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1 4 数学教师暑期研修班 新疆大学 高等数学疑难问题选讲 西安交通大学数学与统计学院 李换琴

2 目录 一元函数微分学其应用 一元函数积分学其应用 西安交通大学数学与统计学院李换琴 /88 4/9/6

3 第一讲 一元函数微分学及其应用 西安交通大学数学与统计学院李换琴 3/88 4/9/6

4 问题 导数概念的本质及在科学技术中的含义 y ' lim lim 平均变化率 y 常数对于均匀变化量 任一点 的变化率 = y lim 对于非均匀变化量 导数 刻画了非均匀变化量在 处的变化率 ; 导数是研究均匀变化的除法在研究相应的非均匀变化问题中的推广和发展. 西安交通大学数学与统计学院李换琴 4/88 4/9/6

5 问题 如何理解导数与微分的局部线性化思想? 导数概念中的局部线性化思想 质量非均匀分布细棒上点 处密度归结为质量函数 m=m 在 处的导数 m m m lim lim 平均密度 微小局部以匀代非匀 即局部线性化 m dm d 西安交通大学数学与统计学院李换琴 5/88 4/9/6

6 微分与局部线性化 y ' d 微分 : dy d ' 用微分近似代替改变量 得下面近似公式 ' 线性函数 在 的小邻域内用微分近似代替改变 量 本质上就是用线性函数近似代替非线性函数 ; 在几何上就是用直线近似代替曲线 局部线性化思想 切线是对曲线的最佳局部线性逼近吗? 西安交通大学数学与统计学院李换琴 6/88 4/9/6

7 定理 : 设 y= 在 处可微 过点 的任一 直线方程为 : L k k ' 曲线 y= 在点 的切线方程为 : l ' k ' 则必存在 使得 恒有 分析 ' lim l o U L y= 切线 ' ' 西安交通大学数学与统计学院李换琴 7/88 4/9/6

8 西安交通大学数学与统计学院李换琴 8/88 4/9/6 证明 : 根据导数定义 有 '. lim 其中从而有 l L ' k ' lim k 因为 k ' 由保号性知 有使得必存在 U ' k 于是有 ' k l L 即证毕

9 西安交通大学数学与统计学院李换琴 9/88 4/9/6 存在 ; lim n n A n 存在 ; lim B 存在 ; C lim. lim 存在 D 问题 3 下面几个表达式能否作为导数的定义? 反例 lim 导数定义 lim

10 问题 4 与导数概念有关的两个值得注意的问题 初学者由于对导数概念理解不深 常常在学习中犯一些错误 下面两个问题都与导数概念有关. 函数在某一点可导能保证它在该点的某一邻域内也可导吗? 答不能. 例如函数 为无理数 为有理数 仅在 处可导 在任何 处均不可导 西安交通大学数学与统计学院李换琴 /88 4/9/6

11 证 由导数的定义得 lim lim lim 为无理数 lim 为有理数 又因为在任何 处 函数不连续 所以也不可导. 此例还表明 : 函数在 处可导 不仅不能推出在 某邻域 可导 也不能推出在 充分小邻域内连续 显示出函数在一点的导数仅仅反映函数在该点处的性质. 西安交通大学数学与统计学院李换琴 /88 4/9/6 为无理数 为有理数

12 根据上述结论 在用导数的定义求极限时 应当特别注意题中的已知条件 切不可将仅在一点可导的条件扩大到在该点的邻域内也可导 否则就会出错. 例如 设函数 lim h 有人采用下述方法 在. 处可导 为求极限 h h 西安交通大学数学与统计学院李换琴 /88 4/9/6 h 令 h 则 h h 于是? [ h] 原式 lim ' h h lim ' h h 试问这个解法对吗? 为什么?? '

13 函数在某点可导能保证其导函数在该点连续吗? 答不能 我们常说 可导一定连续 有的学生误认为 : 若函数在某点可导 则导函数在该点连续. 这是不对的 即使函数 在 的某邻域内可导 其导函数在 处也不一定连续 sin 例如. 在 的邻域内可导 但是 ' 在 处不连续 时 sin cos 西安交通大学数学与统计学院李换琴 3/88 4/9/6

14 问题 5 有关函数单调性的几个问题 关于函数严格单调性的判定 定理设函数 在 I 上连续 在 I 内可导 则 在 I 上单增 减 在 I 内 ; 若在 I 内 则 在 I上严格单调增 减. 3 若函数 在区间 内有 在该区间内是严格单增的. 并且 其中使等号成立的只是有限个孤立点 则可断定 西安交通大学数学与统计学院李换琴 4/88 4/9/6

