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1 第八章 时域离散系统的实现 王柯俨

2 8 8. 引言 时域离散系统的实现方式 软件实现 硬件实现 数字滤波器的表示方法 数字滤波器的系统函数 : H ( Y ( = = X( M = 0 b = + a

3 数字滤波器的表示方法 常系数线性差分方程 : M = + = = 0 yn ( ayn ( bxn ( 均由延迟 乘法 加法实现 滤波器的实现算法 运算结构 网络结构? 计算误差 有限字长效应 计算复杂度 存储量 计算速度

4 本章内容 理解数字滤波器结构的表示方法 掌握 IIR 滤波器的基本结构 掌握 FIR 滤波器的直接型 级联型 线性相位结构, 理解 频率抽样型结构 了解数字滤波器的格型结构

5 基本运算单元 基本运算单元方框图流图 单位延时 : 常数乘法器 : a a 加法器 :

6 二阶数字滤波器 y ( n = a y( n + a y( n + b x( n 0 x(n b 0 y(n b 0 x(n Z ayn ( a ayn ( a Z yn ( yn (

7 二阶数字滤波器 y ( n = a y( n + a y( n + b x( n 0 方框图结构 流图结构

8 流图结构 节点 源节点 阱节点 网络节点 分支节点 支路 相加器 节点的值 = 所有输入支路的值之和 支路的值 = 支路起点处的节点值 传输系数 输入支路 输出支路

9 8FIR 8. 数字滤波器的网络结构 直接型结构 级联型结构 线性相位型结构 频率取样型结构 快速卷积法

10 . FIR 数字滤波器的直接型结构 FIR 数字滤波器的特点 : 系统函数 : H( = h( n n= 0 差分方程 : = 0 - 阶滤波器, 为滤波器的长度 n yn ( = hxn ( ( 有 - 个零点分布于 平面,=0 处是 - 阶极点 系统的单位抽样响应 h(n 有限长, 设 点 系统函数 H( 在 > 0 点在 = 0 处 ( 因果系统 无输出到输入的反馈, 一般为非递归型结构 处收敛, 有限 平面只有零点, 全部极

11 . FIR 数字滤波器的直接型结构 ( H ( = h ( n n= 0 n 直接型结构 ( 卷积型 横截型 = 0 yn ( = hxn ( ( 特点 : - 个单位延时器, 个乘法器,- 个加法器 单位延时器串联, 有抽头, 称为延时线

12 FIR 数字滤波器的直接型结构 (3 直接型的转置 : 对于单个输入 单个输出的系统, 通过反转网络中的全部支路的方向, 并且将其输入和输出互换, 得出的流图具有与原始流图相同的系统函 数

13 .FIR 数字滤波器的级联型结构 将 H( 进行因式分解, 将共轭成对零点放在一起, 形成实 系数二阶因式的乘积形式 : [ /] n β0 β β n= 0 = = = + + H( h( n (

14 .FIR 数字滤波器的级联型结构 ( 级联型的特点 每个一阶网络控制一个零点, 每个二阶网络控制一对零 点, 调节 或 3 个系数即可调整零点, 便于控制滤波器的 传输零点 系数比直接型多, 所需的乘法运算多 例 8..(P8 画直接型和级联型结构 H( = Z +.8Z +.5Z 3 H Z Z Z ( = ( (

15 3. 线性相位 FIR 滤波器的结构 jω H ( e = H ( ω e ( g j θ ( ω - 第一类线性相位 :( θ ω=-ω π - 第二类线性相位 :( θ ω=- -ω 0 n FIR 滤波器单位抽样响应 h(n 为实数, 且满足 : 第一类偶对称 : 第二类奇对称 : hn ( = h ( n hn ( = h ( n 对称中心在 (- / 处, 这种 FIR 滤波器具有严格线性相位

16 为奇数时 = h ( n + h + h ( n n= 0 n H( = h ( n n n= 0 n= + 令 n= m n ( m = hn ( + h + h ( m n= 0 m= 0 n ( n = h ( n ± + h n= 0 + 第一类 第二类 n

17 n ( n H( = h( n h ± + n= 0 h(n 偶对称, 取 + h 0 = h(n 奇对称, 取, 且 0

18 为偶数时 n= 0 H ( = h ( n n= 0 n = + n= 0 = hn ( ± n hn ( hn ( n ( n n= n

19 复杂度 : 线性相位结构 VS V.S. 直接型 加法器 延迟器个数 : - 乘法器个数 直接型 : 线性相位结构 : 为偶数 :/ 为奇数 :(+/

20 4. 频率抽样型 个频率抽样 H( 恢复 H( 的内插公式 : H ( ( H = ( W = 0 = H ( c H ( = 0 H H π ( = ( j = 0,,, = e

