微分中值定理反映了导数更深刻的性质, 也是导数应用的理论基础微分中值定理应包括罗尔中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理泰勒中值定理在对微分中值定理的理解和掌握方面要重视以下几点 : 1 微分中值定理的条件和结论各是什么? 2 当微分中值定理的条件不完全满足时, 结论是否还成立? 3 微分中

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意梁
7 years ago
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1 第六章微分中值定理及其应用 1 拉格朗日定理和函数的单调性 2 柯西中值定理和不定式极限 3 泰勒公式 4 函数的极值与最大 ( 小 ) 值

2 微分中值定理反映了导数更深刻的性质, 也是导数应用的理论基础微分中值定理应包括罗尔中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理泰勒中值定理在对微分中值定理的理解和掌握方面要重视以下几点 : 1 微分中值定理的条件和结论各是什么? 2 当微分中值定理的条件不完全满足时, 结论是否还成立? 3 微分中值定理条件和结论的几何意义

3 4 中值点点的存在性唯一性可求性讨论 5 微分中值定理证明和应用中的辅助函数构造 6 微分中值定理的作用是联系函数与函数导数的纽带, 是建立函数与其导数关系的桥梁罗尔中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理将函数与其一阶导数进行联系, 泰勒中值定理将函数与其高阶导数进行联系

4 在这一章里, 我们要讨论怎样由导数的已知性质来推断函数所应具有的性质. 微分中值定理 ( 包括罗尔定理拉格朗日定理柯西定理泰勒定理 ) 正是进行这一讨论的有效工具. 本节首先介绍拉格朗日定理以及它的预备定理罗尔定理, 并用此讨论函数的单调性.

5 极值 ( 点 ) 定义定义 3 若函数 f 在点 x 的某邻域 x U x 有 ( ) f ( x ) f ( x),( f ( x ) f ( x)) U( x ) 内对一切则称函数 f 在点 x 取得极大 ( 小 ) 值 x 是函数 f 的极大 ( 小 ) 值点. 极大值极小值统称为极值, 极大值点极小值点统称为极值点.

6 费马定理定理 5.3 ( 费马定理 ) 设函数 f 在点 x 的某邻域内有定义, 且在点 x 可导. 若 x 点为 f 的极值点, 则必有 f ( x ).

7 一罗尔定理与拉格朗日定理定理 6.1 ( 罗尔 (Rolle) 中值定理 ) 若函数满足如下条件 : f f f ( a ) f ( b ) (ⅰ) 在闭区间 [a,b] 上连续 ; (ⅱ) 在开区间 (a,b) 内可导 ; (ⅲ), f ( ) 则在内 (a,b) 至少存在一点, 使得 (1). 罗尔定理的几何意义是说 : 在每一点都可导的一段连续曲线上, 如果曲线的两端点高度相等, 则至少存在一水平切线 ( 图 6-1). f

8 注 1 Rolle 定理的三个条件只是充分条件, 不是必要条件, 这三个条件不完全满足时, 结论也有可能成立. 例如, 函数, 2 x 1 2 g( x) x, 1 x 1 1, 1 x 2. 不满足三个条件中的任何一个, 但 g().

9 注 2 Rolle 定理的三个条件都是很重要的, 缺了其中一个, 结论就可能不成立. 例如函数 f( x) x, x[,1] 不满足条件 ⑶, 无水平切线 ( 图 6-2-(a)) 函数 f ( x) x, x [ 1, 1] 不满足条件 ⑵, 无水平切线 ( 图 6-2-(b)); 函数 x, x1; f ( x), x 1 不满足条件 ⑴, 无水平切线 ( 图 6-2-(c)). y=x y= x y=f (x). 图 6-2 (a) (b) (c).

