8 应用数学 ( 第二版 上册 ) 则 m f ( a ) ; 若 M f ( a ) 且 m f ( a ) ). 下面仅以 M f ( a ) 的情况来证明 ( 如果 设 m f ( a ), 证法完全类似 ). 设 M f ( a ), 那么必定在开区间 ( a, b ) 内有一点 ξ, 使得

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1 第 章微分中值定理与导数的应用 学习目标 掌握并会使用罗尔定理 拉格朗日中值定理, 了解柯西中值定理. 熟练使用洛必达法则求未定式极限. 理解拐点的定义, 掌握利用导数判断函数的单调性和凹凸性的方法. 理解并掌握函数极值的概念与求法 ; 会描绘函数的图形 ; 掌握函数的最 大值和最小值的求法及其在工程 物理 科学实验中的简单应用 ; 理解 并掌握边际分析. 前面我们介绍了函数与微分的概念 性质及计算方法. 这里我们将在微分中 值定理的基础上, 利用导数来研究函数及曲线的某些性态, 进一步解决一些实际问题.. 微分中值定理 微分中值定理是导数应用的基础, 在微积分理论中占有重要地位, 它反映了 函数在某区间上的整体性质与函数在该区间内某一点处的导数之间的关系. 本节将介绍 个中值定理, 先介绍罗尔定理, 然后再由它推出拉格朗日中值定理... 罗尔定理 定理. ( 罗尔定理 ) 如果函数 f ( ) 满足 () 在闭区间 [ a, b ] 上连续 ; () 在开区间 ( a, b ) 内可导 ; () 在区间端点处的函数值相等, 即 f ( a) = f ( b ), 则在 ( a, b ) 内至少存在一点 ξ, 使得 f ( ξ ) =. 证明由于 f ( ) 在闭区间 [ a, b ] 上连续, 根据闭区间上连续函数的性质, f ( ) 在闭区间 [ a, b ] 上必定取得它的最大值 M 和最小值 m. 这样只有两种可能情形 : 即 f ( ) = m. 这时 f ( ) 在闭区间 [ a, b ] 上任意一点处必然取得相同的数值 M, = M. 由此有 f ( ) =, 因此可以取 ( a, b ) 内任意一点作为 ξ, 都有 ()M f ( ξ ) =. () M m. 因为 f ( a) = f ( b ), 所以最大值 M 和最小值 m 这两个数中至少 有一个不等于区间端点处的函数值 ( 即若 m = f ( a ), 则 M f ( a ) ; 若 M = f ( a ),

2 8 应用数学 ( 第二版 上册 ) 则 m f ( a ) ; 若 M f ( a ) 且 m f ( a ) ). 下面仅以 M f ( a ) 的情况来证明 ( 如果 设 m f ( a ), 证法完全类似 ). 设 M f ( a ), 那么必定在开区间 ( a, b ) 内有一点 ξ, 使得 f ( ξ ) = M. 下面证 明 f ( ) 在点 ξ 处的导数等于零 : f ( ξ ) =. 因为 ξ 是开区间 ( a, b ) 内的点, 根据定理条件 () 可知 f ( ξ ) 存在, 即极限 f ( ξ + ) f ( ξ ) lim 存在. 而极限存在必定左 右极限都存在并且相等, 因此 f ( ξ + ) f ( ξ ) f ( ξ + ) f ( ξ ) f ( ξ ) = lim = lim. + 由于 f ( ξ ) = M 是 f ( ) 在 [ a, b ] 上的最大值, 因此不论 是正的还是负的, 只 要 ξ + 在 [ a, b ] 上, 总有 f ( ξ + ) f ( ξ ), 即 f ( ξ + ) f ( ξ ). f ( ξ + ) f ( ξ ) 当 > 时,, 根据函数极限性质 4, 有 f ( ξ + ) f ( ξ ) f + ( ξ ) = lim, + 同理, 当 < 时, f ( ξ + ) f ( ξ ), f ( ξ + ) f ( ξ ) f ( ξ ) = lim, 由于 f ( ξ ) 存在, 于是 f ( ξ ) = f ( ξ ) = f ( ξ ), 因此必然有 f ( ξ ) =. 如图 所示. + 图 例. 验证罗尔定理对函数 y = ln sin 在 π, 5 π 6 6 上的正确性. 解 y = ln sin 是初等函数, 其定义域为 nπ < < nπ + π ( n =, ±, ). π 5π 因为初等函数在其定义区间内连续, 所以该函数在, 6 6 上连续 ; 又 π 5π π 5π y = cot 在, 内处处存在, 并且 f = f = ln, 可知函数在

3 π 5π, 6 6 上满足罗尔定理的条件. π 5 π π 由于 y = cot = 在, π 内显然有解 =, 取 ξ =, 则 f ( ξ ) =. 6 6 综上, 函数 y = ln sin 在 π, 5π 6 6 上满足罗尔定理的条件... 拉格朗日中值定理 罗尔定理中, f ( a) = f ( b ) 这一条件是相当特殊的, 它使罗尔定理的应用受到 限制, 如果将这个条件取消, 而保留其余的两个条件, 便可得到微分学中十分重 要的拉格朗日中值定理. 定理. ( 拉格朗日中值定理 ) 如果函数 f ( ) 满足 () 在闭区间 [ a, b ] 上连续 ; () 在开区间 ( a, b ) 内可导, 则在 ( a, b ) 内至少有一点 ξ ( a < ξ < b ), 使得 f ( b) f ( a) = f ( ξ )( b a ). (.) 拉格朗日中值定理有时也称为微分中值定理, 在微分学中占有十分重要的地 位 ( 如图 所示 ). 公式 (.) 称为拉格朗日中值公式. 图 它还有下面两种不同的变形, 可根据不同情况灵活运用 : f ( b) f ( a) = f ( a + θ ( b a))( b a ), < θ <. (.) f ( a + h) f ( a) = f ( a + θh) h, < θ <. (.) ( ) ( ) 证明引进辅助函数 ( ) ( ) [ ( ) f b f a ϕ = f f a + ( a )]. b a 容易验证函数 ϕ ( ) 满足罗尔定理的条件 : ϕ( a) = ϕ ( b ) =, ϕ ( ) 在闭区间 [ a, b ] f ( b) f ( a ) 上连续, 在开区间 ( a, b ) 内可导, 且 ϕ ( ) = f ( ). b a 根据罗尔定理, 可知在 ( a, b ) 内至少有一点 ξ, 使得 ϕ ( ξ ) =, 即 8 第 章 微分中值定理与导数的应用