15 定理 3 的证明设 y为区间 内任意两点 且 y 按假定在 [ y] 内有有限个点... 为 n 的零点 其余点处 故在区间 ][ ]...[ n y] 上 严格单增 [ 从而... n y 可见对于 中任意两点 y 必有 y 所以 在 内严格单调增 西安交通大学数学与统计学院李换琴 5/88 4/9/6

16 例 讨论函数 sin 的单调性. 解 cos 但使 cos 的点 k k k 都是孤立点 而且在任意有限区间 内只有有限个. 因此函数在整个定义区间 上严格单调增. 西安交通大学数学与统计学院李换琴 6/88 4/9/6

17 用导函数在一点的正负能判定该点邻域内函数的单调性吗? 什么情况下可以呢? 若导函数在该点连答 : 不能 例如函数续 则能判定 sin. ' 当 时 ' 4sin cos 在 从而 的任何邻域内 在 ' 的取值有正有负 的任何邻域内都不是单 调的 西安交通大学数学与统计学院李换琴 7/88 4/9/6

18 3 函数在极值点的左右邻域内一定单调吗? 解答 : 不一定 例如函数 sin 在 处取得极大值. 但由于 sin cos '. 在 的任何充分小的邻域内 无限次的改变正负号 因此 在 的任何右半邻域非单调减. 西安交通大学数学与统计学院李换琴 8/88 4/9/6 的任何左半邻域非单调增 而在.

19 问题 6 有关左右导数的两个问题 如果 那么 在 在 处的左右导数都存在 处连续吗? 反之如何? 答 : 若 在 处的左右导数都存在 则 在 处连续 左导数存在左连续连续右导数存在右连续 反之不一定成立 sin 例如. 在 处连续 但左右导数都不存在 西安交通大学数学与统计学院李换琴 9/88 4/9/6

20 符号 与 ' ' 是否有区别? 答 : 有区别 ' ' lim 在 处的右导数 ' lim ' 导数 ' 在 处的右极限 一般来说 lim ' 是否存在与 ' 是否 存在无必然联系 一般情况下 lim ' ' 西安交通大学数学与统计学院李换琴 /88 4/9/6

21 例如 ' ' lim ' 不存在 ' sin rctn 西安交通大学数学与统计学院李换琴 /88 4/9/6 lim sin.. cos 然而 ' lim 但是在一定条件下他们之间有如下关系 :. 不存在

22 定理 如果函数 在 处右连续 在 的右邻域可导 且 ' lim ' 存在 则 ' ' 证明 ' lim 例讨论函数 在 处的可导性 sin. lim ' ' lim ' lim sin cos 故 在 处可导 ' 且 ' 同理 如果函数 在 处左连续 在 的左邻域可导 且 ' lim ' 存在 则 ' ' 西安交通大学数学与统计学院李换琴 /88 4/9/6

23 问题 7 关于极值与最值的两个问题 连续函数在一个区间上唯一的极值必是最值吗? 设 是区间 I上的连续函数 且在有唯一极值点 则 当 为极小 大 值时 区间 I上的最小 大 值. 上面说法是否正确? 答 : 正确 可以用反证法证明之 I上 必为 在 西安交通大学数学与统计学院李换琴 3/88 4/9/6

24 证 在区间 I上连续 只有唯一极小值点 而无极大值点 设 如果 不是 在区间 I上的最小值 则必存在 I 使 不妨设. C [ ] ] 使 在 [ 处 取得它在区间 [ ] 上的最大值. 下证 从而 成为 的极大值 导出矛盾 由 ; 若 存在 使 在 ] 内为常数 这与 为 在区间 I上唯一的极小值点矛盾 注 :I 为闭区间 开区间 无穷区间 结论都成立 西安交通大学数学与统计学院李换琴 4/88 4/9/6..

25 函数 在 [ ] 上的最大 小 值点一 定是 的极大 小 值点吗? 答 : 不一定 极值一定在区间内部取到 最值可以在边界点取得 西交大 工科数学分析基础 设 U : I 则称函数 同济 高等数学 R 在点 I 恒有 设函数 有定义 如果对于去心 I 若 使得对 西安交通大学数学与统计学院李换琴 5/88 4/9/6 取得极小 大 值 在 的某邻域邻域内的任一 或 则称 是函数 的一个极小 大 值 U 有 内

26 问题 8 利用导数知识证明不等式有哪些常用方法? 利用函数的单调性 利用 Lgrnge 定理 利用函数的最大最小值 利用函数的凸性 利用 Tylor 公式 下面举例说明之. 西安交通大学数学与统计学院李换琴 6/88 4/9/6

