第二章导数与微分 主要内容 : 一 导数的概念二 导数的运算法则三 高阶导数四 隐函数的导数以及由参数方程所确定的函数的导数 五 函数的微分

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1 第二章导数与微分 导数思想最早由法国数学家 Ferma 在研究极值问题中提出 微积分学的创始人 : Newton( 英 )Leibniz( 德 ) 微分学 导数 微分 描述函数变化快慢 描述函数变化程度 都是描述物质运动的工具 ( 从微观上研究函数 )

2 第二章导数与微分 主要内容 : 一 导数的概念二 导数的运算法则三 高阶导数四 隐函数的导数以及由参数方程所确定的函数的导数 五 函数的微分

3 .1 导数的概念 主要内容 : 与导数有关的概念 导数的定义左右导数的定义导函数的定义 内在联系关系 可导与左右可导关系可导与连续的关系

4 一 导数的定义 (1) 背景 : 设一质点在坐标轴上作非匀速运动, 时刻 t 质点的坐标为 s, s 是 t 的 函数 s=f(t), 求动点在时刻 t 0 的速度 分析 :(1) 动点在时间间隔 Δ t = t t0 内的平均速度 v Δs = = Δt f ( t0 + Δt) f ( t0) Δt () 动点在时刻 t 0 的速度 Δs vt ( 0) = lim = lim Δt Δ t 0 Δ t 0 f( t0 + Δt) f( t0) Δt

5 一 导数的定义 () 导数的定义 设函数 =f() 在点 0 的某个邻域内有定义, 当自变量 在 0 处取得增量 Δ ( 点 0 +Δ 仍在该邻域内 ) 时, 相应地函数 取得增量 Δ=f( 0 +Δ) f( 0 ) (1) 如果 Δ 与 Δ 之比当 Δ 0 时的极限存在则称函 数 =f() 在点 0 处可导并称这个极限为函数 =f() 在点 0 处的导数记作 = 0 f ( ) = lim 0 Δ 0 d d f( ) f ( 0 ), d d f ( 0 + Δ) f ( 0) Δ = = 0 0 () 如果 Δ 与 Δ 之比当 Δ 0 时的极限不存在 (3) 如果 则称函数 =f() 在点 0 处不可导 lim Δ 0 Δ Δ = 也称 f() 在 0 处导数是无穷大.

6 一 导数的定义 注记 1: 导数是函数的增量与自变量 增量比的极限. 因此导数 的表达形式可以由 注记 : 运动质点 s=f(t) 在时刻 t 0 的 d s d t 瞬时速度为是 v= s t= t = 0 t= t0 f ( ) = lim 0 不同形式 Δ 0 f ( 0 + Δ) f ( 0) Δ f( 0 + h) f( 0) f ( 0 )=lim h 0 h f( ) f( 0 ) f ( 0 ) = lim 0 0, 注记 3: 运动质点 v=g(t) 在时刻 t 0 的 d v d t 瞬时加速度为是 a= v t= t = 0 t= t0 注记 4: f ) 是 = f ( ) 的图形在 ( 0 点 ( 0, f( 0)) 处切线的斜率.

7 例 1: 证明 sin, 0 函数 f() = 在 = 0 处可导. 0, = 0 1 分析 :(1) 求出自变量的增量为 Δ 时函数值的增量 Δ 的表达式 () 求出 Δ Δ 的表达式 (3) 求出 lim Δ 0 Δ Δ 证明 : 当自变量的增量为 Δ 0 时函数值的增量 ( ) 1 Δ = f(0 +Δ) f(0) = Δ sin Δ Δ = Δ Δ 因此 ( ) 由于 Δ 0 故 Δ 0 时 1 sin Δ Δ 是无穷小量, Δ 0 时 sin Δ lim = 0 即 f () 在在 = 0处可导. Δ 1 Δ 有界, 所以 Δsin 1 Δ 是无穷小

8 二 左右导数 (1) 若 lim Δ 0 Δ Δ 存在, 则称函数 =f() () 若 lim + Δ 0 Δ Δ 存在, 则称函数 =f() 在点 0 处左可导, 并称这个极限为函在点 0 处右可导, 并称这个极限为函 数 =f() 在点 0 处的左导数, 记作 f 0 ( ) 数 =f() 在点 0 处的右导数, 记作 f + 0 ( ) Δ Δ f ( + Δ) f ( ) Δ 0 0 即 f ( 0 ) = lim = lim Δ 0 Δ 0 Δ Δ f ( + Δ) f( ) Δ 0 0 即 f + ( 0 ) = lim = lim + + Δ 0 Δ 0 定理 1: 函数 = f( ) 在点 0 处可导的充分必要条件是左右导数存在且相等 注记 5:(1) 若 f '( 0), f+ '( 0) 存在但不相等, 则 () f 在 0 () 若 f '( 0), f+ '( 0) 至少有一个不存在, 则 () 处不可导 f 在 0 处不可导

9 例 3: 讨论函数 f( ) = 在 = 0处的可导性 分析 : 由于, > 0 f( ) = = 0, = 0, 因此需要用左右导数来判断 f( ) 在 = 0处的可导性, < 0 Δ f(0 +Δ) f(0) Δ 解 : 显然 = = Δ Δ Δ, 所以 = Δ f (0 +Δ) f (0) Δ f (0) = lim = lim = lim = 1 Δ 0 Δ Δ 0 Δ h 0 Δ Δ f(0 +Δ) f(0) Δ f + (0) = lim = lim = lim = Δ 0 Δ Δ 0 Δ h 0 Δ o 因此 f (0) f (0), + 故 f( ) 在 = 0处不可导.

10 三 导函数 (1) 如果对每一 ( a, b), =f () 都有导 数, 即对每一 ( a, b) 都有一个导数值 与之对应, 则得到一个函数, 此函数叫 f () 的导函数记为 () d f, (), d df ( ) d 或. () 如果对每一 ( a, b), =f () 都可导, 且 f ( a), f ( b) 存在, + 则称 f() 在 [ a, b] 上可导. f ( +Δ) f( ) f( + h) f( ) f ( )= lim = lim Δ 0 Δ h 0 h 注记 6 : f ( 0 ) f ( ) = 0 d f ( ) d 0 =.

11 三 导函数 注记 7: 用定义求导数 f ( ) 的一般步骤 : 第一步 : 求 Δ = f( +Δ) f( ); 第二步 : 求 第三步 : 求极限 Δ f( +Δ) f ( ) = ; Δ Δ = Δ lim. Δ Δ 0 例 4. 求函数 f()=c(c 为常数 ) 的导数. 解 :(1) 显然 Δ = f( +Δ) f( ) = C C = 0 () 所以 0 (3) 故 Δ = Δ Δ = lim = 0 Δ 0 Δ

12 三 导函数 例 5. 设函数 f()= n (n 为正整数 ) 求 f ( ) n 1 n 1 n k n k 分析 (1)( +Δ ) = + C ( Δ ) + C ( Δ ) + + C ( Δ ) + + ( Δ) n k n n n n Δ = +Δ = n Δ + C Δ + + Δ n n n 1 n n [( ) ] [ n ( ) ( ) ] Δ = + Δ + + Δ Δ 1 1 () n n n C ( ) ( ) n n n n 1 (3) lim C ( Δ ) = = lim ( Δ ) = 0 n Δ 0 Δ 0 所以 n Δ ( ) = lim = Δ 0 Δ n n 1

