（一）

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刃咸
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1 ( 一 ) 一填空题 ( 本题共 6 小题, 每小题 4 分, 满分 4 分, 把答案填在题中横线上 ) () 极限 lim ( ) ( ) 5 ( 5). e () 曲线 y 的凸区间是. y () 设函数 f(, e y t f f dt, 则 y. y (4) 在 (, ) 上以知 f(e ), f[ϕ ()]l, 则 ϕ (). (5) 以知向量组 α (,,-,), α (,,,),α (,,,), α 4 (,,,) 的极大线性无关组是 α,α,α, 则 α. 4 (6) 以知矩阵 A 不可逆, 那么矩阵 B 的特征值中, 有一个是.( 填数字 ) 二选择题 ( 本题共 8 小题, 每小题 4 分, 满分分在每小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求, 把所选项前的字母填在题后的括号内 ) (7) 设 f () 在点处可导, 且 f ( ), (,,, ), 则 f () (A) (B) (C) (D) (8) f ( ) e si 在区间 (-, ) 上是 (A) 有界的偶函数 (B) 有界的奇函数 (C) 无界的偶函数 (D) 无界的奇函数 (9) 设 f () 是 (-, ) 内的二次可导的奇函数, 且在 (, ) 内有 f ( ) >, f () <, 在 (-,) 内有 (A) f ( ) >, f () < (B) f ( ) >, f () > (C) f ( ) <, f () < (D) f ( ) <, f () > () 设 f () 在有连续的导数, 又 f ( ) lim, 则

2 (A) (, f () ) 是 y f () 的拐点 (B) 是 f () 极小值点 (C) 是 f () 的极大值点 (D) 不是 f () 的极值点,(, f () ) 也不是拐点 () 设 >,f() 在 [-,] 连续,f() 为偶函数, 则在 [-,] 上 (A) f() 的全体原函数为奇函数 (B) f() 的全体原函数为偶函数 (C) f() 有唯一原函数为奇函数 (D) f() 的任一原函数既不是奇函数也不是偶函数 () 曲线 y (A) y 的斜渐近线的方程是 (B) y - (C) y -- (D) y- () 曲线 ycos(- π π ) 与轴所围成的平面图形绕轴旋转一周所成旋转体的侧面积 S (A) ππl( ) (B) π π l( ) (C) 4πl( ) (D) πl( ) (4) 设 A 是 m 矩阵, 则下列 4 个命题若 r(a)m, 则非齐次线性方程组 Ab 必有解若 r(a)m, 则齐次方程组 A 只有零解若 r(a), 则非齐次线性方程组 Ab 有唯一解 4 若 r(a), 则齐次方程组 A 只有零解中正确的是 (A) (B) 4 (C) (D) 4 三解答题 ( 本题共 9 小题, 满分 94 分解答应写出文字说明证明过程或演算步骤 ) (5)( 本题满分 9 分 ) 设 i >,i,,,, 求极限 (6)( 本题满分 9 分 ) d 计算广义积分 6 cos si (7)( 本题满分 9 分 ) π lim ( Λ Λ 设方程 e z z y 确定隐函数 z z(,, 求 dz 与 (8)( 本题满分分 ) z y )

3 计算二重积分 D dσ y, 其中积分区域 D 是由曲线 y (9)( 本题满分分 ) 就常数 k 的不同取值情况, 确定方程 lk 的正根的个数. ()( 本题满分分 ) 设函数 f() 在去间 [-, ] (>) 上具有四阶连续导数, 且存在极限 lim (Ⅰ) 写出 f() 的带拉格朗日余项的马克劳林公式 ; (Ⅱ) 证明 : 在 [-,] 内至少存在两点 η 和 η, 使得与直线 y 围成的平面区域. 5 (4) f ( η) 6 f ( ) d 4 (4) f ( η ) f ( η ) ()( 本题满分分 ) 一飞机以匀速 v 沿 y 轴正向飞行, 当飞机行至原点 O 时被发现, 随即从轴上点 (,) 处发射导弹向飞机击去, 其中 >. 若导弹的速度方向始终指向飞机, 其速度大小为常数 v. f ( ) (Ⅰ) 求导弹运行轨迹满足的微分方程及初始条件 ; (Ⅱ) 求导弹的运行轨迹方程及导弹自发射到击中飞机所需的时间. ()( 本题满分分 ) 以知 A, B, 矩阵 X 满足 XA BA * X, 其中 A * 是 A 的伴随矩阵, 求矩阵 X. ()( 本题满分分 ) 以知 A, 求 A

