学年冬学期 国奖采访记录 问 : 平时复习吗? 答 : 没有特意的复习, 真正开始复习是在考试前一个月, 所以要调整好时间. 问 : 复习的建议? 答 :. 刷题还是有用的, 也是必须的.. 如果刷题的话, 先刷课后的题目, 把老师布置的都做一遍, 把例题都看懂. 其实数学只要掌握了模式, 题都是可

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1 学年冬学期 资料白皮书 科目 : 微积分 出版单位 : 丹青学业指导中心 出版时间 : 年 月

2 学年冬学期 国奖采访记录 问 : 平时复习吗? 答 : 没有特意的复习, 真正开始复习是在考试前一个月, 所以要调整好时间. 问 : 复习的建议? 答 :. 刷题还是有用的, 也是必须的.. 如果刷题的话, 先刷课后的题目, 把老师布置的都做一遍, 把例题都看懂. 其实数学只要掌握了模式, 题都是可以变化的. 所以说, 先刷课本的题, 再去复印店买往届的考试题练练手, 熟悉题型, 再找出不足. 问 : 推荐几本练习册? 答 : 我一直没有做练习册的习惯. 因为我觉得书本很重要, 有时候你买回来练习册后, 到期末 你会发现你几本上没有做些什么. 所以还是踏踏实实的看书吧. 问 : 遇到不会的题怎么办? 答 :. 找助教. 找老师. 苏德矿矿爷基本上全天在线. 问 : 技巧答 :. 不定积分多背公式. 微积分易证中值定理. 线代多为计算题. 大英要多注意听力方面的训练.

3 学年冬学期 第一章求极限 一 知识体系 主要方法 利用等价无穷小利用泰勒公式利用两个重要极限利用洛必达法则利用夹逼原理利用定积分利用定义法 其中前四种方法为学长提醒的考试关键点 二 相关公式. 等价无穷小 si ~, cos ~, t ~, l ~, ~, ~ l,, ~, rcsi ~, rct ~ 注意, 以上各式均在 时才为等价无穷小, 求极限是只有积和商的部分可以用等价无穷小替换. 泰勒公式 求极限中常用的为带有佩亚诺型余项的泰勒公式或麦克劳林公式 下为五个常用的函数的带有佩亚诺型余项的麦克劳林公式 :!! 5 7 si! 5! 7!!

4 学年冬学期 cos!! 6 6!! l!! 通常用泰勒展式展开要根据所求极限中含有的 的幂次决定展开的幂次 注意, 利用以上几个公式展开时应保证 趋于. 两个重要极限 si f 时, f f f f 时, f, 处理幂指型极限常用此式. 利用洛必达法则 设 f, g ' ' ' 存在 的某邻域 U, 当 U 时, f, g 都存在, 且 g ' f ' A 或 g ' f f 则 A 或 ' g g 或所求极限为时结论依旧成立 注意, 利用洛必达法则是在 式成立的基础上, 导函数之比极限不存在时不能应用

5 学年冬学期 同时要注意验证条件 成立方可使用 三 习题 求下列极限 si m m, 为正整数 si t t t k, k Z cos cos cos cos l cos l cos b 5 6 l cos 7 8 [ l ] 6 9 [ ] cos cos l l 5

6 6 学年冬学期 为正整数 四 习题答案 m t mt t mt t mt m m t m m m t t si si si si si si 则令注意, 所求极限 不趋向于, 不可直接用等价无穷小替换 利用公式 t t t t t y y y t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t 利用积化和差公式 cos cos cos cos y y y 及倍角公式

7 学年冬学期 cos cos cos cos cos cos cos 6 cos cos cos 6 cos cos si si si cos cos cos cos si si si si si si si si 灵活运用等价无穷小 si si l cos l cos b l cos l cos b cos cos b b b 5 注意到 为负整数 试验可知直接对所求函数应用洛必达法则会导致 的幂次绝对值变大, 所以考虑将分子分母 颠倒以后再应用洛必达法则 7

8 8 学年冬学期 5! 5! 5! 注意到 l, 可以应用洛必达法则注意 l 可对其进行求导 - l l l 7 所求式属于未定式, 但注意到分母为 次且分子中求导无法与分母消去 因子, 故运用洛必达解决较为麻烦, 可以考虑运用泰勒公式!! cos,!