21 子系统 : H ( = c 是 节单位延时单元的梳状滤波器 在单位圆上有 个等间隔角度的零点 : π j = e = 0 0,,..., 频率响应 : j ω H ( c e = e jω j ω j ω j ω = e e e = ω j ω je sin

22 子系统 : H 单位圆上有一个极点 : H ( ( = W 与第 个零点相抵消, 使该频率 = W = e ω = π 一阶网络 π j 处的频率响应等于 H( 频率采样结构由一个 阶梳状滤波器和 个并联一 阶网络级联构成

23 H ( ( H = ( W = 0

24 频率抽样型结构的优缺点 调整 H( 就可以有效地调整频响特性 若 h(n 长度相同, 则网络结构完全相同, 除了各支路增益 H(, 便于标准化 模块化 系数多为复数, 增加了复数乘法和存储量 有限字长效应可能导致零极点不能完全对消, 导致系统不 稳定

25 频率抽样结构的修正 ( 问题 在有限字长情况下, 系数量化后极点不能和零点抵消, 使 FIR 系统不稳定 解决方案 将零极点移至半径为 r 的圆上 : r < 且 r H( = ( r π j = 0 Hr ( rw 零 极点 : = re, = 0,,..., H ( = H( r

26 频率抽样结构的修正 ( W H( 是复数 H ( 的分布 : 等间隔采样, 关于 / 共轭对称 由对称性 : * ( * = W = W = ( W

27 将第 个和第 (- 个谐振器合并成一个实系数的二阶网络个实系数的二阶网络 : Hˆ ( = H ( + H ( H ( H ( = + rw rw ( * H ( H( = + rw r( W * α 0 + α = π rcos( + r α 0 = Re[ H ( ] = α rre[ H( W ],,..., = =,,..., 为奇数 为偶数

28 为偶数时, 还有一对实数根 / = H( = ( r H0 ( + H /( + H( H(0 H( / = ( r + + r r 为奇数 / 0 ( = ( / 0 = H( = r H ( + H ( α + α π rcos( + r = ( r H (0 + α0 + α rcos( + r / 0 r π =

29

30 其中的一阶 二阶网络结构 α 0 α

31 例 : 设计一 M 阶实系数 FIR, 已知 H[0]=,H[]=, 画出其频率取样型结构 解 : 频率抽样点数 =M+ H( = + + W W ( 由 H[]= H[]=, 和 W = W ( H( = + π cos( π cos( +

32 实系数频率取样型结构流图 π cos( π cos( 优点 :. H[m] 零点较多时, 实现较为简单. 可以构成滤波器组, 实现信号的频谱分析

33 5. 快速卷积法 单位脉冲响应是有限长序列, 输入有限长序列信号, 则输 出信号可用 DFT 计算 优点 : 采用 FFT 快速算法, 运算速度加快 若输入序列为无限长序列, 可用重叠相加法或重叠保留法

34 8.3 IIR 数字滤波器的基本结构 系统函数 : 差分方程 : IIR 数字滤波器的特点 : Y ( H( = = X( 系统的单位脉冲响应 h(n 无限长 系统函数 H( 有极点 存在输出到输入的反馈, 递归型结构 M b = 0 a = = + yn ( ayn ( b xn ( M = = 0

35 IIR 数字滤波器的基本结构 直接型结构 级联型结构 并联型结构

36 . IIR 数字滤波器的直接型结构全极点 IIR : H ( H ( = M b = 0 M + a = 0 = FIR : H ( = b = W( X ( + = a = Y( W ( w [ ] = b 0x [ ] + b x [ ] + + b x [ M ] y [ ] = w [ ] ay [ ] ay [ ] a y [ ]

37 直接 I 型结构 设 M= w[ ] = b0 x[ ] + b x[ ] + + b x[ ] y [ ] = w [ ] ay [ ] ay [ ] a y [ ] x b 0 w y[] b a b a a b a 分子多项式决定前向通路, 分母多项式决定反馈通路

38 直接 II 型结构 x b 0 b a b 0 a b a b a b a y[] y[] a a b b M++ 次乘法 ;M+ 次加法 ; 延时单元数为 M 中的最 大值

39 转置直接 II 型结构 x b 0 y[] b b a a a b a

40 IIR 数字滤波器的直接型结构优缺点 缺点 : 改变某一个 {a } 将影响所有的极点 改变某一个 {b } 将影响所有的零点 a 系数, 对滤波器的性能控制作用不明显, 参数调 b 整麻烦极点对有限字长效应太敏感, 易出现不稳定或较大误差 优点 : 简单直观

41 IIR 数字滤波器的级联型网络结构将滤波器系统函数 H( 的分子和分母分别分解为一阶和二阶实系数因子之积的形式. IIR 数字滤波器的级联型网络结构阶实系数因子之积的形式 ( ( M M = = + + =,, ( ( ( K H α α = = + +,, ( ( β β 阶网络 L i i L + + α α 二阶网络 ( (,,,, H A A H i i i i i i i = = = = β β α α 画出各二阶基本网络的直接型结构, 再将它们级联

