第四章 中值定理与导数的应用

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1 第三章中值定理与导数的应用 在第二章中 我们介绍了微分学的两个基本概念 导数与微分 本章是微积分的重要部分 主要利用导数和微分来研究函数以及曲线的某些性质 例如判断函数的单调性和凹凸性 求函数的极限 极值 最大 ( 小 ) 值以及函数作图的方法 并以此进一步解决工程和经济 ( 极值 ) 数学模型等方面的一些实际应用问题 为此 我们首先介绍微分学的几个中值定理 它们反映了导数更深刻的性质 揭示了函数在某区间上的整体性质与函数在该区间内某一点的导数之间的关系 中值定理是导数应用的理论基础 也是解决微分学自身发展的一种理论性模型 一 罗尔定理 第一节微分中值定理 定理 ( 罗尔定理 (Roll)) 若函数 f () 满足下列条件 : () 在闭区间 [ ab ] 上连续 ; () 在开区间 ( a b) 内可导 ; () 在区间端点的函数值相等 即 f ( a) f ( b) ; 则在 ( ab ) 内至少存在一点 ( a b) 使得 f ( ) (-) 证明因为函数 f () 在闭区间 [ ab ] 上连续 根据闭区间上连续函数的最值定理 f () 在 [ a b] 上必取得最大值 M 和最小值 m 下面分两种可能来讨论 () 当 M m 时 这时 f () 在 [ a b] 上必然取相同的数值 f () 在 [ a b] 上是常数函数 即 f ( ) M 从而在 ( ) ab 内恒有 f( ) 所以 ( ab ) 内每一点都可取作点 使得 f ( ) () 当 M m 时 因为 f ( a) f ( b) 所以 M 与 m 中至少有一个不等于端点的函数值 不妨设 M f ( a) ( 如果设 m f ( a) 证法完全类似 ) 则在 ( a b) 内至少存在一点 使得 f( ) M 下面证明 f ( ) 由于 f( ) M 是 f () 在 [ a b] 上的最大值 因此不论 为正或负 只要 [ a b] 恒有 f ( ) f ( ) 当 时 有 f ( ) f ( )

2 根据函数极限的保号性知 同理 当 时 有 从而 f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) 由于 是开区间 ( ab ) 内的点 根据假设可知 f ( ) 存在 因此必定有 f ( ) 通常称导数等于零的点为函数的驻点 ( 或稳定点 临界点 ) 罗尔定理的几何意义 : 如果 AB 是一条连续的曲线弧 除端点外处处具有不垂直于 轴的切线 且两个 端点的纵坐标相等 那么在曲线弧 AB 上至少存在一点 C( f( )) 在该点处曲线的切线平行于 轴 如图 - 所示 ( 图示的函数存在两点 和 ) 图 - 注意定理的三个条件是结论的充分条件 即如果缺少某一条件 结论就可能不成立 但是即使三个 条件都不满足 结论中的 仍可能存在 例如 (i) f ( ) [ ] 在 [ ] 上除 f '() 不存在外 满足罗尔定理的一切条件 但在 ( ) 内 找不到一点能使 f '( ) (ii) f ( ) (] f () 在 [] 上除 处不连续外 满足罗尔定理的一切条件 但在 () 内 f '( ) 因此在 () 内找不到一点能使 f '( ) (iii) f () [] 在 [] 上除不满足 f() f() 外 满足罗尔定理的一切条件 但在 () 内 f '( ) 因此在 () 内找不到一点能使 f '( ) 罗尔定理常被用来判别函数 f ( ) 的零点

3 例 验证罗尔定理对函数 f ( ) 在 [ 5] 上的正确性 并求定理中 的值 解 f ( ) ( )( ) f ( ) 4 f( ) f(5) 显然 f () 满足罗尔定理条件 即 可导 且 f( ) f(5) 由 f( ) 解得 即 ( 5) 使得 f ( ) 4 4 f ( ) 在 [ 5] 上连续 f ( ) 4 在 ( 5) 内 例 不求导数 判别函数 f ( ) ( )( ) 的导数方程 ( 即 f '( ) ) 有几个实根 以及它们 所在范围 解由于 f () 为多项式函数 故 f () 在 [ ] [ ] 上连续 ; ( ) ( ) 内可导 且 f () f ( ) f () 即函数 f () 满足罗尔定理条件 由罗尔定理在 ( ) 内至少存在一点 使得 f ( ) 即 为 f( ) 的一个实根 ( ) 在 ( ) 内至少存在一点 使得 f ( ) 即 为 f( ) 的一个实根 ( ) 又 f( ) 为二次方程 至多有两个实根 故 f( ) 有两个实根 它们分别在 ( ) 及 ( ) 内 例 设函数 f( ) 在 [] 上连续 在 ( ab ) 内可导 且 f() f() (i) 存在 ( ) 使得 f ( ) ; (ii) 对任意实数 ( ) 使得 f '( ) [ f( ) ] 证明 (i) 令 F( ) f ( ) 则 F( ) 在闭区间 [ ] 上连续 又 F( ) f( ) 由零点定理 必 ( ) 使 F( ) 即 f ( ) F() f() f ( ) 试证 : (ii) 设 ( ) G e F( ) e [ f ( ) ] 则 G ( ) 在 [ ] 上连续 ( ) 内可导 且 G() G( ) 由罗尔定理 ( ) 使得 G '( ) 即

4 e ( f '( ) [ f ( ) ]) 从而 f '( ) [ f( ) ] 例 4 若 a a a a a 是满足 a a a a 在 () 内至少有一个实根 数 a a a a a a a 解由于 a a a a 是 a f( ) a a a a [] 的实数 证明方程 的导函数 因此我们考虑函 易知 f () 在 [] 上连续 在 ( ) 内可导 且 f() f() 由罗尔定理可知 至少存在一点 () 使得 f ( ) a a a a 即方程 a a a a 在 ( ) 内至少有一个实根 例 5( 费马 Fermat 定理 ) 设函数 f( ) 在点 的某个领域 U( ) 内有定义 并且在 处可导 如果对任 意的 U ( ) 有 f ( ) ( ) f ( 或 f f ( ) ( ) ) 成立 则有 f '( ) 证不妨设 U ( ) 时 f ( ) f ( ) ( 对于 f ( ) f ( ) 情形 可以类似地证明 ) 于是当 时 f ( ) f ( ) ; 时 有 当 f ( ) f ( ) 因为函数 f( ) 在 可导 所以 f '( ) f'( ) f'( ) 由函数极限的保号性知 f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) 4

5 因此 f '( ) 注从上面的证明中可以看出 利用 Fermat 引理可以证明罗尔定理 请读者自行完成 二 拉格朗日中值定理 定理 ( 拉格朗日 (Lagrage) 中值定理 ) 若函数 f () 满足下列条件 : () 在闭区间 [ a b] 上连续 ; () 在开区间 ( a b) 内可导 ; 则在 ( ab ) 内至少存在一点 使得 f ( ) f ( b) f ( a) b a ( ab ) ; (-) 或 f ( b) f ( a) f ( )( b a) ( a b) (-) 显然 罗尔定理是拉格朗日中值定理当 f ( a) f ( b) 时的特殊情形 在证明定理之前 我们先分析一下定理的几何意义 从而引出证明定理的方法 从几何上直观来讲 在罗尔定理中 f ( a) f ( b) 在 [ ab ] 上的那一段的两个端点 ( a f ( a )) 和 ( b f ( b )) 与 轴的距离相等 因此 若 f ( a) f ( b) 我们保持原点不动 适当旋转坐标轴 建立新的坐标系 O ' y ' 使 ' 轴平行于 ( a f ( a )) 和 ( b f ( b )) 的连线 在新的坐标系下 这段曲线就满足罗尔定理的全部条件 因此 存在着曲线上的一点 使 曲线在该点处的切线平行于 ' 轴 即与 ( a f ( a )) 和 ( b f ( b )) 的连线平行 如图 - 所示 y C B A O a b 图 - 5

