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笠坑蒋
4 years ago
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1 信号与系统 Signals and Sysms 第三章连续时间信号与系统的频域分析 Chapr Th rqny Domain Analysis of Coninos Signal and Sysm 控制系网络课程平台 :hp:// 浙江大学控制科学与工程学系

2 输入函数 LTI 系统输出本章主要内容特征函数 s LTI s 特征值或系统函数传递函数 s 连续时间 LTI 系统的特征函数连续时间周期信号的傅里叶级数表示非周期信号的表示 : 连续时间信号的傅里叶变换 4 周期信号的傅里叶变换 a a a 周期信号的 T 公式 x a, a T T 变换对频域为冲激函数的线性组合 x T x x T d d d

3 本章主要内容连续时间 LTI 系统的特征函数连续时间周期信号的傅里叶级数表示非周期信号的表示 : 连续时间信号的傅里叶变换 4 周期信号的傅里叶变换 5 傅里叶变换的性质 6 连续时间 LTI 系统的频域分析

4 a a x a x a 线性性质 : 时移特性 : x 频移特性 x x 4 傅里叶变换的性质 5-

5 4 共轭性质 : 若 x 为实信号, 即 x=x 若 : 若 : [ ] Im[ ] 幅度谱偶对称相位谱奇对称 [ ] [ ] 实部偶对称 Im[ ] Im[ ] 虚部奇对称若 x 为实偶信号, 即 x=x 且 x-=x x 实偶 x=x x-=x 实偶若 x 为实奇信号, 即 x=x 且 x-=-x 实 x=x 虚奇 x-=-x 奇 4 x x x { } Im{ } 傅里叶变换的性质 5- o x { } x o Im{ 5 }

6 傅里叶变换的性质 5-5 微分与积分 x dx 微分 : d n d x n d 推广积分 : x d 频域上分析微分方程表示的系统由积分产生的直流分量 6 时间与频率的尺度变换 x a 时域和频域存在互反关系 x a a a a a 说明 : 时域压缩频域扩展时域扩展频域压缩 n x 时域反褶频域反褶 6

7 7 对偶性傅里叶变换的性质 5-4 x 重要对偶关系式 x x x x T ls T sin T sin ls dx d d x d x d x x d 熟悉常用信号的变换对, 利用对偶关系往往可简化变换 7

8 傅里叶变换的性质帕斯瓦尔定理 Parsval s laion 能量守恒 x x d 信号在时域拥有的总能量 = 频谱在单位频率内能量对于周期信号 : T T x d a d T / 周期信号平均功率 = 各谐波频率分量平均功率之和的总和 a d a d a T T T 例 -9 已知 ω 和 ω. 求 E x d ω 解 : E x d / 4 d d d.5 d.5 ω 5 8 8

9 傅里叶变换的性质时域卷积性质 x h 时域卷积频域相乘频域系统分析 x * h 调制性质频域卷积 x x 一个信号被另一个信号相乘, 可以理解为用一个信号去调制另一个信号的振幅调制性质 x x * 9

10 傅里叶变换的性质 5-7 例 Wi x sin W h sin y x h? Y -W i W i = -W W -W o W o W o =minw i, W T - 注意到 : 在此应用时域卷积性质会使问题的求解变得容易 y Wo sin

11 本章主要内容连续时间 LTI 系统的特征函数连续时间周期信号的傅里叶级数表示非周期信号的表示 : 连续时间信号的傅里叶变换 4 周期信号的傅里叶变换 5 傅里叶变换的性质 6 连续时间 LTI 系统的频域分析

12 连续时间 LTI 系统的频域分析基本内容连续时间 LTI 系统的频率响应连续时间 LTI 系统的零状态响应的频率求解用线性常系数微分方程表征的 LTI 系统周期信号激励下的系统响应电路系统的频域求解信号的不失真传输信号的滤波与理想滤波器

13 连续时间 LTI 系统的频率响应定义 : 对于一个冲激响应为 h 的 LTI 系统, 其 orir 变换 ω 称为 LTI 系统的频率响应简称频响, 是特征函数 ω 的特征值 ω Yω 系统对某一频率为 ω 的信号的响应特性由其频率 ω 响应 ω 的特性来决定 Y Y Y 定义 : h 定义 : zs *. 频域相乘是无顺序的级联系统总的频率响应等于各单个子系统频率响应的乘积 *. LTI 系统的频域分析法适用于稳定系统相频特性延时特性幅频特性放大特性

