【考研帮】2017寒假数学作业

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艮院佟佳
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1 考研帮 7 寒假数学作业考研帮说寒假是备考的重要时间段, 对于考研数学来说, 适当的练习必不可少每天抽一点时间来完成寒假数学作业吧! 帮帮为你准备了前 5 天的数学作业, 每天的题目后都附有答案哦第一天. 设 lim, lim y, lim A. 则下列命题中正确的是 ( ). z (A) lim ( y ). (B) lim ( z ). y (C) lim ( y ). (D) lim [ ] ( ) ( a ). 设 lim 8, 则 a 的值为 ( ). 5 ( ) (A). (B). (C). 5 8 (D). 均不对. 设数列与 y, 满足 lim y, 则下列叙述正确的是 ( ). (A) 若发散, 则 y 必发散. (B) 若无界, 则 y 必有界. (C) 若有界, 则 y 必为无穷小量 (D) 若为无穷小量, 则 y 必为无穷小量. { { 4. 设有数列 { }, y },{ z }, 且 } 为无界数列, lim y, lim z, 则必有 ( ). (A) lim. (B) lim y. (C) 存在正整数 N, 当 >N, 有 y. (D) lim z 不存在. /

2 5. 下列极限正确的是 ( ). si (A) lim. (B) lim si. π si (C) lim si 不存在. (D) lim. 6. lim f g存在, f g (A). lim f lim 不存在, 则正确的是 ( ). lim 不一定存在 (B). g (C). lim [ f ( ) g ( )] 必不存在 (D). lim 不一定存在 f 不存在 7. lim 答案.C,. C,. D, 4. D, 5. B, 6. D, 7. /

3 第二天. 设 f( ), 则当时 ( ). (A). f( ) 是的等价无穷小 (B). f( ) 是的同阶但非等价无穷小 (C). f( ) 比较低阶无穷小 (D). f( ) 比较高阶无穷小微分. 当时, f ) si 是 ( ). ( (A) 无穷小量. (B) 无穷大量. (C) 有界非无穷小量. (D) 无界非无穷大量.. 设 y f ( ) 在连续, 且满足 f ( ) ( ) o(( ))( ), 则 y=f() 在处的 y 当时是 ) 的 ( ). d ( (A) 等价无穷小. (B) 同阶非等价无穷小. (C) 高阶无穷小. (D) 低阶无穷小. f 4. 设 f( ) 满足 lim, 当时, lcos 是比 f 高阶的无穷小量, 而 f 是比 e si 高阶的无穷小, 则正整数等于 ( ). (A). (B). (C). (D) 当时, 与等价的无穷小量是 ( ) (A) e. (B) l( ). (C). (D) cos. 时, f si 与 g l b 6. 当 (A) b. (B) b. 6 6 (C) b. (D) b. 7. 已知当时, si 是等价无穷小 ( ) k f 与 c 是等价无穷小, 则 ( ) (A) k, c 4. (B) 9 k, c. (C) 9 k, c. (D) k, c 4. /

4 8. 当时, 与等价的无穷小量是 ( ). si (A) e. (B) l( ). (C). (D) cos. 9. 把时的无穷小量, si 前一个的高阶无穷小, 则正确的排列次序是 ( ).,γ=-cos 排列起来, 使排在后面的是 (A) β,γ,α. (B) γ,β,α. (C) α,β,γ. (D)γ,α,β.. 已知当 a 时, f ( ) e 为的阶无穷小, 则 a,b. b 答案.C,. D,. B, 4. A, 5. B, 6. A, 7. C, 8. B, 9. B,. a, b 4 /

5 第三天 l( ) ( a b ). 设 lim, 则 ( ). (A). a, b 5/ (B). a, b (C). a, b 5/ (D). a, b ( )( )( )( 4)( 5). 设 lim ( ) a, 则 a, 的数值为 ( ) (A). a, (B). a 5, (C). a 5, (D). 均不对 5 ( )( )( ) a. 设 lim 6, 则 a 的值为 ( ). (A). (B). (C). (D). a ta b( cos ) 4. 设 lim, 其中 a c l( ) d( e ) c, 则必有 ( ). (A). b 4d (B). b 4d (C). a 4c (D). a 4c a b e 5. 已知 I lim, 则 ( ). (A)a=5,b=-. (C)a=,b=. (B)a=-,b=5. (D)a=,b=-. I a b l lim 6. 已知 5, 则 ( ) (A). a=-4,b= (C). a=,b=- (B). a=4,b=- (D). a=-,b= a si 7. 设 lim c, 则 a,b, c. l( t ) dt b t 5 /