27 例. 证 : 证明 : 当 时 e. 只要证当 时 e 法一 法二 即可. 设 e 则 e 4 e 利用 Tylor 公式 得! e 故原不等式成立. 西安交通大学数学与统计学院李换琴 7/88 4/9/6

28 例. 设 在 [ 上 证明对一切 有 存在且单减 证 : 设 则 所以当 时 令 得 即所证不等式成立. 西安交通大学数学与统计学院李换琴 8/88 4/9/6

29 例 3. 证明当 > 时 ln. 证 : 令 ln 则 ln ln 法 利用极值方法. 易知 是 的唯一根 且 为 的唯一极小点 故 也是最小值 因此当 时 即 ln 西安交通大学数学与统计学院李换琴 9/88 4/9/6

30 例 3. 证明当 > 时 ln. 证 : 令 ln 则 ln ln 3 西安交通大学数学与统计学院李换琴 3/88 4/9/6 法 由 在 处的二阶泰勒公式 得 3! 3! 3 在 3 3 与 之间 故所证不等式成立.

31 例 4. 设函数 在 [ ] 上二阶可导 且 证明. 证 : [ ] 两式相减得 由泰勒公式得 [ ] 证毕 西安交通大学数学与统计学院李换琴 3/88 4/9/6

32 西安交通大学数学与统计学院李换琴 3/88 4/9/6. ln ln ln y y y y y y 证明不等式证 ln t t t t 令 ln t t 则 t t. ln 是上凹的或在 y y y t t t ] [ y y ln ] ln ln [ y y y y 即. ln ln ln y y y y 即例 5 证毕欲证 y y y y 从而

33 问题 9 如何讨论方程根的存在性及个数问题? 讨论方程根的存在性常用以下两种方法 : 利用连续函数的零点定理 利用 Roll 定理 讨论根的个数常用的有以下两种方法 利用函数的单调性 利用结论 : 若在区间 I 上 n 则方程 = 在区间 I 上最多有 n 实根 西安交通大学数学与统计学院李换琴 33/88 4/9/6

34 例 求证方程 sin cos 恰有两个不同的实根 证令 sin cos 在 上至少有一个零点 又 ' cos 所以 在 上严格单调增 最多有一个零点. 故 在 上有且仅有一个零点 又 是连续的偶函数 故方程 sin cos 恰有两个不同的实根 西安交通大学数学与统计学院李换琴 34/88 4/9/6

35 判定方程 e 有几个实根 并指出 各个根所在的区间 解 : 令 e 则 e e ' e e 唯一驻点 : 分段点 : ' lim 方程 例 e e 各有一根 lim 共有三个根 分别在区间 和 内 西安交通大学数学与统计学院李换琴 35/88 4/9/6

36 证 例 3 设在区间 [ 上 函数 有连续一阶导数 且 ' k 试证方程 在 内有且仅有一个实根 y 令 由 Lgrnge ' 定理得 k k ' ' k k k 西安交通大学数学与统计学院李换琴 36/88 4/9/6 O y yk 则至少有一根 ; 若 由零点定理知 存在 使. 又 ' 所以方程 在 内有且仅有一个实根

37 问题 L Hospitl 法则的几何意义是什么? 应用中应当注意哪些问题? L Hospitl 法则的几何意义假设 与 g在 t t 满足该法则的三个条件 : 将 lim tt t t lim g t tt 与 g在 t t t 内可导 且 g' t ' t 3 lim 为有限或无穷大 g' t tt g t y t 看做平面曲线 C 的参数方程 西安交通大学数学与统计学院李换琴 37/88 4/9/6 ; 不妨设 与 g在 t处右连续 则 ; t g t 这样 曲线 C 通过原点 O且在原点连续..

38 ' t y g' t 曲线 P 点处切线的斜率 t 割线 OP 的斜率 g t O 当 t t P沿 C趋于原点 O. L'ospitl法则 : lim tt t g t lim ' t g' t tt P g t t C 原点的右切线斜率 几何意义 : 曲线 C 在原点处 右 切线就是 C 上点 P处切线当 P趋于 O时的极限位置 西安交通大学数学与统计学院李换琴 38/88 4/9/6

39 利用 L Hospitl 法则求极限时应当注意下面几个问题 是否为或 型不定式 若不是 则不可贸然使用 3 3 例 lim 3 有人求解如下 : 原式 lim lim 西安交通大学数学与统计学院李换琴 39/88 4/9/6