6 割线 AB 的斜率为 k AB f ( b) f ( a) b a 而点 C 处的斜率为 f ( ) 因此拉格朗日中值定理的几何意 义是 : 如果连续曲线 y f ( ) 的弧 AB 上除端点外处处具有不垂直于 轴的切线 那么在弧 AB 上至少 有一点 C( f( )) 该点处切线平行于割线 AB 连接 A B 两点的直线方程 f ( b) f ( a) y f ( a) ( a) b a 因为曲线 y f ( ) 和直线 AB 在 a 和 b 两点重合 若令辅助函数 F () 为曲线和直线的纵坐 标之差 即 显然有 F( a) F( b) f ( b) f ( a) F( ) f ( ) [ f ( a) ( a)] b a 证明引进辅助函数 f ( b) f ( a) F( ) f ( ) [ f ( a) ( a)] b a f ( b) f ( a) 容易验证 F () 在 [ a b] 上满足罗尔定理的条件 且 F( ) f ( ) b a 由罗尔定理 可知 ( a b) 内至少存在一点 使 F( ) 即 f ( ) f ( b) f ( a) b a 或 f ( b) f ( a) f ( )( b a) ( ab ) ( ab ) ; 显然上述定理结论中对于 b a 也成立 (-) 式也叫拉格朗日中值公式 对 [ a b] 中的任意两点 有 f ( ) f ( ) f ( )( ) (-4) ( ) 即 介于 两点之间 于是有 其中 f ( ) f ( ) f ( ( ))( ) (-5) 若令 则有 y f ( ) f ( ) (-6) 我们知道上一章中 y dy f ( ) 是在点 的邻域中的近似表达式 而 (-6) 式适合任何有限 区间 且为函数改变量的精确表达式 但其中 只是给定了取值范围而未给出其取那点的值 6

7 推论 如果函数 f () 在区间 ( a b) 内任意一点的导数 f ( ) 都等于零 那么函数 f () 在 ( a b) 内是一个常数 证明设 是区间 ( a b) 内的任意两点 且 则函数 f () 在 [ ] 上满足拉格朗日 中值定理条件 且有 f ( ) f ( ) f ( )( ) ( ) 由假设知 f ( ) 所以 f ( ) f ( ) 由于 是 ( ab ) 内的任意两点 所以上面等式表明 : 函数 f( ) 在 ( a b) 内的函数值总是相等的 即函数 f () 在 ( a b) 内是一个常数 由此可知 函数 f () 在 ( a b) 内是一个常数的充要条件是在 ( a b) 内 f( ) 推论 如果函数 f () 与 g () 在区间 ( a b) 内每一点的导数 f () 与 g () 都相等 则这两个函 数在区间 ( a b) 内至多相差一个常数 即 这里 C 是一个确定的常数 例 6 验证函数 f ( ) 在 [ ] f ( ) g( ) C ( a b) 上满足拉格朗日中值定理的条件 并求定理中 的值 解显然 f () 在 [ ] 上连续 ( ) 在 ) f ( 内有意义 即 f () 在 ( ) 内可导 故 f () 在 [ ] 上满足拉格朗日中值定理的条件 根据拉格朗日中值定理 得 f () f ( ) f ( )[ ( )] 所以 即 例 7 设 ab 证明 : b ( a b) a b a ( a b) 解设 f ( ) 显然 f () 在区间 [ b a] 上连续 ( b a) 内可导 f () 在区间 [ b a] 上满足拉格朗 日中值定理的条件 于是得 由于 f ( ) 因此上式即为 f ( a) f ( b) f ( )( a b) ( ba ) a b ( a b) 7

8 又由 b a 有 b a b a b a a b ( ) ( ) 例 8 设 f () 在 [ ] 上连续 在 ( ) 内可导 证明 : 至少存在一点 () 使得 f () f ( ) f ( ) 证明注意到 f ( ) f ( ) 是 f ( ) 的导函数 故我们考虑函数 F( ) f ( ) 易知 F() 在 [ ] 上连续 在 ( ) 内可导 即 F () 在 [ ] 上满足拉格朗日中值定理的条件 根据定理 得 F() F() F( ) () 即 f () f ( ) f ( ) 例 9 设不恒为常数的函数 f( ) 在 [ ab ] 上连续 在 ( ab ) 内可导 且 f ( a) f ( b) 试证在 ( ab ) 内 至少存在一点 使 f '( ) 分析依题设可知 f( ) 在 [ ab ] 上满足罗尔定理条件 而结论为导函数在某点处的值大于零 因此不 能利用罗尔定理 可设想 如果能利用拉格朗日中值定理 f '( ) f ( ) f ( ) 而 f ( ) f ( ) 与 同号则命题可证 证因为 f ( a) f ( b) 且 f( ) 不为常数 因此至少存在一点 c ( a b) 使得 f ( c) f ( a) f ( b) 不妨设 f ( c) f ( a) 在 [ ac ] 上 f( ) 满足拉格朗日中值定理条件 故至少存在一点 ( a c) ( a b) 使得 由于 f ( c) f ( a) c a 可知 f '( ) f '( ) f ( c) f ( a) c a 三 柯西中值定理 定理 ( 柯西 (Cauchy) 中值定理 ) 若函数 f () g () 满足下列条件 : () 在闭区间 [ a b] 上连续 ; () 在开区间 ( a b) 内可导 且 g( ) ; 则在 ( a b) 内至少存在一点 使得 8

9 f ( b) f ( a) g( b) g( a) f ( ) g( ) ( ab ) (-7) 证明由题设 g( ) 可得 g( b) g( a) 事实上 若有 g( b) g( a) 即 g( a) g( b) 定理至少存在一点 ( ab ) 使得 g '( ) 矛盾 由于 g ( ) 在 [ a b] 上满足拉格朗日中值定理的条件 所以 其次考虑辅助函数 g( b) g( a) g( )( b a) ( ab ) f ( b) f ( a) F( ) g( ) f ( ) g( b) g( a) 由罗尔 容易验证 F( ) 在 [ a b] 上满足罗尔定理的条件 即 F () 在 [ a b] 上连续 F () 在 ( a b) 内可导 且 F( a) F( b) 又 f ( b) f ( a) F ( ) g( ) f ( ) g( b) g( a) 根据罗尔定理 ( ab ) 内至少存在一点 使 F( ) 即 由此得 f ( b) f ( a) F ( ) g( ) f ( ) g( b) g( a) f ( b) f ( a) f ( ) ( a b) g( b) g( a) g ( ) 显然 拉格朗日中值定理是柯西中值定理当 g( ) 定理的推广 时的特殊情形 柯西中值定理是拉格朗日中值 例 设 f () 在 [ ab ] 上连续 在 ( a b) 内可导 a b 证明 : 至少存在一点 ( ab ) b 得 f ( b) f ( a) l f ( ) a 证明 f () 与 g( ) l 在 [ ab ] 上连续 在 ( a b) f () 与 g( ) l 在 [ a b] 上满足柯西中值定理条件 根据定理 得 f ( b) f ( a) f ( ) l b l a 使 内可导 且 g( ) ( a b) 即 ( ab ) 9

10 即至少存在一点 ( ab ) 使得 b f ( b) f ( a) l f ( ) ( ab ) a 例 设函数 f( ) 在 [ ab ] 上连续 在 ( ab ) 内可导 且 f '( ) 试证存在 ( ab ) b a f '( ) e e e f '( ) b a 使得 分析由于所给命题中含有两个点 ( ab ) 因此不可能由某个中值定理来证明 由于命题中既含 有 f( ) 也含有 e 在某点处的值 可以令 g( ) e 则由题设可知 g ( ) 与 f( ) 在 [ ab ] 上满足柯西 中值定理条件 由柯西中值定理可知 必定存在 ( ab ) 使得 即 f ( b) f ( a) f '( ) b a e e e b a f ( b) f ( a) e e f '( ) e b a b a 又 f( ) 在 [ ab ] 上满足拉格朗日中值定理条件 故由拉格朗日中值定理 存在 ( ab ) 使得 由题设 f '( ) 知 f '( ) 从而 f ( b) f ( a) b a f '( ) b a f ( b) f ( a) e e e b a b a 第二节泰勒公式 对于一些比较复杂的函数 为了便于研究 往往希望用一些简单的函数来近似表达 多项式是各类函数 中最简单的一种 用多项式近似表达函数是近似计算和理论分析的一个重要内容 在微分的应用中我们已经知道 当 很小时 有如下的近似公式 ta l( ) 这些都是用一次多项式来近似表达函数的 它的不足之处 : 首先是精确度不高 它所产生的误差仅是关于 的高阶无穷小量 ; 其次是用它来作近似计算时 不能具体估算出误差大小 下面的泰勒定理就能解决以 上问题 设函数 f( ) 在含有 的开区间内具有直到 ( ) 阶导数 ( 为自然数 ) 记

