第三章 微分中值定理与导数应用
|
|
|
- 宰 郎
- 7 years ago
- Views:
Transcription
1 数学分析考研辅导讲义第三章 第三章 微分中值定理与导数应用 本章主要介绍微分中值定理 泰勒公式及导数的应用. 通过本章的学习 读者应 掌握利用辅助函数的方法证明一些命题. 微分中值定理与泰勒公式 一 内容概要 ( 一 ) 微分中值定理 表 3. 微分中值定理 名称定理几何意义若 满足 :(Ⅰ) 在 某邻域内曲线 y ( ) 在 处费马 定理 或 ; 有水平的切线. 罗尔定理 拉格朗日定理 推论 推论 (Ⅱ) 若函数 存在 则 满足 : 在闭区间. ) a b 上连续 ; ) 在开区间 3 ) a b 则一定存在 a b 使得 若函数 满足 : ) 在闭区间 a b 上连续 ; a b 内可导 ;. ) 在开区间 a b 内可导 则一定存在 a b 使得 b a b a. 若函数 在区间 I 上的导数恒为 则在 I 上 若函数 为常数. 和 若曲线段 a a b b a b 中有点 的切线也是 的弦是水平的 则在 使得过 水平的. 曲线段上总存在一点 使得过该点的切线与连接 b b 的直线相 a a 互平行. 曲线是平行于 轴的直线 y g 在区间 I 上导数恒曲线 和 c. g 形状相同仅函
2 数学分析考研辅导讲义第三章 柯西中值定理 相等 则 g c ( 其中 c 为常 数 ). 若函数 g 满足 : ) 在闭区间 a b 上连续 ; ) 在开区间 a b 内可导 ; 3 ) g a g b ; 4 ) g 则一定存在 a b b a 使得. g b g a g 数值相差同一常数 c. 同上拉格朗日定理 只是曲线 y y z 看成参数形式 给出. z y g a b ( 二 ) 泰勒公式 泰勒中值定理 : 设函数 在点 的某邻域内具有 n 阶导数 则对该邻域 内异于 的任意点 在 与 之间至少 一个 使得! n 其中 Rn n! 则 n 阶泰勒公式 n n R n (3..) n! n 称为 在 处的 n 阶泰勒余项 令 n n Rn (3..)! n! n 其中 Rn n! n 常用的五种函数在 处的泰勒公式 : n n () e e! n! n! 在 与 之间.(3..) 式称为麦克劳林公式. ;! n! n n 或
3 数学分析考研辅导讲义第三章 n () sin sin n 3! n! n! 或 n n n n 3 n n ; 3! n! n (3) cos cos n! n! n! 或 n n n n n n!! ; n n 3 (4) ln (5) n n n 3 n n ; 3 n 3 n n n 或 m m m m m n! n! n m n m n! m m m n n mn 或 m m m m m n n n m.! n! ( 三 ) 几点说明 () 从定理的证明过程 我们知道 : 费马定理 罗尔定理 拉格朗日定理 柯西中值定理 必须弄清三个中值定理的条件与结论 三个定理的结论都指出了 某一点 的存在性 并没有指出 在区间中的确切位置. 必须搞清罗尔定理与拉格朗日中值定理的直观几何意义. 罗尔定理
4 数学分析考研辅导讲义第三章 告诉我们 若三个条件均满足 则在 a b 内至少存在一点 使得过 点的切线平行于 轴 如图 3.. 而拉格朗日中值定理告诉我们 若二个条件均满足 则在 a b 内至 少存在一点 使过 点的切线平行于连接该曲线两端点的直线 AB 如图 3.. 要搞清三个中值定理的关系 : 罗尔定理是拉格朗日中值定理当 b 时的特例 拉格朗日中值定理是柯西定理当 g a 时的特 例. 反之 拉格朗日中值定理是罗尔定理的推广 柯西定理是拉格朗日中值定理的推广. A B b a A b a B b a 图 3. 图 3. () 有关微分中值定理的证明技巧 如何运用中值定理应用中值定理是本书的一个难点 但它还是有一定的规律可以遵循. 下面我们简单的提一下原则 具体的例子可参考下面的小节. 拉格朗日定理建立了一阶导数与函数值之间的一座桥梁 而泰勒中值定理在高阶导数与函数值之间架起了一条通道. 因此 命题中若只知道一阶导数的有关信息 很自然地我们应该联想到拉格朗日中值定理 而若告知二阶以上导数的信息 应联想到泰勒中值定理. 具体地应用这些定理 则要通过辅助函数来完成. 辅助函数的作法可按以下几个步骤来完成 : 第一步将欲证结论中的 换成 ; 第二步 通过恒等变形将结论化为易消除导数符号的形式 ( 或称之为易积分形
5 数学分析考研辅导讲义第三章 式 ); 第三步用观察法或积分法求出原函数 ( 或不含导数符号的式子 ) 为简便积分 常数取作零 ; 第四步移项 使等式一边为 则另一边即为所求的辅助函数. 下面通过具体的例子来说明这种方法的应用. 例 3.. 设 在 上连续 在 内可导 且. 试证至少存在一点 使 分析欲证 即证方程 在 F 观察可知 ( 或两边积分 ) F. 证 : 令 F 易知 F 在 内有根 为此令 上连续 在 F F 故由零点定理知 存在 F. 使得 由 F F 在 使 F 即. 内可导 又 上利用罗尔定理知 存在 二 典型题解答 例 3.. ( 华中师范大学 996 年考研试题 ) 设内可导 b a 证明必有 a b 使得 b b 证明 : 令 g a a b a h 在. a b 上连续 在 a b 由题设及柯西定理知存在 a b 使
6 数学分析考研辅导讲义第三章 得 即 b b g b g a g h b h a h a a b a. 例 3..3 ( 武汉大学 年考研试题 ) 设 在 区间上的拉格朗日中 值公式为且 是与 其中 及 有关的量 对 arctan 求当 时 的极限值. 解 : 故 arctan arctan 得 即 arctan arctan 故 arctan arctan arctan lim lim lim 3 lim lim 故 3 lim. 3 例 3..4 设 在 上连续 在 内可导 且 证明在 内至少存在一点 使得. 分析即证方程 有根 对表达式 将其变成易于积分的形式 :. 变形
7 数学分析考研辅导讲义第三章 对因子 因 ln 积分 得 G d ln ln 未必有意义 但考虑到 故取 此时辅助函数 F ln G G G e e G G ln F e e. 是有定义的. 证 : 作辅助函数 F 易知. 即 故存在 使 F 也即 从而 例 3..5 设 ( ) 在 a b 使. F 在 上满足罗尔定理的条件. a b 上可导 且 a b 分析该性质称为 导函数的零点定理 并不要求 续函数类似的性质 这是导函数 优秀的品质. 因为 知道 故用费马定理. 证明 : 必存在一点 a 证 : 因 a b 不妨设 a b 保号性可推得 存在 使得 a a b b 且 连续. 但却有着和连 b 的取值我们不 利用导数的定义及 当 a a 时 a ; 当 b b 时 b 因 ( ) 在 a b 上连续 必存在最大值. 由上述分析知 a ( ) 在 a b 上的最大值 故最大值点 只能在 a b 内部 因而有. b 都不可能是
8 数学分析考研辅导讲义第三章 使 [ 注 ] 此性质可以推广到更一般的形式 : 若 ( ) 在 c. a b 上可导 且 a c b c 则必存在 a b 该性质称为导函数的介值定理. 例 3..6 设 ( ) 在 内可微 且 lim ( ) lim ( ) A 证 明至少存在一点 使得 分析即证函数. 有零点. 该表达式容易积分 积分得 [ ] d 故辅助函数应设为 用罗尔定理显然还缺乏条件 故考虑用费马定理. 证 : 令 ( 常数 ) 则 问题等价于 有根. 但对 若对任意的. 此时命题显然成立. 成立 下设存在 使得 A 不妨假定 A. 因为 lim ( ) lim A ( ) lim ( ) lim A ( ) 故依极限的性质 ( 保号性 ) 可知 存在 因为 a b a b 使得 a b. 在 a b 上连续 故必存在最大值 M. 设 M 故必 a 且 b a b 因为 A. 故 a b. 所以 是极大值点 由费马定理可知
9 数学分析考研辅导讲义第三章 即. 证毕. 例 3..7 设 在 上连续 在 () 内可导 且满足 证明至少存在一点 () k k e d k. 使得 ( ) 分析条件中告知的是有关积分的一些 信息 : k k e d 而需要证明的是等式 ( ) 它是关于导数值及函数值的 信息. 在这种情况下 不管三七二十一 对积分用积分中值定理处理一下. 由积分中值定理知 存在 k 使得 k k e d e 故 e. 受此表达式的启发 很容易想到作辅助函数 e 可在 上对 用罗尔定理. 另外 辅助函数 也可采用下面的分析方法得出. 易知 欲证等式 即证函数 该函数变形得 有零点 对
10 数学分析考研辅导讲义第三章 对 积分得 再取指数 : d ln ln C C ln C ln C ln e C ln e C e e C 考虑到该函数的特殊性 取 C e 因此作辅助函数 e. 证 : 设 e 易知 在 由罗尔定理知 存在 使 整理得 ( ) 上连续 在 () 内可导 e e e. 证毕. 例 3..8 设 y 在 内具有二阶连续导数 且 () () lim. 证 :() 存在唯一的 ; 使 证明 : 由拉格朗日中值定理可知 存在 介于 与 之 间 使得 易知 再证上式中 其中 易知 即. 的唯一性. 假若不然 存在 使得
11 数学分析考研辅导讲义第三章 因此 其中 介于 一性得证. 与 之间. 因 故必 () 由泰勒公式知 存在 介于 与 之间 使得 又由 () 推得 再由拉格朗日中值定理得 存在 介于 与 之间 使得 结合上式得 上式中 令 则有 由 lim 的连续性得. 唯 因 故 lim 3..9 设 ( ) 在. 上有二阶导数 且满足 a b a b 为非负常数 证明 : 对于任何的 有 证 : 由泰勒公式 其中 介于 与 之间. 令 t 得 b ' a. t t t
12 数学分析考研辅导讲义第三章 再令 t 得 介于 与 之间 ; 两式相减 得 介于 与 之间. 故 b b a a ( 这是因为函数 在 上的最大值是 ) 即 b ' a. 练习题 设 g 在 a b 上连续 在 至少存在一点 a b 使得 g a b 内可导 且. a b ( 华中师范大学 3 年考研试题 993 年数学 ( 四 ) 考研试题 ) 假使函数 在 上连续 在 内二阶可导 过点 B 的直线与曲线 y 相交于点 c 内至少存在一点 使得. A 与 证明 C c c 其中 证明在 3 ( 华中师范大学 年 东北师范大学 复旦大学 南京大学考研试题 ) 设 在 上二次可微 且 证明 4 设 在 a b 上有二阶导数 且.
