3. 中值定理. 5. 由图 3. 可以看出, 函数 y fpq 在点, 2, 3, 4 取得极值, 如果有切线, 则切线与轴平行. 即在极值点, 如果函数 y fpq 存在导数, 则导数为零. 反之不然. 即函数在导数等于的点不一定取得极值. 例如, 函数 fpq 3, f pq, 但 fpq

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殊殷
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1 第 3 章导数应用学习目标与要求. 掌握微分中值定理并能解决实际问题. 2. 掌握洛必达法则及其应用. 3. 掌握用导数求函数的极值最值的方法. 4. 掌握用导数的方法判断函数的单调性描绘函数图像. 5. 掌握用导数与微分的知识解决实际问题的方法. 6. 掌握理解曲率的概念, 掌握曲率的应用. 3. 中值定理 3.. 罗尔定理如图 3. 所示, 函数 y fpq 的图像在点, 3 处出现峰, 即函数值 fp q, fp 3 q 是局部最大值. 函数 y fpq 的图像在点 2, 4 处出现谷, 即函数值 fp 2 q, fp 4 q 是局部最小值. 对于这种点和对应的函数值, 定义如下. 图 3. 函数的极值定义 3. 函数极值设函数 fpq 在区间 I 有定义. 若 P I, 且存在的某邻域 Up q Ă I, P Up q, 有 fpq ď fp q p 或 fpq ě fp qq, 则称是函数 fpq 的极大值点 ( 或极小值点 ),fp q 是函数 fpq 的极大值 ( 或极小值 ). 函数的极大值点和极小值点统称为函数的极值点, 函数的极大值和极小值统称为函数的极值.

2 3. 中值定理. 5. 由图 3. 可以看出, 函数 y fpq 在点, 2, 3, 4 取得极值, 如果有切线, 则切线与轴平行. 即在极值点, 如果函数 y fpq 存在导数, 则导数为零. 反之不然. 即函数在导数等于的点不一定取得极值. 例如, 函数 fpq 3, f pq, 但 fpq 不是极值. 于是, 有下面的费马引理. 引理 3. ( 费马引理 ) fpq 的极值点, 则设函数 fpq 在区间 I 有定义, 若函数 fpq 在可导, 且是 f p q. 有证明不妨设是 fpq 的极大值点, 即存在的某邻域 Up q Ă I, P Up q, fpq ď fp q 或 fpq fp q ď. 由已知条件和极限的保号性 : 当 ą 时, 有从而当 ă 时, 有从而 fpq fp q ď. fpq fp f q p` q ď. (3.) Ñ` fpq fp q ě. 已知函数 fpq 在可导, 由式 (3.) 和式 (3.2), 有 fpq fp f q p q ě. (3.2) Ñ f p q f p` q f p q. 费马 (Fermat,6 665), 法国律师. 数学是费马的业余爱好, 虽然他是一个业余的数学家, 但他是解析几何两个创始人之一, 另一个是笛卡儿. 这使他成为创建微积分的先驱者之一. 定理 3. ( 罗尔定理 ) 若函数 y fpq 在闭区间 ra, bs 连续, 在开区间 pa, bq 可导, 且 fpaq fpbq, 则在 pa, bq 至少存在一点 ξpξ P pa, bqq, 使得 f pξq. (3.3)