4 8 应用数学 ( 第二版 上册 ) f ( b) f ( a ) f ( ξ ) =. b a f ( b) f ( a ) 由此得 f ( ξ ) =. b a 即 f ( b) f ( a) = f ( ξ )( b a ). 定理证明完毕. 特别地, 当 f ( a) = f ( b ) 时, 由 (.) 式可知 f ( ξ ) =, 可见罗尔定理是拉格 朗日定理的特殊情形. 例. 证明当 > 时, ln( ) + < + <. 证明设函数 f ( t) = ln( + t ), 显然当 > 时, f ( t ) 在区间 [, ] 上满足拉格朗 日中值定理的条件, 根据拉格朗日中值定理, 应有 f ( ) f () = f ( ξ )( ), < ξ <. 由于 f () =, f ( t ) =, 因此上式即为 ln(+ ) =. + t + ξ 又 < ξ <, 有 < <, 从而 + + ξ ln( ) + < + <. 定理. 如果函数 f ( ) 在区间 I 上的导数恒为零, 那么 f ( ) 在区间 I 上是一 个常数. 证明设在区间 I 上任取两点, ( < ), 应用 (.) 式得 f ( ) f ( ) = f ( ξ )( ) ( < ξ < ). 由已知, f ( ξ ) =, 所以 f ( ) f ( ) =, 即 f ( ) = f ( ). 因为, 是 I 上的任意两点, 所以上面的等式表明 : f ( ) 在 I 上任一点处的函数值总是相等的, 也就是说, f ( ) 在区间 I 上是一个常数. 从上述论证中可以看出, 虽然拉格朗日中值定理中的准确值不知道, 但在这 里并不妨碍它的应用... 柯西中值定理 定理.4 ( 柯西中值定理 ) 如果函数 f ( ) 和 g( ) 满足 () 在闭区间 [ a, b ] 上连续 ; () 在开区间 ( a, b ) 内可导 ; () 对任一 ( a, b ), g ( ), 则在 ( a, b ) 内至少有一点 ξ ( a < ξ < b ), 使得 f ( b) f ( a) f ( ξ ) =. (.4) g( b) g( a) g ( ξ )

5 证明略. 特别地, 如果 g( ) =, 则 g( b) g( a) = b a, g ( ) =, 从而公式 (.4) 变成 f ( b) f ( a) = f ( ξ )( b a) ( a < ξ < b ). 也即变成了拉格朗日中值公式了. 因此, 拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特 殊情形, 柯西中值定理又称广义中值定理. 练习题.. 下列函数在给定区间上是否满足罗尔定理的条件? 如满足, 求出定理中的 ξ : () f ( ) =, [,.5] ; () f ( ) =, [, ]. +. 下列函数在给定区间上是否满足拉格朗日中值定理的条件? 如果满足, 求出定理中的 ξ : () f ( ), [, ] = ; () f ( ) ln, [,e ] () f ( ) = 5 +, [,].. 洛必达法则 = ; 如果当 ( 或 ) 时, 两个函数 f ( ) 与 g( ) 都趋于零或都趋于无穷 f ( ) 大, 那么极限 lim 可能存在, 也可能不存在. 通常把这种极限称为未定式, g( ) ( ) 并分别记作 或. sin 在前面介绍过的重要极限 lim 绍一种简便而重要的方法, 专门解决未定式极限的问题... 与 型未定式 就是未定式. 本节将介 我们先来看 时的未定式 的情形, 关于这种情形有以下定理 : 定理.5 若函数 f ( ), g( ) 满足 : () lim f ( ) = 且 lim g( ) = ; () 在点 的某去心邻域内, f ( ) 及 g ( ) 都存在, 且 g ( ) ; f ( ) () lim 存在 ( 或为 ), g ( ) 那么 lim f ( ) f ( ) = lim ( 或为 ). g( ) g ( ) 证明略. 第 章 微分中值定理与导数的应用 8

6 84 应用数学 ( 第二版 上册 ) 也就是说, 当 lim f ( ) f ( ) f ( ) 存在时, lim 也存在且等于 lim ; 当 g ( ) g( ) g ( ) f ( ) f ( ) lim 为无穷大时, lim 也为无穷大. 这种在一定条件下通过对分子分母 g ( ) g( ) 分别求导再求极限来确定未定式值的方法称为洛必达法则. 我们再来看 时的未定式 的情形, 关于这种情形有以下定理 : 定理.6 若函数 f ( ), g( ) 满足 () lim f ( ) = 且 lim g( ) = ; () 在点 的某去心邻域内, f ( ) 及 g ( ) 都存在, 且 g ( ) ; f ( ) () lim 存在 ( 或为 ), g ( ) 那么 lim f ( ) f ( ) = lim ( 或为 ). g( ) g ( ) 证明略. 注 : 对于定理.5 和定理.6, 时仍然成立. e 例. 求 lim.( 型 ) 把 解当 时, 有 e 和, 这是 改为 +,,, +, 型未定式. 由洛必达法则 e e lim = lim =. cos 例.4 lim.( 型 ) 解当 时, 有 cos 和, 这又是 型未定式. 由洛必达法则 cos sin lim = lim. 当 时, 有 sin 和, 这是 型未定式. 再用洛必达法则 sin cos cos lim = lim =. 所以 lim =. 6 f ( ) 注 : 如果当 时, 仍属 型或 g ( ), 且 f ( ) 及 g ( ) 满足定理.5 或 f ( ) f ( ) 定理.6 中的条件, 那么可以继续对应用洛必达法则, 从而确定 lim, 即 g ( ) g( )

