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- 容矿 靳
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1 第三章 离散傅里叶变换 (DFT) 及其快速算法 (FFT) 王柯俨
2 问题 : 序列的傅里叶变换 Z 变换是时域离散信号及系统分析与 设计的重要数学工具 ; 但变换结果均为连续函数, 无法用计算机进行处理 ; 离散傅里叶变换 (DFT) 对有限长时域离散信号的频谱进 行等间隔采样, 频域函数被离散化了, 便于信号的计算机 处理 DFT 运算量较大, 快速离散傅里叶变换算法 (FFT) 是解 决方案
3 复习 连续周期信号的傅立叶级数 x ( t ) X ( jn ) T --- t --- 可和离散信号的傅立叶变换 x ( n ) n 3
4 周期序列的离散傅里叶级数系数 周期序列的傅里叶变换 (DTFT) 4
5 3. 离散傅里叶变换的定义 3.. DFT 的定义 设 x(n) 是一个长度为 M 的有限长序列,x(n) 的 点离散傅立叶变换 : j kn X ( k ) DFT [ x ( n )] x ( n )e k 称为 DFT 变换区间长度, j 令 W e ( 简化书写 ) 离散傅立叶变换与逆变换对为 : n M n kn X( k) DFT[ x( n)] x( n) W k kn x( n) IDFT[ X( k)] X( k) W n k 5
6 - X k W 证明 : IDFT[ X(k) ] ( ) 由于 k= - - -kn mk [ x(m)w ] W k= m= - - = xm ( ) W m= k= k( m-n) j k( m n) k( m-n), mn M,M为整数 W e = k k, m n M,M为整数 -kn 于是 xn ( ) n IDFT[ X( k)]= x( m) ( m n) m 因此离散傅立叶逆变换是唯一的 6
7 例 3.. x( n) R 8 ( n) 分别计算序列的 8 点 6 点 DFT 解 :8 点 DFT 7 n X( k) R ( n) W kn n 8 k k,,3,,7 e j kn 8 6 点 DFT j k k8 kn kn W e X( k) R ( n) W R ( n) W k n n W 6 e k k k j j j j k 7 sin k e e ( e e ) j k 6 e j k j k j k j k e e ( e e ) sin k 6 k,,,,5 j k 6 7
8 不同,DFT 变换结果不同, 因此 是 DFT 的一个参数 j X( k ) 是 ( ) 在频率区间上的 点等间隔采样 X e [, ] 8
9 3.. DFT 与 FT ZT DFS 之间的关系. DFT 与 FT ZT 之间的关系 有限长序列 xn ( ) n,,, M M DFT 与 FT ZT M n j kn X( k) DFT[ xn ( )] xn ( ) e k M n X ( z) ZT[ x( n)] x( n) z x( n) z n n M j jn jn X( e ) FTxn [ ( )] xne ( ) xne ( ) n Xk Xz Xk Xe k j ( ) ( ) j k, ( ) ( ) z e, k 9 n n
10 Xk Xz Xk Xe k j ( ) ( ) j k, ( ) ( ), ze k 序列 x(n) 的 点 DFT 是 x(n) 的 Z 变换在单位圆上的 点等间隔采样, 频率采样间隔为 π /; j X(k) 为 x(n) 的傅立叶变换 X ( e ) 在区间 [, ] 上的 点等间隔采样 这就是 DFT 的物理意义 jimz 3 4 k= (-) Re Z X(e jω ) o X(k) k DFT 与 z 变换 DFT 与 FT 变换
11 3.. DFT 与 DFS ZT FT 之间的关系. DFT 与 DFS 之间的关系 有限长序列 xn ( ) n,,, M 将 x(n) 以 为周期进行周期延拓, 得到周期序列 显然, 当 x ( n) x ( n m ) x (( n )) m x ( n ) x ( n ) R ( n ) M, x ( n ) x ( n ) n 是 x( n) x ( ) 的周期延拓序列 x( n ) 是 x ( ) 的主值区间序列 n
12 主值区间 : 设有限长序列 xn ( ), n, 将其延拓为周期序列 xn ( ), 周期长度为, 则 : n ~ 区间称为主值区间. 主值区间序列 : 在 n ~ 主值区间内的序列称为主主值值区间序列.
13 M=6 x ( n) 8 =8, >M x 4 ( n ) =4, <M 3
14 周期序列的 DFS Xk ( ) DFSx [ ( n)] x ( nw ) 有限长序列的 DFT M n kn n kn x( nw ) k M X( k) DFT[ x( n)] x( n) W n n kn xnw ( ) k X ( k ) 是 X ( k) 的主值区间序列, 成立条件 M kn X ( k ) X ( k m ), X ( k ) X ( k ) R ( k) m 4
15 x ( n) X ( k ) n DFS x(n) n k X (k ) DF FT k 5
16 DFT 与 DFS 之间的关系 : DFT : x ( n ) X ( k ) DFS : x ( n) X ( k) x( n) x ( n) R ( n) x ( n) x(( n)) X ( k) X ( k) R( k) X ( k) X (( k)) M 有限长序列 x(n) 的 DFT 变换 X(k), 就是 x(n) 的周期延拓序列 ( ) ~ x n 的 DFS 系数 X ( k ) 的主值序列 6
17 DFT 与 DFS 之间的关系 : DFT : x ( n ) X ( k ) DFS : x ( n) X ( k) 当条件不满足, 即 M 时,x(n) 的周期延拓序列 x ( n) ~ 会发生时域混叠, 此时 x ( n ) 的 DFS 系数 X ( k ) 的主值序列 将不再是 x(n) 的 DFT 变换 X(k) 7
18 DFS 与 FT 之间的关系 : M kn X ( k ) DFS [ x ( n )] x ( n ) W k n j X ( e ) FT [ x ( n)] X ( k ) ( k ) k 周期延拓序列的频谱特性由傅里叶级数的系数 X ( k ) 确定, 幅度相差一个常数因子 DFT: X ( k ) 是 X ( k ) 的主值区间序列, 表示了周期序列的 频谱特性 8
19 变量周期分辨率 f k s f s f s 9
20 j 例 x ( n ) R ( n ), 求 : () X ( z ) () X ( e ) 例 : 8 (3) 令 x ( n) x( n m) R ( n), 求 X ( k) DFT[ x ( n)], 6 m- -8 -z 解 : () X()= z, z - z - 8 j 8 7 sin j e j () X( e ) e j e sin j (3) X (k) X( e ) k 7 sin j k 6 e k k,,,,5 sin k 6
21 3..3 DFT 的矩阵方程表示 () 点 DFT 矩阵 kn X( k) DFT[ x( n)] x( n) W k X n X=D x X () x () X() x(), x X( ) x( ) W W W D W W W W W W 4 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
22 DFT 的矩阵方程表示 () X=D x IDFT 的矩阵表示 点 IDFT 矩阵 kn x( n) IDFT[ X( k)] X( k) W n x=d - W W W D W W W W W W k X ( ) 4 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
23 W W W D W W W W W W 4 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) W W W ( ) 4 ( ) D W W W W W W ( ) ( ) ( ) ( ) D D 3
24 3..4 用 MATLAB 计算序列的 DFT xn=[ ]; % 输入时域序列向量 xn=r8(n) Xk3=fft(xn,3); % 计算 xn 的 3 点 DFT Xk64=fft(xn,64); % 计算 xn 的 64 点 DFT % 以下为绘图部分 k=:3;wk=*k/3; % 产生 3 点 DFT 对应的采样点频率 ( 关于 π 归一化值 ) subplot(,,);stem(wk,abs(xk3),'.'); % 绘制 3 点 DFT 的幅频特性图 title('(a)3 点 DFT 的幅频特性图 ');xlabel('ω/\pi');ylabel(' 幅度 ') subplot(,,3);stem(wk,angle(xk3),'.'); % 绘制 3 点 DFT 的相频特性图 title('(b)3 点 DFT 的相频特性图 '); xlabel('ω/\pi');ylabel(' 相位 ');axis([,,-3.5,3.5]) k=:63;wk=*k/64; % 产生 64 点 DFT 对应的采样点频率 ( 关于 π 归一化值 ) subplot(,,);stem(wk,abs(xk64),'.'); % 绘制 64 点 DFT 的幅频特性图 title('(c)64 点 DFT 的幅频特性图 ');xlabel('ω/\pi');ylabel(' l(' l b l(' 幅度 ') subplot(,,4);stem(wk,angle(xk64),'.'); % 绘制 64 点 DFT 的相频特性图 title('(d)64 点 DFT 的相频特性图 ') xlabel('ω/\pi');ylabel(' 相位 ');axis([,,-3.5,3.5]) 4
25 5
26 小结 DFT 引入的目的 DFT 的定义 DFT 与 DFS ZT FT 之间的关系 DFT IDFT 的计算 DFT 的矩阵表示 6
27 3 3. 离散傅里叶变换 (DFT) 的主要性质
28 . 线性性质 设 x (n),x (n) 为有限长序列, 长度分别为 它们的离散付里叶变换分别为 若 则 X ( k) DFT[ x ( n)] X ( k ) DFT [ x ( n )] max[, ] xn ( ) ax ( n ) bx ( n ) X( k) DFT[ x( n)] ax ( k) bx ( k), k,,, 8
29 DFT 的隐含周期性 j W W 由于 k ( k m) W e, 所以 X(k) 满足 : - X( km) x( n) W n - n ( k m) n kn x ( nw ) X ( k ) 物理意义 :X(k) 为 X ( e j ) 在区间 [, ] 上的 点等间隔 采样 j X ( e ) 以 π 为周期,X(k) 以 为周期 9