3 . 6. 第 3 章导数应用图 3.2 罗尔中值定理罗尔 (Rolle,652 79), 法国数学家. 罗尔定理发表于 Méthode Pour Résoudre les égalitéz, 但后来他却成了自己方法的批评者, 并称微积分为诡辩. 罗尔定理的几何解释, 如图 3.2 所示, 如果连续函数 y fpq 在开区间 pa, bq 的每一点都存在不垂直于轴的切线, 且两端点的纵坐标相等, 则在 pa, bq 至少存在一点 Cpξ, fpξqq, 使函数 y fpq 在点 Cpξ, fpξqq 的切线平行于轴. 证明由费马引理, 只需证明函数 fpq 在 pa, bq 至少存在一个极值点 ξ. 由已知条件及闭区间连续函数的最值定理得, 函数 fpq 在闭区间 ra, bs 取到最小值 m 和最大值 M. 如果 m M, 则 fpq 在闭区间 ra, bs 是常数函数. 于是,@ P pa, bq, 有 f pq. 即开区间 pa, bq 任意点都可取作 ξ, 使 f pξq. 如果 m ă M, 由 fpaq fpbq, 函数 fpq 在闭区间 ra, bs 两个端点 a 与 b 的函数值 fpaq 与 fpbq 不可能一个是最大值一个是最小值, 因此, 函数 fpq 在开区间 pa, bq 至少存在一个极值点 ξ. 根据费尔马引理有 3..2 拉格朗日中值定理 f pξq. 拉格朗日中值定理是微分学最重要的定理之一, 也称微分学中值定理. 它是沟通函数与其导数的桥梁, 是应用导数的局部性研究函数整体性的重要数学工具. 拉格朗日 (Lagrange,735 3), 法国力学家数学家 ( 图 3.3), 分析力学的奠基人. 最先提出速度势和流函数的概念, 成为流体无旋运动理论的基础年, 因研究月球平动等天体力学问题曾五次获法国科学院奖. 在数学方面是变分法的奠基人之一. 拉格朗日对代数方程的研究为 Galois 群论的建立起了先导作用. 定理 3.2 ( 拉格朗日定理 ) 若函数 y fpq 在闭区间 ra, bs 连续, 在开区间 pa, bq 可导, 则在 pa, bq 至少存在一点 ξ P pa, bq, 使得 f pξq pξ P pa, bqq. (3.4) 图 3.3 拉格朗日图 3.4 拉格朗日中值定理证明如图 3.4 所示, 不难看出, 当 fpaq fpbq 时, 拉格朗日中值定理就是罗尔定理. 即罗尔定理是拉格朗日中值定理的特殊情况. 为了应用特殊的罗尔定理证明一般的拉格朗日中值定理, 作辅助函数 φpq fpq fpaq p aq. (3.5)

4 3. 中值定理. 7. 显然, 函数 φpq 在闭区间 ra, bs 连续, 在开区间 pa, bq 可导, 又有 φpaq φpbq, 根据罗尔定理, 在 pa, bq 至少存在一点 ξpξ P pa, bqq, 使 φ pξq. 而于是即 φ pq f pq φ pξq f pξq f pξq.. 拉格朗日中值定理的几何解释, 如图 3.4 所示, 如果连续函数 y fpq 在开区间 pa, bq 每一点都存在不垂直于轴的切线, 则在开区间 pa, bq 至少存在一点 ξpξ P pa, bqq, 使函数 y fpq 在点 Cpξ, fpξqq 处的切线平行于弦 AB. 中值定理可以理解为 : 在某段间隔内存在这样一点, 该点的瞬时变化率等于平均变化率. 中值定理的重要性在于可以利用它从函数的导数中获取函数的信息. 例 3. 估计函数的可能值. 设 fpq 3, 对所有取值, 有 f pq ď 5. 问 fp2q 的最大值可能为多大? 解已知 fpq 处处可导. 因此, 可以在区间 r, 2s 使用拉格朗日中值定理. 存在 ξ P r, 2s 使于是有又由 f pq ď 5, 可得 f pξq ď 5, 因此, 有 fp2q fpq f pξqp2 q., fp2q fpq ` 2f pξq 3 ` 2f pξq, fp2q 3 ` 2f pξq ď 3 ` 7. 所以 fp2q 的最大值是 7. 常数的导数等于零, 它的逆命题也成立, 这就是下面的推论. 推论 3. 如果函数 y fpq 在开区间 pa, bq 的导数 f pq 恒为零, 则函数 y fpq 在区间 pa, bq 是一个常数. 推论 3.2 如果在开区间 pa, bq,f pq g pq, 则在开区间 pa, bq,fpq 与 gpq 只相差一个常数, 即件, 且 fpq gpq ` C. 例 3.2 证明当 ą 时, ă lnp ` q ă. ` 证明设 fpq lnp ` q, 则 fpq lnp ` q 在 r, s 满足拉格朗日中值定理条 fpq, f pq `, 由定理 fpq fpq f pξqp qpξ P p, qq 得 lnp ` q ` ξ pξ P p, qq,