14 连续时间 LTI 系统的频率响应例 -5 P7 求微分器的频率响应 ω 解 : 微分器可以表示为 : dx y orir 变换 d 例 -6 P7 求积分器的频率响应 ω 解 : 积分器可以表示为 : y x d x * 例 -7 P8 求延时系统的频率响应 ω Y Y h 6 h y 解 : 延时系统可以表示为 : x orir 变换 Y Y h 4

15 连续时间 LTI 系统的零状态响应频率求解时域上 : 卷积积分 LTI 系统的零状态响应频域上 : 卷积性质输出信号 y 的频谱反变换时域 :x 频域 :ω h ω y=x*h Yω= ω ω y=y - ω 5

16 连续时间 LTI 系统的零状态响应频率求解 6 例 -8 P9 因果 LTI 系统输入信号的零状态响应为, 求频率响应 ω 和 h x y 解 : 分别求输入 x 和输出 y 的傅里叶变换 x Y y Y h

17 用线性常系数微分方程表征的 LTI 系统 7 线性常系数微分方程 : M N d x d b d y d a 微分方程频率响应? 方程频域求解? 假定系统是稳定因果的对微分方程两边取 orir 变换, 注意到如下性质 : 线性性质微分性质 b a bx ax d x d b Y a M N N M a b Y

18 用线性常系数微分方程表征的 LTI 系统 8 例 -9 P 因果 LTI 系统, 求该系统的频率响应和单位冲激响应 x d dx y d dy d y d 解 : 系统的频率响应 Y 单位冲激响应 h 可以用 ω 的 orir 反变换获得 Y a a h

19 用线性常系数微分方程表征的 LTI 系统 9 例 - P 因果 LTI 系统, 当输入信号且系统初始静止, 求系统输出 y 4 x d dx y d dy d y d x 解题思路 :ω, ω Yω y 4 Y x Y C B A Y Y B 4 C Y A=? 将已求得的 B 和 C 代入上述方程, 并令 = 得 A 4 A 4 4 y

20 s LTI 系统 h 周期信号激励下的系统响应 s s 思路 : 周期信号输入特征函数性质线性性质傅里叶级数系统输出响应 LTI x a y a b 周期信号 {a } LTI 周期信号 {a ω } 周期信号的三角函数表示的响应 : b a x B B os C sin? 方法 : 先求取 osω 和 sinω 的响应特性, 然后按照线性性质, 即可求出三角函数形式的周期信号的响应 LTI

21 周期信号激励下的系统响应假设 :LTI 系统的冲激响应为实函数 Y os os -66 例 -4 幅度谱为偶相位谱为奇 os os y x h LTI

22 周期信号激励下的系统响应同理可证 LTI h x os y os 推广 : LTI h x sin y sin LTI h x os y os LTI h x sin y sin LTI x B B os C sin y B B os C sin 对于 LTIS 而言, 系统对正弦输入的响应为同频率正弦信号, 但幅值与相位与相关

23 周期信号激励下的系统响应 4 例 - 有一周期信号 x, 其基波频率为 π, a =, a =a - =/4, a =a - =/, a =a - =/, 该周期信号 x 通过一单位脉冲响应为的 LTI 系统, 计算系统的输出 a x h 解 : 方法一 h LTI b y a x a b a a b 4 a b 4 a b 6 a b b y

24 LTI h x os y os 方法二 : x 周期信号激励下的系统响应 5 a LTI LTI os os LTI os 4 4 os4 4 LTI os 6 os os 4 ω = 4 6 os6 6 os 6 os arg os4 arg 4 + ω θ ω = aranω 6 os6 arg 6 y b 4

25 电路系统的频域求解 5 电路系统的组成 : 放大器加法器电阻电容电感等频域上定义复阻抗 : I U 阻抗两端电压的 orir 变换阻抗两端电流的 orir 变换假定初始静止 : 电阻 : I U i 电容 : C I U d d C i 电感 : L I U d di L L L L L L 通过复阻抗, 可将电路中的基尔霍夫定律直接用于频域中

26 电路系统的频域求解 6 例 - P C 低通网络, 输入端信号为单位阶跃 v=, 用傅里叶方法分析该电路的输出信号,C=/ v v 解 : 电阻的复阻抗电容 C 的复阻抗 C V C C V V C V V 输入 : V v 输出 : v V V

