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1 第四章中值定理与导数的应用习题课 主要内容典型例题

2 一 主要内容 Cuchy 中值定理 F 洛必达法则 型 g g g 型 型 令 y 取对数 g g 型 g 型 Lgrnge 中值定理 n Tylor 中值定理 b Rolle 定理 常用的泰勒公式 导数的应用单调性 极值与最值 凹凸性 拐点 函数图形的描绘 ; 最值的经济应用

3 . 罗尔中值定理 罗尔 Rolle 定理如果函数 在闭区间 [ b] 上连续 在开区间 b 内可导 且在区间端点的函数值相等 即 b 那末在 b 内至少有一点 b 使得函数 在该点的导数等于零 ' 即

4 . 拉格朗日中值定理 拉格朗日 Lgrnge 中值定理如果函数 在闭区间 [ b] 上连续 在开区间 b 内可导 那 末在 b 内至少有一点 b 使等式 y ' b b 成立. 有限增量公式.. 增量 y 的精确表达式.

5 推论那末 如果函数 在区间 I上的导数恒为零 在区间 I上是一个常数. 3. 柯西中值定理 柯西 Cuchy 中值定理如果函数 及 F 在闭区间 [ b] 上连续 在开区间 b 内可导 且 ' F 在 b 内每一点处均不为零 那末在 b 内至少有一点 b 使等式 b F b F F ' ' 成立.

6 4. 洛必达法则 ⑴ 型及 型未定式 定义这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则. ⑵ 型未定式 关键 : 将其它类型未定式化为洛必达法则可解决 的类型. 注意 : 洛必达法则的使用条件.

7 5. 泰勒中值定理 泰勒 Tylor 中值定理如果函数 在含有 的某个开区间 b 内具有直到 n 阶的导数 则当 在 b 内时 可以表示为 的一个 n 次多项式与一个余项 R n 之和 : 其中 R n n n! n! R n n n 在 n! 与 之间

8 常用函数的麦克劳林公式! 5! 3! sin 5 3 n n n o n! 6! 4!! cos 6 4 n n n o n 3 ln 3 n n n o n n n o!! n n m o n n m m m m m m

9 6. 导数的应用定理. ] [ ] [. ] [ 上单调减少在 那末函数内如果在上单调增加 ; 在 那末函数内如果在内可导在上连续 在设函数 b y b b y b b b y 函数单调性的判定法

10 . ; 的一个极小值是函数就称均成立外除了点的任何点对于这邻域内的一个邻域如果存在着点的一个极大值是函数就称均成立外除了点的任何点对于这邻域内的一个邻域如果存在着点内的一个点是内有定义在区间设函数 b b 定义 函数的极值及其求法

11 函数的极大值与极小值统称为极值 使函数取得极值的点称为极值点. 极值是函数的局部性概念 : 极大值可能小于极小值 极小值可能大于极大值. 定理 必要条件 设 在点 处具有导数 且 ' 处取得极值 那末必定. 在 定义使导数为零的点即方程 做函数 的驻点. 驻点和不可导点统称为临界点. 的实根 叫

12 定理 第一充分条件 ' 如果 有 ; 而 ' 有 则 在 处取得极大值. ' 如果 有 ; 而 ' 有 则 在 处取得极小值. ' 3 如果当 及 时 符号相同 则 在 处无极值. 定理 第二充分条件 设 在 处具有二阶导数 ' '' 且 那末 '' 当 时 函数 在 处取得极大值 ; '' 当 时 函数 在 处取得极小值.

13 求极值的步骤 : 求导数 ; 求驻点 即方程 的根 ; 3 检查 在驻点左右的正负号或 在该点的符号判断极值点 ; 4 求极值.

14 3 最大值 最小值问题 步骤 : 求驻点和不可导点 ; 求区间端点及驻点和不可导点的函数值 比较大小 哪个大哪个就是最大值 哪个小哪个就是最小值 ; 注意 : 如果区间内只有一个极值 则这个极值就是最值. 最大值或最小值

15 实际问题求最值应注意 : 建立目标函数 ; 求最值 ; 若目标函数只有唯一驻点 则该点的函数值即为所求的最大 或最小 值. 4 曲线的凹凸与拐点 定义设 两点 恒有 那末称 在 在区间 I 上连续 如果对 I 上任意 I 上的图形是 向上 凹的 ;

16 ; 上的图形是 向上 凸的在那末称恒有上任意两点如果对区间 I I ; ] [ ] [ 内的图形是凹或凸的在或凸的那末称内的图形是凹内连续且在在如果 b b b

17 定理 导数 若在 b 内 如果 在 [ b] 上连续 在 b 内具有二阶 则 则 在 [ b] 上的图形是凹的 ; 在 [ b] 上的图形是凸的 ; 连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的拐点. 定理 如果 在 内存在二阶导数 则点 是拐点的必要条件是 ".

