共 6 小题, 每小题 4 分, 满分 4 分 ) 解析 本题考查了无穷小比较的概念与极限的无穷小等价替换 4 时, ( cos )l( + ) 等价于 = 当 + ta, + < 4, si( ) e 等价于 ta, 从而等价于 根据题意可知 <, 即 < <, 故 = 正确答案选 B 等价于 解析 本题考查导数的定义, 即通过导数的定义来构造极限 由于 f( ) ( ) ( ) () ( ) () lim α f β f + lim α f f + f lim β = α β α β = α f () β f () = α β, 正确答案选 D 解析 本题考查了隐函数的求导 方程两边对 求导, 得 d =, = 代入上式, 故 (,) d cos + =, 解得 =, 正确答案选 B 4 解析 本题考查了二元函数求偏导 d d cos =, 将 原方程 = 可变为 z z =, 则有 z =, z = ( ) ( ), 所以 z + z = ( ) ( ) + =, 正确答案选 A 5 解析 本题考查了空间直线与平面的垂直判断 与平面 + + z = 垂直的直线方程的方向向量必然是平面的法向量 r = (,,), 正确答案选 D 6 解析 本题考查了级数的敛散性判断 - - PDF pdffactor

33 举反例, 如 u ( ) =, 由于 u 收敛, 但是 u = 发散, 正确 答案选 C 二 填空题 ( 本大题共 6 小题, 每小题 4 分, 满分 4 分 ) 7 解析 本题考查函数的间断点的分类 显然函数有两个间断点 =, =, 由于 所以 = 为第一类间断点 ; 由于 断点 8 解析 本题考查了函数的微分 由于函数 = l = ( ) = lim ( ) + lim = lim = f () ( ) l( ) = 可以变为 =, 则有 = d, 所以 d,, 所以 = 为第二类间 9 解析 本题考查定积分化简计算 即利用积分区间的对称性和被 积函数的奇偶性化简定积分 由于 4 (+ cos d ) = 4 d 4 cos d +, 因为函数 4 cos 是奇函数, 所以 几何意义得到 4 d = 4 (+ cos d ) = π π 4 cos d = ( 半圆的面积 ), 所以 解析 本题考查了变限积分函数的导数, 再根据定积分的 根据公式 Φ ( ) = si tdt, Φ ( ) = si Φ ( ) = si 4 cos 解析 本题考查了二重积分的积分次序的转化 - - PDF pdffactor

34 根据题意可以得积分区域为 4 D : + 4 4, 看成 D= DU D, 其 4 :, : 中 D D, 所以 d 4 f( d, ) = d f( d, ) + d f( d, ) 4 4 解析 本题考查幂级数的收敛域, 即利用系数模比值法 设 t =, 则级数变为 t, 其收敛半径为 a + R= lim = lim = a + 原级数在 t = < ( < < ) 即内收敛 当 = 时, 得交错级数 收敛 ; 当 = 时, 得级数 发散, 于是原级数的收敛域为 [ ) 三 解答题 ( 本大题共 8 小题, 每小题 8 分, 满分 64 分 ), ( ) 解析 本题考查了函数的连续性判断, 即利用极限值等于函数值 由于 cos lim f( ) = lim = lim = ; e e e lim f( ) = lim( ) = lim = lim = lim = e e ( ) ( e ) + e e + e 则使 ( ) f 在点 = 处连续, 必须 lim f( ) lim f( ) f() k + 4 解析 本题考查了参数方程的导数 d d = dt = = d d dt + t d + t t t, ( ) d t d + t = = = d d t 4t dt + t 5 解析 本题考查第二类换元法求不定积分 令 t, t, d tdt = = + =, 则原积分变为 = = =, 即, k = + t d= tdt = ( t + ) dt = t + 6 t+ C = ( ) + 6( ) + C t PDF pdffactor

35 6 解析 本题考查分部积分法求定积分 ld= ld ld= l d ( l d) e e e e e e e e = ( + ) = e e e 7 解析 本题考查直线方程, 可以利用对称式 ur 已知直线的方向向量为 s = (4,5,6) r, 平面的法向量为 = (7,8,9) - 5 -, 因为 所求直线垂直于已知直线且平行于已知平面, 故其方向向量为 r ur r r r r i j k s = s = (,6, ) 方程为 + z = = 6, 又因为所求直线过点 P(,,) 8 解析 本题考查二元抽象复合函数求偏导, 所以其 z z = f + f, = f f + f + 4f 4 f + f 9 解析 本题考查二重积分的计算, 可以利用极坐标系变换 令 rcos θ, rsiθ D = =, 则圆的极坐标方程是 r =, 所以 π π π dd = dθ rcosθ rsiθ rdr = cosθsiθdθ = si θ = 解析 本题考查二阶常系数线性微分方程的求解 设对应齐次方程的特征方程为 r r+ =, 其特征根 r =, r =, 因此 齐次方程的通解为 Y = Ce + Ce,( C, C 为任意常数 ), 由 f( ) = e, * 设非齐次方程的特解为 * * * = e ( A+ B), 将,, 代入原方程, 解得 A, B * = Y + = Ce + Ce ( + e ) * = =, 因此特解为 ( ) = + e, 于是原方程的通解为 四 综合题 ( 本大题共 小题, 每小题 分, 满分 分 ) PDF pdffactor

36 解析 本题考查导数的应用 ()( ) 令 f ( ) = 6 6 = 6( )( + ) =, 得 令 f ( ) 6 6( ) = = =, 得 列出表格, = ; (, ) (, ) (,) (, +) > < < > < < > > =, = ; 所以有增区间为 ( ) U (, +) ; 减区间为 (,) ; 极大值为 f ( ) = ; 极小值为 f () 7 = ; 上凹区间为 (, ) + ; 下凹区间 (, ) ; 拐点 (, ) () 因为 f ( ) =, f () = 7, f ( ) =, f () = 4, 所以函数的最 大值为 f ( ) =, 最小值为 f () = 7 解析 本题考查一阶线性微分方程的求解 利用定积分求旋转 体的体积以及利用导数求最值 将上述微分方程变形为 阶非齐次线性微分方程, 其中 d d d d P ( ), Q ( ) + = =, 这是一个一 = =, 通解为 = e e d+ C = d+ C = + C = C + ( ) d ( ) d [ ] ( ( ) ) ( ), 根据体积 公式有 C C V = π C + d= π C + C + d = π π 5 75 = + 4 = π ( C + C+ ), 令 V 为 = >, 所以 ( ) ( ) ( ) 6 5 V π 75 = π C+ =, 得 C =, C = 4 为极小值点也是最小值点, 因此所求函数 PDF pdffactor

37 五 证明题 ( 本大题共 小题, 每小题 9 分, 满分 8 分 ) 解析 本题考查利用罗尔定理和单调性证明根的存在性 令 + t f( ) = dt, 则有函数 f( ) 在 [,] 上连续, 由于 f() =, f() = l, f() f() <, 根据罗尔定理, 在 (,) 内至少存在一 个点, 使得 f( ) =, 所以方程 个实根 又因为在区间 [,] 上有 递增, 所以方程 + t dt = + t dt = + 4 f ( ) = 4 = > + + 在 [,] 内至少有一 在 [,] 内有唯一实根 证毕 4 解析 本题考查利用函数的单调性证明不等式 原不等式等价于 e ( + ) >, 令 F( ) = e ( + ) +, 有 F e e F e ( ) ( ), ( ) 4, f( ) 单调 单 = = >, 所以当 < < 时, F ( ) 调递增, 即有 F ( ) > F () =, 因此 F( ) 也是单调递增, 即有 F( ) F() > =, 所以又 e ( + ) > 证毕 PDF pdffactor

38 江苏省 年普通高校 专转本 统一考试模拟试卷 ( 二 ) 高等数学答案解析 一 选择题 ( 本大题共 6 小题, 每小题 4 分, 满分 4 分 ) 解析 本题考查了极限的无穷小等价替换 由于 a ( + a ) lim = lim = cos 解析 本题考查了函数渐近线的判断 lim = 由于 所以,, 即 a = 故正确答案为 D = =, 所以 = 为水平渐近线 ; lim,lim = = 为垂直渐近线 故正确答案选 C 解析 本题考查了导数的定义 f( + h) f( ) h f( + h) f( ) f( h) f( ) lim = lim ( )lim h h h h h h = 5 f ( ) = 5a 故正确答案选 D 4 解析 本题考查了原函数的概念, 并计算不定积分 由题意 f ( ) = ( e ) = e, f (l ) d = d = f (l ) =, = 4 故正确答案选 A 5 解析 本题考查了级数条件收敛的判断 由于选项 A 中, 收敛, 但 故正确答案选 A ( ) 为交错级数, 根据莱布尼兹定理, 知 ( ) = 是发散的, 所以原级数 ( ) ( ), 条件收敛 6 解析 本题考查了函数的连续性判断, 即利用极限值等于函数值 PDF pdffactor