6 8. e lim lim ta si ta si e e cos lim si l(cos ) lim ta l( ). 答案.A,. C,. A, 4. C, 5. A, 6. B, 7.,., a, b, c, 8., 9.,. 6 /

7 第四天. lim cot si. lim cot lim[( a ) ] b., b, 求 a,b 的值. 4. lim( ) e 5. lim si cos 6. lim( ) si 7. lim [( ) ] 8. 若 lim a e, 则 a 等于 ( ) (A). (B). (C). (D). 9. lim[ ] si ( ). 当时, ( ) k 与 ( ) arcsi cos 是等价无穷小, 则 k =. 答案. 6,.,. 7 a, b, , 5., 6. 4, 7. 不存在, 8. C, 9.,. 4 7 /

8 第五天 lim. a b lim e ta lim( ) si lim ( e ) l( ) lim( lim(cos ) e ) l( ) cos si lim (ta ) lim ( ) l 答案. ab,. e,. e, 4. e, 5. e, 6. e, 7. e, 8. 8 /

9 第六天. 求极限 lim. 求极限 lim ( ) ( ). 设, (,, ), 证明 } 收敛并求 lim 4. 设数列 { 满足, si (,, ) 证明 } 收敛并求 lim 5. 设,, (,, ) 参考答案, 证明 { } { 收敛并求 lim.... lim 4. lim 5. lim.68 9 /

10 . 设 f ( ), 则结论 ( ) 正确. (A), 处间断. (B) 在, 连续. (C) 在间断, 在处连续. (D) 在处连续, 在间断.. 设 f(),g() 在不连续, 则 ( ) 第七天 (A). f()+g() 在不连续,f() g() 在连续 (B). f()+g() 和 f() g() 在都不连续 (C). f()+g() 在连续,f() g() 在不连续 (D). f()+g() 和 f() g() 在连续性不定. 设函数 f 有连续的导函数, f, f b ', f ( ) asi 若 F( ) A 在处连续, 则常数 A. a b 4. 设 f( ) lim 为连续函数. 求 a b. 参考答案.(C). (D). b a 4. a, b /

11 . 设函数第八天, f e 则 = 是 f() 的一个 ( ), (A). 连续点 (B). 可去间断点 (C). 第二类间断点 (D). 跳跃间断点 f. 设 f() 在 (-,+ ) 内有定义且 lim f ( ) a, g( ) e,,,, 则 ( ) (A)= 必是 g() 的可去间断点. (B)= 必是 g() 的第二类间断点. (C)= 必是 g() 的连续点. (D)g() 的连续性与 a 的取值有关.. 设 f( ) 和 ( ) 在 (, ) 内有定义, f( ) 连续且 f( ), ( ) 有间断点, 则 ( ) (A). [ f( )] 必有间断点 (B). (C). f[ ( )] 必有间断点 (D). [ ( )] 必有间断点 ( ) 必有间断点 f( ) ( ) cos 4. 求函数 f( ) 的间断点并判别类型 si 5. 设函数,. 参考答案 f ( ) si si ( si ) si, 且是 f( ) 的可去间断点, 求.(D). (A). (D) 4. a 为第一类可去间断点 ; k 为第二类无穷间断点 5. /

12 .f() 在处存在左右导数, 则 f() 在点 ( ) 第九天 (A) 可导. (B) 连续. (C) 不可导. (D) 不连续. f ( ). f()=, lim 存在是 f() 在 = 处可导的 ( ) (A) 充分非必要条件. (B) 必要非充分条件. (C) 充分必要条件. (D) 既非充分条件又作必要条件.,. 设函数 f cos, >, f( ) 在 = 处可导, 则 α 的取值为 ( ) (A)α<- (B)- α< (C) α< (D)α 4. 设 f 存在, 求 lim f f 设 f, 求 f 5 6. 设 y=y() 是由方程 y si y 7. 曲线 y l y 8. 与曲线确定的隐函数, 且 y()=, 则 y''()=. 与直线 +y= 垂直的切线方程为. 相切, 且与曲线在点 (,) 处的切线垂直, 则此直线方程为., a b, 9. 设函数 f, 试确定 a b 的值, 使参考答案.(B). (B). (A) ! y 8. f 5 y 8 9. a, b f 在点处可导. /

