70 四川师范大学学报 ( 自然科学版 ) 第 42 卷珓 f(x)= [0] 珓 f(x)= [0] ω(x)e )= [0] [h(x) ω(x)e h(x) ω(x)e ] 定义 4 [20] 珘 b) 珓定义为对于任意的模糊数珓 b 其距离珘 b)= 珓 [0] [sup 珓 μ b

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聊房太史
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1 209 年月第 42 卷第期四川师范大学学报 ( 自然科学版 ) Journal of Sichuan Normal University(Natural Science) Jan209 Vol 42No 结构元线性生成的模糊值函数的可导性舒天军莫智文 ( 四川师范大学数学与软件科学学院四川成都 60066) 摘要 : 用一种模糊距离给出结构元线性生成的模糊值函数极限的一种新定义然后用这种极限给出结构元线性生成的模糊值函数导数的定义并用该定义研究结构元线性生成的模糊值函数导数的加法数乘运算费马定理罗尔定理拉格朗日中值定理极限定理介值定理和极限的第一充分条件等基本性质最后给出结构元线性生成的凸模糊值函数的定义且探讨其性质关键词 : 结构元 ; 模糊值函数 ; 模糊距离 ; 导数中图分类号 :O59 文献标志码 :A 文章编号 : (209) doi: / j issn 基于扩张原理模糊值函数微分是对区间值函数微分的自然推广但扩展原理中遍历区间 [0] 因此模糊值函数的微分在实际应用中的计算变得困难为了便于模糊值函数微分计算诸多学者对模糊值函数的可导性进行了探究 [ 6] 郭嗣琮 [7] 提出用结构元表示模糊数简化了模糊数的解析表达式本文在文献 [8 9] 介绍的结构元线性生成的模糊数模糊值函数的基础上根据文献 [20] 给出的模糊距离定义一种新的结构元线性生成的模糊值函数的极限并用这种极限新定义结构元线性生成的模糊值函数的导数然后结合这种导数的定义研究结构元线性生成的模糊值函数的导数性质同时应用结构元线性生成的模糊值函数的导数讨论结构元线性生成的模糊值函数的凸性预备知识定义 [7] E 是实数域 R 上的模糊集隶属函数记为 E(x)x R 如果 E(x) 满足下述性质 : )E(0)= E( 0)= E( 0)= 0; 2) 在区间 [ 0) 和 (0] 上 E(x) 分别是单调增右连续函数和单调降左连续函数 ; 3) 在区间 ( ) 或 ( ) 上 E(x)= 收稿日期 : 接受日期 : 基金项目 : 国家自然科学基金 (67284) 和高等学校博士点基金 ( ) 0 则称模糊集 E 为 R 上的模糊结构元显然模糊结构元 E 是 R 上的正则凸模糊集是有界闭模糊集定义 2 [8] A 是有限模糊数若存在个模糊结构元 E 和有限实数 a Rr R 使得? = a re( 其中 r 0) 则称? 是由模糊结构元 E 线性生成的模糊数由 E 线性生成的模糊数的全体记作 (E)= {?? = a re a Rr R } 本文中所有的? (E) 由模糊集的分解定理有? = [0]? = [0] [a re a re ] 定义 3 [9] 设 X Y 是 2 个实数集 (Y) 是 Y 上的模糊数的全体珓 f 是 X 到 (Y) 上的映射即对于任意的 x X 存在唯一的模糊数 y (Y) 珓与之对应记 y珓 = 珓 f(x) 则称珓 f(x) 为 X 上的模糊值函数如果 E 是 N(Y) 上个正则模糊结构元则称珓 f(x)= h(x) ω(x)e 是 X 上的个由 E 线性生成的模糊值函数其中 h(x) ω(x) 在 X 上有界且 ω(x)> 0 由 E 线性生成的有界模糊函数的全体记作 (E f )= { 珓 f(x) 珓 f(x)= h(x) ω(x)e x Xω(x)> 0} 本文中所有的珓 f(x) F(x) (E 珘 f ) 由模糊集的分解定理有通信作者简介 : 莫智文 (962 ) 男教授主要从事人工智能模糊语言粗糙集和量子信息处理的研究 E mail:mozhiwen@ 263 net