13 数学分析考研辅导讲义第三章 b a b a. 证明存在 a b 使得 5 设 ( ) 在 明 :() 存在 上连续 在 内可导 且 使得 ; 证 () 对任意的数 必存在 使得 6 ( 华中师大 年 吉林大学考研试题 ) 设 在 在 a b 内可导 其中. a b 上连续 a b. a 证明存在 a b 使得 7 设 ( ) 在 a b 上连续 在 a b 内可导 且 若极限 lim a a a 存在 证明 : () 在 a b 内 ; () 在 a b 内存在点 使得 b a b d a (3) 在 a b 内存在与 () 中 相异的 ; b b a d a. a 8 设 在 证明在 9 设 ( ) 在 使 上具有三阶连续的导数 且. 内至少存在一点 使 3 a b 上具有二阶导数 且 a b 证明 : 存在 a b 4 b a. b a
14 数学分析考研辅导讲义第三章 导数的应用 一 内容概要 导数的应用归纳起来可以归结为四个字 : 三点一线. 即 : 极值点 拐点 最 值点 ; 渐近线. 极值点 : 是极值点的充分条件是一阶导数在 左 右两边异号 ; 拐点 : 是曲线 y 两边异号 ; 最值点在极值点与区间的端点中寻求. 下面我们将一些主要的结果叙述如下 :. 函数的增减性 () 函数单调性的判定定理 设函数 如果在 如果在 如果在 在 的拐点的充分条件是二阶导数在 左 右 a b 上连续 在 a b 内可导 则 a b 内 则 在 a b 内 则 在 a b 内 则 在 () 单调区间的确定 求函数 Ⅰ 求出 的单调区间的步骤 : 的定义域 并求 ; Ⅱ 在定义域范围内求出使 和 的点称为驻点 ); 确定 a b 上单调增加 ; a b 上单调减少 ; a b 上为常数. 不存在的点的全体 ( 使 Ⅲ 将求得的驻点作为分界点把定义域分成若干个小区间 并在每个小区间上 的符号 同时确定函数 在每个小区间上的增减性.. 函数的极值 () 函数极值的定义
15 数学分析考研辅导讲义第三章 设函数 在点 的某邻域内有定义 如果对该邻域内任意一点 恒有不 等式 成立 则称 在点 处取得极大值 ; 如果对该邻域 内任意一点 恒有不等式 成立 则称 在点 处取得极小值. 函数的极大值和极小值统称为函数的极值 使函数取得极值的点称为函数的极值点. 函数的极值概念是一个局部性的概念 它只是对 的某一小邻域而言的 如图 3.4 中 3 4 都是极值点 其中极大值 比极小值 还要小. 4 图 3.4 () 极值存在的必要条件 若 不存在 : 在点 处可导 且在 处取得极值 则 (3) 极值存在的充分条件 第一充分条件 : 设函数 若当 时 一个极大值 是极大值点 ; 若当 时 一个极小值 是极小值点 ; 若在 的两侧 第二充分条件 : 设函数 :.( 费马定理 ) 在点 的某邻域内可导 且 或 而当 而当 的符号相同 则 若 则 是 若 则 是 时 则 是 的 时 则 是 不是极值. 在点 处具有二阶导数 且 的一个极大值 ; 的一个极小值 ; 的
16 数学分析考研辅导讲义第三章 若 不能判定 (4) 函数极值的求法 求函数 的极值的步骤 : 方法一 ( 用第一充分条件判别 ) 是否为极值. Ⅰ 求出 的定义域 并求 ; Ⅱ 在定义域内求出驻点和导数不存在的点的全体 ( 这些点为极值可能点 ); Ⅲ 考察 在求出的极值可能点处的左 右邻域内的符号 判断这些点是 否为极值点 ; Ⅳ 求出极值点处的函数值. 方法二 ( 用第二充分条件判别 ) Ⅰ 求出 的定义域 并求 和 ; Ⅱ 求出驻点 i ; Ⅲ 考察 在各驻点的符号 若 i 则 i 为极大值点 若 i 则 i 为极小值点 若 i Ⅳ 求出各极值点处的函数值. 则无法确定 再用方法一判定 ; 3. 函数的最大值与最小值 () 最大值与最小值的概念函数在所考察的区间上全部函数值中的最大 ( 小 ) 者叫最大 ( 小 ) 值. 函数的最大值与最小值是对被考察的整个区间而言的 因此它是一个整体性的概念 而极值是局部性的概念 这两者是有区别的. 闭区间上的连续函数必有最大值和最小值. () 求函数的最值 求函数 在 a b 上的最大值和最小值的步骤为 : Ⅰ 在 a b 内求出所有的驻点和使导数不存在的点 ; Ⅱ 计算上述各点及两个端点处的函数值 ; Ⅲ 比较上述所有函数值 其中最大者即为最大值 最小者即为最小值.
17 数学分析考研辅导讲义第三章 如果函数 在区间 ( 大 ) 值 b 为函数的最大 ( 小 ) 值. a b 上单调增加 ( 减少 ) 那么 a 为函数的最小 如果函数在区间内部只有一个极大值 而没有极小值 那么这唯一的极大 值就是函数所在的整个区间上的最大值 ; 如果函数在区间内部只有一个极小值 而没有极大值 那么这个极小值就 是函数所在的整个区间上的最小值 ; 对于实际问题 如果根据问题的性质可以判定函数在某区间内有最大 ( 或 最小 ) 值存在 并且函数在该区间内又只有一个驻点 那么此驻点处的函数值一定 是最大 ( 或最小 ) 值. 4. 曲线的凹凸性与拐点 () 曲线的凹向与拐点的概念 设函数 在 切线的上 ( 或下 ) 方 则称曲线 下凹的分界点称为曲线的拐点. () 曲线凹向的判别法 如果函数 y 在 a b 内可导 如果在 a b 内曲线 y 在 y 都位于其每一点 a b 内上凹 ( 或下凹 ). 曲线上凹与 在 a b 内二阶可导 且 ( 或 a b 内上凹 ( 或下凹 ). (3) 曲线凹向区间和拐点的求解 求曲线 Ⅰ 求出函数 y 的凹向区间和拐点的步骤为 : 的定义域 并求出 和 Ⅱ 在定义域内求出所有使 的点和 ; 不存在的点 ; ) 则曲线 Ⅲ 用上面求得的驻点作为分界点 把定义域分成若干个小区间 并在每个小区 间上确定 的符号 判断曲线在各小区间上的凹向 若在分界点的两侧 的符号相异 则该分界点是拐点 若 的符号相同 则该分界点不是拐点. 5. 函数作图
18 数学分析考研辅导讲义第三章 () 曲线 y 的渐近线若 lim ( 或 lim A y 的水平渐近线. A 或 lim A ) 则直线 y A 是曲线 若 lim ( 或 lim 或 lim ) 则直线 是 曲线 y 的垂直渐近线. 设 a lim lim b a 则 y a b y 的斜渐近线. 这里的 可以是 也可以是. () 函数作图 作函数 y 的图形一般步骤为 : Ⅰ 确定函数的定义域 ; a 为曲线 Ⅱ 讨论函数的对称性 ( 奇函数关于原点对称 偶函数关于 y 轴对称 ) 和周期性 ; Ⅲ 讨论函数的单调性 极值 凹向和拐点 ( 常用列表法 ); Ⅳ 讨论曲线的渐近线 ; Ⅴ 标出极值点 拐点坐标 补充必要的坐标点 ( 如曲线与坐标轴的交点 ) 再 综合上面讨论的情况作出函数的图形. 6. 曲率 () 弧微分公式 若曲线方程为 y 若曲线方程为 y () 曲率公式 * 若曲线方程为 y dy 则 ds d ; d t 则 t ds t t dt. 则曲率 k y 3 y ;
19 数学分析考研辅导讲义第三章 若曲线方程为 y t t 则曲率 k t t t t 3 t t. 故 (3) 曲率半径 * 曲率半径 R. k 二 典型题解答 先看一些不等式的证明 例 3.. ( 东北工业大学考研试题 ) 已知 证明 : 令 ln 在 内严格单调增. 又. 证明 ln 故 ln. 令 g ln 故 g 在 内严格单调增. 又. 综上可知 ln 即 g g 故 g g ln. 即 a ln b ln a 例 3.. 设 a b 证明不等式. a b b a ab 分析由不等式中间一项可想到拉格朗日中值定理. ln b ln a b a ( a b )
20 数学分析考研辅导讲义第三章 所以 b a 欲证原不等式成立只须分别证明 a 和 b a b a ab. 前一不等式稍加变形就 是 a b ab 当然已证得 但是后一不等式等价为 a b 这是不成立的. 故原不等式中右边的不等式的证明不能用上述思路. 将 b 转写成 化成函数不等式来证. 证明 : 由拉格朗日中值定理知 至少存在 a b ln b ln a 使. b a 由 得 b ln b ln a. b a b 又由 a b ab 得 a. b a b 所以有 ln b ln a b a b a a b. 下面再证原不等式中右边的不等式. a a ( a ) 由于 a 设 ln ln a a 3 3 a a 所以 是单减函数 ( a 有 b. 即 ). 而 a 所以当 a b a ln b ln a ab 时. 于是 即 ln b ln a. b a ab 至此 不等式证毕.
21 数学分析考研辅导讲义第三章 例 3..3 设. 证明 : 对任何 有. 分析 显然是与 欲证的不等式可变形为 的 差值 有关 而拉格朗日中值定理正是建立了函数的差值与导 数之间的关系 故可用拉格朗日定理试证. 另外 经观察可将欲证不等式变形为 可设辅助函数 处理.. 设 来试证. 因此 可用以上分析的两种思路来 证法一 : 其中 因而有 即证得. 证法二 : 设辅助函数 由于 所以 即知 单减 所以当. 单减 因而对于 有. 时 有. 即 即证得 例 3..4 求数列 n n 的最大项..
22 数学分析考研辅导讲义第三章 解 : 令 则 易知 ln ln e 是 的最大值点 且当 e 时 单调减. 因此 n 3 3 n 故数列 n n 的最大项是 3 3. 即 3 3 n n 单调增 当 e 时 3. 又 3 的最大项是 3 3 下面我们再来看一些有关极值 最值及方程根的习题. 例 3..5 设 的导数在 a 处连续 又 lim 则有 ( ). a a A. a 是 的极小值点 ; B. a 是 的极大值点 ; C. a a 是曲线 y 的拐点 ; D. a 不是 的极值点 a a 也不是曲线 y 分析 由 lim a a 号性 ). 于是当 a 时 y 单减. 故由极值的定义知 在 知存在 y 的拐点. U a 使当 U a 时 单增 ; 当 a a 时 a 处 取得极大值. 故 B 选项正确. ( 保 答 : 本题正确答案为 B. 例 3..6 设 在 内连续 其导函数的图形如图 3.5 所示 则 有 ( ). A. 一个极小值点 两个极大值点 ; B. 两个极小值点 一个极大值点 ; C. 两个极小值点 两个极大值点 ; D. 三个极小值点 一个极大值点. 分析由图 3.5 可知 的左侧 y 右侧 y 所以 是 的极大值 点. 同理可知 3 是 的极小值点. 至此 很易错误地得出 B 正确 的选择
23 数学分析考研辅导讲义第三章 但是 这是不对的! 注意到 故 选项应是 C. 右侧 处函数是连续的 它的左侧 也是 的一个极大值点 显然 不存在. 所以 正确定 图 3.5 易知 答 : 本题正确答案为 C. 例 3..7 讨论方程 ln 根的个数. e e e 解 : 令 ln 则. 令 时 故 在 当 e 当 e 时 e 内单调增 ; 所以 在 得 e 内单调减. e ; 又因为 lim lim ln e 因为 lim lim ln e 在 内连续 注意到 lim ln lim e e 在 e 内 存在唯一的零点.