4 ( 二 ) 一填空题 ( 本题共 6 小题, 每小题 4 分, 满分 4 分, 把答案填在题中横线上 ), () 设 f (), 则 f [ f ( )]., > d (). () 在有极大值 6, 在有极小值的次数最低的多项式是. d (4) 交换累次积分的次序, 可得 f (, dy. (5) 以知 α,α,α 是四元线形方程组 AXb 的三个解, 其中 α (,,,),α -α (-,,,),α α α (4,-,,), 若秩 r(a), 那么 AXb 的通解是. (6) 以知 A 是 4 阶矩阵,α,α 是矩阵 A 属于特征值 λ 的线性无关的特征向量, 若 A 的每一个特征向量均可由 α,α, 线性表示, 那么行列式 AE 的值为. 二选择题 ( 本题共 8 小题, 每小题 4 分, 满分分在每小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求, 把所选项前的字母填在题后的括号内 ) (7) 设 f ( ) si e l, 则 f () 是 (A) 周期函数 ( B) 有界函数 ( C ) 单调函数 (D) 偶函数 t t ( 8) 曲线, 在 t 相应点处的切线方程是 y t t (A) y - (B) y (C) y -- (D) y (9) 积分 m{, } d 的值是 (A) (B) 6/ (C) 8 (D) 8- () 设 f() 在的某一邻域内有连续的四阶导数, 且当时,f(), 同时 t si, F() f ( ), 在处连续, 则必有,

5 (4) (A) f () (B) f () (C) f () (D) f () 4 () 当时, e -cos 是的 (A) 高阶无穷小 (B) 低阶无穷小 (C) 同阶但不等价的无穷小 (D) 等价无穷小 () 函数 f() e - 在去间 [, ] 上 (A) 单调减少, 最大值为 (B) 单调增加, 最大值为 e (C) 单调减少, 最小值为 -e (D) 单调增加, 最小值为 () 方程 si cos 在去间 (, π) 内实根的个数为 (A) 4 (B) (C) (D) (4) 下列各组矩阵不相似的是 5 (A) 与 (B) 与 (C) 与 (D) 与三解答题 ( 本题共 9 小题, 满分 94 分解答应写出文字说明证明过程或演算步骤 ) (5)( 本题满分 9 分 ) π si 计算 4 d si (6)( 本题满分 9 分 ) 求常数,b,c,d 的值, 使得微分方程 y y by (cd)e (7)( 本题满分 9 分 ) 有一个解是 ye e. 如图所示, 一个仓库其顶部为高与低圆半径都等于 R 的圆锥形, 其底部为高是 H 与底圆半径等于 R 的圆柱形设仓库的容积是常数 V, 求使仓库的表面积 ( 包含底面积 ) 最小时的 R 及 H.

6 (8)( 本题满分分 ) 设区域 D 由曲线 [ y cos( y ) D y, 直线与 y 围成, 计算二重积分 ] dσ (9)( 本题满分分 ) 设 > 时 F() F() 在 (, ) 也增加. ()( 本题满分分 ) t f ( ) dt f ( ) dt, 其中函数 f() 在去间 (, ) 上连续且单调增加. 试证明 t 一容器在开始时盛有盐水升, 其中含净盐公斤. 现以每分钟升的速度注入清水, 同时以每分钟升的速度将冲淡的溶液放出. 溶液中装有搅拌器使容器中的溶液保持均匀, 求过程开始后小时溶液的含盐量. ()( 本题满分分 ) 设函数 f () 满足方程 f ( ) - f () -6, 且由曲线 y f (), 直线与轴围成的平面图形 D 绕轴旋转一周所得旋转体的体积最小, 试求 D 的面积. ()( 本题满分分 ) 以知向量组 α (,,,4), α (,,,),α (,,,4), α 4 (,-,,7) 线性相关, 若 β(,-,6,) 可由 α,α,α,α 4 线性表示, 求的值, 并写出 β 的线性表达式. ()( 本题满分分 ) 以知 A 是主对角元素全是的 4 阶实对称矩阵,E 是 4 阶单位矩阵, 如对角矩阵

7 B 使 EAB 是对称的不可逆矩阵, 求 A

8 ( 三 ) 一填空题 ( 本题共 6 小题, 每小题 4 分, 满分 4 分, 把答案填在题中横线上 ) lim f ( ) () 设 f() 在 [, ) 连续,, >, c > 为常数, 则 lim c cs e e f ( s) ds f ( ). () 曲线 y l y 在点 (,) 处的法线方程是. () 曲线 y ( ) e 的斜渐近线方程是. z(,) (4) 以知 z z(, 满足, z(,) e, si, 则 z(,. y y (5) 行列式 (6) 以知向量组 α (,,,), α (,,,5), α (,, 6,) 线性相关, 则 α. 二选择题 ( 本题共 8 小题, 每小题 4 分, 满分分在每小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求, 把所选项前的字母填在题后的括号内 ) (7) 下列命题中正确的是 (A) 若 (B) 若 (C) 若 f ( ) 连续, 则 f ( 在连续 f 在 ) lim ) 在连续, 则 [ f ( h) f ( h)] h ( f ( ) 连续, g( ) 在不连续, 则 f ( ) g( 在不连续在 ) lim (D) 设 [ f ( h h f h f ( 在连续 ) ( )], 则 ) (8) 当时, 下面几个无穷小量中阶数最高的是 (A) (B) t si