30 3. 循环移位性质 循环移位 : 有限长序列 x(n), 序列长度为 M, 对序列进行周期延拓, 周期 M x ( ) ( ) n x nm x(( n)) m x ( n ) x(n) 的循环移位序列 : 左移 m 个单位, 取主值序列 yn ( ) x ( n mr ) ( n ) x (( n m )) R ( n ) 3
31 xn ( ), M 5 x () n x 5 ( n ) x ( n ) R ( n)
32 3. 循环移位性质 循环移位 : 有限长序列 x(n), 序列长度为 M, 对序列进行周期延拓, 周期 M x ( ) ( ) n x nm x(( n)) m x ( n ) x(n) 的循环移位序列 : 左移 m 个单位, 取主值序列 yn ( ) x ( n mr ) ( n ) x (( n m )) R ( n ) 循环移位序列的 DFT 与原序列 x(n) 的 DFT 有何关系? 3
33 序列循环移位后的 DFT yn ( ) x(( nm)) R ( n), M X( k) DFT[ x( n)] 则 证明 : n Y k DFT y n W X k km ( ) [ ( )] ( ) kn Yk ( ) x(( nm)) R( nw ) k,, n x(( nm)) W kn m lm x(( l)) W k( lm) m km kl (( )) lm W x l W km kl () l W x l W W km X( k) 33
34 同样, 对于频域有限长序列 X(k) 的循环移位, 有如下反变 换特性 : nl IDFT [ X (( k l )) R ( k )] W x ( n ) 34
35 4. 复共轭序列的 DFT x ( n) x( n) 设为的复共轭序列, 长度为 则 证明 : X( k) DFT[ x( n)] DFT [ x ( n )] X ( k ), k,,, ( k) n ( k ) n ( ) ( ) ( ) n n X k xnw x n W 类似地 : kn x ( nw ) DFT[ x ( n)] n X ( ) X() DFT[ x ( n)] X ( k) x () x ( ) 35
36 5.DFT 的共轭对称性 FT 的共轭对称性 : 关于坐标原点共轭对称 DFT 的共轭对称性 : DFT 变换涉及到的 x(n) 和 X(k) 均为有 限长序列, 定义区间为 到 -, 所以这里的对称性是指 关于 / 点的对称性 有限长共轭对称序列 x () n x n x n n ep * ep() ep( ), 当 为偶数时, 用 /-n 替代 n x n x n n * ep ( - ) ep( ), 36
37 共轭反对称序列 x () n op x n x n n * op() op( ), 当 为偶数时, 用 /-n 替代 n * x op( - n) xop( n), n 对于任何有限长序列 x(n), 均可表示为 xn ( ) x ( n) x ( n), n - ep 用 -n 替代 n, 取共轭 op x ( n) x ( n) x ( n) x ( n) x ( n) ep op ep op 于是 * * xep ( n) [ x( n) x ( - n)] xop ( n) [ x( n) - x ( - n)] 37
38 DFT 的共轭对称性. 将序列分成实部与虚部之和 x ( n ) x ( n ) jx ( n ) r 其中, * x r ( n) Re[ x( n)] [ x( n) x ( n)] * jxi ( n) j Im[ x( n)] [ x( n) x ( n)] * 则 : DFT[ xr ( n)] DFT[ x( n) x ( n)] [ ( ) * ( - )] X k X k i ( k) * D FT[ jxi ( n)] DFT[ x( n) - x ( n)] [ ( ) - * ( - )] X k X k X op ( k) X ep 38
39 . 将序列分成共轭对称和共轭反对称之和 xn ( ) xep ( n) xop ( n), n - 其中, * xep ( n ) [ x ( n ) x ( - n)] * xop ( n ) [ x ( n ) x ( - n )] DFT [ xep ( n )] DFT [ x ( n ) x ( - n )] 则 : * * [ ( ) ( )] Re[ ( )] X k X k X k * DFT [ xop ( n )] DFT [ x ( n ) x ( - n )] * [ ( ) ( )] Im[ ( )] X k X k j X k 39
40 小结 :DFT 的共轭对称性 实部 J 虚部 共轭对称分量 共轭反对称分量 x( n) x ( n) jx ( n) r i Xk () DFTxn [()] X () kx () k ep X ( k) DFT[ x ( n)], X ( k) DFT[ jx( n)] ep r op i xn ( ) x ( n) x ( n), n - ep op op X ( k ) DFT [ x ( n )] X ( k ) jx ( k ) X ( k) Re[ X( k)] DFT[ x ( n)], R jx ( k ) j Im[ X ( k )] DFT [ x ( n )] I R ep op I 4
41 实序列 DFT 的特点 设 x(n) 为长度为 的实序列, 且 X(k)=DFT[x(n)], 则 写成极坐标形式 则 Xk X k k Xk ( ) ( k) * ( ) ( ), - j Xk ( ) Xk ( ) e 关于 k=/ 点偶对称 关于 k=/ 点奇对称 Xk ( ) X ( k ) ( k) ( k) ( k) 4
42 实数序列的 DFT 满足共轭对称性, 利用这一特性, 只要知 道一半数目的 X(k), 就可得到另一半的 X(k), 这一特点在 DFT 运算中可以加以利用, 以提高运算效率. 计算一个复序列的 点 DFT, 可求得两个不同实序列的 DFT 例 : x( n), x( n) 是实序列, 长度均为, 构造一个复序列 DFT xn ( ) x ( n ) jx ( n ) Xk () DFTxn [()] X () kx () k X () k DFT[ x()] n X () k DFT[ x ()] n 复数乘法运算量比较 ep op Xep() k X() k X ( k) jdft [ jx ( n)] jxop() k X() k X ( k ) j 4
43 . 实序列的 点 DFT, 可以拆分重组为 点复序列的 DFT vn ( ) 例 : 是实序列, 长度为 拆分 重组 x ( n ) v ( n ) x ( n ) v ( n ) n x ( n ) x ( n ) jx ( n ) n 计算复序列 x(n) 的 点 DFT, 可得实序列 x (n) 和 x (n) 的 点 DFT: X (k) 和 X (k) 由 X (k) 和 X (k) 可得实序列 v(n) 的 点 DFT, 即 V(k) 43
44 kn k n k ( n) n n n V ( k ) v ( n ) W v ( n ) W v ( n ) W kn k kn x( nw ) W x( nw ) n n X ( k) W X ( k) k k Vk ( ) X() kw X() k k 复数乘法运算量比较 () + 基 FFT 基本思想 44
45 6. 循环卷积定理. 两个有限长序列的循环卷积 hn ( ), xn ( ) 序列的长度分别为 和 M xn ( ) hn ( ) 与的 L 点循环卷积定义为 L y c( n) hn ( ) L xn ( ) hmx ( ) (( n m )) L RL ( n ) m L max[, M] L L 点循环卷积 循环卷积 线性卷积 m, n 的范围 :~L- 直接计算很麻烦, 采用矩阵相乘计算 45
46 L 利用矩阵计算循环卷积 y c( n) h ( m ) x (( n m )) L RL ( n ) m n, m,,, L m 形成 xn ( ) x(( n )) L 的循环倒相序列 x (()), x (( )), x (( )),, x (( l )) x(), x( L), x( L),, x () n, m,,,, L x(( n m)) L L L L L 形成的序列为 x ( n ) x(()), x(()), x(( )),, x(( L)) L L L L x (), x (), x ( L ),, x () 46
47 x (( n m )) L 当 n m 从 变换到 L- 时, 得到的矩阵 X(n) 的 L 点循环卷积矩阵 ( 循环矩阵 ) x () x ( L ) x ( L ) x () x() x() x( L) x() x() x() x() x(3) xl ( ) xl ( ) xl ( 3) x() x(), x(), x(),, x( L) 第一行是的循环倒相序列, 若 x(n) 的长度 M<L, 则需在 x(n) 末尾补 L-M 个零 ; 前一行向右循环移位形成其它各行 ; 与主对角线平行的线上, 各元的值相等 47
48 循环卷积的矩阵计算公式 L y c( n) hn ( ) L xn ( ) hmx ( ) (( n m )) L RL ( n ) m L max[, M] yc () x() x( L) x( L ) x() h() yc () x() x() x( L) x() h() yc () x() x() x() x(3) h() yc ( L ) xl ( ) xl ( ) xl ( 3) x() hl ( ) 若 h(n) 的长度 <L, 则需在 h(n) 末尾补 L- 个零 48
49 例 3..: 计算序列 hn ( ), xn ( ) 的 4 点和 8 点循环卷积 hn ( ) h(), h(), h(), h(3) {,,,}, x( n) x(), x(), x(), x(3) {,,,}, 解 : L y ( n) h( n) x( n) L h( m) x(( nm)) R ( n) c L L m 4 点循环卷积 y c () 6 yc () 7 y c () 6 y c (3) 5 49
50 8 点循环卷积 y c () y () 6 c y () c 5 yc (3) 5 y (5) c 4 y (6) c y (7) c y c (8) L M 循环卷积结果等于线性卷积 循环卷积计算复杂 5
51 DFT 的时域循环卷积定理 () 序列 hn ( ), xn ( ) 的长度分别为 和 M x( n ) hn ( ) y ( c n ) 为与的 L 点循环卷积, 即 y ( ) ( ) ( ) max[, ] c n h n L x n L M 且 Xk ( ) DFTxn [ ( )] Hk ( ) DFThn [ ( )] L L 则 Y ( k ) DFT [ y ( n )] H ( k ) X ( k ) c c L 5
