Microsoft Word doc

Size: px

Start display at page:

Download "Microsoft Word doc"

伴散栾
5 years ago
Views:

1 设 X 是 Baach 空间 X 是 X 的闭子空间映射 : X X / X 定义为 : [ ] X 其中 [ ] 表示含的商类求证是开映射证法用开映射定理只需证明满射事实上 [ ] X X 任取 [ ] 则有 X [ ] 证法不用开映射定理教材 9 定理 8 的证明中的 () 为了证 T 是开映射必须且仅须 > st TB( ) U ( ) 取并设 B X 中的开单位球 U ( ) X X 中的开单位球下面证明 U( ) B( ) B( ) [ ] [ ] U( ) B( ) U( ) < < 反之 [ ] U( ) [ ] < [ ] < B( )[ ] U( ) B( ) 设 XY 是 Baach 空间 U L ( X Y) 设方程 U 对每一个 Y 有解 X 并且 m > U m X 求证 : U 有连续逆 U 并且 U / m 证明由条件 U 是满射且是单射所以根据 Baach 定理 U L Y X Y 设 U 则 U m mu U su U / m 设 H 是 Hilbert 空间 A L ( H) 并且 m > ( A ) m H 求证 A L ( H) 证明由条件 H m ( A ) A A m 所以 A 是单射 ( R( A) )? ( A ) m? { } 故有 R( A) 所以 R( A ) 是稠的设 { } 是 R( A ) 中的基本列并设 A 则由 A m { } 是基本列 H A A R A R( A ) 是闭的 R( A) R( A) H 即 A 是满射所以根据 Baach 定理 A L( H) 设 XY 是线性赋范空间

2 D 是 X 的线性子空间 A : D Y 是线性映射求证 : () 如果 A 连续 D 是闭集则 A 是闭算子 () 如果 A 是连续且是闭算子则 Y 完备蕴含 D 闭 () 如果 A 是一一的闭算子则 A 也是闭算子 () 如果 X 完备 A 是一一的闭算子 RA 在 Y 中稠密并且 A 连续那末 RA Y () 如果 A 连续且 D 是闭的则 A 闭算子 D( A) 设 A D D A A A A 闭算子 () 如果 A 连续又 Y 完备那么根据定理 (BLT) A 能一地延拓到 D 上成为连续线性算子 A A A A A 本题 D 还有一个条件 A 是闭算子下面证明 D 闭设 D 则有 A A A 于是因为 A 是闭算子所以 D A A 5 6 D 且 A A () 如果 A 是单射的闭算子则 A 也是闭算子设 R( A) D( A) A A 因为 A 是闭算子所以 D( A) A R( A) A ie A 是闭算子 () 如果 X 完备 A 是单射的闭算子 RA 在 Y 中稠密并且 A 连续那末 R A Y A 是单射的闭算子也是闭算子 () A XA A () RA D( A ) 闭 Y( RA RA 最后 RA RA Y 5 用等价范数定理证明 ( C [] ) 不是 Baach 空间其中! ( t ) dt C [] 证明用反证法假如 C 是 B 空间 ( [ ] ) ( ma t! t dt ma t t t 7 8

3 是比强的范数用等价范数定理与等价即 M > st M 即 ma ( t) M! ( t) dt t ( C[ ]) t 令 ( M ) ( t ) M t t M 矛盾 6 Gelad 引理设 X 是 Baach 空间 : X R () X () ( " ) " ( ) " > X () M M ( ) ( ) ( ) X () 当时 ( ) 求证 : M > M X 证明令 $ su 是 X 上的完备范数然后用等价范数定理所给的条件 () 有两处发挥作用其一是证明 ( ) : ( ) ( & lim lim 其二是证明 ( ) 从 X 完备时 9 m m X 完备 X ( ) N N < > N m m m m < lim m m m ( > N) ( su ( su e su ( su e ( ( ( ( ( R ) 注 X e su su e ( i ( ) su e su e su ( e ) e e e ( i ( ) su su e ( ) & lim ( ) lim 下面证明 X 完备

4 m m X 完备 X st ( ) N N < > N m m ( ) m m lim m < m m ( > N ) m < m > N su ( ) < < ( > N) 根据等价范数定理 M > 使 M M 得注 : 存在某个线性空间上的强弱两个范数使弱范数完备而强范数不完备见反例 6 7 设 XY 是 Baach 空间 A L ( X Y) ( ) 又对 X { A } 在 Y 中收敛求证 A L ( X Y) A 强收敛到 A 且 A lim A 证明 X $ A lim A { A} Y 中收敛 { } 在中有界即 su A A 在 Y ( X) < 由共鸣定理 5 M > A M 于是 st A lim A lim A M A L( XY ) 并且 A lim A 8 设 < < 并且如果序列 { a } {) } 保证 * a ) 收敛求证 { a } 又若 : * a ) 求证作为上的线性泛函有 (* a ) 证 { } ) *() *() ( ) 令 L K 且 lim 由习题 7 ( ) ( ( N 取其坐标下面证明 { } 5 6

