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碗袁
5 years ago
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1 数域定义第一章多项式一内容提要 1.1 数域设 F 是由一些复数组成的集合, 其中包括和 1. 如果 F 中任意两数 ( 这两个数可以相同 ) 的和差积商 ( 除数不为零 ) 仍然是 F 中的数, 那么 F 就称为一个数域. 1. 一元多项式定义设是一非负整数. 形式表达式其中一元多项式 1 ax + a 1x + + a L, a, a, L, a 属于数域 F, 称为数域 F 上的一元多项式. 2. 多项式的运算 (1) 加法设 = = = a x + a x + L + a = a x, g( x) = b x + b x + L + b = bx, ( 如果二者的次数不相等, 则可以在次数小的前面加一些系数为零的项 ), 定义 f ( x ) 与 gx ( ) 的加法为 = + = ( a b ) x ( a b ) x L ( a b ) ( a b) x, 记作 + g( x), 称为 f ( x ) 与 gx ( ) 的和. (2) 数乘设 = a x + a x + L + a, c F. 定义数 c 与多项式 f ( x ) 的乘法为 L +, 1 cax ca 1x ca (3) 乘法设定义它们的乘法为 = a x + a x + L+ a, 1 1 m gx ( ) = bx + b x + L+ b, m m 1 m 1

2 ab x + ( ab + a b ) x + L+ abx + L + ( ab + ab) x+ ab + m + m 1 k m m 1 1 m j j= k 记作 f ( xgx, ) ( ) 称为 f ( x ) 与 gx ( ) 的积. 3. 定理若, g( x) F [ x], 则 1. 整除定义 ( f( x) g( x)) = f( x) + g( x), ( + g( x)) max( f( x), g( x)). 1.3 整除的概念设, g( x) F [ x], 若存在 hx ( ) F [ x], 使得则称 gx ( ) 整除, 记作 gx ( ) f( x ). 2. 整除性质设 f( x), g( x), h( x) F[ x], c F, 则 f( x ); c f( x ); = g( x) h( x), 若 g( x), g( x) h( x ), 则 h( x ); 若 g( x), g( x) f( x ), 则 = cg( x), 其中 c 为非零常数 ; 若 g ( x), = 1,2, L, r, 则 ( u( xg ) ( x) + u( xg ) ( x) + L + u( xg ) ( x)), 1 2 r r 其中 u ( x ), = 1, 2, L, r, 是数域 F 上的任意多项式. 3. 带余除法对于任意两个多项式, g( x) F [ x], 其中 gx ( ), 一定存在 F [ x] qx ( ), rx ( ) 使得中的多项式 = q( x) g( x) + r( x) (1.3.1) 成立, 其中 rx ( ) < gx ( ) 或者 rx= ( ), 并且这样的 qx ( ), rx ( ) 是唯一的. qx ( ) 称为

3 gx ( ) 除 f ( x ) 的商式, rx ( ) 称为 gx ( ) 除 f ( x ) 的余式. 1. 最大公因式定义 1.4 最大公因式设, g( x ) 是 F [ x] 中的任意两个多项式, F [ x] 中的多项式 d( x ) 称为, g( x ) 的最大公因式, 如果它满足下面两个条件 : 1) d( x ) 是, g( x ) 的一个公因式 ; 2), g( x ) 的任一公因式是 d( x ) 的因式. 2. 引理相同. 3. 定理如果等式 = q( x) g( x) + r( x) 成立, 则, g( x ) 的公因式与 gx ( ), rx ( ) 的公因式对于 F [ x] 中的任意两个不全为多项式, g( x ), 在 F [ x] 中, 它们有最大公因式 d( x ), 且 d( x ) 可以表示成, g( x ) 的一个组合, 即有 F [ x] 中多项式 ux ( ), vx ( ) 使 4. 互素定义 5. 定理使得 6. 推论 dx ( ) = ux ( ) f( x) + vxgx ( ) ( ). 设, g( x) F [ x], 若 ( f( x), g( x )) = 1, 则称 f ( x ) 与 gx ( ) 互素. 设, g( x) F [ x], 则 f ( x ) 与 gx ( ) 互素的充分必要条件是存在多项式 ux ( ) 和 vx ( ) 1 = ux ( ) f( x) + vxgx ( ) ( ). (1) 设 f1( x) g( x), f2( x) g( x ), 且 ( f1( x), f2( x )) = 1, 则 f1( x) f2( x) g( x ). (2) 若 ( f( x), g( x )) = 1, 且 g( x) h( x ), 则 h( x ). (3) 若 (, g( x)) = d( x), f( x) = d( x) f1( x), g( x) = d( x) g1( x), 则 ( f1( x), g1( x )) = 1. (4) 设 (, g( x)) = d( x) 且 hx ( ) 是首项系数为 1 的多项式, 则 ( f ( xhx ) ( ), gxhx ( ) ( )) = d( xhx ) ( ). (5) 若 ( f( x), g1( x)) = 1,( f( x), g2( x)) = 1, 则 ( f( x), g1( x) g2( x )) = 1.