52 DFT 的时域循环卷积定理 () 证明 : L Y ( k ) DFT [ y ( n )] L y ( n ) W kn c c L c L n L- L- kn L L L [ hmx ( ) (( n- m )) ] R ( n ) W n m L- L- hm ( ) x(( n- m)) LW m n kn L L- L- km k ( n m) hmw ( ) L x(( n- m)) LW L m n L- L- m km kj hmw ( ) L x(( j)) LWL m jm 5
53 DFT 的时域循环卷积定理 (3) L- L- m km kj ( ) ( ) c L (( )) L L m jm Y k h m W x j W x(( j)) W L k( j) L 以 L 为周期, 对其在任何一个周期上求和均相等 L- L- km kj c( ) ( ) L (( )) L L m j Y k h m W x j W H ( k) X( k), k L- DFT: 时域循环卷积频域乘积 53
54 利用 DFT 计算两个有限长序列 L 点循环卷积的运算框图 h( n ) Hk ( ) 补 - 个零点 xn ( ) 补 - 个零 点 X ( k ) Y ( ) c k 点 y ( ) c n 54
55 DFT 的频域循环卷积定理 hn ( ), xn ( ) 序列的长度分别为 和 M ym ( n) h( nxn ) ( ), Hk ( ) DFThn ( ), Xk ( ) DFTxn ( ), L L Y m ( k ) DFT [ y m ( n )] L H ( k ) L X ( k ) L 则 证明 : L kn Y k DFT n m( ) y ( ) m h ( n ) x ( n ) W L n L L mn kn H( m) WL x( n) WL n L m L L L L mn kn H ( m ) W x n W L ( ) L L m n L m n H( m) x( n) W L L H ( m ) X (( k m )) ( ) LRL k H( k) L X( k) L L m ( km) n 55
56 7. 离散巴塞伐尔定理 () 序列 x( n) 的长度为 DFT 则 X ( k) DFT[ x( n)] x ( n) X ( k) n k 56
57 7. 离散巴塞伐尔定理 () 证明 * xn ( ) xnx ( ) ( n) n n n k X k W x n kn * ( ) ( ) X ( k ) x ( n ) W k n kn kn X ( k ) x ( n ) W k n * X( k) X ( k) k k X( k) 序列在时域计算的能量等于其在频域计算的能量 57
58 3.3 频域采样
59 3.3. 频域采样定理 时域采样定理 对带限信号, 采样频率大于等于奈奎斯特采样频率, 可以 由离散信号恢复原来的连续信号 频域采样定理 频域抽样呢? 抽样条件? 内插公式? 59
60 任意序列 x(n), 其 Z 变换为 n X () z x () n z 若 Z 变换 X(z) 的收敛域包含单位圆, 即序列绝对可和, 在 单位圆上对 X(z) 等间隔采样得到 n - X j ( ) ( ) k X z ( ) j x n e k ze n X ( ) k 是以 为周期的周期序列, 其对应的时域周期序列为 j kn ( ) ( ) ( ) x n IDFS X k X k e k x () n x () n? kn 6
61 ( ) [ ( )] ( ) j kn k x n IDFS X k X k e k m- j km j kn [ xme ( ) ] e xm ( ) - m - k e j k( nm) - j k( nm), m=n+i, i为整数 e = k, m为其它值 x ( ) ( ) n x n i i - x ( n ) 是 x(n) 的周期延拓序列, 延拓周期为 6
62 截取 x ( ) n 和 X ( k) 的主值序列 X ( k) X ( k ) R ( k ) X( z) j k, k,,, ze x ( n) x ( n) R ( n) x( n) 则 x ( n) 和 X ( k) 构成一对 DFT 由 x ( n ) 恢复出 x(n) 的条件 : x(n) 序列长度有限 大于 x(n) 序列长度 6
63 总结 : 原若序列 x(n) 长度为 M, 其傅里叶变换为 频域采样定理 j X ( e ) 对 X ( e j ) 在频率区间 [, ] 等间隔采样得到 只有当频域采样点数 M 有 X ( k) x ( n ) R ( n ) IDFS [ X ( k )] R ( n ) x ( n ) 或 : xn ( ) IDFT X ( k) 即可由频域采样 X ( k) 不失真地恢复原信号, 否则 产生时域混叠现象 当时域序列 x(n) 有限长, 以大于等于序列长度的采样间 隔对其频谱函数进行采样, 不会丢失信息 63
64 64
65 3.3. 频域内插公式 j 用频域采样 X ( k ) 表示 X( z ) 和 X( e ) 的内插公式? 序列 x(n) 长度为 M, 其 Z 变换为 M n X( z) x( n) z x( n) z M n n 其中, 满足频域采样定理 在 Z 平面的单位圆上, 对 X(z) 进行采样, 采样点数为 n X k X z k ( ) ( ) j k,,, ze 65
66 问题 : 如何由 X ( k ) 恢复 X ( z )? X ( z ) x ( n ) z n n nk n X ( k) W z k n nk X ( k ) W n k z n k X ( k ) W z k n k k W z X( k) W z k n 66
67 W z k ( W =) k ( ) X( k) k k W z X z Z 域内插函数 z X( k) X( k) ( ) k z W z k k z ( ) k ( z) k z zw j r k 零点 : z e, r,,..., j k 极点 : z e, ( - 阶 ) 67
68 z e j j e X( e ) X( k) k e j j k e j k X( k) k ( ) ( ) k j ( k )/ j( k )/ j( k )/ e ( e e ) j( k)/ j( k)/ j( k)/ e ( e e ) sin ( k) / ( )( )/ j k e sin ( k) / sin j ( )/ e 令 ( ) sin ( ) ( ) k k 68
69 j 用 X ( k) 表示 X ( e ) 的内插公式和内插函数 j X ( e ) X ( k ) ( k ) k ( ) sin sin j ( )/ e 69
70 7
71 内插公式 : j X ( e ) X ( k ) ( k ) k k k ( k) i i i k 保证了各采样点上 的值与原序列的频 谱相同 ; 采样点之间, 为采 样值与对应点的内 插公式相乘, 并叠 加而成 7
72 小结 频域采样定理 j X ( e ) X ( k) 条件, 以保证恢复原序列 x(n) 频域的内插公式 X ( k) j X ( e ) 7
73 DFT 的快速算法 快速傅里叶变换 (FFT)
74 3.4. 问题的提出 如4 点序列 {,3,3,} DFT 的计算复杂度 kn X( k) x( n) W, k,, 何 高n 高 X() W 3W 3W W D X W W W W j 3 () X () W 3W 3W W 算效 X (3) W 3 W 3 W W j 提FT 的运 复数加法 (-) 复数乘法 率? ( ) 48576(=4) 74
75 解决问题的思路. 将长序列 DFT 分解为短序列的 DFT m. 利用旋转因子 W 的周期性 对称性 减少重复运算 75
76 如何妙 地周期旋转因子 m W 的性质 巧) 周期性 j ( ml) j m ml m W e e W ) 对称性利 W W m m m W 性 m m W 称W W n m n 为整数?W m/ n / n, /, / 用和对性? 76
77 基 FFT 算法 J.W.Cooley & J.W.Tukey(965) M =, M 为自然数 /*log (5, 4.88%) 将时域序列逐次分解为一组子序列, 利用旋转因子 的特性, 由子序列的 DFT 来实现整个序列的 DFT 基 时间抽取 (Decimation in time)dit-fft 算法 ( ) x ( n ) x r r,,, x(r ) 基 频率抽取 (Decimation in frequency)dif-fftfft 算法 ( ) X ( k ) X m m,, X(m ) 77
78 DIT-FFT 算法 x( n) 序列的 点 DFT 为 奇偶分解 X( k) DFT x( n) x( n) W kn X ( k ) x ( n ) W x ( n ) W kn n为偶数 n为奇数 / / k l k(l) x ( l ) W x ( l ) W l l n kn x l x l x l x l W W kl kl () l (), l () l (l), W W/ 为 的整数倍 / / kl k kl / / l l X( k) x ( l) W W x ( l) W 78
79 分解为 个 DFT / / kl k kl / / l l X ( k ) x ( l ) W W x ( l ) W / / kl kl ( ) ( ) /, ( ) ( ) / l l X k x l W X k x l W k,,,, / 均以 / 为周期 m 利用 m W W 及 DFT 的隐含周期性, 得 k X( k) X( k) W X( k) k,,,, k k X( k ) X( k ) W X( k ) X( k) WX( k) 79
80 k X( k) X( k) W X( k) k X ( k ) X ( k ) W X ( k ) k,,,, / / kl kl ( ) ( ) /, ( ) ( ) / l l X k x l W X k x l W 运算量 : 复数乘 复数加 ( ) ( ) 8
81 蝶形图及运算功能 A A+CB 次乘法 B C A-CB 次加法 k X ( X k X k W X k k) ( ) ( ) ( ) k W X ( k ) k X( k ) X( k) W X( k) 8
82 X ( k ) X ( k ) W X ( k ), k, 4 点基 时间抽取 FFT 算法流图 k 4 X( k) X ( k) W X ( k), k, k 4 x[] X [] X [] x[] 点 DFT X [] X [] X [] x[] W X [] 4 点 DFT X [] x[3] W X [3] 4 8
83 8 点 DFT 一次时域抽取分解运算流图 x() x() x(4) x(6) G() / 点 DFT G( G() G() G(3) X() X() X() X(3) x() H() W x(3) x(5) x(7) / 点 DFT H() H() H(3) W W W 3 X(4) X(5) X(6) X(7) 两个 4 点 DFT 组成 8 点 DFT 83
