Microsoft Word - 附件1-中国大学先修课（CAP）第六次线下考试微积分科目考试说明.doc

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1 中国大学先修课 (CAP) 第六次线下考试微积分科目考试说明一考试性质与考查目标微积分先修课线下考试是由中国大学先修课 (CAP) 联合理事会组织, 由清华大学学堂在线负责实施, 面向学习过大学先修课的优秀中学生的考试考试要求考生比较系统地掌握 MOOCAP 微积分课程中的基本概念和基本理论, 熟练地掌握和运用 MOOCAP 微积分的基本内容和基本方法, 具备一定的抽象思维能力逻辑推理能力运算能力, 能够运用所学知识分析和解决具有一定难度的微积分问题一考试范围与参考教材考试范围与学堂在线 ( 平台上的 MOOCAP 微积分课程内容一致, 是参考教材中的第章至第 9 章参考教材是由清华大学北京大学清华附中的教师合作编著高等教育出版社出版的中国大学先修课程微积分 ( 主编扈志明,06 年 9 月, 第一版 ), 这是中国大学先修课试点项目管理委员会组织开发建设的首批教材之一附 :MOOCAP 微积分课程教学内容第章极限第一节极限概念引例第二节极限的概念第三节极限的性质第四节极限的运算 /

2 第五节夹逼定理与单调有界收敛定理第六节两个重要的极限第七节无穷小量第章连续函数第一节连续函数的概念第二节初等函数的连续性结论第三节连续函数的性质第章导数与微分第一节导数与导函数第二节微分第三节导数的运算第四节隐函数与参数方程确定的函数的导数对数求导法第五节高阶导数第 4 章微分中值定理和导数的应用第一节极值和极值点第二节微分中值定理第三节洛必达法则第四节函数单调性的判定第五节函数的极值及其求法第六节函数的最值及其应用第七节曲线的凸性和拐点第八节曲线的渐近线 /

3 第九节泰勒 (Taylor) 公式第十节原函数与微分方程初步第 5 章定积分第一节定积分问题举例第二节定积分的概念第三节定积分的基本性质第四节微积分基本定理第五节定积分的几何应用第六节定积分的物理应用第 6 章积分法与反常积分第一节换元积分法第二节分部积分法第三节有理函数的积分法第四节定积分应用举例第五节反常积分第 7 章无穷级数第一节无穷级数第二节正项级数第三节比值判敛法和根式判敛法第四节一般项级数第五节幂级数第六节函数的幂级数 /

4 第七节泰勒级数第八节幂级数的简单应用第 8 章常微分方程第一节一阶可求解常微分方程第二节一阶线性微分方程第三节二阶线性常系数微分方程第四节常系数微分方程简单应用举例三考试形式与试卷结构 ( 一 ) 试卷满分为 00 分, 考试时间为 0 分钟 ( 二 ) 试卷题型结构为 : 单项选择题 4 小题每小题 4 分共 6 分判断题小题每小题 4 分共 8 分填空题 4 小题每小题 4 分共 6 分解答与证明题 6 小题每小题 0 分共 60 分 ( 三 ) 考试方式为闭卷 ; 考试禁止使用规定之外的辅助工具 4 /