13 三 导函数 一般地 : μ ( ) μ 1 = μ ( μ为常数 ) ( ) = = ( > 0) ( 1 ) 1 1 = ( 1) 1 = ( 0)

14 三 导函数 sin 例 6. 证明 ( ) = cos α + β α β sinα sin β = cos sin Δ Δ 证明 : 由三角公式可得 Δ = sin( +Δ) sin = cos + sin 所以 Δ = = Δ 故 ( sin ) lim lim Δ 0 Δ 0 Δ sin Δ Δ = cos + Δ Δ Δ sin Δ sin t lim cos + = lim lim cos( + t) = Δ Δ 0 t 0 t t 0 cos 同理可证 cos ( ) = sin

15 例 7. 求函数 f()= a ( a > 0, a 1) 的导数. +Δ Δ 分析 (1) Δ = a a = a ( a 1) 由于 Δ N e a e e ln N Δ ln a Δln a = = = Δ == a e Δ ln a ( 1) () Δ a e e = = a Δ Δ Δ Δln a Δln a ( 1) ( 1) 由于当 β 0 时, e β Δln 1 β. 当 Δ 0时, Δln a 0, 从而 (3) Δln a Δ e 1 Δlna lim = a lim = a lim = a ln a Δ Δ Δ Δ 0 Δ 0 Δ 0 ( a ) = a lna a e 1 Δlna

16 部分初等函数的的求导公式 (1) ( C ) = 0 () (sin ) =cos. (3) (cos ) = -sin. 4 ( () a ) = a ln a. () 5 ( e ) = e μ μ 1 (6) ( ) = μ ( μ为常数 )

17 四 导数的应用 (1) 用导数的定义求极限 例 8: 求 ( ) h lim h 0 h 100 分析 : 设 f ( ) =, 则 ( ) ( ) h f ( + h) f( ) h h = 因此 + h f( + h) f( ) lim = lim = f ( ) h 0 h h 0 h 100 解 : 令 f = ( ), 99 ( ) = 100 由导数的定义可知 f ( ) h f( + h) f( ) lim = lim = f ( ) = 100 h 0 h h 0 h 99

18 四 导数的应用 () 求曲线的切线及法线 例 9 求 1 = 在点 1, 的切线和法线方程 1 = = = 解 :(1) 由于 ( ) 1 () 由导数的几何意义知, = 1 在点 1, 的切线的斜率 k 1 = = 4 = (3) 所求的切线方程为 (4) 所求的法线方程为 1 = 4( ) 即 4+ 4= = ( ) 即 8+ 15= 0 4

19 探究可导与连续的关系 若函数 = f( ) 在点 0 处可导 函数 f( ) = 在点 0 处连续 Δ lim = f ( 0 ) Δ Δ 0 Δ = Δ 0 lim 0 Δ Δ 0 极限与无穷小的关系 = f ( ) + α( α 0) ( ) ( α ) lim Δ = lim f ( ) Δ + lim Δ 0 Δ 0 Δ 0 Δ 0 Δ = f ( ) Δ + αδ( α 0) lim Δ = lim [ f ( ) Δ + αδ] 0 Δ 0 Δ 0 0

20 五 可导与连续的关系 定理 : 若函数 = f( ) 在点 0 处可导则 注记 7: 在点 0 处连续的函数在点 0 处不一定可导 即连续是可导的必要条件, 但不是充分条件. 函数 = f( ) 在 点 0 处连 续 注记 8: 若函数 = f( ) 在点 0 处不连续, 则函数 = f( ) 在点 0 处不可导

21 五 可导与连续的关系 例 10. 证明 3 f( ) = 在 = 0 连续但不可导 3 证明 : 显然 f ( ) = 是基本初等函数, 且 0 (1) 故 f ( ) 在 = 0 处连续 () 又 Δ 0 时, 所以 lim Δ 0 Δ = Δ, 故 = 是 ( ) 3 Δ f(0 +Δ) f(0) Δ 0 1 = = = Δ Δ Δ Δ lim Δ 0 Δ Δ 不存在, 因此 3 f 定义域内一点, 3 ( ) f( ) = 在 = 0 = 3 不可导 0 1

22 . 函数和积商的求导法则 主要内容 函数和的求导法则函数积的求导法则函数积的求导法则 求导法则的应用

23 一 函数和积商的求导法则 定理 : 如果函数 u ( ), v ( ) 在点 处可导, 则 (1) 函数 f ( ) = u( ) ± v( ) 在点 处可导, 且 f ( ) = u ( ) ± v ( ) () 函数 f ( ) = u( ) v( ) 在点 处可导, 且 f ( ) = u ( v ) ( ) + uv ( ) ( ) u ( ) f( ) v ( ) u ( ) v( ) u( ) v ( ) f ( ) = ( v( ) 0) v ( ) (3) 当 v ( ) 0 时, 函数 可导, 且 = 在点 处 注记 1 两个函数都可导时, 才有两 函数和 ( 差 ) 的导数等于导数之和 ( 差 ) 注记 两个函数积的导数不一定等于导数之积 注记 3 两个函数商的导数不一定等于导数之商 1 v ( ) = v ( ) v( ) 注记 4

24 证明 : 如果函数 u ( ), v ( ) 在点 处可导, 函数 f ( ) = u( ) + v( ) 在点 处也可导 设 f( ) = u( ) + v( ) 已知函数 u ( ) v ( ), 在点 处可导 [ ] [ ] Δ = f( +Δ) f( ) = u( +Δ ) + v( +Δ) u( ) + v( ) [ u ( ) u ( )] [ v ( ) v ( )] = +Δ + +Δ = Δ u+δ v Δ f( +Δ) f( ) Δu Δv = = + Δ Δ Δ Δ Δu lim = u ( ) Δ Δv lim = v ( ) Δ Δ 0 Δ 0 Δ f( +Δ) f( ) Δu Δv lim = lim = lim + Δ Δ Δ Δ Δu Δv = lim + lim = u ( ) + v ( ) Δ 0 Δ Δ 0Δ Δ 0 Δ 0 Δ 0

25 证明 : 如果函数 u ( ), v ( ) 在点 处可导, 函数 f ( ) = u( ) v( ) 在点 处也可导 设 f( ) = u( ) v( ) 已知函数 u ( ) v ( ), 在点 处可导 ( ) ( ) [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] [ u u] v [ v v] u = ( Δ u) v( +Δ ) + ( Δ v) u( ) Δ = f +Δ f = u +Δ v +Δ u v = ( +Δ ) ( ) ( +Δ ) + ( +Δ ) ( ) ( ) Δ f ( + Δ) f ( ) Δu Δv = = v( + Δ ) + u( ) Δ Δ Δ Δ Δu lim = u ( ) Δ Δv lim = v ( ) Δ Δ 0 Δ 0 函数 u, ( ) v ( ) 在点 处连续 lim u ( + Δ ) = u ( ) Δ 0 lim v ( +Δ ) = v ( ) Δ 0 Δ f( +Δ) f( ) Δu Δv lim = lim = lim v ( +Δ ) + u ( ) Δ Δ Δ Δ Δ 0 Δ 0 Δ 0 Δu Δv = lim lim Δ v( +Δ ) + u( ) lim = u ( ) v( ) + u( ) v ( ) Δ 0 Δ 0 Δ 0 Δ Δ

