sin 6 f ( ) 6 f( ) (4) 若 lim, 则 lim 为 ( ) (A). (B)6. (C)6. (D). (5) 具有特解 y, y, y 的 阶常系数齐次线性微分方程是 ( ) (A) y y y y. (B) y y y y. (C) y 6y y 6y. (D) y y

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1 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 一 填空题 ( 本题共 5 小题, 每小题 分, 满分 5 分, 把答案填在题中横线上 ) arcan () lim. ln( ) () 设函数 y y( ) 由方程 y y所确定, 则 dy. () d ( 7). (4) 曲线 y ( ) 的斜渐近线方程为. (5) 设 A, E 为 4 阶单位矩阵, 且 B ( E A) ( E A) 则 ( E ) B. 二 选择题 ( 本题共 5 小题, 每小题 分, 共 5 分, 在每小题给出的四个选项中, 只有一项 符合题目要求, 把所选项前的字母填在题后的括号内.) () 设函数 f( ) 在 (, ) 内连续, 且 lim f( ), 则常数 ab, 满足 ( ) b a (A) a, b. (B) a, b. (C) a, b. (D) a, b. () 设函数 f( ) 满足关系式 (A) f () 是 f( ) 的极大值. (B) f () 是 f( ) 的极小值., 且 f (), 则 ( ) f ( ) [ f ( )] (C) 点 (, f ()) 是曲线 y f ( ) 的拐点. (D) f () 不是 f( ) 的极值, 点 (, f ()) 也不是曲线 y f ( ) 的拐点. ( ) 设 f ( ), g( ) 是大于零的可导函数, 且 f '( ) g( ) f ( ) g '( ), 则当 a b 时, 有 ( ) (A) f ( ) g( b) f ( b) g( ) (B) f ( ) g( a) f ( a) g( ) (C) f ( ) g( ) f ( b) g( b) (D) f ( ) g( ) f ( a) g( a) 数学 ( 二 ) 试题第 页 ( 共 8 页 )

2 sin 6 f ( ) 6 f( ) (4) 若 lim, 则 lim 为 ( ) (A). (B)6. (C)6. (D). (5) 具有特解 y, y, y 的 阶常系数齐次线性微分方程是 ( ) (A) y y y y. (B) y y y y. (C) y 6y y 6y. (D) y y y y. 三 ( 本题满分 5 分 ) ln( ) 设 f(ln ), 计算 f ( ) d. 四 ( 本题满分 5 分 ) 设 oy 平面上有正方形 D (, y), y 及直线 l : y ( ). 若 S () 表示正方形 D 位于直线 l 左下方部分的面积, 试求 S ( ) d,( ). 五 ( 本题满分 5 分 ) n 求函数 f ( ) ln( ) 在 处的 n 阶导数 f ()( n ). 六 ( 本题满分 6 分 ) 设函数 S( ) cos d, () 当 n 为正整数, 且 n ( n ) 时, 证明 n S( ) ( n ) ; S ( ) () 求 lim. 七 ( 本题满分 7 分 ) V 某湖泊的水量为 V, 每年排入湖泊内含污染物 A 的污水量为, 流入湖泊内不含 A 的 6 V V 水量为, 流出湖泊的水量为, 已知 999 年底湖中 A 的含量为 5m, 超过国家规定指 6 m 标. 为了治理污染, 从 年初起, 限定排入湖泊中含 A 污水的浓度不超过 V. 问至多需要 经过多少年, 湖泊中污染物 A 的含量降至 m 以内 ( 注 : 设湖水中 A 的浓度是均匀的 ) 八 ( 本题满分 6 分 ) 设函数 f( ) 在, 上连续, 且 f ( ) d, f ( )cos d, 试证明 : 在 (, ) 内至少存在两个不同的点, 九 ( 本题满分 7 分 ), 使 f( ) f( ). 数学 ( 二 ) 试题第 页 ( 共 8 页 )

3 已知 f( ) 是周期为 5 的连续函数, 它在 的某个邻域内满足关系式 f ( sin ) f ( sin ) 8 ( ) 其中 ( ) 是当 时比 高阶的无穷小, 且 f( ) 在 处可导, 求曲线 y f ( ) (6, f (6)) 处的切线方程. 十 ( 本题满分 8 分 ) 在点 设曲线 y a ( a, ) 与 y 交于点 A, 过坐标原点 O 和点 A 的直线与曲 线 y a 围成一平面图形. 问 a 为何值时, 该图形绕 轴旋转一周所得的旋转体体积最大? 最大体积是多少? 十一 ( 本题满分 8 分 ) 函数 f( ) 在 [, ) 上可导, f () 且满足等式 () 求导数 f ( ) ; f ( ) f ( ) f ( ) d, () 证明 : 当 时, 成立不等式 f ( ) 成立 十二 ( 本题满分 6 分 ) T T 设, T,, A, B. 其中 是 的转置, 求解方程 B A A B 十三 ( 本题满 7 分 ) a b 9 已知向量组,, 与向量组,, 6 7 具有相同的秩, 且 可由,, 线性表出, 求, ab 的值. 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析 一 填空题 数学 ( 二 ) 试题第 页 ( 共 8 页 )