9 5 (A) 4 5 (D) cos si tdt (9) 设函数 cos, >, f ( ) 则下列结论正确的是,, (A) f () 有间断点 (B) f () 在 (-, ) 上连续, 但在 (-, ) 上有不可导的点 (C) f () 在 (-, ) 上处处可导, 但 f () 在 (-, ) 上不连续 (D) f () 在 (-, ) 上连续 () 设点 (,) 是曲线 y b c 的拐点, 则系数, b, c 满足 (A) (C), b, c (B), b, c, b, c (D) 可为任意实数, b, c () 微分方程 y y cos 4si 满足初始条件 y() y () 的特解 y f ( ) 在点附近的图形是 (A) (B) (C) (D) () ( si ) d (A) (B) 4 (C) ( D) b () 设 b 为常数, 积分 ( ) d 收敛, 则该积分值为

10 (A) l (B) l (C) l (D) l (4) 以知 A, 那么, 秩 r(a) 为 4 (A) (B) (C) (D) 不能确定, 与有关三解答题 ( 本题共 9 小题, 满分 94 分解答应写出文字说明证明过程或演算步骤 ) (5)( 本题满分分 ) 以知 f () 在 [, ] 上有二阶连续导数, f () f () 且 f () >. 若对 >, 则函数 u() 表示曲线 y f () 在切点 (, f ( )) 处的切线在轴上的截距. lim lim () 写出 u () 的表达式 ; () 求 u( ) 与 u ( ) (6)( 本题满分分 ) 设函数 u y z, 又有方程 y z yz (*) u () 当 z z(, 是由方程 (*) 所确定的隐函数时, 求 u () 当 y y( z, ) 是由方程 (*) 所确定的隐函数时, 求 (,, ) (7)( 本题满分分 ) 计算二重积分 I D y (8)( 本题满分 9 分 ) 求证 : 当 π si 时, (9)( 本题满分 9 分 ) ddy, 其中 D为 y ( y ) 与 y 所围成的区域 > cos 以知某池塘最多只能工尾某种鱼生存, 因此该种鱼的尾数在时刻 t 的变化率与 (t) 和 - (t) 的乘积成正比, 其中 (t) 是时刻 t 该池塘中这种鱼的尾数. 若开始时 ( 即 t) 有这种鱼尾, 当时鱼的变化率是 9.8, 求 (t) ()( 本题满分 9 分 )

11 设函数 f ( ), g( ) 满足 f ( ) g( ), g( ) [6si t f ( t)] dt, 且 f (). 求 π f ( ) g( )l( ) d ()( 本题满分分 ) 设 f () 在 [,b] 连续, 恒正且单调上升. S (t), y f ( ) 与直线 y f ( ) 及 t 围成图形面积为 S(t). () 证明 : 唯一的 t (, ) 使得 S t ) S ( ) b ( t () t 取何值时两部分面积之和即 S t) S ( ) 取最小值 ()( 本题满分分 ) ( t * * * 设 A B( A ) 6A BA, 其中 A 是 A的伴随矩阵, 若 A, 求 B ()( 本题满分分 ) 以知 A 是 4 矩阵, 秩 r(a), 若 t [, b], y f ( ) 与直线 y f ( b) 及 t围成的图形面积为 α (,,,), α (,,, ), α (,,, 5), α 4 (,,,5) 与齐次方程组 A 的基础解系等价, 求 A 的通解

12 ( 四 ) 一填空题 ( 本题共 6 小题, 每小题 4 分, 满分 4 分, 把答案填在题中横线上 ) () 设 lim f ( Δ) f ( Δ) f ( ) 在可导, 则. Δ Δ 5 () 不定积分 d. d y () 设 y y( ) 是由方程 t( 确定的隐函数, 则. d (4) 函数 f (, 4 y y 的极大值点是. 4 9 (5) 以知 A 7, A, 那么 A. 4 8 (6) 以知 A 是 4 非零矩阵, B, 且 AB, 则齐次方程组 A 的通解是二选择题 ( 本题共 8 小题, 每小题 4 分, 满分分在每小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求, 把所选项前的字母填在题后的括号内 ) l(si e ) (7) lim l( e ) (A) (B) - (8) 设函数 f () 在去间 ( δ, δ ) 处 (C) (D) 内连续, 其中常数 δ >, 又 ( ) (A) 不连续 (B) 连续但不可导 (C) 可导但 g ( ) (D) g ( ) f, 则函数 g () f () 在点 (9) 以知 l 是 f () 在 (, ) 上的一个原函数, 则 f ( e ) d (A) (C) ( ) e C (B) ( ) e C ( ) e C (D) ( ) e C

