幻灯片 1

Transcription

1 203 年秋季学期 3 教 05 数字信号处理 第二章离散时间信号和系统的时域分析

2 第二章离散时间信号和系统的时域分析 2. 时域离散信号 : 序列, 周期序列, 序列运算 2.2 采样与量化 : 信号的采样, 采样定理, 重建 2.3 时域离散系统 : 线性时不变因果稳定 2.4 常系数线性差分方程 2

3 本章主要学习 典型信号及信号的基本运算 ; 线性时不变系统的因果性和稳定性 ; 系统的输入输出描述法 ; 线性常系数差分方程及求解 ; 模拟信号数字处理方法 3

4 第二章离散时间信号和系统的时域分析 2. 时域离散信号 : 序列, 周期序列, 序列运算 2.2 采样与量化 : 信号的采样, 采样定理, 重建 2.3 时域离散系统 : 线性时不变因果稳定 2.4 常系数线性差分方程 4

5 2. (a) 引言 信号通常分为 : 连续时间信号 ( 模拟信号 ): 时间连续幅度也连续 ; 离散时间信号 : 时间离散 幅度连续 ; 数字信号 : 时间离散 幅度也离散 课程研究对象是数字信号的分析和处理 系统 : 把信号变换成某种更合乎要求的形式 模拟系统 : 输入和输出都是模拟信号的系统 ; 离散时间系统 : 输入和输出都是离散时间信号 ; 数字系统 : 输入和输出都是数字信号的系统 5

6 按自变量与函数值的取值形式不同分类 连续时间信号 离散时间信号 时间幅度连续连续连续离散离散连续离散离散 信号类型模拟信号量化信号采样信号数字信号

7 连续 / 离散信号和系统的处理方法 时间 t x(t) 幅度 x(t) 系统描述系统分析 连续连续模拟信号微分方程 傅立叶变换 拉普拉斯变换 离散连续时域离散信号 离散离散数字信号 差分方程 离散 傅立叶变换 Z 变换 7

8 离散信号的表示 x[k] 2 图形 k 向量 x[ k] {,, 2, -, - } x [k]={,, 2, -, ; k = -,0,,2,3} 表达式 k x[ k] 2 u[ k] 8

9 离散序列的产生 () 对连续信号抽样 x[k]=x(kt) x a (t) T-samplig period (a) (2) 信号本身是离散的 0 x a (T) t (3) 计算机产生 (b) 离散信号 : 时间上量化的信号 数字信号 : 时间和幅度上都量化的信号 0 T 2T 3T x() (c) 由模拟信号产生时域离散信号 9 t

10 2. (b) 常用的典型序列 ). 单位脉冲 ( 采样, 冲激 ) 序列 ( )

11 2). 单位阶跃序列 u() 与单位脉冲序列的关系 ) ( u u() ) ( ) ( ) ( - - u u ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 0 k u k

12 3). 矩形序列 0 N - R N ( ) 0 为其它 R N ( ) u( ) - u( - N ) R 4 () 矩形序列 (N=4) 2

13 4). 实指数序列 x( ) a u( ) a 为实数 有界序列 : 若 kz, 存在 x [k] M x a k u[k]: 右指数序列 a a k u[-k]: 左指数序列 a a k : ( 双边 ) 指数序列 a = 3

14 5). 正弦型序列 x( ) si( ) 式中 ω 是正弦序列数字域的频率 它反映了序列变化快慢的速率, 或相邻两个样点的弧度数 x() 0 4

15 数字频率与模拟频率 对连续信号中的正弦信号进行采样, 可得正弦序列 模拟正弦信号 : x a x a ( t) si( t) ( t) si( T) si( ) x( ) tt 数字频率 ω 与模拟角频率 Ω 之间的关系为 T f s ω: 数字域频率 ;Ω: 模拟域频率 T: 采样周期 ; f s : 采样频率数字域频率相当于模拟域频率对采样频率的归一化值 5

16 6). 复指数序列 x( ) ( + j) 式中,ω 为数字域频率 若 σ=0, 可得 e j x( ) e cos( ) + jsi( ) 复正弦序列 欧拉公式 6

17 6). 虚指数序列 ( 单频序列 )exp(jk) 周期性 : x[ k] e j k 若 j N e 0 则 e j0 ( k+ N ) j0k j0n j0k e e e 即 0 N = m2p, m = 正整数时, 信号是周期信号 结论 : 如果 0 /2p m/n, N m 是不可约的整数, 则信号的周期为 N 7

18 6). 虚指数序列 ( 单频序列 )exp(jk) e j k 可以对连续虚指数信号 e j t 以 T 为间隔抽样得到 tkt jtk j k x[ k] x( t) e e 两者区别 : 虚指数序列 x[k]=e j k 不一定为周期序列 k m2p 而连续虚指数信号 x(t)=e jt 必是周期信号 数字角频率 与模拟角频率 之间的关系为 = T 8

19 正弦型序列与虚指数序列 x( ) si( ) 式中 ω 是正弦序列数字域的频率 它反映了序列变化快慢的速率, 或相邻两个样点的弧度数 x() 0 cos( k ) (e 2 si( k ) (e 2 j jk jk + e - e 正弦型序列与虚指数序列是同类信号, 可以相互线性表达, 正弦型序列也不一定是周期序列, 其周期性的判断与虚指数序列相同 - jk - jk ) ) 9

20 7). 周期序列 如果对所有 存在一个最小整数 N, 满足 x ( ) x( + N) - 则称 x() 为周期序列, 记 x ~ ( ), 最小周期为 N 例 : p p x( ) si( ) si[ ( + 8)] 4 4 因此,x() 是周期为 8 的周期序列 20

21 2. (c) 序列的周期性 如果对所有 存在一个最小的正整数 N, 满足 x ( ) x( + N) 则称序列 x() 是周期性序列, 周期为 N 2

22 正弦序列的周期性 x( ) si( 0 ) x ( + N) [si( + N) 0] si( N0 + 0 ) 则 其周期满足 N=2πk/ω 0 () 当 2π/ω 0 为正整数时, 周期为 2π/ω 0 (2) 当 2π/ω 0 不是整数, 而是一个有理数时 ( 有理数 可表示成分数 ), 则 2p 式中,k, N 为互素的整数, 序列的周期为 N 0 N k 22

23 正弦序列的周期性 (3) 当 2π/ω 0 是无理数时, 则任何 k 皆不能使 N 取正 整数 这时, 正弦序列不是周期性的 如果一个正弦型序列是由一个连续信号采样而得到的, 那么, 采样时间间隔 T 和连续正弦信号的周期之间应该 是什么关系才能使所得到的采样序列是周期序列呢? 23