4 1.5 因式分解定理 1.( 不 ) 可约多项式定义设 f ( x ) 是数域 F 上次数大于零的多项式, 如果 f ( x ) 可以分解成两个次数比它低的数域 F 上多项式的乘积, 则称 f ( x ) 为数域 F 上的可约多项式 ; 否则称为数域 F 上的不可约多项式. 2. 定理者若 p( x) 是数域 F 上的不可约多项式,, g( x) F [ x], 且 p( x) f( x ), 或者 p( x) g( x ). p( x) f( x) g( x ), 则或 3. 推论设 p( x) p( x) f 是不可约多项式, 且 1( x) f2( x) L fm( x), 则 p( x) 必整除其中之一. 4. 定理是设若是数域 F 上次数大于零的多项式, 则的两个不可约分解, 即且经过适当调换因式的顺序后, 有 s 可分解为 F 上不可约多项式的乘积 ; = p ( x) p ( x) Lp ( x) = q ( x) q ( x) Lq ( x) p( x), qj( x) 都是 F 上次数大于零的不可约多项式, 则 s p( x) = cq ( x), = 1,2, L, s, t t =, 其中 c 是 F 中的非零数. 5. 重因式定义 k 不可约多项式 p( x ) 称为多项式 f ( x ) 的 k 重因式, 如果 p ( x) f( x ), 而 k + p 1 ( x) / f( x). 当 k = 时, p( x ) 可能不是 f ( x ) 的因式 ; 当 k = 1时, p( x ) 称为 f ( x ) 的单因式 ; 当 k 2 时, p( x ) 称为 f ( x ) 的重因式. 6. 定理 7. 推论如果不可约多项式 p( x ) 是 f ( x ) 的 k 重因式 ( k 1 ), 那么它是 f '( x ) 的 k 1重因式. (1) 如果不可约多项式 p( x ) 是 f ( x ) 的 k 重因式 ( k 1 ), 那么 p( x ) 是 f x f x f x ( k 1) ( ), '( ), L, ( ) 的因式, 但不是 ( k f ) ( x ) 的因式.

5 (2) 不可约多项式 p( x ) 是 f ( x ) 的重因式的充分必要条件为 p( x ) 是 f ( x ) f '( x ) 的公因式. (3) 多项式 f ( x ) 没有重因式的充分必要条件是 ( f( x), f '( x )) = 多项式函数定义设 1.6 多项式函数 = a x + a x + L + a 1 1 是 F [ x] 中的多项式, 其中记号 x 表示在 F 取值的变量. α 是 F 中的数, 在 (1.6.1) 中用 α 替代 x 所得的数 f ( α) = a α + a α + L + a 1 1 称为 f ( x ) 在 x = α 的值, 记作 f ( α ). 如果 f ( x ) 在 x= α 时函数值 f ( α ) =, 那么 x= α 称为 f ( x ) 的一个根或零点. 由上述确定的函数称为数域 F 上的多项式函数. 2.( 余数定理 ) 用一次多项式 x α 去除多项式 f ( x ), 所得的余式是一个常数, 这个常数等于函数值 f ( α ). 3. 推论 x= α 是 f ( x ) 的根的充分必要条件是 ( x α) f( x). 4. 定理 5. 定理 F [ x] 中的次多项式 ( ) 在数域 F 中的根不可能多于个, 重根按重数计算. 如果多项式, g( x ) 的次数都不超过, 而它们对 + 1个不同的数 α1, α2, L, α + 1 有相同的值, 即那么 = g( x). 1. 代数基本定理 f ( α ) = g( α ), = 1,2, L, + 1, 1.7 复系数与实系数多项式的因式分解