9 9 学年冬学期!!! cos 8 利用泰勒公式 l [ ] l [ 9!!, ]!! 6 [!! [ ] [ 幂指型极限考虑利用重要极限

10 学年冬学期 cos cos cos cos cos si si cos cos cos cos cos cos cos cos 类似于有理函数, 分理出趋向于无穷最快的量 l l l l l l l l l l 无穷项求和可考虑放缩 6 6 对于下凸函数 f, 由下凸函数性质及拉格朗日中值定理知 f f f ' f f 根据函数图像上切线, 割线斜率大小关系容易看出 对于上凸函数不等号反向 由此可以得到一列数求和的列项放缩方法, 对于 i f i, 可先求出 f 的原函数 F, 根据 F 的凹凸性将 f i 放缩为 F F 和 F F 达到列项求和的目的

11 学年冬学期 i i i i i i 对于乘积可利用对数将其转换成和式 d i i i i l l l l l l 注意到和式的形式有第二章导数与微分 一 : 知识体系 二 相关公式 导数的定义 :

12 学年冬学期 函数 在点 可导, 则曲线 在曲线上点 处的切线方程为 :, 法线方程为 :, 设在点的左邻域内有定义, 若极限 存在, 则称. 同理可 知右导数的定义及表达式 当处的左右导数均存在且相等时, 处可导 几个基本初等函数的导数 : =,, 特别地, = 5 设函数 在点 处可导, 则 都在点 处可导, 且 ;, 特别的, 当 ; 6 ; ; ;. 设为函数 7 ; ;.

13 学年冬学期. 8 若函数. 9 ;. 若 均存在 阶导数, 则 ;, 其中 c 为常数 ; 等价于., 其中.. 在点 处均可微, ;, 特别的 三 典型例题. 导数定义的应用 :, 特别地,. 例.: 已知 ;. 例.: 求下列极限 : ; 例.: 若奇函数, 且在处可导, 而, 则是的何种间 断点?

14 学年冬学期 例.: 已知函数可导, 且对任何实数满足, 证明 :.. 分段函数可导性判定及待定常数确定 例.5: 设 例.6: 设, 求, 并讨论在处的连续性 例.7 讨论下列函数在 处的可导性 ;. 例.8 设 例.9 设. 例. 设. 显函数求导 例. 设. 例. 设 例. 设是严格单调的连续函数的反函数,, 且 例. 求下列函数的导数 对数求导法 :

15 学年冬学期 5. 隐函数导数 例.5 求下列方程所确定的隐函数 的导数 ; 例.6 设函数 例.7 求下列隐函数的二阶导数 : 例.8 设由方程确定 y=y, 求 例.9 设由方程 y=+ 确定函数 y=y, 求. 例. 设函数 y=f 由方程 所确定, 其中 f 具有二阶导数, 且, 求. 例. 求椭圆上任一点 处的切线方程. 例. 求方程 所确定的隐函数 y=y 的微分. 参数方程求导例. 设参数方程, 求. 例. 设函数二阶可导, 且, 求 ; 例.5 求下列参数方程所确定的函数 y=y 的一阶导数 和二阶导数 ; ; 例.6 曲线 上对应于 的点处的法线斜率为多少? 例.7y=y 由 所确定, 求. 例.8 函数 y=y 由参数方程 所确定, 求. 例.9 求由下列参数方程所确定的函数的导数 : 5

16 学年冬学期 ;. 高阶导数求法 例. 已知函数 具有任意阶的导数, 且, 当 为大于 的正整数时, 求 的 阶导数 例. 求下列函数 的阶导数 : ; y= 例. 若 y=f ; 例. 已知, 求证 :, 求下列函数的二阶导数 ;. 例. 设, 求 答案 : 例. 解 : 因为所以 原式 = 其中 ; 解 : 原式 = 例. 解 : ; 解 : 原式 =, 由 可知, 例. 所以原式 =-. 解 : 因为奇函数, 所以, 又, 所以 6