5 .. 第 3 章导数应用因为所以从而即而于是 ă ` ξ ă `, ` ă ` ξ ă, ` ă ` ξ ă, ă lnp ` q ă. ` 例 3.3 当 ă a ă b 时, 证明 ă arctan rctan a ă ` b2 ` a. 2 证明函数 arctan 在 ra, bs 满足拉格朗日中值定理的条件,D ξ P pa, bq, 使 arctan rctan a ` ξ 2, ` b ă 2 ` ξ ă 2 ` a, 2 ă arctan rctan a ă ` b2 ` a. 2 例 3.4 若 ă ă y,p ą, 证明 p p py q ă y p p ă py p py q. 证明设 fptq t p, 显然 fptq t p 在 r, ys 满足拉格朗日中值定理, 于是, 有又因为 ă ă ξ ă y, 3..3 柯西中值定理 fpyq fpq y yp p y f pξq pξ p pξ P p, yqq. p ą, 所以 p ă ξ p ă y p, 故 p p py q ă y p p ă py p py q. 柯西 (Cauchy,79 57), 法国数学家 ( 图 3.5). 在分析学与数学物理方面卓有贡献, 一生写了 79 篇数学论文, 微积分严格化的第一人, 是打下分析 ( 实变数或复变数 ) 严格基础的先驱者. 例如收敛极限连续函数的意义, 无穷级数的收敛条件, 复变函数的定义等. 在微分方程数学物理 ( 弹性理论光学等 ) 代数等方面也有很大贡献. 并因此留给后人许多有威力的数学工具 :Cauchy-Kovalevskaya 定理矩阵的对角化留数的计算等. 图 3.5 柯西

6 3. 中值定理. 9. 定理 3.3 ( 柯西定理 ) 若函数 fpq 与 gpq 在闭区间 ra, bs 连续, 在开区间 pa, bq 可导, P pa, bq, 有 g pq, 则在 pa, bq 至少存在一点 ξ P pa, bq, 使得 f pξq g pξq gpbq gpaq pξ P pa, bqq. (3.6) 证明首先用反证法证明 gpbq gpaq. 假设 gpbq gpaq, 即 gpbq gpaq. 由罗尔定理可知, 在 pa, bq 至少存在一点 ξ 使 g pξq, 与已知条件矛盾, 故 gpbq gpaq. 其次作辅助函数 F pq fpq fpaq pgpq gpaqq. (3.7) gpbq gpaq 不难验证 F pq 满足罗尔定理条件. 于是在开区间 pa, bq 至少存在一点 ξ P pa, bq, 使 F pξq. 而于是即 F pq f pq F pξq f pξq f pξq g pξq gpbq gpaq g pq, gpbq gpaq g pξq, pξ P pa, bqq. gpbq gpaq 不难看出, 在柯西定理中, 当 gpq 时,g pq,gpaq a, gpbq b, 则式 (3.6) 就是 f pξq 即拉格朗日定理是柯西中值定理的特殊情况., 例 3.5 若 a ą e, ă ă y ă π 2, 证明 a y a ą pcos cos yqa ln a. 证明设 fptq a t, gptq cos t, 由题设条件知 fptq, gptq 在 r, ys 上满足柯西中值定理的条件, 于是, 有故 fpyq fpq gpyq gpq ay a cos y cos f pξq g pξq aξ ln a sin ξ pξ P p, π 2 qq, a y a pcos cos yq aξ ln a sin ξ ą pcos cos yqaξ ln a ą pcos cos yqa ln a. 习题 3- 一填空题. 设 fpq `, 则 fpq 在 r, 2s 上满足拉格朗日中值定理的 ξ. 2. 设 fpq sin, 则 fpq 在 rπ, 2πs 上满足罗尔中值定理的 ξ. 3. 设 fpq 2, 则 fpq 在 r, 3s 上满足拉格朗日中值定理的 ξ. 4. 设 fpq 2 ` a, 则 fpq 在 r a, as 上满足罗尔中值定理的 ξ 设 fpq `, 则 fpq 在区间 r.s 上满足罗尔中值定理的 ξ.