10 注 3 可能有同学会问, 为什么不将条件 (i)(ii) 合并为 f (x) 在 [a,b] 上可导? 可以. 但条件加强了, 就排斥了许多仅满足三个条件的函数. 例如函数 f( x) (3 x) x, x[,3], 3 ( 1 x ) 则 f ( x ) 2 x 显然 x = 时, 函数不可导 ( 切线 y 轴 ), 即不符合加强条件 ; 但它满足定理的三个条件, 有水平切线 ( 图 6-2-(d)) y y=f (x) x

11 注 4 罗尔定理结论中的值不一定唯一, 可能有一个, 几个甚至无限多个. 例如 x f ( x) sin, x x ;, x 在 [-1,1] 上满足 Rolle 定理的三个条件 x sin 2x sin cos, x f ( x) x x x, x. 在 (-1,1) 内存在无限多个使得 f ( c n ). cn 1 ( n 1, 2, ), 2n

12 作为罗尔定理的简单应用, 请看下面的例子 f f ( x) 例 1 设为 R 上可导函数, 证明 : 若方程没有实根, 则方程 f ( x ) 至多只有一个实根证这可反证如下 : 倘若 f ( x ) 有两个实根 x 1 和 x 2 ( 不妨设 x ), 则函数在上满足罗尔定理三 1 x2 f [ x1, x2] 个条件, 从而存在 [ x, 使, 这与 1, x 2 ] f ( ) f ( x ) 的假设相矛盾, 命题得证. ( 问 ) Rolle 定理的条件 (i)(ii) 很重要且具有一般性, 但条件 (iii) 比较苛刻, 函数一般不满足它, 从而限制了定理的应用. 如果去掉第三个条件,Rolle 定理的结论会发生什么变化? Lagrange 给出了回答.

13 定理 6.2 ( 拉格朗日 (Lagrange) 中值定理 ) 若函数满足如下条件 : (ⅰ) 在闭区间 [ a, b ] 上连续 ; f f (ⅱ) 在开区间内可导 ; 则在 a, b a, 内至少存在一点, 使得 b f ( b ) f ( a ) f ( ). (2) b a 显然, 特别当 f(a) = f(b) 时, 本定理的结论 (2) 即为罗尔定理的结论 (1) 表明罗尔定理是拉格朗日定理的一个特殊情形 ξ

14 ( 析 ) 为了找出证明思路, 我们也先从几何上看 Lagrange 定理的意义 :(2) 式右端是弦 AB 的斜率. 定理是说, 若平面上一条以 A( a, f( a)) B(b, f(b)) 为端点的连续曲线 y = f(x) 在 (a, b ) 内处处有不平行于 y 轴的切线, 则在开区间 ( a, b ) 内部必至少有一点, 使得曲线 y = f ( x ) 在该点的切线平行于弦 AB, 即平行于两个端点 A(a, f(a)) 与的连线 ( 图 6-3-(a)) f(b)- f(a) y= (x-a)+ f(b) b-a B (b, f(b)) y y=f (x)

15 如果在 Lagrange 中值定理中增加函数在两端点值相等的条件, 则结论正是 Rolle 中值定理的结论. 可见,Rolle 中值定理是 Lagrange 中值定理的特例, 这又是一个先处理特殊后处理一般情形的例子. 因而定理 6.2 证明的思路就是将 Lagrange 中值定理转化到 Rolle 中值定理上去以获得证明, 使用 Rolle 定理的关键是其条件 (3) 弦 AB x 轴. 即现在的问题是 : 如何实现这个转化? 即如何将 Lagrange 中值定理中的斜弦转化为 Rolle 中值定理中的水平弦? 只需将曲线高度 - 弦的高度即可满足, 因此关键是求弦的方程. 取点 A (a, f(a)), 由点斜式知, 弦 AB 的方程为 : f(b) - f(a) y - f(a) = (x -a) b - a 现在可以构造一个函数 : F (x) = 曲线高度 - 弦的高度 = f (x) y, 则曲线段 F (x) 必有水平弦.

16 注 1 拉格朗日中值定理的几何意义是 : 在满足定理条件的曲线 y = f x 上至少存在一点 P ξ, f ξ, 该曲线在该点处的切线平行于曲线两端点的连线 AB, 我们在证明中引入的辅助函数 F x, 正是曲线 y = f x与直线 AB f b - f a y = f a + x - a b - a 之差 ( 如图 6-3 所示 ). 事实上, 这个辅助函数的引入相当于坐标系统沿原点在平面内的旋转, 使在新坐标下, 连线 AB 平行于新 x 轴.