17 学年冬学期 是 的第一类可去间断点 例. 证明 : 因为, 所以, 所 以 例.5 解 : 当 时, 当 > 时, 当 = 时, 考察左, 右导数 :, 所以不存在, 因此 例.6 解 : 所以 例.7 解 : 所以., 解 : 故 7

18 学年冬学期 于是 例.8 解 : 当时. 当时, 由导数的定义得 所以,, 显然, 当, 又因为极限 例.9 不存在, 所以在点不连续 解 : 当, 当, 当 因此 例. 解 : 因为 所以 即, 因为 所以例. 解 : 法一 : 令 法二 : 直接用四则运算 8

19 学年冬学期 法三 : 用导数的定义求 : 例. 解 : 所以 例. 解 : 故 例. 求函数 的导数 解 : 例. 解 : 令 两边求导,, 得 = 故. 解 : 令 所以 同理, 可得, 所以 解 : 法一 : 两边取对数, 再两边求导, 得 所以 法二 : 所 以 解 : 两边取对数, 得 9

20 学年冬学期 所以 5 解 : 因为 所以 故 例.5 解 : 两边求导, 得 整理后得, 解 : 法一 : 因为, 所以 所以 法二 : 方程两边对 所以 解 : 法一 : 等式两边关于 =, 整理后得, 从而. 法二 :, 从而 所以 解 : 两边取对数, 得 两边对求导, 得, 整理得, 例.6 解 : 方程两边同时对,

21 学年冬学期 当将, 得,, 法线方程为 例.7 解 : 两边对求导, 得 即 在对求导, 得 解 : 两边对 求导, 得 ; 故 上式两边再对 求导, 的 所以 例.8 解 : 法一 隐函数求导法 : 方程两边对 求导, 解之得, 法二 利用一阶微分形式不变性 方程两边微分 化解得, 所以 例.9 解 : 方程两边对 求导, 得 解得 : 两边对 求导, 当 = 时,y=,, = 例. 解 : 方程两边先取对数再对 求导, 得 再对 求导,

22 学年冬学期 代入并解之得, 例. 解 : 法一 : 由椭圆方程化为显式 :y=, 所以 由点斜式直线方程得所求切线方程为 法二 : 由隐函数求导法对方程两边的 求导得 : + =, 解得 =, 因此 的切线斜率为 k=, 一下同法一 法三 : 将椭圆方程化为参数方程 :, 设点 对应的参数为. 由参数方程求导得,. 所以点 处的切线斜率为 K= 以下同法一 例. 解 : 对方程两边求微分得, 所以 例. 解 : 例. 解 : 当 t= 时,=f-,y=f,, 所以. 例.5

23 学年冬学期 解 : 解 :. 解 : 例.6. 解 : 所以当 时,, 故法线的斜率为 例.7 解 :, 由隐函数求导, 得 因而. 例.8 解 : 因为 在 不可导, 故需先求出 y=y 的表达式, 再用导数的定义求解 因为 所以 所以 例.9, 解 :, 所以 解 :, 所以,. 例. 解 : 由数学归纳法易证, =!

24 学年冬学期 所以例. 解 : 将等式右边的有理分式函数化为部分分式, 有 所以 解 : 法一 : 利用三角恒等式先降低函数的幂次, 即 y= +, 所以. 法二 : 因为, 故, 解 : 设, 因为 根据莱布尼兹高阶导数公式, 有, 而 所以. 例. 解 :, 解 :, 例. 证明 : 证明 :. 例. 解 : 由, 得, 从而. 第三章不定积分 不定积 概念 公式