24 数学分析考研辅导讲义第三章 e 单调增 同样 由于 e lim 在 e 内单调减 在 e 内 有唯一的零点. 综上可知 方程 ln e 在 e 及 e 内各有一个根. 练习题 ( 兰州大学 华中理工大学 四川大学考研试题 ) 设 a b 证明 b a b b a ln. b a a (999 年数学 ( 一 ) 考研试题 ) 试证 : 当 时 3 ( 复旦大学 999 年考研试题 ) 比较 4 设函数 ( ) ln. e 与 e 的大小 并说明理由. 满足关系式 且 A. 是 的极小值 ; B. 是 的极大值 ; C. 点 是曲线 y 的拐点 ; D. 不是 的极值 点 也不是曲线 y a 5 设 lim a a A. 可导且 a 则在 a 处 ( ). ; B. 不可导 ; 则 ( ). 的拐点.
25 数学分析考研辅导讲义第三章 C. 取得极小值 ; D. 取得极大值. 6 设 ( ) 在定义域内可导 y 的图形为 ( ). 的图形如图 3.6 所示 则导函数 y 图 3.6 A. B. C. D. 7 ( 清华大学 年考研试题 ) 作函数 e 的图形.
<4D F736F F D20B5DAB6FEBDB22020B5DAB6FEB2BFB7D6CCE2D0CDBDE2B4F02E646F63>
中值定理题型 题型一 : 中值定理中关于 θ 的问题 例题 设 rt C[ ] θ 求 limθ 解答 由 θ 得 rt rt θ 解得 θ rt rt rt lim θ lim lim lim rt 于是 lim θ 例题 设 二阶连续可导 且 又 h θh h < θ < 证明 : lim θ h 解答 由泰勒公式得 h h h! 其中 位于 与 h 之间 于是 θh h h h! 或 θh θh
三 判断题 ; ; ; ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; ; ; ; ; ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; ; ; ; ; ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; ;. 四 计算题 : 解 : 函数的定义域 (-,+) y ( )( ) ( y ) 令 y 得 =, = -
微分中值定理与导数的应用答案 一 选择题 :.B;.C;.B;.D; 5.C; 6.A; 7.C; 8.B; 9.B;.C;.C;.D;.C;.D; 5.C; 6.B; 7.D; 8.D; 9.B;.D;.D;.C; 5.B; 6.C; 9.C;.B;.C;.B;.D; 6.D; 7.D; 8.B; 9.B;.C;.D;.B; 7.B; 8.D;.C; 5.C;.B;.C. 二 填空题 ; (, )
A. 存在,, 有 b a b ab a B. 存在,, 有 a b a b ab a C. 存在 a,b, 有 a b a b D. 存在 a,b, 有 b a a b a, 则方程 a b c 9. 若 b ( ) A. 无实根 B. 有唯一的实根 C. 有三个实根 D. 有重实根 sin. 求
微分中值定理与导数的应用练习题 一 选择题 :. 在下列四个函数中, 在, 上满足罗尔定理条件的函数是 ( ) A. y 8 B. y 4 C. y D. y sin 满足拉格朗日中值定理条件的区间是 ( ) A., B., C., D.,. 函数 在, 5. 方程 5 内根的个数是 ( ) A. 没有实根 B. 有且仅有一个实根 C. 有两个相异的实根 D. 有五个实根 4. 若对任意 a, b,
8. e f ( e ) d = f ( t) dt, 则 ( ) b A) =, b = B) =, b = e C) =, b = D) =, b = e 9. ( sin ) d = ( ) A) B) C) D). ln( + + ) d = ( ) A) B) C) D). 若 f ( )
高等数学 试题 考试日期 :4 年 7 月 4 日星期三考试时间 : 分钟 一. 选择题. 当 时, y = ln( + ) 与下列那个函数不是等价的 ( ) A) y = B) y = sin C) y = cos D) y = e. 函数 f() 在点 极限存在是函数在该点连续的 ( ) A) 必要条件 B) 充分条件 C) 充要条件 D) 无关条件. 下列各组函数中, f () 和 () f
一 罗尔定理与拉格朗日定理 定理 6.( 罗尔中值定理 ) 设函数 f ( ) 在区间 [ a, b] 上满足 : (i) 在闭区间 [a, b] 上连续 ; (ii) 在开区间 (a, b) 上可导 ; (iii) f(a) = f(b). 那么在开区间 (a, b) 内必定 ( 至少 ) 存在一
![一 罗尔定理与拉格朗日定理 定理 6.( 罗尔中值定理 ) 设函数 f ( ) 在区间 [ a, b] 上满足 : (i) 在闭区间 [a, b] 上连续 ; (ii) 在开区间 (a, b) 上可导 ; (iii) f(a) = f(b). 那么在开区间 (a, b) 内必定 ( 至少 ) 存在一](/thumbs/49/25862895.jpg "一 罗尔定理与拉格朗日定理 定理 6.( 罗尔中值定理 ) 设函数 f ( ) 在区间 [ a, b] 上满足 : (i) 在闭区间 [a, b] 上连续 ; (ii) 在开区间 (a, b) 上可导 ; (iii) f(a) = f(b). 那么在开区间 (a, b) 内必定 ( 至少 ) 存在一")
拉格朗日定理和函数的单调性 中值定理是联系 中值定理, 就可以根据 质来得到 f 在该区间上的整体性质. f 一 罗尔定理与拉格朗日定理 二 函数单调性的判别 f 与 f 的桥梁. 有了 在区间上的性 返回 一 罗尔定理与拉格朗日定理 定理 6.( 罗尔中值定理 ) 设函数 f ( ) 在区间 [ a, b] 上满足 : (i) 在闭区间 [a, b] 上连续 ; (ii) 在开区间 (a, b)
高等数学A
高等数学 A March 3, 2019 () 高等数学 A March 3, 2019 1 / 55 目录 1 函数 三要素 图像 2 导数 导数的定义 基本导数表 求导公式 Taylor 展开 3 积分 Newton-Leibniz 公式 () 高等数学 A March 3, 2019 2 / 55 函数 y = f(x) 函数三要素 1 定义域 2 值域 3 对应关系 () 高等数学 A March
PowerPoint Presentation
一 主要内容 Cuchy 中值定理 F 洛必达法则 型 g g g 型 型 令 y 取对数 g g 型 g 型 Lgrnge 中值定理 n Tylor 中值定理 Rolle 定理 常用的泰勒公式 导数的应用单调性 极值与最值 凹凸性 拐点 函数图形的描绘 ; 曲率 ; 求根方法. 7 年 8 月南京航空航天大学理学院数学系马儒宁 罗尔中值定理 罗尔 Rolle 定理如果函数 在闭区间 [ ] 上连续
《高等数学》CAI课件
第三部分 中值定理和导数的应用 第三部分中值定理和导数的应用 一重点和难点 : 理解和掌握四个重要的微分中值定理 : 罗尔定理 拉格朗日定理 柯西定理及泰勒定理 的内容 ; 中值定理的条件是定理成立的什么条件? 中值定理中的 唯一吗? 用洛必达法则求未定式极限应注意什么? 3 会判别函数单调性 凹凸性 能利用函数的单调性做证明题 4 熟练掌握求函数极值 确定极大还是极小 和最值的方法 5 求给定函数的竖直渐近线及斜渐近线
PowerPoint Presentation
西华大学应用数学系朱雯 一 主要内容 Cuch 中值定理 F 洛必达法则 型 g g g 型 型 令 取对数 g g 型 g 型 Lgrnge 中值定理 n Tlor 中值定理 b Rolle 定理 常用的泰勒公式 导数的应用单调性 极值与最值 凹凸性 拐点 函数图形的描绘 ; 曲率 ; 求根方法. 罗尔中值定理 罗尔 Rolle 定理如果函数 在闭区间 [ b] 上连续 在开区间 b 内可导 且在区间端点的函数值相等
5 注意如果定理的三个条件有一个不满足, 则定理的结论就不一定成立. 经济数学 ( 第三版 ).. 拉格朗日中值定理 设函数 f ( ) 满足条件 : () 在闭区间 [ a, b ] 上连续 ; () 在开区间 ( a, b ) 内可导, 则在 ( a, b ) 内至少存在一点 ξ, 使得 f (
![5 注意如果定理的三个条件有一个不满足, 则定理的结论就不一定成立. 经济数学 ( 第三版 ).. 拉格朗日中值定理 设函数 f ( ) 满足条件 : () 在闭区间 [ a, b ] 上连续 ; () 在开区间 ( a, b ) 内可导, 则在 ( a, b ) 内至少存在一点 ξ, 使得 f (](/thumbs/91/105953583.jpg "5 注意如果定理的三个条件有一个不满足, 则定理的结论就不一定成立. 经济数学 ( 第三版 ).. 拉格朗日中值定理 设函数 f ( ) 满足条件 : () 在闭区间 [ a, b ] 上连续 ; () 在开区间 ( a, b ) 内可导, 则在 ( a, b ) 内至少存在一点 ξ, 使得 f (")
第 章中值定理与导数的应用 本章学习目标 了解中值定理的条件和结论, 特别是拉格朗日中值定理 理解洛必达法则及其应用条件, 会用洛必达法则求相应的极限 了解函数与曲线的对应关系, 掌握函数的增减区间与极值的求法 掌握曲线的凹凸区间与拐点的判别方法 会求曲线的渐近线, 知道描绘函数图形的基本步骤 知道导数在经济中的一些简单应用. 中值定理.. 罗尔定理 设函数 f ( ) 满足条件 : () 在闭区间
高等数学（上）（ 学年）
7 高等数学上册半期复习题参考解答 一 选择题. A. C. C 4. D 5. B 二 填空题 6. si cos 7. 8. 8 ( 4 ) d 9.. 三 计算题. 解 ( )( 4 )( ) ( )( 4 si cos(si ). 解法 si 6 si ( ) )( ) 6. ( ] 4 法 cos(si ) si(si ) 6 cos. 其他方法略. 6 si(si si ) si 6 d.