4 () 答案 6 ln arcan arcan 洛 详解 lim lim lim lim ln () 设函数 y y( ) 由方程 y y所确定, 则 dy. 答案 (ln )d 详解 方法 : 对方程 y y两边求微分, 有 y ln ( dy yd) d dy. 由所给方程知, 当 时 y. 将, y 代入上式, 有 ln d d dy. 所以, dy (ln ) d. 方法 : 两边对 求导数, 视 y 为该方程确定的函数, 有 y ln ( y y) y. 当 时 y, 以此代入, 得 y ln, 所以 dy (ln ) d. () 答案 详解 由于被积函数在 处没有定义, 则该积分为广义积分. 对于广义积分, 可以先按 照不定积分计算, 再对其求极限即可. 作积分变量替换, 令 d d,, d d arcan. ( 7) ( 9) (4) 答案 y y 公式 y k b 为 y f ( ) 的斜渐近线的计算公式 : k lim, b lim [ f ( ) k] y 详解 k lim lim ( ), 数学 ( 二 ) 试题第 4 页 ( 共 8 页 )

5 u u b lim ( y ) lim[( ) ] 令 u lim( ) u u u ( ) u u u u lim( ) ulim( ) u u u u 所以, 方向有斜渐近线 y. 当 时, 类似地有斜渐近线 y. 总之, 曲线 y ( ) 的斜渐近线方程为 y. (5) 答案 4 详解 先求出( E ) B 然后带入数值, 由于 B ( E A) ( E A), 所以 - ( E B) E ( E A) ( E A) ( E A) ( E A) ( E A) ( E A) - ( E A) ( E A) 二 选择题 () 答案 D 详解 排除法 : 如果 a, 则在 (, ) 内 f( ) 的分母 a b 必有零点, 从而 f( ) 在 处 不连续, 与题设不符. 不选 ( A ), 若 b, 则无论 a 还是 a 均有 lim f( ), 与题 设 lim f( ) 矛盾, 不选 ( B ) 和 ( C ). 故选 ( D ). () 答案 C 定理应用 判断极值的第二充分条件: 设函数 f( ) 在 出具有二阶导数且 f( ), f ( ), 那么 :() 当 f ( ) 时, 函数 f( ) 在 处取得极大值 ; 数学 ( 二 ) 试题第 5 页 ( 共 8 页 )

6 () 当 f( ) 时, 函数 f( ) 在 处取得极小值 ; 详解 令等式 f ( ) [ f ( )] 中, 得 f f 值的第二充分条件, 故无法判断是否为极值或拐点. 再求导数 ( 因为下式右边存在, 所以左边也存在 ): f ( ) ( f ( ) ) f ( ) f ( ) () (), 无法利用判断极 以 代入, 有 f (), 所以 f ( ) f () f ( ) f () lim lim. 从而知, 存在 去心邻域, 在此去心邻域内, f ( ) 与 同号, 于是推知在此去心 邻域内当 时曲线 y f ( ) 是凸的, 在此去心临域内 时曲线 y f ( ) 是凹的, 点 (, f ()) 是曲线 y f ( ) 的拐点, 选 (C). () 答案 A 分析 由选项答案可知需要利用单调性证明, 关键在于寻找待证的函数. 题设中已知 f '( ) g( ) f ( ) g '( ), 想到设函数为相除的形式 详解 设 F ( ) f( ) g ( ), 则 f( ) g ( ). f '( ) g( ) f ( ) g '( ) F ( ), g ( ) 则 F ( ) 在 a b 时单调递减, 所以对 a b, F( a) F( ) F( b), 即 f ( a ) ( ) ( ) f f b g( a) g( ) g( b) 得 f ( ) g( b) f ( b) g( ), a b, ( A ) 为正确选项. (4) 答案 ( C ) 分析 本题有多种解法:() 将含有 f( ) 的要求极限的表达式凑成已知极限的表达式, 或 反之 ;() 利用极限与无穷小的关系, 从已知极限中解出 f( ) 代入要求极限式中 ;() 将具体 函数用佩亚诺余项泰勒公式展开化简原极限. 详解 方法 : 凑成已知极限 数学 ( 二 ) 试题第 6 页 ( 共 8 页 )