84 x() x(4) x () x(6) /4 点 /4 点 X () X () X () X (3) x() x(5) x(3) x(7) /4 点 /4 点 W W W W W 3 W X (4) X (5) X (6) X (7) 由四个 点 DFT 组成 8 点 DFT 84
85 8 点 DIT-FFT 运算流图 x() x(4) x () x(6) W W A () A() A() A() A() A() A() A() A() W A (3) A(3) A(3) W X () X () X () X (3) x() x(5) x(3) x(7) W W A(4) A(4) A(4) W A(5) A(5) () A(5) W A(6) A(6) A(6) W W A(7) A(7) () A(7) W 3 W X (4) X (5) X (6) X (7) 经过 M 级时域奇偶抽取, 可分解为 个 点 DFT( 即时域序列本身 ) 和 M 级蝶形运算, 每一级有 / 个蝶形 85
86 . DIT-FFT 的运算效率 = M 的序列, 通过 M 级分解最后成为 点的 DFT 运算 构 成 M 级运算过程 每一级运算都由 / 个蝶形运算构成 每一级运算含 / 次 复乘和 次复加 总运算量 : 复乘 M log 复加 M log ( ) 86
87 运算效率 DFT的乘法次数 DIT FFT的乘法次数 CM () log M 4 运算效率为 4.8 复乘次次数 48 运算效率为 log 87
88 DIT-FFT 的运算规律 : 蝶形运算 原位计算 序列的倒序 旋转因子的变化规律 88
89 3. DIT-FFT 运算规律及编程思想 ) 原位计算 观察每个蝶形的两个输入和两个输出 蝶形的输出可存入原输入数据所占存储单元 利用同一组存储单元存储输入 输出数据的方法, 称为原 位 ( 址 ) 计算 节约内存 节省寻址的时间 降低成本 x() x(4) x() x(6) W W A() A() A () A(3) W W A() A() A () A(3) A() A() A () A(3) X () X () X () X (3) A (4) A (4) A (4) x() W X (4) A(5) A(5) A(5) x(5) X (5) W W A(6) A(6) A(6) W x(3) X (6) W A (7) A(7) A (7) W 3 x (7) W X (7) W 89
90 ) ) 旋转因子的变化规律 p 旋转因子 W 旋转因子指数 p p W 与运算级数 L 的关系 L: 第一级第二级第三级 x() x (4) x() x(6) W W W W X () X () X () X (3) x() x(5) x(3) x(7) W W W W W W W 3 W X (4) X (5) X (6) X (7) 9
91 ) ) 旋转因子的变化规律 () p J J L3 时, W W W, J,,, 3 L p J J J / L p J J 4J /4 L L 时, W W W W, J, L 时, W W /4 W W, J 第一级 第二级 第三级 x() x(4) x () x(6) W W W W X () X () X () X (3) x() x(5) x (3) x(7) W W W W W W W 3 W X (4) X (5) X (6) X (7) 9
92 一般情况 M, 第 L 级的旋转因子为 W W J p J L L,,,,, L M L M L M ML p J J L W W LM W,,,,, J p J M L 9
93 3) 序列的倒序 X(), X(), X(), X(7) 按顺序输出 ; x(), x(), x(), x(7) 则不按顺序排列 ; x() x(4) () x() x(6) x() x(5) x(3) x(7) 第一级 W W W W 第二级 W W W W W W W 3 W 第三级 I 与 J 的关系? X () X () () X () X (3) X (4) X (5) X (6) X (7) 顺 序 倒 序 十进制数十进制数二进制数二进制数 I J
94 4) 蝶形运算规律 x(), x(), x(), x( ) 倒序 ; 如蝶形运算的两个输入数据相距 B 个点, 应用原位计算, 蝶形运算如下 : A ( J ) A ( J ) A ( J B ) W p L L L A ( J B) A ( J) A ( J B) W p L L L p J J L ML L ;,,,, ; x() x(4) x(),,, M x(6) 第一级 W W 第二级 W W 第三级 X () X () X () X (3) 5) 程序框图 x() x(5) x(3) x(7) W W W W W W W 3 W 94 X (4) X (5) X (6) X (7)
95 4.IDFT 的高效算法 () DFT X ( k) DFT[ x( n)] x( n) W n IDFT x ( n ) IDFT [ X ( k )] X ( k ) W k nk nk 差别? W kn 旋转因子和系数, kn W 把 DFT 中的每一个系数 再乘以常数 / kn W 改为 kn W 95
96 4.IDFT 的高效算法 () 用 FFT 子程序计算 IDFT xn ( ) X( kw ) k k nk x ( n) X ( k) W nk k ( ) ( ) x n X k W DFT[ X ( k)] IFFT 计算分三步 : 将 X(k) 取共轭 ( 虚部乘以 -) 对 X (k) 直接作 FFT 3 对 FFT 的结果取共轭并乘以 /, 得 x(n) nk 96
97 3.5 DFT(FFT) 应用举例 线性卷积 频谱分析
98 用 DFT(FFT) ( ) 计算两个有限长序列的线性卷积 求离散系统响应 直接计算时间较长 间接计算 DFT 可计算循环卷积 FFT 可加快运算速度 DFT 能否计算线性卷积? 如可以, 条件? hn ( ) Hk ( ) 补 - 个零点 xn ( ) 补 - 个零 点 X( k) Y ( ) c k 点 y ( ) c n 98
99 循环卷积与线性卷积等价的条件 循环卷积 L y ( n) h( n) x( n) L h( m) x(( nm)) R ( n) c L L m L max[, M] 线性卷积 y( n) h( n) x( n) h( m) x( nm) m 99
100 x (( n m )) L x ( nm il ) i L y ( n) h( n) L x( n) h( m) x(( n m) ) R ( n) c L m m h( m) xn ( m il) R ( n) i L hmxn ( ) ( mil ) R L ( n ) i m yn ( ilr ) ( ) L n yn ( ) i? L L L y ( c n ) 是 yn ( ) 以 L 为周期的周期延拓序列的主值序列 L M
101 循环卷积计算线性卷积的运算量 M 3 可证明小于直接计算线性卷积的运算量 Hk ( ) DFThn [ ( )] 可预先计算并存储, 乘法的运算次数 又可降低.5L log L 次 快速卷积法 L M hn ( ) Hk ( ) x ( n ) Y ( ) c k X ( k)
102 xn ( ) R ( n ), hn ( ) R ( n ) 例 求 : y( n) x( n) h( n) 直接计算 y(n) 5 (a) y(n)=h(n)*x(n) FFT yc c(n) 5 conv 5 5 n (b) yc(n)=idft[h(k)x(k)],l=5 L=5 5 5 FFT L=3 yc(n) 5 n (c) yc(n)=idft[h(k)x(k)],l=3 5 5 n
103 有限长序列和无限长序列的线性卷积 问题 : h(n) 为某滤波器的单位脉冲响应, 长度有限 ; 但输入信 号 x(n) 很长 ; 若存储完 x(n) 再做卷积, 则存储量过大, 并且等待 x(n) 输入的时间过长 ; h(n) 要补许多零再进行计算, 计算量有很大的浪费 ; 解决方法 将长序列分成短序列分别卷积, 再将各自的输出按照 一定的规律首尾相加即可 重叠相加法 重叠保留法 3
104 . 重叠相加法 xn ( ) x( nim) xn ( ) i 分段 : 将分段, 每段长度为 M 各段与卷积 长度为 +M- 求和 x ( n ) x ( n im ) R ( n ) i i hn ( ) y ( n im) h( n) x ( nim) i i i i i yn ( ) hn ( ) xn ( ) hn ( ) x( n im) y( n im) M i 4
105 y ( n), y ( n), y ( n ), 的定义区间 n M y ( n M) 的定义区间为 n M y n M 的定义区间为 M nm ( ) y ( n M) 的定义区间为 yi ( n im ) im n ( i ) M 的定义区间为 重叠区间 y ( ( ) ) i n i M 与 yi ( n im) M n 3M 重叠区间 im n im 对应点相加 5
106 () 重叠相加法 由分段卷积的各段相加构成总的卷积输出 h(n) () x(n) 6
107 7
108 基于 FFT 的重叠相加法的计算步骤. 计算并保存 H ( k) DFT[ h( n)], L M, i x ( n ) X ( k) DFT[ x ( n)]. 读入, 计算 L 点 FFT: i Y ( k ) H ( k ) X ( k ) 3.. i i L i i L 4. 计算 L 点 IFFT: y ( n) IDFT[ Y( k)], n,,,, L 5. 重叠相加 i i L yim ( n) y ( ) ( ), i M n yi n n yi ( n), n M 6. i=i+, 返回 实现实时计算! 8
109 例 设 h ( n ) R ( n ), x ( n) [cos( n/) cos( n/5)] u( n) 用重叠相加法实现 5 yn ( ) hn ( ) xn ( ) L=4;=5;M=; hn=ones(,);hn=[hn ()h zeros(,l-)]; (L)] % 产生 h(n), 补零是为了绘图好看 n=:l-; xn=cos(pi*n/)+cos(*pi*n/5); % 产生 x(n) 的 L 个样值 yn=fftfilt(hn,xn,m); % 调用 fftfilt 计算卷积 %========================== % 以下为绘图部分 h(n) x(n) y(n) n n 9
110 用 DFT 对序列进行频谱分析 () 有限长序列的频谱分析 : 序列 xn ( ) 的长度为 M, 序列 ( M) 点 DFT 的物理意 义为 j 序列的频谱函数 X ( e ) 在频率区间 [, ] 上的 点 等间隔采样 FFT 是 DFT 的快速算法, 可用于有限长序列谱分析 问题 : 如何确定?