39 si( ) f lim f ( ) = lim = a a 由于 () = e e +, a f () = e e + = a = l a 故正确答案选 B, 所以要连续, 必须 二 填空题 ( 本大题共 6 小题, 每小题 4 分, 满分 4 分 ) 7 解析 本题考查了简单定积分的计算 π π π f( ) = sitdt = cost =, π = = = = f[ f( )] f[] sid cos cos 8 解析 本题考查了向量积与单位向量的运算 r r rr 同时垂直于向量 a= (,, ), b= (,,) 的向量即为 ab, 的向量积, 所以 r r r i j k r r 有 a b= = (, 5,5), 因此单位向量为 5 5 (,, ) = (,, ) ( ) + ( 5) + 5 ( ) + ( 5) + 5 ( ) + ( 5) 解析 本题考查定积分化简计算 即利用积分区间的对称性和被积函数的奇偶性 由于函数 ( + )si 是奇函数, 所以 ( + )sid = 解析 本题考查拐点的必要条件与导数的几何意义 根据题意令 = + = + =, 得 =, = m, 故可能的拐点 6m ( m ) π π 为 4 (,),( m, 4 m ) 又已知曲线 程为 =, 切线斜率为 4 k ( m ) = = = m + 在其中一个拐点处的切线方 k = 7 由于曲线在 (,) 点的切线斜率 4 = = + =, 故舍去 ; 而在 ( m, 4 m ) 点的切线斜率 k ( m ) 4m = = + =, 由 4 4m =, 解得 = m = m 解析 本题考查了二元函数求偏导 7 m = PDF pdffactor

40 z = = + ( ) + z ( + ) + ( + ) ( + ), = = 解析 本题考查了级数的绝对收敛判断 由于 ( ) =, 再根据 p 级数得到当 p p p >, 即 p > 4 时, p 收敛, 即 绝对收敛 p ( ) 三 解答题 ( 本大题共 8 小题, 每小题 8 分, 满分 64 分 ) 解析 本题考查极限计算的罗必塔法则 si si cos lim lim lim lim = = = = ta si 6 4 解析 本题考查参数方程的导数以及导数的几何意义 t 根据 e + e = e, 得到 d dt e e 故该曲线在 t = 时的斜率 t= t =, 因此 d e = = d ee ( + e) e 5 解析 本题考查凑微分求不定积分 t d e t d e = dt = e = t t t t d d e + te e ( e + te ) dt + e e e d= d= ( ) d= d( + e ) = l( + e ) + C + e + e + e + e 6 解析 本题考查第二类换元积分法求定积分 令 t e, l( t ), d dt t l e d = t + [ l( )] d= t t+ = l t + 得到 = = + = +, 代入原积分, 7 解析 本题考查平面方程, 可以利用点法式方程计算 r 已知直线的方向向量为 s = (,, ), 平面的法向量为 = (,,), 因为 所求平面过已知直线且垂直于已知平面, 故其法向量为 ur, PDF pdffactor

41 r r r i j k r ur r s = = (,7,5), 又所求平面过已知直线, 必过直线上的 点 (,,), 故所求平面的方程为 ( ) + 7( ) + 5( z ) =, 即 7 5z+ 8= 8 解析 本题考查二元抽象复合函数求偏导 z z = f + f, = 4f + f + f f + f 9 解析 本题考查在直角坐标系下二重积分的计算 D dd = d d = d= d= e 4 e l e e e e l l l 4 e = + l 解析 本题考查二阶常系数线性微分方程的求解以及给定条件 下的特解 设对应齐次方程的特征方程为 r r =, 其特征根 r =, r =, 因此齐 * 次方程的通解为 Y = C + Ce 设原方程的特解为 = Ae, 则 ( ) ( A A) e,( ) 4 A( e ) = + = + 代入原方程, 解得 * * * 为 e A = = Y + = C+ Ce + e, C 4 4 =, 所以原方程的通解为 * 将 (), (), 因此特解 = = 代入通解, 求得 C = =, 从而原方程的特解为 ( ) 4 4 = + + e 四 综合题 ( 本大题共 小题, 每小题 分, 满分 分 ) 解析 本题考查定积分的应用与导数的应用, 即利用定积分求 面积与体积, 利用导数求最值 () 由旋转体的体积公式 PDF pdffactor

42 4 a 5 4 V = π ( ) d= ( a ); V = π ( ) d= πa a 5 4 π 5 4 () 设 V V V ( a ) = + = + π a, 令 V 4 πa ( 5 a) = =, 得区间 (,) 内 的唯一驻点 a =, 当 < a < 时, V > ; 当 a > 时, V <, 因此 极大值点即最大值点, 此时 V = V+ V取得最大值, 等于 解析 本题考查变限函数的导数与不定积分的概念 根据题意对方程两边同时对 求导, 得 5 5 t f () =, 得 tf() t t f( udu ) 5 5 f() t tf () t f() t f () t t f () =, 得 C =, 于是 f( ) = (l+ ) 得 9π 5 t tf( t) tf( ) f( udu ) a = 是 = +, 由于 = +, 再对此方程两边对 t 求导, 得 + = + =, 两边积分, 得 5 f() t l t C = +, 再由 = 五 证明题 ( 本大题共 小题, 每小题 9 分, 满分 8 分 ) 解析 本题考查利用零点定理证明等式 令 F( ) = f( ), 则有 F( ) 在 [, ] 连续, 又因为 F F e F F (), () 4, () () = < = > <, 根据零点定理得在区间 (,) 内 至少有一点, 使 e = 证毕 4 解析 本题考查利用单调性证明不等式 + + F (, ( + ) ' 令 F ( ) = l, 则 F () 在 (,+) 上连续 由于 ) = > 故 () F 在 (,+) 上单调递增, 于是, 当 < < 时, F ( ) < F() =, 即 l < + 即 l +, 又 <, 故 ( )l > ( ) ; 当 时, ( ) F() = F,, 又, 故 ( )l ( ) 综上所述, 当 > 时, 总有 ( )l ( ) 证毕 PDF pdffactor

43 江苏省 年普通高校 专转本 统一考试模拟试卷 ( 三 ) 高等数学答案解析一 选择题 ( 本大题共 6 小题, 每小题 4 分, 满分 4 分 ) 解析 本题主要考查了极限与左 右极限的关系 由于 lim f ( ) = lim + = lim = lim = = +, 所以 = + a lim + f ( ) = l[ + ( )] lim + a = + a +, 故 a = 故正确答案为 A 解析 本题考查了函数间断点的分类 由于 + lim f( ) = lim = lim = f() 故正确答案为 B 解析 本题考查了函数在一点连续 可导的概念 函数 f () 在 = α lim + lim + = f ( ) f () =,, 故 = 是可去间断点 处连续, 有 α lim f ( ) = lim cos =, 故必有, 所以 > + α ; 由于函数 () + f 在 = 处不可导, 说明 α lim cos 不存在, 故只要 + 上可知 < α, 故正确答案为 B 4 解析 本题考查原函数的概念以及不定积分的计算, 所以 由于 f ( ) = ( l ) = l +, f ( ) d = l + C α, 即 α 综 f ) d = f ( ) f ( ) d = l + + C ( 故正确答案为 C 5 解析 本题考查级数敛散性的判断 PDF pdffactor

44 a a = = = a + + 根据根值判别法, 得 lim u lim ( ) lim, 因此当 a < 时, 级数收敛, 当 a > 时, 级数发散, 当 a = 时, 根值判别法失效, 但此 时有 limu = lim( ) = lim = + ( + ) e 件得当 a = 时, 级数发散 故正确答案为 D 6 解析 本题考查二元函数求偏导 z l( ) ( ) + 由于 z = + = C, 所以根据级数收敛的必要条 z, 所以 (,) =, 故正确答案为 二 填空题 ( 本大题共 6 小题, 每小题 4 分, 满分 4 分 ) 7 解析 本题考查重要极限 因为 si( ) si( ) si( ) lim = lim ( + ) = lim ( + ) = = ( )( + ) 8 解析 本题考查了两向量的垂直 α = {,4,, } β = (,, k) 互相垂直, 得 α β = + 4 k = k = 5 9 解析 本题考查变限函数的函数值 + f tdt 对 () = 两边求导, 得 f( + )(+ ) =, 令 解析 本题考查可分离变量的一阶微分方程 =, f () = d d 4 将方程化为 =, 两边积分, 得 d d = l = ( + ) d= [l + l C ] C = l ( 4) = C 解析 本题考查了二重积分积分次序的转化 PDF pdffactor