11 ( ) f ''( ) f ( ) p ( ) f ( ) f '( )( ) ( ) ( )!! 下面给出利用 p ( ) 近似表达 f( ) 的定理 定理 4 ( 泰勒 (Taylor) 中值定理 ) 如果函数 f () 在 的某个邻域 ( ) 内具有 阶 导数 ( 为自然数 ) 则对任何 ( ) f () 可表示为 ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( )( ) ( ) ( ) R ( ) (-8)!! 其中 ( ) f ( ) R ( ) ( ) ( )! (-9) 这里 是介于 与 之间的某个值 证明事实上 由 R ( ) f ( ) p ( ) 可知只需证明 ( ) f ( ) R ( ) ( ) ( )! ( 在 与 之间 ) 由假设及 R( ) f ( ) p( ) 立即可知 R ( ) 在 ( ) 内具有直到 ( ) 阶导数 且 R ( ) R'( ) R''( ) R ( ) ( ) 对两个函数 R ( ) 及 ( ) 在以 及 为端点的区间上应用柯西中值定理得 R ( ) R ( ) R ( ) R '( ) ( ) ( ) ( )( ) ( 在 与 之间 ) 再对函数 R ( ) 及 ( )( ) 在以 及 为端点的区间上应用柯西中值定理得 R '( ) R '( ) R '( ) R ''( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( 在 与 之间 ) 依此方法继续下去 经过 ( ) 次后 得 R R ( ) ( )! ( ) ( ) ( ) ( 在 与 之间 因此 在 与 之间 ) ( 因 ) ( ) ( ) p ( ) 于是有 R ( ) f ( ) 则由上式得

12 ( ) f ( ) R ( ) ( ) ( )! ( 在 与 之间 ) 于是定理得证 公式 (-8) 称为函数 f () 在点 处的 阶泰勒公式 (-9) 式称为拉格朗日型余项 当 时 泰勒公式变成拉格朗日中值公式 : 因此 泰勒中值定理是拉格朗日定理的推广 利用泰勒中值定理可得近似公式 f ( ) f ( ) f ( )( ) 在 与 之间 ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( )( ) ( ) ( )!! 其误差为 R ( ) 若 ( f ) ( ) ( ) 内有界 则有估计式 在 ( ) f ( ) M R ( ) ( ) ( )! ( )! (-) 及 R ( ) ( ) ( ) 其中 M ma f ( ) 上式表明当 时误差 R ( ) 是比 ( ) 高阶的无穷小 也就是 ( ) R ( ) o[( ) ](-) 称为余项的估计式 在不需要余项的精确表达式时 阶泰勒公式 (8) 可以写成 ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( )( ) ( ) ( ) o(( ) ) ()!! 其中 R ( ) o[( ) ] 称为佩亚诺 (Peao) 型余项 公式 () 称为 f( ) 按 ( ) 的幂展开的带有佩 亚诺 (Peao) 型余项的 阶泰勒公式 在泰勒公式 (8) 中 如果取 则 是介于 与 之间 这时可令 ( ) 这时的泰 勒公式变成如下形式 : f () f () f ( ) f ( ) f () f ()!! ( )! ( ) ( ) (-) 称为带有拉格朗日型余项的麦克劳林 ( Maclauri ) 公式 在泰勒公式 (8) 中 如果取 则带有佩亚诺 (Peao) 型余项的麦克劳林 ( Maclauri ) 公式为

13 于是可得如下的近似公式 M 其误差为 R ( ) ( )! 所以 ( ) f() f () f ( ) f () f () o( )!! ( ) f() f () f ( ) f () f ()!! 例 求函数 f ( ) e 的带有拉格朗日型余项的 阶麦克劳林公式 解因为 代入 (-) 得 若以 次多项式作为它的近似 则有 其误差为 e ( ) ( ) ( ) f f f ( ) e ( ) f () f () f () f () e e!! ( )!!! e e R ( ) ( )! ( )! 若取 则可得无理数 e 的近似式为 e!! 其误差为 e R ( )! ( )! 当 9 时 e 788 其误差不超过 例 求 f ( ) si 的 阶麦克劳林公式 解因为 f ( ) cos f ( ) si f ( ) cos f (4) ( ) si ( ) si( ) 所以 ( ) f

14 f () f () f () f () f (4) () f ) () si( ) 令 m 由 (-) 得 其中 若取 m 则得近似公式 其误差为 5 m si m ( ) R ( )! 5! (m )! m si[ (m) ] R m( ) (m )! si( )! 6 si m 6 R 若 m 分别取 和 得近似公式 ( si 和! 5 si! 5! 其误差依次不超过 5 5! 和 7 7! f ( ) 所以 例 求 f ( ) l( ) 的 阶麦克劳林公式 解因为 f ( ) ( ) f ( ) ( ) f ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) 由 (-) 得 ( ) [ ( )]( ) ( ) ( )!( ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f () f () ( ) ( )! l( ) ( ) R ( ) ( ) 其中 R ( ) ( ) 类似地 还可以得到一些常用的带有佩亚诺型余项的麦克劳林公式! 4! 6! ( )! 4 6 cos ( ) o( ) 4

15 l( ) ( ) o( ) o( ) m m( m ) m( m ) ( m ) ( ) m o( )!! 于是我们立即可以得到下面结果 : e e ( 取 e o( ) ) ( 取 e o( ) );! si ( 取 si o( ) ) l( ) ( 取 si o( ) ) si ( 取 si o( ) ); 6 6 l( ) ( 取 l( ) o( ) ); ( ) ( 取 ( ) o( ) ) ( ) ( ) ( ) ( 取 ( ) o( ) )! 例 4 求下列极限 si () ( e ) () l( ) l( ) l( ) () e cos 4 (4) cos si (5) 6 6si ( 6) 9 6 l( ) (6) 6 [( ) e ] 解 () 因为当 时 6 si o( ) e o ( ) 所以 o( ) o( ) si! 6 ( ) ( ) o e o( ) 6 () 当 时 l( ) o( ) l( ) o( ) 5

16 故 l( ) o( ) ( ) o( ) l( )l( ) o( ) 所以 () 因为 4 4 ( ) l( ) l( ) l( ) o 4 4 o( ) 8 e o! 4 4 ( )! 4! 4 5 cos o( ) 所以 4 4 e cos ( ) o( )! 4! 于是 ( ) e cos 7 o 4 4 (4) 4 ( ) 4 o( ) 4 4 si [ o( )] o( ) 4 [ o( )] cos! (5) 6 6si ( 6) 9 6 l( ) 6[ o( )] 6! 5! [ o( )] o( ) 5 5 o( ) (6) 令 u 则 6 [( ) e ] 6 u [( ) e ( ) ] u u u u u u 6 [( u u ) e ( u ) ] u u 6

17 例 5 设 f ( ) 存在 证明 u ( u u u o(u ) 6 u 6 u )[ u u 6 o( u )] [ u 6 o( u 6 )] f ( h) f ( h) f ( ) f( ) h h f( ) 证因为 f ( h) f ( ) f ( ) h h o( h )! f ( f ( ) h) f ( ) f ( ) h h o( )! h 所以 h f ( h) f ( h h) f ( ) 如果当 f ( h) h o( h ) f ( ) h h 第三节洛必达法则 a( 或 ) 时 两个函数 f( ) 与 F( ) 都趋于零或都趋于无穷大 那么极限 f( ) g ( ) a ( ) 有可能存在 也有可能不存在 通常称这类极限为未定式 记为或 对于这类极限 即使它存在也不能直接使用第一章中商的极限的运算法则 柯西中值定理为我们提供了一种求函数极限的方法 设函数 f () 与 g () 在 的某邻域内满足柯西中值定理的条件 且 f ( ) g( ) 从而有 f ( ) g( ) f ( ) g( ) 其中 介于 与 之间 当 时 因此若极限 f ( ) g( ) A 则必有 f( ) f ( ) A g ( ) g ( ) 7

