第三章

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认峨满
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1 第三章微分中值定理与导数的应用一内容提要罗尔定理拉格朗日中值定理及柯西中值定理是本章的重要定理是以后用导数研究函数形态的基础洛必达法则是求极限未定式的极为重要的手段在灵活运用的基础上比第一章所学的方法更具规范化泰勒公式可理解成函数用多项式近似表示余项便是误差 4 函数单调性凹凸性是导数的某种具体应用由单调性产生出求极值最大与最小值的方法加上凹凸性等可大概将函数描绘出来 5 弧微分与曲率是两个重要的数学概念弧微分将来与弧长有关曲率是表示曲线弯曲程度的指标二重要结论罗尔定理 : 函数 ab ] ( ab ) 上可导且 ( a) ( b) 在 [ 上连续在 ξ ( ab ) 使 ( ξ ) 拉格朗日中值定理 : 函数 ( ) 在 [ ab ] 上连续在 ( ) 则必存在 ab 上可导则必存在 ξ ab 使 ( a) b b a ( ξ ) 或 ( b) ( a) ( a θ( b a) )( b a) θ ( ) 柯西中值定理 : 函数 + g( ) [ ab ] 上连续在 ( ab ) 上可导且 g 在 b a ξ 必存在 ξ ( ab ) 使 g b g a g ξ 洛必达法则 : lim ( ) lim ( ) a 心邻域中可导 g 也存在亦为 A a g 且 lim a g 则 g 在 a 的某去存在为 A( 可以是 ) 则 lim a g 上述结论可推广至 a + 或 a + 的各情形泰勒公式 : ( ) 在含有的某个开区间 ( ) ab 内有 + 阶导数则 ( ab ) 中任一有

2 ( ( ) ) ( ) ( ) + R 成立 ( + ) ( ξ ) ( ) ( +! ) R 称为皮亚诺型的余项 4 + 在 [ ab 上连续 ( 上可导若!! 被称为拉格朗日型的余项 R o( ) 被 ] ab ) > 恒成立则在 [ ab 上单调增 ] 加 ; 若 < 恒成立则 ( ) 在 [ ] ab 上单调减少 ( ) 在 [ ab ] 上连续 ( ab ) 上有二阶导数若 > 恒成立则 ( ) 在 [ ab ] 上是凹的 ; 若 < 恒成立则 ( ) 在 [ ] ab 上是凸的 5 ( ) 在处连续在的某去心邻域 ( U ) > ( + δ ) 时时 δ 内可导若有 ( δ ) < 则在处函数取极大值 ; 若有 ( δ ) 时 < ( + δ ) 时小值 ; 若 U ( δ ) 中不变号则在处函数不取极值 ( ) 在处有二阶导数且 ( ) 若若 ( ) < 则在处函数取极大值 6 若 + ( 或 ) 时 > 则在处函数取极 > 则在处函数取极小值 ; ± 则为函数的垂直渐近线 ; 若 lim ± a 且 lim ± ( a) b 则 y a+ b为函数的斜渐近线 7 弧微分公式 : ds ( d) ( dy) + 曲率公式 : 曲线的参数方程 y ϕ ψ ( t) () t K ( t) ( t) ( t) ( t) ϕ ψ ϕ ψ () () t + ψ t ϕ 三例题设为偶数且 a 证明方程 + a ( + a) 仅当时成立