2 70 四川师范大学学报 ( 自然科学版 ) 第 42 卷珓 f(x)= [0] 珓 f(x)= [0] ω(x)e )= [0] [h(x) ω(x)e h(x) ω(x)e ] 定义 4 [20] 珘 b) 珓定义为对于任意的模糊数珓 b 其距离珘 b)= 珓 [0] [sup 珓 μ b μ μ sup 珓 μ b 珓 μ μ b )] μ 2 (E f ) 中模糊值函数导数的新定义定义 2 ( 珓 f(x) 极限的 ε δ 定义 ) 设对 x U 0 ( ;δ ) 的珓 f(x) 若对任给的实数 ε > 0 存在正数 δ(< δ ) 使得 0 < < δ 时有珓 f(x)?) < ε 则称珓 f(x) 当 x 趋于时以? 为极限记作 lim 珓 f(x)=? 记作 lim x x 0 类似可定义 x x 0 时珓 f(x) 的极限分别珓 f(x)=?;lim 珓 f(x)=? 定义 2 2 设珓 f(x) 在 U 0 ( ) 有定义若极限珓 f(x) 珓 f( ) 存在则称珓 f(x) 在点可导并称该极限为珓 f(x) 在点的导数记为 lim 珓 f ( )= lim 珓 f(x) 珓 f( ) 令 = Δ 珓 y = 珓 f(x ) 珓 f( ) 则珓 Δ y珓 f ( )= lim = lim 珓 f( ) 珓 f( ) 类似可定义 x x 0 时珓 f(x) 的左导数和右导数分别记作珓 f ( )= lim x x 0 珓 f ( )= lim 珓 f(x) 珓 f( ) 珓 f(x) 珓 f( ) 定义 2 3 设珓 f(x) 珘 F(x) 在区间 I 上都有定义若珓 f (x)= 珓 f(x)x I 则称 F(x) 珘为珓 f(x) 在区间 I 上的原函数 3 (E f ) 中模糊值函数的导数性质定理 3 若珓 f(x) 在点可导则珓 f(x) 在点连续证明故 lim 因为珓 f(x) 在点可导所以珓 f(x) 珓 f( ) 珓 f ( )= lim 珓 f ( )lim )= (x lim ( 珓 f(x) 珓 f( ))= 0 珓 f(x)= 珓 f( ) 由模糊值函数连续的定义知珓 f(x) 在点连续定理 3 2 若珓 f(x) 在点的某领域内有定义则珓 f ( ) 存在的充要条件是珓 f ( ) 与珓 f ( ) 都存在且珓 f ( )= 珓 f ( ) 证明充分性由珓 f( ) 在的领域内左右导数存在且相等有 lim 珓 f(x)= lim x x 0 x x 0 lim 珓 f(x)= lim 珓 f(x) 珓 f( ) = 珓 f(x) 珓 f( ) 对于任意给的实数 ε > 0 分别存在 δ 与 δ 2 当 x < δ 时有珓 f(x) 珓 f(x 珓 f ( ))= ω(x)e [0] [sup μ h() ω( )E ) h ( ) ω ( )E sup ω(x)e h(x 0) ω( )E ) h ( ) ω ( )E ω(x)e h() ω( )E ) h ( ) )]; ω ( )E 当 < δ 2 时有珓 f(x) 珓 f(x 珓 f ( ))= ω(x)e [0] [sup μ h() ω( )E ) h ( )