13 第十天.. 设 si, f, 则 ( ), (A)f() 有间断点 = (B)f'() 在 (-,+ ) 上连续 (C)f() 在 (-,+ ) 上连续, 但有不可导点 (D)f() 在 (-,+ ) 上处处可导, 但 f'() 在 (-,+ ) 上不连续. 设函数 gsi, f 且 g()=g'()=, 则 f() 在点 = 处 ( ), (A) 连续但不可导 (B) 可导但 f'() (C) 极限存在但不连续 (D) 可微且. 设函数 f() 在 (a,b) 内有定义, ( a, ), 若当 (a,b) 时, 恒有 ) ( ) b f( ) f(, 则必是 f() 的 ( ) (A) 间断点. (B) 连续但不可导点. (C) 可导点且 f ( ) (D) 可导点且 f ( ). 4. 设 f() 二阶可导, 且 f'()<,f"()>,δy=f(+δ)-f(), 则当 Δ> 时有 ( ) (A)Δy>dy>. (B)Δy<dy< (C)dy>Δy>. (D)dy<Δy<. df α arcta, 5. 设 f ( ),, 其导函数在 = 处连续, 则 α 的取值范围是., y 6. 设方程 e si t y 确定了 y=y(t), 则在 t= 处曲线 y(t) 的切线方程是 =. 参考答案.(D).(D).(D) 4.(D) 5. α> 6. y=e+ /

14 . 已知 y f, f' l. 求下列函数的导数或微分 : (I) 设 y, 则 d y d. arcsi e, 求 y ; (Ⅱ) 设 y, 求 dy ; (Ⅲ) 设 y, 求 y. si cos dy. 设 y e cos, 求. d 4. 设 y 5. 设 z e ta dy, 求. d si, 求 dz. a b 6. 设 y arcta ta, 其中 ab, 求 y. a b a b 答案 : 4. l. 9 9 (I) y. e e (Ⅱ) dy d. (Ⅲ) 第十一天 y. 提示 : 这是求连乘积的导数, 用对数求导法方便. 因函数可取负值, 先取绝对值后再取对数. dy si d cos si cos e si ( cos). 4. y' y 5( 5) 5( ) 5. ta dz e ta sec cos d 6. y a bcos 4 /.

15 第十二天. 设函数 y=y() 由方程 cos( y) y 所确定, d d y.. 设 y=y() 是由方程 y si y 确定的隐函数, 且 y()=, 则 y =.. 设 f () ( ) e,, 则 f ( ).,, 4. 已知 t e sit t y e cos t, dy 求 d. / dy 5. 设 y y, u ( ), 求. du g( ) cos 6. 已知 f (), 其中 g () 有二阶连续导数, 且 g (). a () 确定 a 的值, 使 f () 在点连续 ;() 求 f ( ). 7. 设 φ() 在 = 可导, g cos,,, 令 F()=φ[g()], 求 F. ( )l( ) ( ),, y 答案 :.. -. ( ) 4. e,, dy 6. () a g() 5.. du ( y ) ( ) dy d e (cost si t) t () f ( ) [ g ( ) si ] [ g( ) cos ] ( g () ) 5 /

16 F g cos,,, 7. F 提示 : 6 /

17 第十三天. 设 y, 则 y ( ).. 设 yl( ), 则 y (5) () =.. 设 f( ) 有任意阶导数且 f f '( ) ( ), 则 ( f ) ( ). 4. 已知 f (), 求 f ( ) (). 5. 设 y l, 求 f. ( ) () 答案 :.!. ( ) ( ) f ( ) ( )!! f ( ). ( ) 4. 详解 f ( ), f ( ) ()! ( )! ( ) ( ), (k f ) (), k,,, k f ()!, k,,, 5. ( f ) ()! 提示 : 使用莱布尼兹高阶导数公式 ( ) ( ) ( ) ( )! ( )! f ( ) (l ) (l ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )! ( ) ( )!, 7 /