26 一 函数和积商的求导法则 注记 5 定理 (1-) 可以推广到 有限个函数上 (1) 若函数 1 u ( ), u ( ),, u ( ) 处可导, 则 1 n 都在点 f() = u ( ) + u ( ) + + u ( ) () 若函数 f1( ), f( ), f3( ) 都在点 处 可导, 则函数 f() = f1( ) f( ) f3( ) 在点 处可导, 且 fff = f ff+ fff + fff ( ) n 推论 1: 如果函数 u () 在点 处可导, 则函数 f ( ) αu( ) = 在点 处可导, 且 [ αu ( )] = αu ( ). 推论 : 设函数 1 都在点 处可导, 则 1 1 u ( ), u ( ),, u ( ) f() = α u ( ) + α u ( ) + + α u ( ) 在点 处可导, 且 f ( ) = α u ( ) + α u ( ) + + α u ( ) 1 1 n n n n n

27 二 导数的运算法则的应用 a + a + + a + a = na + ( n 1) a + + a 例 1 : 证明 ( ) n n 1 n 1 n 0 1 n 1 n 0 1 n 1 证明 : 由求导法则及基本函数的求导公式可得 ( n n 1 ) ( ) ( = n n a + a + + an + an a 0 + a 1 ) + + ( an 1) + ( an) n n 1 ( ) ( ) n ( ) ( n) = a + a + + a + a = na + ( n 1) a + + a n n 1 n 0 1 1

28 二 导数的运算法则的应用 例 设 = e ( sin + cos ), 求 解 : 由导数运算法则及基本初等函数的求导公式可得 ( sin cos ) e = + ( e ) ( sin cos ) e ( sin cos ) = ( sin cos ) ( cos sin ) = + + e e = e cos

29 二 导数的运算法则的应用 例 3 设 = tan, 求 分析 :(1) 由于 sin = tan = 是两个函数 u sin, v cos cos = = 商的形式, 显然 分子分母均可导. 由两个函数商的导数运算法则可得 uv uv (sin ) cos sin (cos ) = = v cos () 利用求导公式求出函数的导数, 并化简 (sin ) = cos,(cos ) = sin sin + cos = 1, 1 sec cos =

30 二 导数的运算法则的应用 例 3 设 = tan, 求 解 : 由导数运算法则及基本初等函数的求导公式可得 sin (sin ) cos sin (cos ) = = cos cos = cos + sin cos = 1 sec cos = 即 (tan ) = sec 同理可得 (cot ) = csc

31 二 导数的运算法则的应用 例 4 求 = sec 的导数. 1 解 = (sec ) = ( ) = cos (cos ) cos = sin cos 即 同理可得 = sec tan. (sec ) = sec tan. (csc ) = csc cot.

32 部分初等函数的求导公式 (tan ) = sec. (cot ) = csc. (sec ) = sec tan. (csc ) = csc cot.

33 .3 反函数和复合函数的求导法则 主要内容 反函数的求导法则复合函数的求导法则 求导法则的应用

34 .3 反函数和复合函数的求导法则 问题 1 反三角函数在定义域内是否可导 如果可导如何用简便的方法求 (1) (arcsin ) () (arccos ) (3) (arctan ) (4) (arc cot ) 本质 若函数 = ϕ() 在区间 I 内可导 则满足什么条件它的反函数数 在区间 = f () 内是否也可导? I = { = ϕ( ), I } (5) (log a ) ( a > 0, a 1)

35 复习 若 ϕ( ) = 是定义在区间 I 上的单调连续的函数, 则它的反函数 = f( ) 必定存在, 且在 I = { = ϕ( ), I } 上也单调连续 函数在一点连续的等价定义 : 设函数 = f () 在点 0 的某一邻域内有定义, 若 0 0 Δ = 时, 0 0 Δ = f( +Δ) f( ) 0 我们就说函数 f ( ) 在在点 0 连续.

36 探究 1 函数 = ϕ() 在区间 I 内单调 可导且 ϕ ( ) 0, 它的反函 数 f () = 在区间 I = { = ϕ( ), I } 是否可导? 已知函数 = ϕ() 在区间 I 内单调 可导且 ϕ ( ) 0 函数 = ϕ() 在区间 I 内单调 连续 Δ ϕ ( ) = lim 0 Δ 0 Δ 反函数 = f () 在区间 I = { = ϕ( ), I } 存在且单调连续 当 0 Δ 时, f( ) f( ) Δ = +Δ 0 Δ 0时必有 Δ 0 f Δ 1 1 ( ) = lim = lim = Δ 0 Δ Δ 0 Δ ϕ ( ) Δ Δ 1 = Δ Δ Δ

37 一 反函数的求导法则 定理 1 若函数 = ϕ ( ) 在区间 I 内 (1) 单调 () 可导且 ϕ ( ) 0 则它的反函数 = f ( ) 在区间 内可导且有 即 = I = { = ϕ ( ), I } 1. 或 f ( ) = d d 1 ϕ ( ) = 1 d d 注记 1 对原函数的要求是 (1) 单调 () 可导 (3) 导数非零. 则 (1) 反函数可导 () 且反函数的导数与原函数的导 数互为倒数 反函数的导数问题总可以 化归为原函数的导数问题

38 一 反函数的求导法则 注记 : 求反函数 = f () 导数的步骤 第一步 : 找出反函数的原函数 = ϕ( ) 第二步 : 判断原函数 = ϕ() 在定义区间内单调可导并判断其导数 = ϕ ( ) 在定义区间内非零 第三步 : 利用反函数的导数与原函数导数的关系得到反函数的导数 第四步 : 利用 ϕ() 1 f ( ) = ϕ ( ) = 找出 ( ) ϕ 与 的关系式. 将该关系式代入 f 1 ( ) = ϕ ( ) 即可得到用自变量 表示的反函数的导数

39 例 1: 求反正弦与反余弦函数的导数 解 :(1) 显然 () 由于 sin 所以在对应区间 ( 1,1) π π = sin ( ) 是 arcsin π π = 在, ) 内有 = 是的原函数 ( 直接函数 ) =, ( 内单调增加可导, 且 cos = (arcsin ) = = cos (3) 由于 π π (, ) cos = 1 sin = 1,, 所以 因此 1 1 = (arcsin ) = = cos 1, ( 1,1 ) (4) π 1 (arccos ) = arcsin = 1, ( 1,1 )

40 例. 求反正切与反余切函数的导数 π = < 是 arctan 解 :(1) 显然 tan ( ) () 由于 tan π π = 在, ) (3) 所以在相应区间 I = (, + ) 内 = 是的原函数., ( 内单调可导, 且 = sec 0 = (arctan ) = 1 = 1 sec = 1+ 1 tan = 1 1+ π 1 (4) (arc cot ) = arctansin = 1+

41 例 3. 求对数函数的导数 解 : 显然 > 是函数 = log, (0, + ) 是的直接函数 = a ( a 0, a 1) a 由于函数 = a 在 (, ) = + 内单调 可导且 ( a ) a ln a 0 因此函数 log, (0, ) = + 可导, 且 a (log a ) = = = = ( a ) a lna lna 特别地 1 (ln ) = ( > 0)

42 部分基本初等函数的求导公式 (1) (arcsin ) = 1 1 (4) ( arc cot ) = () 1 (arccos ) = (3) 1 1 (arctan) = 1+ (5) ( ln ) 1 = ( > 0) (6) (log a ) = 1 ln a ( > 0, a > 0, a 1)