5 四题型示例及参考答案 MOOCAP 微积分试题注意 : 全卷有选择题判断题填空题和解答题四道大题, 共 6 道小题. 满分为 00 分. 一选择题 :~4 小题, 每小题 4 分, 共 6 分. 下列每题给出的四个选项中, 只有一个选项是符合题目要求的. () 设连续函数 f( ) 的导函数 f ( ) 的图形如图 y 所示, 则函数 y = f( ) 的拐点个数依次为 (A) ; 5 f( ) 的极值点个数与曲线 O y=f ' () (B) ; 4 y=f ' () (C) ; 5 (D) ; 4 图 () 设函数 f( ) 在 0 的某邻域内有定义, 则 f( ) 在 0 处可导的充分必要条件是 f( 0) - f( 0 -h) f( 0 + h) - f( 0 -h) (A) lim 存在 (B) lim 存在 h 0 h h 0 h f( 0 + h) - f( 0 + h) (C) lim 存在 (D) lim h[ f( 0 + ) - f( 0)] 存在 h 0 h h 0 h an a () 若级数 å 条件收敛, 则 = 与 = 依次为幂级数 n ( ) n 的 n å - n n= 0 n= (A) 收敛点, 发散点 (C) 绝对收敛点, 收敛点 (B) 发散点, 收敛点 (D) 收敛点, 绝对收敛点 kπ (4) 设 I = e sin d ( k =,, ), 则有 k 0 (A) I < I < I (B) I < I < I 5 /

6 (C) I < I < I (D) I < I < I 二判断题 :5~6 小题, 每小题 4 分, 共 8 分. 下列每题给了一个结论, 若认为题目给出的结论正确, 请选正确, 否则, 请选错误. + + (5) 在区间 (-, + ) 上存在连续函数 f( ), 使得 f ( ) = 对任意的 + + Î- + (, ) 成立. (6) 如果函数 f( ) 在区间 (0, + ) 上可导, 而且 lim f( ) = 0, 那么 lim f ( ) = 三填空题 :7~0 小题, 每小题 4 分, 共 6 分. ln(cos ) (7) lim =. 0 e - p + sin (8) p d =. - + cos (9) 设函数 f( ) = ( + ), 则 df =. = (0) 微分方程 y - y + y = 满足条件 y = 和 y 的解为. = 0 0 = y = = 四解答题 :~6 小题, 共 60 分. 解答应写出文字说明证明过程或演算步骤. ()( 本题满分 0 分 ) - - ln( + ) 设极限 lim =, 求 a 的值. 0 a 6 /

7 ()( 本题满分 0 分 ) 已知函数 y = y() 由方程 e - y+ sin y = 0 确定, 求 y = 0 和 y = 0 的值. ()( 本题满分 0 分 ) ln( + ) ln( + ) 求不定积分 :() ; (). d d ( + ) ( + ) (4)( 本题满分 0 分 ) 已知函数 f ( ) = a + b 满足 f( ) 0, Î[0,]. 设平面有界区域 D 由曲线 y = f( ) 与直线 = 及轴围成. (Ⅰ) 求 D 绕轴旋转所成旋转体的体积 V ; (Ⅱ) 当 D 的面积等于时, 求 ab, 的值使得体积 V 取到最小值. (5)( 本题满分 0 分 ) 设函数 f( ) 在区间 (-, + ) 上连续, 且 f( ) > 0, 函数 F( ) = ( -t) f( t)dt. 求 F( ) 的单调区间和 F( ) 的极小值. (6)( 本题满分 0 分 ) 设函数 f( ) 在区间 [-,] 上具有二阶导数, 且 f (0) = 0, f () =. 证明 : 7 /

8 (Ⅰ) 存在 Î- (,), 使得 f ( ) = ; (Ⅱ) 若 f (- ) =, 则存在 h Î- (,), 使得 f ( h) =. 一选择题参考答案 ()D ()A ()C (4)B 二判断题 (5) 错误 (6) 错误三填空题 (7) - (8) (9) ( + ln )d (0) e - e + + 四解答题 () 解利用罗比达法则, 得 - - ln( + ) - - lim = lim a a - + ( + ) = lim 0 6a 8 /

