一.本课程的目的,任务和特点

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帅庆琴太叔
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1 第 5 章离散时间傅里叶变换 DTFT. 离散系统傅里叶变换推导. 离散时间傅里叶变换举例 3. 离散时间傅里叶变换性质 4. 卷积性质及其含义和用途

2 . 离散系统傅里叶变换推导推导 : 类似于连续系统的傅里叶变换, 除了 e e x 是非周期序列且持续时间有限足够大以至于 0如果 x 当而且以为周期, x x

3 x a k k 定义 X e a k a e k x e k x e k 0 0, 0 k k x e X e k x e 的周期为

4 x X e e X e e k 0 k0 k0 k 0 以 π 积分 k k a k 当 : x x 当为任何值 0, d = 0 0 的总和积分离散系统傅里叶变换 x X e e d 综合方程 X e x e 0 分析方程

5 离散时间傅里叶变换对 x[ ] X e X e x e 分析方程 DTFT x[ ] X e e d 综合方程 DTFT 逆变换

6 收敛问题综合方程 : 没有, 因为是有限区间上的积分分析方程 : 需要条件, 类推于连续时间傅里叶变换, 如 : x 有限能量或 x 绝对可和

7 ) x. 离散时间傅里叶变换举例 e X e ) x[ ] 0 移动的单位抽样 0 0 X e e e 上述有相同的幅度 (=), 但有一个线性的相位 - 0

8 3) x a u, a 指数衰减函数 X e x e ae 0 ae ae acos asi 无限和公式 X e acos a 0: Xe aa a : Xe aa a

9 4) 离散时间矩形脉冲 si X e e e X e si / ( )

10 5) W siw x e d W W x0 X e d W W

11 复指数和的离散时间傅里叶变换 (DTFT) 0t 回顾连续时间的结果 : xt e X 0 0 x 离散时间会怎样? e X e? a) 我们期待在 0 处有一个脉冲 ( 面积为 π ) b) 但是 X e 必须是以 π 为周期的事实上 0 m X e m 注意 : 在综合方程的积分区域为一个周期 π, 仅需要 X e 在一个 π 周期内, 即 : x m e d e 0 m X e 0

12 周期序列的离散时间傅里叶变换 x x k0 a e x k k, 0 DTFS 的综合方程由于 : 0 m k0 e k m X e a k m k m k 0 DTFT 的线性性质见 5.(P34-35) ak k0 ak k k k

13 例 #: 离散时间正弦函数 x 0 e e 0 0 si 0 0 X e m m m m

14 例 #: 离散时间周期脉冲序列 x k 0 k a k k 0 x e k 0 x e 0 利用周期信号离散时间傅里叶变换公式 k Xe k 也是周期脉冲序列, 但在频率域!

15 3. 离散时间傅里叶变换的性质 X e x e x X e e d 分析方程综合方程 ( ) X e X e ) 周期性 : 与连续时间傅里叶变换不同 ) 线性 : ax bx ax e bx e

16 3) 时移性 : 4) 频移性 : 例子 : 0 0 x e X e e x X e ( ) 0 0 由于周期性, 在离散时间里有重要的含义 0, y e x x 滤波器特性翻转

17 5) 时间翻转性 : 6) 共轭对称性 : x X e * 实的 =X x X e e 和 R e X e X e X e 和 I m X e 是偶函数是奇函数和是实的并且是偶的 X e x 是实的并且是奇的 X e x 是实的并且是偶的是纯虚的并且是奇的

18 7) 时间伸缩性回忆一下连续时间的性质 : 但是在离散时间域 : x毫无意义 ; xat X a a x[] 丢失了 x[] 的奇数值但是我们可以通过插入零值点来放慢一个离散时间信 : k 一个整数 x k 在连续值中插入 (k-) 个零值时间尺度在连续时间为无限的好在本例中插入两个零值点 (k=3)

19 x k x k k 0 是的整数倍其他 mk X k k k e x e mk x mk e m m ( k ) m X e k x m e 在时间域通过一个因数 k 被伸展在频域通过一个因数 k 被压缩