18 f( ) 这里 g ( ) 时两个无穷小 ( 或大 ) 量之比 一般说来 这种未定式的确定往往是比较困难的 但 是 f( ) 如果 存在而且容易求出 困难便迎刃而解 对于型未定式 即两个无穷大量之比 也可以采 g ( ) 用类似的方法确定 我们把这种确定未定式的方法称为洛必达 ( L Hospital ) 法则 这一节我们将根据柯西中值定理来推出求这类未定式极限的一种简便且重要的法则 一 基本未定式型或型的极限 定理 5 设函数 f () g () 满足下列条件 : (i) f( ) g ( ) ; (ii) 在点 的某个邻域内 ( 点 可除外 ) f ( ) 与 g () 都存在 且 g( ) ; (iii) f( ) 存在或为无穷大 ; g ( ) f( ) f( ) 则有 g ( ) g ( ) 证明令 f ( ) g( ) F( ) G( ) 由假设 () () 可知 F( ) 与 G () 在 的某邻域 U( ) 内连续 在 ) 内可导 且 G( ) g( ) 任 取 U ( U( ) 则 F () 与 G () 在以 与 为端点的区间上满足柯西中值定理的条件 从而有 F( ) F( G( ) G( ) ) F( ) G( ) f ( ) g( ) 其中 在 与 之间 由于 F( ) G( ) 且当 时 F( ) f ( ) G( ) g( ) 可得 f ( ) g( ) f ( ) g( ) 上式中令 则 根据假设 (iii) 就有 f ( ) f ( ) f ( ) g( ) g( ) g( ) 证毕 8

19 f( ) 若 还是型未定式 且函数 f ( ) g () 仍满足定理中 f () g () 的条件 则可以继续使 g ( ) 用洛必达法则 f( ) f( ) g ( ) g ( ) f( ) g ( ) 且依次类推 直到求出极限为止 例 求下列极限 () 54 () arcta () (5) ta si (4) l( ) 解 () arcta () e e si si (6) ta ta si () sec cos sec ta si 6 (4) e e si e e e e cos si e e cos l( ) (5) si si cos si (6) ta 6 6 可以证明 对于型未定式的极限有如下定理 : 定理 6 设函数 f () g () 满足下列条件 : () f( ) g ( ) ; () 在点 的某个邻域内 ( 点 可除外 ) f ( ) 与 g () 都存在 且 g( ) ; 9

20 () f( ) 存在或为无穷大 ; g ( ) f( ) f( ) 则有 g ( ) g ( ) 例 求下列极限 l () () cot l ta5 () l ta 解这三题都是型未定式 应用定理 6 可得 l () cot csc si () () 例 ta 6 sec sec 5 sec ta si ta 6 sec 5 5sec 5 l ta 5 5ta ta 5 ta 5 l ta sec ta 5 ta ta 求下列极限 () (l ) m ( m 为正整数 ); () l ( ) N () e 解 () 由于 ( N ) (4) e arcta e l m m m m m m (l ) l m 所以 ( ) m l () () e e ( ) e! e

21 从这里可以看出 : 当 时 幂函数比对数函数增大得快 而指数函数比幂函数又增大得快 且 所以 得快 (4) 由于 e arcta arcta e e e arcta e e e e arcta ( ) e arcta e e e arcta e 从以上例子我们可注意到 : 当 时 幂函数比对数函数增大得快 而指数函数比幂函数又增大 我们已经看到 洛比达法则是确定未定式的一种重要且简便的方法 使用洛比达法则时我们应注意检 验定理中的条件 然后一般要整理化简 ; 如仍属未定式 可以继续使用 使用中应注意结合运用其他求极 限的方法 如等价无穷小替换 作恒等变形或适当的变量代换等 以简化运算过程 此外 还应注意到洛比 达法则的条件是充分的 并非必要 如果所求极限不满足其条件时 则应考虑改用其它求极限的方法 si 例 4 极限 存在吗? 能否用洛比达法则求其极限? si si si 解 即极限存在 但不能用洛比达法则求出其极限 因为 si si si cos cos 尽管是型 可是若对分子分母分别求导后得 由于 不存在 故不能 si cos cos 使用洛比达法则 洛必达法则是求未定式极限的一种有效方法 但如果与其他求极限的方法 ( 化简 等价无穷小量替换 两个重要极限等 ) 结合使用能使运算简捷 si 例 5 求 ta 解这个问题属于型未定式 但分子求导数后的极限不存在 即有 ( si ) (ta ) si cos sec

22 此时极限不存在 故洛必达法则失效 需用其它方法求此极限 但是可以如下求出极限 : si ( si ) ta ta 未定式还有 型等 它们经过适当的变形 可变为基本未定式型或型 然 后用洛必达法则来计算 例 5 求下列极限 () ( arcta ) ( 型 ) () ( ) ( 型 ) l () (cos ) ( 型 ) (4) (si ) ( 型 ) (5) ) ( ( 型 ) (6) (sec ta ) ( 型 ) ( arcta ) 解 () ( arcta ) l l () ( ) l ( )l l l l () (cos ) l cos ta e e e (4) (si ) e lsi e lsi e cot cos ( cos ) si e si e e (5) ( ) l( ) e e e (6) si cos (sec ta ) cos si

23 第四节函数单调性的判别法 单调函数是一个重要的函数类 在第一章中我们已经给出了函数在某个区间单调增减的定义 本节将 讨论单调函数与其导函数之间的关系 从而提供一种判别函数单调性的方法 下面利用导数来判别函数的 单调性 有如下的定理 : 定理 7 设函数 f () 在 ( a b) 内可导 则 f () 在 ( a b) f( ) ( f( ) ) ( a b) 证明下面证 f () 在 ( a b) 内单调增加情形 单调减少情形类似证明 内单调增加 ( 单调减少 ) 的充要条件是 充分性在 ( ab ) 内任取两点 设 则函数 f( ) 在 [ ] 上连续 在 ( ) 拉格朗日中值定理 得 f ( ) f ( ) f ( )( ) ( ) 内可导 由 由于 [ ] ( ab ) 内恒有 f( ) 故得 即函数 f( ) 在 ( ab ) 内单调增加 f ( ) f ( ) 必要性设 为 ( ab ) 内任一点 当 充分小时 仍有 ( a b) 由于 f( ) 在 ( ab ) 内单调 增加 所以总有 取 的极限 得 f ( ) f ( ) f( ) ( a b) 从几何直观图形来观察也容易看出上面结论 若区间 ( ab ) 内 曲线 y f ( ) 是上升的 即函数 f( ) 是单调增加的 则曲线 y f ( ) 上每一点的切线斜率都非负 也即 f( ) ( 如图 -(a) 所示 ) 若区间 ( ab ) 内 曲线 y f ( ) 是下降的 即函数 f( ) 是单调减少的 则曲线 y f () 上每一点的切线斜率都非正 也即 f( ) ( 如图 -(b) 所示 )

24 y A y f () B y A A y f () B O a b O a b (a) 函数图形上升时切线斜率都非负 图 - (b) 函数图形下降时切线斜率都非正 注意 函数 f( ) 在 ( a b) 内严格单调增加 ( 严格单调减少 ) 未必有 f( ) ( f ( ) ) 即只能 的得出 f( ) ( f( ) ) 若 ( a b) 有 f( ) ( f( ) ) 则函数 f( ) 在 ( a b) 内严格单调增加 ( 严格单调减少 ) 由此 判别函数单调性的一般步骤如下 : 设函数 f () 在 ( a b) 内可导 于是 可按如下的步骤讨论函数 f () 的单调性 : 确定函数 f () 的定义域 ; () 若在 ( ab ) 内 f( ) 则函数 f( ) 在 ( a b) 内 ( 严格 ) 单调增加 ; () 若在 ( a b) 内 f ( ) 则函数 f () 在 ( a b) 内 ( 严格 ) 单调减少 求 f ( ) 找出 f ( ) 或 f () 不存在的临界点 这些临界点将定义域分成若干区间 ; 列表由 f ( ) 的符合判别 确定函数 f () 的单调性 例 解 y 判断函数 y 的单调性 的定义域为 ( ) y y 又 y 且只有当 时 y o 所以 y 在 ( ) 内单调增加 ( 如图 -4) 图 -4 例 判定函数 f ( ) cos ( ) 的单调性 4