9 - ( + ) = lim = a a 依题意得 - =, 所以 a =-. a () 解在方程 e - y+ sin y = 0 两端关于求导, 得 ( + )e - y + y cos y = 0. 在方程 ( + )e - y + y cos y = 0两端关于求导, 得 ( + )e - y + y cos y- ( y ) sin y = 0. 将 = 0 代入 e - y+ sin y = 0, 得 sin y = y, 所以 y (0) = 0. 将 = 0, y (0) = 0 代入 ( + )e - y + y cos y = 0, 得 y = 0 =. 将 = 0, y (0) = 0, y = 0 = 代入 ( + )e - y + y cos y- ( y ) sin y = 0, 得 = y = 0 4. () 解 () ln( + ) ln( ) d=- + + d ( + ) + ( + ) () ln( + ) =- - + C. + + ln( + ) ln( ) d=- + + d ( + ) ( + ) ( + )( + ) ln( + ) æ - ö =- + d ç + ( + ) 4 è + + ø ln( + ) =- + ln( + ) + arctan - ln( + ) + C. ( + ) /

10 (4) 解 (Ⅰ) 所求体积为 a ab b V = π( a + b) d = π( + + ). 0 5 (Ⅱ) 平面区域 D 的面积为 ( )d a b S = a + b = +. 0 a b 依题意 + =, 所以 a = - b, 这时 a ab b V = π( + + ) = π é ( b) b( b) b 5 ê ë5 ù ú, û dv π( b ). db = 5-0 dv 令 0 得. db = b = d V π 由于 0, 所以这时的体积最小, 故当时体积最小. db = 5 > V 5 a =-, b= V 4 (5) 解因为 f( ) 在 (-, + ) 上连续, 所以 F( ) 的定义域为 (-, + ). () 因为 F( ) = f ( t)d t - tf ( t)dt 且 f t 连续, 所以 F( ) 可导, 且 F ( ) = f( t)dt + f( )- f( ) = f( t)dt. 令 F ( ) = 0, 得 = 0, ±. 因为 f( ) > 0, 所以当 < 时, f()d t t < 0; 当 > 时,. f()d t t > 0 列表讨论如下 : (-,-) - (,0) - 0 (0,) (, + ) F ( ) /

11 F( )! 极小! 极大! 极小! 因此, 函数 F( ) 的单调递增区间为 (-,0) 和 (, + ), 单调递减区间为 (-,-) 和 (0,). 极小值点为 =-和 =, 极小值为 F( - ) = F() = (- t) f( t)dt = 0. (6) 证 (Ⅰ) 因为 f( ) 在区间 [-,] 上具有二阶导数, 所以在区间 [0,] 上可导, 根据拉格朗日中值定理可知, 存在 Î(0,) Ì( -,), 使得 f ( ) = f() - f(0). - 0 又因为 f (0) = 0, f () =, 所以 f ( ) =. (Ⅱ) 令 F( ) = f( ) -. 由题设可知, F( ) 在区间 [-,] 上具有二阶导数, 且 F( - ) = F(0) = F() = 0. 根据罗尔定理, 存在 Î- (, 0), Î(0,), 使得 F ( ) = 0, F ( ) = 0. 对 F ( ) 在区间 [, ] 上使用罗尔定理, 存在 h Î(, ) Ì( -,), 使得 F ( h) = 0. 因为 F ( ) = f ( ) -, 所以 f ( h) =. /

2014 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一选择题 :1~8 小题, 每小题 4 分, 共 32 分, 下列每小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求的, 请将所选项前的字母填在答题纸... 指定位置上. (1) 设 lim a = a, 且 a 0, 则当 n 充分大时有 ( )

2014 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一选择题 :1~8 小题, 每小题 4 分, 共 32 分, 下列每小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求的, 请将所选项前的字母填在答题纸... 指定位置上. (1) 设 lim a = a, 且 a 0, 则当 n 充分大时有 ( ) 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一选择题 :~8 小题, 每小题分, 共分, 下列每小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求的, 请将所选项前的字母填在答题纸... 指定位置上. () 设 lim, 且, 则当充分大时有 ( ) (A) > (B) < (C) > (D) < + () 下列曲线有渐近线的是 ( ) (A) y + si (B) y + si (C) y +