3 分析 : 罗尔定理在导数的有关证明中是一个极为重要的内容本题的想法首先希望能直接解出方程但尝试后似不可行其次可考虑用单调性来做对辅助函数求导后应发现用罗尔定理做较简单 ; 另外希望同学理解为偶数用在何处证明 : 若有使 + a ( + a) 不妨设 > 令 + a a 则 ( ) 由罗尔定理知 : 存在 ξ ( ) 使 ( ξ ) 即 ξ + a ξ 所以 ξ ξ + a a 与题意矛盾故假设不成立方程仅当时成立设 ( ) 在 [ ab ] 上连续在 ( ab ) 上可导且 ( a) ( b) 使 ξ + ξ 成立求证 : 存在 ξ ( ab ) 分析 : 有关用罗尔定理证明的结果有很多需要作辅助函数后再用本题便是一例该法常被称为原函数法步骤为 : 将等式中的 ξ 换成再通过恒等变形 ( 本题是两边同乘以 ) 使之成为某函数的导数该函数便为所求辅助函数 F ) 证明 : 作辅助函数 ( ab ] ( ab ) 上可导且 F( a) F( b) 则 F 在 [ 上连续在由罗尔定理知 : 存在 ξ ( ab ) 使 F ( ξ ) ξ 则有 ( ( ξ) ( ξ) ) ξ ( a b) + 约去非零项即得结论 > > ab ] ( ) 设 b a 在 [ 上连续在 ab 内可导证明 : 存在 ξ ( ab ) a b b a 使得 ab b a ξ ξ ξ ξ 成立分析 : 本题也用罗尔定理证明此法常称为常数 k 值法步骤为: 将常数部分 ( 本题的左式 ) 令为 k 通过恒等变形使等式两端一端为 a 及 ( a ) 的代数式另一端为 b 及 b 的代数式若为对称表达式则将 a 及 ( a )( 同样也是 b 及 ( b )) 改成及 ( ) 便是所求辅助函数具体如下 :

4 a b b a 令 ab b a k 得 : a ( b) b ( a) kab( b a) a b kab b a ka b b kb a ka b a 知令 F 证明 : 令 F k k ] 在 [ ab 上满足罗尔定理条件故存在 ξ ( ab ) 使 F ( ξ ) 成立即 k ξ a b b a 即 ab b a ξ ξ ξ ξ 注 : 本题也可化为值定理 b a b a ξ ( ξ) ( ξ) 对 b a ξ 在 [ ab ] 上直接用拉格朗日中 4 对 a > 证明 : + + a a a a < < l a ( + ) 分析 : 原不等式即 : ( + ) 日中值定理尝试证明 : 令 a + l + < a a < a a a l a 再考虑到 ( a ) a l a知可用拉格朗在 + 上用拉格朗日中值定理知 : 4

5 存在 ξ + 使 a a a ξ l a 成立 + + l 即 a ξ a a a + + ξ a l a a l 而 < + ξ + a l a a ξ + a > ( + ) ( + ) l a + a l a a l a + 所以 < a a < + 即 + + a a a a < < l a ( + ) 5 求下列极限 : () si + lim cos l cos ; ( + ) ( + ) ( + + ) + ( + ) l l lim si ; + lim + + ; π ; 4 lim ta 5lim l + ( 7) lim ( arcsi ) ta + () 分析 : 该题为 ; 6lim arcsi 8 lim cot ; l + 的未定型一般用洛必达法则但洛必达法则并不是万能的特别含有时表达式中有 si 或 cos 等类似项时本题便是含有时的 cos 项用洛必达法则是不能求出来的同时也说明验证洛必达法则的第三个条件的重要性 si + 解 : 原式 lim cos si lim + cos ( ) 分析 : 该题为的未定型用洛必达法则是非常合适的但在用洛必达法则时应注意 ; 5

6 可能的话要先用等价无穷小化简否则可能会运算很复杂 l l + 解 : 原式 lim + + lim lim ( + )( + ) + ( + )( + + ) ( + + )( + ) lim lim lim l + 另解 : 原式 lim 4 l + + lim lim ( ) 分析 : 该题虽为 + 4 的未定型但用洛必达法则会发现一直得不出结果希望同学能较早发现及时改用其它方法本题的关键是在分子分母上找出最主要的部分进行比较这种想法是重要的 + 解 : 原式 lim 分析 : 该题为 i 的未定型化成两部分相除后再用洛必达法则是非常合适的但要注意化成型还是型解 : 原式 lim lim π π cot csc i π π 6