111 用 DFT 对序列进行频谱分析 (). 根据频率分辨率的要求确定 频率分辨率是指频谱分析中能够分辨的两个相邻频率 点谱线的最小间距 例 : 在数字频率域, 要求频率分辨率为 D 弧度 D D min 满足 xn ( ) 的长度 满足基 FFT 对点数 的要求, M,M 为正整数
112 用 DFT 对序列进行频谱分析 (3). 计算 DFT, 注意自变量 k 所对应的数字频率为 : k k/ 绘图时要以数字频率作为横坐标变量 3. 若无频率分辨率要求, 可依据先验知识和实验进行确定 已知谱峰间距 B, 则分辨率为 B/; 试验确定 : 随意取, 做 DFT, 再增大, 再做 DFT, 比较两次频谱, 若差别较大, 则再增加, 直到前后 两次的频谱差异满足要求
113 5 n xn ( ).5 R ( n ) 例 求频谱, 分辨率为.π rad. 解 : () 确定 min D. () 计算 点 DFT k kn X ( k ) DFT [ x ( n )] x ( n ) W, k,,,.5 W.5 W, k,,, 9 k n kn k k.5w 3
114 =, =6, 分辨率为 分辨率为 π.π π/8 频谱变化缓慢, 可以降低谱分析的分辨率 4
115 小结 () DFT 提出的目的 序列的傅里叶变换 Z 变换是时域离散信号及系统分析 与设计的重要数学工具 ; 但变换结果均为连续函数, 无法用计算机进行处理 ; 离散傅里叶变换 (DFT) 对有限长时域离散信号的频 谱进行等间隔采样, 频域函数被离散化了, 便于信号 的计算机处理 DFT 与 ZT FT DFS 之间的关系 5
116 小结 :() 频域采样定理, 频域内插公式 DFT 的性质 (7 个 ) 循环卷积与线性卷积之间的关系 FFT 的引入及基本思想 DFT 运算量较大, 快速离散傅里叶变换算法 FFT 是解决 方案 长序列分解为短序列, 利用 DFT 的应用 线性卷积 频谱分析 m W 的周期性和对称性 6
117 作业 P9-9: 9 (,3,5,8,),,,, (,3,4),, 6, *, *, *, 5 7, 8,, *, 5 编程 : matlab 编程实现基 DIT-FFT 算法 7
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第三章 离散傅里叶变换 (DFT) 及其快速算法 王柯俨 kywang@mail.xidian.edu.cn http://web.xidian.edu.cn/kywang/teach.html 问题 : 序列的傅里叶变换 Z 变换是时域离散信号及系统分析与 设计的重要数学工具 ; 但变换结果均为连续函数, 无法用计算机进行处理 ; 离散傅里叶变换 (DFT) 对有限长时域离散信号的频谱进 行等间隔采样,
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Digital Signal Processing mailfzh@nwpu.edu.cn /gary/ 1. FT FT. 3. 4. DFT 5. 6. DFT 7. 1. FT FT (FS) (FT) ( ) xt () Dirichlet (, ), 1 T () = ( Ω), ( Ω ) = () T T jkωt jkωt xt X k e X k xte dt e jkω t k
DISP-2003: Advanced Digital Signal Processing
第三章 离散傅立叶变换 Discrete Fourier Trasform DFT 数字信号处理 Beijig Istitute of Techology a t 四种 C/D 的 FT 3- 引言 T,, ±, ±, a 截断 jω, X e, X,?? DFT 性质 DFT X X e 取样 截断 频域取样 X e jω,,, DFS / 3 jω? DFT 对 CS 的逼近 DFS 性质 ω
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数字信号处理 周治国 25.9 第三章 离散傅里叶变换 3-6 频域采样 问题 : 采用 DFT 实现了频域取样, 对于任意一个频率特性能否用频率取样的方法去逼近? 研究 :, 限制? 2, 经过频率取样后有什么误差? 3, 如何消除误差? 4, 取样后所获得的频率特性怎样? 一 取样点数的限制 3-6 频域采样 x(n, X( z X( e X( X( e 任一非周期序列 ( 绝对可和 jω jω
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第三章 DFT 离散付氏变换 DFS 和 DFT DFS 和 DFT 的性质 Z 变换与 DFS 的关系 FFT IDFT 频谱分析 傅里叶 Fourir, 768-83 法国数学家 物理学家 法国著名数学家 物理学家,87 年当选为科学院院士,8 年任该院终身秘书, 后又任法兰西学院终身秘书和理工科大学校务委员会主席, 主要贡献是在研究热的传播时创立了一套数学理论 傅立叶在 87 年就写成关于热传导的基本论文
数字信号处理 Digital Signal Processing(DSP)
数字信号处理 Digital Sigal ProcessigDSP 主讲 : 江铭炎 教授 / 博导 联系方式 : 山东大学中心校区信息科学与工程学院南楼 3 Email: jiagmigya@sdu.edu.c 课程网址 : 信息学院网页 ---- 精品课程 ---- 数字信号处理 JMY Copyrights Reserved, SDU 山东大学数字信号处理精品课程 / 9 第三章 离散傅里叶变换
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第九章 多采样率数字信号处理 王柯俨 kwang@mail.idian.edu.cn http://web.idian.edu.cn/kwang/teach.html d /k /t h 1 91 9.1 引言 需要多采样率的场合 : 需求不同 ( 数字电视 数字电话等 非平稳信号的分析 冗余数据的存在 采样率转换 多采样率数字信号处理 2 采样率转换方法 : 方法一 : 间接转换 把离散时间信号
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第八章 时域离散系统的实现 王柯俨 8 8. 引言 时域离散系统的实现方式 软件实现 硬件实现 数字滤波器的表示方法 数字滤波器的系统函数 : H ( Y ( = = X( M = 0 b = + a 数字滤波器的表示方法 常系数线性差分方程 : M = + = = 0 yn ( ayn ( bxn ( 均由延迟 乘法 加法实现 滤波器的实现算法 运算结构 网络结构? 计算误差 有限字长效应 计算复杂度
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03 年秋季学期 3 教 05 数字信号处理 第三章离散时间信号和系统的频域分析 第三章离散时间信号和系统的频域分析 3. 周期序列 DFS 的定义 3. 周期序列 DFS 的基本性质 3.3 非周期序列 DTFT 的定义 3.4 序列 DTFT 的基本性质 3.5 周期序列 DTFT 3.6 序列的频域采样 本章主要学习 对于离散时间系统 时域分析方法采用差分方程描述 频域分析方法则用 Z 变换或傅里叶变换这一数学工具
第一章三角函数 1.3 三角函数的诱导公式 A 组 ( ) 一 选择题 : 共 6 小题 1 ( 易诱导公式 ) 若 A B C 分别为 ABC 的内角, 则下列关系中正确的是 A. sin( A B) sin C C. tan( A B) tan C 2 ( 中诱导公式 ) ( ) B. cos(
第一章三角函数 1. 三角函数的诱导公式 A 组 一 选择题 : 共 6 小题 1 ( 易诱导公式 ) 若 A B C 分别为 ABC 的内角 则下列关系中正确的是 A. sin( A B) sin C C. tan( A B) tan C ( 中诱导公式 ) B. cos( B C) cos A D. sin( B C) sin A sin60 cos( ) sin( 0 )cos( 70 ) 的值等于
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第 讲 离散时间信号的时域分析 Discrete-Time Signals in the Time-Domain 主讲 : 金连文 eelwjin@scut.edu.cn 数字信号处理 Digital Signal Processing 本讲主要内容 离散时间信号的时域表示 离散时间信号的分类 离散时间信号的运算 典型离散信号及其性质 信号的相关分析 概念 一 离散时间信号的时域表示 离散信号 :
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信号与系统 Sigls d Sysms 第四章离散时间信号与系统的频域分析 Chpr 4 h Frqucy Domi Alysis of Discr Sigl & Sysm 控制系网络课程平台 :hp://www.cs.zu.du.c/clss/sigl_sysm/ 浙江大学控制科学与工程学系 概述 7 世纪开始离散时间信号的研究 世纪 4 年代, 微电子技术的发展和数字计算机的出现扩展了离散时间信号与系统的应用范围
实验一 信号、系统及系统响应
实验 信号及系统基本特性分析. 实验目的 学习 Mtlb 编程的基本方法 ; 掌握常用函数用法 2 了解不同信号的频域特性, 理解时域特性与频域特性之间的关联性 3 掌握典型信号序列的时域和频域基本特性 4 熟悉理想采样的性质, 了解信号采样前后的频谱变化, 加深对采样定理的理解 5 了解离散系统的时域 / 频域特性及其对输出信号的影响, 掌握系统分析方法.2 实验原理.2. 连续时间信号的采样 采样是从连续时间信号到离散时间信号的过渡桥梁,
兽医临床诊断学实验指导
兽 医 临 床 诊 断 学 实 验 指 导 河 北 科 技 师 范 学 院 动 物 科 学 系 临 床 兽 医 学 实 验 室 2009 年 2 月 目 录 学 生 实 验 守 则... 3 实 习 一 动 物 的 接 近 保 定 和 基 本 检 查 法...4 实 习 二 临 床 基 本 检 查 法 及 一 般 检 查...10 实 习 三 循 环 系 统 的 临 床 检 查...15 实 习 四
图所示 ), 请确定并画出 y( 的频谱 Y(j ) x( cos(5m -5m -3m 3m 5m cos(3m -3m 3m y( X(jω) -m m ω 4 ( 分 ) 一个离散 LTI 系统, 其输入 x [n] 和输出 y[n] 满足下列差分方程 : y [ n] y[ n ] x[ n
![图所示 ), 请确定并画出 y( 的频谱 Y(j ) x( cos(5m -5m -3m 3m 5m cos(3m -3m 3m y( X(jω) -m m ω 4 ( 分 ) 一个离散 LTI 系统, 其输入 x [n] 和输出 y[n] 满足下列差分方程 : y [ n] y[ n ] x[ n](/thumbs/92/110009702.jpg "图所示 ), 请确定并画出 y( 的频谱 Y(j ) x( cos(5m -5m -3m 3m 5m cos(3m -3m 3m y( X(jω) -m m ω 4 ( 分 ) 一个离散 LTI 系统, 其输入 x [n] 和输出 y[n] 满足下列差分方程 : y [ n] y[ n ] x[ n")
计算题 ( 3) 图 4- 所示的系统中, 输入信号及带通滤波器的特性如下, 求输出信号及其频谱 sin( 函数已知 f (, s( cos( H( ) j ( ) f( s( f ( s( 带通滤 y( ) 波器 - - -999 图 4-(a) 图 4-(b) 999 (rad/s) 某 LTI 连续时间系统如图 4- 所示, 已知当 f ( u( 时, 系统的全响应为 y( ( 5e 5e 3
《分析化学辞典》_数据处理条目_1.DOC