20 8) 频率域的微分 Xe x e d X e x e d 两边均乘以乘以 d x X e d 频域微分 9) 帕塞瓦尔定理 x X e d 时间域的总能量频率域的总能量

21 卷积性质例 #: x h y h x Y e H e X e 频率响应 He = 单位脉冲响应的 DTFT x e X e k 0 0 k 0 Y e H e k k ( 0 k ) 0 k H e k 0 0 H周期的 H e k k y H e e 0 0

22 例 #: 理想低通滤波器 c h e d c si c

23 例 #3: si 4 si si 4

24 卷积性质举例 h u, x u, e e, X e H e y h x Y e e e A B A( e ) B( e ) :Y e e e ( e )( e ) 由 A( e ) B( e ) A AB AB Ae B e 0 A B 0 B y A u B u u u ( ) 例 4

25 : Ye e d 注意到 e d e e 则由于 X e d Y e e e d e x e dx e x F( e ) ( 频域微分性质 ) d ( ) ( ) x e F( e ) ( 时移性质 ) y x u u 例 5

26 用线性差分方程描述离散 LTI 系统 a y k b x k k k0 k0 k w M k k ake Y e b e X e k0 k0 k M k 0 k 0 M 从时移性质 : x k e X e Y e H e be k ae k k k k X e e - 函数的有理部分, 用分式展开来得到 h[]

27 例子 : 一阶递归系统 y y x, 初始松弛条件因果 - e Y e X e H e Y e X e - e h u 零状态响应

28 例 5.9: 一个因果 LTI 系统的差分方程为 3 y y y x H e 4 8 求系统的频率响应和单位脉冲响应. 解 : 对差分方程两端取 DTFT, 并利用时移性质有因式分解于是 3 e e e e [8 6 e ( e ) ] ( e )(4 e ) ( e )( e ) He ( e )( e ) e e 8 4 h u u 4 4 思考 : 因果假设有什么作用? ( 见第章差分方程冲激响应求解 )

29 习题 5.0: 一个因果稳定 LTI 系统具有性质 4 4 u u 5 5 (a) 求系统的频率响应 ; (b) 系统的差分方程. 解 : 分别对输入和输出取 DTFT, 并利用频域微分性质有于是 X e 4 e 5 d d 4 Y e X e e d d e e Ye e H e ; b0 0, b, a0, a X e 4 e y y[ ] x[ ] 5 5 利用时移性质

30 离散系统傅里叶变换的乘法性质 y x x Y e X e X e d X e X e 周期性卷积推导 : Y e x x e X e e d x e ( X e x e ) d X e X e X e d

31 计算周期性卷积 - ˆ, ˆ = 0, Y e X e X e d X e X e d X e X e 假设我们从到积分 : 其中其他情况

32 举例 : si 4 si 4 y x x, x x Y e Xe X e

33 复习 : 例 5., 例 5., 例 5.3, 例 5.5, 例 5., 例 5., 例 5.3, 例 5.8, 例 5.9; 习题 :5.6,5.9, 5., 5.4, 5.9,5.0

大理大学 2019 年自命题科目考试大纲科目代码 :871 科目名称 : 信号与系统一目标要求信号与系统是大理大学电子与通信工程领域硕士专业学位研究生入学考试的自命题考试科目, 其目的是科学公平有效地测试考生掌握信号与系统的基本概念基本理论和基本分析方法的情况, 评价考生根据工程应用

大理大学 2019 年自命题科目考试大纲科目代码 :871 科目名称 : 信号与系统一目标要求信号与系统是大理大学电子与通信工程领域硕士专业学位研究生入学考试的自命题考试科目, 其目的是科学公平有效地测试考生掌握信号与系统的基本概念基本理论和基本分析方法的情况, 评价考生根据工程应用大理大学 2019 年自命题科目考试大纲科目代码 :871 科目名称 : 信号与系统一目标要求信号与系统是大理大学电子与通信工程领域硕士专业学位研究生入学考试的自命题考试科目, 其目的是科学公平有效地测试考生掌握信号与系统的基本概念基本理论和基本分析方法的情况, 评价考生根据工程应用的需求建立信号与系统的数学模型, 通过时间域与变换域的数学算法, 分析系统性能, 求解输出信号的能力,