18 第十四天. 设 f 可导, 恒正, 且 a b 时恒有 f f (A) bf a af b. (B) abf f b (C) af a f. (D) abf f a., 则.. 设函数 f( ) 为可导函数, 且 f 严格单调递增, 则 F ( ) f ( ) f ( a) 在 (a,b] 内 ( ) a (A) 有极大值. (B) 有极小值. (C) 单调减少. (D) 单调递增. f. 设 f() 在 = 的邻域内有定义, 且 f()=, lim, 则 f() 在 = 处 ( ) cos (A) 不可导 (B) 可导且 f' = (C) 取极大值 (D) 不取极值 f'' 4. 设 f( ) 有二阶连续导数, 且 f'()=, lim, 则 ( ) (A) f( ) 有极大值 (B)f() 是 f( ) 的极小值 (C)(,f()) 是曲线 y= f( ) 的拐点 (D)f() 不是 f( ) 的极值, 点 (,f()) 也不是曲线的拐点 5. 设 << <, 则 si si 与之间的关系是. 6. 设 f( ) 对一切 (-,- ) 满足方程 ( ) f ( ) ( )[ f ( )] e, 且 f( ) 在 =a(a ) 取得极值, 则 =a 是极值点. 7. 求函数 y ( 5) 的单调性区间与极值点 8. 设 a, 求 f( ) 的最大值 a 8 /

19 答案 :. (C). (D). (B)4. (B) 5. si si > 6. =a 是极小值点 7. 单调增加区间 : (, ) (, ) ; 单调减少区间 :(,); 极小值点, 极大值点. a 8. f( ) 在 (,+ ) 的最大值 a. 提示 : f( ) 在 (, ) 上连续且可写成如下分段函数,,,, a (- ) ( a ) f ( ), a, f ( ), a, a ( ) ( a ) a,, a. a, ( ) ( a) 9 /

20 第十五天. f( ) 为二阶可导函数. 设当 (a,b) 时, f =g(), 而 y=g() 的图形如图所示, 则 y=f () 在 (a,b) 内 ( ) (A) 有个极值点, 个拐点. (B) 有个极值点, 个拐点. (C) 有个极值点, 个拐点. (D) 有个极值点, 个拐点.. f( ) 二阶可导,f(π)=, f'' >,=π 是 f( ) 的极值点,g()=f()cos, 则 ( ) (A) 不能确定 =π 是否为 g() 的极值点 (B)=π 不是 g() 的极值点 (C)=π 是 g() 的极小值点 (D)=π 是 g() 的极大值点. 设 f 在 ab, 定义, a b (A) 若, 则下列命题中正确的是 ( ), f 在 ab, 单调增加且可导, 则 f a, b. (B) 若, f 是曲线 y f 的拐点, 则 (C) 若 f f f (D) 若 f 在 4. 曲线 f.,,, 则一定不是 f. 处取极值, 则 6e y ( ) f 的极值点. (A) 有铅直渐近线 (C) 既有铅直渐近线又有水平渐近线 (B) 有水平渐近线 (D) 仅有斜渐近线 9 的拐点是曲线 y 7 /

21 l 6. 曲线 y 的渐近线方程为. 7. 求函数 y l 8. 作函数 y 的图形. 的单调性区间, 极值点, 凹凸性区间与拐点. 答案 :. (C). (D). (C)4. (A)5. (,) 6. y 7. 单调增区间 (,); 单调减区间 (,) (, ); 极小值点. 凹区间, (, ), 凸区间, ; 拐点, 解定义域 :., e, (Ⅰ) y', y' 得 e, ' y, e. ( ), e, y'', y'' 得 e, y'' 4, e. (,e) e (e,e ) e (e, ) y ' y '' y 极大值拐点 (Ⅱ) 渐进线 : 只有间断点. 由由 lim 可知, 有垂直渐进线 ; lim y lim lim 可知, 有水平渐进线 y 图形略 /

8. e f ( e ) d = f ( t) dt, 则 ( ) b A) =, b = B) =, b = e C) =, b = D) =, b = e 9. ( sin ) d = ( ) A) B) C) D). ln( + + ) d = ( ) A) B) C) D). 若 f ( )

8. e f ( e ) d = f ( t) dt, 则 ( ) b A) =, b = B) =, b = e C) =, b = D) =, b = e 9. ( sin ) d = ( ) A) B) C) D). ln( + + ) d = ( ) A) B) C) D). 若 f ( ) 高等数学试题考试日期 :4 年 7 月 4 日星期三考试时间 : 分钟一. 选择题. 当时, y = ln( + ) 与下列那个函数不是等价的 ( ) A) y = B) y = sin C) y = cos D) y = e. 函数 f() 在点极限存在是函数在该点连续的 ( ) A) 必要条件 B) 充分条件 C) 充要条件 D) 无关条件. 下列各组函数中, f () 和 () f