25 学年冬学期 性质 方法 凑配法 换元法 分步法 特殊类型 有理式 三角函数 无理式 一 不定积分概念 : 原函数与不定积分 定义 如果对任一 I, 都有 F f 或 df f d 则称 F 为 f 在区间 I 上的原函数 原函数存在定理 : 如果函数 f 在区间 I 上连续, 则 f 在区间 I 上一定有原函数, 即存在区间 I 上的可导函数 F, 使得对任一 I, 有 F f 注 : 设 F 是 f 的原函数, 则 F C 也为 f 的原函数, 其中 C 为任意常数 注 : 如果 F 与 G 都为 f 在区间 I 上的原函数, 则 F G C C 为常数 由原函数与不定积分的概念可得 : d f d f d d f d f d F d F C df F C 5 d C 5

26 学年冬学期 二 基本及补充积分公式 : kd k C k 为常数 ; d C d d l C ; C rct d 5 rcsi C ;6 cos d si C d 7si d cos C ;8 sc d t C cos d 9 csc d cot C si ;sc t d sc C csc cot d csc C ; d C d C l ;sih d cosh C 5cosh d sih C 6 补充 : si cos d cos cos t d d l cos C l sc cos si d si si cot d d l si C l cos sc t dsc t sc sc t sc d d l sc t sc t csc cot dcsc cot csc csc cot csc d d l csc cot csc cot C C C C 三 不定积分的性质 : 性质.[ g ] d f d f g d 性质. kf d k f d, k 为常数, k 四 三种基本基本方法 : 6

27 学年冬学期 凑配法 设 F u 为 f u 的原函数, u f [ ] d [ 称为第一类换元积分公式 凑微分. 可微, 则 f u du] u 例 : 求 [ l ] d l l 解 : [ ] d d d d l l l l C d 换元法 设 t 是单调的可导函数, 且在区间内部有 t, 又设 f [ t] t 具有 f d f [ t] t dt 其中 t 为 t 的反函数 原函数, 则 t 称为第二类换元积分公式 例. 求 解 : 令 d, si t, t, 则 cos t, d cos tdt, 因此有 cos t d cos t costdt cos tdt dt t si t C t si t cos t C rcsi C rcsi C. 解 : 令 d, t t, t, 则 sct, d sc tdt, 因此有 7

28 学年冬学期 d sc tdt sc t sc tdt l sc t t t C l C l C 其中 C C l 用类似方法可得 分部积分法 u dv u v v du 称为不定积分的分部积分公式 例 : 求 cos d 解 : d d si 例 : 求 解 : cos si si d si cos C d d 例 : 求 l d 解 : l d d d l d d d C l l d l d l C l C 例 : 求 rct d 解 : rct d rct d rct rct d rct d rct d rct rct C 8

29 学年冬学期 例求 si d 解 : si d si d si d si si cos d si cos d si cos d cos si cos si d 因此得 si d si cos 即 si d si cos C 例求 d 解 : 令 t, 则 t, d tdt, 因此 t t t t d tdt t dt t C C 五 几种特殊类型函数的积分 一 有理函数的积分形如 P Q b m b m b m m - 称为有理函数 其中,,,, 及 b, b, b,, bm 为常数, 且, b 例 : 求 解 : 因为 d 得 5 6 d d d d l - 6l C 例 : 求 d 9

30 学年冬学期 解 d d d d d d l rct C 二 三角函数有理式的积分 如果 R u, v 为关于 u, v 的有理式, 则 R si,cos 称为三角函数有理式 我们不深 入讨论, 仅举几个例子说明这类函数的积分方法 因此得 si 例. 求 d si cos 解 : 如果作变量代换 d du u u t, 可得 u si d u si cos u u u u u u u si, cos, u u u l t t l t u du u u C C u du 三 简单无理式的积分 d 例. 求 解 : 令 u, 得 u, d u du, 代入得 d u u du du u du u u u u u l u C l C 习题自测 :

31 学年冬学期 一 选择题 填空题 : d si 若 是 f 的原函数, 则 : f l d sil d 已知 是 f 的一个原函数, 则 f t sc d ; d 5 在积分曲线族 中, 过, 点的积分曲线是 y ; 6 F ' f, 则 f ' b d ; f 7 设 f d c, 则 d ; 8 设 f d rcsi c, 则 d ; f 9 f 'l, 则 f ; 若 f 在, b 内连续, 则在, b 内 f ; A 必有导函数 B 必有原函数 C 必有界 D 必有极限 若 f d si si d, 则 f ; 若 F ' f, ' f, 则 f d A F B C c D F c 下列各式中正确的是 : d A d[ f d] f B [ f d] f d d C df f D df f c fl 设 f, 则 : d A c B l c C c D l c 5 d A rcsi c B rcsi c C rcsi c D rcsi c

