9 浙江专升本考试群 6869 b f ( )d F ( b ) F ( ) F ( )( b ) f ( )( b ), (, b ), 故选 (A). 下列等式正确的是 ( ) (A) f ( )d f ( ) (B) d f ( ) f ( ) (C) d ( )d ( ) d f f (D)

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1 9 浙江专升本考试群 6869 浙江省 7 年选拔优秀高职高专毕业生进入本科学习统一考试 高等数学 请考生按规定用笔将所有试题的答案涂 写在答题纸上选择题部分注意事项 :. 答题前, 考生务必将自己的姓名 准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定的位置上. 每小题选出答案后, 用 B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑, 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案标号不能答在试题卷上一 选择题 ( 本大题共 小题, 每小题 4 分, 共 分在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求 ). 已知函数 f ( ) e, 则 是 f ( ) 的 ( ) (A) 可去间断点 (B) 连续点 (C) 跳跃间断点 (D) 第二类间断点 思路点拨 当遇到判断间断点类型的题目时, 计算出在该点处函数的左右极限, 再根据间 断点类型直接判断即可 答案 (D) 解析 由于 lim f ( ) lime ; lim f ( ) lime, 所以 是第二类间断点, 故选 (D). 设 f ( ) 在 [, b ] 上连续, 则 ( ) (A) 必存在 (, b ) 使得 b f ( )d f ( )( b ) (B) 必存在 (, b ) 使得 f ( b) f ( ) f ( )( b ) (C) 必存在 (, b ) 使得 f ( ) (D) 必存在 (, b ) 使得 f ( ) 思路点拨 会利用牛顿 - 莱布尼茨公式及拉格朗日中值定理得出结论即可, 注意积分中值 定理的结论是 [, b ] 答案 (A) 解析 若 f ( ) 在 [, b ] 上连续, 则必存在原函数设 F( ) 是 f ( ) 在 [, b ] 上的原函数, 可得 F( ) 在 [, b ] 上连续, 在 (, b ) 内可导由牛顿 - 莱布尼茨公式及拉格朗日中值定理可得

2 9 浙江专升本考试群 6869 b f ( )d F ( b ) F ( ) F ( )( b ) f ( )( b ), (, b ), 故选 (A). 下列等式正确的是 ( ) (A) f ( )d f ( ) (B) d f ( ) f ( ) (C) d ( )d ( ) d f f (D) d f ( )d f ( ) 思路点拨 不定积分是所有原函数组成的集合 答案 (C) 解析 对于(A): f ( )d f ( ) C ; 对于 (B): d f ( ) f ( ) C ; 对于 (D): d f ( )d f ( )d ; 对于 (C): 设 f ( )d F ( ) C, d 故 ( )d ( ( ) ) ( ) d f F C f, 故选 (C) 4. 下列广义积分发散的是 ( ) (A) d (B) d (C) d (D) d 思路点拨 广义积分敛散性的判断实际考查的是定积分的计算以及求极限, 掌握计算方法 即可 答案 (D) 解析 对于 (A): d d, 所以 d 收敛 ; 对于 (B): d rcsin, 所以 d 收敛 ; 对于 (C): d, 所以 对于 (D): d, 故选 (D) d 收敛 ;. 微分方程 y y y e sin 的特解形式可设为 ( ) (A) e sin (B) e ( cos bsin )

3 9 浙江专升本考试群 6869 (C) e sin (D) e ( cos b sin ) 思路点拨 掌握特征方程的根与特解之间的关系即可 答案 (D) 解析 微分方程的特征方程为 r r, 解得特征方程的根为 r, r, 可知 i 不是特征方程的根, 所以特解形式设为 y e ( cos bsin ), 故选 (D) 注意事项 : 非选择题部分. 用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上, 不能答在试题卷上. 在答题纸上作图, 可先使用 B 铅笔, 确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑 二. 填空题 ( 本大题共 小题, 每小题 4 分, 共 4 分 ) 6. 已知 f ( ) 的定义域为 (,), 则 f ( ) 的定义域为 思路点拨 当遇到计算抽象的复合函数的定义域的问题时, 一般直接作整体代换, 然后求 解相应的不等式即可 答案 (,) 解析 由于 f ( ) 的定义域为 (,), 所以, 故 (,) 7. 已知 lim( k), 则 k 思路点拨 极限的计算首先要判断清楚极限的未定式类型, 再采用对应的计算方法进行计 算, 对于 类型采用重要极限进行计算 答案 ln 解析 当 k 时, 原极限为 lim, 舍去 ; 当 k 时, 显然 时, 该极限的类 k k 型为, 采用重要极限进行计算, lim( k) lim( k) k ln 8. 若 f ( ) ln( ), 则 lim h f () f ( h) h 思路点拨 熟悉导数的定义式, 需要将极限凑成导数的定义式 答案 k k lim e e, 故