45 根据题意知积分区域为 D : e e e e l d (, ) (, ) f d = d f d e, 看成 e D : l, 所以 解析 本题考查幂级数的收敛半径, 即利用系数模比值法 根据题意得 lim a a + a lim a lim a + a+ R + = R, 于是在级数 a ( ) 中有 = =, 所以级数 a( ) 的半径为 R 三 解答题 ( 本大题共 8 小题, 每小题 8 分, 满分 64 分 ) 解析 本题考查极限计算的罗比塔法则 l + lim( ) lim lim = = = lim = lim = l ( )l l l + + l+ + 4 解析 本题考查隐函数的求导 对方程两边求导 e + ( ) e + e + e ( + ) = e, 把, 得 () = 5 解析 本题考查第二类换元积分法求不定积分 令 t, t, d tdt = = =, 代入原积分 = = 代入 t+ d= tdt = dt = t l t+ + C = l + + C + + t + t 6 解析 本题考查利用导数求变限函数的最值 由于区间 [ ] l, 上 I ( ) = >, ( ) ( ) I 为单调递增函数, 即 I () 为最大 值 e lt e lt e e I() = dt = l td( ) = e + dt e ( t ) e t t e t t PDF pdffactor

46 t e e+ e = + l l l( ) e = + = + e e e t e+ e + e 7 解析 本题考查平面方程, 关键是求出平面的法向量 r 4 + z 由于所求平面通过直线 5 r 向向量 s = (5,,) r r r i j k r r uuur 此有 s AB = 5 = (8, 9, ) = =, 所以法向量 r 垂直于直线的方, 设直线上一点为 B(4,,), 则有 AB = (, 4,), 因 4 r, 平面的方程为 uuur 8( ) 9( ) ( z ) + =, 即 8 9 z 59= 8 解析 本题考查二元抽象复合函数求偏导 z z = f + e f, = 4f e f 9 解析 本题考查在直角坐标系下二重积分的计算 D 7 dd = d d= d = ( ) d = 64 5 解析 本题考查函数的极限存在性与函数在一点的连续性判断 由于 a + e a lim f( ) = lim b= lim( b) = b, lim = lim = a, si lim f( ) 存在, 所以有 b= a; 又因为 f( ) 在 = 连续, lim f( ) = lim f( ) = f() = b, 即 + b= a = b, 从而解得 a =, b= 4 4 根据题意知 则有 四 综合题 ( 本大题共 小题, 每小题 分, 满分 分 ) 解析 本题考查二阶常系数线性方程 的求解 根据题意得特征方程 r + 4r+ 4=, 其特征根 r = r =, 则对应的齐次 方程通解为 Y ( C Ce ) = + 当 ( α + ) * α 时, 令 = Ae α, 代入原方程得 A =, 故原方程的通解 PDF pdffactor

47 Y C Ce e α ( α + ) * 为 = + = ( + ) + 当 ; * α = 时, 令 = B e α, 代入原方程得 * = + Y = ( C+ Ce ) + e α B =, 故原方程的通解为 解析 本题考查及定积分的应用及导数的应用, 即利用定积分 求面积与体积与利用导数求最值 k k π k ( ) ( ) ( ) π a π k π V( a) = ( e ), lim V( k) = lim ( e ) =, k + k + π a π V( a) = lim V( k), 即 ( e ) = a= l k + 4, () 根据题意得 V k = π f d= π e d= e 所以有 要使 () 设切点为 (, e ), 切线斜率为 k = f ( ) = e, 则切线方程为 e e = ( ), 令 =, 得 = + ; 令 =, 得 ( ) e = + 切线与坐标轴所围图形面积 S ( ) = ( + ) e, 对 求导, 得到 S ( ) e =, S ( ) e =, 令 S =, 得 =, = ( 后者舍去 ), 又因为 S () = e <, 所以 S () 为极大值, 也为最大值, 所求切点为 (, ) e, 最大面积为 S = e 五 证明题 ( 本大题共 小题, 每小题 9 分, 满分 8 分 ) 解析 本题考查利用导数判断函数的最值来证明不等式 令 f ( ) =, [,] f ( ) =, ( ) = 证毕 ', f ( ) = =, = ±, f ( ) =, f ( ) =, f, 所以 = f, mi f, 故 f ( ), 即 ma = 4 解析 本题考查利用零点定理证明根的存在性 4 证明 : 令 f( ) = + 4, 由于 ( ) f 在 [ ], 上连续, 又因为 f() =, f() =, f() f() <, 根据零点定理, 得到至少在 (,) 内存在 PDF pdffactor

48 4 一个点, 使得 f( ) =, 即方程 + 4 = 至少一个正根 再假设方程有两个正根,, 即 f( ) = f( ) =, 又由于函数 ( ) [, ] 内连续可导, 根据罗尔定理, 在 (, ) 得 f ( ξ ) 4 f 在 内至少存在一个点 ξ, 使 =, 即有 4ξ + 4=, 与之矛盾, 所以假设不成立 所以方程 + 4 = 只有一个正根 证毕 PDF pdffactor

49 江苏省 年普通高校 专转本 统一考试模拟试卷 ( 四 ) 高等数学答案解析 一 选择题 ( 本大题共 6 小题, 每小题 4 分, 满分 4 分 ) 解析 本题主要考查了函数奇偶性的概念与复合函数的求值运 算 由于 f ( ) 为奇函数, g( ) 为偶函数, 所以 f ( ) = f ( ), g( ) = g( ) 从而 f [ g( )] = f [ g( )], g[ f ( )] = g[ f ( )] = g[ f ( )], f [ f ( )] = f [ f ( )] = f [ f ( )],, 故 f [ f ( )] 是奇函数 故正确答案为 C 解析 本题主要考查了无穷小比较的概念和罗必达法则 ( a + b + ) 根据题意 lim =, 由洛必达法则, 得 = e 所以有 lim( e a b) = b = e (a + b) =, 得 = e e a b lim ( a + b + ) b 否则 lim = lim, 与条件矛盾 类似地可知 lim [ a] = a =, 得 a = 故正确答案为 A 解析 本题考查函数的连续性, 变上限定积分函数的性质及求极 限的基本方法 e 由于 t lim f( ) = lim ( e ) dt 故正确答案为 A 9 ( e ) = lim 9 = lim = 9 = f() = a 4 解析 本题考查函数的可导性以及函数的极值的判断 PDF pdffactor

50 由于 f( ) = =, + < > f( ) f() ( ) () () lim lim f f f, () lim lim + = = = f + + = = = 两者不相等, 所以函数 f( ) 在 = 不可导 ; 又因为当 < 时 f ( ) = > ( ), 当, > 时 f ( ) = < ( ), 所以 = 是 f( ) 的极小 值点 故正确答案为 B 5 解析 本题考查判断级数的绝对收敛的判断 根据 p - 级数知只有选项 D 是绝对收敛的, 因为 p = >, 故正确答案为 D 6 解析 本题考查二阶常系数线性方程的求解 ( ) = 中, 根据题意得特征方程为 r + r+ =, 特征根为 r =, r =, 故相应 * 的齐次方程的通解为 = ce + ce, 显然 个通解, 故正确答案选 B = 为 + + = 二 填空题 ( 本大题共 6 小题, 每小题 4 分, 满分 4 分 ) 7 解析 本题考查了重要极限 + lim( ) = lim( + ) = e 的一 8 解析 本题考查定积分化简计算 即利用积分区间的对称性和被 积函数的奇偶性 ( ) d= d d, 由于函数 是奇函数, PDF pdffactor

51 所以 4 =, 再根据定积分的几何意义得到 9 解析 本题考查二元函数求偏导 对方程 z z = + 4 z z z z z z+ + 4z = + + = 两边求导, 得 解析 本题考查变限函数的导数 根据题意得 F ( ) = e e 4 解析 本题考查二重积分的积分次序转化 π = d, 所以 根据题意知积分区域为 DU D, 其中 D:, D:, 改 写成 D:, 所以 d f( d, ) + d f( d, ) = d f( d, ) 解析 本题考查幂级数的收敛域, 即利用系数模比值法 设 t =, 则级数变为 ( ) t +, 其收敛半径为 ( ) R= lim + = lim + = 当 + ( ) + + = 时,, 则原级数在 t = < ( 即 < < ) 内收敛 ( ) ( ) ( ) = ( ) = ( 发散 ); 当 ( ) ( ) ( ) ( ) = () = = 时, ( 收敛 - 莱布尼茨判别法 ); 综上, 收敛域为 (,] 三 解答题 ( 本大题共 8 小题, 每小题 8 分, 满分 64 分 ) 解析 本题考查极限计算的罗比塔法则以及等价无穷小的替换 PDF pdffactor