7 ( 5 ) 分析 : 该题为的未定型常可化为两式相除用洛必达法则做解 : 原式 lim l + l + lim 令 t t l + t 得 : 原式 lim t t lim + t t t t lim t t ( t) + 6 分析 : 本题的未定型及 ( 7 的未定型 8 的未定型常作对数恒等式变换后再用解 : 原式 lim 洛必达法则 ) arcsi l arcsi l lim ( 由于 arcsi 是偶函数以下只考虑 +) l arcsi l lim arcsi lim arcsi lim arcsi arcsi lim arcsi lim 6 arcsi lim 6 7

8 arcsi lim 6 6 ta l arcsi 7 解 : 原式 lim + lim ta larcsi + l arcsi lim cot + arcsi lim csc + si lim arcsi + lim + 8 解 : 原式 lim + l cot l l cot lim l + lim cot + ( csc ) lim cos si + 6 当时问是的几阶无穷小量? 分析 : 若用的一次方二次方逐一尝试工作量较大用泰勒公式可轻易解决这就要求 + + α 等同学熟记常用的泰勒公式如 si cos l( )( ) 解 : + ( ) + ( ) + o( )! + + +! ( ) o( ) 8

9 o ( ) + o 原式是的二阶无穷小量 7 证明 : 当 < < 时 + + ( ) ( + ) l < + arcsi 分析 : 证明不等式的方法有很多用单调性来证明是其中重要的一种只要掌握了这种证明的几何思想过程是容易把握的具体本题首先观察左右在 +时有相同的极限 ( 为 ) 然后若能证明 < < 时有左式减右式所得函数是单调增加的即可证明 : 当 < < 时令 ( + ) l < arcsi < + l ( + ) + arcsi + l + arcsi [) 则 ( ) l ( + ) + + arcsi arcsi + l ( ) > 所以有任意 > + l + arcsi > () 即 : 分析 : 证明函数等式的方法最常用的便是证明左式减右式所得函数的导数恒为零然后再确 8 证明 : arcta arcta ( ) 定常数为零证明 : 令 arcta arcta ( ) 故 + + ( ) ( ) ( ) 9

10 所以 ( ) 在 ( ) 上为常数函数又 ( ) 所以 ( ) 在 ( ) 上恒为 p p p p a + b < ( a+ b) ( < p< ) p () p p p 9 证明不等式 : 设 a > b> a b a + b > a+ b p > ; 分析 : 用函数图形的凹凸证明不等式也是一种常见题型这种题目一般有一特点就是不等式的表达式中有几项除字母外表达式的函数一致 p p p p p p a + b a+ b > > + > + > 证明 : a b a b a b ( a b) 令 p > p 则 p p p p () 则 > p > 函数图形是凹的 p 故 a > b> a b 时有 : a + b a+ b > ; p p a + b a+ b 即 > p < < 则 p < 函数图形是凸的故 a > b> a b 时有 : a + b a+ b < ; p p a + b a+ b 即 < p 求函数 y + 的单调区间极值点及凹凸区间与拐点分析 : 这类题目是本章极为常见的基本题目并无技巧性可言唯一要注意的就是目的的明确性和运算的正确性若作表格草图则更清楚解 : ±

11 y + ( ) ( ) ( ) 令 y 得 : ± ( ) y > 函数在其上是单调增加的 ( ) ( ) ( ) y < 函数在其上是单调减少的 ( + ) y > 函数在其上是单调增加的所以为极大值点为极小值点 y ( ) ( ) 4 ( ) ( ) ( ) ( ) ( + ) ( ) 令 y 得 : 在 ± 处函数无定义 ( ) 时 y < 函数在其上是凸的 ( ) 时 y > 函数在其上是凹的 () 时 y < 函数在其上是凸的 ( + ) 时 y > 函数在其上是凹的可见 () 处为拐点求上题的渐近线分析 : 垂直渐近线是直接观察得到斜渐近线可由公式得到水平渐近线是斜渐近线的一种解 : lim + li m + 故及为垂直渐近线