24 设连续正弦信号 x a (t) 为 x a ( t ) A si( t 0 ) 信号的周期为 T 0 =/f 0 =2π/Ω 0 进行采样 : x( ) x( t) A si( 0T) x( ) Asi( 0 ) 令 ω 0 为数字域频率, 满足 tt f f p 0 0 0T 0 2 s f s ω 0 是一个相对频率, 它是连续正弦信号的频率 f 0 对采样频率 f s 的相对频率乘以 2π, 或说是连续正弦信号的角频率 Ω 0 对采样频率 f s 的相对频率 24

25 正弦型序列的周期性的条件意味着什么? T T T f T f T p p p p T T k N p 式中,k 和 N 皆为正整数, 从而有 NT kt 0 即 N 个采样间隔应等于 k 个连续正弦信号的周期 25

26 例 : 试确定余弦序列 x[k] = cos 0 k 当 (a) 0 =0; (b) 0 =0.p; (c) 0 =0.2p; (d) 0 =0.8p; (e) 0 =0.9p; (f) 0 =p 时的基本周期 N 解 : (a) 0 /2p 0/ N= (b) 0 /2p0./2/20 N=20 (c) 0 /2p0.2/2/0 N=0 (d) 0 /2p0.8/22/5 N=5 (e) 0 /2p0.9/29/20 N=20 (f) 0 /2p/2 N=2 随着角频率 0 的增加, 序列的周期 (N) 不一定变小 26

27 例 : 试确定余弦序列 x[k] = cos 0 k 当 (a) 0 =0; (b) 0 =0.p; (c) 0 =0.2p; (d) 0 =0.8p; (e) 0 =0.9p; (f) 0 =p 时的基本周期 N 解 : (a) 0 /2p 0/ N= (c) 0 /2p0.2/2/0 N= x[k] = cos 0 k, 0 = x[k] = cos 0 k, 0 =0.2p 27

28 例 : 试确定余弦序列 x[k] = cos 0 k 当 (a) 0 =0; (b) 0 =0.p; (c) 0 =0.2p; (d) 0 =0.8p; (e) 0 =0.9p; (f) 0 =p 时的基本周期 N 解 : (d) 0 /2p 0.8/22/5 N=5 (f) 0 /2p/2 N= x[k] = cos 0 k, 0 =0.8p x[k] = cos 0 k, 0 =p 28

29 x[k] = cos 0 k, 0 = x[k] = cos 0 k, 0 =0.2p x[k] = cos 0 k, 0 =0.8p x[k] = cos 0 k, 0 =p 当 0 从 0 增加到 p 时, 余弦序列幅度的变化将会逐渐加快 29

30 正弦型序列 cos( 0 k) 的特性 当 0 从 p 增加到 2p 时, 余弦序列幅度的变化将会逐渐变慢 0 在 p 附近的余弦序列是高频信号 0 0 或 2p 附近的余弦序列是低频信号 cos 由于 cos[(2p- 0 )k]= cos( 0 k) (( + 2p ) k) ( k) Z 0 0 cos 两个余弦序列的角频率相差 2p 的整数倍时, 是同一个序列 0 在 p 奇数倍附近的余弦序列是高频信号 0 在 p 偶数倍附近的余弦序列是低频信号 30

31 利用 MATLAB 产生序列 MATLAB 中的基本函数 : exp, si, cos, square, sawtooth 例 : 利用 MATLAB 产生指数序列 x[k]=ka k u[k] a = iput(' 输入指数 a = '); K = iput(' 输入常数 K = '); N = iput (' 输入序列长度 N = '); k = 0:N-; x = K*a.^k; stem(k,x); xlabel(' 时间 ');ylabel(' 幅度 '); title(['\alpha = ',um2str(a)]); 3

32 2 a = 幅度 时间 a=0.9, K=2, N=3 的指数序列 32

33 任意序列的单位脉冲序列表示任意序列可表示成单位脉冲序列的移位加权和 即例如 - - m m m x x ) ( ) ( ) ( 4) ( 2 3) ( 2) (.5 ) ( 3 ) ( 2 ) ( 3 2) ( 2 ) ( x x() x(-2) x(4) (-) x 33

34 2. (d) 序列的基本运算 ). 序列的和 : 两序列的和是指同序号 的序列值逐项对应相加而构成的新序列 x() z() = x() + y() z(0) = x(0) + y(0) = 3 z() = x() + y() = 2 z(2) = x(2) + y(2) = 3 y() z() z(3) = x(3) + y(3) = 2 z(4) = x(4) + y(4) =

35 仿真实验 (Matlab) x=wavread( w.wav ); % 读入声音文件 x2=wavread( w2.wav ); y=x+x2; % 序列求和 figure(); plot(x); grid o; figure(2); plot(x2); grid o; % 画图显示结果 figure(3); plot(y); grid o; wavwrite(y, w3.wav ); % 结果保存为声音文件 35

36 实验结果 y() = x ()+ x 2 () x () x x 2 () x y() x

37 2). 序列的积 : 两序列的积是指同序号 的序列值逐项对应相乘而构成的新序列 x() z() = x() * y() z(0) = x(0) * y(0) = 2 z() = x() * y() = 2 z(2) = x(2) * y(2) = 2 z(3) = x(3) * y(3) = 2 z(4) = x(4) * y(4) = y() z()

38 3). 序列的移位 : y() = x(±m) 设有一序列 x(), 当 m 为正时 : x(-m) 表示序列 x() 逐项依次右移 m 位后得到的序列 x(+m) 表示序列 x() 逐项依次左移 m 位后得到的序列 2 x() x(0)= x()=2 x(2)=3 x() x(-) x() x(+)

39 实例 : 序列右移 ( 序列延迟 ) 的应用延时单元可以将以前的某采样时刻的数据暂存起来, 参与这个时刻的运算 ) ( ) ( ) ( - + a a R x x y 回声可以用延迟单元来生成 直接声音和它的延迟了 R 个周期的单个回声可以用下面的式子来表示 ( a 为回声的衰减系数 ): 为了生成间隔为 R 个周期的多重回声, 可将上式改为 : ) ) ( ( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( a a a a R N x R x R x x y N 39

40 4). 序列的反褶 : y() = x(-) 设有序列 x(), 则 x(-) 是以 =0 为纵轴将 x() 反褶后的序列 x() x(-)

41 思考 :x(-+) 和 x(--) 与 x(-) 的移位关系? x() x(0)= x()=2 x(2)= x(-) x(-+) x(-+) 是 x(-) 右移一位后的序列 x(--) x(--) 是 x(-) 左移一位后的序列 4

42 仿真实验 (Matlab) x = wavread( w2.wav ); % 读入声音文件 y = fliplr(x); % 反褶 figure(); plot(x); grid o; % 画图显示结果 figure(2); plot(y); grid o; wavwrite(y, w4.wav ); % 结果保存为声音文件 x() w2.wav x 0 4 y()=x(-+n) w4.wav x