3 4 5 6 7 χ χ m.303 B = f log f log C = m f = = m = f m C = + 3( m ) f = f f = m = f f = n n m B χ α χ α,( m ) H µ σ H 0 µ = µ H σ = 0 σ H µ µ H σ σ α H0 H α 0 H0 H0 H H 0 H 0 8 = σ σ σ = ( n ) σ n σ /
授 课 主 要 内 容 回 顾 与 说 明 1 文 案 调 查 的 题 方 法 2 文 案 调 查 体 系 的 建 立 第 二 单 元 授 课 内 容 与 方 法 授 课 方 法 与 时 间 分 配 说 明 3 分 钟 第 三 章 市 场 调 查 方 法 选 择 第 二 节 实 地 调 查 法 学
第 二 单 元 授 课 计 划 章 节 教 学 目 的 要 求 第 三 章 市 场 调 查 方 法 选 择 第 二 节 实 地 调 查 法 掌 握 访 问 询 问 的 几 种 方 法, 观 察 法 的 技 术 和 实 验 法 调 查 方 案 的 设 计 教 学 重 点 难 点 教 学 重 点 : 1 访 问 询 问 的 几 种 方 法 2 观 察 法 的 特 点 和 主 要 内 容 3 实 验 法
作业 2.3,2.5(3)(5)(6) 2.6(2)(3) 2.8(3)(7)(8) 2.9(1)(3) 2.10 (2)(4)(8) (C),2.16(2), 自己仿真 2.29,2.30
第二章 离散时间信号和系统的时域分析 作业 2.3,2.5(3)(5)(6) 2.6(2)(3) 2.8(3)(7)(8) 2.9(1)(3) 2.10 (2)(4)(8) 2.11 2.13(C),2.16(2), 自己仿真 2.29,2.30 主要内容 离散时间信号的表示 典型离散信号 序列基本运算 离散时间系统时域分析 因果稳定性分析 线性和时不变分析 输入输出关系 线性卷积求解 差分方程求解
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第一类换元法 ( 凑微分法 ) 学习指导 复习 : 凑微分 部分常用的凑微分 : () n d d( (4) d d( ); (5) d d(ln ); n n (6) e d d( e ); () d d( b); ); () d d( ); (7) sin d d (cos ) 常见凑微分公式 ); ( ) ( ) ( b d b f d b f ); ( ) ( ) ( n n n n d f
( ) : ( ) (CIP) /.. :,003. () ISBN O4 44 CIP (00) : : 7 : 7007 : (09 ) : : :850 mm 68 mm / 3 :0.5 :60 :00 0
( ) ( ) : ( ) (CIP) /.. :,003. () ISBN 7 56 448 0.... O4 44 CIP (00) 007344 : : 7 : 7007 : (09 )8493844 : www.nwpup.com : :850 mm 68 mm / 3 :0.5 :60 :00 003 3 :0 006 000 :3: 00 00, ( ),,,,,,,, 003 8 (
试卷
竞赛试卷 ( 数学专业 参考答案 一 (5 分 在仿射坐标系中 求过点 M ( 与平面 :3x y + z 平行 且与 x y 3 z 直线 l : 相交的直线 l 的方程 4 解法一 : 先求 l 的一个方向向量 X Y Z 因为 l 过点 M 且 l 与 l 相交 所以有 4 X 3 - Y ( Z..4 分 即 X + Y Z...3 分 又因为 l 与 平行 所以有 联立上述两个方程解得 :
校园之星
x x x x x x C H N O V x B x x x x S S x mm cm cm cm cm x x x x x x x x A A B X B B ml x x B
实验一 信号、系统及系统响应
数字信号处理 课程基本实验 实验 信号及系统基本特性分析. 实验目的 学习 Mtlb 编程的基本方法 ; 掌握常用函数用法 2 了解不同信号的频域特性, 理解时域特性与频域特性之间的关联性 3 掌握典型信号序列的时域和频域基本特性 4 熟悉理想采样的性质, 了解信号采样前后的频谱变化, 加深对采样定理的理解 5 了解离散系统的时域 / 频域特性及其对输出信号的影响, 掌握系统分析方法.2 实验原理.2.
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第三章 傅里叶变换 3. 引言 时域分析 -> 变换域分析, 要讨论的变换 傅氏变换 复频域分析 L 离散信号的 Z 域变换 信号的分解 - 正交基底函数 的发展 965 年 的内容 周期的模拟信号 S 非周期的模拟信号 离散的非周期序列 今后讨论 3. 周期信号的傅氏级数分析 狭利赫利条件 一个周期内, 周期信号绝对可积 一个周期内, 周期信号的极值数目有限 一个周期内, 周期信号只有有限个间断点
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平稳过程的功率谱密度 在无线电 通信技术等领域的一些问题中, 通常需要分析 平稳过程的频域结构. 为此引入平稳过程的功率谱密度 随机过程引论 西安电子科技大学数学与统计学院冯海林 014 秋 定义 5.4.1 设 ={ t, -
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( ) 158 10, :,,,, ( MBA),,, ( CIP) /. :, 1999 ISBN 7302037884.... 022 CIP ( 1999) 63321 : (, 100084) ht tp: / / w ww. tup. tsinghua. edu. cn : : : 7871092 1/ 16: 18. 5: 456 : 2000 1 1 2000 1 1 : ISBN 7302037884/
1 1996 263 38 208 1989 846 [ ] 1981 494 [ ] 1981 25 [ ] 1981 31 1971 38 [ ] 1983 1986 11 1987 116 1972 4 475 [ ] 1987 48 50 1993 134 1988 120 [ ] 1986 120 [ ]
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) ,,, :,,,,,,, ( CIP) /. :, 2001. 9 ISBN 7-5624-2368-7.......... TU311 CIP ( 2001) 061075 ( ) : : : : * : : 174 ( A ) : 400030 : ( 023) 65102378 65105781 : ( 023) 65103686 65105565 : http: / / www. cqup.
大理大学 2019 年自命题科目考试大纲 科目代码 :871 科目名称 : 信号与系统 一 目标要求 信号与系统 是大理大学电子与通信工程领域硕士专业学位研究生入学考试的自命题考试科目, 其目的是科学 公平 有效地测试考生掌握信号与系统的基本概念 基本理论和基本分析方法的情况, 评价考生根据工程应用
大理大学 2019 年自命题科目考试大纲 科目代码 :871 科目名称 : 信号与系统 一 目标要求 信号与系统 是大理大学电子与通信工程领域硕士专业学位研究生入学考试的自命题考试科目, 其目的是科学 公平 有效地测试考生掌握信号与系统的基本概念 基本理论和基本分析方法的情况, 评价考生根据工程应用的需求建立信号与系统的数学模型, 通过时间域与变换域的数学算法, 分析系统性能, 求解输出信号的能力,
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中 国 轮 胎 工 厂 DOT 大 全 序 号 DOT 国 家 工 厂 名 ( 中 文 ) 1 02 中 国 曹 县 贵 德 斯 通 轮 胎 有 限 公 司 2 03 中 国 唐 山 市 灵 峰 轮 胎 有 限 公 司 3 04 中 国 文 登 市 三 峰 轮 胎 有 限 公 司 4 08 中 国 安 徽 安 粮 控 股 股 份 有 限 公 司 5 0D 中 国 贵 州 轮 胎 厂 6 0F 中 国
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信号的时域分析 连续时间信号的时域描述 连续时间信号的基本运算 离散时间信号时域描述 离散时间信号的基本运算 确定信号的时域分解 连续时间信号的时域描述 典型普通信号 正弦信号 实指数信号 虚指数信号 复指数信号 抽样函数 奇异信号 单位阶跃信号 冲激信号 斜坡信号 冲激偶信号 一 典型普通信号 正弦信号 Asin ω ϕ A: 振幅 ω : 角频率弧度 / 秒 ϕ: 初始相位 sin ω ϕ A
幻灯片 1
3 年秋季学期 3 教 5 数字信号处理 第四章 Z 变换 第四章 Z 变换 4. Z 变换定义 4. Z 变换收敛域 4.3 Z 变换的基本性质 4.4 Z 反变换 4.5 几种变换的对应关系 4.5 系统函数与频率特性 本章主要学习 Z 变换的正变换和逆变换定义, 以及收敛域与序列特性之间的关系 Z 变换的定理和性质 : 移位 反转 域微分 共轭序列的 Z 变换 时域卷积定理 初值定理 终值定理
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v = at s = 1 2 2 v = 2 π r a = v 2 = 4 π 2 r T r T 2 a 2 R = 2 R r g v 1 2 2 g = 9.8 r = 60R a = 9.8 = 0.0027 60 F = G Mm r 2 m
-2 4 - cr 5 - 15 3 5 ph 6.5-8.5 () 450 mg/l 0.3 mg/l 0.1 mg/l 1.0 mg/l 1.0 mg/l () 0.002 mg/l 0.3 mg/l 250 mg/l 250 mg/l 1000 mg/l 1.0 mg/l 0.05 mg/l 0.05 mg/l 0.01 mg/l 0.001 mg/l 0.01 mg/l () 0.05 mg/l
2 160 1985 20 32 50 L.V.Bertallanfy 60 J.M C.W 1982 24 1982 307 1986 35 1984 12 1985 5 1985 121 1988.5 1988.5 1952 1952 1982 193 1987.4 35 1983 1985.10 1986.2 1986
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信号与系统 Signls n Sysms 第三章连续时间信号与系统的频域分析 Chpr 3 h rquny Domin Anlysis of Coninuous Signl n Sysm 控制系网络课程平台 :hp://www.s.zu.u.n/lss/signl_sysm/ 浙江大学控制科学与工程学系 本章主要内容 连续时间 LI 系统的特征函数 连续时间周期信号的傅里叶级数表示 3 非周期信号的表示
《数字电路与系统》
一 课程基本信息 信号与系统 A 课程编号 :2020193 大纲编号 :201601 课程名称 : 信号与系统 A 课程类别 : 专业基础课学分 :4 学时 :68 课堂讲授 :56 上机实验 :12 适用范围 : 电子信息工程专业 通信工程专业预修课程 : 电路 二 课程性质与任务 本课程是电子信息工程专业 通信工程专业所必修的一门重要的专业基础课 课程主要学习确定信号的特性, 线性时不变系统的特性,
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苏 州 市 规 划 设 计 研 究 院 有 限 责 任 公 司 技 术 文 件 证 书 编 号 :[ 建 ] 城 规 编 ( 甲 ) 第 (081046) 证 书 等 级 : 甲 级 苏 州 市 滨 湖 新 城 ( 吴 中 片 ) 公 交 场 站 专 项 规 划 审 定 审 核 项 目 负 责 人 设 计 人 员 钮 卫 东 施 进 华 张 海 军 吴 素 丽 殷 琪 慜 2012 年 8 月 目