3 第期舒天军等 : 结构元线性生成的模糊值函数的可导性 ω ( )E sup ω(x)e h(x 0) ω( )E ) h ( ) ω ( )E ω(x)e h() ω( )E ) h ( ) ω ( )E )] 取 δ ={δ δ 2 } 当 < δ 时有珓 f(x) 珓 f(x 珓 f ( ))= 则有 [0] [sup μ ω(x)e h(x 0) ω( )E ) h ( ) ω ( )E sup ω(x)e ) h ( ) ω ( )E ) h ( ) ω ( )E ω(x)e 即证珓 f ( ) 存在必要性 h() ω( )E ) h ( ) ω ( )E )] 珓 f(x) 珓 f(x 珓 0 f ( ) )= lim x 因为珓 f ( ) 存在记为珓 f(x) 珓 f(x 珓 0 f ( ) )= lim 所以对于任给的实数 ε > 0 存在正数 δ 使得 0 < < δ 时有珓 f(x) 珓 f(x 珓 f ( ))< ε 成立于是当 < δ 时有珓 f(x) 珓 f(x 即有 lim 珓 f ( ))< ε 存在且珓 f(x) 珓 f( ) 珓 f ( )= lim x x 0 当 x < δ 时有珓 f(x) 珓 f( ) = 珓 f ( ) 即有 lim x x 0 珓 f(x) 珓 f(x 珓 f ( ))< ε 存在且珓 f(x) 珓 f( ) = 珓 f (x x 0 ) 珓 f(x) 珓 f( ) 珓 f ( )= lim 故珓 f ( ) 与珓 f ( ) 都存在且珓 f ( )= 珓 f ( ) 定义 3 若珓 f(x) 在点的某领域 U( ) 内对一切 x U( ) 有珓 f( ) 珓 f(x) 珓 f( ) 珓 f(x) 则称珓 f(x) 在点取得极大 ( 小 ) 值称点为珓 f(x) 极大 ( 小 ) 值点定理 3 3 ( 费马定理 ) 设珓 f(x) 在点的某领域 U( ) 内有定义且在点可导若点为珓 f(x) 的极值点则必有珓 f ( )= 0 证明不失一般性设珓 f(x) 在点取得极大值由极大值定义存在点的一个空心领域 U 0 ( ) 当 x U 0 ( ) 时珓 f(x)< 珓 f( ) 所以当珓 f(x) 珓 f(x x < 时珓 f(x) 珓 f(x > 0; 当 < 0 由模糊值函数极限的保号性有珓 f(x) 珓 f(x lim 珓 f 0 lim 珓 f (x)= lim x x 0 (x)= lim 珓 f(x) 珓 f( ) 0 又珓 f(x) 存在珓 f ( )= 珓 f ( )= 珓 f ( ) 所以珓 f ( )= 0 定理 3 4 ( 导数的介值定理 ) 若珓 f(x) 在 [a b] 上可导且珓 f (a) 珓 f (b) 异号? 为介于珓 f (a) 珓 f (b) 之间任一实数则至少存在一点 ε (ab) 使得珓 f (ε)=? 7 证明设 F(x)= 珘珓 f(x)?x 则 F(x) 珘在 [ab] 上可导且 F 珘 (a) F 珘 (b)=( 珓 f (a)?)( 珓 f (b)?)< 0 不妨设 F 珘 (a)> 0 F 珘 (b)< 0 因为 F 珘 F(x) 珘 F(a) 珘 (a)= lim > 0 x a x a 所以由模糊值函数极限保号性可知存在正数 δ 对一切 x (aa δ) 有

4 72 珘 F(x ) 珘 F(a) x a > 0 不难推出当 0 < x a < δ 时 F(a)< 珘 F(x 珘 ) 同理对一切 U 0 (b) 且 x < 有 F(x 珘 2 )> F(b) 珘因为 F(x) 珘在 [ab] 上可导所以连续根据闭区间上模糊值函数最值定理存在一点 ξ[ab] 使得 F(x) 珘在点 ξ 取得最大值又易知 ξ ab 这就说明了点 ε 是极大值点由定理 3 3 得 F (ξ)= 珘 0 即证明 F (ε)= 珘? ε (ab) 定理 3 5 ( 加减法和数乘运算 ) 设珓 f (x) 珓 f 2 (x) (E f )k R 如果珓 f (x) 珓 f 2 (x) 都在点可导则 ) 珓 f (x) 珓 f 2 (x) 在点可导 ; 2) 珓 f (x) 珓 f 2 (x) 在点可导 ; 3)k 珓 f (x) 在点可导证明 ) 因为珓 f (x) 珓 f 2 (x) 都在点可导所以对任给的实数 ε > 0 分别存在正数 δ 与 δ 2 使得当 0 < < δ 时有珓 f 珘 (x) 珓 f ( ) 珓 f ( ))= [0] [sup μ (h (x) ω (x)e h ( ) ω ( )E ) h ( ) ω ( )E sup (h (x) ω (x)e h ( ) ω ( )E ) h ( ) ω ( )E (h x (x) ω (x)e h ( ) ω ( )E ) h ( ) ω ( )E )]< ε 2 当 0 < < δ 2 时有珓 f 珘 2 (x) 珓 f 2 ( ) 珓 f 2 ( ))= [0] [sup μ ω 2 (x)e (h 2 (x) h 2( ) ω 2 ( )E ) 四川师范大学学报 ( 自然科学版 ) 第 42 卷 h 2 ( ) ω 2 ( )E (h x 2 (x) sup ω 2 (x)e h 2( ) ω 2 ( )E ) h 2 ( ) ω 2 ( )E (h x 2 (x) ω 2 (x)e h 2( ) ω 2 ( )E ) h 2 ( ) ω 2 ( )E )]< ε 2 令 δ = min{δ δ 2 } 则当 0 < < δ 时有珓 f ( ) 珓 f 2 ( ))= [0] [sup μ (h (x) ω (x)e h ( ) ω ( )E h 2 (x) ω 2 (x)e h 2( ) ω 2 ( )E ) h ( ) ω ( )E h 2 ( ) ω 2 ( )E sup (h x (x) 故极限 lim ω (x)e h ( ) ω ( )E h 2 (x) ω 2 (x)e h 2( ) ω 2 ( )E ) h ( ) ω ( )E h ( ) ω ( )E (h (x) ω (x)e h ( ) ω ( )E h 2 (x) ω 2 (x)e h 2( ) ω 2 ( )E ) h ( ) ω ( )E h 2( ) ω 2 ( )E )]< ε 珓 f (x) 珓 f 2 (x) 珓 f ( ) 珓 f 2 ( ) 存在则珓 f (x) 珓 f 2 (x) 在点可导 2) 类似于证明 ) 3) 由珓 f (x) 都在点可导对于任意的实数 ε > 0 存在正数 δ 使得当 0 < < δ 时有珘珓 f (x) 珓 f ( ) [0] [sup μ 珓 f ( ))= (h (x)

5 第期舒天军等 : 结构元线性生成的模糊值函数的可导性 ω (x)e h ( ) ω ( )E ) h ( ) ω ( )E sup (h (x) ω (x)e h ( ) ω ( )E ) h ( ) ω ( )E (h x (x) ω (x)e 则有 h ( ) ω ( )E ) h ( ) ω ( )E )]< ε k 珘 k 珓 f (x) 珓 f ( )k 珓 f x ( ))= [0] [sup μ (kh (x) kω (x)e kh ( ) kω ( )E ) kh ( ) kω ( )E sup (kh (x) kω (x)e kh ( ) kω ( )E ) kh ( ) kω ( )E (kh x (x) kω (x)e kh ( ) kω ( )E ) kh ( ) kω ( )E )]< k ε k = ε 于是极限 lim k 珓 f (x) k 珓 f ( ) 存在则 k 珓 f (x) 在点可导定理 3 6 ( 罗尔定理 ) 如果珓 f(x) 满足如下条件 :) 珓 f(x) 在闭区间 [ab] 上连续 ;2) 珓 f(x) 在开区间 (ab) 上可导 ;3) 珓 f(a)= 珓 f(b) 则在 (ab) 内至少存在一点 ξ 使得珓 f (ξ)= 0 证明因为珓 f(x) 在闭区间 [ab] 上连续所以存在最值记最大值和最小值分别为? 现分 2 种情况讨论 :) 若? = 则珓 f(x) 在闭区间 [ab] 上为常模糊值函数结论显然成立 ;2) 若? > 由珓 f(a) = 珓 f(b) 使得最大值? 