25 解 f( ) 在 [ ] 上连续 在 ( ) 内可导 : f ( ) si 且等号仅当 时成立 所以由定理 7 可知 f ( ) cos 在 [ ] 上严格单增 例 确定下列函数的单调区间 () f ( ) () f ( ) 解 () 的定义域为 ( ) 又 f ( ) ( )( ) f ( ) 令 f( ) 得 于是列表讨论 ( ) ( ) ( ) _ f ( ) f () 注 : 表中符号 表示单调增加 ; 表示单调减少 所以 f () 在 ( ) ( ) 内单调增加 ; 在 ( ) 内单调减少 ( 如图 -5) y y - O 图 -5 () 函数 f ( ) 的定义域为 ( ) 又 f( ) 当 时 f ( ) 不存在 列表讨论 () ( ) f () - 不存在 f () 5

26 所以 f () 在 ( ) 内单调减少 ; 在 ( ) 内单调增加 ( 如图 -6) y y O 图 -6 例 4 证明当 时 证明令 f( ) 则 f( ) 当 时 f( ) ; 所以 f( ) 在 ( ) 内单调增加 即 f ( ) f () 故 f () 也即 ( ) 例 5 证明方程 l 有唯一实根 证明令 f () l 其定义域为 ( ) f () 所以 f () 在 ( ) 内单调增加 f () 与 轴至多有一个交点 即方程 l 至多有一个实根 又 f ( ) f ( e) e 由零值定理知 f () 在 ( e) 内至少有一个实根 e e e 综上方程 l 有唯一实根 成立 例 6 设 f( ) 与 g () 都是可导函数 当 a时 f ( ) g( ) 试证 : 当 a时 不等式 f ( ) f ( a) g( ) g( a) 证因为当 a时 g( ) f ( ) 即 g( ) 时 所以 g () 在 ( a ) 内严格单调增 加 故当 a时有 g( ) g( a) 即 g( ) g( a) 对 f( ) 和 g () 在 [ a ] 上应用柯西中值定理 得 6

27 到 f ( ) f ( a) g( ) g( a) f g ( ) ( ) a 由此推出 f ( ) f ( a) g( ) g( a) f ( ) f ( a) g( ) g( a) f ( ) g( ) f ( ) g( ) 因此当 a时有 f ( ) f ( a) g( ) g( a) 第五节函数的极值及其求法 定义 设函数 f () 在点 的某个邻域内有定义 对于邻域内异于 的任意一点 均有 f ( ) ( ) ( ( ) ( )) 则称 f ) 是函数 f () 极大值 ( 极小值 ) 称 是函数 f () 极大值点 f f f ( 极小值点 ) 而言 ( 函数的极大值和极小值统称极值 ; 函数的极大值点和极小值点统称极值点 显然 函数的极值是一个局部性的概念 它只是在与极值点 附近局部范围的所有点的函数值相比较 由费马定理我们知道 可导函数的极值点一定是它的驻点 但是反过来却不一定 例如 是函数 y 的驻点 可它并不是极值点 因为 y 是一个严格单增函数 f( ) 只是可导函数 f () 在 取得极值的必要条件 并非充分条件 另外 对于导数不存在的点 函数也可能取得极值 例如 y 它在 处导数不存在 但在该点却取得极小值 所以函数 f ( ) 可能的极值点在 f( ) 或 f ( ) 不 存在的点中 下面给出函数极值的判别法 定理 8( 第一充分条件 ) 设函数 f ( ) 在点 的某一邻域 ( ) 内连续 在去心邻域 ( ) ( ) 内可导 () 若当 ( ) 时 f( ) ; 当 ( ) 时 f( ) 则 是函数 f ( ) 的极大值点 ; () 若当 ( ) 时 f ( ) ; 当 ( ) 时 f ( ) 则 是函数 f () 的极小值点 ; () 若当 ( ) ( ) 时 f ( ) 保号 则 不是函数 f ( ) 的极值点 证明 () 按假设及函数单调性判别法可知 f () 在 ( ) 上严格单增 在 ( ) 上严格 单减 故对任意 U( ) 总有 7

28 f ( ) f ( ) 所以 f () 在 取得极大值 同理可证 ()() 由此可以按以下步骤判别及求函数的极值 : 确定函数 f ( ) 的定义域 ; 求 f () 找出定义域内 f( ) 或 f () 不存在的点 这些临界点将定义域分成若干区间 ; 列表由 f ( ) 在临界点两侧的符合 确定是否是极值点 是极大值点还是极小值点 ; 4 求出极值 例 求 y ( 5) 的极值点与极值 解 5 y ( 5) 5 在 ( ) 内连续 当 时 有 y 令 y 得驻点 当 时 函数的导数不存在 列表讨论如下 ( 表中 表示单增 表示单减 ): ( ) () ( ) y + 不存在 + y 极大值 极小值 故得函数 f( ) 的极大值点 极大值 f () ; 极小值点 极小值 f () 例 求函数 f ( ) 的单调区间和极值 解定义域 ( ) f ( ) 令 f( ) 得驻点 f ( ) 不存在的点 列表讨论可得 : () ( ) ( ) f () 不存在 - 8

29 f ( ) 极大值极小值 由此函数 f ( ) 在 ( ) ( ) 内单调增加 在 () 内单调减少 ; 在 处取得极大值 f () 在 处取得极小值 f () 当函数 f ( ) 在驻点处有不等于零的二阶导数时 我们也往往利用二阶导数的符号来判断函数 f () 的驻点是否为极值点 即有下面判定定理 : 定理 9 ( 第二充分条件 ) 设函数 f ( ) 在点 处有二阶导数 且 f( ) f( ) 那么 () 若 f( ) 则函数 f( ) 在 处取得极大值 ; () 若 f ( ) 则函数 f ( ) 在 处取得极小值 证明 () 由二阶导数的定义 及 f( ) f( ) 得 f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) 由极值的保号性 存在 使得当 U( ) 时有 f( ) ( ) 所以当 ( ) 时 f( ) 而当 ( ) 时 f( ) 由定理 8 可知 函数 f( ) 在 处取得极大值 同理可证 () 例 求函数 f ( ) 的极值 解 f ( ) ( )( ) f ( ) 6 令 f( ) 得驻点 因为 f ( ) 6 所以函数 f ( ) 在 处取得极大值 f ( ) ; 又因 f () 6 所以函数 f ( ) 在 处取得极小值 f () 例 4 值? 求此极值 试问 a 为何值时 函数 f ( ) asi si 在 处取得极值? 它是极大值还是极小 解 f ( ) a cos cos 9

30 a 由假设知 f ( ) 从而有 即 a 又当 a 时 f ( ) si si 且 f ( ) 所以 f ( ) si si 在 处取得极大值 且极大值 f ( ) 注意当 f ( ) f ( ) 时 定理 9 失效 此时需用定理 8 或定义判别 事实上 由泰勒公式 f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( )( ) ( ) ( ) ( )!! ( )! ( ) ( ) 当 f ( ) f ( ) f ( ) 时 ( ) f ( ) f ( ) f ( ) ( ) ( )! 当 f ( ) 在点 处有 ( ) 阶连续导数 且 f ( ) ( ) 时 则 ( ) f ( ) f ( ) f ( ) ( ) o[( ) ] ( )! f ( ) f ( ) 的符号由 即 f ( )! ( ) ( ) ( ) 决定 故有如下结论 : 设 ( ) f ( ) f ( ) f ( ) ( f ) ( ) 则当 为偶数时 不是 f ( ) 的极值点 ; 当 为奇数时 是 f ( ) 的极值点 第六节函数的最值 函数的最大值和最小值统称函数的最值 若函数 f ( ) 在闭区间 [ a b] 上连续 则根据闭区间上连续函 数的性质 它一定能取得最大值和最小值至少各一次 显然 函数的最值是指某区间上的最大值和最小值 是整体性概念 ; 函数的极大值和极小值是某点邻域内的最大值和最小值 是局部性概念 对于可导函数而言 若 f( ) 在区间 ( a b) 内点 取得最值 则在 处有 f ( ) 即 为驻点 而且 是 f ( ) 的极值点 ; 又最值还可能在区间端点处取得 因此 若 f () 在 I 上至多有有限个驻点及 不可导点 为了避免对极值的考察 可直接比较这三种点的函数值即可求得最大值和最小值 因此 求函数 f ( ) 在闭区间 [ ab ] 上的最值的步骤如下 : 求出 f ( ) 在 ( ab ) 内的一切可能的极值点 即 f( ) 或 f ( ) ; 不存在的点 这些点记为