43 二 复合函数的求导法则 问题 如何用简便的方法求 ln( ) ( < 0) (1)( ) () ( μ ) 本质 (1) 若 u = g() 在点 可导 ()=f(u) 在 u=g() 处可导 那么复合函数 = f[ g( )] (1) 是否可导? () 若可导 d? d =

44 探究 (1) 若 u = g() 在点 可导 ()=f(u) 在 u=g() 处可导 复合函数 f[ g( )] = 是否可导? 已知 =f(u) 在 u=g() 处可导 u = g() 在点 可导 Δ lim = f ( u) Δu Δu 0 Δ u lim = g ( ), Δ Δ 0 u = g ( ) 在点 连续 Δ Δu = f ( u) + α( Δu 0时, α 0) Δ u lim = g ( ), Δ Δ 0 且 Δ 0 时 Δ u 0 Δ = f ( u) Δ u + α Δu Δ u lim = g ( ), Δ Δ 0 且 Δ 0 时 α 0 Δ Δ ( ) u Δ = f u + α u ( Δ 0) Δ Δ Δ d Δ Δu Δu = lim = lim f ( u) + α d Δ 0 Δ 0 Δ Δ Δ Δu Δu = f ( u) lim + lim α lim Δ 0Δ Δ 0 Δ 0Δ = f ( u) g ( )

45 二 复合函数的求导法则 定理 : 设 (1) u = g() 在点 可导 ()=f(u) 在 u=g() 处可导 则复合函数 = f [ g( )] (1) 在点 可导 () 其导 = u = f ( u) g ( ) 即 d d u d du = du d 注记 : 因变量对自变量求导等于 因变量对中间变量求导乘以 中间变量对自变量求导.( 链 式法则 ) 注记 3: 复合函数的求导法则可推广 到多个中间变量的情形. 设 f ( u), u = ϕ ( v), v = ψ ( ) =, 则复合函数 = f { ϕ[ ψ ( )]} 的导数为 = u v. u v

46 二 复合函数的求导法则 注记 4: 利用复合函数的求导法则求导数的思路 : (1) 搞清复合函数的结构 () 由外到内求导 (3) 将中间变量代入 u v

47 二 复合函数的求导法则 例 3: 求 = ln( ) 的导数 解 : ln( ) = 可以看做是函数 = ln u,( u > 0) 与 u,( 0) = < 复合而成的 函数. 因此 d d du = = ( 1) = = d du d u u 1 [ ln( ) ] = ( < 0) [ ] 1 ln = ( 0) 1 ln = ( > 0)

48 二 复合函数的求导法则 例 4: 证明 : = > 1 ( μ μ ) μ ( 0) 分析 :(1) μ μln = = e 可以看做是 v = e 与 v μ ln = 复合而成的函数 d dv = dv d v () 由求导法则及基本初等函数的求导公式可得 e, = μ (3) 由复合函数的导法则可得 d d dv v μ = = e d dv d μ μ μ μ 1 = = > ( 0) 即 = > 1 ( μ μ ) μ ( 0)

49 搞清复合函数结构, 由外向内逐层求导. 例 5 求函数 = ln sin 的导数. 解 : 因为函数 = ln sin 是函数 复合而成的. 所以 = ln u, u = sin. d d 1 cos = = sin = cot d du = du d u cos

50 搞清复合函数结构, 由外向内逐层求导. 例 6 设 = ln cos(e ), 求 d. d 解 :(1) 显然 = ln cos(e ) 分解为 = ln u, u = cosv, v = e () 由基本初等函数的求导公式可得 d 1 du =, du u d v dv = sin v, d = e (3) 由复合函数的求导法则, 可得 d d du 1 sin e = = ( sin v) e = e = e tan e. d du d u cos e

51 例 7 设 sin = e arc, 求. 搞清复合函数结构, 由外向内逐层求导. 解 : arcsin arcsin = (e ) = e ( arcsin ) 1 1 = 1 (1 ) arcsin arcsin =e ( ) e

52 例 8 判断正误 (1) = ( ) () (sin ) cos ln ( e ) = e (3)( arctan ) = ( ) (4) ln ln ( ln ) f = f (5)( ) ( ) ( ) = = ln ln ln ln ln ln ( ) ( ) ( )

53 .4 高阶导数 主要内容 高阶导数的定义高阶导数的运算法则 高阶导数的求法

54 一 高阶导数的定义 1. 背景 : 动点作变速直线运动其位置函数 s = s() t, 求动点 在时间 t 加速度 d ds a = dt dt f ( ) 称为零阶导数 f ( ) 称为一阶导数.. 定义 : 若函数 = f( ) 的导数 f ( ) = 可导, 我们把 f ( ) = 的导数叫做函数 = f( ) 的二阶导数, 记作 d f ( ) 或, d = ( ) [ ] f ( ) = f ( ) d d d d d d = 即 类似地, 二阶导数的导 数叫做三阶导 数. 记作, f ( ) 或 = ( ) d d 3 3 [ ] f ( ) = f ( ) 3 d d d = 3 d d d 一般地 n 1阶导数的导数叫做 n ( n) 阶导数记作 ( n f ) ( ), d n n d ( n) ( n 1) = ( ) ( n) ( n 1) f ( ) = [ f ( )] n n 1 d d d = n n 1 d d d 二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.

55 二 高阶导数的运算法则 定理 1: 设函数 u ( ), v ( ) 都有 n 阶导数, 则 [ u( ) ± v( ) ] = [ u( ) ] ± [ v( ) ] n [ Cu( ) ] C[ u( ) ] ( n ) ( n ) ( n ) ( ) ( n) = (C 为常数 ) ( ) n ( ) ( k ) n k = 0 n k n k [ u ( ) v ( )] C[ u ( )] [ v ( )] = 莱布尼兹公式 注记 3 求高阶导数的方法 方法一 : 逐阶求导法 方法二 : 归纳求导法 方法三 : 公式求导法 -- 利用已 知函数的高阶导数的公式及运 算法则

56 三 高阶导数的求法 例 1 若函数 ( ) f 二阶可导, 求 ln [ f( ) ] = 的二阶导数 分析 : 由于阶数较低, 因此用定义逐阶求导 (1) 求 () 求 解 : 显然函数 ln [ f( ) ] 由于 ( ) = 是 = ln u与 u = f( ) 复合而成的函数. f 二阶可导, 所以函数 ln [ f( ) ] 1 求导法则可得 = f ( ) f( ) 根据二阶导数的定义及商的求导法则我们有 = 一定可导. 由复合函数的 f ( ) = [ ] = f = = f f [ f ( ) ] f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) [ f ( ) ] ( ) ( ) ( )

57 三 高阶导数的求法 利用归纳求导法求高阶导数的步骤 第一步 : 求出 1-3( 或 1-4) 阶的导数 第二步 : 观察 1-3( 或 1-4) 阶导数, 找出 1-3( 或 1-4) 阶导数表达式的规律 第三步 : 归纳出 n 阶导数, 并加以证明

58 n 例 求 ( a + a + a + + a ) ( ) 0 1 n n 分析 (1) 设 = a + a + a + + a n n 求出 1-3 阶导数 n = 1 a + a + + na n = 1 a + 3 a + + n( n 1) a 3 n = 31 a + 43 a + + n( n 1)( n ) a 3 4 () 观察 1-3 阶导数, 找出 1-3 阶导数的规律 n = 1! a + a + + na 1 n =! a + 3 a + + n( n 1) a 3 n = 3! a a + + n( n 1)( n ) a (3) 由数学归纳法可得 3 4 ( n) = n! a n n n 1 1 n n n n 3 3