13 () 设 d d d I, J, K, 则三个数的大小关系是 ( ) ( ) ( ) (A) I < J < K (B) J < K < I (C) K < J < I (D) I < K < J b () 若 ( ) ( ) 的原函数 F() 的表达式中不包含对数函数, 则其中的常数 (A),b 为任意 (B) 任意, b (C) 任意, b (D), b () 设函数 f ( ) si dt, 则 t (A) f () 在 (-,) 为无界函数 (B) f () 在 (-,) 为连续有界函数 (C) f () 在 (-,) 有间断点 (D) f () 在 [-,] 不可积 () 设 f () 在 [,b] 有连续导数, (, ) 是 f () 在 (,b) 的唯一驻点, 又 b f ( ) >, f ( b) <, 是则 (A) (B) (C) f () 的极小值点 f () 在 [,b] 的最小值点 f () 在 [,b] 的最大值点 (D) f () 的极大值点, 但不是 f () 在 [,b] 的最大值点 (4) 矩阵 A 有一个特征向量是 4 5 (A) (,, ) (B) (,,) (C) (,,) (D) ( 4,, ) 三解答题 ( 本题共 9 小题, 满分 94 分解答应写出文字说明证明过程或演算步骤 ) (5)( 本题满分 9 分 ) 求极限 lim ( )( ) Λ (6)( 本题满分 9 分 ) ( ) 4 计算曲线 y l 4 上对应于的一段弧的长度

14 (7)( 本题满分 9 分 ) 有一块铁板, 宽度 b4cm, 把它的两边折起来作成一个横截面积为等腰梯形的无盖水槽, 试问当每边的倾角 α 和折起来的宽度各为多少时, 这个水槽的横截面积最大? 见示意图 (8)( 本题满分分 ) ) 计算二重积分 ( y dσ, 其中积分区域 D 由 y y 的上半圆直线 -, 以及轴围成 (9)( 本题满分分 ) D t t 求极限 lim t t l( t t t ) 记此极限为 f (), 求函数 f () 的定义域与间断点, 并指出间断点的类型 ()( 本题满分分 ) 设抛物线 y b c 满足条件 : () <, 且通过点 (,)y 与 (,); () 与抛物线 y 围成的图形面积最小试求此抛物线方程 ()( 本题满分分 ) 设 f () 在 [,] 上连续, 在 (,) 可导, 且 f () f (). 若 f () 在 [,] 上的最大值 M >, 求证 : (,) 使得 f ( ) M ()( 本题满分分 ) 4 以知 α 是矩阵的特征向量. A 4 () 求的值及特征向量 α 所对应的特征值 ;() 判断 A 能否相似对角化, 并说明理由. ()( 本题满分 8 分 ) 设 A 为三阶方阵,α 为三维列向量, 以知向量组 α, Aα, A α 线性无关, 且 Aα Aα A α, 证明 : 矩阵 B ( α, Aα, A 4 α) 可逆.

15 ( 五 ) 一填空题 ( 本题共 6 小题, 每小题 4 分, 满分 4 分, 把答案填在题中横线上 ) () 设曲线 y 在点 (,) 处的切线与轴交于点 ( b,) ( 为自然数 ), 则 lim b. 4 dy () 设 y e si, 则. d () 微分方程 y y 5y 的通解是. (4) 设 F 具有一阶连续偏导数, 又 F (, yz) 确定隐函数 z z(,, 则 z yz y. z 4 (5) 设三阶矩阵 A,B 满足 AB A B A, 若 A, 则 B (6) 以知 A, 若秩 r(ab), 则 7, B. 6 6 二选择题 ( 本题共 8 小题, 每小题 4 分, 满分分在每小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求, 把所选项前的字母填在题后的括号内 ) rcsi si (7) 极限 lim 的值是 rct t (A) (B) (C) / (D) / { } (8) 设 f ( ) mi si, cos, 则 f ( ) 在区间 [,π ] 上不可导的点共有 (A) 个 (B) 个 (C) 个 (D) 个 y (9) 设 y y( ) 是由方程 e y l y 确定的隐函数, 且 y ( ), 则 y () (A) (B) (C) (D) () 设 g () 在点连续, 则 f ( ) ( ) g( ) 在点必是 (A) 连续, 但不可导 (B) 可导, 但导数未必连续 (C) 可导, 而且导数连续 (D) 存在二阶导数 98π () cos d (A) (B) 98 (C) 96 (D) 4

16 () 设 F( ) (t ) f ( t) dt, 其中函数 f () 可导, 且 f ( ) > 在区间 (-,) 成立, 则 (A) 函数 F() 必在处取得极大值 (B) 函数 F() 必在处取得极小值 (C) 函数 F () 在处没有极值, 但点 ( o, F()) 是曲线 y F() 的拐点 (D) 函数 F () 必在处没有极值, 点 ( o, F()) 也不是曲线 y F() 的拐点 () 假设 > 时, f ( ) A, 则常数 A的最小取值是 (A) 64 (B) (C) (D) 7 (4) 以知阶矩阵 A ~ B, λ 4是可逆矩阵 A的一个特征值, 则 ( B ) E 有一个特征值是 9 (A) 9 (B) (C) (D) 8 三解答题 ( 本题共 9 小题, 满分 94 分解答应写出文字说明证明过程或演算步骤 ) (5)( 本题满分 9 分 ) 设 f ( ) e t dt, 求 (6)( 本题满分 9 分 ) f ( ) d rct 求证 : ( > ) l( ) (7)( 本题满分 9 分 ) 设 f y (, rct y rct, 求 df与 f y (8)( 本题满分分 ) y y 设区域 D 是直线 y 及轴及曲线 y 围成, 求二重积分 e d 的值 (9)( 本题满分分 ) 设 f () 是 (, ) 上非负连续的偶函数, 且当时,f ( ) 单调增加 () 对任意给定的常数 < b, 求常数 ξ 使得 ( ξ ) f ( ξ ) d () 证明在 () 中所得的 ξ 是唯一的 ()( 本题满分分 ) b D σ