7 .. 第 3 章导数应用 6. 设 fpq?, 则 fpq 在区间 r, 4s 上满足拉格朗日中值定理的 ξ. 二选择题. 函数 y e 在定义域内是 ( ). (A) 单调增函数 (B) 单调减函数 (C) 有界函数 (D) 无界函数 2. 在闭区间 r, s 上满足罗尔定理条件的函数是 ( ). (A) fpq 2 (B) fpq (C) fpq 2 (D) fpq 在闭区间 r, s 上满足罗尔定理条件的函数是 ( ). (A) ln (B) fpq (C) (D) 2 2 ` 2 4. 在闭区间 r, s 上满足罗尔定理条件的函数是 ( ). (A) y sin (B) y p ` q 2 (C) y (D) y 2 ` 5. 函数 fpq 3 ` 在区间 r, 2s 上满足罗尔理条件, 则定理中的值 ξ ( ).?37? ` (A) (B) 2 (C) (D) 在闭区间 r, s 上满足拉格朗日中值定理条件的函数是 ( ). (A) fpq (B) fpq (C) fpq (D) fpq 3 2 ` 7. 下列函数在给定区间满足拉格朗日中值定理条件的是 ( ). (A) y, r, s (B) y, r, 2s (C) y 3? 2, r, s (D) y, r 2, 2s 2.fpq 2 3 ` 2 在区间 r 2, 2s 上满足拉格朗日中值定理结论中的 ξ ( ). (A) (B) 2 (C) (D) 2 9. 设 F pq G pq, 则 ( ). (A) F pq ` Gpq 为常数 (B) F pq Gpq 为常数 (C) F pq ` Gpq (D) F pq Gpq 三证明题. 当 ď ď 时, 证明 arcsin ` arccos π 当 ď 2 时, 证明 3 arccos arccosp3 4 3 q π 当 ě 时, 证明 2 arctan ` arcsin π sgn pq. ` 2 4. 证明 arctan a arctan b ď a b. 5. 若函数 fpq p qp 2qp 3q, 至少存在一点 ξ P p, 3q, 使 f 2 pξq. 6. 若函数 fpq 在 r, aq 上可导,f pq 单调增加, 且 fpq, 则函数 fpq 在 p, aq 上也单调增加. fpq 若函数 fpq 在 pa, `q 上可导, P pa, `q, 有 f pq ď M,M 是常数, 则 Ñ`. 若函数 fpq 在 pa, `q 上可导, 且 fpq Ña` 得 f pcq. 9. 若函数 fpq 在闭区间 ra, bs 上可导 ( ă a ă b), 则 D c P pa, bq, 使并用此结果证明 Ñ np n? ξ q ln ξ. cf pcq ln b a. fpq, 则在 pa, `q 内至少有一点 c, 使 Ñ`. 当 ă a ă b 时, 证明 ă ln b b a ă a.. 当 a ą b ą, n ą 时, 证明 nb n pa bq ă a n b n ă na pa bq. 2. 当 ą 时, 证明 ` ă lnp ` q ln ă.

3.2 洛必达法则与不定式.. 3.2 洛必达法则与不定式图 3.6 洛必达洛必达 (L Hospital,66 74), 法国数学家 ( 图 3.6).5 岁解决了帕斯卡的摆线难题, 后来与莱布尼茨和牛顿同时解答了约翰伯努利的最速降线问题. 最重要的著作是阐明曲线的无穷小分析 (696), 这是世界上第一本系统的微分学教科书.

8 3.2 洛必达法则与不定式洛必达法则与不定式图 3.6 洛必达洛必达 (L Hospital,66 74), 法国数学家 ( 图 3.6).5 岁解决了帕斯卡的摆线难题, 后来与莱布尼茨和牛顿同时解答了约翰伯努利的最速降线问题. 最重要的著作是阐明曲线的无穷小分析 (696), 这是世界上第一本系统的微分学教科书. 该书记载了一个著名定理 ( 约翰伯努利发现的洛必达法则 ), 即求一个分数当分子分母都趋于零时的极限法则. 帕斯卡 (Blaise Pascal, ), 法国著名的数学家物理学家哲学家和散文家. 在物理学方面作出了突出的贡献, 于 653 年首次提出了著名的帕斯卡定律, 发表了著名论文液体平衡的论述, 论述了液体压强的传递问题.., 型不定式则定理 3.4 ( 洛必达法则 ) 若函数 fpq 与 gpq 满足条件 : () 在的某去心邻域 U p q 可导, 且 g pq ; (2) Ñ fpq 与 Ñ gpq ; (3) Ñ f pq g pq l, fpq Ñ gpq f pq l. (3.) Ñ g pq 证明将函数 fpq 与 gpq 在作连续开拓, 即设 $ $ & fpq,, & gpq,, f pq g % pq,. %,. PU p q. 在以与为端点的区间, 函数 f pq 与 g pq 满足柯西定理的条件. 因此, 在与之间至少存在一点 ξ, 使 f pq f p q g pq g p q f pξq gpξq. 已知 f p q g p 有 f pq fpq, g pq gpq,f pξq f pξq, g pξq g pξq, 从而 fpq gpq f pq g pq. 因为 ξ 在与之间, 所以当 Ñ 时, 有 ξ Ñ, 由条件 (3), 有 Ñ fpq gpq ξñ f pξq g pξq l Ñ f pq g pq.