59 三 高阶导数的求法 n 例 求 ( ) ( n a + a + a + + a ) 0 1 解设 = a + a + a + + a 0 1 n n n 则 n = a + a + + na 1 n 1 n =! a + 3 a + + n( n 1) a 3 n n = 3! a a + + n( n 1)( n ) a 3 4 n 3 由数学归纳法可得 ( n ) = n! a n

60 三 高阶导数的求法 同理可得 ( ) ( n) a = a ( ln a) n ( e ) ( n ) = e ( n) μ = μμ ( 1) ( μ n+ 1) μ n

61 例 3 设 = sin, 求 ( n) = sin 找规律 数学归纳法 = cos = ( ) = sin π = sin + = sin + π nπ sin = sin( + ) ( ) ( n ) = = ( ) cos = sin + 3π 3 sin π = cos,sin π = sin, sin π = cos

62 三 高阶导数的求法 例 3 设 ( n) = sin, 求 π 解显然 = cos = sin( + ) π = [ ] = sin = sin( + ) 3π = [ ] = cos = sin( + ) 由数学归纳法可得 ( ) ( n ) 同理可得 ( ) ( n ) nπ sin = sin( + ) nπ cos = cos( + )

63 例 4 设 = 1 1, 求 ( n ) 1 = 1 找规律 数学归纳法 (1 ) 1 = = (1 ) (1 ) = 1! (1 ) (1 ) = ( ) = = (1 ) (1 ) 4 3 =! (1 ) 1 + ( n) = n! (1 ) n 1 + = = 3 (1 ) ( ) 4 = 3! (1 ) 3 1 +

64 三 高阶导数的求法 例 4 设 = 1 1, 求 ( n ) (1 ) 1 (1 ) (1 ) 解由求导法则及基本初等函数的求导公式可得 = = 1 (1 )! = (1 ) = = (1 ) (1 ) 4 3! 3! = (1 ) = (1 ) 3 4 由数学归纳法可得 ( n n! ) = n 1 (1 ) + 同理可得 ( n) n 1 ( 1) n! = n (1 + ) +

65 三 高阶导数的求法 例 5 设 = ln(1 + ), 求 ( n) = ln(1 + ) ( n ) n 1 ( 1) n! = 1 + (1 + ) n + 1 = n 1 ( n ) ( n 1) ( 1) ( n 1)! = ( ) = n (1 + )

66 三 高阶导数的求法 ( n) 例 5 设 = ln(1 + ), 求 又 解显然 = 1 (1 + ) ( n) n 1 ( 1) n! = n 1 + (1 + ) + 1 n 所以 ( ) n 1 ( ) ( n 1) ( 1) ( n 1)! = = (1 + ) n

67 常见的高阶导数公式 nπ sin = sin( + ) ( ) ( n ) nπ cos = cos( + ) ( ) ( n ) ( n) ( ) a = a ( ln a) n ( e ) ( n ) = e

68 常见的高阶导数公式 ( n) n 1 ( 1) n! = n 1 + (1 + ) + 1 ( n ) 1 n! = n 1 (1 ) + 1 μ ( n) [ ln(1 ) ] + = n 1 ( n) ( 1) ( n 1)! n (1 + ) = μμ ( 1) ( μ n+ 1) μ n

69 例 6 求 [ + ] (10) 0 sin cos = 解 : 由高阶导数的运算法则可得 [ sin + cos ] = [ sin ] + [ cos ] (10) (10) (10) ( ) nπ ( n) nπ sin = sin +, cos = cos + n 由公式 [ ] [ ] [ ] [ ] 可得 (10) 10π (10) 10π sin = sin + = sin, cos = cos + = cos 因此 [ ] (10) sin + cos = sin cos 所以 [ ] (10) 0 sin + cos = = sin 0 cos 0 = 1

70 考研原题 (1)(10,4 分 ) 函数 ln(1 ) = 在 0 = ( n = 处的 n 阶导数 ) (0) ()(07,4 分 ) 设函数 = n, 则 ( 0) =. (3)(06,4 分 ) 设函数 f( ) = 在的某领域内可导, 且 ( ) ( ) f ( ) =, = 1, 则 f e f f ( ) =

71 思考题 一 判断正误 4 (1) 设 f ( ) =, 则 (0) 0 f = () 1 1 (4) = = 4 (3)( ) (10) e = e (4)( e ) = 4e 1 1 (5) [ ] ( n ) n 1 ln(1 + ) = ( 1) ( n 1)! = 0 n (7) ( ) ( n+ a a a a 1) n = 0 1 (6) = 0 1+ = 1

72 思考题 二 填空题 ( 将正确答案填写在括号内 ) (1) 设 ln sin =, 则 =( ) () ( e ) (10) = ( ) (3) 1 1+ ( n) = ( ) (4) 1 ( n) = ( )

73 .5 隐函数的导数及由参数方程所 确定的函数的导数 主要内容 隐函数的导数 对数求导法 由参数方程所确定的函数的导数

74 一 隐函数的导数 1. 有关定义 : 观察 :(1) = () sin = (3) ( ) = ln + 1+ 发现 : 表达式的特点是直接给出了由自变量 的取值求因变 量的对应值 的规律 ( 计算式 ) 我们把用这种方式表达的函数称为显函数. 定义 1: 形如 = f( ) 的函数称为显函数.

75 一 隐函数的导数 观察 : + 3 1= 0 发现 : 当自变量 在 (. + ) 内取值时, 因变量 有唯一确定的值与 3 之对应. 即方程 + 1= 0可以确定 是 的函数. 定义 : 若方程 F(, ) = 0可以确定 是 的函数, 我们把此函数称为隐函数. 即如果在方程 F(, ) = 0 中, 当 取某区间内的任一值时, 相应地 总有满足这方程的唯一的 值存在, 那么就说方程 F(, ) = 0在 该区间内确定的函数称为隐函数

76 一 隐函数的导数 3 观察方程 + 1= 0 发现该方程确定的函数可以用式子 3 1 = 表示 我们把隐函数化为显函数的过程叫做隐函数的显化 注记 1: 并不是所有的隐函数都可以化为显函数 3 方程 + 1= 0确定的隐函数可以显化 3 1 = 当隐函数不易显化或 不能显化时如何求导 5 7 方程 + 3 = 0确定的隐函数很难显化 方程 e + e= 0 确定的隐函数不能显化

77 一 隐函数的导数 注记 1: 求隐函数的导数的思路 利用复合函数的求导法则直接对方称 F(, ) = 0两边关于 求导. 其步骤为 第一步 : 对 F(, ) = 0两边关于 求导数得 d d F (, ) = 0 第二步 : 利用复合函数的求导法则由 d d F (, ) = 0解出

78 一 隐函数的导数 例 1. 求由方程 e + e= 0 所确定的隐函数 的导数. 分析 :(1) 设由方程 e e 0 + = 所确定的隐函数 ( ) ( ) e e + ( ) = 0 = 从而原方程 d ( ) d d () 把方程两边的每一项对 求导数得 ( e ) + [ ( ) ] ( e) = 0 d d d ( ) (3) 函数 z = e 可以看做是函数 z = e, = ( ) 复合而成的函数. 因此 d d ( ) ( ) = = e z e d d 又 [ ( )] ( ) 0 d = + = +, d e = 所以 ( ) e + + = 0 + e (4) 整理化简得 =,( + e 0)