4 9 浙江专升本考试群 6869 f ( ) f ( ) 解析 根据导数的定义式 f ( ) lim, 易将极限转化 f () f ( h) f ( h) f () f ( h) f () lim lim lim f (), 只需要求导数, h h h h h h 而 f ( ), 而 f () 9. 方程 的正根的个数 思路点拨 涉及到方程根的个数问题通常需要结合函数的单调性 零点定理和函数的图像进行分析 答案 解析 设函数 f ( ), 则 4 ( ), 显然 f ( ) f, 故函数 f ( ) 在 (, ) 上单调递增, 且 f (),lim f ( ) 仅有一个根 y. 已知 y y( ) 由 e y e 确定, 则, 结合零点定理, 故函数 f ( ) 在 (, ) d y 思路点拨 微分的计算即导数的计算, 此题为隐函数求导问题 答案 d e y 解析 由于 d y f ( )d, 故只需求隐函数 e y e 的导数, 两边同时对 求导数 e y y y y, 又当 时, y, y, 故 dy d e e. 已知 y, 则 y 思路点拨 幂指函数的导数的计算, 先通过对数恒等式转化为复合函数的形式, 再利用复 合函数的求导方法进行计算 ln 答案 ln ln ln 解析 对于函数 y e, 故 y e ln π. sin cos d π 思路点拨 对称区间上定积分的计算经常考查被积函数的奇偶性 答案 解析 对于被积函数 sin cos, 其中 sin 为奇函数,cos 为偶函数, 故 sin cos 仍

5 9 浙江专升本考试群 6869 然为奇函数, 所以其对称区间上的积分为 d. tf ( t )d t d 思路点拨 变限积分函数求导问题, 需要记住常见的求导公式以及使用条件 答案 f ( ) 解析 由公式 ( f ( t ) dt ) f ( ) 可知,( tf ( t )d t ) d f ( ), 故 tf ( t )d t f ( ) d 4. 设在 [, b ] 区间上, f ( ), f ( ), f ( ) b, S f ( )d S [ f ( ) f ( b )]( b ), 则 S, S, S 的大小顺序为, S f ( b)( b ), 思路点拨 本题容易发现 S, S, S 均表示不同区域图形面积, 可根据单调性 凹凸性采 取作图的方式解题 答案 S S S 解析 f ( ), 则函数单调递减, 而 f ( ), 则函数为凹函数, 绘制出图形, 易 得 S S S. 幂级数 ( ) n n 在 处条件收敛, 则级数收敛半径 R n 思路点拨 收敛半径的计算需要理解收敛半径的定义, 收敛半径之外的所有区间均发散, 收敛半径内的区间均绝对收敛 答案 4 解析 由于 处条件收敛, 易知 ( 4) n n 收敛, 故收敛半径 R 4, 而 发散, 故 R 4, 故 R 4 n n ( 4) n 三 计算题 ( 本题共有 8 小题, 其中 6~9 小题每小题 7 分,~ 小题每小 题 8 分, 共 6 分计算题必须写出必要的计算过程, 只写答案的不给分 ) ln( ) 6. 求极限 lim sin 思路点拨 掌握求极限的基本方法, 遇到型求极限的题目可以利用等价无穷小替换 洛 必达法则 泰勒公式等方法 答案 6 n

6 9 浙江专升本考试群 6869 解析 当 时, ln( ) o, 故 6, sin ( ) ln( ) lim lim lim 6 sin o( ) o( ) 6 6 t 7. 已知 y t t dy d y, 求, d d 思路点拨 会利用反函数求导法则求参数方程的一阶导数以及二阶导数 答案 d y d y ; d t d 4t 解析 d y d y d t d y d y / ( t ) t ; d dt d dt d t ( t) t t d y d d d / d d t dt t dt 4t 8. 求不定积分 rcsin d 思路点拨 会利用分部积分法 uvd uv vud 计算不定积分, 同时记住分部积分法 中选取 u 按照反 对 幂 指 三的顺序 答案 解析 rcsin C rcsin d rcsin d rcsin ( ) d( ) rcsin C 9. 已知, f ( ) 求定积分 e, f ( )d 思路点拨 遇到类似计算 b f ( t )d 的题目可以借助变量代换 u t 将被积函数化 简为含有单一变量的函数 f ( u ), 注意换元时需要换限 7 答案 e 解析 u f ( )d f ( u )d u