7 f ( ) f ( ) f ( ) lim = lim = lim. g( ) g ( ) g ( ) f 上述方法可依次类推, 直至 lim g ( n ) ( n ) ( ) 不是未定式为止. 要特别注意, 如果 ( ) 不是未定式, 就不能用洛必达法则, 否则会导致结果错误. π arctan 例.5 求 lim.( 型 ) + 解当 + 时, 有 π arctan 和, 这是 型未定式. 由洛必达 法则 π arctan lim lim = + = lim = ln 例.6 求 lim.( 型 ) + n 法则 解当 + 时, 有 ln + 和.. 其他类型未定式 + n + n + n n +, 这是 型未定式. 由洛必达 ln lim lim lim = n = n =. 还有一些其他类型的未定式, 如,,,, 型未定式, 可通过变换转 化为 或 型未定式来计算. 下面我们通过具体的例子来说明. 例.7 求 lim ln.( 型 ) + ln 解 lim ln = lim ( 已化成型 ) + + = lim = lim ( ) =. + + 例.8 求 lim(sec tan ).( 型 ) π 85 第 章 微分中值定理与导数的应用

8 86 应用数学 ( 第二版 上册 ) 解 sin lim(sec tan ) = lim cos cos π π 对于,, sin = lim ( 已化成 型 ) cos π cos = lim = =. sin π 型未定式, 利用公式 y = e ln y, 将所给的函数化为以 e 为底的指 数函数, 再利用指数函数的连续性, 将所求函数极限转化为求指数的极限, 从而将该类未定式转化为前面所讨论过的类型. 例.9 求 lim.( 型 ) + 解这是 型未定式. 由公式 y = e ln y ln, 知 = e, lim ln ln 所以 lim lim e e + = =, 由例.7 的结论 lim ln = 可得 + + 例. 求 lim (cot ) + sin lim = e =. +.( 型 ) sin sin ln cot 解这是 型未定式. 因为 (cot ) = e, + ln cot tan ( csc ) sin 而 lim sin ln cot = lim = lim = lim =, 所以 csc csc cot cos sin lim (cot ) e + = =. 洛必达法则虽然是求未定式的值的一种有效的方法, 但最好能与其他求极限的 方法结合使用, 能用等价无穷小替换或重要极限时, 尽可能应用, 可使运算简化. 练习题.. 利用洛必达法则求下列极限 : e () lim e ln ; () lim ; π ln + () lim ; (4) lim + ; + π tan ln + (5) lim sin ; (6) lim. + arccot π tan 5

9 . 求下列各式的极限 : sin cos e cos () lim ; () lim ; π tan sin 4 ln tan 7 () lim + ln tan e π ; (4) lim ( ) tan ; (5) lim ; (6) lim ln ; (7) lim + + ln ; (8) lim ln e.. 函数的单调性与曲线的凹凸性 第一章我们已经介绍了函数单调性的概念, 本节将利用导数来研究函数的单 调性和曲线的凹凸性... 函数的单调性 定理.7 设函数 y = f ( ) 在 [ a, b ] 上连续, 在 ( a, b ) 内可导, () 如果在 ( a, b ) 内 f ( ) >, 那么函数 y = f ( ) 在 [ a, b ] 上单调增加 ; () 如果在 ( a, b ) 内 f ( ) <, 那么函数 y = f ( ) 在 [ a, b ] 上单调减少. 证明在 [ a, b ] 上任取两点, ( < ), 由拉格朗日中值定理可得 f ( ) f ( ) = f ( ξ )( ) ( < ξ < ). 由于 >, 因此, 如果在 ( a, b ) 内 f ( ) >, 则 f ( ξ ) >, 所以有 f ( ) f ( ) = f ( ξ )( ) >, 即 f ( ) > f ( ). 从而, 函数 y = f ( ) 在 [ a, b ] 上单调增加. 同理, 如果在 ( a, b ) 内 f ( ) <, 则 f ( ξ ) <, 所以有 f ( ) f ( ) <, 即 f ( ) < f ( ). 从而, 函数 y = f ( ) 在 [ a, b ] 上单调减少. 注 : 如果将定理.7 中的闭区间换成其他各种区间 ( 包括无穷区间 ), 结论依 然成立. 例. 讨论函数 y = 的单调性. 解这个函数的定义域为 (, + ). 当 时, 此函数的导数为 当 = 时, 函数的导数不存在. 在 (,) 内, y <, 因此函数 y = 在 (,] 上单调减少. y =, 第 章 微分中值定理与导数的应用 87

10 88 应用数学 ( 第二版 上册 ) 在 (, + ) 内, y >, 因此函数 图 所示. y = 在 [, + ) 上单调增加. 函数的图形如 图 例. 证明当 > 时, + < +. 分析 : 令 f ( ) = + +, 则只需证当 > 时, f ( ) > 即可. 证明令 f ( ) = + +, 则 f ( ) =. + 当 > 时, f ( ) >, 因此 f ( ) 在 [, + ) 上单调增加, 从而 f ( ) > f (). 又 由 f () = 得 f ( ) > ( > ), 故 当 > 时,.. 曲线的凹凸性 f ( ) = + + >, 即 + < +. 函数的单调性反映在图形上就是曲线的上升或下降, 但上升或下降过程中还要考虑曲线的弯曲方向, 如图 4 所示, 两条弧线都是上升的, 但 ACB 是向上凸的曲线弧, 而 ADB 是向下凹的, 即两者凹凸性不同. 下面来讨论曲线的凹凸性及其判定方法. 曲线的凹凸性可以用连接曲线弧上任意两点的弦的中点与弧线上弦 的中点具有相同横坐标的点的位置关系来描述, 我们有如下定义. 图 4