与最小值至少有个值在 (ab) 内某点 ξ 取得从而 ξ 是珓 f(x) 的极值点由条件 3) 珓 f(x) 在点 ξ 处可导根据定理 3 3 得珓 f (ξ)= 0 定理 3 7 ( 拉格朗日中职定理 ) 如果珓 f(x) 满足如下条件 :) 珓 f(x) 在闭区间 [ab] 上连续 ;2) 珓 f(x) 在开区间 (ab) 上可导则在 (ab) 内至少存在一点 ξ 使得证明珓 f (ξ)= 珓 f(b) 珓 f(a) b a 作辅助模糊值函数珘 F(x)= 珓 f(x) 珓 f(a) 珓 f(b) 珓 f(a) b a (x a) 显然 F(a)= 珘珓 f(b)= 0 且珘 F(x) 在 [ab] 上满足定理 3 6 的另外 2 个条件故在 (ab) 内至少存在一点 ξ 使得珓 f (ξ)= 珓 f(x) 珓 f(a) 珓 f(b) 珓 f(a) (x a)= 0 b a 即证明珓 f (ξ)= 珓 f(b) 珓 f(a) b a 推论 3 如果珓 f(x) 在区间 I 上可导且珓 f(x) 0x I 则珓 f(x) 为区间 I 上的个模糊常值函数证明任取 2 点 x I( 设 x < ) 在闭区间 [x ] 上珓 f(x) 满足拉格朗日中值定理于是至少存在一点 ξ (x ) I 使得珓 f( ) 珓 f(x )= 珓 f (ξ)( x )= 0 故珓 f(x )= 珓 f( ) 于是证明珓 f(x) 为区间 I 上任意 2 点的模糊值函数相等推论 3 2 如果珓 f (x) 和珓 f 2 (x) 在区间 I 上可导且珓 f (x )= 珓 f ( )x I 则在区间 I 上珓 f (x) 与珓 f 2 (x) 只相差个模糊常值函数即珓 f (x) = 珓 f 2 (x) c( 珓 c 珓为模糊常值函数 ) 证明由珓 f (x) 和珓 f 2 (x) 在区间 I 上可导且珓 f (x )= 珓 f ( ) 可得珓 f (x ) 珓 f ( )= 0 根据推论 3 易知珓 f (x) 与珓 f 2 (x) 只相差个模糊常值函数定理 3 8 ( 导数极限定理 ) 设珓 f(x) 在点的某领域 U( ) 内连续在 U 0 ( ) 内可导且极限珓 f (x) 存在则珓 f(x) 在点可导并且 lim 珓 f ( )= lim 珓 f (x) 73 证明任取 x U ( ) 珓 f(x) 在 [x o x] 上满足拉格朗日定理条件则至少存在一点 ξ ( x)

6 74 f(x) 珓 f( ) 使得珓 = 珓 f (ξ) 因为 < ξ < x 当时有 ξ 所以同理可得 lim 珓 f(x)= lim 珓 f(x) 珓 f( ) = lim 珓 f (ξ)= 珓 f (ξ) lim 珓 f(x)= lim x x 0 x 0 珓 f(x) 珓 f( ) = lim 珓 f (ξ)= 珓 f (ξ) 又极限 lim珓 f (x) 存在根据定理 3 2 可得珓 f ( )= 珓 f ( )= lim 珓 f (x) 于是有珓 f (ξ)= 珓 f (ξ) 故有珓 f (ξ)= 珓 f (ξ)= 珓 f (ξ)= lim 珓 f (x) 定理 3 9 设珓 f(x) 在区间 I 上可导则珓 f(x) 在 I 上单调递增的充要条件是珓 f (x) 0 证明若珓 f(x) 为单调递增函数则对每个 I 当 x 时有珓 f(x) 珓 f( ) 0 不等式两边取极限可得珓 f(x) 珓 f(x 珓 f (x)= lim 0 反之若珓 f(x) 在区间 I 上恒有珓 f (x) 0 则对任意 x I(x < ) 根据拉格朗日中职定理存在 ξ (x ) I 使得珓 f( ) 珓 f(x )= 珓 f (ξ)( x ) 0 这就证明了珓 f(x) 是 I 上的单调递增函数定理 3 0 ( 极值的第一充分条件 ) 若珓 f(x) 在点连续在某领域 U 0 ( δ) 内可导 ) 若当 x ( δ ) 时珓 f (x)0 当 x ( δ) 