79 一 隐函数的导数 例 1. 求由方程 e + e= 0 所确定的隐函数 的导数. 解 : 把方程两边的每一项对 求导数得 d d d ( e ) + ( ) ( e) = d d d 0 由复合函数的求导法则可得 ( ) e + + = 0 从而 =,( + e 0) + e

80 一 隐函数的导数 例 求椭圆 分析 : (1) 求出方程 + = 1在 (, 3) 处的切线方程. + = 1确定的隐函数的导数 16 9 () 求出过点 (, 3 3 ) 的切线的斜率 k = = (3) 写出过点 (, 3 3 ) 的切线方程 3 3 = k ( )

81 一 隐函数的导数 例 求椭圆 + = 1在 (, 3) 处的切线方程. 解 : 把椭圆方程的两边分别对 求导得 = 0 从而 9 = 16 将 =, 3 3 故所求的切线方程为 k = = = = 代入上式得所求切线的斜率 = ( ) 即 = 0

82 一 隐函数的导数 例 3. 求由方程 1 sin 0 + = 所确定的隐函数 的二阶导数. 分析 : 由于阶数低, 因此采用逐阶求导法 (1) 求出由方程 () 根据 d d d 1 sin 0 = d d d + = 确定的隐函数的一阶导数 d d 求出二阶导数 d d

83 一 隐函数的导数 例 3. 求由方程 1 sin 0 + = 所确定的隐函数 的二阶导数. d 1 d 1 cos 0 d + d = 解 : 方程两边对 求导, 得 ( ) 于是 d = d cos ( cos ) ( ) d d d d = = = d d d d cos cos sin d 4sin = = ( cos ) d ( cos ) 3

84 一 隐函数的导数 课堂训练 --- 判断正误 3 1. 由 + = 0所确定的隐函数 f( ) = 在 0 = = 的导数 0 1 =. e + = 在 1所确定的隐函数的导数为 = + e 1

85 二 对数求导法 学习隐函数的求导法则有何应用? 观察 : 办法 : 先在方程两边取对数 (1) = ( 1)( ) ( 3)( 4) 然后利用隐函数的求导 方法求出导数. () = sin 发现 : 直接求导比较麻烦. 适用范围 : () 1 多个函数相乘或商 ( ) 幂指函数 u 的情形 v( ) ( ).

86 二 对数求导法 注记 : 对数法求函数 ( u( ) ) v( ) = 导数的步骤 第一步 : 对 = ( u( ) ) v( ) 两边取对数, 得 ln = v( ) ln u( ) 第二步 : 在 ln = v( ) ln u( ) 两边对 求导, 利用复合函数的求导法则即可

87 二 对数求导法 例 4: 求 sin = ( > 0) 的导数 解 : 两边取对数, 得 ( ) ln = sin ln. 两边对 求导, 得 1 = ( cos ) ln + ( sin ) 1 于是 = ( cos ) ln + sin = ( cos ) ln + sin sin

88 二 对数求导法 用对数求导法求函数 1 用对数求导法求函数 1 = f ( ) f ( ) f ( ) 的导数. = f ( ) f ( ) f ( ) g ( ) g ( ) g ( ) 1 n n m 的导数. 第一步 : 对方程两边取对数, 从而把积商的导数问题转化为和差的导数问题 第二步 : 利用复合函数的求导法则及对数函数的求导公式求出函数的导数

89 二 对数求导法 例 5. 求函数 = ( 1)( ) ( 3)( 4) 的导数. 解 : 两边取对数, 得 两边同时对 求导得 1 ln = [ ln 1 + ln ln 3 ln 4 ] = [ ] 即 = 1 ( 1)( ) ( 3)( 4) [ + ]

90 课堂训练 1. 设 f ( ), g( ) 可导 ( ) ( ) 0 +, 求函数 = f ( ) + g ( ) 的导数. f g. 求函数 = 1+ t 1 t 的导数. 3. 求 = ( > 0) 的导数

91 三 由参数方程 = ϕ() t = ψ () t 所确定的函数的导数 d d 若 与 的函数关系是由参数方程 = ϕ() t = ψ () t 达的函数为由参数方程所确定的函数. 确定的. 则称此函数关系所表 如何求由参数方程所 确定的函数的导数?

92 三 由参数方程 = ϕ() t = ψ () t 所确定的函数的导数 d d 求参数方程 = ϕ() t = ψ () t 的函数的导数 d d 方法一 : 消去参数, 得到显函数 = f( ) 后求导 = t d 如 消去参数, 得到函数 = + 1, 则 = t + 1 d = = ϕ() t 方法二 : 将 所确定的函数看做复合函数. 利用复合函数的求 = ψ () t 导法则求 d d 1

93 三 由参数方程所确定的函数的导数 定理若 (1) = ϕ() t 在某区间 I 上单调可导, 且 ϕ () t 0 () = ψ () t 在区间 I 可导 = ϕ() t 则由参数方程 = ψ () t 所确定的函数 (1) 可导 () 导数 d t ψ ( t) = = d ϕ ( t) t

94 已知 = ϕ() t 在某区间 I 上单调可导 ϕ () t 0 反函数的求导法知 = ϕ() t 在区间 I 有可导的反函数 t = t( ) t = 1 t = ϕ() t 参数方程 所确定的 = ψ () t 函数可以看做是函数 = ψ () t 与 t = t( ) 的复合函数 = ψ [ t( ) ] 复合函数的求导法则 d t ψ ( t) = = d ϕ ( t) d d t = t t

95 三 由参数方程所确定的函数的导数 = ϕ() t 注记 3: 由方程 = ψ () t 所确定的函数的导数 d ψ ( t) = d ϕ ( t) 仍以 t 为参数 注记 4: 若 (1) = ϕ() t 在某区间 I 上单调 二阶可导, 且 ϕ () t 0 () = ψ () t 在区间 I 上二阶可导 = ϕ() t 则由参数方程 所确定的函数也二阶可导且 = ψ () t d t d ψ ( t) d d d t t t d t ϕ ( t) = = = d d t t ϕ ( t) d ψ ( t) d ϕ ( t)

96 三 由参数方程所确定的函数的导数 例 7: 求椭圆 = acost = bsin t (1) 在 t π 4 = 相应点处的切线方程 分析 (1) 求切点 () 求 d d (3) 求切线的斜率 k = d d π t= 4 (4) 写出椭圆在切点处的切线方程 (5) 化简

97 三 由参数方程所确定的函数的导数 例 7: 求椭圆 解 :(1) 当 () (3) = acost = bsin t d d (1) 在 t π 4 π t = 时 0 = a, 0 = b 4 ( bsin t) b = = cot t acost a ( ) = acost = bsin t 在 t π 4 = 相应点处的切线方程 = 相应点处的切线的斜率 k d = = d π t= 4 b a (4) 椭圆在 t π 4 = 相应点处的切线方程为 b b= ( a) a (5) 化简得 : b + a ab = 0

98 三 由参数方程所确定的函数的导数 例 7: 设 = acost = bsin t () 求 解由 (1) 知 d 所以 d = d d d = d d d b a cot t d = d ψ ( t) d t ϕ ( t) d ϕ ( t) d b cot b d = = = d asin t a d t t csc t t a a b 3 csc t

99 部分考研原题 (1)(0 年,3 分 ) 已知函数 = f( ) 由方程 e = 0确定, 则 (0) = ()(05,4 分 ) 设函数 =() 由参数方程 = = t + t, ln(1 + t) 确定, 则曲线 =() 在 =3 处的法线与 轴交点的横坐标是 + (3)(01,3 分 ) 曲线 e cos( ) = e 1在点 (0,1) 处的切线方程为 4 (4)(03,4 分 ) 设函数 =f() 由方程 + ln = 所确定, 则曲线 =f(). 在点 (1,1) 处的切线方程是.