7 9 浙江专升本考试群 6869 u u 7 ( )d e d e e u u u u u. 已知, f ( ) 在 处连续且可导, 求, b 的值 b, 思路点拨 对于解析式不同的分段函数, 连续的定义为在给指定点处左极限等于右极限等于函数值 ; 可导的定义左导数等于右导数 答案, b 解析 由 f ( ) 在 处连续可得 lim f ( ) lim f ( ) f (), 故有 lim ) b b ; f ( ) f () f ( ) 在 处可导可得 f () f (), 故有 lim lim f ( ) f () b ( ) lim lim lim, 可得, b ;. 求幂级数 n n n 的收敛区间, 并求和函数 思路点拨 掌握求收敛半径的基本方法 : 幂级数 n n n 收敛半径为 R n lim n n ; 同时 掌握求和函数时逐项求导 逐项积分定理 答案 (,) ; S( ) ( ), (,) n 解析 幂级数的收敛半径为 R lim, 可得收敛区间为 (,) n n 设 S( ) n n, 可得 n ( )d n n n n S n d n d n n n n, 故 S( ) ( ) (,) ; 当 及 时原级数发散, 故可得和函数的定义域为

8 9 浙江专升本考试群 求过点 (,,) 且与两直线 L : y z, L : y z 平行的平面方程 思路点拨 掌握平面与直线平行时, 平面的法向量与直线的方向向量是互相垂直的 答案 y z 解析 由题意可得两直线的方向向量分别为 n = (,, ), n = (,,) 设平面的法向量为 n = ( l, m, n), 平面与两直线平行, 可得 ( n, n ) ( n, n ), 即 l m n m n, 可得一组解为 l, m, n, 可得平面方程为 ( ) ( y ) ( z ) 即 y z. 讨论 f ( ) e 的单调性 极值点 凹凸性 拐点及渐近线 思路点拨 涉及单调性的题目可以借助函数的一阶导数 ; 凹凸性的题目借助二阶导数 ; 求 渐近线的题目掌握三种渐近线的求法即可 答案 增区间为 (,), 减区间为 [, ), 极大值点为 ; 凹区间为 (, ), (, ), 凸区间为 [,], 拐点为, e 及, e ; 水平渐近线为 y 解析 f ( ) e e, 令 f ( ) 可得 当 时 f ( ), 故函数单调递增 ; 当 时 f ( ), 故函数单调递减 ; 故当 时函数取极大值 f () f ( ) e e ( ), 令 f ( ) 可得 当 时 f ( ), 故函数为凹函数 ; 当 时 f ( ), 故函数为凸函数 ; 当 时 f ( ), 故函数为凹函数 ; 故拐点为, e 及, e

9 9 浙江专升本考试群 6869 lim f ( ) lim e, 故有水平渐近线 y 综合可得 : 增区间为 (,), 减区间为 [, ), 极大值点为 ; 凹区间为 (, ), (, ), 凸区间为 [,], 拐点为, e 及, e ; 水平渐近线 为 y 四 综合题 ( 本大题共 小题, 每小题 分, 共 分 ) 4. 设 D 是由抛物线 y 和直线,, 及 y 所围成的平面区域, D 是由抛 物线 y 和直线, y 所围成的平面区域, 其中 () 求 D 绕 轴旋转而成的旋转体体积 V, D 绕 y 轴旋转而成的旋转体体积 V ; () 求 的值, 使得 V V 取最大值, 并求此最大值 思路点拨 旋转体的体积计算只需要记忆清楚对应的公式并使用即可, 对于最值问题直接 转化为常见的函数的单调性问题 答案 () V 4 π( ), V 9 (), 其最大值为 π 解析 ( ) 由题可知 4 π ; y ; V π f ( ) π dy π π π ( ) 设函数 4 4 V π f ( )d π 4 d π( ), 4 4 g( ) V V π( ) π ( ), 求导可得 4 ( ) 4π 4π 4π ( ), 令 g ( ) g, 得, 当 (,) 时函数 g( ), 函数单调递增, 当 (, ) 时函数 g( ), 函数单调递减, 当 时最大, 9 9 g() π, 故其最大值为 π. 设曲线 y f ( ) 过点 (,) 的切线在纵轴截距等于切点横坐标, 求曲线方程 思路点拨 根据题的等量关系列出其微分方程, 与初始条件即可求 答案 y ( ln ) ln

10 9 浙江专升本考试群 6869 解析 设曲线上任意一点 (, y ), 则其切线方程为 Y y y( X ), 此时当 X 时, 截距为 Y y y, 由题条件可知 y y, 化简为 y y, 为一阶线性微分方 P( ) d P( ) d 程, 利用通解公式可求得 y e [ Q( )e d C] ( ln C), 又函数经过 (,), 即 f (), 得 C, 曲线方程为 y ( ln ) ln ( 中值定理 ) 6. 设 f ( ) 在 [,] 上可导, 且 f (), 证明 : 存在 (,), 使 f ( ) f ( ) 思路点拨 罗尔定理的证明问题一般先要根据证明的结论, 推导出要构造的函数, 再依据 已知条件找出罗尔定理所要求的剩余三个条件 证明 设函数 F( ) f ( ), 显然 F( ) 在 [,] 连续, 在 (,) 可导, 且 F(), F() f (), 即 F() F(), 根据罗尔定理可知, 存在 (,), 使 f ( ) f ( )