31 计算函数值 f ( a) f ( ) f ( ) f ( ) f ( b ) ; 比较 f ( a) f ( ) f ( ) f ( ) f ( b ) 这些值的大小 其中最大者为最大值 最小者为最小值 例 求函数 f ( ) 9 5在 [ 4] 上的最大值与最小值 解 f( ) 在 [ 4] 上连续 故必存在最大值与最小值 令 得驻点 和 因为 f ( ) 6 9 ( )( ) f ( ) f () f ( ) f (4) 5 所以 f () 在 取得最大值 在 取得极小值 我们应该注意特别地有 若函数 f ( ) 在区间 [ ab ] 上单调增加 则 f( a ) 为最小值 f (b) 为最大值 ; 若函数 f ( ) [ a b] 上单调减少 则 f (b) 为最小值 f (a) 为最大值 设 f () 在某区间 I 上连续 在 I 内可导 且有唯一的驻点 如果 还是 f () 在区间 的极值点 则由 函数单调性判别法推知 当 f ( ) 是极大值时 f ( ) 就是 f () 在 I 上的最大值 ; 当 f ( ) 是极小值时 f ( ) 就是 f () 在 I 上的最小值 例 求数列 的最大项 解 设 f ( ) ( ) 则 l f ( ) 令 f( ) 得 e 当 ( e) 时 f( ) 当 ( e ) 时 f( ) 所以 f( ) 在 e时取得极 大值 由于 e 是唯一的驻点 故 从而推知 是数列 的最大项 e f () e e 为 f () 在 ( ) 内的最大值 直接比较 与 有 如果遇到实际生活中的最大值或最小值问题 则首先应建立起目标函数 ( 即欲求其最值的那个函数 ) 并确定其定义区间 将它转化为函数的最值问题 特别地 如果所考虑的实际问题存在最大值 ( 或最小值 ) 并且所建立的目标函数 f () 有唯一的驻点 则 f ( ) 必为所求的最大值 ( 或最小值 ) 例 从半径为 R 的圆铁片上截下中心角为 的扇形卷成一圆锥形漏斗 问 取多大时做成的漏斗的

32 容积最大? 解设所做漏斗的顶半径为 r 高为 h 则 漏斗的容积 V 为 V h r R r R r h h( R h ) h R 由于 h 由中心角 唯一确定 故将问题转化为先求函数 V V ( h) 在 ( R ) 上最大值 令 V R h 得唯一驻点 h R 从而 R h 6 R h R 因此根据问题的实际意义可知 6 时能使漏斗的容积最大 例 4 证明当 时 e 证考虑函数 f ( ) e 由于 f ( ) e 令 f( ) 得 又 f ( ) e 得 f () 故 是函数 f( ) 的唯一极大值点 即最大值点 最大值 f () 所以当 时 f ( ) f () 即当 时 e 第七节曲线的凹向与拐点 前几节 通过对函数的单调性 极值 最大值与最小值的讨论 使我们知道了函数变化的大致情况 但 这还不够 因为同属单增的两个可导函数的图形 虽然从左到右曲线都在上升 但它们的弯曲方向却可以 不同 如图 7- 中的曲线为向上弯曲 而图 7- 中的曲线为向下弯曲 o 图 7- 图 7- 因此研究函数图形时 还要研究曲线的弯曲状况 即曲线的凹向 在有些曲线弧上 如果任取两点 则连接 o

33 这两点间的弦总位于这两点间的弧段上方 ( 如图 -7 (a) ) 而有的曲线弧 则正好相反 ( 如图 -7 (b) ) 曲线的这种性质就是曲线的凹凸性 图 7-(a) 图 7-(b) 定义 7 设 f ( ) 在区间 ( ab ) 内连续 ( a b) 恒有 则称 f ( ) 在区间 ( ab ) 内上凹 ( 下凸 ); 如果恒有 f ( ) f ( f ( ) f ( ) f ( f ( ) 则称 f ( ) 在区间 ( a b) 内下凹 ( 上凸 ) 如果 f ( ) 在区间 ( ab ) 内具有一阶导数 则有如下定义 : 定义 7 设 y f ( ) 在 ( ab ) 内具有一阶导数 若曲线 y f ( ) 位于其每点处切线的上方 则称 它为在 ( a b) 内下凸 ( 或上凹 ); 若曲线 y f () 位于其每点处切线的下方 则称它在 ( a b) 内上凸 ( 或下 凹 ) 相应地 也称函数 y f () 分别为 ( a b) 内的下凸函数和上凸函数 ( 通常把下凸函数称为凸函数 ) 如果 f ( ) 在区间 ( ab ) 内具有二阶导数 那么可以利用二阶导数的符号来判定曲线的凹凸性 定理 7 设函数 f( ) 在区间 ( ab ) 内具有二阶导数 那么 () 若当 ( a b) 时 f( ) 则曲线 y f ( ) 在 ( ab ) 内上凹 ; () 若当 ( a b) 时 f ( ) 则曲线 y f () 在 ( a b) 内下凹 ) ) 证明 () 设 为 ( ab ) 内任意两点 且 格朗日中值公式 得 f ( h) f ( ) f ( h) h 记 并记 h h 由拉 f ( ) f ( h) f ( h) h 其中 上面两式相减 即得

34 f ( h) f ( h) f ( ) [ f ( h) f ( h)] h 对 f ( ) 在区间 [ h h] 上再利用拉格朗日中值定理 得 其中 即 ( h) f ( h)] h f ( )( ) [ f h h h 由假设 f( ) 故有 f ( h) f ( h) f ( ) f ( h) f ( h) f ( 也即 f ( ) f ( ) f ( ) 所以曲线 y f () 在 ( a b) 内上凹 同理可证 () ) 定义 7 设 M ( f ( )) 为曲线 y f () 称为曲线 y f () 的拐点 注意极值点 驻点是指 轴上的点 而拐点是指曲线上的点 由此 判别曲线的凹向与拐点的一般步骤如下 : 确定函数的定义域 ; 上一点 若曲线在点 M 的两侧有不同的凹向 则点 M 求 f ( ) 并找出定义域内 f( ) 或 f ( ) 不存在的点 这些分界点将定义域分成若干区间 ; 列表由 f ( ) 在分界点两侧的符号判别 确定曲线的凹向与拐点 例 讨论高斯曲线 y e 的凸性 解 因为 y e y ( ) e 所以 当 即当 或 时 y ; 当 即当 时 y 因此在区间 ( ) 凹 ; 在区间 ( ) 内曲线下凹 4 例 求曲线 y 的的凹向区间与拐点 解定义域 ( ) d 与 ( ) 内曲线上 4

35 y ( ) 令 y 得 列表讨论 ( ) () ( ) y - y 拐点 拐点 注表中符号 表示上凹 表示下凹 由此 曲线在 ( ) ( ) 内上凹 ; 在 () 内下凹 ; 曲线的拐点 ( ) 和 ( ) 定理 7( 拐点的必要条件 ) 若 f( ) 在 某邻域 U( ) 内二阶可导 且 ( f ( ) ) y f ( ) 的拐点 则 f( ) 为曲线 证不妨设曲线 y f ( ) 在 ( ) 下凸 而曲线 y f () 在 ( ) 上凸 由定理 7 可 知 曲线 y f () 在 ( ) 内 f( ) 而在 ( ) 内 f( ) 于是对任意 U( ) 总有 f ( ) f ( ) 因此 f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) 由于 f () 在 二阶可导 所以 f( ) 证毕 4 但条件 f( ) 并非是充分的 例如 y 有 y 且等号仅当 成立 因此曲 4 线 y 在 ( ) 内下凸 即是说 虽然 y 但 () 不是该曲线的拐点 下面不加证明地给出判别拐点的两个充分条件 定理 7 设 f () 在 某邻域内二阶可导 f( ) 若 f ( ) 在 的左 右两侧分别有确定的 符号 并且符号相反 则 ( f ( )) 是曲线的拐点 若符号相同 则 ( f ( )) 不是拐点 定理 74 设 f () 在 某邻域内三阶可导 且 f( ) f( ) 则 ( f ( )) 是曲线 y f ( ) 的拐点 此外对于 f () 的二阶不可导点 ( f ( )) 也有可能是曲线 y f ( ) 的拐点 5