时珓 f (x) 0 则珓 f(x) 在点取得极小值 ; 2) 若当 x ( δ ) 时珓 f (x) 0 当 x ( δ) 时珓 f (x)0 则珓 f(x) 在点取得极小值证明 ) 与 2) 的证明类似这里只证明 ) 由 x ( δ ) 时珓 f (x)0 根据定理 3 9 可得四川师范大学学报 ( 自然科学版 ) 第 42 卷珓 f(x) 在 ( δ ) 内单调递增 ; 同理可推出珓 f(x) 在 ( δ) 内单调递减又珓 f(x) 在点连续故对于任意 x U( ;δ) 恒有珓 f(x) 珓 f( ) 即证珓 f(x) 在点取得极小值 4 (E f ) 中模糊值函数的凸性定义 4 设珓 f(x) 为定义在 I 上的模糊值函数若对于 I 上的任意 2 点 x 和任意的 (0 ) 都有珓 f(x ( ) ) 珓 f(x ) ( ) 珓 f( ) 则称珓 f(x) 为 I 上的凸模糊值函数定理 4 珓 f(x) 为 I 上的凸模糊值函数的充要条件是 : 对于 I 上的任意 3 点 x < < 总有珓 f( ) 珓 f(x ) x 珓 f( ) 珓 f( ) 证明必要性记 = x 则 = x ( ) 由珓 f(x) 是凸模糊值函数有珓 f( )= 珓 f(x ( ) ) 从而有即珓 f(x ) ( ) 珓 f( )= 珓 f(x ) x 珓 f(x x 3 x ) ( x ) 珓 f( ) ( ) 珓 f(x ) ( x ) 珓 f( ) ( x ) 珓 f( ) ( ) 珓 f( ) ( x ) 珓 f( ) 珓 f( ) 珓 f(x ) 珓 f( ) 珓 f( ) x 充分性在区间 I 上任取 2 点 x (x < ) 在 [x ] 上任取一点 = x ( ) (0) 即 = x 由必要性的推导过程可得珓 f(x ( ) 珓 f(x ) ( ) 珓 f( ) 故珓 f(x) 为 I 上的凸模糊值函数推论 4 珓 f(x) 为 I 上的凸模糊值函数的充要条件是 : 对于 I 上的任意 3 点 x < < 有

7 第期舒天军等 : 结构元线性生成的模糊值函数的可导性珓 f( ) 珓 f(x ) x 珓 f( ) 珓 f(x ) 珓 f( ) 珓 f( ) x 成立定理 4 2 如果珓 f(x) 为 I 上的可导模糊值函数则下列论断互相等价 : ) 珓 f(x) I 上的凸模糊值函数 2) 珓 f(x) 为 I 上的单调递增函数 ; 3) 对于 I 上任意 2 点 x 有珓 f( ) 珓 f(x ) 珓 f (x )( x ) 证明 ) 2) 任取 I 上的 2 点 x (x < ) 及充分小的正数由 x < x < < 依据珓 f(x) 是凸模糊值函数以及推论 3 3 有珓 f(x ) 珓 f(x ) 珓 f( ) 珓 f(x ) 珓 f( ) 珓 f( ) x 又珓 f(x) 是可导的模糊值函数对于上不等式 3 边取极限得珓 f (x )= lim lim 珓 f(x ) 珓 f(x ) 珓 f( ) 珓 f(x ) x 珓 f( ) 珓 f( ) = 珓 f ( ) 所以珓 f (x) 为 I 上的单调递增函数 2) 3) 设 x I 当 x < 在区间 [x ] 上应用拉格朗日中值定理和珓 f(x) 是凸模糊值函数的条件可得珓 f( ) 珓 f(x )= 珓 f (ξ)( x ) 珓 f (x)( x ) 其中 ξ (x ) 移项后有珓 f( ) 珓 f(x ) 珓 f (ξ)( x ) 珓 f (x)( x ) 当 < x 时结论依然成立 3) ) 对于 I 上任意的 2 点 x 取 = x ( ) ( 其中 0 < < ) 有 x =( ) (x ) 与 = ( x ) 由珓 f( ) 珓 f(x ) 珓 f (x )( x ) 可以推出珓 f(x ) 珓 f( ) 珓 f ( )(x )= 珓 f( ) ( ) 珓 f (x )( ) 珓 f( ) 珓 f( ) 