43 5). 累加 设序列 x(), 则 x() 的累加序列 y() 定义为 : y ( ) x( k) k- 它表示 y() 在某一个 0 上的值等于这一个 0 上的 x( 0 ) 以及 0 从前的所有 值上的 x() 值之和 例如 : x( ) 2 0 ( 2 ) - - y ) k- 0 ( 2 ( 2 )

44 6). 差分运算 前向差分 : x( ) x( + ) - x( ) 后向差分 : x( ) x( ) - x( -) x( ) x( -) 差分运算反映了序列 x() 的幅值变化规律 7). 序列的时间尺度 ( 比例 ) 变换 设某序列为 x(), 则其时间尺度变换序列为 x(m) 或 x(/m),m 为正整数 x(m) 为抽取序列 (m>) x(/m) 为插值序列 (m<) 44

45 例如 :x() 与 x(2) x() x(2) 注意 : x() = x(t) t=t x(2) = x(t) t=2t x(/2) = x(t) t=t/2 采样间隔为 T 采样间隔为 2T, 抽样 采样间隔为 T/2, 插值 45

46 8). 卷积和 卷积积分是求连续线性时不变系统输出响应的主要方法 x(t) h(t) - y ( t) x( t) * h( t) x( m) h( t - m) dm 卷积和是求离散线性时不变系统输出响应的主要方法 x() h() y( ) x( ) * h( ) x( m) h( m- - m) 46

47 卷积和的计算方法与步骤 : () 反褶 : 画出 x(m) 与 h(m), 以 m=0 的纵轴为对称轴将 h(m) 反褶成 h(-m) (2) 移位 : 将 h(-m) 移位, 得到 h(-m) 当 为正, 右移 位 ; 当 为幅负, 左移 位 (3) 相乘 : 将 h(-m) 和 x(m) 的相同 m 值的对应点值进行相乘 (4) 相加 : 将所有对应点的乘积累加起来, 得到某一个 下的 输出值 y() y( ) x( ) * h( ) - x( m) h( - m) m 47

48 序列卷积的基本特性 例 : 已知 x [k] * x 2 [k]= y[k], 试求 y [k]= x [k-] * x 2 [k-m] 解 : y [k]= y[k-(m+)] 例 :x[k] 非零范围为 N k N 2, h[k] 的非零范围为 N 3 k N 4 求 : y[k]=x[k]* h[k] 的非零范围 解 :N +N 3 k N 4 +N 2 两个序列的卷积时, 卷积所得序列的起点等于两个序列起点之和, 终点等于两个序列的终点之和, 序列长度等于两个序列的长度之和减 48

49 y 例 : 利用 MATLAB 函数 cov 计算两个序列的离散卷积 x=[-0.5,0,0.5,]; kx=-:2; h=[,,]; kh=-2:0; y = cov(x, h); k=kx()+kh():kx(ed)+kh(ed); stem(k,y); xlabel('k'); ylabel('y'); k 49

50 9). 相关运算 z( ) + k- y( ) x( - k) + k- y( ) x( -( k - )) y( )* x( -) 卷积和相关运算的 MATLAB 实现 卷积 y cov( x, h) 相关 z xcorr ( x, y) 50

51 例 : x[k]={2,, -2, ; k=0,,2,3},y[k]={-, 2,, -; k=0,,2,3}, 试计算互相关函数 r xy [] 和 r xy [], 以及自相关函数 r x [] 解 : 根据序列的相关运算定义可得 3 rxy [ ] x[ k] y[ k + k0 ] 2 y[ ] + y[ + ] - 2y[ + 2] + y[ + 3] {-,4, -4,-3,7,, -2} 3 r [ ] [ ] [ ] yx y k x k + - x[ ] + 2 x[ + ] + x[ + 2] - x[ + 3] k0 {-2,,7, -3, -4,4, -} 3 rx [ ] x[ k] x[ k + k0 ] 2 x[ ] + x[ + ] - 2x[ + 2] + x[ + 3] {2, -3, -2,0, -2,-3,2} 5

52 序列相关的基本特性 () r xy []=x[-] * y[] (2) r xy []=r yx [-] r x []=r x [-] (3) r x [0] r x [] 52

53 第二章离散时间信号和系统的时域分析 2. 时域离散信号 : 序列, 周期序列, 序列运算 2.2 采样与量化 : 信号的采样, 采样定理, 重建 2.3 时域离散系统 : 线性时不变因果稳定 2.4 常系数线性差分方程 53

54 2.2 (a) 信号的采样 : 问题的提出 这里指的是时域的采样 ; 采样的目的 : 将无限点的计算转化成有限个点的计算 ; 采样过程中潜在的问题 : 信息丢失 有意义采样的前提 : 采样引起的信息丢失在允许的范围内 ; 信息的度量问题 ; 在时域里采样保证信息不丢失的条件是什么? 能否给出定量描述? 信号被抽样后频谱如何变换? 54

55 不同抽样频率对图像的影响 55

56 2.2 (a) 模拟信号数字处理方法 模拟 x a (t) 前置预 A/D 数字信号 D/A 模拟 滤波器 变换器 处理器 变换器 滤波器 PrF ADC DSP DAC PoF 模拟 ya(t) 采样 采样恢复 56

57 2.2 (a) 采样的基本概念 所谓 采样, 就是利用采样脉冲序列从连续时间信号 中抽取一系列的离散样值, 由此得到的离散时间信号通常称 为采样信号, 以 ˆ x a ( t) 表示 连续信号 采样器 采样信号 ^ x a (t) ^ x a (t) x a (t) 采样脉冲 o t 采样间隔 ( 周期 ) T (s) 采样角频率 sam =2p/T (rad/s) 采样频率 f sam =/T (Hz) 57

58 2.2 (a) 实际采样与理想采样 x a (t) (a) x a (t) x ( t) T ˆa (b) o t p(t) s(t) (c) o T t (e) o T t x p (t) xˆa ( t) (d) ( f ) o t o t xˆ a ( t) x a ( t) s( t) ˆ xa( t) xa( T) ( t - - T) 58

59 实际采样 如开关每次闭合 τ 秒, 则采样器的输出是一串重复周期为 T, 宽度为 τ 的脉冲,( 如图 ) 脉冲的幅度是这段时间内信号的幅度 ( 如图 ), 这一采样过程可看作是一个脉冲调幅过程, 脉冲载波是一串周期为 T 宽度为 τ 的矩形脉冲, 以 P(t) 表示, 调制信号是输入的连续信号 x a (t), 则采样输出为 x p ( t) x ( t) p( t) a 一般 τ 很小, τ 越小, 采样输出脉冲的幅度越接近输入信号在离散时间点上 的瞬时值 59

60 理想采样 开关闭合时间 τ 0 时, 为理想采样 特点 : 采样序列表示为冲激函数的序列, 这些冲激函数准确地出现在采样瞬间, 其积分幅度准确地等于输入信号在采样瞬间的幅度 即 : 理想采样可看作是对冲激脉冲载波的调幅过程 我们用 M(t) 表示这 个冲激载波, 则有 - M ( t) ( t - T) xˆ a ( t) x a - ( t) M( t) x ( t) ( t - T) x ( T) ( t - T) a - a 60