11 定义. 设 f ( ) 在区间 I 上连续, 如果对 I 上任意两点,, 恒有 + f ( ) + f ( ) f <. 则称 f ( ) 在 I 上的图形是 ( 向下 ) 凹的 ( 或凹弧 ), 如图 5(a) 所示 ; 如果恒有 + f ( ) + f ( ) f >. 则称 f ( ) 在 I 上的图形是 ( 向上 ) 凸的 ( 或凸弧 ), 如图 5(b) 所示. 图 5 上面的定义也可这样描述 : 如果在某区间内, 曲线弧位于其上任意一点的切线的上方, 则称曲线在这个 区间内是凹的, 如果在某区间内, 曲线弧位于其上任意一点的切线的下方, 则称 曲线在这个区间内是凸的. 如果函数 f ( ) 在 I 内具有二阶导数, 则可利用二阶导数的符号来判定曲线的 凹凸性, 我们有以下判定定理. 定理.8 ( 曲线的凹凸性的判定法 ) 设函数 y = f ( ) 在 [ a, b ] 上连续, 在 ( a, b ) 内具有一阶和二阶导数, 则有 () 如果在 ( a, b ) 内 f ( ) >, 那么函数 y = f ( ) 在 [ a, b ] 上的图形是凹的 ; () 如果在 ( a, b ) 内 f ( ) <, 那么函数 y = f ( ) 在 [ a, b ] 上的图形是凸的. 证明略. 例. 判定曲线 y = 4 的凹凸性. 解该函数在其定义域 (, + ) 内连续. 因为 y = 4, y =, 所以在函 数的定义域 (, + ) 内, y <, 由定理.8 知, 曲线 (, + ) 上是凸的. 例.4 判定曲线 y = 的凹凸性. y = 4 在函数的定义域 第 章 微分中值定理与导数的应用 89

12 9 应用数学 ( 第二版 上册 ) 解所给函数在其定义域 (, + ) 内连续. 当 时, y =, y =. 当 = 时, y 和 y 都不存在, 所以 9 二阶导数在其定义域 (, + ) 内连续且没有零点, 只有一个 y 不存在的点. 点 = 把整个定义域分为两部分 :(,),(, + ). 当 (,) 时, y > ; 当 (, + ) 时, y <. 因此, 曲线在 (,] 上是凹的, 在 [, + ) 上是凸的. 当 = 时 y =, 点 (,) 是曲线 y = 的拐点. 一般地, 设 y = f ( ) 在区间 I 上连续, 是区间 I 的内点, 如果曲线 y = f ( ) 的凹凸性在点 (, f ( )) 处发生改变, 则称点 (, f ( )) 为曲线的拐点. 在例.4 中, 点 (,) 就是曲线 y = 的拐点. 如何来寻找曲线 y = f ( ) 的拐点呢? 由定理.8 可知, 可根据二阶导数 f ( ) 的符号来判定曲线的凹凸性. 因此, 若 f ( ) 在点 的左 右两侧邻近异号, 则点 (, f ( )) 就是曲线的一个拐点, 所以, 要寻找拐点, 只要找出 f ( ) 符号发生变化的分界点即可. 若 f ( ) 在区间 ( a, b ) 内具有二阶连续导数, 则在这样的分界点处必有 f ( ) =. 此外, f ( ) 不存在的 点, 也可能是 f ( ) 符号发生变化的分界点. 综上所述, 求连续曲线 y = f ( ) 的拐点及凹凸性的一般步骤为 : 给出函数的定义域 ; 求出函数的二阶导数 f ( ) ; 令 f ( ) =, 解出此方程在定义域内的全部实根, 并求出在定义域内 f ( ) 不存在的点, 这些点把定义域分为若干个部分区间 ; 4 对 中求出的每一个点, 检查 f ( ) 在 左 右两侧邻近的符号, 如果两侧符号相反时, 则点 (, f ( )) 是曲线的拐点 ; 如果两侧符号相同时, 点 (, f ( )) 不是曲线的拐点 ; 5 根据定理.8 判定各个部分区间上曲线的凹凸性. 例.5 求曲线 y = 的拐点及凹凸区间. 解所给函数的定义域为 (, + ). 对函数求导得 y = +, y = 令 y = 得 =. 点 = 把整个定义域分为两部分 : (, ), ( 5, ) 当 < 时, y < ; 当 > 时, y >. 5 当 = 时, y =, 所以点 5 5, 是所给曲线的拐点 ; 凸区间为 (, ), 7 7

13 凹区间为 5 (, ) +. 4 例.6 求曲线 y = ( + ) + e 的拐点和凹凸区间. 解所给函数在其定义域 (, + ) 内连续. 因为 y = 4( + ) + e, y = ( + ) + e, 所以在 (, + ) 内, y >, 从而, 曲线在 (, + ) 内为凹的, 没有拐点. 练习题.. 求下列函数的单调区间 : () y = + 4 ; () y = ( + ) ( ) ; () y = ln( + ) ; (4) y = ; + 4 (5) y = + ; (6) y = e ; (7) y = arctan ; (8) (9) y = + ; (). 证明函数 y = ln( + ) 单调增加.. 证明函数 y = sin 单调减少. y = ; y ln =. 4. 求下列函数图形的拐点及凹凸区间 : () y = 6 + ; () y = + ( > ) ; 4 () y = ln( + ) ; (4) y = (ln 7). 5. 问 a, b 为何值时, 点 (,) 为曲线 y = a + b 的拐点?.4 函数的极值与最大值 最小值 极值反映了函数的一种局部性态, 为我们进一步了解函数的变化规律以及描绘函数图形提供了方便, 而最大值与最小值反映了函数在所讨论范围内的一种整体性态. 本节主要讨论极值与最大值 最小值的判定和求法..4. 函数的极值定义. 设函数 y = f ( ) 在点 的某邻域 U ( ) 内有定义, 如果对于去心邻 域 U ( ) 内的任意一点, 有 第 章 微分中值定理与导数的应用 9