6 每个次数大于或等于 1 的复系数多项式在复数域中有根, 即, 每个次数大于或等于 1 的复系数多项式在复数域上一定有一次因式. 2. 复系数多项式因式分解定理每个次数大于或等于 1 的复系数多项式在复数域上都可以唯一地分解成一次因式的乘积. 因此, 复系数多项式标准分解式 f( x) = a ( x α ) ( x α ) L ( x α ) ls, l 1 l 2 s α, α, L, αs 是不同的复数, l 1, l 2, L, l s 是正整数. 其中 3. 实系数多项式因式分解定理每个次数大于或等于 1 的实系数多项式 f ( x ) 在实数域上都可以唯一地分解成一次因式与二次不可约因式的乘积. 因此, 实系数多项式 f ( x ) 的标准分解式 f( x) = a ( x c ) L( x c ) ( x + p x+ q ) L ( x + p x+ q ), l 1 l 2 k k s r 1 s 1 1 r r c, Lc, p, Lp, q, L q 全是实数, l 1, L, ls, k 1, L, kr 是正整数, 并且其中 1 s 1 r 1 r 2 x px q r + + ( = 1,2, L, ) 在实数域上是不可约的. 1. 本原多项式的定义如果一个非零整系数多项式 1.8 有理系数多项式 gx ( ) = bx + b x + L + b 1 1 的系数 b, b 1, L, b没有异于 ± 1的公因子, 也就是说, 它们是互素的, 就称为一个本原多项式. 2. 高斯引理两个本原多项式的乘积还是本原多项式. 3. 定理如果一个非零的整系数多项式能够分解成两个次数较低的有理系数多项式的乘积, 那么它一定能分解成两个次数较低的整系数多项式的乘积. 4. 推论设, g( x ) 是整系数多项式, 且 gx ( ) 是本原的. 如果 = g( x) h( x), 其中 hx ( ) 是有理系数多项式, 那么 hx ( ) 一定是整系数的. 5. 定理设 = a x + a x + L + a 1 1

7 是一个整系数多项式, 而 r 是它的一个有理根, 其中 rs, 互素, 那么必有 s a, r a. 特 s 别地, 如果 f ( x ) 的首项系数 a = 1, 那么 f ( x ) 的有理根都是整数根, 而且是 a 的因数. 6. 定理 ( 艾森斯坦因判别法 ) 设 = a x + a x + L + a 是一个整系数多项式. 如果有一个素数 p 使得 1. p / a ; 1 1 p a, a, L, a ; p / a, 3. 2 那么 f ( x ) 在有理数域上是不可约的. 1. 多元多项式的定义 1.9 多元多项式 k1 k2 设 F 是一个数域, x 1, x 2, L, x 是个文字, 符号 ax x L x k 称为关于文字 x1, x2, L, x 的单项式, 其中 a F, k 1, k 2, L, k 是非负整数. 如果两个单项式中每一个文 k1 k2 字的指数对应都相等, 则称它们为同类项. 有限个单项式的和 a x x Lx x, x, L, x 的多元多项式. 称为 2. 定理当 k1, k2, L, k k1, k2, L, k f( x, x, Lx ), g( x, x, L x) 时, 乘积 f ( x1, x2, Lx) g( x1, x2, L x) 的首项等于它们首项的乘积. 3, 推论 (1) 有限个非零多元多项式的首项等于各多项式首项的乘积. (2) 非零多元多项式的乘积也不等于零. 1.1 对称多项式 1. 对称多项式的定义在元多项式 ( f x1, x2, L, x) 中, 如果对任意两个, j(1 < j ), 都有 k ( f x, L, x, L, x, L, x) = ( f x, L, x, L, x, L, x), 那么这个多项式称为对称多项式. 1 j 1 j