17 设 f ( ) 在 [, ) 上有连续的二阶导数, 且 f (), f ( ) f ( ) ( ) f t dt, 求 f () ()( 本题满分分 ) 对 t 的不同取值, 讨论函数 f ( ) 在去间 [t, ) 上是否有最大值或最小值, 若存在最大值或最小值, 求出相应的最大值点和最大值, 或相应的最小值点和最小值 ()( 本题满分分 ) 以知线性方程组 4, ( 4), 5 6, 问取何值是方程组无解, 有唯一解, 有无穷多解? 并在有解时求其所有的解 ()( 本题满分分 ) 以知维向量 α, α, α 线性相关, 证明 : α α, α α, α α 线性相关.

18 ( 六 ) 一填空题 ( 本题共 6 小题, 每小题 4 分, 满分 4 分, 把答案填在题中横线上 ) cos e () lim l( ) () 微分方程 ( y ) dy yd 的通解是 d () 设 f () 连续, 且 f ( t ) dt 对 > 成立, 则 f ( ) d z y z e (4) 若方程组确定隐函数 y y( ) 与 z z( ), 且 y( ), z ( ), 则 z () y l y (5) 设矩阵 A 与 B ( b ij ) 可交换, 若 b, 则 B 4 (6) 以知 D, 则代数余子式 A A A4 5 5 二选择题 ( 本题共 8 小题, 每小题 4 分, 满分分在每小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求, 把所选项前的字母填在题后的括号内 ) (7) 如下的四个函数中, 在点处可导的函数是 (A) (C) f ( ) e (B) f ( ) rct 4 si, f ( ) (D) f ( ) rcsi, (8) 曲线 ( y ) 绕轴旋转一周所得曲面包围的体积 V (A) 4 π (B) π (C) π (D) 4π (9) 设 () f ( ), 则 f () ( ) 5 (A) 6 (B) 45 (C) 8 5 (D)

19 t si t π d y () 用参数方程, 给出的函数 y y( ) 在 t 对应点处的二阶导数 y cost d (A) (B) (C) (D) 4 () 函数 f, 在点 (, y ) 处两个偏导数 f, y ) 与 f y, y ) 都存在是 f (, 在该点可微的 ( ( 4 ( (A) 充分但非必要的条件 (C) 充分且必要的条件 (B) 必要但非充分的条件 (D) 即不充分, 又不必要的条件 h () 设 f () 是以 4 为周期的函数, 且 f ( ), 则 lim h f ( 4h) f ( ) (A) 8 (B) 8 (C) (D) 8 () 以知当时, f ( ) cos, g( ) l( ) 8 si tdt与 h( ) rcsi 都是无穷小量, 按照它们关于的阶数从低到高的顺序排列, 应得到 (A) (C) f ( ), g( ), h( ) (B) h( ), f ( ), g( ) f ( ), h( ), g( ) (D) h( ), g( ), f ( ) (4) 以知 5 元齐次线性方程组经高斯消元化成阶梯形矩阵是 5 则自由变量不能取成 (A), (B), 4 (C), (D), 5 三解答题 ( 本题共 9 小题, 满分 94 分解答应写出文字说明证明过程或演算步骤 ) (5)( 本题满分 9 分 ) 求 lim [ e( ) ] (6)( 本题满分 9 分 ) 计算定积分 d (7)( 本题满分 9 分 ) 设 f (, y(6, 区域 D 由轴,y 轴与直线 y 8围成. 求 f (, 在 D 上的最大值与最小值 (8)( 本题满分分 )

20 计算二重积分 (9)( 本题满分分 ) π si 求证 : 当, ) 时, D 4 y dσ, 积分区域 D 由曲线 y, y 4 及 y 轴围成 ( ()( 本题满分分 ) > cos 已知连续函数 f ( ) 满足 f ( ) e ( t) f ( t) dt, 求 f ( ) ()( 本题满分分 ) 设 f () 在 [,] 上连续, 在 (,) 内二次可导, 且 f () 在 [,] 上的最大值 M, 最小值 m, 求证 : 若 f () 的最大值点或最小值点至少有一个是区间 (,) 内的点, 则在 (,) 内必存在 ζ 与 η, 使得 f ( ζ ) >, f ( η) > 4 成立 ()( 本题满分 ) 已知 ζ,,,), ζ (,,,), ζ (,,,) 是齐次线性方程组 () 的基础解系, ( η (,,,), η (,,,) 是齐次线性方程组 () 的基础系, 求方程组 () 与 () 的公共解 ()( 本题满分 ) 设 A,B 都是阶矩阵, 将 A 的第行的 - 倍加至第行, 得到矩阵 A, 将 B 的第列乘以 - 得到 B, 如果 AB, 求 AB.