参考文献：
9 年 ( 第十一届 ) 全国大学生数学竞赛 ( 非数学类 ) 预赛模拟试题 一 填空题 ( 每小题 6 分, 共 3 分 ) 考生注意 : 考试时间 5 分钟试卷总分 分. 已知 f ( ) 在 8的邻域内有连续导数, 且 lim f ( ), lim f '( ) 673, 8 8 则极限 lim 8 8 8 t f ( u)du dt t 3 (8 ) 9 f. 设函数 f (, y ) 可微,
没有幻灯片标题
第四章中值定理与导数的应用习题课 主要内容典型例题 一 主要内容 Cuchy 中值定理 F 洛必达法则 型 g g g 型 型 令 y 取对数 g g 型 g 型 Lgrnge 中值定理 n Tylor 中值定理 b Rolle 定理 常用的泰勒公式 导数的应用单调性 极值与最值 凹凸性 拐点 函数图形的描绘 ; 最值的经济应用 . 罗尔中值定理 罗尔 Rolle 定理如果函数 在闭区间 [ b]
第三章
第三章 微分中值定理与导数的应用 一 内容提要 罗尔定理 拉格朗日中值定理及柯西中值定理是本章的重要定理 是以后用导数研究函数形态的基础 洛必达法则是求极限未定式的极为重要的手段 在灵活运用的基础上 比第一章所学的方法更具规范化 泰勒公式可理解成函数用多项式近似表示 余项便是误差 4 函数单调性 凹凸性是导数的某种具体应用 由单调性产生出求极值 最大与最小值的方法 加上凹凸性等可大概将函数描绘出来
f ( d ) = f( d ) f ( d ) = [ f( ) f( ) ] d B: 函数 Φ ( ) 在 (, + ) 上无极值点 (5) 若函数 f ( ) 在闭区间 [, ] 上都连续., 则下列说法不正确的是 ( ) A: f () 是 的函数 B: f () 是 的函数 f () 是
![f ( d ) = f( d ) f ( d ) = [ f( ) f( ) ] d B: 函数 Φ ( ) 在 (, + ) 上无极值点 (5) 若函数 f ( ) 在闭区间 [, ] 上都连续., 则下列说法不正确的是 ( ) A: f () 是 的函数 B: f () 是 的函数 f () 是](/thumbs/93/111302294.jpg "f ( d ) = f( d ) f ( d ) = [ f( ) f( ) ] d B: 函数 Φ ( ) 在 (, + ) 上无极值点 (5) 若函数 f ( ) 在闭区间 [, ] 上都连续., 则下列说法不正确的是 ( ) A: f () 是 的函数 B: f () 是 的函数 f () 是")
高等数学 第五章 - 定积分 练习题 (A) 一 判断正误题 :( 判断下列各题是否正确, 正确的划, 错误的划 ) n () + + + d n + = n n n () f ( d ) = f( udu ) () 若函数 f ( ) 在区间 (, + ) 上连续, c,, 为任意三个常数, 则 c f ( d ) = ( ) f d+ c f( d ) (5). () (6) sin d (7)
第六章 微分中值定理
第六章微分中值定理及其应用 在这一章里 讨论了怎样由导数 的已知性质来推断函数质. 微分中值定理正是进行这一讨论的有效工具. 一 拉格朗日中值定理. 罗尔定理 定理设函数 在区间 [ 满足 : i 在区间 [ 上连续 ii 在区间 b 上可导 iii b 则在 b 内至少存在一点 ξ 使得 ξ. 所应具有的性 几何意义 : 在每一点都可导的一段连续曲线上 如果曲线的两端高度相同 则至少存在一条水平切线.
第一讲 1. 难度偏大 217 平稳 2. 知识基础 手法新颖 3. 计算量大 4. 覆盖面广 例 1 若积分 d 收敛, 则 1 1 A 1且 1 B 1且 1 C 1且 1 D 1且 如 : lim
新东方在线考研 216 新东方在线考研数学高数基础课程配套讲义 授课教师 : 张宇 欢迎使用新东方在线电子教材 目录 216 新东方在线考研数学高数基础课程配套讲义... 1 授课教师 : 张宇... 1 第一讲... 2 第二讲... 1 第三讲... 18 1 第一讲 1. 难度偏大 217 平稳 2. 知识基础 手法新颖 3. 计算量大 4. 覆盖面广 例 1 若积分 d 收敛, 则 1 1
一、选择：1~8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
6 考研数学 ( 二 ) 真题及答案解析来源 : 文都教育 要求的. 一 选择 :~8 小题, 每小题 分, 共 分. 下列每题给出的四个选项中, 只有一个选项是符合题目 () 设 a (cos ), a In( ), a. 当 时, 以上 个无穷小量按 照从低阶到高阶的排序是 (A) a, a, a. (B) a, a, a. (C) a, a, a. (D) a, a, a. 解析 : 选择 B
定积分的基本概念问题的提出 Yunming Xio ( 南京大学数学系 ) 微积分 I( 高等数学 ) Autumn / 23
定积分的基本概念内容提要 1 定积分的基本概念 2 定积分的几何意义 3 定积分的基本性质 4 定积分中值定理 5 变限积分及其性质 6 微积分基本公式 Yunming Xio ( 南京大学数学系 ) 微积分 I( 高等数学 ) Autumn 2016 1 / 23 定积分的基本概念问题的提出 Yunming Xio ( 南京大学数学系 ) 微积分 I( 高等数学 ) Autumn 2016 2 /
微分中值定理反映了导数更深刻的性质, 也是导数应用的理论基础 微分中值定理应包括罗尔中值定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理 泰勒中值定理 在对微分中值定理的理解和掌握方面要重视以下几点 : 1 微分中值定理的条件和结论各是什么? 2 当微分中值定理的条件不完全满足时, 结论是否还成立? 3 微分中
第六章微分中值定理及其应用 1 拉格朗日定理和函数的单调性 2 柯西中值定理和不定式极限 3 泰勒公式 4 函数的极值与最大 ( 小 ) 值 微分中值定理反映了导数更深刻的性质, 也是导数应用的理论基础 微分中值定理应包括罗尔中值定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理 泰勒中值定理 在对微分中值定理的理解和掌握方面要重视以下几点 : 1 微分中值定理的条件和结论各是什么? 2 当微分中值定理的条件不完全满足时,
定理 6.5( 柯西中值定理 ) 设函数 f (), g() 在区间 (iii) f ( ) + g ( ) > ; 一 柯西中值定理 [ a, b] 上满足 : (i) f(), g() 在闭区间 [a, b] 上连续 ; (ii) f(), g() 在开区间 (a, b) 上可导 ; (iv)
![定理 6.5( 柯西中值定理 ) 设函数 f (), g() 在区间 (iii) f ( ) + g ( ) > ; 一 柯西中值定理 [ a, b] 上满足 : (i) f(), g() 在闭区间 [a, b] 上连续 ; (ii) f(), g() 在开区间 (a, b) 上可导 ; (iv)](/thumbs/93/112009408.jpg "定理 6.5( 柯西中值定理 ) 设函数 f (), g() 在区间 (iii) f ( ) + g ( ) > ; 一 柯西中值定理 [ a, b] 上满足 : (i) f(), g() 在闭区间 [a, b] 上连续 ; (ii) f(), g() 在开区间 (a, b) 上可导 ; (iv)")
柯西中值定理和不定式极限 柯西中值定理是比拉格朗日定理更一般的中值定理, 本节用它来解决求不定式极限的问题. 一 柯西中值定理二 不定式极限 返回 定理 6.5( 柯西中值定理 ) 设函数 f (), g() 在区间 (iii) f ( ) + g ( ) > ; 一 柯西中值定理 [ a, b] 上满足 : (i) f(), g() 在闭区间 [a, b] 上连续 ; (ii) f(), g()
第 章 微分中值定理与导数的应用!"$ %&'' 续函数的性质 在 上必取得最大值 % 和最小值 * 如果 %* 则 在 上恒等于常数 % 因此 对一切 都有 定理自然成立 若 %* 由于 因此 % 和 * 中至少有一个不等于 不妨设 %! 设 *! 证明完全类似 则 应在 内的某一点 处达到最大值
第 章 微分中值定理与导数的应用!"$ %&& 本章将利用函数的导数这一有效工具来研究函数自身所应具有的性质 首先 介绍微分中值定理 然后 运用微分中值定理 介绍一种求未定式极限的有效方法 洛必达法则 最后 运用微分中值定理 通过导数来研究函数及其曲线的某些性态 并利用这些知识解决一些实际问题 微分中值定理 中值定理揭示了函数在某区间的整体性质与该区间内部某一点的导数之间的关系 因而称为中值定理 中值定理既是用微分学知识解决应用问题的理论基础
第一天 核心考点 极限的概念, 极限的计算, 连续性, 间断点的分类, 闭区间上连续函数的性质 巩固练习 一 选择题 设 时, e cos n e 与 是同阶无穷小, 则 n 为 ( ) ( A) 4 ( B) 5 ( C ) 5 ( ) 设 时, 下列 4 个无穷小量中比其它 个更高阶的无穷小量是
目录 第一天... 第一天参考答案... 4 第二天... 7 第二天参考答案... 9 第三天... 第三天参考答案... 4 第四天... 7 第四天参考答案... 9 第五天... 第五天参考答案... 4 第六天... 6 第六天参考答案... 8 第七天... 第七天参考答案... 中公教育考研学员专用资料报名专线 :4-6-966 第一天 核心考点 极限的概念, 极限的计算, 连续性,
第四章 中值定理与导数的应用
第三章中值定理与导数的应用 在第二章中 我们介绍了微分学的两个基本概念 导数与微分 本章是微积分的重要部分 主要利用导数和微分来研究函数以及曲线的某些性质 例如判断函数的单调性和凹凸性 求函数的极限 极值 最大 ( 小 ) 值以及函数作图的方法 并以此进一步解决工程和经济 ( 极值 ) 数学模型等方面的一些实际应用问题 为此 我们首先介绍微分学的几个中值定理 它们反映了导数更深刻的性质 揭示了函数在某区间上的整体性质与函数在该区间内某一点的导数之间的关系
Microsoft Word - 新第3章.doc
第三章微分中值定理与导数的应用 上一章我们讨论了导数的概念和计算方法. 本章将介绍微分中值定理, 并利用这些定理 进一步研究导数的应用. 第一节 微分中值定理 本节先介绍罗尔定理, 并由此推出拉格朗日中值定理和柯西中值定理. 一 罗尔定理 定理 ( 罗尔定理 ) 设函数 f ( ) 在闭区间 [ a, b ] 上连续, 在开区间 ( a, b ) 内可导, 且在区间两端点的函数值相等, 即 f (
【考研帮】2017寒假数学作业
考研帮 7 寒假数学作业 考研帮说 寒假是备考的重要时间段, 对于考研数学来说, 适当的练习必 不可少 每天抽一点时间来完成寒假数学作业吧! 帮帮为你准备了前 5 天的数 学作业, 每天的题目后都附有答案哦 第一天. 设 lim, lim y, lim A. 则下列命题中正确的是 ( ). z (A) lim ( y ). (B) lim ( z ). y (C) lim ( y ). (D) lim
湖北文都考研官网 : 考研数学二考试真题 ( 完整版 ) 来源 : 文都教育 一 选择题 1~8 小题, 每小题 4 分, 共 32 分, 下列每题给出的四个选项中, 只有一个选项是符合题目要求 的. k 1. 当 x 0 时, x tan x与 x 同阶
湖北文都考研官网 :www.hbwendu.com 9 考研数学二考试真题 ( 完整版 ) 来源 : 文都教育 一 选择题 ~8 小题, 每小题 4 分, 共 分, 下列每题给出的四个选项中, 只有一个选项是符合题目要求 的. k. 当 时, tan 与 同阶, 求 k( ) A. B. C. D.4. y sin cos (, ) 的拐点坐标 A., B., C., D. (, ). 下列反常积分发散的是
8 应用数学 ( 第二版 上册 ) 则 m f ( a ) ; 若 M f ( a ) 且 m f ( a ) ). 下面仅以 M f ( a ) 的情况来证明 ( 如果 设 m f ( a ), 证法完全类似 ). 设 M f ( a ), 那么必定在开区间 ( a, b ) 内有一点 ξ, 使得
第 章微分中值定理与导数的应用 学习目标 掌握并会使用罗尔定理 拉格朗日中值定理, 了解柯西中值定理. 熟练使用洛必达法则求未定式极限. 理解拐点的定义, 掌握利用导数判断函数的单调性和凹凸性的方法. 理解并掌握函数极值的概念与求法 ; 会描绘函数的图形 ; 掌握函数的最 大值和最小值的求法及其在工程 物理 科学实验中的简单应用 ; 理解 并掌握边际分析. 前面我们介绍了函数与微分的概念 性质及计算方法.