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义 务 教 育 教 科 书 数 学 九 年 级 下 册 QINGDAOCHUBANSHE 亲 爱 的 同 学 : 时 间 过 得 真 快! 转 眼 之 间, 已 经 进 入 九 年 级 下 学 期 在 九 年 义 务 教 育 阶 段 的 最 后 一 学 期, 你 打 算 怎 样 学 习 数 学? 函 数 是 你 的 老 朋 友, 早 在 七 年 级, 就 结 识 了 函 数, 在 八 ( 下 ) 又
32 91320301136426860D 江 苏 汉 邦 建 设 集 团 有 限 公 司 201601 41.50 45.00 0.00 86.50 33 05021063-9 江 苏 邦 实 建 设 工 程 有 限 公 司 201601 37.00 49.50 0.00 86.50 34 703
2016 年 徐 州 市 建 筑 业 施 工 企 业 上 半 年 综 合 信 用 评 价 得 分 表 日 期 :2016-06-14 序 号 组 织 机 构 代 码 单 位 名 称 批 次 基 本 信 用 分 综 合 考 核 得 分 日 常 扣 分 信 用 考 核 总 分 1 13641102-8 徐 州 市 政 建 设 集 团 有 限 责 任 公 司 201601 50.00 49.33 0.00
类脑计算(神经形态计算)
第 2 章离散时间信号与系统 1 2.1 离散时间信号 : 序列 在数学上表示成数值的序列一个序列 x 的第 n 个数, 记作 x(n) x = x(n), < n < 其中 n 为整数 可通过对模拟信号的周期 采样来得到 x a t t=nt = x nt, < n < 常称 x(n) 为序列的 第 n 个样本 1 x(n) 仅在 n 为整数时才有定义 2 常将序列 {x(n)} 简记为 x(n)
第一章 控制系统的一般概念 $1 绪论
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虎克定律實驗 楊勝斐
虎 克 定 律 實 驗 楊 勝 斐 1. 目 地 : 測 試 彈 簧 的 虎 克 定 律, 並 從 彈 簧 作 簡 諧 運 動 的 特 性, 以 求 其 彈 性 係 數. 儀 器 : 彈 簧 一 條, 砝 碼 一 組, 虎 克 定 律 儀 一 組, 碼 錶 一 個, 米 尺 一 支 圖 1. 虎 克 定 律 儀 器 全 圖 與 零 件 圖 1 圖. 彈 簧 受 外 力 產 生 反 彈 力 與 變 形
( ) Wuhan University
Email: huangzh@whueducn, 47 Wuhan Univesity i L A TEX,, : http://affwhueducn/huangzh/ 8 4 49 7 ii : : 4 ; 8 a b c ; a b c 4 4 8 a b c b c a ; c a b x y x + y y x + y x x + y x y 4 + + 8 8 4 4 + 8 + 6 4
課程重點及活動配合
數 學 科 校 本 度 量 縱 向 課 程 ( 一 至 六 年 級 ) 曾 梅 千 禧 學 校 校 本 縱 向 課 程 度 量 範 疇 第 一 學 習 階 段 ( 小 一 至 小 三 ) 第 二 學 習 階 段 ( 小 四 至 小 六 ) 學 生 能 選 擇 和 應 用 非 標 準 單 位 來 記 錄 基 本 量 度 活 動 的 結 果 理 解 應 用 標 準 單 位 的 需 要 選 擇 適 當 的
动物学
2007 5 1 2 2..2 3..3 4..4 5 6 6..12 1...15 1 1 1 2 3 4 2 1 2 3 4 1 2 1 1 2 3 1% 4 70% 5 0.05 0.2% 6 2 2 1 7 10% 3 5% 2 0.3 5% 3 70 80% 4 5 90% 40% 9 1 80% 70% 6 40% 15 5 1 12 24 70% 70% 7 70% 2% 1 2 3
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第 三 章 皮 肤 病 的 防 治 和 护 理 学 习 要 点 皮 肤 病 的 预 防 不 同 的 皮 肤 病 要 采 取 相 应 的 预 防 措 施, 多 数 皮 肤 病 要 通 过 去 除 病 因, 避 免 诱 发 因 素, 切 断 传 播 途 径 等 措 施 来 预 防 皮 肤 病 的 治 疗 了 解 内 服 药 物 的 适 应 证 和 不 良 反 应, 掌 握 外 用 药 物 的 性 能 和
8.2 (Running In) 2000~3000 min -1 30dmN 1 1000~2000 min -1 1000~2000 min - 1 dmn 8-8 8-8 40500 ~ 1000 min - 1 (whipping) 500~1000 min -1 dmn30 500 min
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第 5 章 提 高 水 生 态 系 统 服 务 功 能 的 政 策 框 架 135 第 5 章 提 高 水 生 态 系 统 服 务 功 能 的 政 策 框 架 5.1 中 国 水 资 源 特 点 中 国 水 资 源 主 要 赋 存 于 河 流 湖 泊 水 库 沼 泽 等 地 表 水 生 态 系 统 与 地 下 水 生 态 系 统 中 中 国 河 流 生 态 系 统 主 要 有 松 花 江 辽 河 海
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赣 江 流 域 规 划 修 编 简 介 主 讲 人 : 李 明 辉 目 一 赣 江 流 域 概 况 二 流 域 开 发 现 状 及 存 在 问 题 录 三 流 域 规 划 的 指 导 思 想 与 原 则 四 流 域 规 划 的 目 标 与 任 务 五 流 域 总 体 规 划 1 一 赣 江 流 域 概 况 赣 江 是 鄱 阳 湖 水 系 的 第 一 大 河, 也 是 长 江 的 大 支 流 之 一
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! # ! # 第 吕玉 琦 等 人 体 心 脏 的 三 维 超 声 成 像 期 左 心 室边界 轮廓 的 校 正 由于 采 集 幅 图 象时 探 头 位 置 及 角度 稍 有变 化 就 会 导 致 幅 图象 的 心 尖 位置 及 左 心 室 长 轴 位置 在 图象 中 不 重合 因 此 必 须 进 行轮 廓 校 正 校 正 以 第 幅 二 维超 声 心 动 图 为 标 准 对 后 续的 幅 图 象
数字信号处理 第五章04 IIR数字滤波器-脉冲响应不变变换法.ppt [兼容模式]
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数字信号处理 周治国 2015.11 第五章数字滤波器 IIR 数字滤波器 脉冲响应不变变换法 1 从模拟低通滤波器设计数字低通滤波器 (1) 脉冲 / 阶跃响应不变法 (2) 双线性变换法 一 从模拟滤波器设计数字滤波器 2 IIR 数字低通滤波器的频率变换 ( 高通 带通 带阻数字滤波器的设计 (1) 直接由模拟原型到各种类型数字滤波器的转换 (2) 从数字低通滤波器到各种类型数字滤波器的转换
FZ1.s92
第 一 章 服 装 制 作 工 艺 基 础 知 识 第 一 节 服 装 术 语 服 装 术 语 是 服 装 技 术 专 用 语, 如 服 装 的 每 一 个 品 种 服 装 上 的 每 一 块 裁 片 服 装 制 作 过 程 中 每 一 种 操 作, 以 及 所 使 用 的 工 具 服 装 制 作 过 程 中 出 现 的 各 种 弊 病 和 要 达 到 的 某 些 质 量 要 求 等, 都 有 其
試題編號:
測 量 職 類 工 程 測 量 項 乙 級 技 術 士 技 能 檢 定 術 科 測 試 試 題 試 題 編 號 :04202-100201~7 審 定 日 期 :100 年 09 月 30 日 修 訂 日 期 :100 年 12 月 16 日 102 年 12 月 31 日 測 量 職 類 工 程 測 量 項 乙 級 技 術 士 技 能 檢 定 術 科 測 試 試 題 目 錄 壹 測 量 工 程 測
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1 1 1 5 10 12 13 13 16 19 26 31 33 37 38 38 49 53 60 63 79 81 81 92 112 129 132 135 144 149 150 150 155 158 1 165 178 187 191 193 194 194 207 212 217 218 223 231 233 234 234 239 245 247 251 256 259 261
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数字信号处理 教学内容 掌握离散时间系统的基本特性和离散信号的变换 数字信号的定义和特点 离散系统的普遍关系 线性 时不变 稳定性 因果性 离散卷积 离散信号的 Z 变换和离散时间傅氏变换 DTFT 离散系统的描述 时域 : 差分方程 yn 脉冲响应 hn 变换域 : 传输函数 Hz 频率响应 He jw 掌握离散傅里叶变换原理, 能够应用 DFT 分析信号频谱 离散傅氏级数 DFS 有限长度离散傅氏变换
5.0 引言 本章将介绍傅里叶变换的典型应用 : 采样与调制 根据采样定理, 在一定的条件下, 连续时间信号可由其样值来表示, 并可恢复原来的信号 在离散时间情况下也有类似结果 在满足采样定理的条件下, 可以用离散化的方法来处理和产生连续时间信号 将某一个载有信息的信号嵌入另一个信号的过程一般称为调
第五章 采样与调制 信号与系统第五章 1 5.0 引言 本章将介绍傅里叶变换的典型应用 : 采样与调制 根据采样定理, 在一定的条件下, 连续时间信号可由其样值来表示, 并可恢复原来的信号 在离散时间情况下也有类似结果 在满足采样定理的条件下, 可以用离散化的方法来处理和产生连续时间信号 将某一个载有信息的信号嵌入另一个信号的过程一般称为调制 调制也可理解为用一个信号去控制另一个信号的某一参量, 如幅度
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第五章连续系统的 域分析 点击目录 5. 拉普拉斯变换一 从傅里叶变换到拉普拉斯变换二 收敛域三 ( 单边 拉普拉斯变换 5. 拉普拉斯变换的性质 5.3 拉普拉斯变换逆变换 5.4 复频域分析一 微分方程的变换解二 系统函数三 系统的 域框图四 电路的 域模型五 拉普拉斯变换与傅里叶变换, 进入相关章节 第 4- 页 第五章连续系统的 域分析 频域分析以虚指数信号 e jω 为基本信号, 任意信号可分解为众多不同频率的虚指数分量之和
第三讲 空间解析几何与向量代数
第 三 讲 空 间 解 析 几 何 与 向 量 代 数 3.. 向 量 代 数. 数 量 积 ( 内 积 ): a b = a b cos θ; θ 是 ab, 之 间 的 夹 角. 向 量 积 ( 外 积 ): a b = a b sin θ; a b a, a b b, 构 成 右 手 系 a b( 含 共 线 ) a b = ; a b a b = aba,, b 3. 坐 标 表 示 : ab
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( ) 158,,,,,, ( CIP) /. :, 1996. 12 ISBN 7 302 02353 0... :. F275 CIP ( 96) 20860 : ( :, 100084) : : : 850 1168 1/ 32 : 13. 25 : 344 : 1996 12 1 1996 12 1 : ISBN 7 302 02353 0/ F 130 : 0001 5000 : 16.