21 ( 七 ) 一填空题 ( 本题共 6 小题, 每小题 4 分, 满分 4 分, 把答案填在题中横线上 ) 4 () 设 lim b, 则,b y dy () 假定函数 y y( ) 由 y 所确定, 则 d () 设直线 y b 同时与曲线 y 以及 y 相切, 则常数,b (4) 微分方程 y y 的通解是 (5) 设三阶矩阵 A, 三维列向量以知 α 4 (6) 以知 A 是阶矩阵, 满足 A A, 那么 (AE) - A α 与 α线性相关, 则二选择题 ( 本题共 8 小题, 每小题 4 分, 满分分在每小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求, 把所选项前的字母填在题后的括号内 ) f ( ) f ( ) (7) 设 lim ( ), 则函数 f () 在点处必然 A) 取极大值 (B) 取极小值 (C) 可导 (D) 不可导 y (8) 以知微分方程 y ( ) 当 > y ϕ 时有特解 y, 则 ϕ( ) l (A) l (B) l (C) (D) cos si, (9) 设 f ( ), 在处二阶导数存在, 则其中的常数,b,c 分别 b c, > 是 (A) -,b,c (C) -,b,c (B),b-,c (D),b,c-

22 y,(, (,) () 设函数 f (, (, 在点 (,) 处,(, (,) (A) 连续, 但两个偏导数不存在 (B) 两个偏导数都存在, 但不连续 (C) 既不连续, 两个偏导数也不存在 (D) 可微分 () 设 f () 是 (, ) 上的连续奇函数, 且满足 f ( ) M, 其中常数 M >, 则函数 F( ) t te f ( t) dt 是 (, ) 上的 (A) 有界奇函数 (B) 有界偶函数 (C) 无界偶函数 (D) 无界奇函数 () 下列命题中正确的是 (A) 设 f () 在 (, ) 为偶函数且在 [, ) 可导, 则 (B) 设 f () 在 (, ) 为奇函数且在 [, ) 可导, 则 f () 在 (, ) f () 在 (, ) 可导可导 (C) 设 lim R R R f ( ) d, 则 f ( ) d (D) 设, b), f ( ) 在 [, b] 除外连续, 是 f ( ) 的一个间断点, 则 f ( ) 在 [, b] 仍存在原函数 () 以知 ( l e 是 f () 当时的一个原函数, 则 f ( ) d (A) e (B) (C) e (D) (4) 以知 A 是阶矩阵, λ 是二重特征值, 那么向量组 4 (,, ),(,4, ),(,,) (,,),(,,4),(,, (,,),(,,),(, (,, ),(,,),),(,,) 6) 中肯定不属于 λ 的特征向量共有

23 (A) 组 (B) 组 (C) 组 (D) 4 组三解答题 ( 本题共 9 小题, 满分 94 分解答应写出文字说明证明过程或演算步骤 ) (5)( 本题满分 9 分 ) 设函数 f () 在 [, ) 上可导, 且 f ( ), 若 f ( ) 的反函数 g( ) 满足 f (l ) (6)( 本题满分 9 分 ) 8 d 求之值 ( ) (7)( 本题满分 9 分 ) g ( t) dt l 求 f () 设 μ f ( y, y, ), 其中函数 f 具有二阶连续偏导数. 求 du 与 u y (8)( 本题满分分 ) 计算 I d ( y ) dy d 4 (9)( 本题满分分 ) 设函数 4 ( f () 在 [,b] 上连续, 在 (,b) 内二阶可导, 且 f ( ) f ( b) b 试证 : 存在一点 ξ (, b), 使 f ()( 本题满分分 ) 位于上半平面的 ( 向上 ) 凹曲线 b f ( ) d, ( ξ ) y ) dy y y() 通过点 (,), 在该点处切线水平, 曲线上任一点 (, 处的曲率与 y 及 y 的乘积成反比, 比例系数 k, 求曲线方程 y y() ()( 本题满分分 ) 一质量为 M, 长为 l 的均匀杆 AB 吸引着一质量为 m 的质点 C, 此质点 C 位于杆 AB 的中垂线上, 且与 AB 的点距离为, 试求 : () 杆 AB 与质点 C 的相互吸引力 ; () 当质点 C 在杆 AB 的中垂线上从点 C 沿 y 轴移向无穷远处时, 克服引力所做的功 ()( 本题满分分 ) 设 α α α α α (,,,), (,,,), (,,,), 4 (,,,), 5 () 若秩 r α, α, α ) r( α, α, α, α k ), 求 k ( 4 α 5 (,,,)

24 () 若 β 是任一个 4 维向量, β 能否由 5 4,,,, α α α α α 线性表示? 并说明理由 ()( 本题满分 8 分 ) 以知, A () 求 A 的特征值特征向量 ; () 求 A