61 采样的数学模型及实现 x[ k ] x( t) tkt x(t) A/D x[k]=x(kt) T? X ( j) X ( e j ) 在信号的时域抽样过程中, 从时域难以看出如何选择合适的抽样间隔 T 利用信号时域与频域一一对应的关系, 可以从频域分析 6

62 2.2 (b) 理想采样及其频谱. 时域分析 数学模型 x a (t) ^ x a (t)=x a (t) p(t) X a () p(t) Xˆ a ( ) [ X 2p a ( ) * P( )] 采样脉冲 : - p ( t) ( t) ( t - T) T 理想采样输出 : xˆ a ( t) x a ( t) T ( t) - x a ( T) ( t - T) 62

63 2. 频域分析映射时域相乘频域卷积 ( 模拟系统 ) ) 冲激函数序列 δ T (t) 的频谱考虑到周期信号可以用傅里叶级数展开, 因此, 冲激函数序列 δ T (t) 可用傅里叶级数表示为 : 其中 - t j T s e A (t) )] ( ) ( [ 2 ) ( ˆ a a * P X X p ) ( ) ( ) ( ˆ a a t p t x t x /T 2 s p / 2 / ) ( T T t j dt e t T A s T dt t T T T ) ( 2 / 2 / - 63

64 因此, T ( ) j st t e, 0,, 2 T - 上式表明冲激函数序列具有梳状谱的结构, 即它的各次谐波都具有相等的幅度 /T /T A 幅度谱 2p/T F[ T (t)] 频谱 / s / s 因为 e P j t s 2p( - s), 所以 2p j s ( ) F[ e ] ( - s T - T - ) 64

65 2.2 (b) 理想采样信号 ˆ ( t) 的频谱 x a Xˆ a ( j) [ X 2p a ( )* P( )] [ X 2p a ( )* 2p T - ( - s )] T - X a ( - s ) X a () 上式表明 : () 频谱产生周期延拓 即采样信号的频谱是频率的周期函数, 其周期为 Ω s (2) 频谱的幅度是 X a (jω) 的 /T 倍 - c 0 c ^ X a () - s 0 s /2 s 65

66 在时域抽样 ( 离散化 ) 相当于频域周期化 最高截止频率为 Ωc X a (jω ) ( a ) -Ω c 0 Ω c Ω 傅氏变换仍为冲激序列 P (jω ) δ 2p s 2pfs T 导致频域周期延拓 ( b ) /T ( c ) -Ω s -Ω s s ^X a (jω ) s 2 ^X a (jω ) Ω s Ω s Ω Ω X ˆ 2p a( j) Xa( j - jk ) T T k- ( d ) -Ω s 0 s Ω c Ω s 2 Ω 频谱是原连续信号的频谱以抽样角频率为间隔周期地延拓, 频谱幅度受抽样脉冲序列的傅立叶系数加权 66

67 2.2 (c) 时域采样定理 如果信号 x a (t) 是带限信号, 且最高频率不超过 Ω s /2, 即 X a( j) s / 2 X a( j) 0 s / 2 那么采样频谱中, 基带频谱以及各次谐波频谱彼此是不重叠 的 用一个带宽为 Ω s /2 的理想低通滤波器, 可以不失真的还 原出原来的连续信号 但是, 如果信号最高频谱超过 Ω s /2, 那么在采样频谱 中, 各次调制频谱就会相互交叠起来, 这就是频谱混叠现 象 其中,Ω s /2 或 f s /2, 称作折叠频率 67

68 2.2 (c) 时域采样定理 设 x(t) 是带限实信号, 则抽样后信号频谱不混叠的 ( 充分 ) 条件为 : 抽样频率 s 满足 或抽样间隔 T 满足 s 2 m ( 或 s 2 m ) T p/ m =/(2f m ) f s = 2f m 频谱不混叠最小抽样频率 (Nyquist rate) T=/(2f m ) 频谱不混叠最大抽样间隔 68

69 采样信号的频谱图 X a () (a) - c 0 c P() (b) - s 0 s ^ X a () (c) - s 0 s /2 s ^ X a () (d) - s 0 s s /2 69

70 单音 ( 余弦 ) 信号采样中的频谱混叠情况示意图 π X a (j) π (a) - 0 o 0 (b) p T ˆ a X p T (j ) - s - 0 o 0 2s s s 0 < p T 2 ˆ a X (j ) p s 0 > T 2 (c) - s - 0 o 0 2s s 70

71 设 x a ( t) cos 0 t 没有混叠时, 恢复出的输出为 有混叠时, 则是 ya ( t) cos( s - 0) t ˆ a X (j ) y a ( t) cos 0 t p s 0 > T 2 - s - 0 o 0 2s s 结论 : 为使采样后能不失真的还原出原信号, 采样频率 必须大于两倍信号最高频率, 这就是奈奎斯特采样定理 7

72 应用系统 表 : 一些典型的数字信号处理系统 上限频率 f max 采样频率 f s 地质勘探 500Hz -2 khz 生物医学 khz 2-4kHz 机械振动 2kHz 4-0 khz 语音 4kHz 8-6 khz 音乐 20kHz khz 视频 4MHz 8-0 MHz 72

73 例 : 已知实信号 f(t) 的最高频率为 f m (Hz), 试计算 对各信号 f(2t), f(t)*f(2t), f(t)f(2t) 抽样不混 叠的最小抽样频率 解 : 根据信号时域与频域的对应关系及抽样定理得 对信号 f(2t) 抽样时, 最小抽样频率为 4f m (Hz); 对 f(t)*f(2t) 抽样时, 最小抽样频率为 4f m (Hz); 对 f(t)f(2t) 抽样时, 最小抽样频率为 6f m (Hz) 73

74 采样定理的工程应用 x(t) 许多实际工程信号不满足带限条件 h(t) 抗混 x ( t) 低通滤波器 X ( j) H( j) X ( j ) 0 - m 0 m - m 0 m 74

75 混叠误差与截断误差比较 X ( j) X ( j )... 0 T X s ( j ) - m 0 m... - sam - m 0 m X s ( j ) sam... T... - sam - m 0 m sam 75

76 在实际工作中, 为了避免频谱混淆现象发生, 采样频率总是选得比奈奎斯特频率更大些, 例如选到 Ωs 取 (3~ 4)Ω h 同时为了避免高于折叠频率的杂散频谱进入采样器造成频谱混淆, 一般在采样器前加入一个保护性的前置低通滤波器, 称为防混叠滤波器, 其截止频率为 Ω s /2, 以便滤除掉高于 Ω s /2 的频率分量 76