9 . 2. 第 3 章导数应用则定理 3.5 ( 洛必达法则 2) 若函数 fpq 与 gpq 满足条件 () D A ą, 在 p, Aq 与 pa, `q 可导, 且 g pq ; (2) fpq 与 gpq ; Ñ Ñ (3) Ñ f pq g pq l, fpq Ñ gpq f pq Ñ g pq l (3.9) 证明设 ˆ y, 当 Ñ 时,y Ñ. 于是, 函数 f 与 g y 域满足洛必达法则的条件. 因此, 由洛必达法则可证洛必达法则 2. a b ˆ 例 3.6 求极限 pa ą, b ą q. Ñ 解由洛必达法则 2, 有 a b pa b q Ñ Ñ pq π 例 3.7 求极限 Ñ` 解由洛必达法则 2, 有 Ñ` 2 arctan ˆ sin. π 2 arctan sin Ñ` a ln a b ln b ln a ln b ln a Ñ b. ` 2 2 cos 2 Ñ` ` 2 cos ˆ 在 y 的邻 y. 则定理 3.6 ( 洛必达法则 3) 若函数 fpq 与 gpq 满足条件 () 在的某去心邻域 U p q 可导, 且 g pq ; (2) Ñ fpq 与 Ñ gpq ; (3) Ñ f pq g pq l, fpq Ñ gpq f pq l. (3.) Ñ g pq ln 例 3. 求极限 pα ą q. Ñ` α 解由洛必达法则 3, 有 ln Ñ` α Ñ` αα Ñ` α α.

10 3.2 洛必达法则与不定式. 3. tan 2 例 3.9 求极限. Ñ π 2 sec ` 3 解由洛必达法则 3, 有 Ñ π 2 2. 其他类型不定式极限 tan 2 sec ` 3 Ñ π 2 例 3. 求极限 ln.p q Ñ` 解这是型不定式. 先变形为 ln ln Ñ` Ñ` sec 2 sec tan Ñ π 2 或型不定式. 2 Ñ` ˆ 例 3. 求极限 Ñ.p q sin 解这是型不定式. 通分后可变形为 ˆ Ñ sin sin. p q. Ñ` 或 sin Ñ sin Ñ Ñ 型不定式. cos sin ` cos sin cos ` cos sin. ˆ 例 3.2 求极限 Ñ ln.p q ˆ 解 Ñ ln ln Ñ p q ln Ñ ln ` 于是, 有例 3.3 求极限.p q Ñ` Ñ ln ` Ñ 解形如,, 型不定式. 可通过对数恒等式变形为 ùñ e ln ùñ e ùñ e ln ùñ e ùñ e ln ùñ e 由于 ln e e ln, 又 Ñ` Ñ` Ñ` ln. Ñ` e ln e. Ñ` Ñ` ln ` ` 2. 或型不定式.

一罗尔定理与拉格朗日定理定理 6.( 罗尔中值定理 ) 设函数 f ( ) 在区间 [ a, b] 上满足 : (i) 在闭区间 [a, b] 上连续 ; (ii) 在开区间 (a, b) 上可导 ; (iii) f(a) = f(b). 那么在开区间 (a, b) 内必定 ( 至少 ) 存在一

一罗尔定理与拉格朗日定理定理 6.( 罗尔中值定理 ) 设函数 f ( ) 在区间 [ a, b] 上满足 : (i) 在闭区间 [a, b] 上连续 ; (ii) 在开区间 (a, b) 上可导 ; (iii) f(a) = f(b). 那么在开区间 (a, b) 内必定 ( 至少 ) 存在一拉格朗日定理和函数的单调性中值定理是联系中值定理, 就可以根据质来得到 f 在该区间上的整体性质. f 一罗尔定理与拉格朗日定理二函数单调性的判别 f 与 f 的桥梁. 有了在区间上的性返回一罗尔定理与拉格朗日定理定理 6.( 罗尔中值定理 ) 设函数 f ( ) 在区间 [ a, b] 上满足 : (i) 在闭区间 [a, b] 上连续 ; (ii) 在开区间 (a, b)

3. 中值定理. 5. 由图 3. 可以看出, 函数 y fpq 在点, 2, 3, 4 取得极值, 如果有切线, 则切线与 轴平行. 即在极值点, 如果函数 y fpq 存在导数, 则导数为零. 反之不然. 即函数在导数等于 的点不一定取得极值. 例如, 函数 fpq 3, f pq, 但 fpq

3. 中值定理. 5. 由图 3. 可以看出, 函数 y fpq 在点, 2, 3, 4 取得极值, 如果有切线, 则切线与轴平行. 即在极值点, 如果函数 y fpq 存在导数, 则导数为零. 反之不然. 即函数在导数等于的点不一定取得极值. 例如, 函数 fpq 3, f pq, 但 fpq