52 si si si lim( ) = lim = lim = lim 4 si si 4 cos 4si = lim = lim = 4 4 解析 本题考查参数方程的求导 解 : d t d dt e si t d = = = ta t, ( d d) t sec t = = = t t t d d e cost d d dt e cost e cos t dt 5 解析 本题考查凑微分法求不定积分 si d= si ( cos d ) = ( cos d ) cos= cos+ cos d+ c 6 解析 本题考查换元积分法和分部积分法求定积分 令 t, t, d tdt = = =, 代入原式, 得到 e d e t tdt tde t te t t t edt e e = = = ( ) = ( ) = 7 解析 本题考查平面方程, 关键是求出平面的法向量 r 设所求平面的法向量为 r, 平面 uur 5+ z = 的法向量为 = (,5,) r r r i j k r ur uur = = (,,5) 5 ( ) ( ) 5( z ) ur + = 的法向量为 = (,,), 根据题意得, 因此平面的方程为 + =, 即 + 5z 4= 8 解析 本题考查二元抽象复合函数求偏导, 平面 z z = f f, = f + f + f f f f 9 解析 本题考查在极坐标系下二重积分的计算 令 rcos θ, rsiθ D = =, 则圆的极坐标方程是 r = acosθ, 所以 π π 4 acosθ r acosθ dd = dθ rcosθ rsi θ rdr = [ cosθsi θ] dθ PDF pdffactor

53 6a a = 4 = = 6 4 π π cos θ siθdθ 4a cos θ 解析 本题考查变限函数的导数以及一阶线性微分方程的求解 根据题意对方程两边同时求导, 得 f ( ) + f( ) =, 根据一阶线性微 分方程的通解公式, 得 f( ) = e ( e d+ C) = Ce + 在原方程中, 令 = 得 f () =, 代入通解中, 得 f = e + 为 ( ) 四 综合题 ( 本大题共 小题, 每小题 分, 满分 分 ) 解析 本题考查函数的间断点概念以及分类 显然函数由三个间断点 : =, =, = C =, 故所求函数 由于 lim =, 所以 = 为第二类间断点中的无穷间断点 ; 由于 4 lim = lim( + ) = 4 f() 间断点 ;, 所以 = 为第一类间断点中的可去 lim lim = =, 4 lim = lim( + ) = + 由于 第一类间断点中的跳跃间断点, 两者不等, 所以 = 为 解析 本题考查定积分的应用以及一阶齐次微分方程的求解 由旋转体的体积公式 Vt () = π f ( d ), 依题意, t π π f ( d ) = [ t f() t f()] t, 两边对 t 求导, 得 = + d d f () t tf () t t f () t 将上式改写为 =, 即 = ( ), 令 d d du = u+, 代入前式, 得 u+ du = u u du = d d d uu ( ) u 积分得 =, 代入原变量, 得通解 u C = C, u =, 则 PDF pdffactor

54 9 把已知条件 = = 代入通解中, 定出 C =, 从而所求的解为 = 五 证明题 ( 本大题共 小题, 每小题 9 分, 满分 8 分 ) 解析 本题考查利用函数的极值与最值来证明不等式 f ( ) = =, 再令 f ( ) f () =, f() e = e, f ( ) = +, 所以 () e e 令 f( ) = l, 有 即有 l e 证毕 = 得 =, 因为 f 为最小值, f() e 为最大值, 4 解析 本题考查利用介值定理与罗尔定理证明等式 由于函数 f( ) 在 [, ] 连续, 则 f( ) 在 [, ] 上必有最大值 M 与最小值 m 所以也有 m f() M, m f() M, m f() M, 因此 f() + f() + f() m M f() + f() + f() f() c, 根据介值定理, 存在一点 c (,) 使得 在 (,) 证毕 = =, 因此有 f() = f() c =, 函数 ( ) f 在 [,] c 连续, =, c 内可导, 再根据罗尔定理, 必存在 ξ (,) c (,), 使得 f ( ξ ) PDF pdffactor

55 江苏省 年普通高校 专转本 统一考试模拟试卷 ( 五 ) 高等数学答案解析 一 选择题 ( 本大题共 6 小题, 每小题 4 分, 满分 4 分 ) 解析 本题考查了极限计算的罗比塔法则 ( h) h f ( h) f ( h) 利用罗彼塔法则, lim = lim = f () f () = 4 故正确答 案选 C h f h 解析 本题考查变限函数的导数 根据题意 Φ ( ) = si cos= 4 si, 故正确答案选 A 解析 本题考查曲线拐点的判断, 即利用拐点的充分条件 令 由于 ( )( ), + = = = ( + ) ( + ), 得三个点 =, =, =, (, ) (,) (, ) (, +) < > < > 三个拐点 故正确答案选 D 4 解析 本题考查级数的敛散性判断 选项 B 中 + = = ( + ), 由于 以原级数发散 故正确答案选 B 5 解析 本题主要考查了不定积分的概念与性质, 所以曲线有 发散, 所 因为 f ) d = arcta + C (, 所以 f ( ) =, + d = ( + f ( ) ) d = + + C 故正确选项为 D 6 解析 本题考查了利用第二充分条件判断驻点是极值点的方法 PDF pdffactor

56 根据题意, 在点 处有 f ( ) =, ) = 4 f ( ) f, 所以点 是函 ( < 数的极大值点, 故正确答案为 B 二 填空题 ( 本大题共 6 小题, 每小题 4 分, 满分 4 分 ) 7 解析 本题考查极限的基本求法 根据题意得 lim( a + 4) =, 即 a = 4, 所以 ( )( + )( 4) b= lim = lim = + +, 故 a = 4, b= 8 解析 本题考查原函数的概念以及定积分的计算 l 根据题意 f( ) = ( e ) = e, f(l ) e = = 4 = d = =, 代入 f (l ) 9 解析 本题考查向量的点积以及叉积 r r r i j k r r r r r 根据题意 a b= = ( 8, 5,),( a b) c= ( 8) + ( ) ( 5) + = 解析 本题考查定积分化简计算 即利用积分区间的对称性和被积函数的奇偶性 d ( ) 4 d= 4 d 4 d, 由于函数 4 是奇函 数, 所以 4 d = π 4 =, 再根据定积分的几何意义得到 解析 本题考查二元函数的全微分 由于 (,) (,) z = e + e + l( + ), z = e +, z =, ez = e+ +, 所 以 dz (,) = ed+ ( e+ ) d PDF pdffactor

57 解析 本题考查幂级数的收敛域, 即利用系数模比值法 设 t =, 则级数变为 ( ) t, 其收敛半径为 ( ) a lim lim + R= = = lim = a + ( ) + + ( + ) t = < ( < < 6) 时, 得交错级数, 于是原级数在 即内收敛 当 = 时, 得调和级数 发散 ; 当 = 6 ( ) 收敛, 所以原级数的收敛域为 ( ],6 三 解答题 ( 本大题共 8 小题, 每小题 8 分, 满分 64 分 ) 解析 本题考查重要极限 + 4 lim( ) = lim( + ) = lim[( + ) ] = e 4 4( + ) 解析 本题考查隐函数的求导 对方程 l l + = 两边求导, 得 + + ( ) =, 把 = e, = e代入上式, 得 d d = e e = = e 5 解析 本题考查函数在一点的导数 由于 f( ) 在点 = 处可导, 则必有 f () = f (), 即 + a f( ) f() f( ) f() b(+ si ) + a+ e lim = lim lim = lim + + a bsi+ b+ a+ e lim = lim = a, 从而得到 b a, b a + a = b= 6 解析 本题考查分部积分法求定积分 + + = =, 即 PDF pdffactor