32 学年冬学期 6 若 f 在 [, b] 上的某原函数为零, 则在 [, b] 上必有 A f 的原函数恒等于零 ; B f 的不定积分恒等于零 ; C f 恒等于零 ; D f 不恒等于零, 但导函数 f ' 恒为零 二 计算题 : d d cos d si 5 si d 5 6 d d cos si cos si l rcsi 7 d 8 d 9 d l cos t cos si si cos si d d d si si cos cos d l rcsi d 5 d si rct si cos 6 d 7 d 8 d si l 9 rct t d d d d d d cos rct rct d d d 5 t 6 7 f f d si 8 设 si, 求 : 9 已知 的一个原函数为 l, 求 : ' f f d

33 学年冬学期 答案 : 一 选择题 填空题 t si c c [sil cosl ] c c 5 6 F b c 7 c 8 c 9 c B C C D C 5 D 6 C 二 计算题 : l l c c c c c 6 l si c 7 c 8 t c l si cos l sc sc 5 l l cos 9 rcsi l c rctsi l c cos si cos l sc t c si si c [t rct t ] c l l l c 5[ rcsi ] c 6 rct l l c 7 rct l c 8 cos 8 rct t rctsi l c cos 9 rct l rct c l c t l cos c l c cot l si l csc cot c si c 5 t c rct 6 rct l c 7 rct rct c 8 rcsi c 9 l l c 一 知识体系 : 第五章定积分

34 学年冬学期 二 基础知识重要定理 若 f 在闭区间 [, b] 上连续或单调或只有有限多个间断点且有界, 则在 [, b] 上可积, 反之均不成立 微积分学基本定理 变上限函数求导定理 : 设 f 在区间 I 上连续, 是一固定 点, 则由变上限积分 G= 定义的函数在 I 上可导, 且 G =f 一 定积分的常用性质 线性运算法则 对区间的可加性 用于计算分段函数的积分与定积分的证明 积分中值定理若 f 在闭区间 [, b] 上连续, 则至少存在一点, 使也称为闭区间 [, b] 上连续函数 f 的平均值 估值定理若 f 在 [, b] 上可积,m f M m, M 均为常数, 则 5 二 反常积分的定义第一类反常积分 : 设函数在区间 [, ] 上连续, 称记号为函数在无穷区间上的反常积分第二类反常积分 : 设函数在区间,b] 上连续, 不存在 称点 为瑕点

35 学年冬学期 对于以上两式 : 若右端极限存在, 称该反常积分收敛, 该极限值为该反常积分的值, 否则成该反常积分发散 三 必背公式牛顿 莱布尼茨公式 : 周期函数的定积分 三 习题类型一 : 定义法计算定积分 例 5. 利用定义求 用定积分表示 : 类型二 : 利用定积分的性质进行证明 例 5. 求证 设函数 f 在区间 [, ] 上可微, 且满足, 证明至少 存在一点使得 类型三 : 利用微积分基本定理求值 例 5. 求极限 : 计算 : 类型四 : 换元法 例 5. 设函数 f 连续,, 求 F 5

36 学年冬学期 类型五 : 分部积分法 例 5.5 计算 计算 类型六 : 求面积并与极坐标及参数方程相联系 例 5.6 求 和直线 y= 围成的图形面积 求心形线围成的面积 求椭圆 : 围成的面积 类型七 : 求曲线弧长 体积和侧面积 例 5.7 求悬链线 : 的曲线弧长 求 :, 分别绕 轴 y 轴和直 线 y= 旋转一周得到的旋转体体积 求半径为 R 的球面积 类型八 : 物理问题 例 5.8 直径为 8 米的半球形水池的水全部抽到距池口 米高的水塔上至少做多少功? 6