12 + lim lim + lim + lim 故直线 y 是其渐近线在半径为 a 的半球外作一外切圆锥体欲使圆锥体体积最小问高度及底半径应是多少? 分析 : 这种应用性的求最值问题解决的过程一般是首先求出目标函数然后是对目标函数求导由此来确定何处取最值注意无论是极值还是最值要得到结论的话就必须有一个判断过程而不可贸然认定某处取极值或最值解 : 设外切圆锥体的底半径为 r 高为 h a 则 h r a< r <+ r a 圆锥体体积 V r π r h π a r a r r r V π a + r a r a ( ) ( ) ( r a ) r r a r π a 4 4 r a r π a r a 令 V 得 : r 6 a 6 r a a 时 V < 6 r a + 时 V > 答 : 略 6 故在 r a 处圆锥体体积最小此时高度及底半径分别为 a 与 6 a

13 四学习要点本章的内容就是导数的应用其应用的基础环节是中值定理这一点请同学在学习的过程中加以体会同学最基本须掌握如何用洛必达法则求极限求极值最值拐点及渐近线等再则须掌握罗尔定理拉格朗日中值定理柯西中值定理及泰勒公式它们的灵活运用是需要多次训练才能达到的至于曲率只是一个概念在理解意义之外记住公式即可五练习题五练习题一设 abc 为实数证明 : 方程证明 : 当证明 : 若则 4 设 a b c + + 的根不超过三个 + 时成立 arcta + arcsi π sg lim θ + 4 lim θ θ 在处二阶可导且 lim A cos 5 设函数 ( ) 在 ( ) + 内有定义其中 θ 是函数并且 4 ) 求 ( 的极大值点则成立 ( A) 必是 ( ) 的驻点 ( B) 必是的极小值点 ( C) 必是的极小值点 ( D ) 对一切都有 ( ) 6 设常数函数 + 在内零点个数为 k > l k ( + ) ( A ) ( B ) ( C ) ( D ) 7 已知函数 y 对一切满足 ( ) 则成立 ( A) ( ) 是 ( B) ( ) 是的极小值的极大值 C ( ) 是曲线 y 的拐点 + 若

14 ( D) ( ) 不是 ( ) 的极值 ( ( ) ) 也不是曲线 y 8 求极限 lim ta π + 4 l si 9 求极限 lim 求极限 lim ( m ) m m 的拐点求极限 lim + + 求极限 lim cot si 设当 si < 时对于其余 ( ) 满足 ( 在处连续求常数 k 之值 4 设 > 证明 :( ) l ( ) 曲线 y arcta 已知 A ( < 的渐近线有条 + k + ) 欲使 B ) ( C) 在的某个邻域内连续且 lim cos ( A ) 不可导 ( B ) 可导且 ( C ) 取得极大值 ( D ) 取得极小值 D 4 则在点处 ( ) 7 要造一个圆柱形无盖水池使其容积为 Vm 底的单位面积造价是周围的两倍问底半径 r 与高 h 各是多少才能使水池造价最低? 8 求数列 { } 中最大的一项练习题二 4

15 + a 试确定常数 ab 使当时 arcta + b 为的尽可能高阶的无穷小并求此阶数 ( ) 内具有二阶连续导数且设 y 在 () ( ) 内的任意存在惟一的立 ; ( lim ) θ 证明 : θ ( ) 使 ( ) θ ( 设常数 a > 讨论方程 a 的实根的个数 4 求极限 () ( + ) 5 设 () lim cos π ; si ( si ) ta ta lim si 在 ( 上二阶可导任意 a b ) + 成 ab ) 任意 ( ) > t 若恒成立则有 : t+ t < t + t ; < 若恒成立则有 : t+ t > t + t 6 设常数 pq> 且 7 求曲线 y l 的最大曲率 p + 证明 : 对于任意 > 成立 + p q p q 8 已知 ( ab ) 的二阶可导函数 ( ) a b 证明 :( ) 存在 ( ab ) ξ ξ ξ ξ < < < < ( ) ( ) ( ) 且使 ( ξ ) ( ξ ) i ξ ( ab ) ( ξ ) ( ξ ) 存在使 b b a 9 设 b> a> 证明 : l > a a+ b 成立设函数 ( ) 在 [ ab ] 上连续在 ( ab ) 内可导且 i i 成立 ; 证明 : 存在 ξη ( ab ) 使得 ( ξ ) ( η) b a b a η 成立求笛卡尔叶形线 + y ay 的斜渐近线设 ( ) 在 [ ] 上具有三阶连续导数且 ( ) 证明 : 在 5