58 d d d + arcta = arcta ( ) = arcta π + = d= π ( arcta ) = π 解析 本题考查直线方程, 关键是求出直线的方向向量 s r 根据题意得直线的方向向量 r s 垂直于平面 π : + z = 的法向量 ur = (,, ) r r r i j k r ur uur s = = = (,,), 也垂直于平面 : z π + = 的法向量 = (,, ), 所以, 故所求直线的方程为 8 解析 本题考查二元抽象复合函数求偏导 uur + z = = z z = f + f, = f + f + f + f + 4f 9 解析 本题考查在直角坐标系下二重积分的计算 D ( ) = = e dd d e d e d, 令 t = t t t e tedt te edt ( ) = ( ) + = =, 上式为 解析 本题考查一阶齐次线性微分方程的求解 原方程变为 程, 得 d + + ( ) d = =, 令 u =, 则 d d du + u du d u udu u l C d u d u du = u+, 代入原方 d + = = = = +, 将 u = 代入 上式, 得通解 = (l + C), 把已知条件 = = e e代入通解中, 定 出 C =, 从而所求的解为 = (l + ) 四 综合题 ( 本大题共 小题, 每小题 分, 满分 分 ) 解析 本题考查定积分的应用( 求面积与体积 ) PDF pdffactor

59 () () S = ( + ) d+ ( ) ( ) + d= + + ( ) = 5 46π V = π ( + ) d= π( + ) = 5 5 解析 本题根据条件求出一阶线性微分方程, 再根据公式求解 对 ( ) e f (, ) ( ) = e f (, ) + e f (, ) + e f (, ) = 两边求导, 得 u v 因为 f ( uv, ) f ( uv, ) uv u + =, 所以 e f (, ) + e f (, ) = e, 即得到关于 v u 的一阶微分方程 + = e, 代入通解公式得到 = e [ e e d+ C] = ( + Ce ),( C 为任意常数 ) d d 五 证明题 ( 本大题共 小题, 每小题 9 分, 满分 8 分 ) 解析 本题利用单调性证明不等式 v 令 f( ) = +, 求导 f ( ) = =, 由于 >, 则有 >, 即当 > 时, f( ) 单调递增, 所以有 f( ) > f() = 证毕 f ( ) 4 解析 本题利用分部积分法证明等式的证明 b b b 由于 b f( ) f ( d ) = f( ) df( ) = f ( ) f( )( f( ) + f ( d ) a a a a b b a a = bf ( b ) af ( a ) f ( d ) f ( ) f ( d ) b 根据条件 f( a) = f( b) =, f ( d ) =, 所以 ( ) ( ) a f f d =, 即 a b f ( ) f ( d ) = a 证毕 b PDF pdffactor

60 江苏省 年普通高校 专转本 统一考试模拟试卷 ( 六 ) 高等数学答案解析一 选择题 ( 本大题共 6 小题, 每小题 4 分, 满分 4 分 ) 解析 本题考查变限函数的导数以及极限的等价无穷小的替换 由于 = lim 确答案为 C l( + t) dt a k l( + = lim k ak ) = lim ak k 得 k = 4, a = 故正 解析 本题考查函数渐近线的判断 因为 lim f ( ) =, lim f ( ) =, lim f ( ) =, lim f ( ) =, 所以曲线 = f() 在 (, ) + + 上有 条垂直渐进线, 条水平渐进线 故正确答 案为 D 解析 本题考查复合函数的求导 = sec, π sec = π = ta π ta 4 4 故正确答案为 B 4 解析 主要考查了级数的条件收敛 选项 B 中, 因为 ( ) = 发散, 但根据莱布尼兹定理, 知交错 级数 ( ) 收敛, 所以 是条件收敛 故正确答案为 D ( ) 5 解析 主要考查了分部积分法求定积分 b a ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ b b ( ) ( d ) = ( d ) [ ( )] = [ ( )] a = [ ( b) ( a)] = [ a b ] a 故正确答案为 A 6 解析 本题考查变限函数的导数和函数极值的判断, 故 PDF pdffactor

61 因为 f ( ) = ( ), 所以 f ( ) = ( ) = 的点只有两个 =, = f 在 = 由于 ( ) = ( ) 极值点, = 是极值点 故正确答案为 B, 两侧同号, 在 = 两侧异号, 所以 = 不是 二 填空题 ( 本大题共 6 小题, 每小题 4 分, 满分 4 分 ) 7 解析 本题考查了无穷小量的性质 由于 lim =,si, 根据无穷小量与有界变量的乘积还是无穷 + 小量, 得 lim si = + 8 解析 本题考查了向量的模以及点积 a r π b r = ( a r b r )( a r b r ) = a r a r ab r r + bb r r = a r ab r r cos + b r = 7 4 r r a b = 7, 所以 9 解析 本题主要考查了曲线相切的概念及导数的几何意义 两条曲线相切, 则切点是两条曲线的公共点, 且两条曲线在切点处的 切线斜率相等 设 是切点的横坐标, 则 = e, 从而 a = = e a = l, a =, 解析 本题考查不定积分的概念与性质 对 f( d ) = l + c 两边求导, 得 f f d c ( ) = ( ( ) ) = ( l + ) = (l + ) 解析 本题考查二元函数的积分次序的转化 故 l =, 即 根据题意知积分区域为 DU D, 其中 D:, D:, 改成 PDF pdffactor

62 D :, 所以 d f( d, ) + d f( d, ) = d f( d, ) 解析 本题考查幂级数的收敛域, 即利用系数模比值法 由于级数的收敛半径为 + ( ) + ( ) a + R= = == = + lim lim lim a + + ( ) ( ) + < < 内收敛 当 得交错级数 + = + ( ) ( ) 时, 得级数 + ( ) ( ) 发散 所以原级数的收敛域为 三 解答题 ( 本大题共 8 小题, 每小题 8 分, 满分 64 分 ) 解析 本题考查重要极限以及函数的导数 + t t+ t t f() t = lim t( ) = tlim( ) = tlim( + ) t t t t t t t = tlim[( + ) ] = te t t t, 所以 f () t e t te 4 解析 本题考查隐函数的求导 t = +, 于是原级数在 收敛 ; 当 = 时,, 对方程两边求导, 则有 = l +, 把 =, = 代入得 d d = (,) 5 解析 本题考查不定积分的计算 + d= d= ( + ) d d= + l + + c 解析 本题考查分部积分法求定积分 PDF pdffactor

63 f( d ) f( d ) f( ) f ( d ) = = t g g t = si si f() si cos (cos ) d = dt d = + = 7 解析 本题考查平面方程, 关键是求出平面的法向量 r r 因为平面平行于 轴, 所以 j = (,,), 又因为平面过点 A 与 B, 所 r uuur 以必有 AB = (,7, 4) r r uuur 面的方程为 4( ) ( 5) ( z ) r r r i j k, 于是 j AB = = ( 4,, ), 因此平 =, 即 + z = 8 解析 本题考查二元抽象复合函数求偏导 z z = f + f + ϕ, = f + f + f + 4ϕ 9 解析 本题考查在直角坐标系下二重积分的计算 D 9 9 ( dd ) = d ( d ) = ( 4+ ) d = ( + ) = ( ) 4 4 解析 本题考查一阶齐次线性微分方程的求解 原方程可改写为 令 u =, 则有 即 u l( l C) d d =, 将 = e +, 是齐次微分方程 du u u u e u e du d d u C u + = + =, 两边积分得 l e = + C, = 代入, 得到 = l( l ), 由初始条件 = = 可得 C =, 故所求特解为 l( l ) = 四 综合题 ( 本大题共 小题, 每小题 分, 满分 分 ) 解析 本题考查定积分的应用 ( 求面积与体积 ) 5 π π V () = π (4 ) d = = PDF pdffactor

64 () 由题意得到等式 : ( ) d = 化简得 : a d = a d a a ( ) d, 解出 a, 得到 : a =, 故 a = 解析 本题考查二阶常系数线性微分方程的求解以及求广义积 分 设对应齐次方程的特征方程为 r + 4r+ 4=, 其特征根 r = r =, 因此 齐次方程的通解为 Y = ( C+ Ce ), 由初始条件得 C =, C =, 因此 微分方程的特解为 e =, 所以有 d e d e d e ( ) = = ( ) = ( ) = 五 证明题 ( 本大题共 小题, 每小题 9 分, 满分 8 分 ) 解析 本题利用导数定义证明等式 由于 f( a) af( ) f( a) af( a) + af( a) af( ) lim = lim a a a a ( a) f( a) f( ) f( a) = lim a lim f( a) af ( a) a a a a 4 解析 本题利用单调性证明不等式 令 F( ) si = 证毕 =, 有 F ( ) = cos, 因此当 < < 时, 有 F ( ) >, F () 单调递增, 所以 F( ) = si > F() =, 即 > si 再令 cos si 有 G ( ) π si G ( ) =, π =, 令 H( ) = cos si, 因为当 < < 时, H ( ) = cos si cos= si<, 所以 H( ) H( ) < H() =, G ( ) 即 si π > 证毕 <, 因此 G ( ) 单调递减, 所以 单调递减, 则有 G ( ) > G( π ) = π PDF pdffactor