珓 f ( )( )= 珓 f( ) 珓 f ( )( ) 化简 2 不等式可得珓 f(x ) ( ) 珓 f( ) 珓 f( )= 珓 f(x ( ) ) 故有珓 f(x) 是 I 上的凸模糊值函数参考文献 [] 巩增泰模糊数值函数积分原函数的可导性问题 [J] 模糊系统与数学 20037(2):48 52 [2] 王鹏飞殷凤蔺小林复模糊值函数的导数及其性质 [J] 黑龙江大学 ( 自然科学学报 )200926(4): [3] 张霞徐义红局部 Lipschitz 模糊函数的性质及广义方向导数 [J] 吉林大学学报 ( 理学版 )20553(5): [4]PURI M LRALESCU D Differential for fuzzy fuction[j] J Math Anal Appl9839(2): [5]GOETSCHEL RVOXMAN W Elementary fuzzy calculus[j] Fuzzy Sets and Systems9868():3 43 [6] 于兰芳马树华宋泽成等二元模糊值函数的导数和模糊波动方程 [J] 河北大学学报 ( 自然科学版 ) (5): [7] 李法朝仇计清于向东等 Fuzzy 值函数的 Fuzzy 值导数 [J] 河北科技大学学报 9989(4):24 28 [8] 巩增泰白玉娟模糊有界变差函数全变差的积分表示与距离导数 [J] 数学学报 2054(4): [9] 王磊郭嗣琮线性生成的分数阶模糊微分方程 [J] 山东大学学报 ( 理学版 )20247(7):8 84 [0]SEIKKALA S On the fuzzy initial value problem[j] Fuzzy Sets and Systems98724(3): []KANAGARAJAN KSAMBATH M Numerical solution of fuzzy differential equations by third order Runge Kutta method[j] 75

8 76 四川师范大学学报 ( 自然科学版 ) 第 42 卷 International J Applied Mathematics2002(4): 8 [2]KALEVA O Fuzzy differential equations[j] Fuzzy Sets and Systens98724(3):30 37 [3] 巩增泰模糊数值函数积分原函数的可导性问题 [J] 兰州大学学报 ( 自然科学版 )200339(3):7 2 [4] 殷凤王鹏飞模糊值函数极限 ( 连续 ) 及导数的新定义 [J] 中北大学学报 ( 自然科学版 )2032(6): [5] 吴从? 仇计清李法朝等复 Fuzzy 函数的 Buckley 导数与 Buckley 积分 [J] 模糊系统与数学 9993(2): 6 [6] 管斌关于模糊数的若干结果 [J] 辽宁师范大学学报 ( 自然科学版 )994(4): [7] 郭嗣琮模糊值函数分析学的结构元方法 (I)[J] 辽宁工程技术大学学报 20022(5): [8] 李安国金红伟张志宏等模糊极限的一种新定义 [J] 辽宁工程技术大学学报 (6): [9] 郭嗣琮模糊值函数分析学的结构元方法 (II)[J] 辽宁工程技术大学学报 20022(6): [20] 郭嗣琮基于结构元理论的模糊数学分析原理 [M] 沈阳 : 东北大学出版社 2004:97 3 The Definite Derivative of Fuzzy Valued Function for Linear Generation of Structural Elements SHU Tianjun MO Zhiwen (College of Mathematics and Software ScienceSichuan Normal UniversityChengdu 