<4D F736F F D2036A1A BFBCD1D0CAFDD1A7B6FED5E6CCE2BCB0B4F0B0B8BDE2CEF6A3A8CEC4B6BCB0E6A3A9>
8 考研数学 ( 二 ) 真题及答案解析 ( 文都版 ) 来源 : 文都教育 一 选择题 :~8 小题, 每小题 4 分, 共 分. 下列每题给出的四个选项中, 只有一个选项是符合题目要求的.. 若 lim(e + a + b), 则 A. a, b. B. a, b. C. a, b.. a, b. 答案 :(B) e + a + b e + a + b 解析 : lim( e + a + b )
7. 下列矩阵中, 与矩阵 相似的为. A.. C.. B.. D. 8. 设 AB, 为 n 阶矩阵, 记 rx ( ) 为矩阵 X 的秩,( XY?) 表示分块矩阵, 则 A. r( A? AB) r( A). B. r( A? BA) r( A). C. r A B r A r B (? )
8 数二真题 一 选择题 :~8 小题, 每小题 4 分, 共 分. 下面每题给出的四个选项中, 只有一个选项 是符合题目要求的.. 若 lim( e a b), 则 A. a, b. B. a, b. C. a, b. D. a, b.. 下列函数中, 在 处不可导的是 A. f ( ) sin. B. f ( ) sin. C. f ( ) cos. D. f ( ) cos. a,,,,. 设函数
. 0 C.1 8. 设, 则 ( ). A.-1 2 C.0 不存在.9. ( ). A.0 1 C 在时为 ( ). A. 无穷大量 ; 无穷小量 ; C. 极限存在, 但极限值不为零 ; 极限不存在, 但不为无穷大量 ; 11. 下面各组函数中表示同一个函数的是 ( ) A. ;
专升本高等数学复习题库 ( 一 ) 一 单项选择题 1. 求的极限 () A.24 12 2. ( ). A.1 3. 函数是 ( ). A. 偶函数 ; 奇函数 ; C. 单调函数 ; 有界函数 4. 函数是 ( ) 函数. A. 单调 有界 C. 周期 偶 5. 设, 则 ( ). A.-1 2 C.0 不存在 6. 求的极限 () A.1 C.0 2 7. 求的极限 ( ) . 0 C.1 8.
试卷
竞赛试卷 ( 数学专业 参考答案 一 (5 分 在仿射坐标系中 求过点 M ( 与平面 :3x y + z 平行 且与 x y 3 z 直线 l : 相交的直线 l 的方程 4 解法一 : 先求 l 的一个方向向量 X Y Z 因为 l 过点 M 且 l 与 l 相交 所以有 4 X 3 - Y ( Z..4 分 即 X + Y Z...3 分 又因为 l 与 平行 所以有 联立上述两个方程解得 :
2009ÄêÈ«¹ú˶ʿÑо¿ÉúÈëѧͳһ¿¼ÊÔÊýѧ¶þÊÔÌâ
9 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 一 选择题 :~8 小题, 每小题 8 分, 共 分, 下列每小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求, 把所选项前的字母填在题后的括号内 () 函数 f ( ) = 与 g( ) = ln( b) 是等价无穷小, 则 () sin n (A) (B) (C) (D) 无穷多个 () 当 时, f ( ) = sin a 与 g( ) = ln( b)
第 章一元函数微分学 复合函数求导法则 : 设 = f ( u) u = g( ) 都关于自变量可导, 则 [ f ( g( ))] = f ( u) g ( ) 5 牢记基本导数公式 : α () c = () ( ) = α () ( ) = l () (e ) = e α (5) (log )
![第 章一元函数微分学 复合函数求导法则 : 设 = f ( u) u = g( ) 都关于自变量可导, 则 [ f ( g( ))] = f ( u) g ( ) 5 牢记基本导数公式 : α () c = () ( ) = α () ( ) = l () (e ) = e α (5) (log )](/thumbs/92/107866425.jpg "第 章一元函数微分学 复合函数求导法则 : 设 = f ( u) u = g( ) 都关于自变量可导, 则 [ f ( g( ))] = f ( u) g ( ) 5 牢记基本导数公式 : α () c = () ( ) = α () ( ) = l () (e ) = e α (5) (log )")
第 章一元函数微分学 一 学习要点 掌握导数的概念及其几何意义, 掌握可导性和连续性的关系 会求曲线上一点处的切线方程和法线方程 熟练掌握导数的基本公式 四则运算法则及复合函数的求导方法 掌握隐函数的求导法 对数求导法以及由参数方程确定的函数的求导方法 理解高阶导数的概念, 会求简单函数的 阶导数 理解函数微分的概念, 掌握微分法则, 掌握可微与可导的关系 理解罗尔定理 拉格朗日中值定理的条件 结论及其几何意义
一 含参量正常积分的定义 设 f (, y ) 是定义在矩形区域 R = [ a, b] [, ] 上的 二元函数. 当 取 [ a, b ] 上的定值时, 函数 定义在 [, ] 上以 y 为自变量的一元函数. 倘若这时 f (, y ) 在 [, ] 上可积, 则其积分值 I( ) = ò f
![一 含参量正常积分的定义 设 f (, y ) 是定义在矩形区域 R = [ a, b] [, ] 上的 二元函数. 当 取 [ a, b ] 上的定值时, 函数 定义在 [, ] 上以 y 为自变量的一元函数. 倘若这时 f (, y ) 在 [, ] 上可积, 则其积分值 I( ) = ò f](/thumbs/91/105953711.jpg "一 含参量正常积分的定义 设 f (, y ) 是定义在矩形区域 R = [ a, b] [, ] 上的 二元函数. 当 取 [ a, b ] 上的定值时, 函数 定义在 [, ] 上以 y 为自变量的一元函数. 倘若这时 f (, y ) 在 [, ] 上可积, 则其积分值 I( ) = ò f")
含参量正常积分 对多元函数其中的一个自变量进行积分形成的函数称为含参量积分, 它可用来构造新的非初等函数. 含参量积分包含正常积分和非正常积分两种形式. 一 含参量正常积分的定义二 含参量正常积分的连续性三 含参量正常积分的可微性四 含参量正常积分的可积性五 例题 返回 一 含参量正常积分的定义 设 f (, y ) 是定义在矩形区域 R = [ a, b] [, ] 上的 二元函数. 当 取 [
2013年浙江省专升本统一考试高等数学真题试卷
文亮教育 (www.wligdu.com) 浙江专升本辅导第一品牌 年浙江省专升本统一考试高等数学真题试卷 题号一二三四总分 得分 考试说明 : 考试时间为 5 分钟 ; 满分为 5 分 ; 答案请写在试卷纸上, 用蓝色或黑色墨水的钢笔 圆珠笔答卷, 否则无效 ; 4 密封线左边各项要求填写清楚完整 一 选择题 ( 每个小题给出的选项中, 只有一项符合要求 : 本题共有 5 个小题, 每小题 4 分,
3. 中值定理. 5. 由图 3. 可以看出, 函数 y fpq 在点, 2, 3, 4 取得极值, 如果有切线, 则切线与 轴平行. 即在极值点, 如果函数 y fpq 存在导数, 则导数为零. 反之不然. 即函数在导数等于 的点不一定取得极值. 例如, 函数 fpq 3, f pq, 但 fpq
第 3 章 导数应用 学习目标与要求. 掌握微分中值定理并能解决实际问题. 2. 掌握洛必达法则及其应用. 3. 掌握用导数求函数的极值 最值的方法. 4. 掌握用导数的方法判断函数的单调性 描绘函数图像. 5. 掌握用导数与微分的知识解决实际问题的方法. 6. 掌握理解曲率的概念, 掌握曲率的应用. 3. 中值定理 3.. 罗尔定理如图 3. 所示, 函数 y fpq 的图像在点, 3 处出现 峰,
作者 : 闫浩 年 月 同理两个方程对于 v 求偏导数得到 v v v v 由此解出 为 v v v v v 然后利用复合函数微分法则 v v v 若 l cos cos cos 其中 cos cos cos 求 l l 解 : l cos cos cos cos cos cos cos cos c
作者 : 闫浩 年 月 / 微积分 B 第二次习题课参考答案 第六周 一 隐函数求导 方向导数与梯度. 设函数 是由方程 确定的 则函数 在点 的微分 d 答 : d d d 设方程 可以确定隐函数 求 d d d d. 本题不用解出最终答案 会解题过程就可以. 解 : d d d d d d d d d d d d. v 求 v 解 : v 和 的函数关系由方程组 v 确定 由隐函数微分法得到两个方程对于
Microsoft Word - 数二答案
数二测试答案 一 选择题 ( 本题共 8 小题, 每小题 分, 满分 分, 每小题给出的四个选项中, 只有一 项符合题目要求, 把所选项前的字母填在题后的括号内 ) 5 6 7 8 C A C B A () 当 时, 下面 个无穷小量中阶数最高的是 (A) + (B) + 5 + 5 (C) 答案 () ln( ) ln( ) + () cos sin t dt 解析 (A) 项 : 当 时, +
第一章 函数与极限练习题
第一章函数与极限练习题 一 选择题 下列函数对中, 函数相同的是 ( ) A f ( ) lg, g( ) lg B f ( ), g( ) C f g 4 ( ), ( ) D 已知函数 f ( ), 则 f A B 下列命题正确的是( ) A 若 lim U, 则 limu ( ) 等于 ( ) C C 若 lim, 则必有 lim 或 lim D 数列 f ( ), g( ) D B 设 为任意数列,lim,
Microsoft PowerPoint - 概率统计Ch02.ppt [Compatibility Mode]
![Microsoft PowerPoint - 概率统计Ch02.ppt [Compatibility Mode]](/thumbs/104/161694025.jpg "Microsoft PowerPoint - 概率统计Ch02.ppt [Compatibility Mode]")
66 随机变量的函数.5 随机变量的函数的分布 设 是一随机变量, 是 的函数, g(, 则 也是一个随机变量. 本节的任务 : 当 取值 x 时, 取值 y g 67 ( 一 离散型随机变量的函数 设 是离散型随机变量, 其分布律为 或 P { x } p (,, x x, P p p, x p 已知随机变量 的分布, 并且已知 g 要求随机变量 的分布. (, 是 的函数 : g(, 则 也是离散型随机变
<4D F736F F D BFBCD1D0CAFDD1A7B6FED5E6CCE2BCB0B4F0B0B8BDE2CEF65FCDEAD5FBBEABD7BCB0E65F>
年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题及解析 ( 完整精准版 来源 : 文都教育 一 选择题 :~ 小题 每小题 分 共 分 下列每题给出的四个选项中 只有一个选项符合题目要求的 请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上 ( 当 α α 时 若 l ( (- cos 均是比 高阶的无穷小 则 α 的取值范围是 ( (A( (B( (C( (D( 解析 当 α 时 l ( ~ ( α 由 α > 且 >
2014年浙江省专升本统一考试高等数学真题试卷
4 年浙江省专升本统一考试高等数学真题试卷 题号一二三四总分 得分 考试说明 : 考试时间为 5 分钟 ; 满分为 5 分 ; 答案请写在试卷纸上, 用蓝色或黑色墨水的钢笔 圆珠笔答卷, 否则无效 ; 4 密封线左边各项要求填写清楚完整 一 选择题 ( 每个小题给出的选项中, 只有一项符合要求 : 本题共有 5 个小题, 每小题 4 分, 共 分 ) 得分 阅卷人. 当 时, 若 f () 存在极限,
一 导数的概念 1 导数的概念 1. 引言问题 1 瞬时速度设一质点作直线运动, 其运动规律为 s=s(t), 若 t 为某一确定的时刻,t 为邻近于 t 的时刻, 则 s( t) s( t ) t t 是质点在时间段 [t, t]( 或 [t,t ]) 上的平均速度, 若 t t 时平均速度 v
 上的平均速度, 若 t t 时平均速度 v](/thumbs/49/25515966.jpg "一 导数的概念 1 导数的概念 1. 引言问题 1 瞬时速度设一质点作直线运动, 其运动规律为 s=s(t), 若 t 为某一确定的时刻,t 为邻近于 t 的时刻, 则 s( t) s( t ) t t 是质点在时间段 [t, t]( 或 [t,t ]) 上的平均速度, 若 t t 时平均速度 v")
第五章导数和微分 1 导数的概念 一 导数的概念二 导函数三 导数的几何意义 一 导数的概念 1 导数的概念 1. 引言问题 1 瞬时速度设一质点作直线运动, 其运动规律为 s=s(t), 若 t 为某一确定的时刻,t 为邻近于 t 的时刻, 则 s( t) s( t ) t t 是质点在时间段 [t, t]( 或 [t,t ]) 上的平均速度, 若 t t 时平均速度 v 的极限存在, 则称极限
<B8DFB5C8CAFDD1A728D7A8BFC6292E6D7073>
第三章导数的应用 在第二章建立了导数和微分的概念, 并讨论了它们的计算方法. 本章将利用导数逐步地研究 函数的某些性质, 进而求函数的极值, 并应用这些知识描绘函数的图像. 这些知识在日常生活 科 学实践 经济往来中都有着广泛的应用. 3.1 微分中值定理 中值定理是微分学中最重要的定理, 它描述了函数与其导数之间的联系, 是导数应用的理论基础. 本章的好多结果都是建立在中值定理的基础上. 本节将学习拉格朗日中值定理和利用导数如何判断函数的单调性.