65 江苏省 年普通高校 专转本 统一考试模拟试卷 ( 七 ) 高等数学答案解析 一 选择题 ( 本大题共 6 小题, 每小题 4 分, 满分 4 分 ) 解析 本题考查了重要极限 + a b+ a a+ b lim( ) = lim( + ) = e = b b, 故正确答案选 D 解析 本题考查导数的定义, 即通过导数的定义来构造极限 f(+ si ) f( ta ) lim si f(+ si ) f() ( ta ) f( ta ) f() = lim lim si ( ta ) = f () + f () = 5 f () = 5, 故正确答案选 C 解析 本题考查了拐点的必要条件和充分条件 由点,) 解得 ( 在曲线上和拐点处的二阶导数为零, 得 9 =, b = a + b =, 6a + b =, a 由于 = 9( ), 所以当 (,) 时, > (, +) 时, < 为 A,, 即点 (, ) 确实是 = a + b 的拐点 故正确答案 4 解析 本题考查了幂级数的展开式 即利用级数! 的和函数为 e 由于! = e, 把级数 ( )! 与级数! 作比较, 显然 ( )! 的和函数为 e, 故正确答案选 A 5 解析 本题考查了隐函数的求导 导数的几何意义 在方程 si + l( ) = 两端关于 求导, 将 看成 的函数, 得 PDF pdffactor

66 将 =, = ( + ) cos + = 代入, 得 ( ) =, 故所求的切线是过点 (, ) 斜率为 的 直线, 方程为, 即 = + 故正确答案为 B = 6 解析 本题考查二重积分的积分次序的转化 根据题意可以画出区域 D :, 可改成 D:, 所以 d f( d, ) = d f( d, ), 故正确答案选 D 二 填空题 ( 本大题共 6 小题, 每小题 4 分, 满分 4 分 ) 7 解析 本题考查变限函数的导数以及利用罗比塔法则求极限 t ( ) ( ) e dt e lim = lim = lim = cos si 8 解析 本题考查函数的间断点分类 显然函数 f( ) = ( ) ( + ) 的间断点有 =, =, =, 由于 ( ) lim f( ) lim ( + ) = =, 所以为 = 为无穷间断点 9 解析 本题考查利用向量积求三角形面积 i j k uuur uuur ABC = AB AC = = (4, 6,) = 4 4 解析 本题考查二元函数的全微分 z = = =, z = =, z =, z = = + + =, 所以 dz = = d + d 解析 本题考查可分离变量微分方程的求解 由于原方程可以变为 d = d, 两边积分 d = d, 于 PDF pdffactor

67 是 l l C =, 所以微分方程的通解为 = Ce 解析 本题考查幂级数的展开式 即利用已知函数展开式 f( ) = 的 + 因为函数 f( ) = + 的展开式为 ( ),( < < ), 于是函数 ( ) f( ) = = = ( ) ( ) =,( < < ) + + +, 所以级数的 ( ) = 系数为 a + 三 解答题 ( 本大题共 8 小题, 每小题 8 分, 满分 64 分 ) 解析 本题考查极限计算的罗比塔法则 e e e lim( ) = lim = lim = lim = ( ) e e e + e e + e 4 解析 本题考查变限函数的极值 令 f ( ) = l, 得 =, 因为 f () = >, 所以 = 为极小值点, 则 有极小值为 f() = l tdt = (l t t t) = ( l ) = (l ) 5 解析 本题考查抽象函数的求导 + g ( ) = f ( ) ( ), 所以 g () = arcta = π 6 解析 本题考查换元积分法求定积分 8 d = t, = t, d = t dt, = + t + t dt = l 7 解析 本题考查直线方程, 可以利用点向式 ur uur = (,, ), = (,,) 直线 L, L 的方向向量为 s s, 则所求直线的方向向量 PDF pdffactor

68 r r r i j k r ur uur s = s s = = (,,5), 故所求直线的方程为 8 解析 本题考查二元抽象复合函数求偏导 + z = = 5 z = f ', z = f + ( f + f ) = f + f + f ' '' '' ' 9 解析 本题考查在极坐标系下二重积分的计算 令 rcos θ, rsiθ D = =, 则圆的极坐标方程是 r =, 所以 + + dd π r π π π = dθ (l( )) dr = + r dθ = ldθ = lθ = π l + r 解析 本题考查一阶线性微分方程的求解 原方程变为 解为 =, 令 P ( ), Q ( ) = =, 代入公式得到方程的通 ( ) d ( ) d l = e [ e d+ C] = e [ d+ C] = (l + C) 四 综合题 ( 本大题共 小题, 每小题 分, 满分 分 ) 解析 本题考查定积分的应用 ( 求面积与体积 ) () 联立方程 于是, = = c c = = ( ) = S c d c () 旋转体的体积, 得到交点坐标为 V π ( ) ( ) d (,),(, ) c c 64 = = π 5 解析 本题考查函数的极值和拐点的判断 因为函数 a b c = 显然满足一阶和二阶可导, 所以它的极值 点 = 是驻点 ( 一阶导数等于零的点 ), 它的拐点 (,) 是二阶导数等, PDF pdffactor

69 于零的点, 因为 上可得 6a, b 6 6a = + + = +, 且 (,) 在曲线上, 所以综 f() = c= f ( ) = 6a+ b= f () = 6a =, 解得 a = b = c = 五 证明题 ( 本大题共 小题, 每小题 9 分, 满分 8 分 ) 解析 本题利用单调性证明不等式 令 f( ) e si = +, 则 ( ) cos f = e + f ( ) = e si, = < < <, 所以 f ( ) 单调递减, 又 f () =, 所以 f ( ) e cos ( ) f ( ) <, 所以 f ( ) 单调递减, 又 f () =, 所以 f ( ) <, 所以 ( ) 调递减, 又 f () =, 所以 f ( ) <, 即当 < < 时, 证毕 4 解析 本题利用二重积分的积分次序转化来证明等式 积分区域 : a b D a 可以改成 : a b D b f 单 e + si< +,, 所以交换积分次序 d f d d f d f d b = ( b ) f( d ) 证毕 a b b b b b ( ) ( ) = ( ) ( ) = ( ) ( ) a a a a PDF pdffactor

70 江苏省 年普通高校 专转本 统一考试模拟试卷 ( 八 ) 高等数学 一 选择题 ( 本大题共 6 小题, 每小题 4 分, 满分 4 分 ) 解析 本题考查一般极限的求法 根据 f ( ) lim = 故正确答案选 C, 因为 lim lim f( ) f( ) =, 所以 解析 本题考查利用导数判断函数的单调性 根据题意得 f ( ) = a + b+ c, 因为 ( ) 在 (, + ) 内 a b c 案选 C f 在 (, ) lim = lim =, f( ) f( ) + 内单调增加, 故有 + +, 所以有 a >, = 4b ac, 故正确答 解析 本题考查原函数以及不定积分的概念 根据题意得 f( ) = (si ) = cos, f ( ) si =, 所以 f ( d ) = si d = d cos = cos cos d = cos si + c, 故正确 答案选 A 4 解析 本题考查幂级数的收敛半径, 即利用系数模的比值法 a + 4 = = + = = a 根据题意级数的半径为 R lim lim lim 答案选 B 5 解析 本题考查两向量的夹角公式 由于直线 l 的方向向量为 s = (,,) ur ur, 且 s = 6, 故正确, 直线 l 的方向向量为 PDF pdffactor

71 r r r i j k uur s = = (,,) ur uur s s cosθ = ur uur = = s s 6 6 uur, 且 s = 6 6 解析 本题考查二元函数求偏导 z = + 由于 ( ) π, 所以两直线的夹角余弦为, 所以 θ =, 故正确答案选 A z =, 所以 = = 故正确答案选 D 二 填空题 ( 本大题共 6 小题, 每小题 4 分, 满分 4 分 ) 7 解析 本题考查极限的无穷小量等价替换 因为 cos cos lim lim lim e k ta( ) k k = = =, 所以 k = 8 解析 本题考查隐函数的求导 + = e + = e = + e ( ) 9 解析 本题考查函数的凹性判断 令 e e e =, = + 4 <, 所以下凹区间为 (, ) 解析 本题考查定积分化简计算 即利用积分区间的对称性和被 积函数的奇偶性 由于 d= d d +, 函数 + 是奇函数, 于是 + π = = + d =, d arcta 所以 + π d = + 解析 本题考查隐函数的求导以及导数的几何意义 对方程两边求导 l + =, 得 l + + =, 把, = = 得 PDF pdffactor