17 注 2 定理 6.2 的结论 ( 公式 (2)) 称为拉格朗日公式拉格朗日公式还有下面几种等价表示形式, 供读者在不同的场合选用 : f(b) - f(a) = f (ξ)(b - a),a < ξ < b;(3) f(b)- f(a)= f (a+θ(b-a))(b-a), < θ < 1;(4) f(a+h)- f(a)= f (a+θh)h, < θ < 1.(5)

18 值得注意的是, 拉格朗日公式无论对于 a < b, 还是 a b 都成立, 而则是介于 a 与 b 之间的某一定数, 而 (4) (5) 两式的特点, 在于把中值点表示成了 a + θ (b - a ), 使得不论 a,b 为何值, 总可为小于 1 的某一正数

19 注 3 Lagrange 中值定理的证明十分经典 : 1 先证特殊情形成立, 再将一般情形转化为特殊情形从而获得证明, 这种解决问题的思想方法已在极限的保号性介值定理等多次用过 ; 2 证明采用了构造函数的方法, 类似于几何问题证明中辅助线, 构造函数的方法是数学分析证明中常采取的技巧, 它起着化难为易化未知为已知的桥梁沟通作用, 多利用已知的函数来进行构造. 也类似于几何问题的辅助线, 开始会感到有难度.

20 注 4 Lagrange 中值定理的两个条件彼此有关, 并不彼此独立, 因为 f 在 ( a, b ) 可导可以推出 f 在 (a, b ) 连续, 但反之不成立. 把这两个条件的重叠部分去掉, 改成函数 f 在 ( a, b ) 可导且在 a 右连续在 b 左连续. 这样, 两个条件相互独立, 但文字累赘且不便记忆, 因此一般不这样叙述.

21 证设 h h > -1, h 例 2 证明对一切成立不等式 < ln (1 + h ) < h. 1 + h f(x) = ln(1+ x), 则 h ln(1+ h) = ln(1+ h)- ln1 =, < θ < θh 当 h > 时, 由 < θ < 1 可推知 h h 1 < 1 + θh < 1 + h, < < h. 1 + h 1 + θh 当时, 由可推得 -1< h< < θ < 1 h h 1 > 1+ θh > 1+ h >, < < h. 1+ h 1+ θh 从而得到所要证明的结论

22 则推论 1 f 推论 2 x I 若函数在区间 I 上可导, 且为 I 上的一个常量函数若函数和均在区间 I 上可导, 且 f f f (x), x I, g f(x) g(x) f(x) = g(x)+ c, 则在区间 I 上与只相差某一常数, 即 ( c 为某一常数 ) f f x g x, x 推论 3 ( 导数极限定理 ) 设函数在点的某邻域 U(x ) o 内连续, 在 U (x 内可导, 且极限存在, 则在 ) lim f (x) f x x 点可导, 且 x f (x ) = lim f (x) (6) x x

23 o ( 析 ) 只需证明 (6) 式成立即可. 由于在 U (x ) 内可导, 结合拉格朗日中值定理的条件, 按左右导数来证明 (6) 式较为方便. x o x U + (x ), f(x ) [x, x] ξ x, x, 使得 (1) 任取在上满足拉格朗日定理条件, 则存在 f(x ) - f(x ) = f (ξ ) x - x x 由于, 因此当 x x 时, 随之有 x, 对 (7) 式两边取极限, 便得 f (x )= + f(x) - f(x ) lim = lim f (ξ) = f (x ) x - x x x x x f 7

24 x x f (x ) = f (x - ) (2) 同理可得. - lim f (x) = k f (x + ) = f (x - ) = k 因为存在, 所以, f (x ) = f (x ) = k + - 从而, 即 f ( x ) = k. f (x ) 注 1 由推论 3 可知 : 区间 I 上的导函数在 I 上的每一点, 要么是连续点, 要么是第二类间断点, 不可能出现第一类间断点. 注 2 导数极限定理适合于用来求分段函数的导数