2014高联高级钻石卡高等数学学习计划
高联学员寒假前后数学计划 特别提醒 : 在考研数学中, 高等数学占到总分 56% 分值, 高数上册又是整个高数中的重中之重 寒假期间的复习宜少而精 高联教育集团数学教研室建议学员能在寒假前后这段把高等数上册前四章根据大纲要求将知识点和章节课后题做熟 吃透即可, 为年后跟上数学基础班打下坚实基础 高联免费配发资料 ( 电子版 ): 考研数学知识分布图 ; 学员自备资料 : 同济大学数学系编写 ; 高等教育出版社
1 导数和微分的概念 导数和微分的定义 1 导数和微分的概念 考虑函数 y = 在 x 0 的邻域内有定义 当 x x 0 时, 记 x = x x 0 ; y = f(x 0 ). 定义 1.1. 若函数 y = 在其定义域中的一点 x 0 处极限 y x x 0 x = f(x 0
第三章一元微分学 2017 年 11 月 2 日 目录 1 导数和微分的概念 2 1.1 导数和微分的定义..................................... 2 1.2 导数的几何意义...................................... 2 1.3 单侧导数.......................................... 3 2 导数的计算
<4D F736F F D20B5DAC8FDD5C220B5BCCAFDB5C4D3A6D3C32E646F63>
第 章导数的应用 在上一章中, 从实际问题中因变量相对于自变量的变化率出发, 我们引进了导数的概念, 并讨论了导数的计算方法 本章中, 我们将应用导数来研究函数以及曲线的某些性态, 并利用这些知识解决一些实际问题 为此, 我们先介绍微分中值定理, 它们建立了函数在一个区间上的平均变化率与函数在区间内部一点的瞬时变化率之间的联系, 是导数应用的理论基础 微分中值定理 首先让我们观察如图 中的连续曲线弧
导数 高考命题规律 0 年理科高考考查了导数的几何意义, 利用导数判断函数的单调性, 利用导数求函数的最值, 文科考查了求曲线的切线方程, 导数在研究函数性质中的运用 ;05 年文理试卷分别涉及到切线 零点 单调性 最值 不等式证明 恒成立问题 ;06 文科考查了导数的几何意义, 理科涉及到不等式的
导数综合讲义 第 讲 导数的计算与几何意义... 第 讲 函数图像... 第 讲 三次函数...7 第 讲 导数与单调性...8 第 5 讲 导数与极最值...9 第 6 讲 导数与零点...0 第 7 讲 导数中的恒成立与存在性问题... 第 8 讲 原函数导函数混合还原 ( 构造函数解不等式 )... 第 9 讲 导数中的距离问题...7 第 0 讲导数解答题...8 0. 导数基础练习题...
第一章三角函数 1.3 三角函数的诱导公式 A 组 ( ) 一 选择题 : 共 6 小题 1 ( 易诱导公式 ) 若 A B C 分别为 ABC 的内角, 则下列关系中正确的是 A. sin( A B) sin C C. tan( A B) tan C 2 ( 中诱导公式 ) ( ) B. cos(
第一章三角函数 1. 三角函数的诱导公式 A 组 一 选择题 : 共 6 小题 1 ( 易诱导公式 ) 若 A B C 分别为 ABC 的内角 则下列关系中正确的是 A. sin( A B) sin C C. tan( A B) tan C ( 中诱导公式 ) B. cos( B C) cos A D. sin( B C) sin A sin60 cos( ) sin( 0 )cos( 70 ) 的值等于
一 根据所给图表，回答下列问题。
年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析 一 选择题 :~8 小题, 每小题 分, 共 3 分, 下列每小题给出的四个选项中, 只有一项符合题 目要求的, 请将所选项前的字母填在答题纸... 指定位置上. () 曲线 渐近线的条数为 () (A) (B) (C) (D)3 答案 :(C) 解析 : lim, 所以 为垂直渐近线 lim, 所以 为水平渐近线, 没有斜渐近线, 总共两条渐近线, 选
数学分析考研辅导班讲义4.doc
数学分析考研辅导讲义第四章 - 9 - 第四章 不定积分 积分学是微积分的主要部分之一 积分运算是微分运算的逆运算. 而不定积分为定积分的计算提供了一种简便快捷的工具 又是今后计算重积分 曲线积分 曲面积分的基础. 本章的重点是不定积分的换元积分法与分部积分法. 难点是第二换元法 三角函数有理式及简单无理式积分. 要点是不定积分的各种积分方法. 通过本章的学习 应掌握不定积分的概念 性质 基本积分公式及积分方法.
一 根据所给图表，回答下列问题。
09 年内蒙古临河教师招聘模拟卷 数学专业知识 一 选择题 ( 本大题共 题 每题 分 共 8 分 ) 所以. 答案 B. 解析 : 因为 0 所以 Q 0 所以 P Q 故 故选 B.. 答案 B. 解析 : 令 z a bi a b R a bi 则由 R z a bi a b P 由 可得 0 得 b 0 所以 z R p 正确 ; 当 z i 时 因为 z i R 而 z i R 知 故 p
. 微积分课程 微积分 2 复习 2019 年 5 月 2 日 暨南大学数学系 吕荐瑞 (lvjr.bitbucket.io)
微积分课程 微积分 2 复习 2019 年 5 月 2 日 暨南大学数学系 吕荐瑞 (lvjrbitbucketio) 第五章不定积分 第六章定积分 第七章无穷级数 第八章多元函数 第九章微分方程 5 6 7 8 9 积分公式大全 (1) 1 d = + C (2) d = 1 + 1 +1 + C 1 (3) d = ln + C (4) d = ln + C (5) e d = e + C 5
第一节 导数的概念
第 章一元函数微分学 导数的概念 导数的运算法则与基本公式 3 高阶导数 4 微分及其计算 5 中值定理罗比塔法则 6 函数的单调性与极值 7 微分在经济中的应用 导数概念 导数概念的实例 切线问题 如图 如果割线 MN 绕点 M 旋转而趋向极限位置 MT 直线 MT 就称为曲线 C 在点 M 处的 o 切线 极限位置即 MN NMT 设 M 割线 MN 的斜率为 tan 沿曲线 C N M 切线
目 录 第 I 部分函数极限连续...2 第 1 讲函数...2 一 函数的基本概念...2 二 常见的函数类...3 三 函数的构造方法...4 四 函数的基本性质...6 五 常用的重要公式...7 第 2 讲数列极限...10 一 数列极限的概念...10 二 数列极限的性质...10 三 收
目 录 第 I 部分函数极限连续... 第 讲函数... 一 函数的基本概念... 二 常见的函数类...3 三 函数的构造方法...4 四 函数的基本性质...6 五 常用的重要公式...7 第 讲数列极限... 一 数列极限的概念... 二 数列极限的性质... 三 收敛准则... 四 数列极限的运算法则... 重点问题归纳... 第 3 讲函数极限...3 一 函数极限的概念...3 二 函数极限的性质...3
第一节 导数的概念
第 2 章一元函数微分学 2.1 导数的概念 2.2 导数的运算法则与基本公式 2.3 高阶导数 2.4 微分及其计算 2.5 中值定理罗比塔法则 2.6 函数的单调性与极值 2.7 微分在经济中的应用 1 2.1 导数概念 2.1.1 导数概念的实例 切线问题 如图, 如果割线 MN 绕点 M 旋转而趋向极限位置 MT, 直线 MT 就称为曲线 C 在点 M 处的 o 切线. 极限位置即 MN,
第五章 导数和微分
第五章导数和微分 一 学习要求 : 正确理解微商的概念 ; 知道微商的几何意义与物理意义 ; 3 掌握可导与连续的关系 ; 4 牢固掌握求导的四则运算公式 复合函数求导的法则和反函数求导的法则, 能迅速正确地求初等函数的导数 ; 5 熟悉基本初等函数的求导公式 ; 6 掌握隐函数的求导法, 对数求导法, 由参数方程确定的函数的求导法 ; 7 正确理解微分概念 ; 8 了解可微与可导的关系, 知道导数与微分的区别与联系
幻灯片 1
第一类换元法 ( 凑微分法 ) 学习指导 复习 : 凑微分 部分常用的凑微分 : () n d d( (4) d d( ); (5) d d(ln ); n n (6) e d d( e ); () d d( b); ); () d d( ); (7) sin d d (cos ) 常见凑微分公式 ); ( ) ( ) ( b d b f d b f ); ( ) ( ) ( n n n n d f
2006ÄêÈ«¹ú˶ʿÑо¿ÉúÈëѧͳһ¿¼ÊÔÊýѧ¶þÊÔÌâ
考研资料下载中心 hp://download.kaoan.com 6 年全国硕士研究生入学考试数学 ( 二 ) 一 填空题 + 4sin () 曲线 = 的水平渐近线方程为. 5 cos sin d,, () 设函数 f ( ) = 在 = 处连续, 则 a =. a, = + d () 广义积分 =. ( + ) ( ) (4) 微分方程 = 的通解是. d (5) 设函数 = ( ) 由方程 =
解析 : 由于 a >, 则 a 为正项级数,S =a +a + a 为正项级数 a 的前 = 项和 正项级数前 项和有界与正向级数 (4) 设 I = sid(=,,3), 则有 D (A)I < I <I 3. (B) I < I < I 3. = a = 收敛是充要条件 故选 A (C) I
年全国硕士研究生入学统一考试 数学二试题解析 一 选择题 :~8 小题, 每小题 4 分, 共 3 分, 下列每小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求 的, 请将所选项前的字母填在答题纸... 指定位置上. () 曲线 = + 渐近线的条数为 () (A) (B) (C) (D)3 答案 :C 解析 : lim + =, 所以 = 为垂直的 + lim =, 所以 = 为水平的, 没有斜渐近线故两条选
Remark：随机变量不只离散和连续两种类型
Remar: 随机变量不只离散和连续两种类型 当题目要求证明随机变量的某些共同性质时 很多同学只对连续和离散两种类型进行讨论 这是比较典型的错误 练习 4. () P( = ) = P( = ) = P( = ) = P( ) = = = = = = () 由 E < 且 lm a =+ 不妨设 a > 其中 j = f{ : a a j} ap ( a) = a p ap ap j j j a :
13年考研数学第19，20讲