72 切线的斜率为, 所以切线方程为 = ( ) + = f( ) = 的 + 解析 本题考查幂级数的展开式 即利用已知函数 展开式 因为函数 f( ) = + 的展开式为 ( ),( < < ), 于是函数, 所以幂级 + ( ) f( ) = = = ( ) ( ) =, < < + + 数为 ( ), < < 三 解答题 ( 本大题共 8 小题, 每小题 8 分, 满分 64 分 ) 解析 本题考查变限函数的导数以及无穷小量的等价 4 4 costdt costdt cos ( cos ) lim = lim = lim = lim 9 9 si 8 = = lim 9 4 解析 本题考查导数的定义 () () f( ) f() ( )( ) L( ) f () = lim = lim = lim( )( ) L ( ) =! f( ) f() ( )( ) L( ) f () = lim = lim = lim ( )( ) L ( ) =! 5 解析 本题考查隐含数的求导 d d d d + e, d d e + e d d e ( e ( + e ) ( + ) = = ; = 解析 本题考查分部积分法求定积分 + ) PDF pdffactor

73 (l ) d (l ) d [ (l ) l d] 8e 8 l d e e e e e = = = e e e = 8e 8[ l d] = 8e 6e+ 6 = 8e 6 7 解析 本题考查直线方程, 可以利用点向式方程 r uuuur r i i k 平面 Π 的法向量为 OM i = = (,, ), 直线的方向向量 i i k r r r s = i = = (,, ), 直线方程为 z = = 8 解析 本题考查二元抽象复合函数求偏导 z z = cos( ) + ϕ + ϕ, = cos( ) si( ) ϕ ϕ ϕ 9 解析 本题考查在极坐标系下二重积分的计算 令 rcos θ, rsiθ D = =, 则圆的极坐标方程是 r = siθ, 所以 π siθ 8 π 8 π + dd = dθ rdr = si θdθ = (cos θ ) dcosθ 8 π = ( cos θ cos θ) = 9 解析 本题考查二阶常系数非齐次微分方程的求解 设对应齐次方程的特征方程为 r + 5r+ 6=, 其特征根 r r =, =, 则齐次方程的通解为 Y = Ce + Ce, 其中 C, C 为常数, 再设非齐次 * 方程的特解为 = Ae * *, 则 ( ) = Ae,( ) = Ae, 代入原方程, 解得 * A =, 因此特解为 = e *, 所以通解为 Y Ce Ce e = + = + + 四 综合题 ( 本大题共 小题, 每小题 分, 满分 分 ) 解析 本题考查导数的几何意义以及定积分的应用( 求面积与 PDF pdffactor

74 体积 ) () 设切点坐标 A (, ), 而切线斜率 k ( ) = =, 则切线方程 = ( ), 令 =, 得切线与 轴交点为 于是, S = d ( ) =, 得 =, 切点 A (,) () 切线方程 = () 旋转体的体积 = π ( ) π = V d π 解析 本题考查一阶线性微分方程的求解 () 由 = + = + F ( ) f ( g ) ( ) f( g ) ( ) g ( ) f ( ) (,), = + = [ f( ) g ( )] f( g ) ( ) ( e ) F( ) 可见 ( ) () ( ) + ( ) = 4 F 所满足的一阶微分方程为 F F e F( ) = e [ 4 e e d+ C] = e [ 4 e d+ C] = e + Ce d d 4 将 F() = f() g() = 代入上式, 得 C =, 于是 F( ) e e = 五 证明题 ( 本大题共 小题, 每小题 9 分, 满分 8 分 ) 解析 本题考查不等式的证明 ( 利用函数的单调性证明 ) 令 f( ) l( ) = , 因为 l( + + ) 是奇函数, 所以 l( ) + + 是偶函数, 从而 f( ) 是偶函数, 因此只需证明, 当 时 f( ) 首先 f () =, 其次 f = = ( ) l( ) l( ) 于是当 时, f( ) 是递增函数, 所以有 f( ) f() = 证毕 4 解析 本题考查根的存在性 ( 利用零点定理 ) 令 ( ) = + f, [, ], 且 ( ) = > f, f ( ) = <, f ( ) f () <, PDF pdffactor

75 由连续函数零点定理知, () f 在, ) ( 上至少有一实根 证毕 PDF pdffactor

76 江苏省 年普通高校 专转本 统一考试模拟试卷 ( 九 ) 高等数学一 选择题 ( 本大题共 6 小题, 每小题 4 分, 满分 4 分 ) 解析 本题考查无穷小阶的比较 ( ) cos lim = lim = =, 则 a =, 故正确答案选 B l( + a ) a a 解析 本题考查变限函数的导数 Φ ( ) = sil(+ si )cos, 故正确答案选 A 解析 本题考查函数的单调性以及凹性判断 单调减就是一阶导数小于零, 下凹就是二阶导数小于零, 于是 ( ) = e, = ( ) e, ( ) e < > < < ( ) e < < 选 D 4 解析 本题考查了换元积分法求定积分, 故正确答案 因为 u= ) d = f ( ) d = f ( f ( u) du = a, 故正确答案选 C 5 解析 本题考查级数的敛散性判断 根据交错级数的莱布尼兹定理知, 故正确答案选 D 6 解析 本题考查利用导数求函数的最值 令 = = =, 得 =, = 4, 又因为 f ( ) a a a( 4) f() = b, f(4) = a+ b, f( ) = 7a+ 7, f() = 6a+ b, 显然 f () b, f (4) a b 9 ma = = = + =, 所以 a =, b= 故正确答案选 C mi 二 填空题 ( 本大题共 6 小题, 每小题 4 分, 满分 4 分 ) PDF pdffactor

77 7 解析 本题考查重要极限 + lim( ) = lim( ) = lim( + ) = e = e = e lim lim 解析 本题考查导数的定义, 即通过导数的定义来构造极限 由于极限中的 只是一个字母, 一个无穷小而已, 如同原始定义中的 一样, 从极限分子中可以看出自变量改变了 ( + ) ( ) =, 于是 f( + ) f( ) f( + ) f( ) lim = lim = f () = 6 9 解析 本题考查定积分化简计算, 即利用函数奇偶性与积分区间的对称性 si+ si si d= d+ ta d= ta d= (sec ) d π π π π π π π π 4 cos 4 cos 4 π π 4 = (ta ) = 解析 本题考查向量坐标的加法 减法以及叉乘运算 r r r r 由已知可得 a+ b = (,4,), a b = (,, ) r r r i j k r r r r ( a+ b) ( a b) = 4 = ( 4,, 8), 则 解析 本题考查二元隐函数的求偏导, 可以构造三元函数 z z 根据题意, 令三元函数 F( z,, ) = e + z, 于是有, 代入公式得 F z z = = F + z z e F z F = e + = z 解析 本题考查幂级数的收敛域, 即利用系数模比值法, PDF pdffactor

78 由于级数的收敛半径为 a lim lim + R= = = lim = a + ( + ) 级数在 < < 内收敛 当 = 时, 得交错级数 时, 得级数 发散, 于是原级数的收敛域为 [,) ( ), 所以 收敛 ; 当 = 三 解答题 ( 本大题共 8 小题, 每小题 8 分, 满分 64 分 ) 解析 本题考查极限计算的无穷小量等价替换和罗比塔法则 e e e e e e e + e lim = lim = lim = lim = 9 + si si 4 解析 本题考查间断点的概念以及分类 显然函数有间断点为 =, = 由于 点 由于 lim f( ) = lim = e, 所以 = lim f( ) = lim =,lim f( ) = lim = e e + + 断点中的跳跃间断点 为第二类间断点中的无穷间断 5 解析 本题考查变限函数的导数与隐函数的导数 对方程 求导, 得 t e dt + si tdt = 两边求导, 得 e, 所以 = 为第一类间 + si =, 再继续两边 + si + 4 cos =, 即 = e 6 解析 本题考查换元积分法求不定积分 令 = t, = t, d= tdt, d si + 4 cos d e t 4 d= tdt = + c t PDF pdffactor