6.3 正定二次型
6.3 正定二次型 一个实二次型, 既可以通过正交变换化为标准形, 也可以通过拉格朗日配方法化为标准形, 显然, 其标准形一般来说是不惟一的, 但标准形中所含有的项数是确定的, 项数等于二次型的秩 当变换为实变换时, 标准形中正系数和负系数的个数均是不变的 定理 ( 惯性定理 ) 设有二次型 f =x T Ax, 它的秩为 r, 如果有两个实的可逆变换 x=c y 及 x=c z 分别使 f =k
: : : ( CIP ) : ( ) /. :, ISBN :. G7. 4 CIP ( 00 ) 005 : : ( ) : : ( 0 : 0004) : : : / 6 : 7 ( ) : 408 () : 00
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(3 ) ,,, ;,, (CIP) /. 3. :, 003. 11 () ISBN 75610994.... TB301 CIP (000) 75084 : : 17, :71007 :09-8493844 : www.nwpup.com : : 787 mm1 09 mm 1/ 16 : 1.5 : 509 : 1997 10 1 003 11 3 5 : 15 000 : 7.00 : (,,,
Ａ
工程数学 ( 复变与积分变换 A 集 ) 目录 工程数学 ( 复变与积分变换 A 集 ) 目录 A. 复数与复变函数 ( 第一章 ).... 复数.... 复变函数...4 A. 导数 ( 第二章 )...6. 解析函数...6.4 调和函数...8 A. 积分 ( 第三章 )...9. 柯西积分公式解析函数的导数...9 A.4 级数 ( 第四章 )... 4. 泰勒级数... 4.4 罗朗级数...
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第 3 章 孵 化 技 术 本 章 按 照 种 蛋 孵 化 的 程 序, 介 绍 了 蛋 的 构 造 与 形 成 种 蛋 的 管 理 家 禽 的 胚 胎 发 育 人 工 孵 化 的 条 件 和 控 制 孵 化 机 的 构 造 与 管 理 孵 化 效 果 的 检 查 与 分 析 以 及 初 生 雏 的 处 理 等 内 容 对 种 蛋 的 选 择 与 消 毒 孵 化 条 件 的 标 准 与 控 制 孵
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安 徽 绩 溪 抽 水 蓄 能 电 站 环 境 影 响 报 告 书 简 写 本 1 工 程 简 况 安 徽 绩 溪 抽 水 蓄 能 电 站 位 于 安 徽 省 绩 溪 县 伏 岭 镇, 地 处 皖 南 山 区, 距 绩 溪 县 城 约 25km 上 水 库 位 于 登 源 河 的 北 支 流 赤 石 坑 沟 源 头 段, 下 水 库 位 于 登 源 河 的 北 支 流 赤 石 坑 沟 口 的 上 岭
1 线性空间 基 维数和坐标 3 子空间 4 线性空间的同构 5 线性映射 6 线性映射的像与核 7 线性变换 8 不变子空间 厦门大学数学科学学院网址 :gdjpkc.xmu.edu.c; IP://
线性空间与线性映射 知识回顾 1 线性空间 基 维数和坐标 3 子空间 4 线性空间的同构 5 线性映射 6 线性映射的像与核 7 线性变换 8 不变子空间 厦门大学数学科学学院网址 :gdjpkc.xmu.edu.c; IP://11.19.180.133 1 线性空间 厦门大学数学科学学院网址 :gdjpkc.xmu.edu.c; IP://11.19.180.133 定义称 V 是数域 F 上的线性空间,
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Technical specification for safety operation of construction machinery JGJ 33 2001 J 119 2001 2001 1 Technical specification for safety operation of construction machinery JGJ 33-2001 : :2001 11 1 2001
1 1 5 220.429km LQ16 K134+230, K137+230, 3.000km 2635m 13.2 42.7-23.6 26.8-2.6 29.4 210 543mm 69 400mm 74%78 293mm 54% 6 0.05g 0.45S - 77 -
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建 设 项 目 环 境 影 响 报 告 表 编 制 说 明 建 设 项 目 环 境 影 响 报 告 表 由 具 有 从 事 环 境 影 响 评 价 工 作 资 质 的 单 位 编 制 1. 项 目 名 称 指 项 目 立 项 批 复 时 的 名 称, 应 不 超 过 30 个 字 ( 两 个 英 文
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➀ ➁ ➂ ➃ Lecture on Stochastic Processes (by Lijun Bo) 2
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(IP). /,. :, 2004 ISBN 7800159868.... G63383 IP ( 2004 ) 032949 / / 010-80602977 / ttp:wwwmagic365com / ( 34 : 100832) / / / ( : 010-80602977) / 8801230 1/ 16 / / / / / 4032 126 2005 1 1 2005 1 1 ISBN
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第 一 章 數 與 坐 標 系 大 學 聯 考 試 題 與 推 薦 甄 選 試 題 第 一 類 大 學 入 學 甄 試 試 題 評 量 1. 下 列 何 者 是 2 100 除 以 10 的 餘 數? (1) 0 (2) 2 (3) 4 (4) 6 (5) 8 88 年 2. 一 個 正 三 角 形 的 面 積 為 36, 今 截 去 三 個 角 ( 如 右 圖 ), 使 成 為 正 六 邊 形,
Review 1. What is projection, Radon tranform? 2. What is sinogram, and its usage? 3. Direct back projection reconstruction method. 4. Center slice the
Lecture VIII CT Image Reconstruction(Ⅱ) 1 Review 1. What is projection, Radon tranform? 2. What is sinogram, and its usage? 3. Direct back projection reconstruction method. 4. Center slice theorem. 5.
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Microsoft PowerPoint - Lecture 10 Z变换.ppt
第 讲 Z 变换 -Trasform 主讲 : 金连文 wi@scut.u.c 数字信号处理 Diita Sia Procssi 本讲主要内容 Z 变换基本概念 有理 Z 变换 Z 变换收敛域 逆 Z 变换 利用 变换来分析和表征 LTI 系统 LTI 系统的传输函数 ( 系统函数 ) 一 概念和性质 3 什么是 变换?() Z 变换是离散时间信号与离散时间系统分析与综合的重要工具, 其作用相当于连续时间信号与系统的拉氏变换分析方法
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數學教育學習領域
高 中 数 学 课 程 补 充 资 料 013/14 学 年 就 读 中 四 学 生 适 用 013 ( 空 白 页 ) 目 录 页 数 1. 概 论 1 1.1 背 景 1 1. 关 注 事 项 及 考 虑 因 素 1 1.3 短 期 方 案 摘 要 1 1.4 评 核 设 计 概 要. 修 订 后 的 高 中 数 学 课 程 学 习 内 容 3.1 修 订 后 的 必 修 部 分 学 习 内 容
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Microsoft Word - No_HK2015-10
No. 2015~10 2015 3 30 ********************************************************* 谨 以 此 文 纪 念 邓 英 淘 逝 世 三 周 年 实 施 南 水 西 调 工 程, 开 发 西 北 地 区 自 然 资 源, 拓 展 华 夏 民 族 生 存 空 间 1 新 疆 阿 克 苏 地 区 水 利 局 李 于 洁 当 前 南 水
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穨0217視窗版導盲鼠操作手冊new.PDF
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Primary Mathematics Catalogue(for schools) as at 06.07.2016.xls
序 列 學 習 階 段 級 適 用 人 年 小 _ 數 學 科 _ 小 一 至 以 內 小 的 六 數 _ 教 育 電 視 4. 節 目 目 錄 5. 3. 1. 2. 認 以 排 通 識 數 過 列 單 10 以 和 內 和 一 認 的 雙 一 識 順 對 數 字 應 和 的 1-10 倒 方 法 比 較 兩 組 件 的 多 少 光 碟 22) 以 內 的 數 1. 2. 3. 4. 1 1 1
《杜甫集》
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Microsoft Word - 20150208杨局长在2015年度全市卫生工作会议上的讲话.doc
办 好 民 生 实 事 增 进 百 姓 福 祉 努 力 开 创 新 常 态 下 卫 生 事 业 发 展 新 局 面 2015 年 全 市 卫 生 工 作 会 议 工 作 报 告 市 卫 生 局 党 委 书 记 局 长 杨 庆 华 (2015 年 2 月 13 日 ) 同 志 们 : 今 天, 我 们 召 开 2015 年 全 市 卫 生 工 作 会 议, 主 要 任 务 是 : 深 入 贯 彻 落