8 2. 定理对于任意一个元对称多项式 ( f x1, x2, L, x), 都有一个元多项式 ( φ y1, y2, L, y) 使得 ( f x, x, L, x) = φ( σ, σ, L, σ ). 二训练题一填空题 1. 一个数域所含元素的个数是 2. 当两个多项式满足条件时, 才有最大公因式 ; 它们的最大公因式与它们的公因式之间的关系是 3. 对于任意正整数存在有理数域上不可约的次多项式吗, 如果存在请举例 ; 如果不存在请说明 4. 实数域上不可约多项式的次数是 ; 如果多项式有一个非实数的复数根, 则它有另外一个与之相伴的根, 它们的关系是 5. 当, 多项式 3 2 = x 3x + tx 1有重根? 如果 ( x 1) Ax + Bx + 1, 则 A=, B= 7. r 如果整系数多项式有既约分数根 s, 则有理根的分子和分母与首系数和常数项的关系是 8. 多项式 3 2 = 2x x + 2x 1的有理根是 9. 设 = 3 x + ax x+ b, g( x) = x + 2x+ 1, 若用 gx ( ) 除 f ( x ) 的余式为 2x + 6, 则 a=, b= 如果 x + ax + 1 x + 2x + bx + c, 则 abc,, 满足条件二选择题 1. 如果多项式 g( x ), 则 ( ) (A) f ( x ) 是非零多项式 ; (B) f ( x ) 和 gx ( ) 均是非零多项式 ; (C) f ( x ) 和 gx ( ) 均是非零多项式 ; (D) gx ( ) 的因式均是 f ( x ) 的因式 2. 如果两个多项式互素, 则 ( ) (A) 它们的最大公因式是常数 ; (B) 它们的最大公因式是 1; (C) 它们的最大公因式是非零常数 ; (D) 它们的最大公因式只有 ± 1 3. 下面陈述正确的是 ( ) (A) 如果 r 是多项式 f ( x ) 的微商 f '( x ) 的二重根, 则 r 是 f ( x ) 的单根 ;

9 (B) 如果 r 是多项式 f ( x ) 和微商 f '( x ) 的根, 则 r 是 f ( x ) 的重根 ; (C) r 是 f ( x ) 的根的充分必要条件是 x r 是 f ( x ) 的一次因式 ; (D) 多项式 f ( x ) 没有重因式的充分必要条件是 f ( x ) 与 f '( x ) 的互素 4. 对于一个数域 F 上的次多项式 f( x)( 1), 下面结论不成立的是 ( ) (A) 在复数域中一定有根 ; (B) f ( x ) 在 F [ x] 中一定有一次因式 ; (C) 它的根的个数不超过 ; (D) f ( x ) 在复数域上一定有一次因式 5. 设 f ( x ) 是一个多项式, f '( x ) 是它的微商, x = a 是 f ( x ) 的根, 则 ( ) (A) x (C) x = a 是 f ( x ) 的重根 ; (B) x = a 不一定是 f ( x ) 的根 ; = a 不是 f ( x ) 的根 ; (D) x a 是 f ( x ) 的重因式 6. 设, g( x ) 是有理系数多项式, 则下面陈述正确的是 ( ) (A) 如果它们在有理数域上互素, 则它们在实数域上也互素 ; (B) 如果它们在实数域上互素, 则它们在有理数域上也互素 ; (C) 如果在有理数域上 g( x ), 则在实数域上也有 g( x ); (D) 如果在实数域上 g( x ), 则在有理数域上也有 g( x ) 7. 设 F 是数域,, g( x) F [ x] 并且 f( x), 则在下面的命题中 ( ) 不是 g( x ) 的充分必要条件 k k (A) 对任意的正整数 k, g ( x ); (B) 用 f ( x ) 除 gx ( ), 余式为零 ; (C) f ( x ) 是 f ( x ) 与 gx ( ) 的一个最大公因式 ; (D) f ( x ) 的不可约因式一定是 gx ( ) 的因式 8. 本原多项式对下面运算 ( ) 不是封闭的 (A) 多项式的乘法 ; (B) 多项式加法 ; (C) 取整系数因式 ; (D) 取负多项式 9. 设 f ( x ) 是整系数多项式, 则下面命题正确的是 ( ) (A) f ( x ) 有有理根的充分必要条件是 f ( x ) 在有理数域上可约 ;