60066Sichuan) Abstract:We use a kind of fuzzy distance to give a new definition of the definite integral of fuzzy valued function for linear genera tion of structural elements Then the definite integral definition is used to define the derivative of fuzzy valued function for linear gener ation of structural elements By using this derivative definitionwe study the properties of fuzzy valued function in the linear generation of structural elements They are addition together with multiplicationfermat theoremrolle theoremlagrange mean value theorem limit theoremintermediate value theoremthe nature of the first limitand so on Finallythe definition of convex fuzzy valued func tion for linear generation of structural elements is givenand its properties are discussed Keywords:structural element;fuzzy valued function;fuzzy distance;derivative 200 MSC:94D05;03B52;03E72;28E0 ( 编辑郑月蓉 )

一罗尔定理与拉格朗日定理定理 6.( 罗尔中值定理 ) 设函数 f ( ) 在区间 [ a, b] 上满足 : (i) 在闭区间 [a, b] 上连续 ; (ii) 在开区间 (a, b) 上可导 ; (iii) f(a) = f(b). 那么在开区间 (a, b) 内必定 ( 至少 ) 存在一

一罗尔定理与拉格朗日定理定理 6.( 罗尔中值定理 ) 设函数 f ( ) 在区间 [ a, b] 上满足 : (i) 在闭区间 [a, b] 上连续 ; (ii) 在开区间 (a, b) 上可导 ; (iii) f(a) = f(b). 那么在开区间 (a, b) 内必定 ( 至少 ) 存在一拉格朗日定理和函数的单调性中值定理是联系中值定理, 就可以根据质来得到 f 在该区间上的整体性质. f 一罗尔定理与拉格朗日定理二函数单调性的判别 f 与 f 的桥梁. 有了在区间上的性返回一罗尔定理与拉格朗日定理定理 6.( 罗尔中值定理 ) 设函数 f ( ) 在区间 [ a, b] 上满足 : (i) 在闭区间 [a, b] 上连续 ; (ii) 在开区间 (a, b)

70 四川师范大学学报 ( 自然科学版 ) 第 42 卷 珓 f(x)= [0] 珓 f(x)= [0] ω(x)e )= [0] [h(x) ω(x)e h(x) ω(x)e ] 定义 4 [20] 珘 b) 珓定义为 对于任意的模糊数 珓 b 其距离 珘 b)= 珓 [0] [sup 珓 μ b

70 四川师范大学学报 ( 自然科学版 ) 第 42 卷珓 f(x)= [0] 珓 f(x)= [0] ω(x)e )= [0] [h(x) ω(x)e h(x) ω(x)e ] 定义 4 [20] 珘 b) 珓定义为对于任意的模糊数珓 b 其距离珘 b)= 珓 [0] [sup 珓 μ b