37 学年冬学期 类型九 : 反常积分 例 5.9 判断 ; ; 的敛散性 求 答案 : 略 利用微分中值定理和积分中值定理 均为 约焦耳 9 散 敛 散 四 定积分的定义 设函数在闭区间 [, b] 上有定义, 在闭区间 [, b] 内任意插入 - 个分点, 将 [, b] 分成 个小区间 [i-, i], 记 i=i-i-i=,,,, 任给 [i-, i], 作乘积 7

38 学年冬学期 f 称为积分元, 把这些乘积相加得到和式 i i f f... f... f f 称为积分和式, i i i i i i 设 m{ : i }, 如果, 上述和式的极限都存在且极限值 I 与闭 i 区间 [, b] 的分法及点 i 的取法都无关, 则称这个唯一的极限值 I 为函数在闭区间 b [, b] 上的定积分, 记作 f d b I f d f i i i, 即 注 : 定积分交换上下限要变号 五 重要定理 若 f 在闭区间 [, b] 上连续或单调或只有有限多个间断点且有界, 则在 [, b] 上可积, 反之均不成立 5 微积分学基本定理 变上限函数求导定理 : 设 f 在区间 I 上连续, 是一固定 点, 则由变上限积分 G f t dt, I 定义的函数在 I 上可导, 且 G =f 六 定积分的常用性质 5 线性运算法则 6 对区间的可加性 用于计算分段函数的积分与定积分的证明 7 积分中值定理 若 f 在闭区间 [, b] 上连续, 则至少存在一点, 使 f d f b f 也称为闭区间 [, b] 上连续函数 f 的平均值 8 估值定理 若 f 在 [, b] 上可积, m f M, [, b], m, M 均为常数, 则 b m b f d M b 5 若 f,g 在 [, b] 上可积且 f>=g, 则 f d g d 七 反常积分的定义 b b b 第一类反常积分 : 设函数在区间 [, ] 上连续, 称记号 t f d f d t 为函数 f 在无穷区间 [, ] 上的反常积分 8

39 学年冬学期 第二类反常积分 : 设函数 f 在区间,b] 上连续, f 不存在 称点 为 b 瑕点, 且 b, 称记号 f d f d 为无界函数的反常 积分 对于以上两式 : 若右端极限存在, 称该反常积分收敛, 该极限值为该反常积分的值, 否则成该反常积分发散 八 必背公式 牛顿 莱布尼茨公式 : 周期函数的定积分 si,cos 的 次方在 b 第六章数项级数 一 判断一般级数的收敛性, 用绝对值比值判断法, 用绝对值极值判断法, 如果, 如果 U U 收敛, 则 U 5, 若, 则 U 收敛 U U 发散, 尤其是 称为交错级数, 用莱布尼兹判别法 U 发散 S 6, 定义研究前 项 S 的极限 7, 用线性运算法则 二 求幂级数的收敛半径 收敛区间 收敛域及和函数 X X R 或 R 9

40 学年冬学期 求幂级数和函数有四大法宝, 线性运算, 变量代换 S X R, R ' S X f, ' S d f d S S f d, S d d f 已知 两边对 求导 S f ' 三 将 f 展成幂级数 记住七个函数的麦克劳林, 对 f 线性运算法则, 对 f 变量代换, 对 f 展开, 再两边积分, 对 f 积分, 再两边求导

41 学年冬学期 习题 : 出自真题 一. 常数项级数收敛性的判别问题 cos bsi,,, 已知, 则 b5=., 设级数 A. C. 收敛, 则下述结论不正确的是 必收敛 B. 必收敛 D. 必收敛 必收敛, 设 f 在区间, 内可导, 且 f 小于等于 M 常数 证明 :, 级数 [ f f ] f 绝对收敛 ;, 存在 二 函数展开为幂级数及幂级数的应用, 将函数 f rct l 在 = 处展开成泰勒级数, 并指明成立范围, 将函数 f f 展开成 的幂级数, 并求