77 2.2 (d) 信号的重建. 频域分析 x a (t) X a () ^ x a (t) ^ X a () G(j) y a (t) = x a (t) Y() p(t) ( a ) ( b ) -π/ T 0 0 X^ a (jω ) G(jΩ) π/t X a (jω ) Ω Ω G( j) Y ( j) T, 0, Xˆ T X a a ( j) s s / 2 / 2 ( j) G( j) X a ( j) G( j) ( c ) 0 Ω y( t) x ( t) a 77

78 2. 时域分析 把输出看成是 ˆ x a ( t) 与理想低通单位冲激响应 g(t) 的卷积 理想低通 G(jΩ) 的冲激响应为 g( t) 2p - G( j) e jt d T 2p s - / 2 s / 2 e jt d g(t) s si 2 s t 2 t p si t T p t T -2T -T 0 T 2T 3T t 78

79 根据卷积公式, 低通滤波器的输出为 : y( t) x ( t) xˆ ( ) g( t - d a a ) [ x ( ) ( - T)] g( t - d - x - x a ) a ( ) g( t - ) ( - T) d ( T) g( t - T) p si[ ( t ( T) T p T a a - - ( t - x - T)] T) 79

80 其中 : 内插公式权 x g( t - a ( t) p si[ ( t T xa( T) p - ( t - T p si[ ( t - T)] T) T p ( t - T) T - T)] T) 内插函数 si[π( t - T) / T ] x π( t - T) / T a (t) 内插函数 采样内插公式 (-3)T (-)T (+)T (+)T T t (-2)T (+2)T o T 2T 3T 4T 内插结果使得被恢复的信号在采样点的值就等于 x a (T), 采样点之间的信号则是由各采样值内插函数的波形延伸叠加而成的 t 80

81 采样内插公式说明, 只要采样频率高于两倍信号最高频率, 则整个连续信号就可以完全用它的采样值来代表, 而不会丢掉任何信息 这就是奈奎斯特定理的意义 要完全恢复原来的连续信号 x a (t), 需要以下条件 : 限带信号 ; 2 无限次的理想取样 (δ 函数 );(N ) 3 理想低通滤波器, 即 Sic 内插函数 ( 其截止频率满足 f c f f s /2) 但后两条在物理上都是不可实现的, 因此, 原始信号在实际中不能由采样真实的重建, 而只能逼近原来的信号 8

82 抽样恢复的实际做法 零阶保持器的输出波形 零阶保持器的幅度响应 82

83 Frequecy domai Time domai 83

84 第二章离散时间信号和系统的时域分析 2. 时域离散信号 : 序列, 周期序列, 序列运算 2.2 采样与量化 : 信号的采样, 采样定理, 重建 2.3 时域离散系统 : 线性时不变因果稳定 2.4 常系数线性差分方程 84

85 2.3 离散时间系统时域分析 系统 将输入序列 x() 变换成输出序列 y() 的一种运 算, 以 T[ ] 表示, 则一个离散时间系统可用下图来表示 x() T[ ] y() 记为 y()=t[x()] - 85

86 2.3 (a) 线性系统 x() 输入序列 离散时间系统 T[ ]( 运算 ) y() 输出序列 概念 : 满足叠加原理的系统为线性系统 () 可加性设 y ()=T[x ()],y 2 ()=T[x 2 ()] 如果 y ()+y 2 ()=T[x ()]+T[x 2 ()]=T[x ()+ x 2 ()] 说明系统 T[ ] 满足可加性 86

87 (2) 比例性 ( 齐次性 ) 设 y ()=T[x ()] 如果 a y () = a T[x ()] =T[a x ()] 说明系统 T[ ] 满足比例性或齐次性 综合 () (2), 得到叠加原理的一般表达式 : 说明 : N i a i y i ( ) T N i a i x i ( ) () 叠加原理的一个直接结果是零输入产生零输出 (2) 在证明一个系统是否为线性系统时, 应证明系统既 满足可加性, 又满足比例性 87

88 例 : 验证下面的系统是否为线性系统 :y()=4x()+6 方法一 : 验证系统是否满足叠加原理 可加性分析 : 若 :x ()= 3, 则 :y ()=43+6=8 x 2 ()= 4, 则 :y 2 ()=44+6=22 得到 :y ()+ y 2 ()=8+22=40 而 :x 3 ()= x ()+x 2 ()=7, 有 :y 3 ()=47+6=34 40 得证 : 由于该系统不满足可加性, 故其不是线性系统 方法二 : 利用线性系统的 零输入产生零输出 的特性验证 因为当 x()=0 时,y()=6 0, 这不满足线性系统的 零输入产生零输 出 的特性, 因此它不是线性系统 88

89 例 : 判别系统 y() =T[x()]=ax()+ b 是否为线性系统? 解 : 设 T[x ()]= ax ()+ b T[x 2 ()]= ax 2 ()+ b 因为 T[cx ()+dx 2 ()]=a[cx ()+dx 2 ()]+b 而 cy ()+dy 2 ()=cax ()+dax 2 ()+b(c+d) T[cx ()+dx 2 ()] 故此系统不是线性系统 x() 线性系统 z() y() y 0 () 增量线性系统 89

90 2.3 (b) 时不变系统 系统的响应与输入信号施加于系统的时刻无关 或者说, 系统的参数不随时间变化, 即不管输入信号作用的时间先后, 输出信号的形状均相同, 仅是出现的时间不同 设 y() =T[x()], 若 y(-k) =T[x(-k)] 成立, 则称该系统为时不变系统 90

91 x() y() x(-2) T [ ] y(-2) 系统时不变说明的示意图 9

92 例 判别 y()=x() 所代表的系统是否是时不变系统 解 : 因为 y( - k) ( - k) x( - k) T[ x( - k)] x( - k) y( - k) T[ x( - k)] 因此该系统不是时不变系统 92

93 2.3 (c) 线性时不变系统 同时具有线性和时不变性的离散时间系统称为线性时不变系统 () 输入与输出之间的关系输入为单位脉冲序列时系统的输出称为单位脉冲响应 h( ) T[ ( )] () h() T[ ] 由 h() 可以确定任意输入时的系统输出, 从而推出线性 时不变离散时间系统一个非常重要的描述关系式 93

94 94 对 LTI 系统, 讨论对任意输入的系统输出任意输入序列 : 系统输出 : T[ ] () x ) y( ) ( )* ( ) ( ) ( )] ( [ ) ( )] ( ) ( [ )] ( ) ( [ )] ( [ ) ( h x m h m x m T m x m m x T m m x T x T y m m m m m m m x x ) ( ) ( ) ( 任意序列都可以表示成单位脉冲序列的移位加权和 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( h x m h m x y m * - - 离散卷积或线性卷积