5 为 arg( i ( e > 一方面 * i ( ( e i i *( ( e e *( 另一方面 - ( ) / ( * - - * ( /*( / *( 且 ( 又 Hlder ( ( ( ( 联合 ( ( 9 证 { } 令 ) *() *() L 且 lim 由习题 7 ( ) ( ( 下面证明 { } 7 8 $ 设 e { } ( e e 则 ( e ) e { } ( ( ( 且 ( 又 su ( ( * * () su su ( 由习题 7 lim ( ( ( ( su ( 用 Gelad 引理证明共鸣定理 su AW $ A M A M A M ( AW) 设 XY 是 Baach 空间 A L ( X Y) 是满射求证如果在 Y 中则 c > 与使 A 且 c 证明设 N( A) { X A } 考虑映射 A : X N( A) X N( A) Y [ ] A[ ] A [ ] 证明 A 9

6 单射满射再由 A[ ] A A A [ ] Y Y 推出 A 有界由 Baach 逆算子定理 A YX N( A) L 不妨假设记 65 7 A 657 A A 于是取便有 C 其中 A C 6 57 且 A A6 57 定义 A 则有 C C A 设 & 记 6 57 A 657 A A A A 取于是 C C C C 再想办法将折合到上去 & N > N > 于是对 N 按上面取法 5 C N 取则有 A A A C A [ ] A [ ] N( A) [ ] A 单射条件 A 满射 Y X A A [ ] A A 满射 [ ] 7 5 [ ] A A A A Y A 有界由 Baach 逆算子定理 A L YX N A Y 设记 65 7 A 657 A A 注意到这个结论与要证的结果十分类似其中 A 相当于 C

7 下面要做的事就是将中的 [ ] 去掉过河拆桥取 A 6 57 且 A A6 57 定义 A 则有 C C A 设 & 记 6 57 A 657 A A A A 取于是 C C A C A A C C C C 再想办法将折合到上去 & N > N 5 6 > N 按 C N 取于是对上面取法则有 A A A C 设 XY 是 Baach 空间 T 是闭线性算子 DT X RT Y 求证 N T 是 X 的闭线性子空 () 间 () N( T ) {} RT 闭的充分必要条件是 a > 在 Y 中使 a T D( T) () RT 在 Y 中闭的充分必要条件是 a > d( N( T) ) a T ( D( T)) 其中 d( C ) 表示到 X 的子集 C 的距离证明 () N T T T N T 即得 N( T ) 闭 () RT 是 B 空间 T : D( T) R( T) 单射满射由逆算子定理知 7 8

8 T ( R( T) X) ( ( ) L ( > st T R T 于是 X 令 T 即有 ( T ( 8) RT D( T) st T 由所给的不等式 m ( T Tm X st 于是 T T R( T) T () 注意到 X N( T) 是 B 空间考虑 T : X N( T) Y DT {[ ] X NT DT } T [ ] T 显然 N ( T) [ ] RT RT 如果 T 是闭算子用 () 的结果即得结论下面证明 T 是闭算子就看即证得 RT 闭 9 [ ] D ( T) DT [ T [ ] T D T 6 57 T T 6 57 T D ( T) RT 闭 : RT 闭 ( T 单射 ) () : ( > st [ ] ( T [ ] 即 d N T ( T 设 a ( ) 是 Hilbert 空间 H 上的一个共轭双线性形式 () M > a ( ) M () > a ( ) 求证 : H! H a ( ) ( ) H

9 而且连续依赖于证明根据 La-Milgram 定理 7 必存在唯一的有连续逆的连续线性算子 A L ( H) st a( ) ( A) 又根据 Riesz 表示定理对 H z H ( ) ( z ) 对此 z 求解方程 A z A z z 再证所产生的是唯一的设 a H 则有 ( ) ( ( ) ( ) ( ) a a a H 便有取 () a 设是 R 中边界光滑的有界开区域 ( : R 有界可测并 ( ( L 规定 < ( ( ) ( a u v! < u < v uv dd u v F( v)! vdd v L () 求证 u H () a( u v) F( v) 证设 ( 注意到 M ( u u < u 以及 Cauch-Schwarz 不等式有 ( ) ( ) ( ) a u v < u < v M u v < u < v ( ( ) u v M u v M u v ( ( ( uvh ()) ( )! ( < ( ) mi{ ( } a u u u u dd ( u H ()) 又 F ( v)! vdd v v F H () 用题的结论 u H () st a uv F v v H () L L L 由此可见题的条件 () 再验证题的条件 () 5 6

Microsoft Word - µÚ15½².doc

Microsoft Word - µÚ15½².doc 第三章共轭空间与共轭算子线性赋范空间与它的共轭空间之间的相互依存和相互作用是泛函分析中内容丰富的论题共轭空间不仅仅是由原空间派生出来的一种新空间而且提供了认识原空间的新工具特别是由此派生了强拓扑弱拓扑乃至弱 * 拓扑的概念有界算子与它的共轭算子的关系也是如此本章将首先把共轭空间具体化给出共轭空间的表现然后讨论由共轭空间引出的序列的弱收敛和弱收敛概念及其性质讨论共轭算子和紧算子的性质