16 () 内存在一点 ξ 使得 ( ξ ) 若 ( ) 在 [ ab ] 上有二阶导数且 ( a) ( b) 4 b a 使 ( ξ ) ( b a) 六练习题参考解答成立则存在 ξ ab 练习题一反证法再用罗尔定理将 4 ( ) ( ) ( ) 分成两段分别证明求出 θ 后逐一证明 4 A 5 B 6 B 7 A 8 9 m 6 4 令 l [ ) V V 再利用单调性做 5 B 6 D 7 r h π π 8 练习题二解 : arcta o b 5 7 ( ) ( 8 + b + + o ) ( + a ) b 5 b 7 b a o b 4 b a a 5 令得 : b b

17 b 7 8 o ( + ) 此时有 : lim lim b 75 故当 a 4 b 5 5 时 ) 证明 :( 对于任意成为的最高阶无穷小是的 7 阶无穷小由拉格朗日中值定理得 : θ 因为在 ( ) 上连续且不为零故在 ( ) 上是单调的所以 θ 惟一 θ + 在 ( ) ( ) 由泰勒公式得 : ( ) ( ) 所以 θ ( ξ ) 上不变号 + + ξ 介于与之间 ( ξ ) ( ) ( ) + ( ξ ) ( θ ) ( ) θ 当 ( θ ) ( ) θ ( ξ ) 时由在 ( ) 上的连续性得 : limθ lim ( ξ ) ( θ ) ( ) θ ( ) ( ) 解 : 处显然不是根 7

18 a 令则令 ( ) 得 : ( ) 时 > 考虑到 lim lim a 及 lim ) ( ) 时 a 得 : 在 ( 中原方程有且仅有一根 ; < ( + ) 时 > 处取极小值为 4 a 考虑到 lim lim + 及 lim + + a + a lim + a lim + + 知 4 a > 时 ( + ) 上无实根 4 a 时 ( + ) 上有一实根 4 a < 时 ( + ) 上有两实根总之得 : a < 时方程仅有一个实根 4 a 时方程有两个实根 4 a > 时方程有三个实根 4 8

19 () 4 解 : 原式 lim + π lim l cos + ( ) π l cos π si lim + cos π si lim + cos π ( ) 分析 : 该题直接用洛必达法则会很复杂须稍加变形后再用 ta ta ta si + ta si si si 原式 lim si ) ta ta ta si ta si si si lim + lim si si sc ξ ta si ta u si u lim + lim ξ介于 ta si 之间 si u arcsi u u sc cos sc u cosu lim + lim cos u u sc ta + si sc u cosu lim + lim si u u sc + lim u u cosu u sc utau+ siu + lim u u 6 5 证明 :( 任意 ( 设 t + t t ) 在处的泰勒公式 : ( ξ ) 以 + + 其中 ξ 介于与之间分别代入得 : 9

20 ( ξ ) t + ( t) t ( ) + ( )( ) + ( ξ ) + ( t) ( ) + ( )( ) + ( 其中 ξ ξ 分别介于及之间 ) ( ξ) ( ξ ) t t > ( ) 同理可证 + + 注 : 该命题以后可当已知结论使用 p + q + p 6 证明 : 令 ( ) p 则得令当 () 时有 < 当 ( + ) 时有 > 故在处函数 ( ) 取得最小值为所以任意 > 成立 p 即 + ( + ) p q 7 解 : y y 任意 ( + ) 处的曲率 K y ( + y ) +

