第一讲 1. 难度偏大 217 平稳 2. 知识基础手法新颖 3. 计算量大 4. 覆盖面广例 1 若积分 d 收敛, 则 1 1 A 1且 1 B 1且 1 C 1且 1 D 1且如 : lim

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婵武
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1 新东方在线考研 216 新东方在线考研数学高数基础课程配套讲义授课教师 : 张宇欢迎使用新东方在线电子教材目录 216 新东方在线考研数学高数基础课程配套讲义... 1 授课教师 : 张宇... 1 第一讲... 2 第二讲... 1 第三讲

2 第一讲 1. 难度偏大 217 平稳 2. 知识基础手法新颖 3. 计算量大 4. 覆盖面广例 1 若积分 d 收敛, 则 1 1 A 1且 1 B 1且 1 C 1且 1 D 1且如 : lim

3 1 1 2 再如 : lim si 2si... si 2 尺度牢记 p 1时收敛 d p p 1时发散 1 p 1时收敛 2 d 1 p p 1时发散 3

4 例 2 设 lim 2, 则当充分大时, 有 A 1 2 B 1 2 二 217 年全年复习规划 4

5 三考研数学复习四步曲 1. 读教材 lim 又可令 lim 上述两式等价注当时, 得 lim 当时, 得 lim 定理 : 存在, 称之为右导数 ;, 称之为左导数. 5

6 2. 读辅导针对性综合性 lim 狗狗狗 3. 做例题 1 cos h 例 1 设在处连续,, 且 lim h 2 h 存在存在, 能否推出, 6

7 k si k 例 2 设在处连续,, 且 lim k 2 k 在存在, 能否推出存 si 例 : lim 1, 求 3 [si sisi ]si 例 : lim 4 7

8 分析有界量无穷小 = 无穷小反例 : 为有界量, 但 lim 1 1, 即时, 极限不存在巩固所学 4. 做习题增长见识 8

9 习题 1 设在处连续, 若 lim 存在, 能否推出, 存在. 习题能否推出, 存在., 1,2,

10 第二讲考研数学三大命题类型 1 概念型 2 计算型 3 逻辑推理型一概念型问题 1. 数列极限的定义 lim, N, 当 N时, 注专指, 仅此一种趋向方式, 2. 函数极限定义 lim A,, 当时 A 注共有 6 种情形, 总结如下 : X, X 5 X 6 X 1. 注解加深 3. 研究概念 2. 例题. 习题 1. 注解 : 1

11 函数 6种极限的趋向是一种过程数列 1种 1 si si 注例求 lim 1 si th 若 lim A, 则在中处处有定义. 2 例习题例 1 一下三个命题, 正确的个数为. 1, 1 lim, 当时, 恒有 A e A ; 2,1, 正整数 N, 当 N时, 恒有 2 lim ; 正整数 N, 正整数 K, 当 2 时, 恒有 2 lim 2 K 2N 2 11

12 例 2 设 lim 2, 则当充分大时, 有成立. A 1 B 1 C 1 2 D 1 2 th 若 lim A, 则 lim A 存在若 lim, 则 lim 存在 12

13 习题 1 证明 : 若 lim A, 则 M,, 当时, 恒有 M. 局部有界性定理 :,, 当时, 恒有 A 习题 2 证明 : 若 lim A, 则, 当时, 恒有. 局部保号序性 :,, 当时, A 13

14 二 : 计算型问题以数列极限计算为例 2 例 1: 求 lim 1, 2 夹逼准则两边夹准则 : 典型放缩法 : U U U U Ui, 为有限数有 Um U1 U2... U Um 1 对于 U U U U 为有 Umi U1 U2... U Um 2 对于注 : 除此之外的特殊放缩方法, 考研命题会给与提示, 设置第一问 3 例 2: 求 lim 1 14

15 习题 lim c, c 例 3: lim

16 1 2 例 4: lim 例 5: lim cos 2cos... cos 2 16

17 1 2 3 例 6: lim 例 7: 综合大题给出数列 { }, 其通项表达式 1, 1,2, 证明 s 计算 lim 若数列 { 2 } 数列 { 2 1} 均收敛于 A, 证明 { } 也收敛于 A. 17

18 第三讲定理串讲逻辑推理型问题 1. 只涉及的定理有界性定理若在 [, ] 上连续, 则 k, 使 k. 最值定理若在 [, ] 上连续, 则 m M, 其中 mm, 分别为在 [, ] 上的最小最大值. 18

19 介值定理若在 [, ] 上连续, 则 m M, 则,, 使. 若在 [, ] 上连续,, 则可取到之间的任一函数值. 例 1 设在 [, ] 上连续, 则证明,, 使 d 积分中值定理 19

20 零点定理若在 [, ] 上连续, 注前 4 个定理只用不证, 则,, 使 2. 涉及 ' '',, 的定理费马定理若在处可导, 取极值 ' 2

21 罗尔定理若满足以下三条 :1[, ] 上连续, 可推出,, 使 ' 2, 可导 3 讲如何使用定理例 1 设在 [,1] 上连续,,1 内可导, 1, 证明,1 使 ' 21