95 线性时不变系统 x() h () y ( ) x( ) * h( ) 卷积运算有明确的物理意义, 就是在一般意义上描述了线性时不变离散时间系统对输入序列的作用或处理作用 一个 LTI 系统可以用单位脉冲响应 h() 来表征, 任意输入的系统输出等于输入序列和该系统单位脉冲响应 h() 的卷积 95

96 离散系统单位脉冲响应 定义 : h[ k] T{ [ k]} 例 : 已知累加器的输入输出关系为 k - y[ k] x[ ] 试求其单位脉冲响应 h[k] 解 : h[ k] [ ] k - u[k] 96

97 线性卷积的计算 y( ) x( m) h( - m) x( ) * h( ) m- 计算它们的卷积的步骤如下 : () 翻转 ( 折叠 ): 先在变量坐标轴 m 上画出 x(m) 和 h(m), 将 h(m) 以纵坐标为对称轴折叠成 h(-m) (2) 移位 : 将 h(-m) 移位, 得 h(-m) 当 m 为正数时, 右移 m; 当 m 为负数时, 左移 m (3) 相乘 : 将 h(-m) 和 x(m) 的对应取样值相乘 (4) 求和 : 把所有的乘积累加起来, 即得 y() (5) 重复 2~5 97

98 例设 x()=r 4 (), h()=r 4 (), 求 y()=x()*h() 解 : 采用图解法 x ( ) R 4( ) h( ) R4 ( ) R 4 () R 4 (m) R 4 () R 44 (- (2- (- m) m) m y() m y ( ) x( ) * h( )

99 例设 x()=3δ()+2δ(-)+δ(-2), h()=2δ()+δ(-)+δ(-2), 求 y()=x()*h() 解 : 采用列表法 =? y( ) 6( ) + 7( - ) + 7( - 2) + 3( - 3) + ( - 4) 99

100 在 Matlab 中, 卷积可通过调用函数 y=cov(x,h) 来实现 卷积的性质 : ) 两个长度分别为 N 和 M 的序列, 线性卷积后的序列长度 为 N+M- 证明 : 设 x () 是长度为 N 的有限长序列 (0 N-), x 2 () 是长度为 M 的有限长序列 (0 M-) y( ) m- x N - - ( m) x2( m) x( m) x2( - m) m0 x (m) 的非零区间为 0 m N-,x 2 (-m) 的非零区间为 0 -m M-, 两个不等式相加有 0 N+M-2, 所以, y() 是一个长度为 N+M- 的有限长序列 00

101 2.3 (c) 线性移不变系统的性质 交换律 y() = x()*h() = h()*x() x() h() y() 等效于 h() x() y() 2 结合律 x() h () h 2 () y() x()*h ()*h 2 () = [x()*h ()]*h 2 () = [x()*h 2 ()]*h () = x()*[h ()*h 2 ()] x() x() h 2 () h () h ()*h 2 () y() y() 三者等效 0

102 3 分配律 x()*[h ()+h 2 ()] = x()*h ()+x()*h 2 () x() h ()+h 2 () y() x() h () h 2 () y() 两者等效 02

103 2.3 (d) 因果系统 如果系统 0 时刻的输出, 只取决于 0 时刻以及 0 时刻以前的输入序列, 而和 0 时刻以后的输入序列无关, 则称为因果系统 在数学上因果系统满足方程 : y()=f[x(),x(-),x(-2), ] 因果系统的因果性是指系统物理上的可实现性 定理 : 离散 LTI 系统为因果系统的充要条件为 h[k]=0 k<0 03

104 x() h(), h () (a) (b) (c) y(), y () (d) (e) 3 非因果系统的延时实现 04

105 2.3 (f) 稳定系统 稳定系统是指有界输入产生有界输出的系统 即如果 x() M(M 为正常数 ), 有 y() <+, 则该系统被称为稳定系统 一个线性时不变系统稳定的充分和必要条件是其单位取样响应 h() 绝对可和 定理 : 离散 LTI 系统稳定的充要条件是 - h ( ) 05

106 例设线性时不变系统的单位取样响应 h()=a u(), 式中 a 是实常数, 试分析该系统的因果稳定性 解 :() 因果性由于 <0 时,h()=0, 系统是因果系统 (2) 稳定性 N - a h( ) a h ( ) a a - a - 因此系统稳定的条件是 : a 06

107 例判别系统 y() =T[x()]=x()cos(ω+φ) 的因果稳定性 解 :() 因果性因为 y() =T[x()]=x()cos(ω+φ) 只与 x() 的当前值有关, 而与 x(+),x(+2) 等未来值无关, 故系统是因果的 (2) 稳定性当 x() <M 时有 T[x()] <M cos(ω+φ ), 由于 cos(ω+φ) 是有界的, 所以 y() =T[x()] 也是有界的, 故系统是稳定的 07

108 例 : 已知抽取器的输入和输出关系为 y[k]=x[mk] 试判断该离散系统是否为时不变系统? 解 : 输入序列 x[k] 产生的输出序列 y[k] 为 y[k]=t{ x[k]}= x[mk] 输入序列 x[k-] 产生的输出序列为 T{x[k-]}= x[mk-] 由于 x[mk-] y[k-] 故该离散系统是时变系统 08

109 抽取器时变特性的图示说明 - x [ k 0 ] k y[ k] x[2k ] k x2[ k] x[ k -] k y2[ k] x2[2k] k

110 例 : 判断 M +M 2 + 点滑动平均系统的因果性 解 : 根据 M +M 2 + 点滑动平均系统的输入 输出关系 y[ k] M + M + x[ k + ] 可得该系统的单位脉冲响应 h[k] 为 2 M 2 -M h[ k] /( M 0 + M 2 + ) - M 2 k M 其他 由于 M +M 2 + 点滑动平均系统为 LTI 系统, 因此, 当 M 2 =0 时, 系统是因果的 0

111 例 : 判断 M +M 2 + 点滑动平均系统的稳定性 解 :M +M 2 + 点滑动平均系统的单位脉冲响应为 h[ k] /( M 0 + M 2 + ) - M 2 k M 其他 由于 M +M 2 + 点滑动平均系统为 LTI 系统, 且 因此该系统稳定 k- h[ k]

112 例 : 判断系统 y[ k] k 解 : 2 x[ k] 是否 () 线性 (2) 因果 (3) 非时变 (4) 稳定 () 所以 2 T { ax [ k] + bx2[ k]} k ( ax [ k] + bx2[ k]) 2 2 at { x[ k]} + bt{ x2[ k]} ak x[ k] + bk x2[ k T { ax[ k] + bx2[ k]} at{ x[ k]} + bt{ x2 [ k ] ]} 系统线性 (2) 系统 k 时刻的输出只与 k 时刻的输入有关, 系统因果 2