27 信号的不失真传输信号传输过程的失真 : 系统响应的波形与激励的波形不一致 Y 幅度失真系统幅频特性 ω 引起的失真, 即对信号幅度的放大 / 缩小相位失真系统相频特性 θω 引起的失真, 使响应的各频率分量在时间轴上相对位置产生变化无失真传输定义 : 输出信号与输入信号相比, 只是大小与相对时间轴的位置不同, 并没有波形上的变化, 即 : y Kx Y K 无失真的单位冲激响应 : h K K 无失真的频率响应 : K 与频率无关呈线性关系 7 参见 P5, 图 -8

28 信号的滤波与理想滤波器信号的滤波目的是改变一个信号中各频率分量的大小, 或者全部消除某些频率成份滤波器用于完成滤波功能的系统 LTI 系统 h 实现适当地设计系统的频率响应理想低通滤波器的频域特性和冲激响应理想低通 : ω <ω 的信号无失真地通过频域特性 ω >ω 的信号完全衰减 ls 截止频率通带阻带对不同频率不同加权 : 滤波作用 -ω ω φω ω ω ω =- ω 8

29 信号的滤波与理想滤波器 - - 理想低通滤波器理想高通滤波器 - - 理想带通滤波器 9

30 信号的滤波与理想滤波器抽样函数频谱 sin x ls 时移特性低通滤波器 ls sin h ω -ω ω ω φω ω =- ω sin sin < 时,h 理想低通滤波器是非因果系统, 物理上不可实现

31 C C Y C C C C C + y=v x=v s Y h C 例 -4 求一个实际一阶低通滤波器的 ω 与 h. 解 : C h C 因果系统 + 信号的滤波与理想滤波器 4

32 信号的滤波与理想滤波器 5 例 -5 求一个实际一阶高通滤波器的 ω 与 h. 解 : Y Y C + y=v + x=v s C C C C / h C C h 因果系统

33 理想低通滤波器的阶跃响应 s 低通滤波器 ls 阶跃输入 : s Si. r 信号的滤波与理想滤波器 6 s Si S s Si Si x x sin d ω 越大, 上升越快 r f f 滤波器的带宽输出存在吉布斯现象

34 信号的滤波与理想滤波器 7 4 理想低通滤波器对矩形脉冲的响应 y ls 低通滤波器矩形脉冲输入 : x Si Si Si Si s ω 越大, 输出越接近矩形脉冲 ω 越小, 输出越失真 Si Si s.. Si Si s

35 连续时间 LTI 系统的频率响应 : 小结 _ 频率响应定义 : 一个冲激响应为 h 的 LTI 系统的 orir 变换 ω 时域 :x 频域 :ω h ω y=x*h Yω= ω ω y zs =Y - ω 定义 : h 定义 : Yzs 周期信号激励下的系统响应 : LTI a y a x LTI h x os y os LTI h x sin y sin 电路系统的频域求解 : 通过复阻抗可将基尔霍夫定律直接用于频域中 5

36 连续时间 LTI 系统的频率响应 : 小结 _ y Kx 无失真传输定义 : Y K ω <ω 的信号无失真地通过理想低通滤波器 ω >ω 的信号完全衰减理想低通滤波器的频域时域特性? - 理想低通滤波器是一种理想化的模型, 它是研究与设计各种实际滤波器的理论基础理想化模型虽然与真实情况有一定距离, 然而借助于它们往往可以简化问题, 有助于建立统一的宏观概念, 并认清事物的本质如我们已经碰到过的 δ 函数 6

37 回顾本章主要内容连续时间 LTI 系统的特征函数特征值 : 概念与应用周期信号的傅里叶级数表示非周期信号的傅里叶变换 4 周期信号的傅里叶变换常见信号的 T 对需要记忆并掌握 5 傅里叶变换的性质 -- 条性质 : 掌握并灵活应用 6 连续时间 LTI 系统的频域分析 -- 系统响应求解

38 单击此处编辑母版标题样式单击此处编辑母版副标题样式海棠 - - 摄于紫金港西区控制科学与工程学系 8 7// 第三章 8

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PowerPoint 演示文稿信号与系统 Signls n Sysms 第三章连续时间信号与系统的频域分析 Chpr 3 h rquny Domin Anlysis of Coninuous Signl n Sysm 控制系网络课程平台 :hp://www.s.zu.u.n/lss/signl_sysm/ 浙江大学控制科学与工程学系本章主要内容连续时间 LI 系统的特征函数连续时间周期信号的傅里叶级数表示 3 非周期信号的表示