25 ( 八 ) 一填空题 ( 本题共 6 小题, 每小题 4 分, 满分 4 分, 把答案填在题中横线上 ) f ( ) f ( ) () 设 f () 具有连续的二阶导数, 且 f ( ) 4, lim, 则 lim [ ] () 设 f ( ) e, f [ ϕ ( )] cos, 且 ϕ( ) <, 则 ϕ ( ) () 设函数 f () 在 (, ) 可导, 且 f ( ), 又 f (l ),, <, >,, 则 f () (4) 交换二次积分次序 dy f (, d y (5) 以知 A ~ B, 其中 B, 那么 r ( A B) (6) 以知 α,,,), α (,6,,) 与 α (,4,,) 是方程组 ( 4 4 b 54 的解, 那么此方程组的通解是 4 4 c 二选择题 ( 本题共 8 小题, 每小题 4 分, 满分分在每小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求, 把所选项前的字母填在题后的括号内 ) (7) f ( ) rct,, 在处最高阶的连续导数是 (A) (B) (C) (D) 4 t (8) lim( e dt) b, 则 (A), b (B), b

26 (C), b (D), b (9) 以知函数 y f ( ) 对一切满足 ( ) f ( ) [ f ( )] e, 若 f (), 则 (A) f () 是 f () 的极大值 (B) f () 是 f () 的极小值 (C ) (, f ()) 是曲线 y f () 的拐点 (D) f () 不是 f () 的极值, (, f ()) 不是曲线 y f () 的拐点 () 在下列曲线中, 整条曲线的方程能表成 y f () 的是 (A) π cos t, y si t, t π (B) ( t si t), y ( cost), < t < t t e e t t (C), y ( e e ), < t < ( t ) ( t ) (D), y, < t < () 方程 5 6 在去间 (, ) 内 (A) 没有根 (B) 仅有一根 (C) 共有二个根 (D) 共有三个根 4 () 积分 I d 的值为 (A) 5 6 π (B) π (C) π (D) 6 5 () 若 A,B 为非零常数, c,c 为任意常数, 则微分方程 y k y cos 的通解应具有形式 6 π 8 5 (A) (C) c cos k c si k Asi B cos (B) c cos k c si k A si c cos k c si k A cos (D) c cos k c si k A si B cos (4) 阶矩阵 A 经初等行变换得到矩阵 B, 那么下列命题中正确的是 (A) A 与 B 有相同的特征值 (B) A b与 B b 是同解方程组 (C )A 与 B 的列向量是等价向量组 (D) A 与 B 有相同的特征向量

27 三解答题 ( 本题共 9 小题, 满分 94 分解答应写出文字说明证明过程或演算步骤 ) (5)( 本题满分 9 分 ) cos,, 设, 且 f ( ), g( ), π >, (6)( 本题满分 9 分 ) π 求 f ( t) g( t) dt y u 设 u f (, ), 其中 f ( s, t) 有连续的二阶偏导数, 求 du及 y z y z (7)( 本题满分 9 分 ) 计算 I D y ddy, 其中 D 由直线, y, 轴及曲线 y y 所围成 (8)( 本题满分分 ) f ξ 和 ξ 设 f () 在 [,] 上连续, 在 (,) 内可导, 且 ( ) f () f ( ) d 求证: 至少存在二点 < ξ < ξ, 使得 f ( ξ ) ξ f ( ξ )( i,) 成立 < i i i (9)( 本题满分分 ) 过曲线 ( y ) 上点 A 作切线, 使该切线与曲线及轴围成平面图形 D 的面积 s. 4 (Ⅰ) 求点 A 的坐标 (Ⅱ) 求平面图形 D 绕轴旋转一周所得旋转体的体积 ()( 本题满分分 ) 设函数 f () 在去间 (, ) 内可导 ( 其中常数 >), 且 lim [ f ( ) f ( )] 求证 :(Ⅰ) lim e f ( ) ()( 本题满分分 ) (Ⅱ) lim f ( ) 设函数 f () 当时连续可微, 且 f ( ). 现以知由曲线 y f ( ), 轴 y 轴及过点 (,) 且垂直与轴的直线所围成的平面图形的面积与曲线 y f () 在 [,] 上的一段弧长值相等, 求函数 f () ()( 本题满分 ) 4 以知 A, B, 若 A ~ B. 求的值, 并求可逆矩阵, b P 使 P AP B. 6 b ()( 本题满分 ) 以知方程组满足

28 (Ⅰ) b b b Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ,, 有唯一解, 证明方程组 (Ⅱ) b A A A b A A A b A A A Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ,, 有唯一解, 并当, b b b b Λ 时求其解, 其中是 (Ⅰ) 中系数行列式的代数余子式. A ij

29 ( 九 ) 一填空题 ( 本题共 6 小题, 每小题 4 分, 满分 4 分, 把答案填在题中横线上 ) t e, () 曲线上与 t 对应的点处的切线方程是 t y e ( ) () 设 f ( ) l( 7 6 ), 则 f ( ) () d 4 5 (4) 可以设二阶常系数线性微分方程 y y y 5e 的一个特解 y * ( ) (5) 若 A 是阶可逆矩阵, A, 且 A 中各行元素之和都是 b, 则 A 中代数余子式之和 A A Λ A (6) 以知 α 是矩阵的特征值, 那么 A 二选择题 ( 本题共 8 小题, 每小题 4 分, 满分分在每小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求, 把所选项前的字母填在题后的括号内 ) (7) 设函数 f () 连续, F () 是 f () 的一个原函数, 则 (A) 当 f () 是以为周期的周期函数时, F() 必是以为周期的周期函数 (B) 当 f () 是单调函数时, F() 比也是单调函数 (C) 当 f () 是偶函数时, F() 必是奇函数 (D) 当 f () 是奇函数时, F() 比是偶函数 (8) 以知当时 si t tdt 与是同阶无穷小量, 则等于 (A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 7 si t dy (9) e dt cost dt, 则 y d (A) e y cos cos(si ) (B) e y cos cos(si )