3 年考研数学第 9, 讲 第 9 讲. 极, 拐, 零点巧讨论 连续函数的图形特征, 在单调性外, 还有极值点, 图形拐点, 零点 ( 与 轴的交点 ) 极值点与图形拐点 极值点与极值定义 如果定义域内存在 的邻域, 在其内恒有 f ( ) f (, 则称 是函数 f ( 的一个极大点,f ( ) 是极大值 ( 潜台词 : 常函数除外, 按照游戏规则, 定义区间端点没有资格做极值点 ) 用增量的语言来说,(
QCL819.nps
第三章 中值定理与导数的应用 函数的导数刻画了函数相对于自变量的变化快慢, 几何上就是用曲线的切线倾斜度 斜率反映曲线上点的变化情况. 本章将利用函数的一 二阶导数进一步研究函数及曲线的性态, 并介绍导数在一些实际问题中的应用. 微分中值定理给出了函数及其导数之间的联系, 是导数应用的理论基础. 微分中值定理包括罗尔定理 拉格朗日中值定理与柯西中值定理, 它们在微分学理论中占有重要地位. 第一节 中值定理
精 勤 求 学 自 强 不 息 Born to win! 解 析 : 由 极 限 的 保 号 性 知 存 在 U ( a) 当 a 时 f ( ) f ( a) 故 f ( ) 在 点 a 不 取 极 值 f ( ) f ( a) f ( ) f ( a) lim lim a a a a ( a)
年 考 研 数 学 二 模 拟 题 ( 二 ) 参 考 答 案 本 试 卷 满 分 5 考 试 时 间 8 分 钟 一 选 择 题 :~8 小 题 每 小 题 分 共 分 下 列 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 只 有 一 项 符 合 题 目 要 求 的 请 将 所 选 项 前 的 字 母 填 在 答 题 纸 指 定 位 置 上 () 在 点 处 不 存 在 极 限 的 函 数 是 (
28894.nps
第三章微分中值定理和导数的应用 上一章以几个实际问题的变化率为背景, 抽象出函数的导数概念, 讨论了导数的计算方法. 由于函数在一点的导数仅反映函数在这点邻近的局部性质, 这一章将用导数研究函数的整体性质, 在函数的整体性质中, 单调性是最基本的性质, 利用导数讨论函数的单调性, 首先必须在函数的定义区间内寻求联系自变量增量 函数增量和导数之间的数量关系式, 这就是本章的微分中值定理. 然后在微分中值定理的基础上讨论函数的单调性
2011年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 一 选择题 (~8 小题 每小题 分 共 分 下列每题给出的四个选项中 只有一 个选项符合题目要求的 请将所选项前的字母填在答题纸 指定位置上 ) () 已知当 f 与 c 是等价无穷小 则 ( ) 时 si si (A) c (B) c (C) c (D) c () 已知 f 在 处可导 且 (A) f f f 则 lim f (B) f (C) () 函数
《高等数学》 CAI课件
第四部分 : 定积分 一 重点 难点与例子 第五部分定积分 共 6 例 : 定积分的存在定理 定积分性质 3 用定积分的定义求极限 关于积分限为变元的函数 5 Newo Leibiz 公式的重要意义 6 计算定积分 N L 公式 7 定积分常用公式与例子 8 广义积分二 判断题 下列运算对吗? 共 6 个 三 练习题 共 个 练习题解答 一 重点 难点与例子 定积分的存在定理 若 在闭区间 [,b]
sin 6 f ( ) 6 f( ) (4) 若 lim, 则 lim 为 ( ) (A). (B)6. (C)6. (D). (5) 具有特解 y, y, y 的 阶常系数齐次线性微分方程是 ( ) (A) y y y y. (B) y y y y. (C) y 6y y 6y. (D) y y
年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 一 填空题 ( 本题共 5 小题, 每小题 分, 满分 5 分, 把答案填在题中横线上 ) arcan () lim. ln( ) () 设函数 y y( ) 由方程 y y所确定, 则 dy. () d ( 7). (4) 曲线 y ( ) 的斜渐近线方程为. (5) 设 A, E 为 4 阶单位矩阵, 且 B ( E A) ( E A) 则 4 5 6 7
Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ
Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
Ⅰ Ⅱ1 2 Ⅲ Ⅳ
Ⅰ Ⅱ1 2 Ⅲ Ⅳ 1 1 2 3 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 ~ 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 ~ 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 ~ 46 47 ~ ~ 48 49 50 51 52 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63
Ⅰ Ⅱ1 2 3 Ⅲ Ⅳ !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
Ⅰ Ⅱ1 2 Ⅲ Ⅳ 1 2 1
Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅱ ~ Ⅲ !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
lyc1172.nps
第三章 微分中值定理与导数的应用 导数是研究函数在一点处性态的有力工具, 是函数的局部概念, 而我们常常需要知道函数在整个区间上的各种性态, 即整体概念. 中值定理就是沟通二者之间的桥梁. 也正是由于中值定理的出现, 才使得导数的应用得到了长足的发展. 本章主要内容包括微分中值定理 洛必达法则 函数的单调性与极值 函数的最值 曲线的凹凸与拐点 函数图形的描绘 曲线的曲率等. 微分中值定理的起源与发展人们对微分中值定理的认识可以追溯到古希腊时代.
2016考研数学三线性代数题目及试题答案
6 考研数学三真题及答案解析 来源 : 文都教育 () 设函数 f ( ) 在 ( ) 内连续 ; 其导数如图所示 则 ( ) (A) 函数有 个极值点 曲线 f ( ) 在 个拐点 (B) 函数有 个极值点 曲线 f ( ) 在 个拐点 (C) 函数有 个极值点 曲线 f ( ) 在 个拐点 (D) 函数有 个极值点 曲线 f ( ) 在 个拐点 解析 : 导函数图形如图极值的怀疑点为 : a b
PowerPoint Template
4 数学教师暑期研修班 新疆大学 高等数学疑难问题选讲 西安交通大学数学与统计学院 hqlee@mil.jtu.edu.cn 李换琴 目录 一元函数微分学其应用 一元函数积分学其应用 西安交通大学数学与统计学院李换琴 /88 4/9/6 第一讲 一元函数微分学及其应用 西安交通大学数学与统计学院李换琴 3/88 4/9/6 问题 导数概念的本质及在科学技术中的含义 y ' lim lim 平均变化率
2014 年全国硕士研究生入学统一考试 数学三试题 一 选择题 :1~8 小题, 每小题 4 分, 共 32 分, 下列每小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求 的, 请将所选项前的字母填在答题纸... 指定位置上. (1) 设 lim a = a, 且 a 0, 则当 n 充分大时有 ( )
年全国硕士研究生入学统一考试 数学三试题 一 选择题 :~8 小题, 每小题 分, 共 分, 下列每小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求 的, 请将所选项前的字母填在答题纸... 指定位置上. () 设 lim, 且, 则当 充分大时有 ( ) (A) > (B) < (C) > (D) < + () 下列曲线有渐近线的是 ( ) (A) y + si (B) y + si (C) y +
一 函数 极限 连续 9 考研数学强化课程高等数学内部讲义 题型 函数极限的求法 例 求极限 lim ( + + ) 4 答案 e 8 9 a + b 例 求极限 lim( ), 其中 a, b, a, b 答案 ab + 例 求极限 lim( l ) 答案 e e 例 4 求极限 lim ( +
9 考研数学强化课程高等数学内部讲义 目录 一 函数 极限 连续 二 一元函数微分学 4 三 一元函数积分学 8 四 多元函数微分学 五 二重积分 5 六 微分方程 8 七 无穷级数 ( 数学一, 数学三 ) 八 三重积分 曲线积分与曲面积分 ( 数学一 ) 一 函数 极限 连续 9 考研数学强化课程高等数学内部讲义 题型 函数极限的求法 例 求极限 lim ( + + ) 4 答案 e 8 9 a
Microsoft Word - 附件1-中国大学先修课（CAP）第六次线下考试微积分科目考试说明.doc
中国大学先修课 (CAP) 第六次线下考试 微积分科目考试说明 一 考试性质与考查目标微积分先修课线下考试是由中国大学先修课 (CAP) 联合理事会组织, 由清华大学学堂在线负责实施, 面向学习过大学先修课的优秀中学生的考试 考试要求考生比较系统地掌握 MOOCAP 微积分课程中的基本概念和基本理论, 熟练地掌握和运用 MOOCAP 微积分的基本内容和基本方法, 具备一定的抽象思维能力 逻辑推理能力
Microsoft Word - 中山大学历年考研试题-数学分析（1999~2010）
中山大学历年考研试题 - 数学分析 (999-) 中山大学 年硕士研究生入学考试试题 考试科目 : 数学分析科目代码 :65 一 ( 每小题 6 分, 共 48 分 ) () 求极限 lim ( ) ( ) ; () 求不定积分 ma(,) d ; si t () 已知 f ( ) dt, 求定积分 ( ) t f d ; (4) 求二元函数极限 lim( ) ; (5) 求二次积分 d e d ;
2008年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题
年全国硕士研究生入学统一考试 数学二试题 一 选择题 (~8 小题 每小题 4 分 共 分 下列每题给出的四个选项中 只有一个选项符合 题目要求的 请将所选项前的字母填在答题纸 指定位置上 ) () 函数 f 的无穷间断点的个数为 ( ) (A) (B) (C) (D) () 设 y y 是一阶线性非齐次微分方程 y p y q 的两个特解 若常数 使 y y 是该方程的解 y y是该方程对应的齐次方程的解
PowerPoint Presentation