22 例 2 设设在 [,1] 上连续,,1 内可导, 且证明,1, 使 1 ' 1 1 k 1 1, 1 k e d k 讲求导公逆用法 ' ' ' u v u v uv 有如下典型命题方式 : 取 u, v, 令 F F ' ' 故可证 ' 取 u, v e, ' ' ' 令 F e F e e e 可证 ' 取 u, v e, 22

23 ' ' ' 令 F e F e e e 可证 ' 取 u, v e, 令 ' 1 ' 1 ' F e F e e e 故可证 ' 取 u, v e, 令 F e F e e e ' ' ' [ ] ' ' 故可证 23

24 拉格朗日中值定理满足 : 在, 上连续, 在, 内可导, 则, 若注 ' ' 1 当时 2 几何上 : ' 3 证明此定理积分还原法 1 讲欲证结论中的改写为. 2 两边一起积分, 一般令 C=. 3 移项, 使等式一端为, 则另一端即可作为辅助函数. 24

25 25 柯西中值定理若, 满足在 ], [ 连续, 在, 上可导, 且 ', 则,, 使 ' '. 注 1 当时 1 ' 2 ' ' 这是错误的解法 3 正解积分还原法 1. : ' ' 2. 积分 : ' ' 3. 移项 : 令 F 验证 F F. ] [ F F 由罗尔定理,. ' F

26 泰勒定理. 带拉格朗日余项的公式, 设在的某区域内此邻域在有 1阶函数, 则, 内此区间均有 '' 2!! 1! ', 其中若 '' ' 2!! 1! 则麦克劳林公式. 带佩亚诺余项的公式若在处有阶可导, 则的一个邻域, 此邻域, 有 '' 2 ' o 2!! 当 '' 时 ' 2! 1 1 3! 3! si 1! 2 26

27 二. 使用定理 1. 求导公式逆用法见前 2. 积分还原法例 1 证拉氏例 2 证柯西在例 3 设,, 上二阶可导, '',. 证明 27

28 1,, 2,, 使 '' '' 注积分还原法., '' ''. 积分, '' '' '' d '' d d ' d ' d d d ' d ' d d 其中, u v' u ' v uv ' udv uv vdu c. ' ' 令 F ' ' 28

29 F F, '', 由罗尔定理 ' ' '' ' ' '' 3. 欲证一般有三种思路 : 1 证为 1 的极值点且可导用费马定理 F ', 即 2 对 1 用罗尔定理 3 用泰勒公式例 1 设 ' 在证 :,, 使 ''., 上可导, 且 '' '', 分析 : 1 1 lim 极限保号性 : lim A, 中 29

30 故端点不是 ' 在 [, ] 上的最大值, 又由于 ' 在 [, ] 上连续, 则 ' 必有最大值, 故 ' 的最大值点,, 此最大值必为极大值, 由费马 ' ', 即 ''. 例 2 设在 [, ] 上连续,, 内二阶可导, 又连接 A,, B, 的直线交曲线 y 于 C c, c, c, 证,, 使 ''. 3

31 例 3 若 F 3 新东方在线 [ ] 考研数学网络课堂电子教材系列在,1 证,1, 使 F '''. 上三阶可导, 且 1, 又, 4. 关于拉格朗日使用的思路 1 将复杂化, 证等式例设在, 上连续,, 内可导, 证,, 使 '. 31

32 2 高阶不等式条件低阶不等式例设 '',, 证, 1, 对在, ] 用拉氏 ' [ 对在 [ 2, 1 2] 用拉氏 ' 2 1 '' ',, 故又 1 2 即低阶不等条件高阶不等式 32

33 例设在 [, ] 上二阶可导, c, c, 证,, 使 ''. 4 具体化, 具体不等式例设, 证 l. 33

34 5. 关于柯西使用的思路 ' ' 例设在 [, ] 上连续,, 内可导, ', 证,,, 使 ' e e ' e. 各位同学好, 讲义是老师全程手敲的, 如有问题, 包括学习的过程中遇到的问题,@ 考研数学答疑 - 于老师私信我, 预祝各位复习顺利 34

35 35

<4D F736F F D20B5DAB6FEBDB22020B5DAB6FEB2BFB7D6CCE2D0CDBDE2B4F02E646F63>

<4D F736F F D20B5DAB6FEBDB22020B5DAB6FEB2BFB7D6CCE2D0CDBDE2B4F02E646F63> 中值定理题型题型一 : 中值定理中关于 θ 的问题例题设 rt C[ ] θ 求 limθ 解答由 θ 得 rt rt θ 解得 θ rt rt rt lim θ lim lim lim rt 于是 lim θ 例题设二阶连续可导且又 h θh h < θ < 证明 : lim θ h 解答由泰勒公式得 h h h! 其中位于与 h 之间于是 θh h h h! 或 θh θh

第一讲 1. 难度偏大 217 平稳 2. 知识基础 手法新颖 3. 计算量大 4. 覆盖面广 例 1 若积分 d 收敛, 则 1 1 A 1且 1 B 1且 1 C 1且 1 D 1且 如 : lim

第一讲 1. 难度偏大 217 平稳 2. 知识基础手法新颖 3. 计算量大 4. 覆盖面广例 1 若积分 d 收敛, 则 1 1 A 1且 1 B 1且 1 C 1且 1 D 1且如 : lim