36 例 求曲线 y 的的凹向区间与拐点 解定义域 ( ) y y 不存在的点为 5 y 列表 ( ) ( ) y 不存在 - y 拐点 由此 曲线在 ( ) 内上凹 ; 在 ( ) 内下凹 ; 曲线的拐点是 ( ) 5 例 求曲线 y 的的凹向区间与拐点 5 解定义域 ( ) 令 y 列表 得 y 4 ( ) 4 y ; y 不存在的点为 ( ) ( ) ( ) - 不存在 y y 拐点 非拐点 由此 曲线在 ( ) 内下凹 ; 在 ( ) 内上凹 ; 曲线的拐点为 ( ) 第八节函数图形的描绘 定义 8 当曲线 y f ( ) 上的一动点 p 沿着曲线趋于无穷远时 如果该点 p 与某定直线 l 的距离趋 于零 那么直线 l 称为曲线 y f () 的渐近线 一 水平渐近线 6

37 设曲线 y f () 如果 f ( ) b 或 f ( ) b 或 f ( ) b 那么 y b 是曲线 y f () 的 水平渐近线 例 求曲线 解因为 y e 的水平渐近线 故 y 为曲线的水平渐近线 二 垂直渐近线 e e 设曲线 y f ( ) 如果 f( ) 或 f( ) 或 f( ) 那么 c 是曲线 y f () c c 的垂直渐近线 l( ) 例 求曲线 y 水平和垂直渐近线 l( ) 解 y 的定义域是 ( ) ( ) 由于 l( ) l( ) l( ) 所以 y 有水平渐近线 y 和垂直渐近线 三 斜渐近线 设曲线 y f ( ) 直线 y a b 如果 [ f ( ) ( a b)] 或 [ f ( ) ( a b)] 或 c [ f ( ) ( a b)] 那么 y a b 是曲线 y f ( ) 的斜渐近线 f ( ) b 下面给出求 ab 的公式 由 [ f ( ) ( a b)] 有 ( a ) 所以 f ( ) a b ( f ( ) a) 线 如果 f ( ) 不存在或 f ( ) 存在 而 ( f ( ) a) 不存在 那么曲线 y f () 不存在斜渐近 例 求曲线 y 斜渐近线 解 y 的定义域为 ( ) 且 ( ) ( ) 所以 y 在 时有斜渐近线 y 在 时有斜渐近线 y 7

38 例 4 求曲线 y arcta 的渐近线 f ( ) arcta 解因为 a 且 ( f ( ) a) ( arcta ) b ; f ( ) arcta 又因为 a 且 ( f ( ) a) ( arcta ) b 所以 y 为曲线的斜渐近线 例 求曲线 y 的渐近线 f ( ) 解因为 所以 为曲线的垂直渐近线 ; 又因为 a 且 ( f ( ) a) ( ) b ; 所以 y 为曲线的斜渐近线 例 4 求曲线 y l 的渐近线 解因为 ( l ) 所以 为曲线的垂直渐近线 ; 又因为 f ( ) l a 但 ( f ( ) a) ( l ) l 所以曲线没有斜渐近线 下面讨论如何利用函数的单调性与极值 曲线的凹向与拐点 曲线的渐近线等等特性作出函数的草图 函数作图的一般步骤是 : 确定函数的定义域 函数的奇偶性与周期性 ; 考察曲线的渐近线 ; 求 f () f () 找出定义域内 f ( ) 或 f () 不存在的点及 f ( ) 或 f () 不存在的点 ; 4 列表确定函数的单调性与极值点 曲线的凹向与拐点 并求出极值与拐点坐标 ; 5 求 y f () 与坐标轴的交点 并作图 例 5 作函数 y 的图形 解 () 定义域 ( ) ( ) ; () 因为 所以 为曲线的垂直渐近线 ; f ( ) 又因为 a 且 ( f ( ) a) ( ) b ( ) 4 所以 y 为曲线的斜渐近线 ; 4 8

39 ( ) () y y ( ) ( ) 令 y 得 ; (4) 列表 ( ) ( ) ( ) ( ) - - y y - - y 极大值 f ( ) 极小值 f ( ) (5) 作图 y O 图 - 例 6 作函数 y e 的图形 解 () 定义域 ( ) ; () 因为 e () y e 所以 y 为曲线的水平渐近线 ; ( )( ) y e (4) 列表确定函数的单调区间 凹凸区间及极值点与拐点 : 令 y 得 令 y 得 ; 9

40 (5) 作图 此函数图形是概率论与数理统计中的一个非常重要的正态分布曲线 例 7 作函数 y ( ) 的图形 解函数的定义域为 ( ) ( ) y ' ( ) ( ) ( ) 令 y 得 令 y 得 y '' ( 6 )( ) ( )( ) 4 6 ( ) 4 由于 ( ) 所以 为垂直渐近线 又 a ( ) b ( ) 于是 y 为斜渐近线 列表讨论如下 : 4

41 补充点 ( / 4) ( ) (8) 作图 第九节导数在经济分析中的应用 一 导数的经济意义 y y 在经济学中 边际概念是反映一种经济变量 y 相对于另一种经济变量 的变化率或 边际成本设 C (q) 表示生产 q 个单位某种产品的总成本 C( q) 平均成本 C( q) 表示生产 q 个单位产品时 平均每单位产品的成本 q C (q) 表示产量为 q 时的边际成本 由微分近似公式 当 q 很小时 有 C( q q) C( q) C( q) q 在经济上对大量产品而言 q 认为很小 不妨令 q 得 C( q ) C( q) C( q) 因此边际成本 C (q) 表示产量从 q 个单位时再生产一个单位产品所需的成本 即表示生产第 q 个单位产 品的成本 边际收益设 R (q) 表示销售 q 个单位某种商品的总收益 R( q) 平均收益 R( q) 表示销售 q 个单位商品时 平均每单位商品的收益 R (q) 表示销量为 q 时的边 q 4

42 际收益 由微分近似公式 得 R( q ) R( q) R( q) 因此边际收益 R (q) 表示销量从 q 个单位时再销售一个单位商品所得的收益 即表示销售第 q 个单位商 品的收益 边际利润 L( q) 设 L( q) R( q) C( q) 表示生产或销售 q 个单位某种商品的总利润 平均利润 L( q) 表示生产或 q 销售 q 个单位商品时 平均每单位商品的利润 L (q) 表示产量或销量为 q 时的边际利润 由微分近似公式 得 L( q ) L( q) L( q) 因此边际利润 L (q) 表示产量或销量从 q 个单位时再生产或销售一个单位商品所得的利润 即表示生产或 销售第 q 个单位商品的利润 例 设生产某商品的固定成本为 元 每生产一个单位产品 成本增加 元 总收益函数为 R( q) q 解总成本函数 C( q) q 4q 设产销平衡 试求边际成本 边际收益及边际利润 边际成本 C ( q) 总收益函数 R( q) q 4q 边际收益 R( q) 4 q 总利润函数 L ( q) R( q) C( q) q q 边际利润 L ( q) R( q) C( q) q 二 弹性在经济理论 ( 特别是计量经济学 ) 中 还经常存在一种变量 y 对于另一种变量 的微小百分比变动关 系 -- 弹性 即 函数弹性的定义 y y y y 或 定义 6 设函数 f ( ) 在点 可导 函数的相对改变量 y y f ( ) y f ( ) 与自变量的相对改 4

43 变量 y y ( 他们分别表示函数与自变量变化的百分数 ) 之比 称为函数 f ( ) 在点 与 两点 y y 间的相对变化率 或称两点间的弹性 当 时 的极限值为函数 f ( ) 在点 处的相对变化率 或称弹性 记作 即 Ey E Ey E y y E f ( ) E 或 y y f ( ) (-) f ( ) 如果函数 f ( ) 在区间 ( a b) 内的每一点 处都存在弹性 则称函数 f ( ) 在区间 ( a b) 的一个函数 一般记为 内有弹性 它是 Ey E f ( ) f ( ) 则 Ey E f ( ) f ( ) 从弹性定义可知 : 函数的弹性概念与导数概念密切相关 同时 函数的弹性是函数相对改变量与自变量的相对改变量之间的数量关系 它反映 f ( ) 随 变化的幅度大小 也即 f ( ) 对 变化反应的强烈程度 或灵敏度 在研究经济变量间变化关系时 弹性概念比导数概念更有用 更方便 即 由 (-) 式有 y y y y Ey E Ey E 所以 当 很小时 有 y y Ey E (-4) Ey 上式表示当 从 改变 % 时 f ( ) 从 f ( ) 近似地改变 % 实际问题中解释弹性意义时 E 略去 近似 4