西华大学应用数学系朱雯 微分方程 习题课 解题方法流程图 求 Pd Qdy 通解 0 Yes 可分离变量 解出 No dy = f (, y ) d 可分离变量方程 齐次方程 dy y ( ) d 令 y u 一阶线性方程 dy P( ) y Q( ) d 其它一般方程 g ( y) dy f ( ) d g ( y) dy f ( ) d du ( u) u d 可分离变量 通解为 Pd Pd y
0103 收敛数列的性质 (40 分钟 ) 唯一性 有界性 保号性 * 收敛数列与其子数列的关系 0104 自变量趋于无穷大时函数极限的概念 (40 分钟 ) 自变量趋于无穷大时函数极限的直观描述 自变量趋于无穷大时函
注 :(1) 知识点前标 表示该知识点作品在前两届微课竞赛中获过国家一等奖 ; (2) 知识点前标 表示该知识点作品在前两届微课竞赛中获过两次以上国家一等奖, 不在本次竞赛知识点选择范围之内 高等数学 ( 上册 ) 知识点的细分目录第一章函数 极限与连续 (01) ( 注 : 以下括号内的时间为建议的视频讲课时间, 不包括讲习题的时间 ) 0101 函数 (80 分钟 ) 010101 函数的概念
(8) 设 A = ( α α α α) 是 阶矩阵 A 为 A 的伴随矩阵 若 ( ) T 是方程组 A = 的一个基础解系 则 A= 的基础解系可为 ( ) (A) α α (B) α α (C) α α α (D) α α α 二 填空题 (9~ 小题 每小题 分 共 分 请将答案写在答题纸
年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 一 选择题 (~8 小题 每小题 分 共 分 下列每题给出的四个选项中 只有一 个选项符合题目要求的 请将所选项前的字母填在答题纸 指定位置上 ) () 已知当 k f = 与 c 是等价无穷小 则 ( ) 时 ( ) si si (A) k = c= (B) k = c= (C) k = c= (D) k = c= () 已知 f ( ) 在 = 处可导 且
PowerPoint Presentation
第一章函数的极限与连续 一 函数及其性质二 极限三 函数的连续性 分析基础 函数 极限 连续 研究对象 研究方法 研究桥梁 第一节函数及其性质 一 函数的概念 二 函数的性质 一 函数的概念 ( 一 ) 区间与邻域 1. 区间 研究函数时, 常常要用到区间的概念. 设 a, br 且 a b, 规定 : 开区间 ( a, b ) a b 闭区间 [ a, b ] a b 右半开区间 左半开区间 [
70 四川师范大学学报 ( 自然科学版 ) 第 42 卷 珓 f(x)= [0] 珓 f(x)= [0] ω(x)e )= [0] [h(x) ω(x)e h(x) ω(x)e ] 定义 4 [20] 珘 b) 珓定义为 对于任意的模糊数 珓 b 其距离 珘 b)= 珓 [0] [sup 珓 μ b
![70 四川师范大学学报 ( 自然科学版 ) 第 42 卷 珓 f(x)= [0] 珓 f(x)= [0] ω(x)e )= [0] [h(x) ω(x)e h(x) ω(x)e ] 定义 4 [20] 珘 b) 珓定义为 对于任意的模糊数 珓 b 其距离 珘 b)= 珓 [0] [sup 珓 μ b](/thumbs/88/115075018.jpg "70 四川师范大学学报 ( 自然科学版 ) 第 42 卷 珓 f(x)= [0] 珓 f(x)= [0] ω(x)e )= [0] [h(x) ω(x)e h(x) ω(x)e ] 定义 4 [20] 珘 b) 珓定义为 对于任意的模糊数 珓 b 其距离 珘 b)= 珓 [0] [sup 珓 μ b")
209 年 月第 42 卷第 期 四川师范大学学报 ( 自然科学版 ) Journal of Sichuan Normal University(Natural Science) Jan209 Vol 42No 结构元线性生成的模糊值函数的可导性 舒天军 莫智文 ( 四川师范大学数学与软件科学学院 四川成都 60066) 摘要 : 用一种模糊距离给出结构元线性生成的模糊值函数极限的一种新定义 然后用这种极限给出结构元线性生成的模糊值函数导数的定义
ⅠⅡ 1 2Ⅲ 1 2 Ⅳ
ⅠⅡ 1 2Ⅲ 1 2 Ⅳ Ⅲ Ⅳ Ⅴ ~ ~ Ⅰ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~
湖北文都考研官网 : 考研数学一考试真题 ( 完整版 ) 来源 : 文都教育 一 选择题 :1~8 小题, 每小题 4 分, 共 32 分 下列每题给出的四个选项中, 只有一个选项是符合题目要求的. k 1. 当 x 0, 若 x tan x与 x 是同阶
湖北文都考研官网 :wwwhbweducom 9 考研数学一考试真题 ( 完整版 ) 来源 : 文都教育 一 选择题 :~8 小题 每小题 4 分 共 分 下列每题给出的四个选项中 只有一个选项是符合题目要求的 k 当 若 ta 与 是同阶无穷小 则 k = A B C D4 设函数 f( ) 则 = 是 f() 的 l A 可导点 极值点 B 不可导点 极值点 C 可导点 非极值点 D 不可导点
函数在一点处极限的定义 左 右极限及其与极限的关系 趋于无穷 (,, ) 时函数的极限四则运算法则夹逼准则 () 无穷小量与无穷大量 无穷小量与无穷大量的定义无穷小量的性质无穷小量的比较 无穷小量与无穷大量 的关系 () 两个重要极限 sin lim, lim( ). 要求 () 了解极限的概念 (
西北工业大学网络教育学院 招生考试专科起点本科高等数学复习大纲 ( 第七版 ) 总体要求考生应按本大纲的要求, 了解或理解 高等数学 中函数 极限和连续 一元函数微分学 一元函数积分学 多元函数微分学 排列与组合 概率论初步的基本概念与理论 ; 学会 掌握或熟练掌握上述各部分的基本方法. 应注意各部分知识的结构及知识的内在联系 ; 应具有一定的抽象思维能力 逻辑推理能力 运算能力 ; 能运用基本概念
d. 两个无穷小的比较 4. 用无穷小重要性质和等价无穷小代换 5. 用泰勒公式 ( 比用等价无穷小更深刻 )( 数学一和数学二 ) f() 设 limf()=0,limg()=0, 且 lim=l g (1)l=0, 称 f() 是比 g() 高阶的无穷小, 记以 n 当 0 时,e=1+++Λ+
高数总结 考研数学知识点 - 高等数学一. 函数的概念 1. 用变上 下限积分表示的函数 (1)y= ()y= 连续, 则公式 1.lim sin =1 0 n u f(t)dt, 其中 f(t) 连续, 则 1 dy =f() d ϕ()f(t)dt, 其中 ϕ(),ϕ() 可导,f(t) 1 ϕ() 1 1 公式.lim 1+ =e;lim 1+ =e; n u n u lim(1+v)=e v
? Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
Ⅰ Ⅱ1 2 Ⅲ Ⅳ ! " # $ <4D F736F F D20342DA3A8C5C5B0E6A3A9D7A8C9FDB1BEB8DFB5C8CAFDD1A7B8A8B5BCC5C5B0E6202E646F63>
西北工业大学现代远程教育专升本入学测试高等数学复习大纲 ( 第八版 ) 总体要求 考生应按本大纲的要求, 了解或理解 高等数学 中函数 极限和连续 一元函数微分学 一元函数积分学 多元函数微分学 排列与组合 概率论初步的基本概念与理论 ; 学会 掌握或熟练掌握上述各部分的基本方法. 应注意各部分知识的结构及知识的内在联系 ; 应具有一定的抽象思维能力 逻辑推理能力 运算能力 ; 能运用基本概念 基本理论和基本方法准确地计算
ZHAO338.S72
第 1 6 章 导数的应用 本章先介绍微分的概念及其简单应用, 再利用导数 来研究函数的某些性态, 讨论函数单调性的判定, 函数极 值的求法, 最后解决有关最大值 最小值的实际问题. 16-1 微分 图 16-1 一 微分的定义及表达式在许多实际问题中, 有时需要计算当自变量有一微小增量 Δ x 时, 相应函数的改变量 Δ y 的大小. 但一般来说如果函数很复杂, 计算函数的改变量 Δ y 也就很复杂.
2019 考研数学三考试真题及答案详解 来源 : 文都教育 一 选择题 :1~8 小题, 每小题 4 分, 共 32 分, 下列每题给出的四个选项中, 只有一个选项是符合题目要 求的. k 1. 当 x 0 时, 若 x - tan x 与 x 是同阶无穷小, 则 k = A. 1. B. 2. C
9 考研数学三考试真题及答案详解 来源 : 文都教育 一 选择题 :~8 小题 每小题 4 分 共 分 下列每题给出的四个选项中 只有一个选项是符合题目要 求的. k. 当 时 若 - ta 与 是同阶无穷小 则 k = A.. B.. C.. D. 4. k - ta - 若要 - ta 与 是同阶无穷小 \ k = \ 选 C 5. 已知方程 - 5 + k = 有 个不同的实根 则 k 的取值范围为
PowerPoint Presentation
第一章主要内容 一 极限 定义 : 运算法则 : 四则运算 复合函数 3 性质 : 有界性 唯一性 3 保号性 4 有界函数与无穷小量的乘积是无穷小量 5 lim A A α, 其中 lim α 4 无穷小量的阶 : 5 求极限的方法 : 定义, 运算法则及性质 ; 夹逼定理 ; 3 单调有界原理 求数列极限 ; 4 单侧极限与极限的关系 ; 5 两个重要极限 : si lim lim e lim
南京农业大学课程教学大纲格式与要求
微积分 I A 教学大纲 一 基本信息 课程名称 微积分 ⅠA 课程编号 MATH2113 英文名称 Calculus I A 课程类型 通识教育选修课 总学时 90 理论学时 90 实验学时 实践学时 学 分 5 预修课程 初等数学 适用对象 工科类 内容包含 : 第一部分为一元函数微分, 即函数 极限与连续 导数与微分 微分中值 课程简介 定理及导数的应用 ; 第一部分为一元函数微积分, 不定积分与定积分计算方法与应用
2008年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题
年全国硕士研究生入学统一考试 数学二试题 一 选择题 (~8 小题 每小题 4 分 共 分 下列每题给出的四个选项中 只有一个选项符合 题目要求的 请将所选项前的字母填在答题纸 指定位置上 ) () 函数 f ( ) = + 的无穷间断点的个数为 ( ) (A) (B) (C) (D) () 设 y y 是一阶线性非齐次微分方程 y p( ) y q( ) + = 的两个特解 若常数 λ µ 使 λ