30 (C) e y cos(si ) (D) e y cos(si ) () 设 () 在可导切 f ( ) >, 则 δ >, 使得 f (A) f () 在 ( δ, δ ) 单调上升 (B) f ( ) > f ( ), ( δ, δ ), (C ) f ) > f ( ), (, ) (D) f ) < f ( ), (, ) ( δ ( δ () 下列说法中正确的是 (A) 因为 ( ) si f 在 [,] 不总是 f ( ), 故 (si ) d 不正确 β α (B) 设 α >, β >, 下列各数列趋于的速度由慢到快的排列顺序是 l,, ( > ) lim β 因此我们可得 lim, l (C) 设, lim 存在,{ y } 有界但不收敛, 则 { } 收敛的充要条件是 (C) 设 f () 在 y 连续, ϕ () 在 f () 间断, 则 ϕ ( f ( )) 在间断 4 () 积分 I si si d 的值等于 π π (A) π (B) π (C) (D) 4 π () 设 f (, 有连续的偏导数且 f (, ( yd d 为某一函数 u(, 的全微分, 则下列等式成立的是 (A) f f y (B) f f y y (C) f f y (D) y f y f y (4) 设 A 是秩为 r 的 m 矩阵, 则齐次方程组 AA, 自由变量的个数为 (A) r (B) r (C) m r (D) m 三解答题 ( 本题共 9 小题, 满分 94 分解答应写出文字说明证明过程或演算步骤 ) (5)( 本题满分 9 分 ) 试求微分方程 ( y ) d ( rct dy 的通解 (6)( 本题满分 9 分 ) 设在开区域 D 内 u(,, v(, 满足 u v u v,, u v c ( 常数 ) y y

31 求证 : u(,, v(, 在 D 内为常数 (7)( 本题满分 9 分 ) D, 证明不等式 si ( y ) ddy < π 5 设 {(, y } D (8)( 本题满分 ) 以知曲线在直角坐标系中由参数方程给出 : lt t lt, y ( t ) t 求 :(Ⅰ) 曲线的单调去间及极值点 ;(Ⅱ) 曲线的凹凸去间及拐点 ;(Ⅲ) 函数图形的渐近线. (9)( 本题满分 ) 用铁锤将一铁钉击入木版, 设木版对铁钉的阻力与铁钉被击入木版的深度成正比. 在铁锤击第一次时, 能将铁钉击入木版 cm, 如果铁锤每次打击所做的功相等, 问铁锤第二次能把铁钉再击入多少? ()( 本题满分分 ) 设 f () 在 [ b, b] 二阶连续可导, b >. (Ⅰ) 求证 : 常数 M, M, 对 [ b, b] 有 f ( ) f () M f ( ) f () f () M (Ⅱ) 设 f ( ), 令 ( f ) f ( ) Λ f ( ), 求 lim ()( 本题满分分 ) 设 f () 在 [,] 上连续, 在 (,) 内二阶可导, f () 的最小值为, 最大值为, 且其中至少有一个在开去间 ; (,) 内某点取得. 求证 : 至少存在一点 ξ (,), 使得 f ( ξ ) > ()( 本题满分分 ) 以知方程组的通解为 4 c 5 b k ξ η, 其中 η 是方程组的一个特解,ξ 是到出组的基础解系,k 为任意常数, 求, b, c 的取值并求此通解 ()( 本题满分分 ) 设 A 是阶反对称实矩阵. (Ⅰ) 证明 A 的特征值是或纯虚数 ; (Ⅱ) 证明 ( E A)( E A) 是正交矩阵

8. e f ( e ) d = f ( t) dt, 则 ( ) b A) =, b = B) =, b = e C) =, b = D) =, b = e 9. ( sin ) d = ( ) A) B) C) D). ln( + + ) d = ( ) A) B) C) D). 若 f ( )

8. e f ( e ) d = f ( t) dt, 则 ( ) b A) =, b = B) =, b = e C) =, b = D) =, b = e 9. ( sin ) d = ( ) A) B) C) D). ln( + + ) d = ( ) A) B) C) D). 若 f ( ) 高等数学试题考试日期 :4 年 7 月 4 日星期三考试时间 : 分钟一. 选择题. 当时, y = ln( + ) 与下列那个函数不是等价的 ( ) A) y = B) y = sin C) y = cos D) y = e. 函数 f() 在点极限存在是函数在该点连续的 ( ) A) 必要条件 B) 充分条件 C) 充要条件 D) 无关条件. 下列各组函数中, f () 和 () f