100 部分考研原题 d (5)(06,4 分 ) 设函数 = ( ) 由方程 = 1 e 确定, 则 A 0 d = =. (6)(07,4 分 ) 曲线 = + = 1 + sint cost cos t 上对应于 t π 4 = 的点处的法线斜率为 (7)(08,4 分 ) 曲线 sin ( ) + ln ( ) = 在点 ( ) 0,1 处的切线方程为. (8)(09,4 分 ) 设 = ( ) 是方程 + e = + 1确定的隐函数, 则 d d = 0 =

101 思考题 若 (1) = ψ () t 在某区间 I 上单调可导, 且 ϕ () t 0 () = ϕ() t 在区间 I 可导 = ϕ() t 则由参数方程 = ψ () t 所确定的函数的导数 d =? d

102 小结 隐函数求导法则 : 直接对方程两边求导 对数求导法 : 对方程两边取对数, 按隐函数的求导法则求导 参数方程求导 : 实质上是利用复合函数求导法则 = ϕ( t) 在方程 中, = ψ( t) d d ψ ( t) ( t = = t ϕ t )

103 .7 函数的微分 主要内容 一 微分的概念 二 基本初等函数的微分公式 三 微分的运算法则 四 微分在近似计算中的应用

104 一 函数微分的概念 1. 背景 : 正方形金属薄片 受热后面积的改变量 本质特征 : 自变量增量为 Δ 函数值的增量 Δ 为 设正方形的边长由 变到 + Δ 0 0 所以 Δ A = ( 0 +Δ) 0 = 0 Δ + ( Δ) ( 1) () (1) 是 Δ 的线性函数, 是 Δ A的主要部分 () 是 Δ 0时比 Δ 高阶的无穷小 Δ = A Δ + o( Δ) 其中 (1)A 是不依赖于 Δ 的常数 () o( ) Δ 是当 0 Δ 高阶的无穷小 时比 Δ

105 一 函数微分的概念 定义 : 设 = f( ) 在某区间内有定义, 0 的增量 f 0 f 0 Δ = ( +Δ ) ( ) 可表示为 Δ = A Δ + o( Δ) 及 + Δ 0 在这区间内. 如果函数. 其中 (1)A 是不依赖于 Δ 的常数 () o( ) Δ 是当 Δ 0 时比 Δ 高阶的无穷小 则称 (1) 函数 = f( ) 在点 0 是可微的. ()AΔ 叫做函数 = f( ) 在点 0 相应于自变量 Δ 的微分, 记作 d 即 d = AΔ

106 一 函数微分的概念 注记 1: 若函数 = f( ) 在点 0 是可微, 则 Δ = A Δ + o( Δ) 且 d = AΔ 注记 : 若 A 是不依赖于 Δ 的常数, 则函数 = f( ) 在点 0 可微的 充要条件是 思考题 Δ AΔ lim = 0 Δ Δ 0 函数 f( ) = 的微分与函数在点 0 处的导数有何区别?.

107 问题 函数 f( ) = 在点 0 是可微与函数 = f( ) 在点 0 可导有什么关系? 函数 f( ) = 在点 0 是可微与函数 = f( ) 在点 0 连续有什么关系? 若函数 = f( ) 在点 0 是可微, 则 A =?

108 一 函数微分的概念 定理 1: 函数 f( ) = 在 0 可微 它在 0 可导 ; 且当函数 f( ) = 在 0 A = f ( ) 可微时 0 即当函数 f( ) = 在 0 注记 3:(1) 函数 f( ) = 在 0 d = f ( ) Δ 可微时 0 可微问题总可以化为导数问题 () f( ) = 在 0 d = f ( ) Δ 的微分与导数的关系式 0 注记 4: 函数 f( ) = 在 0 可微一定连续, 但连续不一定可微

109 (1) 必要性的证明的分析 已知 f ( ) 在点 可微 0 由定义 Δ = A Δ + o( Δ) 要证明 函数 f ( ) 在点 可导, 且 A= f ( ). 0 0 Δ o( Δ) = A + Δ Δ Δ o( Δ) lim = lim A+ lim = A+ 0 = A Δ Δ Δ 0 Δ 0 Δ 0 o( α) lim =0 α α 0

110 (1) 必要性的证明 证明 : 若 f ( ) 在点 0可微 由定义可得 Δ = A Δ + o( Δ) 因此 所以 Δ o( Δ) = A + Δ Δ Δ o( Δ) lim = lim A+ lim = A+ 0 = A Δ Δ Δ 0 Δ 0 Δ 0 即函数 f ( ) 在点 0可导, 且 A = f ( 0 ).

111 () 充分性证明的分析 已知函数 f ( ) 在点 可导, 且 A= f ( ). 0 0 要证明 f ( ) 在点 0 可微 由定义 由注记 lim Δ 0 Δ Δ = A 由无穷小与 Δ AΔ αδ lim = lim = lim α = 0 Δ Δ Δ 0 Δ 0 Δ 0 极限的关系 Δ = A + α ( lim α = 0) Δ Δ 0 Δ = A Δ + α Δ

112 () 充分性的证明 证 : 若 f ( ) 在 0 可导 lim Δ 0 Δ Δ 由无穷小与极限的关系可得 因此 又 Δ 0时, 0. 且 A= f ( ). = A Δ = A Δ + α Δ 0 由导数的定义可得 Δ = A + α ( α 0) Δ α Δ α 因 α Δ 0 = α 0 Δ, 所以 α Δ = o( Δ ) 因此 f ( ) 在点 0 可微

113 一 函数微分的概念 注记 5: 利用微分与导数的关系求函数在某点微分的步骤 第一步 : 求导函数 f ( ) 第二步 : 求函数在某点的导数 f 0 ( ) 第三步代入公式 0 d = f ( ) Δ

114 例 1: 填空 1. 函数 = 在 1 = 处的微分. 3. 函数 = 当, 0.0 = Δ = 时的微分. 解. (1) 显然 ( ) = = 因此函数在 = 1处的导数 f (1) = 所以函数在 = 1处的微分 (1) 3 () 显然 ( ) d = f Δ = Δ = 3 = 因此函数在 = 处的导数 f () = 1 所以函数在 =, Δ = 0.0 处的微分 d = f () Δ = 1Δ = 0.4

115 一 函数微分的概念 定义 : 函数 = f ( ) 在任意点的微分称为函数的微分. 记作 d 或 df ( ). d = f ( ) Δ. 通常我们把自变量 的增量 Δ 称为自变量的微分. 记作 d 即 d d f ( ) d =. = Δ 因此 d 从而 = f ( ) d 即函数的微分 d 与自变量 的微分之商等于函数的导数. 因此导数也称为微商