14 9 应用数学 ( 第二版 上册 ) f ( ) ( ) < f ( 或 f f ( ) > ( ) ). 则称 f ( ) 是函数 y = f ( ) 的一个极大值 ( 或极小值 ). 函数的极大值与极小值统称为函数的极值, 使函数取得极值的点称为极值点. 函数的极值概念是局部性的. 如果 f ( ) 是 f ( ) 的一个极大值 ( 或极小值 ), 则只是在 附近的一个局部范围内, f ( ) 是 f ( ) 的一个最大值 ( 或最小值 ), 而在整个定义域上 f ( ) 不一定是最大值 ( 或最小值 ), 且极大值不一定比极小值大. 如图 6 所示, 函数 f ( ) 有 个极大值 : f ( ), f ( 5 ), 个极小值 : f ( ), f ( 4 ), f ( 6 ), 其中极大值 f ( ) 比极小值 f ( 6 ) 还小. 在整个区间 [ a, b ] 上只有一个极小值 f ( ) 同时也是最小值, 而没有一个极大值是最大值. 图 6 由图可见, 在函数取得极值处, 曲线的切线是水平的. 但曲线上有水平切线的地方, 函数不一定取得极值. 例如, 图中 = 处, 曲线上有水平切线, 但 f ( ) 不是极值. 下面我们来讨论极值存在的条件. 定理.9( 必要条件 ) 设 f ( ) 在 处可导, 且在 处取得极值, 则 f ( ) =. 证明略 ( 可参考罗尔中值定理的证明过程 ). 通常称导数为零的点为函数的驻点. 定理.9 说明, 可导函数的极值点必定为它的驻点. 但反过来, 函数的驻点不 一定是极值点. 例如, 函数 y = 的驻点为 =, 但 = 不是该函数的极值点. 因 此, 驻点只是可能的极值点. 此外, 导数不存在的点也可能是极值点. 例如, f ( ) = 在点 = 处不可导, 但在该点取得极小值. 如何判定函数在驻点或不可导点处取得极值? 若能的话, 是取得极大值还是 极小值? 下面根据极值的定义与函数的单调性的判定方法给出如下判定极值的充 分条件. 定理.( 第一充分条件 ) 设函数 f ( ) 在点 处连续, 且在点 的某去心 邻域 U ( ) 内可导.

15 () 若 ( δ, ) 时, f ( ) >, (, + δ ) 时, f ( ) <, 则 f ( ) 在 处取得极大值 ; () 若 ( δ, ) 时, f ( ) <, (, + δ ) 时, f ( ) >, 则 f ( ) 在 处取得极小值 ; () 若 U (, δ ) 时, f ( ) 的符号保持不变, 则 f ( ) 在 处没有极值. 证明对情形 (), 由函数单调性的判定法, f ( ) 在 左侧单调增加, 而在 右侧单调减少, f ( ) 在 处连续, 所以, 当 U (, δ ) 时, 总有 f ( ) < f ( ). 因此, f ( ) 是 f ( ) 的一个极大值, 如图 7(a) 所示. 所示 ). 同理可证情形 ()( 如图 7(b) 所示 ) 和情形 ()( 如图 7(c),(d) 图 7 由定理.9 和定理. 可得, 对于除个别点外处处可导的函数 f ( ) 来说, 求 函数在其定义域内的极值点和相应极值的一般步骤为 : 给出函数的定义域 ; 求出导数 f ( ) ; 在函数的定义域内, 求出 f ( ) 的所有驻点和一阶导数不存在的点 ; 4 判定 f ( ) 在每个驻点或不可导点左 右两侧邻近的符号变化情况, 并确 定该点是否为极值点 ; 若是极值点, 进一步确定是极大值点还是极小值点 ; 9 第 章 微分中值定理与导数的应用

16 94 应用数学 ( 第二版 上册 ) 5 求出各极值点处的函数值, 即为函数 f ( ) 的全部极值. 例.7 求函数 f ( ) = ( ) 的极值. 解 () 函数在 (, + ) 内连续, 除 = 外处处可导, 且 f ( ) = 5 ; () 令 f ( ) =, 得驻点 =, = 为 f ( ) 的不可导点. 5 () 在, 内, f ( ) > ; 在, 内, f ( ) <, 故驻点 = 是一个 极大值点, 又在 (, + ) 内, f ( ) >, 故不可导点 = 是一个极小值点 ; (4) 极大值为 f 4 5 =, 极小值为 f () =. 5 5 当函数 f ( ) 在驻点处的二阶导数存在且不为零时, 也可以利用下述定理来判 定 f ( ) 在驻点处是取得极大值还是极小值. 定理.( 第二充分条件 ) 设 f ( ) 在 处具有二阶导数且 f ( ) =, f ( ), 则 () 当 f ( ) < 时, 函数 f ( ) 在 处取得极大值 ; () 当 f ( ) > 时, 函数 f ( ) 在 处取得极小值. 证明略. 也就是说, 若函数 f ( ) 在驻点 处的二阶导数 f ( ), 则该驻点 一定是极值点, 且可由二阶导数 f ( ) 的符号来判定 f ( ) 是极大值还是极小值. 但当 f ( ) =, f ( ) = 时, 定理. 失效, 此时 f ( ) 在点 处可能有极大值, 也 可能有极小值, 也可能没有极值, 所以需用第一充分条件来判定. 例如, 函数 y =, y =, y = 在 = 处就分别属于上述 种情况 函数的最大值 最小值及其在工程 经济中的应用 在工程 经济 科学实验等实际应用过程中, 往往会遇到在一定条件下, 怎样使 用料最省 成本最低 利润最大 效率最高 受力最小 等问题, 此类问题在数学上可归结为求某一函数 ( 通常称为目标函数 ) 的最大值 最小值 问题. 假定函数 f ( ) 在闭区间 [ a, b ] 上连续, 在开区间 ( a, b ) 内除有限个点外可导, 且至多有有限个驻点. 由 f ( ) 在闭区间 [ a, b ] 上连续知 f ( ) 在 [ a, b ] 上一定存在最 大值和最小值. 函数 f ( ) 的最大值 ( 最小值 ) 既可能在区间内部取得, 也可能在 区间端点处取得. 但是, 如果函数 f ( ) 的最大值 ( 或最小值 ) 在 ( a, b ) 内的 点取得, 则 f ( ) 一定也是 f ( ) 的极大值 ( 或极小值 ), 也即 一定是 f ( ) 的驻点或不可导点. 由此可得, 求函数 f ( ) 在闭区间 [ a, b ] 上的最大值和最小值的步骤为 : 求出 f ( ) 在 ( a, b ) 内所有可能的极值点, 即所有驻点及一阶导数不存在的