7 而 6 f ( ) 6 f ( ) 6 sin 6 sin 6 f ( ) (6 ) 6 sin 6 洛 6 6cos6 6( cos6 ) lim lim lim lim 6 ( 由于 cos cos(6 ) (6 ) ) 6 f ( ) 6 sin 6 sin 6 f ( ) lim lim lim 6 6 所以 方法 : 由极限与无穷小关系, 由已知极限式解出 sin 6 f ( ) a, lim a 从而 所以 sin 6 f ( ) a a f( ) sin 6 a sin 6 6 f a 6 ( ) 6 sin 6 6 f ( ) a 6 sin 6 极限的四则运算 6 sin 6 lim lim lim a lim (6 ) 6 6cos 6 lim lim 6 方法 : 将 sin 6 在 处按佩亚诺余项泰勒公式展开至 项 : (6 )! sin 6 6 ( ) 6 6 ( ), 于是 sin 6 f ( ) 6 f ( ) 6 ( ) 6 f ( ) ( ) 6, 从而 6 f ( ) sin 6 f ( ) ( ) lim lim 6 lim 6 6. (5) 答案 B 详解 由特解 y, y, 对照常系数线性齐次微分方程的特征方程 特征根与解的对应关系知道, r 为特征方程的二重根 ; 由 y 可知 r 为特征方程的单根, 因此特征方程为 ( r )( r ) r r r, 数学 ( 二 ) 试题第 7 页 ( 共 8 页 )

8 由常系数齐次线性微分方程与特征方程的关系, 得该微分方程为 y y y y. 三 详解 方法 : 为了求不定积分, 首先需要写出 f( ) 的表达式. 为此, 令 ln ln( ) ln( ) f ( ) f (ln ) f ( ) d ln( ) d ln( ) d ln( ) d 分部积分 ln( ) d 拆项 ln( ) ( ) d ln( ) d d ln( ) d d ln( ) d d( ) ln( ) ln( ) C 方法 : 作积分变量替换, 命 ln, ln( ) f ( ) d f (ln ) d d ln( ) d ln( ) [ d] 分部积分 ( ), 有 ln( ) ( ) d 部分分式求和 ln( ) ln( ) d d( ) ln ln( ) C ln( ) ln( ) C. 四 详解 先写出面积 S () 的 ( 分段 ) 表达式, 数学 ( 二 ) 试题第 8 页 ( 共 8 页 ) S() O +y=

9 当 时, 图形为三角形, 利用三角形的面积公式 : S() ; 当 时, 图形面积可由正方形面积减去小三角形面积, 其中由于 y 与 y 交点的纵坐标为, 于是, 小三角形的边长为 : ( ), 所以 S( ) ( ) ( 4 4) ; 当 时, 图形面积就是正方形的面积 : S ( ), 则 因此,, S,. ( ) ( ),, 当 时, 当 时, 当 时, S( ) d d ; 6 S( ) d S( ) d S( ) d d [ ( ) ] d ( ) ( ) S( ) d S( ) d S( ) d d. 6 S( ) d 6 五 详解 方法 : 按莱布尼茨高阶导数公式 : ( n) ( n) ( n) k ( nk) ( k) ( n) ( uv) u v Cnu v Cnu v uv. 为了求 ln( ) 的 n 阶导数, 设 yln( ), y ; 数学 ( 二 ) 试题第 9 页 ( 共 8 页 )

10 y ; y y (4) 一般地, 可得 y n ( n) ( ) ( n )! n ( ) 4 4 ; 即 ln( ) n ( n) ( ) ( n )! ( ) n 设 uln( ), v, 利用上述公式对函数展开, 由于对 求导, 从三阶导数 开始就为零, 故展开式中只含有前三项. 代入, 得 : n n n ( n) ( ) ( n )! ( ) ( n )! ( ) ( n )! n n n f ( ) n n( n ). ( ) ( ) ( ) n ( n) n ( ) n! f () n( n )( ) ( n )!, n,4. n 方法 : y f ( ) 带佩亚诺余项的麦克劳林公式 : ( n) f() f () n n f ( ) f () f () ( )! n! n 求 f ()( n ) 可以通过先求 y f ( ) n 的的麦克劳林展开式, 则展开式中 项的 (n) 系数与 n! 的乘积就是 y f ( ) 在点 处的 n 阶导数值 f (). 由麦克劳林公式, n n n ln( ) ( ) ( ), n 所以 4 5 n n n ln( ) ( ) ( ). n 对照麦克劳林公式 ( n) f () f () f () n n f ( ) f () ( ),!! n! 数学 ( 二 ) 试题第 页 ( 共 8 页 )