113 例 : 判断系统 y[ k] k 解 : 2 x[ k] 是否 () 线性 (2) 因果 (3) 非时变 (4) 稳定 (3) 所以 2 T{ x[ k - ]} k x[ k - ] 2 y[ k - ] ( k - ) x[ k - T{ x[ k - ]} y[ k - ] ] 系统时变 (4) 当输入信号 x[k] 有界时, 输出信号 y[k] 可以是无界 的, 所以系统不稳定 3

114 系统的线性 时不变性 因果性和稳定性是系 统的四个互不相关的性质 4

115 第二章离散时间信号和系统的时域分析 2. 时域离散信号 : 序列, 周期序列, 序列运算 2.2 采样与量化 : 信号的采样, 采样定理, 重建 2.3 时域离散系统 : 线性时不变因果稳定 2.4 常系数线性差分方程 5

116 2.4 离散系统的时域描述 差分方程 离散时间系统 x [k] y[k] 输入序列 输出序列 y[k] = T{x[k]} 离散 LTI 系统可由线性常系数差分方程描述 y( ) N k0 a k M b x( - r) - r r0 k M y( - k) br x( - r), a0 r0 N a k y( - k) 6

117 当已知系统的输入和 N 个初始状态, 可由下式迭代计算系统的输出 ] [ ) / ( ] [ ) / ( ] [ k x a b k y a a k y M N ] [ ] [ 0 0 k x b k y a M N - - 离散 LTI 系统的输入 输出关系可由线性常系统差分方程描述 2.4 线性常系数差分方程 7

118 说明 : ) 差分方程的阶数是用方程 y(-k) 项中的 k 取值最大与最小之差确定的 2) y( ) M b x( - r) - N r r0 k a k y( - k) 该式说明, 系统在某时刻 的输出值 y() 不仅与该时刻的 输入 x() 过去时刻的输入 x(-),x(-2) 等有关, 还与该时 刻以前的输出值 y(-),y(-2) 等有关 8

119 2.4 (a) 差分方程的特点 采用差分方程描述系统简便 直观 易于计算机实现 容易得到系统的运算结构 便于求解系统的瞬态响应 但差分方程不能直接反应系统的频率特性和稳定性等 实际上用来描述系统多数还是由系统函数 9

120 2.4 (b) 差分方程的求解 常系数差分方程的求解方法有迭代法, 时域经典法, 卷积法和变换域法 时域经典法类似于解微分方程, 过程繁琐, 应用很少, 但物理概念比较清楚 迭代法 ( 递推法 ) 比较简单, 且适合于计算机求解, 但不能直接给出一个完整的解析式作为解答 ( 也称闭合形式解答 ) 卷积法适用于系统起始状态为零时的求解 变换域方法类似于连续时间系统的拉普拉斯变换, 这里采用 Z 变换法来求解差分方程, 这在实际使用上是最简单有效的方法 20

121 例 : 若系统用差分方程 y()=ay(-)+x() 描述, 输入序列 x()=δ(), 求初始条件分别为 h()=0,<0 和 h()=0,>0 时的单位脉冲响应 h() 解 :() 令 x()=δ(), 根据初始条件可递推如下 y(0)=ay(-)+δ(0)= y()=ay(0)+δ()=a y(2)=ay()+δ(2)=a 2 y()=ay(-)=a 因此,h()=y()=a u() 2

122 例 : 若系统用差分方程 y()=ay(-)+x() 描述, 输入序列 x()=δ(), 求初始条件分别为 h()=0,<0 和 h()=0,>0 时的单位脉冲响应 h() 解 :(2) 将差分方程改写成 y(-)= a - [y()-x()] 根据初始条件可递推如下 y(0)=a - [y()-δ()]=0 y(-)= a - [y(0)-δ(0)]=- a - y()=ay(-)=-a 因此,h()=y()=-a u(--) 22

123 以上结果说明 : () 一个常系数线性差分方程不一定代表一个因果系统 (2) 一个常系数线性差分方程, 如果没有附加的起始条件, 不能唯一的确定一个系统的输入输出关系, 并且只有当起始条件选择合适时, 才相当于一个线性时不变系统 在以下的讨论中, 除非另外声明, 我们都假设常系数线性差分方程所表示的系统都是指线性时不变系统, 并且多数是指因果系统 23

124 第二章离散时间信号和系统的时域分析 2. 时域离散信号 : 序列, 周期序列, 序列运算 2.2 采样与量化 : 信号的采样, 采样定理, 重建 2.3 时域离散系统 : 线性时不变因果稳定 2.4 常系数线性差分方程 24

125 利用 MATLAB 求解离散 LTI 系统响应 MATLAB 提供了求解零状态差分方程的函数 y=filter(b,a, x ) 其中 :b=[b 0,b,,b M ], a=[a 0,a,,a N ] x 表示输入序列,y 表示输出序列 系统的初始条件为零 输出序列 y[k] 的长度和输入序列 x[k] 相同 25

126 例 : 利用 M 点的滑动平均系统去噪 解 :M 点的滑动平均系统的输入 - 输出关系为 y[ k] M - M 0 x[ k - ] 原始信号 : 噪声干扰的信号 : 噪声信号 : s[k]=(2k)0.9 k x[k]=s[k]+ [k] [k] 利用 M 点的滑动平均系统从信号 x[k] 中滤去噪声信号 [k] 26

127 例 : 利用 M 点的滑动平均系统去噪 % Sigal Smoothig by Movig Average Filter N = 0; %geerate (-0.5, 05)Uiformly distributed radom umbers = rad(,n)-0.5; k=0:n-; s=2*k.*(0.9.^k); x=s+; subplot(2,,); plot(k,,'r-.', k,s,'b--', k,x,'g-'); xlabel('time idex k'); leged('[k]','s[k]', ' x[k]'); M =5; b = oes(m,)/m; a =[]; y = filter(b,a,x); Subplot(2,,2); plot(k,s,'b--', k,y,'r-'); xlabel('time idex k'); leged('s[k]','y[k]'); 27

128 例 : 利用 M 点的滑动平均系统去噪 [k] s[k] x[k] Time idex k s[k] y[k] Time idex k 28

129 THANK YOU

130 本章 Matlab 相关程序 % 单位脉冲序列 % Geeratio of a Uit Sample Sequece % Geerate a vector from -0 to 20 = -0:20; % Geerate the uit sample sequece u = [zeros(,0) zeros(,20)]; % Plot the uit sample sequece stem(,u); grid o; xlabel('time idex ');ylabel('amplitude'); title('uit Sample Sequece'); axis([ ]);

131 Amplitude Uit Sample Sequece Time idex

132 fuctio [x,] = impseq(p,s,f) % 单个脉冲序列生成函数 % 产生 x() = delta(-p); % p= 脉冲信号施加的位置, % s= 序列的起点位置, f= 序列的终点位置 % 检查输入参数正确性 if ((p < s) (p > f) (s > f)) error(' 参数必须满足 s <= p <= f') ed = [s:f]; % 生成位置向量 x = [(-p) == 0]; % 生成单个脉冲序列