17 连续点 ; 计算各个驻点和不可导点处的函数值以及区间端点处的函数值 f ( a ), f ( b ) ; 比较 中各函数值的大小, 其中最大的即为 f ( ) 在 [ a, b ] 上的最大值, 其 中最小的即为 f ( ) 在 [ a, b ] 上的最小值. 4 例.8 求函数 f ( ) = + 在 [, ] 上的最大值和最小值. 解 ( ) = 4 4 = 4 ( + )( ). f 令 f ( ) =, 解得 =, =, = ; 由于 f () =, f () =, f ( ) =, f ( ) =, f () = ; 比较这五个函数值, 得出 f ( ) 在 [, ] 上的最大值为 f ( ± ) =, 最小值为 f ( ± ) =. 例.9 某厂生产某种产品, 其固定成本为 万元, 每生产一百件产品, 成 本增加 万元, 其收入 R( 单位 : 万元 ) 是产量 q( 单位 : 百件 ) 的函数 : R = 5 q q. 求达到最大利润时的产量. 解由题意, 成本函数为 C = + q, 那么利润函数为 L R C q q 因为 L = q. 令 L =, 得 q = ( 百件 ). = = +. 又因为 L () = <, 所以当 q = 时, 函数取得极大值, 因为是唯一的极值 点, 所以就是最大值点. 即产量为 件时取得最大利润. 例. 设有质量为 5 kg 的物体, 置于水平面上, 受力 F 的作用而开始移动, 如图 8 所示. 设摩擦系数 µ =.5, 问力 F 与水平线的交角 α 为多少时, 才可使 力 F 的最小? 图 8 第 章 微分中值定理与导数的应用 95

18 96 应用数学 ( 第二版 上册 ) 解首先对物体进行受力分析. 在竖直方向上 : N = mg F sin α ; 在水平方向上 : f = µ N = F cos α. 所以 F cos α = µ ( mg F sin α ), 即 µ mg (sinα µ cos α ) 由于 F ( α ) = (cosα + µ sin α ) µ mg π F = ( α ). cosα + µ sinα, 令 F ( α ) =, 得 α = arctan µ = arctan.5. π π 又因为 F 的最小值一定存在, 且在, 内取得, 且 F ( α ) = 在, 内只 有一个根, 故当 α = arctan.5 4 时, F 的值最小. 例. 设工厂到铁路线的垂直距离为 km, 垂足为 B, 铁路线上距离 B 为 km 处有一原料供应站 C( 如图 9 所示 ). 现在要从铁路 BC 中间某处 D 修建 一个车站, 再由车站 D 向工厂 A 修一条公路, 问 D 应选在何处才能使得从原料供 应站 C 运货到工厂 A 所需运费最省? 已知每千米的铁路运费与公路运费之比为 : 5. 图 9 解设 BD = (km), 则 CD =, AD = +, 由于铁路每千米货 物运费与公路每千米货物运费之比为 : 5, 因此, 不妨设铁路上每千米运费为 k, 则公路上每千米运费为 5k, 并设从 C 点到 A 点需要的总运费为 y, 则 y k k = ( ) ( ), 我们的问题就是求出函数的最小值点. 为此, 计算 y : y = k 5 k, 4 + 令 y =, 则 = 5 为函数 y 在其定义域内的唯一驻点, 故知 y 在 = 5 得最小值, 即 D 应选在距 B 为 5 km 处, 运费最省. 处取

19 在求函数的最大 ( 小 ) 值时, 若在一个区间 ( 有限或无限 ) 内连续函数 f ( ) 只有唯一的一个驻点或不可导点 ( 即当 时, f ( ) 都存在且 f ( ) ), 那么, 当 f ( ) 是 f ( ) 的极大 ( 小 ) 值时, f ( ) 必定也是 f ( ) 在该区间的最大 ( 小 ) 值. 另外, 在实际问题中若能根据问题的实际意义, 断定所讨论的函数在定义区 间内必存在最大 ( 小 ) 值, 并且此时函数在相应区间内仅有一个驻点或不可导点, 则可以断言在该点处函数必取得最大 ( 小 ) 值. 例. 要造一个圆柱形油罐, 体积为 V, 问底面半径 r 和高 h 等于多少时, 才能使得表面积最小? 这时底面直径与高的比是多少? 解依据题意, 有 V = π r h, 其中 V 为常量, 所以 V h =, π r V 表面积 S = π r + π r h = π r +. 这里 S 是因变量,r 是自变量,S 是 r 的函数. r 令 得唯一驻点 r = V π V (π r V ) S r = 4π r = =, r r, 这时 V π V h = = = r. π V π 由问题的实际意义和驻点的唯一性可知, 当 r = 面积最小. 这时底面直径与高的比为 :. V π V 和 h = r = 时, 表 π 练习题.4. 求下列函数的极值点和极值 : () y = + ; () y = + 4 ; () y = e ; (4) y = ; (5) y = ; + (6) y = ln ; (7) y = + ; (8) y = e ; (9) y = + ; () y = ( + ). 97 第 章 微分中值定理与导数的应用