40 若极限 lim 既不存在 也不是无穷 g 大 则该法则失效 不能应 用 但这种情况 lim g 下仍可能存在 可用其 它方法计算 例 cos lim 属于不定式 但是 cos ' sin 原式 lim lim ' 极限不存在 另解 洛必达法则失效 原式 lim cos. 西安交通大学数学与统计学院李换琴 4/88 4/9/6

41 3 数列极限不能直接利用 L Hospitl 法则 可以先用该法则求出对应的函数极限 再根据函数极限的归并原理得到所要求的数列极限. 例 解 求 lim n rctn n 原极限 n rctn n. lim rctn rctn lim rctn rctn 西安交通大学数学与统计学院李换琴 4/88 4/9/6

42 4 L Hospitl 法则是求未定式极限的一种有效方 法 但在使用过程中 应与无穷小等价代换 求出式 中非零因子的极限值等方法交替使用 以免出现复杂 的求导运算 简化极限的计算过程. 例 tn lim tn tn lim e e tn tn lim sec lim cos tn lim tn 3 cos tn lime lim tn 西安交通大学数学与统计学院李换琴 4/88 4/9/6 e

43 5 L'ospitl法则要求分子 与分母 g 在 的某去心邻域 或单侧邻域 内可导 且 g' 这个条件常常被忽视 并且不容易发现错在何处. 例 设 在 处二阶可导 有人如下方法求极限 ' lim lim ' ' '' ' '' ' lim lim[ 西安交通大学数学与统计学院李换琴 43/88 4/9/6 '' ''! '' ] 错误何在?

44 6 仅当 lim 比 g 该法则才用使用价值 lim 简单易求时 g. 否则 应另寻他法. 例如 lim e lim e e e e e 型 型 lim 循环 无法求出. e e e 另解 : 原式 lim e 西安交通大学数学与统计学院李换琴 44/88 4/9/6

45 问题 导数与微分有什么区别和联系? 可导与可微是等价的 即存在性是一样的 导数和微分是两个完全不同的概念 导数 是一个数 ; 是函数在该点处的变化率 ; 微分 dy ' 是曲线 y 在点 处的切线的斜率 ' 是函数 在 处改变量的线性主部 ; 是 y 的近似值 ; 是 的线性函数 导数与微分之间的联系 是曲线 y 在点 处的切线在点 的纵坐标的改变量 西安交通大学数学与统计学院李换琴 45/88 4/9/6

46 问题 Tylor 定理的内涵是什么? 有哪些应用? Tylor 定理设 在 处 n阶可导 则 n k k o[ k! k k 带有 Peno 余项的 Tylor 公式 设函数 在区间 I 上 n 阶可导 I 则 对任何 I 在 与 之间至少存在一点 使 n k n k k! n! 带有 Lgrnge 余项的 Tylor 公式 西安交通大学数学与统计学院李换琴 46/88 4/9/6 n ] n

47 Tylor 定理的基本思想 n k k k! k n n! n 用简单函数逼近复杂函数 ; 通过函数 在已知点的信息来表达它在未知点的信息. 借助简单函数的性质来研究复杂函数的性质 ; 利用函数在已知点信息构造的简单函数计算函数在未知点的近似值 逼近思想 西安交通大学数学与统计学院李换琴 47/88 4/9/6

48 Tylor 定理的应用 是进一步研究函数性态的理论基础 Tylor 定理可以用于证明 : 用二阶导数值或更高阶导数值在驻点的正负来研究函数极值问题的定理 设 在 处 n阶可导 n n 如果 n k 则 必取极值 且 k 极小 k 极大 如果 n k 则 不取极值. 西安交通大学数学与统计学院李换琴 48/88 4/9/6

49 计算函数的近似值 利用带有 Lgrnge 余项的 Tylor 公式可以计算函数的近似值 而且可以进行误差估计. 近似公式 误差 n k k k! n R 若 在 可微 有 微分近似计算 n 当 n! 西安交通大学数学与统计学院李换琴 49/88 4/9/6 k n ' 很小时 ' 比用微分精度更高 使用范围更广 误差难以估计

50 3 是求 型不定式极限的一般方 法 利用带有 Peno 余项的 Tylor 公式 例 cos lim e 4 lim! 4 4! o 4 4 [ o 4! ] 西安交通大学数学与统计学院李换琴 5/88 4/9/6

51 西安交通大学数学与统计学院李换琴 5/88 4/9/6 处二阶可导 求极限在设 例 lim h h h h 解! '' ' h h h h 由 Tylor 定理知! ''! '' lim h h h h h 原极限 ' '! '' ' h h h h