11 从而推知 f () ( ) n! n ( n) n 得 f n ( n) ( ) n! (), n,4. n 六 详解 因为 cos, 且 n ( n ), 所以 n ( n) cos d cos d cos d. 定积分的性质 又因为 cos 具有周期, 所以在长度为 的积分区间上的积分值均相等 : 从而 a cos d cos d, a n n cos d cos d cos d cos d ( n) n cos d n( cos d cos d) n (sin sin ) n ( ( )) n 所以 所以 ( n) cos d ( n ). n cos d ( n ), 即 n S( ) ( n ). n S( ) ( n ) () 由 () 有, 当 n ( n ) 时, ( n ) n 命 n 取极限, ( ) n ( n ) lim lim, lim lim n n ( n ) n ( ) n n n n 由夹逼定理, 得 S ( ) lim. 七 详解 设从 年初 ( 相应 ) 开始, 第 年湖泊中污染物 A 的总量为 m, 浓度为 m V, 数学 ( 二 ) 试题第 页 ( 共 8 页 )

12 m 则在时间间隔 [, d] 内, 排入湖泊中 A 的量为 : V m ( d d ) d V 6 6, 流出湖泊 m V m 的水中 A 的量为 d d V. m m 因而时间从 到 d 相应地湖泊中污染物 A 的改变量为 : dm ( ) d. 6 由分离变量法求解 : dm m m d ( ) 6 两边求积分 : m m d( ) dm 6 m m d C ln( ) C m m m m ( ) ( ) m m C m m ln( ) 6 6 C m m 6 C C C m m m m C, ( C ) 9 m 初始条件为 m() 5m, 代入初始条件得 C m. 于是 m ( 9 ), 要满 足污染物 A 的含量可降至 m 内, 命 m m, 得 6ln. 即至多需经过 6ln 年, 湖泊中 A 的含量降至 m 以内. 八 证明 方法 : 令 F( ) f ( ) d,, 有 F(), 由题设有 ( ) 又由题设 f ( )cos d, 用分部积分, 有 f ( )cosd cos df( ) 由积分中值定理知, 存在 (, ) 使 F. F( )cos F( )sin d F( )sin d F( )sin ( ) F( )sin d 因为 (, ), sin, 所以推知存在 (, ), 使得 F( ). 再在区间 [, ] 与 [, ] 上对 F ( ) 用罗尔定理, 推知存在 (, ), (, ) 使 数学 ( 二 ) 试题第 页 ( 共 8 页 )

13 F( ), F( ), 即 f( ), f( ) 方法 : 由 f ( ) d 及积分中值定理知, 存在 (, ), 使 f ( ). 若在区间 (, ) 内 f( ) 仅有一个零点, 则在区间 (, ) 与 (, ) 内 f( ) 异号. 不妨设在 (, ) 内 f( ), 在 (, ) 内 f( ). 于是由 f ( ) d, f ( )cos d, 有 f ( )cos d f ( )cos d f ( )(cos cos ) d f ( )(cos cos ) d f ( )(cos cos ) d 当 时, cos cos, f ( )(cos cos ) ; 当 时, cos cos, 仍有 f ( )(cos cos ), 得到 :. 矛盾, 此矛盾证明了 f( ) 在 (, ) 仅有 个零点的假设不正确, 故在 (, ) 内 f( ) 至少有 个不同的零点. 九 详解 为了求曲线 y f ( ) 在点 (6, f (6)) 处的切线方程, 首先需要求出 y f ( ) 在 6 处的导数, 即切线斜率. 而函数又是以周期为 5 的函数, 且在 处可导, 则在 6 处可导, 且其导数值等于函数在 处的导数值. 将 f ( sin ) f ( sin ) 8 ( ) 两边令 取极限, 由 f 的连续性得 f () f () lim(8 ( )) f () 故 f (), 又由原设 f( ) 在 处可导, 两边同除 sin, f ( sin ) f () f ( sin ) f () 8 ( ) lim lim lim lim sin sin sin sin 根据导数的定义, 得 8 ( ) f() f() lim lim 8 4 f () 8 sin sin 所以 f (), 又因 f (6) f (5 ) f (), 所以 f (6), 由点斜式, 切线方程为 ( y f (6)) f (6)( 6). 以 f (6) f (), f (6) 代入得 y( 6). 即 y. 十 详解 首先联立两式, 求直线与曲线的交点 : a, 得 : a, 而, 数学 ( 二 ) 试题第 页 ( 共 8 页 )