44 例 求函数 y e 的弹性函数 Ey 解 y (e ) E y e ( 6e ) e Ey 6 E 例 求幂函数 Ey a 解 y ( ) a E y Ey E Ey 及 E a y ( a 为常数 ) 的弹性函数 a a ( ) a a 由此可见 幂函数的弹性函数为常数 所以也称幂函数为不变弹性函数 需求弹性 Q Q 定义 7 已知某商品的需求函数 Q f ( p) p 表示价格 Q 表示需求量 在点 p 可导 p p 称 该商品在 p 与 作 Q Q p p 两点间的需求弹性 p p p p ( P) ( p ) f p p ( p ) f ( p ) p f ( p ) f ( p ) 称该商品在 p 处的需求弹性 记 一般而言 需求量 Q 是价格 p 的减函数 因此 p ) 一般为负值 由 ( Q ( p Q p ) 可知 p 当价格 p 从 p 上升 ( 下降 ) % 时 需求量 Q 从 Q ( p ) 下降 ( 上升 ) ( p ) % p 5 例 4 设某商品的需求函数 Q e 求 p p 5 p 6 时的需求弹性 EQ p 解 ( P) f ( p) Ep f ( p) e p p 5 p p p 5 5 ( e ) ( 5e e p 5 p ) 5 6 ( ) ( 5) ( 6)

45 说明 当 p 时 当 p 从 上升 ( 下降 ) % Q 相应下降 ( 上升 ) % 5 当 p 5 时 当 p 从 5 上升 ( 下降 ) % Q 相应下降 ( 上升 ) % ; 6 当 p 6 时 当 p 从 6 上升 ( 下降 ) % Q 相应下降 ( 上升 ) % 5 若 ( p ) 表示需求变动幅度小于价格变动幅度 此时称低弹性 ; 若 ( p ) 表示需求变动幅度与价格变动幅度相同 此时称单位弹性 ; 若 ( p ) 表示需求变动幅度大于价格变动幅度 此时称高弹性 用需求弹性分析总收益的变化总收益 R 是商品价格 p 与销售量 Q 的乘积 即 R( p) pq( p) R ( p) Q( p) pq( p) p Q( p)[ Q( p)] Q( p) Q ( p)( ) () 若 即低弹性 此时 R ( p) 即 R ( p) 单调增加 价格上涨 总收益增加 ; 价格下跌 总 收益减少 () 若 即高弹性 此时 R ( p) 即 R ( p) 单调减少 价格上涨 总收益减少 ; 价格下跌 总 收益增加 () 若 即单位弹性 此时 R ( p) 价格的改变对总收益的影响微乎其微 所示 综上所述 总收益的变化受需求弹性的制约 随商品需求弹性的变化而变化 其变化关系如图 -4 ; R O 图 -4 例 5 设某商品的需求函数 Q p 讨论其弹性的变化 解在 Q p 中当 Q 时 p 5 5 是需求函数 Q p 的最高价格 EQ Ep p Q( p) Q( p) 45

46 p p ( p) p 5 p EQ p p Ep 5 p 5 p 当 p 5 时 此时为单位弹性 ; 当 5 p 5 时 此时为高弹性 在此范围内采用提价措施的话 因为需求下降的百分比大 于价格增加的百分比 故企业总收入反而会减少 ; 当 p 5 时 此时为低弹性 在此范围内采用压价措施的话 因为需求增加的百分比小 于价格减少的百分比 企业总收入也会减少 4 供给弹性 定义 8 已知某商品的供给函数 Q g( p) p 表示价格 Q 表示供应量 在点 p 可导 Q Q p p 称 该商品在 p 与 Q Q p p 两点间的供给弹性 p p p g p g ( p ) 称该商品在 p 处的供给弹性 ) ( p 记作 p ( P) ( p ) g( p ) p p g( p ) 一般而言 供应量 Q 是价格 p 的增函数 因此 ( p ) 一般为正值 p 例 6 设某商品的供给函数 Q e 求供给弹性函数及 p 时的供给弹性 EQ p 解 Q( p) Ep Q( p) p p p p (e ) 6e p p p e e ( ) p p 说明 当价格 p 从 上涨 ( 减少 ) % 则供给量相应地增加 ( 减少 ) % 三 优化与微分模型 边际函数与经营优化 例 7 设某产品的成本函数为 C( ) k k k k ( ) 式中 k k k 均为正常数 且 k k k 求此成本曲线的拐点 凹向 并作经济解释 k 解 [ ) C ( ) k k k 4 46

47 这是一个二次三项式 它的判别式 k k k 又二次项系数 k 所以 C ( ) 即 C( ) 在 时是单调增加的 4 k C ( ) k 6k 6k ( ) k k 令 C ( ) 得 k 列表 k ( k ) k k k ( k ) C () - C ( ) 拐点 k k k k 因此 成本函数在 ( ) 内下凹 在 ( ) 上凹 拐点 ( C( )) k k k k 经济解释 : k k 当 ( ) 时 C ( ) 即 C () 单调减少 故当产量未达到 k k 时 边际成本随产量增加而减 少 ; k k 当 ( ) 时 C ( ) 即 C () 单调增加 故当产量超过 k k 时 边际成本随产量增加而增 加 ; k 当 时 边际成本达到最小值 k 例 8 设厂商的总成本函数 C C(q) ( q 为产量 销量 需求量 ) 需求函数为 P P(q) 其中 d L C (q) P (q) 均是 q 的二阶可导函数 且厂商的利润函数 L L(q) 满足 试确定厂商获得最大利润 dq 的必要条件 解收益函数 R( q) qp ( q) 利润函数 L( q) R( q) C( q) 由题设 L (q) 二阶可导 故其极值只能在驻 d L 点处取得 且由 dq 值 此时 知 (q) L q ) R( q ) C( q ) ( L 下凹 即 L (q) 至多有一个驻点 q 且 L (q) 在 q 处取得极大值 从而为最大 即 R ( q ) C( q ) 此时 q 称为厂商的均衡产量 相应的价格 P P( q ) 称为均衡价格 因此 厂商获得最 47

48 大利润的必要条件是边际收益 R (q) 等于边际成本 C (q) 此为经济学中一个重要命题 例 9 设某厂生产某种产品 q 件的总成本函数 C( q) q ( 万元 ) 又需求函数为 P 其中 p q 为产品的价格 若需求量等于产量 那么 () 求需求对价格的弹性 ; () 问产量 q 为多少时总利润最大? 并求最大总利润 解 () 需求对价格的弹性 Eq Ep p f ( p) f ( p) () 总利润 p ( ) p p p p p L( q) R( q) C( q) pq C( q) q q q 令 L ( q) 得 q q L ( q) q q 65 ( 件 ) L ( 65) 5 ( 万元 ) 而又因为 L ( 65) 所以当产量为 65 件时总利润最大 最大总利润为 5 万元 存贮费用优化问题 仓储原料或货物对于企业 商业流通部门都是不可少的 存贮过多 会导致占用资金过多 仓储费用 过高等问题 但存贮量少 可导致订货费用增加 还可能造成缺货 从而造成经济损失 比较简单的情形下需求是均匀的 即单位时间的需求量保持常数 且不允许缺货出现 此时使订货费 与存贮费之和最小? 假设订货周期为 T 天 每次订货量为 Q 吨 每次订货费用为 C 元 每日每吨货物的贮存费为 C 元 每日对货物的需求量为 q 吨 并假设贮存量降到零时立即进货补充 上面为模型假设 对问题进行简化 抽象及明确后 使之转化为清晰的数学问题 是进行数学建模的 关键 分析显然 Q qt 设任一时刻货物贮存量为 y (t) 如图 -5 所示 48

49 y Q B O T t 图 -5 若将数量为 Q 的货物贮存 T 天 则其贮存费为 贮存量均匀减少的情况下 贮存费为三角形 OTQ 的面积 恰为 由此 一个周期内的总费用 则每天的平均费用 C C( T ) qt C C QT C C C( T) C C( T) C qt T T C C ( T ) C q T QT 其中 QT 为图 4-5 中矩形 OTBQ 的面积 在 C QT C C 令 C ( T ) 得 T 又 C ( T ) qc T C 故 C ( ) T qc C qc 为唯一的极小值点 即最 C q 小值点 此时 批量即每批的订货量为 Q C 49