18 方法 : 且的邻域内二阶可导在设函数 ; 即为拐点变号点两近旁. 不是拐点不变号点两近旁 方法 :. 的拐点曲线是那末而且的邻域内三阶可导在设函数 y

19 5 函数图形的描绘 利用函数特性描绘函数图形. 第一步确定函数 y 的定义域 对函数进行奇偶性 周期性 曲线与坐标轴交点等性态的讨 ' 论 求出函数的一阶导数 和二阶导数 " ; ' " 第二步求出方程 和 在函数定义域内的全部实根 用这些根同函数的间断点或导数不存在的点把函数的定义域划分成几个部分区间.

20 ' 第三步确定在这些部分区间内 和 " 的符号 并由此确定函数的增减性与极值及曲线的凹凸与拐点 可列表进行讨论 ; 第四步确定函数图形的水平 铅直渐近线以及其他变化趋势 ; 第五步 ' " 描出与方程 和 的根对应的曲线上的点 有时还需要补充一些点 再综合前四步讨论的结果画出函数的图形.

21 二 典型例题 例 5 验证罗尔定理对 y lnsin 在 [ ] 上 6 6 的正确性. 解 D : k k k 5 且在 [ ] 上连续 又 y cot 在 内处处存在 并且 ln 6 6

22 函数 y 的条件. lnsin 在 [ 6 5 ] 上满足罗尔定理 6 由 y cot 5 在 内显然有解 6 6 取 则. 这就验证了命题的正确性..

23 例 求极限 lim. 5 5 解 分子关于 的次数为 ! o o lim 原式 [ o ].

24 例 3 设 同的 使 在 [] 上连续 在 内可导 且 b 试证 : 对任意给定的正数 b 在 内存在不 b. 证 与 b 均为正数 b 又 在 [] 上连续 由介值定理 存在 使得 b 在 [ ][ ] 上分别用拉氏中值定理 有

25 注意到由 有 b b b b b b + 得. b b

26 例 4. ln ln ln y y y y y y 证明不等式证 ln t t t t 令 ln t t 则 t t. ln 是凹的或在 y y y t t t ] [ y y 于是 ln ] ln ln [ y y y y 即. ln ln ln y y y y 即

27 例 5 [] : [] 证明上二阶可微且在若函数证 ] [ 设有展成一阶泰勒公式处把在 令 则有

28 注意到 则有 又由 [] 知 于是有 4 由 的任意性 可知命题成立.

29 ; lim ; cos sin ln.lim ;.lim 6 n n n n e e 例求下列极限 :

30 e lim lim lim 解 e ln ln ln ln lim lim 原式

31 e ln lim. 原式 e 型. 4 lim ln lim ln lim 型 型 ln lim 其中洛必达法则解题时 注意将易求极限的因式分离出来.

32 解 cos sin ln lim cos sin ln lim. 求导时保留相同的因子 约分化简 也即相当于变量代换. 型 型 cos sin sin cos lim

33 n n n n e 7 4 lim 解 3 e 7 4 lim e e 7 4 ln lim e e 7 4 ln lim e 7 4 ln lim e 7 4 ln7 7 ln4 4 lim 其中

34 7 4 7 ln7 ln4 7 4 lim e ln7. 注意洛必达法则适用于求某些函数的极限 遇到数列极限的问题 可转为求相应函数的极限 lim ln7 e e 原式

35 例 7 求函数 y 的单调区间 极值 凹凸 区间 拐点 渐近线 并作函数的图形. 解 定义域 : 即 奇函数 y 3 令 y 得 3 3.

36 y 令 y 3 3 得可能拐点的横坐标 3 lim 没有水平渐近线 ; y 又 lim y lim y 为曲线 y 的铅直渐近线 ; lim y lim y 为曲线 y 的铅直渐近线 ; 3.

37 y lim lim b lim y lim y lim 直线 y 为曲线 y 的斜渐近线. 4 以函数的不连续点 驻点 3 和可能拐点的横坐标为分点 3 列表如下 :

38 3 y y 3 3 y 极大值 拐点 y y y 极小值 3 极大值 y 极小值 y 3 3 拐点为.