10 p (B) 若既约分数 q 是 f ( x ) 的根, 则 q 整除 f ( x ) 的常数项 ; (C) 若 p 是素数且能整除 f ( x ) 的除首项外的所有项系数, 则 f ( x ) 在有理数上不可约 ; (D) 若 f ( x ) 有重因式, 则它在有理数上必有重根 1. 若 ( f( x), g( x)) = 1,( f( x), h( x)) = 1, 则下列多项式不一定互素的是 ( ) (A), f( x) + g( x) (B), h( x) + g( x) (C), h( x) g( x ) (D) f ( xgx ) ( ), f( x) + gx ( ) 三计算题 2 f, g ( x) = x + x 2 求 ( f (x), g (x) 设多项式 ( x) = x + 2x 5x 6 求 ux ( ), vx ( ) 使得 (, gx ( )) = ux ( ) f( x) + vxgx ( ) ( ) 2. 求以 2 + 为根的最小有理系数多项式 ), 并且求多项式 x + x x + 2x x 2的有理根, 并写出它在有理数域上的标准分解式 4. 用初等对称多项式表示对称多项式 ( x1+ x2)( x2 + x3)( x3+ x1) 四证明题 1. 证明 : 如果 d ( x) u( x) + v( x) g( x) =, 则 d (x) 是 f (x) 与 g (x) 式当且仅当 d ( x), d( x) g( x) 的最大公因 2. 证明 : 如果 (, g( x)) = p( x) 是一个不可约多项式, 那么存在正整数 k 使得 k ( f ( xgx ) ( ), f( x) + gx ( )) = p( x) 3. 设, g( x ) 是实数域上的多项式且 f ( x ) 和 gx ( ) 在复数域上无公共根证明 : ( f( x), g( x )) = 1 4. 设 F 是数域,, g( x) F [ x] 3 3 证明: 如果 g ( x) f ( x ), 则 gx ( ) f( x ) 5. 设 F, F 1 是数域, 且 F F 1,, g( x) F [ x] 证明: (1) 如果在 F [ x] 1 中有 gx ( ) f( x ), 则在 F [ x] 中也有 gx ( ) f( x ) (2) f ( x ) 和 gx ( ) 在 F [ x] 中互素当且仅当 f ( x ) 和 gx ( ) 在 F [ x] 1 中互素

11 (3) 设 f ( x ) 是数域 F 上的不可约多项式, 则 f ( x ) 的根都是单根 6. 设次数大于 1 的有理系数不可约多项式 p( x ) 有一个实根 α 证明: 对于任意的有理数 1 β, 存在有理系数多项式 ux ( ) 使得 ( α) = d 7. 证明 : x 1 x 1当且仅当 d u α β 8. 证明 : 多项式 5 = x 5x+ 1在有理数域上不可约 9. 设 α1, α2, L, α 是不同的整数证明多项式 f( x) = ( x α )( x α ) L ( x α ) + 1 在有理数域上是不可约的或者是某个多项式的平方 1. 设 F 是数域, F [ x], 其首系数为 a, 次数为, f '( x ) 是其微商证明 : f '( x) f( x ) 当且仅当存在 b F 使得 = a( x b)

概述 _1 代数角度代数运算 : 加减乘除 ( 带余除法 ) 及性质最大公因式互素不可约标准分解式重因式函数角度根及其性质, 余数定理二者关联两多项式函数相等充要条件为这两多项式代数相等

概述 _1 代数角度代数运算 : 加减乘除 ( 带余除法 ) 及性质最大公因式互素不可约标准分解式重因式函数角度根及其性质, 余数定理二者关联两多项式函数相等充要条件为这两多项式代数相等第五章多项式 Polynomial 概述 _1 代数角度代数运算 : 加减乘除 ( 带余除法 ) 及性质最大公因式互素不可约标准分解式重因式函数角度根及其性质, 余数定理二者关联两多项式函数相等充要条件为这两多项式代数相等概述 _2 与数域扩大无关的多项式性质整除最大公因式互素余数定理等与数域扩大有关的多项式性质不可约因式分解根理论等 5.1 目的与要求掌握一元多项式形式的准确描述