79 7 解析 本题考查直线方程, 可以利用点向式方程 = + t uur 设直线 = t的方向向量为 s, 平面 + z = 的法向量为 uur, 则 z = t uur uur s = (,, ), = (,,), 设所求直线的方向向量为 r s, 则 r r r i j k r uur uur s = s = = (,7,), 于是所求直线方程为 8 解析 本题考查二元抽象复合函数求导 + z = = 7 z z = f + f, = f + f + f + f + f 9 解析 本题考查在直角坐标系下二重积分的计算 D 4 ( + dd ) = d ( + d ) = ( + ) d= ( ) d = 解析 本题考查一阶线性微分方程的通解计算 cos cos ( ) ( ) 原方程变为 + = ( ) ( ), 令 P ( ) =, Q ( ) = 方程的通解公式得, 代入 d d ( ) cos ( ) l( ) cos si [ ] [ ( ) ] + C = e e d+ C = e d+ C = 四 综合题 ( 本大题共 小题, 每小题 分, 满分 分 ) 解析 本题考查导数的应用与定积分的应用( 求面积与体积 ) () 令 = ( + )( ) = = ± = 6 = = PDF pdffactor

80 (, ) > < 极大值点 (,) < < 拐点 (,) < > 极小值点 (, +) > > 草图略 4 46 V = π ( + ) d = π 5 4 () S ( + ) d = ( + ) = 4 () = 解析 本题考查原函数的概念以及二阶齐次微分方程的求解 根据题意得对应的齐次方程的特征方程为 r + 4r+ 4=, 特征根为 r r = =, 则通解为 Y = ( C + Ce ) *, 设原方程有特解为 代入方程得到 A, B 9 7 * = Y + = ( C+ Ce ) + ( + ) e 9 7 = =, 所以通解为 五 证明题 ( 本大题共 小题, 每小题 9 分, 满分 8 分 ) 解析 本题考查函数的导数定义 证明 : tf() tdt Φ( ) Φ() tf() tdt () lim lim Φ = = = lim = f( ) f( ) f() = lim = lim = f () ( ) 证毕 = ( A+ Be ), 4 解析 本题考查不等式的证明 ( 利用函数的单调性证明 ) 设 f( ) 4l ( ) = +, f = +, 则 f ( ) 4l 4 4 ( ) =, 因为 < <, 所以 f ( ) >, 即有 f ( ) 在区间 (,) 内单调增加, 所以 f ( ) f () > =, 从而 f( ) 在区间 (,) 内单调增加, 因而有 f( ) f() 即有 f( ) = 4l ( + ) >, 证毕 > =, PDF pdffactor

81 江苏省 年普通高校 专转本 统一考试模拟试卷 ( 十 ) 高等数学答案解析 一 选择题 ( 本大题共 6 小题, 每小题 4 分, 满分 4 分 ) 解析 本题考查导数的定义以及极限的无穷小等价 由于 [ f( ) f()] [ f( ) f()] [ f( ) f()] lim = lim = lim = f () = cos 所以 f () =, 故正确答案选 D 解析 本题考查了判断函数极值点和拐点的充分条件 注意图像中只有当一点两侧的一阶导数异号时, 此点才是函数的极值 点 ; 只有当一点两侧的一阶导数的单调性不同时, 此点才是函数的拐 点 由此从图上可以看出 : =, = 分别是函数的极大值点和极小值 点, 函数的三个拐点一个是 =, 另外两个分别介于, 之间和, 之间 故正确答案为 A 解析 本题考查不定积分的概念与性质 由于 A f (l ) l d f (l d ) (l ) f (l ) c e = = + = + c = + c, 故正确答案选 4 解析 本题考查级数敛散性的判断 根据 p 级数知道选项 C 对的, 因为 选 C p =, >, 是收敛的, 故正确答案 5 解析 本题考查叉积的模 r r r i j k r r 由于 a b = = (,5, 4) = 5, 故正确答案选 B 4 6 解析 本题考查二重积分积分次序的转化 PDF pdffactor

82 U 其中 :, : 4 改成 根据题意知积分区域为 D D 4, D D D :, 所以 故正确答案选 B 4 4 d f ( d, ) d f ( d +, ) = d f( d, ), 二 填空题 ( 本大题共 6 小题, 每小题 4 分, 满分 4 分 ) 7 解析 本题考查连续的定义域极限的罗比塔法则 根据题意 f( ) f ( ) lim = lim = 8 解析 本题考查导数的几何意义 根据题意得 k f ( ) f( ) + f ( ) =, 由于 f( ) 在 = 处连续, 所以 f () = =, 所以 ( ) ( ) ( )( ) = k+ f = f +, 9 解析 本题考查定积分化简计算 即利用积分区间的对称性和被 积函数的奇偶性 ( + ) 因为 是奇函数, 所以 = d ( + ) 解析 本题考查二元隐函数的求偏导 对方程两边同时求导, 得 z z z + e =, 于是得 z = + e z 解析 本题考查隐函数求导法 si+ l( ) = ( + )cos + = d d =, 所以 = = 解析 本题考查幂级数的收敛域, 即利用系数模比值法 PDF pdffactor

83 根据题意级数的半径为 R + ( ) lim + = = lim = ( ) + < < 内收敛 ; 当 = 时, 得调和级数 数 ( ) 收敛 于是原级数的收敛域为 (,], 所以原级数在 发散 ; 当 = 时, 得级 三 解答题 ( 本大题共 8 小题, 每小题 8 分, 满分 64 分 ) 解析 本题考查重要极限 + + ( + ) e lim( ) = lim lim = = = e + + e ( + ) 4 解析 本题考查参数方程的导数 d d asit si t = dt = = d d a( cos t) cost dt, d cost cos t si t cost ( ) t d d ( cos t) = = = = d d a( cos t) a( cos t) a( cos t) dt 5 解析 本题考查函数在一点的连续性, 利用极限值等于函数值 根据题意 costdt cos lim f( ) = lim = lim =, b b( cos ) lim ( ) lim lim b f = = =, 要使函数 f( ) 在 = 处连续, 则必须 lim f( ) lim f( ) f() + = =, 即 PDF pdffactor

84 b = = a a= b= 6 解析 本题考查换元积分法求不定积分的 t t = + e, = l( t ), d= dt t 令, 则有 t t + e d= dt = ( ) dt = l + c= l + C t t t t t + e e + 7 解析 本题考查凑微分法求定积分 d d d + = = d( + ) + d( + ) = = 解析 本题考查平面方程, 关键是求出平面的法向量 r 直线 uur s = (,,4) r ur uur r r r i j k l ur 的方向向量为 s = = (,,) 4, 直线 l 的方向向量为, 由于所求平面过 l 且平行于 l, 则可取其法向量为 r r r i j k s s = = (,,) 4, 又因为平面过 l, 则直线 l 上的点 (,,) 必在所求平面上, 即所求平面方程为 + z+ = 9 解析 本题考查二元抽象复合函数求偏导 z = cosf + f, z = cosf + cossif + cosf + f + sif + 4f 解析 本题考查在直角坐标系下二重积分的计算 76 dd d d d = 76d = 5 ( + 6 ) = ( + 6 ) = [ (5 ) + (5 )] D 四 综合题 ( 本大题共 小题, 每小题 分, 满分 分 ) PDF pdffactor

85 解析 本题考查导数的几何意义和定积分的应用 ( 求面积与体 积 ) () 设切点为 (, ), 则根据题意得 k f 所以此切点为 (,4), 切线方程为 = 4 ; () () = ( ) = 4 = = 8 S = 4 ( + 4 d ) = 8 ( + ) = ; V = π 4 π ( + 4 ) d= π ( + ) = π 5 5 解析 本题考查变限函数的导数以及一阶线性微分方程的求解 根据题意对方程两边同时求导, 得 f ( ) = f( ) + e, 即 ( ) ( ) =, 根据一阶线性微分方程的通解公式, 得 f f e f( ) = e ( e e d+ C) = e ( C e ) = Ce e 在原方程中, 令 = 得 f () =, 代入通解中, 得 C =, 故所求函数为 f( ) e e = 五 证明题 ( 本大题共 小题, 每小题 9 分, 满分 8 分 ) 解析 本题考查不等式的证明 ( 利用函数的单调性证明 ) 原不等式等价于 ( )l( ) arcta 有 + + >, 令 ( ) ( )l( ) arcta F ( ) = l( + ) + = l( + ) + > + + 递增, 即有 F( ) > F() =, 证毕 4 解析 本题考查函数的可导性与连续性 当 时, 当 F = + +,, 所以当 > 时, F( ) 单调 f( ) f ( ) f( ) g ( ) = ( ) = ; f( ) g ( ) g() ( ) ( ) () lim lim f f g = = = lim = lim f ( ) f () = lim = f () = 时, PDF pdffactor

86 再由于 f ( ) f( ) f ( ) + f ( ) f ( ) f ( ) f () lim g ( ) = lim = lim = lim = = g () 所以 g ( ) 有一阶连续导数, 证毕 PDF pdffactor