39 作图 y y o

40 例 8 假设某种商品的需求量 Q 是单价 P 单位 : 元的函数 : Q 8P ; 商品的总成本 C 是需求量的函数 : C 5 5Q 每单位商品需 纳税 元 试求使销售利润最大的商品价格和最大利润. 解 L 8P P 5 5Q 8P 66P 649 L P 6P 66 令 L P 得 P 且是唯一极值点 又因 L 6 故当 P 元时 L P 有最大值 且最大值为 L 678 元

41 例 9 已知某种产品在一年中总生产 吨 分若干批进行生产 设生产每批产品需要固定支出 元 而每批生产直接消耗的费用 不包括固定支出 与产品数量的平方成正比 又已知每批产品为 4 吨时 直接消耗的生产费用是 8 元 问每批生产多少吨时 才使总费用最小?

42 解 F 设每批产量为 吨 直接消耗的费用为 M 则 M K K 当 4 时 M 每批生产的总费用为 P 则一年生产的总费用 F 为 P

43 F 令 F 则 5 又 F 3 总费用最小 F有最小值 即当每批生产 44.7时 一年生产的

44 例 设某企业在生产一种商品时有下述形式的总收入函数和总成本函数 R d d 求对每单位商品政 C b c b d 府征收的货物税为多少时 由这个税源所得到的总税额最大? 解 : 用 T表示总税额 t表示货物税率 表示征税的商品生产数量. 则 T t

45 d t b t C C t d t b d L d t b d t b L t b 令 L 则 又 L. 有最大值 L t b t t 而总税收函数 T

46 T B t b 令 T 则 t 又 T 即当 t T有最大值 b 时 总税额 T可达最大值.

47 测验题 一 选择题 :. 一元函数微分学的三个中值定理的结论都有一个共同点 即 A 它们都给出了 ξ 点的求法. B 它们都肯定了 ξ 点一定存在 且给出了求 ξ 的方法. C 它们都先肯定了 点一定存在 而且如果满足定理条件 就都可以用定理给出的公式计算 ξ 的值. D 它们只肯定了 ξ 的存在 却没有说出 ξ 的值是什么 也没有给出求 ξ 的方法.

48 . 若 在 b 可导且 b 则 A 至少存在一点 b 使 ; B 一定不存在点 b 使 ; C 恰存在一点 b 使 ; D 对任意的 b 不一定能使. 3. 已知 在 [ b] 可导 且方程 = 在 b 有两个不同的根 与 那么在 b. A 必有 ; B 可能有 ; C 没有 ; D 无法确定.

49 4. 如果 在 [ b] 连续 在 b 可导 c 为介于 b之间的任一点 那么在 b 找到两点 使 c 成立. A 必能 ; B 可能 ; C 不能 ; D 无法确定能. 5. 若 在 [ b] 上连续 在 b 内可导 且 b 时 又 则. A 在 [ b] 上单调增加 且 b ; B 在 [ b] 上单调增加 且 b ; C 在 [ b] 上单调减少 且 b ; D 在 [ b] 上单调增加 但 b 的正负号无法确定.

50 6. 是可导函数 在 点处有极值的. A 充分条件 ; B 必要条件 C 充要条件 ; D 既非必要又非充分条件. 7. 若连续函数在闭区间上有唯一的极大值和极小值 则. A 极大值一定是最大值 且极小值一定是最小值 ; B 极大值一定是最大值 或极小值一定是最小值 ; C 极大值不一定是最大值 极小值也不一定是最小值 ; D 极大值必大于极小值.

51 8. 若在 b 内 函数 的一阶导数 二阶导数 则函数 在此区间内. A 单调减少 曲线是凹的 ; B 单调减少 曲线是凸的 ; C 单调增加 曲线是凹的 ; D 单调增加 曲线是凸的. 9. 设 lim lim F 且在点 的某 邻域中 点 可除外 及 F 都存在 ' 且 F 则 lim 存在是 lim F F ' 存在的. A 充分条件 ; B 必要条件 ; C 充分必要条件 ;D 既非充分也非必要条件.

52 cosh. lim. cos A; B ; C; D. 二 求极限 :. lim ; tn 3. lim ; sin 3. lim[ ln ] ; 4. lim sin cos ;

53 三 一个半径为 R 的球内有一个内接正圆锥体 问圆锥体的高和底半径成何比例时 圆锥体的体积最大? 四 若 试证 ln. 3 五 设 b c d 有拐点 并在该点有水平切线 交 轴于点 3 求. 六 确定 b c的值 使抛物线 y b c 与正弦曲线在点 相切 并有相同的曲率. 七 绘出函数 ln 的图形.

54 八 设 在 [ ] 上连续 在 内可导 且 试证 : 对任意给定的正数 b 在 b 内存在不同的 使 b. ' '

55 测验题答案 一. D;. D; 3. A; 4. B; 5. D; 6. B; 7. C; 8. D; 9. B;. C. 二. ;. e ; 3. ; 4. 不存在. 三 : 五 六 y. 8

56 七 y ln o