133 % 阶跃序列生成函数 fuctio [x,] = stepseq(p,s,f) % 产生 x() = u(-p); s <=,p <= f % 检查输入参数正确性 if ((p < s) (s > f) (p > f)) error(' 参数必须满足 s <= p <= f') ed = [s:f]; x = [(-p) >= 0]; % 生成位置向量 % 生成阶跃序列 % 生成阶跃序列的另一种语句 x = [zeros(,(p-s)), oes(,(f-p+))];

134 % 复指数序列 c = -(/2)+(pi/6)*i; K = 2; = 0:40; x = K*exp(c*); subplot(2,,); stem(,real(x)); grid o; xlabel('time idex ');ylabel('amplitude'); title('real part'); subplot(2,,2); stem(,imag(x)); grid o; xlabel('time idex ');ylabel('amplitude'); title('imagiary part');

135 Amplitude Amplitude 2 Real part Time idex Imagiary part Time idex

136 Amplitude % 实指数序列 = 0:35; a =.2; K = 0.2; x = K*a.^; stem(,x); xlabel('time idex ');ylabel('amplitude'); Time idex

137 % 正弦序列 = 0:40; f = 0.; phase = 0; A =.5; x = A*cos(2*pi*f* - phase); clf; % Clear old graph stem(,x); axis([ ]); grid o; title('siusoidal Sequece'); xlabel('time idex '); ylabel('amplitude');

138 Amplitude 2 Siusoidal Sequece Time idex

139 fuctio [y,] = seqadd(x,,x2,2) % 序列相加函数 % 实现 y() = x()+x2() % y = 在包含 和 2 的 点上求序列和, % x = 在位置向量 上的第一序列 % x2 = 在位置向量 2 上的第二序列 (2 可与 不同 ) % y() 的长度 = mi(mi(),mi(2)) : max(max(),max(2)); y = zeros(,legth()); y2 = y; % 初始化 % 具有 y 的长度的 x y(fid((>=mi()) & (<=max())))=x; % 具有 y 的长度的 x2 y2(fid((>=mi(2)) & (<=max(2))))=x2; % 序列相加 y = y+y2;

140 fuctio [y,] = seqmult (x,,x2,2) % 序列相乘函数 % 实现 y() = x()+x2() % y = 在包含 和 2 的 点上求序列和, % x = 在位置向量 上的第一序列 % x2 = 在位置向量 2 上的第二序列 (2 可与 不同 ) % y() 的长度 = mi(mi(),mi(2)) : max(max(),max(2)); y = zeros(,legth()); y2 = y; % 初始化 % 具有 y 的长度的 x y(fid((>=mi()) & (<=max())))=x; % 具有 y 的长度的 x2 y2(fid((>=mi(2)) & (<=max(2))))=x2; % 序列相加 y = y.* y2;

141 fuctio [y,y] = seqshift(x,x,0) % 实现 y() = x(-0) % 0 为平移样本数 y = x + 0; % 位置向量移位 y = x; % 序列的值不变 x = 0:5; x = 0.5.^x; 0 = 3; [y,y] = seqshift(x,x,0); subplot(2,,); stem(x,x); axis([ ]); xlabel('x'); ylabel('x'); subplot(2,,2); stem(y,y); axis([ ]); xlabel('y'); ylabel('y');

142 y x x y

143 fuctio [y,y] = seqfold(x,x) % 序列翻转 ( 对 =0 折叠 ) 子程序 % 实现 y() = x(-) % 将序列数值左右翻转 y = fliplr(x); % 将序列位置对零位置左右翻转, 故同时改变正负号 y = -fliplr(x);

144 序列能量 : E x - x( ) 2 - x( ) x * ( ) Ex = sum( x.* coj(x) ); Ex = sum(abs(x).^ 2);

145 例 : 画出信号 x() =.5*(+) - (-3) 的波形 =[-5:5]; x=.5*impseq(-,-5,5) - impseq(3,-5,5); stem(,x); grid o; xlabel(''); ylabel('x()'); axis([-5,5,-2,3]);

146 x()

147 例 : 画出信号的波形 x2() = [u()-u(-8)] - 0e -0.3(-0) [u(-0)-u(-6)] 2=[0:20]; x2 = 2.*(stepseq(0,0,20) - stepseq(8,0,20)); x22 = 0*exp(-0.3*(2-0)).*(stepseq(0,0,20) - stepseq(6,0,20)); x2 = x2-x22; stem(2,x2); grid o; xlabel(''); ylabel('x2()');

148 x2()

149 % 线性卷积 x = [ 2 3 4]; h = [ 2 3]; y = cov(h,x); = 0:5; % 画图 stem(,y); xlabel('time idex '); ylabel('amplitude'); title('output Obtaied by Covolutio'); grid o;

150 Amplitude 8 Output Obtaied by Covolutio Time idex

151 fuctio [y,y] = cov_m (x,x,h,h) % 序列 y 为序列 x 和序列 h 的卷积 % y,x,h 分别为 y,x 和 h 的位置向量 y0 = x()+h(); yf = x(ed) + h(ed); y = cov(x,h); y = [y0 : yf]; % 卷积后位置初值的计算 % 卷积后位置终值的计算 % 卷积序列数值的计算 % 卷积序列位置向量的计算

152 例 : 求序列 x() 和 h() 的线性卷积 y()=x()*h() x() = {3,-3,7,0,-,5,2}, h() = {2,3,0,-5,2,}. % 给定输入序列 x = [-4:2]; x = [3,-3,7,0,-,5,2]; % 给定脉冲响应序列 h = [-:4]; h = [2,3,0,-5,2,]; % 带位置序列的卷积结果 [y,y] = cov_m (x,x,h,h) stem(y,y); xlabel('time idex '); ylabel('amplitude'); title('output Obtaied by Covolutio'); grid o;

153 Amplitude y = y = Output Obtaied by Covolutio Time idex

154 补充 : 序列的相关 序列的互相关 - + m yx m x m y r ) ( ) ( ) ( 序列的自相关 - + m xx m x m x r ) ( ) ( ) ( 序列的卷积 - - * m m x m y x y z ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )* ( x y -

155 例 : 设 x() = {3, 5, -7, 2, -, -3, 2}, y()=x(-2)+w(), 其中 w() 为零均值和单位方差的的高斯序列, 计算 x() 与 y() 的互相关 r xy x=[-3:3]; x = [3, 5, -7, 2, -, -3, 2]; [x,x] = seqfold(x,x); [y,y] = seqshift(x,x,2); w = rad(,legth(y)); w = y; [y,y] = seqadd(y,y,w,w); [rxy,rxy] = cov_m (y,y,x,x) stem(rxy,rxy); lie([-4,8],[0,0]); title(' rxy '); xlabel('y');ylabel('rxy');

156 rxy 20 rxy y

157 rxy = Colums through Colums through rxy =