25 例 3 求分段函数 2 x + sinx, x, f(x) = ln(1+ x), x > 的导数解首先易得 xcosx, x <, f (x) = 1, x >. 1+ x f x= 进一步考虑在处的导数在此之前, 我们只能依赖导数定义来处理, 现在则可以利用导数极限定理由于 lim f(x)= lim ln(1+ x)= = f(), + + x x 2 lim f(x)= lim(x+sinx )= = f(), - - x x

26 f x 因此在处连续, 又因 2 f ( - ) = lim(1+ 2xcosx ) = 1 - x 1 f ( + ) = lim = 1 + x 1+ x lim f ( x ) = 1 所以, x f ( ) = 1 依据导数极限定理推知 x = 处可导, 且. f 在

27 定理 6.3 设 f x 在区间 I 上可导, 则 f x 在 I 上递增 ( 减 ) 的充要条件是 f (x) ( ). ( 析 ) 必要性. 由于 f 为增函数, 从而对每一 x I, 当 x x 时, 有 f x - f x x - x 令 x x, 即得 f x. 充分性. 由于 f x 在区间 I 上恒有 f x, 则对任意 ( 设 x x ), 应用拉格朗日定理, 存在 x,x 1 2 x,x 1 2 I 1 2 I, 使得 f (x ) f (x ) f x x 从而在 I 上为增函数 f

28 因此 3 例 4 设 f x = x - x. 试讨论函数 f 的单调区间. 解由于 x,- 2 f x = 3x - 1 = 3x+ 1 3x 当时, f x, f 递增 ; 1 1 当 x -, 时, f x, f 递减 ; 3 3 当 1 x,+ 时, f x, f 递增. 3 其图像如图 6-4 所示

30 f a,b a,b 定理 6.4 若函数在内可导, 则在内严格递增 ( 递减 ) 的充要条件是 : x (a,b) f x f x (ⅰ) 对一切, 有 f x ; a,b (ⅱ) 在内的任何子区间上. 我们将这个定理的证明留给读者. 此定理有以下一个简单的推论 : 推论 f x < f 设函数在区间 I 上可微, 若 f x >, 则在 I 上 f 严格递增 ( 严格递减 ).

31 注若在 a, b 上 ( 严格 ) 递增 ( 减 ), 且在点 a 右连续, 则 f 在 [ a, b ) 上亦为 ( 严格 ) 递增 ( 减 ), 对右端点 b 可类似讨论. f x 例 5 证明不等式 e > 1 + x, x. x 证 x 设 f(x) = e x, 则 f (x) = e - 1. 故当时 f x >, f 严格递增 ; 当 x <, f x, 严格递减. 从而证得 f 又由于在处连续, 则当时 x = f(x ) > f( ) =, x e > 1 + x, x. x x >

32 补充题 1 以 S ( x ) 记由 (a,f (a)),(b,f (b)),(x,f (x)) 三点组成的三角形面积, 试对 S 中值定理 ( x应用罗尔中值定理证明拉格朗日 ) 补充题 2 证明 tanx x π >, x (, ) x sinx 2

一罗尔定理与拉格朗日定理定理 6.( 罗尔中值定理 ) 设函数 f ( ) 在区间 [ a, b] 上满足 : (i) 在闭区间 [a, b] 上连续 ; (ii) 在开区间 (a, b) 上可导 ; (iii) f(a) = f(b). 那么在开区间 (a, b) 内必定 ( 至少 ) 存在一

一罗尔定理与拉格朗日定理定理 6.( 罗尔中值定理 ) 设函数 f ( ) 在区间 [ a, b] 上满足 : (i) 在闭区间 [a, b] 上连续 ; (ii) 在开区间 (a, b) 上可导 ; (iii) f(a) = f(b). 那么在开区间 (a, b) 内必定 ( 至少 ) 存在一拉格朗日定理和函数的单调性中值定理是联系中值定理, 就可以根据质来得到 f 在该区间上的整体性质. f 一罗尔定理与拉格朗日定理二函数单调性的判别 f 与 f 的桥梁. 有了在区间上的性返回一罗尔定理与拉格朗日定理定理 6.( 罗尔中值定理 ) 设函数 f ( ) 在区间 [ a, b] 上满足 : (i) 在闭区间 [a, b] 上连续 ; (ii) 在开区间 (a, b)