20 98 应用数学 ( 第二版 上册 ). 利用极值判别法的第二充分条件, 判断下列函数的极值 : () y = 9 5 ; () y = ( ) ( ) ; 4 () y = ln(4 ) ; (4) y =.. 求下列函数在给定区间上的最大值和最小值 : () y = +, [,4] ; () () y = +, [.,] ; (4) y = 4 + 6, [,] ; y =, [, 4] ; + (5) y = ln, e, ; (6) y = 4, [ 5,5] ; (7) y =,, 生产某种产品 q 个单位时的费用为 C( q) = 5q +, 收入函数为 R( q) q. q =, 问每批生产多少个单位, 才能使利润最大? 5. 求用边长为 48 cm 的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时, 在铁皮的四角各截 去一个面积相等的小正方形, 然后把四边折起, 就能焊成铁盒 ( 如图 所示 ). 问 在四角截去多大的正方形, 才能使所做的铁盒容积最大? 图.5 函数图形的描绘 根据前面的讨论可知, 由一阶导数的符号可以确定函数的单调性以及极值点, 由二阶导数的符号可以确定曲线的凹凸性以及拐点. 知道了函数图形的升降 凹凸以及极值点和拐点, 就可以掌握函数的性态, 从而可以较准确地描绘出函数 图形.

21 .5. 渐近线 为了把握曲线在无穷区间上的变化趋势, 更好地描绘函数图形, 我们先来介 绍曲线的渐近线的概念. 定义. 如果曲线 y = f ( ) 上的一动点沿着曲线移向无穷远时, 该点与某条 直线 L 的距离趋于零, 则称直线 L 为曲线 y = f ( ) 的一条渐近线. 渐近线分为水平渐近线 铅直渐近线和斜渐近线, 我们仅就前两种渐近线介 绍如下 :. 水平渐近线如果函数 y = f ( ) 的定义域是无穷区间, 若 lim f ( ) = C ( C 为常数 ), 那么 称直线 y = C 为曲线 y = f ( ) 的水平渐近线.( 对于 +, 有同样的 结论 ).. 铅直渐近线如果函数 y = f ( ) 在点 的去心邻域有定义, 若 lim f ( ) =, 那么称直线 = 为曲线 y = f ( ) 的铅直渐近线 ( 对于 +, 有同样的结论 ). 例如, 对于函数 y =, 因为 lim =, 所以 y = 为 y = 的水平渐 近线 ; 又因 lim =, 所以 = 为 y = 的铅直渐近线, 如图 所示..5. 函数图形的描绘 图 随着科学技术的发展, 可以借助许多软件描绘出各种函数的图形, 但还需要 我们会运用微分学的知识, 对机器作图过程中误差的识别 图上关键点的选取 作图的范围等作出界定. 下面我们给出利用导数描绘函数图形的一般步骤 : 确定函数 y = f ( ) 的定义域, 讨论函数具有的某些特性, 如奇偶性 周期性 有界性等, 求出函数的一阶导数 f ( ) 和二阶导数 f ( ) ; 99 第 章 微分中值定理与导数的应用

22 应用数学 ( 第二版 上册 ) 求出 f ( ) = 和 f ( ) = 在函数定义域内的全部实根, 并求出 f ( ) 的间断 点及 f ( ) 和 f ( ) 不存在的点, 用这些点把函数的定义域分成若干个区间 ; 确定 f ( ) 和 f ( ) 在这些部分区间内的符号, 由此确定函数图形的升降 凹凸以及极值点和拐点 ; 4 确定函数图形的水平渐近线 铅直渐近线及其他变化趋势 ; 5 计算 f ( ) 和 f ( ) 的零点及不存在的点处的函数值, 找出图形中相应的点 ; 为了更准确地描绘图形, 有时还需要补充一些特殊的点 ; 6 结合 4 中得到的结果, 用光滑的曲线连接这些点画出函数 f ( ) 的图形. 6 例. 描绘函数 y = f ( ) = + 的图形. ( + ) 解所给函数的定义域为 (, ) (, + ), 6( ) 7( 6) f ( ) =, f ( ) =, 令 f ( ) =, 得 = ; 令 f ( ) =, 得 4 ( + ) ( + ) = 6 ; 函数的间断点为 =. 点 =, =, = 6 把定义域分成 4 个部分区间 : (, ),(,],[,6],[6, + ). 各部分区间内 f ( ), f ( ) 的符号 相应曲线弧的 升降及凹凸 极值点和拐点等见表. 表 (, ) (, ) (,6 ) 6 ( 6, + ) f ( ) + f ( ) + f ( ) 极大值 拐点 因为 lim f ( ) =, lim f ( ) =, 所以, 函数图形有一条水平渐近线 y = 和一 条铅直渐近线 =. 又因为 f () = 4, f (6) =, 从而得图形上两点 : M (, 4), M 6,. 再补充一些点, 由 f () =, f ( ) = 8, f ( 9) = 8, f ( 5) =, 得图形上的 4 4 个点 : M (,), M 4 (, 8), M 5( 9, 8), M 6 5, 4. 6 用光滑的曲线连接上述这些点, 可画出函数 y = + 的图形, 如图 ( + ) 所示.