116 函数微分的几何意义 当 Δ 是曲线 = f( ) 上的点的纵坐标 = f () d 的增量时, d 就是曲线的切线上点纵坐. Δ 的相应增量. 当 Δ 很小时, 在点 M 的邻近, 我们可以 用切线段来近似代替曲线段. 斜边 ds + = (d) (d) 称为弧微分 ds d d o α Δ d = f ( 0) Δ

117 二 基本初等函数的微分公式 (1) d (C)=0 ()d ( μ )=μ μ 1 d (3) d (sin )=cos d (4) d (cos )= sin d

118 二 基本初等函数的微分公式 (5) d(tan)=sec d (6) d (cot )= csc d (7) d (sec )=sec tan d (8) d (csc )= csc cot d

119 二 基本初等函数的微分公式 (9) d (a )=a ln a d ( a 0, a 1 > ) (10) d (e )=e d (11) ( ) 1 d ln = d( > 0) (1) ( ) 1 d log a = d( a 0, a 1, 0) ln a > >

120 二 基本初等函数的微分公式 1 d d 1 (13) ( arcsin ) = 1 d d 1 (14) ( arccos ) = 1 d = d 1 + (15) ( arctan ) 1 d = d 1 + (16) ( arc cot )

121 三 函数微分的运算法则 定理 1: 设函数 u = u( ), v = v( ) 在 处可微, 则 (1) d( u± v)=du± dv [ u± v] = u ± v () d( Cu)= Cdu(C 为常数 ) (3) d( uv) = vu d + uv d [ Cu] = Cu uv = u v + uv [ ] (4) u vdu udv d = ( v 0) v v u u v uv = ( v 0) v v

122 三 函数微分的运算法则 定理 设 = f( u), u = ϕ( ) 分别可微, 则复合函数 f( ϕ( )) = 的微分为 d = d = f ( u) ϕ ( )d

123 三 函数微分的运算法则 设 = f( ) 有导数 f ( ) 当 是自变量时 d = f ( ) d d = ϕ () t dt = f( ( t)) 的微分 当 是中间变量时 即 = ϕ() t d = dt = f ( ) ϕ ( t) dt t

124 三 函数微分的运算法则 设 = f( ) 有导数 f ( ) 不论 是中间变量还是自变量函数 = f( ) 的微分形式 总是 d = f ( ) d 一阶微分 形式不变形

125 如 : 导数 (sin ) = 三 函数微分的运算法则 cos (sin ()) t cos () t () t 微分 dsin = cos d dsin () t cos () t d() t = ( ) 形式变了 = ( ) 形式没有变化

126 四 函数微分的求法 方法一 : 求导法 : 即利用微分与导数的关系求函数 = f( ) 微分即 d = f ( ) d 方法二 : 微分法 : 利用一阶微分的形式不变性 基本初等函数的微 分公式及微分法则求函数 = f( ) 微分

127 四 函数微分的求法 例 1: sin( 1), = + 求 d 分析 : 利用求导法 (1) 利用复合函数的求导法则求出 () 利用 d = d求出 d 解 : 由复合函数的求导法则可得 = cos(+ 1) 因此 d = d = cos(+ 1)d

128 四 函数微分的求法 1 例 3 e cos, = 求 d 分析 : 应用微分法求 d 1 3 ( cos ) d= d e d( uv) = vu d + uv d 一阶微分的形式不变性 d cos = + cos de e d ( ) ( ) d = 3 cos d sin d e e 1 3 d( e ) = = d(sin ) = cos d e d(1 3 ) 3e d ( 3cos sin ) e 1 3 = + d

129 四 函数微分的求法 1 例 3 e cos, = 求 d 解 : 由积的微分法则及微分公式可得 ( ) d = cos = cos + cos d e de e d ( ) = cos e d(1 3 ) + e ( sin ) d ( ) ( ) = 3cos e d sin e d ( 3cos sin ) e 1 3 = + d

130 四 函数微分的求法 例 3: 设 sin cos( ) = 0, 利用一阶微分形式的不变性求 解 : 由一阶微分形式的不变性可得 d( sin ) d(cos( )) = 0 ( ) sin d+ d sin + sin( )d( ) = 0 从而 sin d+ cos d+ sin( )(d d ) = 0 故 d = cos + sin( ) sin( ) sin d 因此 d cos + sin( ) = = d sin( ) sin

131 四 函数微分的求法 例 4. 在括号中填入适当的函数, 使等式成立. (1) d( ) = d () d( ) = coswtdt 解 : (1) 因为 d 即 ( ) d = 所以 d ( ) = 1 ( ) ( ) d = d = d d 一般地, 有 () 同理 d( C) d + = ( C 为任意常数 ). sin wt d( C) coswtd w + = ( C 为任意常数 ).

132 四 函数微分的求法 当 f 0 ( ) 0时, 由于 d f ( 0 ) = Δ, 所以 当 0 Δ 时, 0, Δ d 0. Δ Δ 1 Δ lim = lim = lim = 1 d f ( ) Δ f ( ) Δ Δ 0 Δ 0 Δ 因此当 Δ 0, Δ 与 d 是等价无穷小. 注记 6 : 设 f ( 0 ) 0, 当 Δ 很小时, Δ d 当 f 0 ( ) 0时, 我们称 d 是 Δ 的线性主部.

133 五 微分在近似计算中的应用 如果函数 = f( ) 在点 0 处的导数 f ( 0 ) 0则当 Δ 很小时, 我们有 Δ d=f ( 0 )Δ 即 Δ=f( 0 +Δ) f( 0 ) d=f ( 0 )Δ, 所以 f( 0 +Δ) f( 0 )+f ( 0 )Δ. 若令 = 0 +Δ, 即 Δ= 0, 那么又有 f() f( 0)+f ( 0 )( 0 ). 特别当 0 =0 时, 有 f() f(0)+f (0).

134 五 微分在近似计算中的应用 注记 7: f() f( 0)+f ( 0 )( 0 ). 使用原则 (1) f( 0 ), f ( 0 ) 容易计算 () Δ = 0 较小 注记 8: 求函数近似值的步骤 第一步 : 确定, 0 Δ 第二步 : 计算 f( 0) 第三步 : 求 f ( 0 ) 第四步 : 利用 f( 0 +Δ) f( 0 )+f ( 0 )Δ 求出近似值

135 五 微分在近似计算中的应用 0 例 8. 利用微分计算 sin 的近似值. 解已知 0 π π = + 因此设 π π f ( ) = sin, 0 =, Δ = π 显然 ( 1) 容易算出, 1 π f( 3 0 ) = f( ) =, f ( 0 ) = f ( ) = 6 6 π () Δ = 较小 360 因此 0 π π 1 3 π sin = f( ) + f ( ) Δ =

136 五 微分在近似计算中的应用 常用的近似公式 ( 假定 是较小的数值 ) α (1) (1 + ) 1+ α () sin ( 用弧度作单位来表达 ) 由 f() f(0)+f (0) 可以得到 (3) tan ( 用弧度作单位来表达 ) (4) e 1 + (5) ln(1 + )

137 部分考研原题 1. (05,4 分 ) 设 ) d = ( 1+ sin, 则 = π =..(0,3 分 ). 函数 f (u) 可导, = f ( ) 当自变量 在 = 1处取得增量 Δ = 0. 1 时, 相应的函数增量 Δ 的线性主部为 0.1, 则 (1) f =.