42 级联型结构信号流图 x[] A H i ( + α + α = + β +, i, i, i β, i y[] ] β α β L α L β α β L α L 基于直接 II 型的级联型结构 x A α β α L β L y[] α β α L β L 基于转置直接 II 型的级联型结构

43 IIR 数字滤波器的级联型结构优点 优点 :. 硬件实现时, 可以用一个二阶网络进行时分复用. 每一个基本网络系数变化只影响该子系统的零极点 一阶网络决定一个零点和一个极点 ; 二阶网路决定一对共轭零点 ( 或一个实数极点 和一对共轭极点 3. 对系数变化的敏感度小, 受有限字长的影响比直接型低 4. 具有最少的存储器 缺点 : 二阶节电平难控制, 电平大易导致溢出, 电平小则使信噪比减小 例 8.3. (P3 H ( =

44 3. IIR 数字滤波器的并联型结构 将滤波器系统函数 H( 展开成部分分式之和, 每部分可用 一个一阶或二阶网络实现 H( b b + b = C = a = a a H( = C+ L b + b 0 = a a L为 ( + / 的整数部分 画出各二阶基本网络的直接型结构, 再将它们并联

45 H( = C+ b G ( = L b0 + b a = a a b 0 + b G ( = a a C b b 0 b

46 H ( C = C + b + b L 0 = a a C b 0 x [] y[ ] [ b 0 x[] ] y[] a b b a a a b L0 b L0 a L b L b L a L a L a L 基于直接 II 型的并联型结构 基于转置直接 II 型的并联型结构

47 IIR 数字滤波器的并联型结构优缺点 优点 :. 运算速度快. 各基本网络的误差互不影响, 不会增加积累误差 3. 可以单独调整极点的位置 缺点 : 不能像级联型那样直接调整零点

48 [ 例 ] 已知某三阶数字滤波器的系统函数为 H ( = ( ( 试画出其直接型 级联型和并联型结构

49 . 直接型 将系统函数 H( 表达为 : H ( = x [] 3 y[ ] / 6 5 / 3 / 3 / 3 / 6

50 . 级联型 将系统函数 H( ( 表达为一阶 二阶实系数分式之积阶实系数分式之积 H( = x[] 3 y[] / 3 / 5 / 3 / / 3

51 3. 并联型 将系统函数 H( 表达为部分分式之和的形式 + H ( = x[] / 3 y[] / /

52 格型网络结构 全零点 (AZ 滤波器的格型结构 全极点 (AP 滤波器的格型结构 有极点和零点滤波器的格型结构

53 三种滤波器的系统函数 全零点 (AZ 滤波器 A( a ( n = + n= n 全极点 (AP 滤波器 H ( = = A ( a ( n + n= n b m m bm m= 0 B( AZAP 滤波器 H( = = A ( A (

54 全零点 (AZ 滤波器的格型结构 x[] e f ] e f [ ] ] f 0 [ e f [ e f [] y[] K K K [][ ] eb b 0 K K e b [] e b [] K e b [] y b [] e f [ ] [] K e f K [ eb ] e b [] AZ 系统的基本格形单元 反射系数

55 反射系数 K 的确定反射系数 K 的确定根据系统函数, 由高阶系数递推各低阶反射系数 K ( a K =,,, ( ( ( ( = = i K i a K i a i a ( ( ( a K a K ( K a K = =

56 全极点 (AP 滤波器的格型结构 f x [ ] = e [ ] e f [] e f [] [][ ] e f [][ ] e f 0 y[] K K K K K K e b b b b [] e [ ] e [ ] e 0 [ ] 0 e f [] e f [ [ ] K e b [] K eb [ ] AP 系统的基本格型单元

57 有极点和零点滤波器的格型结构 f x [ ] = e [ ] e f [] e f [] e f [][ ] e f 0 [] e b [] e b [ b [] b [ b [ ] e e [ ] e [ [ ] 0 c c c c c 0 y[] 图中的方框是如下基本格型单元 e f [] K e f [ ] e b [] K e b [ ]

58 格型结构中 K, C 参数的确定. K 参数利用 AZ 系统反射系数 K 的递推公式递推出. 确定 c c = b 3. 递推求出 c 参数 bm = cm + ca i i( i m m= 0,,,, i= m+

59 数字信号处理中的量化效应 因有限位寄存器引起的误差, 称为量化效应, 也称为有限 寄存器效应 量化误差的表现 : A/D 变换器中的量化效应 系数量化效应 运算中的量化效应

60 量化及量化误差 量化编码 : 序列值用有限长的二进制数表示 量化误差 : 由于量化编码而导致的误差 量化阶 : 假设用 b+ 位二进制数表示一个实数, 位表示 符号, 尾数用 b 位表示

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