23 图 练习题.5 描绘下列函数的图形 : 8 4 () y = ; () y = 导数在经济分析中的应用 本节介绍导数在经济学中的一个应用 边际分析.. 边际成本 C( q + q) C( q ) 边际成本为成本函数关于产量 q 的导数, 即 C ( q ) = lim. 在 q q 经济学中解释为, 边际成本 C ( q ) 表示产量为 q 时, 成本对产量的变化率. 可近似 理解为 : 当产量为 q 时, 再增加 ( 或减少 ) 一个单位产量, 总成本增加 ( 或减少 ) 的数量. 设某产品产量为 q 单位时所需的总成本为 C = C( q ). 由于 C( q + ) C( q) = C( q) d C( q ) = C ( q) q C ( q ). 例.4 设某产品产量为 q ( 单位 : 吨 ) 时的总成本函数 ( 单位 : 元 ) 为 求 :() 产量为 吨时的总成本 ; C( q) = + 7q + 5 q. () 产量为 吨时的平均成本 ; () 产量为 吨增加到 5 吨时, 总成本的平均变化率 ; (4) 产量为 吨时, 总成本的变化率 ( 边际成本 ). 第 章 微分中值定理与导数的应用

24 应用数学 ( 第二版 上册 ) 解 () 产量为 吨时的总成本为 C () = = ( 元 ); () 产量为 吨时的平均成本为 C () C () = = ( 元 / 吨 ); () 产量从 吨增加到 5 吨时, 总成本的平均变化率为 C C(5) C () 5 = = = 9 ( 元 / 吨 ); q 5 5 (4) 产量为 吨时, 总成本的变化率即边际成本为 5 C () = ( + 7q + 5 q ) q = = 7 + = 9.5 ( 元 ). q q = 这个结论的经济含义是 : 当产量为 吨时, 再多生产 吨所增加的成本为 9.5 元.. 边际收益边际收益为收益函数 R( q ) 关于销售量 q 的导数 R ( q ). 在经济学中解释为, 边 际收益 R ( q ) 表示销售量为 q 时, 收益对销售量的变化率. 可近似理解为 : 当产量 为 q 时, 再多销售一个单位产品, 总收益增加 ( 或减少 ) 的数量.. 边际利润设某产品的销售量为 q 单位时的利润函数为 L = L( q ), 边际利润为利润函数 L( q ) 关于销售量 q 的导数 L ( q ). 在经济学中解释为, 边际利润 L ( q ) 表示销售量 为 q 时, 利润对销售量的变化率. 可近似理解为 : 当销售量为 q 时, 再多销售一个 单位产品, 总利润增加 ( 或减少 ) 的数量. 由于利润函数为收益函数与总成本函数之差, 即 L( q) = R( q) C( q ), 由导数运算法则可知 L ( q) = R ( q) C ( q ), 即边际利润为边际收益与边际成本 之差. 例.5 某工厂进行了大量的统计分析后, 得出总利润 L = L( q ) ( 单位 : 元 ) 与每月销量 q ( 单位 : 吨 ) 的关系 L( q) = 5q 5 q, 试确定每月销量分别为 吨,5 吨,5 吨时的边际利润, 并作出经济解释. 解边际利润函数为 L ( q) = 5 q, 则 ( ) = q 5, L q q = 5 L q = ( ) =, L ( q ) = q =. 5 上述结果表明, 当每月销量为 吨时, 利润对销量的变化率为 5 元 / 吨 ; 当每月销量为 5 吨时, 利润对销量的变化率为 元 / 吨 ; 当每月销量为 5 吨 时, 利润对销量的变化率为 - 元 / 吨. 此例也说明, 对厂家来说, 并非销量越大, 利润就越高. 厂家该利用相关知识作出科学的产量决策.

25 () 产量 4. 边际需求边际需求为需求函数 Q( p ) 关于价格 p 的导数 Q ( p ). 在经济学中解释为, 边 际需求 Q ( p ) 是当价格为 p 时, 需求量 Q( p ) 对价格 p 的变化率. 可近似理解为 : 当价格为 p 时, 价格上涨 ( 或下降 ) 个单位需求量将减少 ( 或增加 ) 的数量. 练习题.6. 设某产品的产量与价格的函数关系 q = 5 p, 求边际收入函数, 以及 q =,5 和 7 的边际收入.. 某产品的收益函数和总成本函数分别为 R( q) = 8 q q, C( q) = 5 + q, 5 求边际利润函数, 并计算 q = 5 和 q = 4 时的边际利润. 习题三. 验证拉格朗日中值定理对函数 y = 在区间 [,] 上的正确性.. 试证明对函数 y = p + q + r 应用拉格朗日中值定理时所求得的点 ξ 总是 位于区间的正中间. π. 对函数 f ( ) = sin 及 F( ) = + cos 在区间, 上验证柯西中值定理的 正确性. 4. 用洛必达法则求下列极限 : ln( + ) e e () lim ; () lim ; sin sin sin α sin () lim ; (4) lim ; α α π tan 5 (5) lim ln sin ; (6) lim π (π ) a (7) lim cot ; (8) lim m n a a e a (9) lim ; () lim 确定下列函数的单调区间 : () y = ( )( + ) ; () y = ( a )( a ) ( a > ) ; m n ; ; 第 章 微分中值定理与导数的应用

26 4 应用数学 ( 第二版 上册 ) () n y = e ( n >, ) ; (4) y = + sin. 6. 试证明方程 sin = 只有一个实根. 7. 求下列函数的极值 : () y = + ; () y = ln( + ) ; () y = ; (4) y = e cos ; (5) y = ( + ) ; (6) y = + tan. 8. 求下列函数图形的拐点和凹凸区间 : () y = ; () y = e ; 4 () y = ( + ) + e arctan ; (4) y = e. 9. 求椭圆 y + y = 上纵坐标最大和最小的点.. 问函数 y = ( 4) 在何处取得最大值? 并求出它的 最大值.. 有一杠杆, 支点在它的一端. 在距支点. m 处挂一重量为 49 kg 的物体. 加 力于杠杆的另一端使杠杆保持水平 ( 如图 所示 ). 如果杠杆每米的重量为 5 kg, 求最省力的杆长?. 从一块半径为 R 的圆铁片上挖去一个扇形做成一个漏斗 ( 如图 4 所示 ). 问留下的扇形的中心角 ϕ 取多大, 做成的漏斗的容积最大? 图 图 4. 描绘出下列函数的图形 : 4 () y = ( ) ; () y =. 5 +