21 K + K 5 5 ( + ) + + 令 K 得 : 当时有 K > 当 + 时有 K < 故在处曲率取得最大值为 9 8 证明 :( ) 令 ( F ) 在 [ ] 上满足罗尔定理条件故存在 ( ) ξ 使 ξ 即 ξ ξ ξ F ξ 成立两端消去即得 : 存在 ξ ( ) 使 ( ξ ) ( ξ ) 同理在 [ ] 上证明可得 : ξ 成立 ; 存在 ξ ( ) 使 ( ξ ) ( ξ ) ( ) 令成立 ; 且知 ξ < ξ 是分离的 G 在 [ ] ξ ξ 上满足罗尔定理条件故存在 ξ ( ξ ξ ) 使 G ( ξ ) 即成立 ( ) ξ ξ ξ ξ ( ( ξ) ( ξ) ) + 整理得 : ( ξ ) ( ξ ) 9 分析 : 原命题等价于 ( a b)( l b l a) ( b a) + >

22 亦等价于 ( a b)( b a) ( b a) + l l > 观察到对 b 大于 a 的多少并无要求故令 ( a )( l l a) ( a) 希望用单调性来证明 + 证明 : 令 ( a )( l l a) ( a) 则 ( a ) + a+ ( l l a) + 而 ( a) a > 且 ( a b) > b 故 ( a ) 由 ( ) 在 [ ] ab 上的单调性即得 : ( ab ] 时有 > 分析 : 这种证明存在 ξη ( ab ) 定理或柯西中值定理 ( ξ ) ( η) b a b a η ( ξ ) b a b a ( ξ ) b a b a 使得成立的题目常需用多次拉格朗日中值 η η ( η) 可见在左右分别用拉格朗日中值定理和柯西中值定理即得证明 : 由拉格朗日中值定理得 : 存在 ξ ( ab ) 使 ( b) ( a) ( ξ )( b a) 由柯西中值定理得 : 存在 η ( ab ) 使 b a 所以 ( ξ )( b a) ( ) η b a η b a η η 整理即得原命题 η

23 分析 : 求斜渐近线的公式已知但本题的函数不是用显式表示的这就是本题的难点此时可考虑用参数方程来做一些常用函数的参数方程须记住 at + t 解 : 笛卡尔叶形线的参数方程为 : at y + t 相应于 t y t t ( t) at at at + a y ( ) + a + t + t + t t 所以斜渐近线方程为 : y a 解 : 由泰勒公式得 : ( ) ( ) ( ) ( η)!! 其中 η 介于与之间 [ ] 分别令得 : ( ξ ) + ξ 两式相减得 : + ξ < ξ < 6 () ( ) + ( ) + ( ξ) < ξ < 6 成立由的连续性根据介值定理知存在 ξ ( ) 使 ( ξ ) a+ b 解 : 以分别代入函数在 ab 处的泰勒公式得 : ( ξ ) a b b a a+ b + ( a) + ξ a ( ξ ) a+ b b a a b ( b) + ξ b { } 令 ( ξ) ma ( ξ ) 则 ( b) ( a) ξ ( ξ ) ( ξ ) ( a) b 4 +

24 ( b a ξ ) 4 4

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<4D F736F F D20B5DAB6FEBDB22020B5DAB6FEB2BFB7D6CCE2D0CDBDE2B4F02E646F63> 中值定理题型题型一 : 中值定理中关于 θ 的问题例题设 rt C[ ] θ 求 limθ 解答由 θ 得 rt rt θ 解得 θ rt rt rt lim θ lim lim lim rt 于是 lim θ 例题设二阶连续可导且又 h θh h < θ < 证明 : lim θ h 解答由泰勒公式得 h h h! 其中位于与 h 之间于是 θh h h h! 或 θh θh