14 a 则交点坐标为 :( y, ) (, ). 由点斜式, 故直线 OA 的方程为 y a a a a. b 由旋转体体积公式 V f ( ) d, 要求的体积就是用大体积减去小体积 : a a a a a a 4 V d a d ( a ) d a a 5 a a a a ( a) 5 5( a) 为了求 V 的最大值, 对函数关于 a 求导, 5 a ( a) a ( a) dv a a 5 5 da 5 5 5( a) ( a) 5 ( a) ( a) 5 ( a) ( a) [ a( a) a ] [ a( a) a ] ( a) ( a) ( a) [a a a ] [ a a ] [4 a a ] a dv 命, da 得唯一驻点 a 4, 所以 a 4 也是 V 的最大值点, 最大体积为 V a 4 十一 详解 () 为了求 f ( ), 将 f ( ) f ( ) f ( ) d 两边同乘 ( ), 得 ( ) f ( ) ( ) f ( ) f ( ) d, 两边对 求导, 得 f ( ) ( ) f ( ) f ( ) ( ) f ( ) f ( ) 即 ( ) f ( ) ( ) f ( ). 上述方程为二阶可降阶微分方程, 令 u f ( ), 化为 ( ) u ( ) u, 即 du u ( ) d ( ) 两边求积分 : 数学 ( 二 ) 试题第 4 页 ( 共 8 页 )

15 du ( ) d ( ) d u ( ) ln u ( ln( )) C 即 u ( ) ( ln( ) C) C 所以 C C 令 C C, 则 u, 于是 f ( ) u. 再以 代入原方程 f (), 于是 C, f ( ). () 方法 : 用积分证. f () f () f ( ) d f () f (), 由 f (), 有 f ( ) f () f ( ) d d. 而 d d 牛 -莱公式 两边同乘以 ( ), 得 : d, 即 f ( ) d 方法 : 用微分学方法证. 因 f (), f ( ), 即 f( ) 单调递减, 所以当 时 f( ). 要证 f ( ), 可转化为证明 f ( ), 令 ( ) f ( ), 则 (), 且 ( ) f ( ) f ( ) ( ) 所以, 当 时 ( ), 即 f ( ). 结合两个不等式, 推知当 时, f ( ). 证毕. 十二 详解 由题设得 数学 ( 二 ) 试题第 5 页 ( 共 8 页 )

16 T T A, B. A, A 4 8A; B 4, B 6 T T T 所以 A 4 4 代入原方程 B A A B 中, 得, 即 8 6A 8A 6 其中 E 是三阶单位矩阵, 令,, A E T, 代入上式, 得线性非齐次方程组 显然方程组得同解方程为 令自由未知量 k, 解得 k, k 故方程组通解为 () () k k k,( k 为任意常数 ) k 十三 详解 方法 : 先求,,, 将矩阵作初等行变换, 得,, 知,,. 故,,,,,,, 作初等行变换 数学 ( 二 ) 试题第 6 页 ( 共 8 页 )

17 ,, 因为,,, 所以 a b 又 可由,, 将,,, a b ab 线性表出, 故,,,,, 作初等行变换 9 b 9 b 6 6 b 7 b 9 b b 6 5 b b 由,,,, 得 b b 方法 : 由方法 中的初等变换结果可以看出,,,,,,,,, 5, 解得 b 5, 及 a b 5. 线性无关, 且, 故 是,, 的极大线性无关组. 又,,, 线性相关. 从而得 a b a b,,, 计算三阶行列式得 ab, 得 a b 可由,, 又 线性表出, 即可由, 线性表出,, 线性相关, 有 b b b,, 6 b 6 b 行列式展开得 b b b b b 6 6, 6 数学 ( 二 ) 试题第 7 页 ( 共 8 页 )

18 5, 得 b 5 及 a b 5. 所以 b b 方法 : 先利用 可由,, 线性表出, 故方程组,, X 9 b 6 7 有解. 对其增广矩阵施行初等行变化 9 b 9 b 6 6 b 7 b 有解, 即 9 b b 6 5 b b 由其次线性方程组有解的条件 ( 系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩 ), 知 5 5 b b b 解得 b 5. 又因为 和 线性无关, 且, 所以向量组,, 由题设条件知,, 解得 a 5 的秩为, a b a b, 从而,,, 数学 ( 二 ) 试题第 8 页 ( 共 8 页 )