52 4 证明不等式. 常用于证明与中间值 处二阶以上导数有关的 不等式. 一般使用带有 Lgrnge 余项的 Tylor 公式 充分利用给定函数的函数值及各阶导数的已知信息 恰当选择在哪一点将函数 Tylor 展开 西安交通大学数学与统计学院李换琴 5/88 4/9/6

53 例 设 在 [] 上二阶可导 且 min 证明 : 存在 使 证设 使得!!! m 8 即存在 使 8 证毕 西安交通大学数学与统计学院李换琴 53/88 4/9/6 8

54 问题 3 可微函数的导函数有哪些重要性质? 可微函数 的导数有几个重要性质 它们是函数 所不具有的 因此不能随意把函数本身的性质用于导函数 这是很多初学者容易犯的错误 性质 若可微函数 的导数 在某点的极限存在 则 在该点必定连续 证设 在点 的极限存在 即 lim ' 于是 lim lim ' 性质 区间 I 上的导函数不存在第一类间断点 从而 '. 即 lim ' '. 西安交通大学数学与统计学院李换琴 54/88 4/9/6 故 在点 连续. 有第一类间断点的函数一定不存在原函数

55 西安交通大学数学与统计学院李换琴 55/88 4/9/6 性质 3Drou 定理 ' ] [ ' ' ' ' 使存在一点之间的任意一个数 则至少与为介于上可导 在闭区间设函数 闭区间上导函数的介值性 ' ' ' ' 异号的情形 不妨设与先证证 lim ' 由 存在 当. 同理 存在 当. ] [ 处取到内某点上的最大值必在在于是连续函数. ' 从而之间的零值 和在处取得介于即 ' ' ' 是介于两者之间的任意数 的正负是任意的 和 ' ' I g 令异号和可导 且在则 ' ' ] [ g g g. ' g 使上述结果知. ' 即 证完

56 西安交通大学数学与统计学院李换琴 56/88 4/9/6 利用反证法性质 4 严格单调 在也就是说要么恒有上恒有则要么在上异于零 在闭区间若导函数 ] [. ] [ ] [ ' ' ' y 且有内也可导在对应区间那末它的反函数可导且内单调 在某区间如果函数 y I y y I y 反函数求导法则 :. y. ' ] [ ' ' ' ' 使一点至少存在之间的任意一个数 则与为介于上可导 在闭区间设函数性质 3

57 第二讲 一元函数积分学及其应用 西安交通大学数学与统计学院李换琴 57/88 4/9/6

58 问题. 函数的连续性 可积性与原函数的存在性之间有怎样的关系? 可积 连续 原函数存在 在 [] 可积 但是不连续 也不存在原函数. sin F 原函数存在 但 不可积. 也不连续 F' sin cos 无界. 西安交通大学数学与统计学院李换琴 58/88 4/9/6

59 西安交通大学数学与统计学院李换琴 59/88 4/9/6 F F F dt t F ] [ ] [ 则上的一个原函数在为上连续 在定理 Newton-Leiniz 公式 设问题 关于 Newton-Leiniz 公式成立的条件 F F F dt t F ] [ 则上可积 且有一个原函数设在很多教材有如下定理西交大 工科数学分析基础 给出如下定理定理 Newton-Leiniz 公式

60 证明在区间 [ ] 内任意插入 n 个分点 : n 根据 Lgrnge 中值定理 必 k k k 所以 F k F k F ' n F F [ F k F k] k n k 西安交通大学数学与统计学院李换琴 6/88 4/9/6 k k F ' 由于 在 [ ] 上可积 在上式中令 d k k n k m{ kn F d 证毕 F 使 k k } k 得

61 西安交通大学数学与统计学院李换琴 6/88 4/9/6 Newton-Leiniz 公式可表述为 : 条件减弱后的 Newton-Leiniz 公式有什么好处? F F F dt t F ] [ ] [ 则的一个原函数上在为上连续或可积 在设定理 Newton-Leiniz 公式 扩大了 Newton-Leiniz 公式的应用范围 从教学设计来看 可使问题的提出更为直接且更具启发性

62 在定积分定义和性质 包括积分中值定理 之后 提出解决定积分的计算问题 先从直线运动的位移问题得到启示 : 在变速直线运动中 位移函数 s t 与速度函数 vt 之间有关系 : s t v t 物体在时间间隔 [ ] 内通过的位移为 猜测 v tdt 若 在 [ ] 上可积 F d? s s F F. 由此介绍原函数的概念 并探索这一具体问题所反映的上述关系是否具有一般性 提出 Newton-Leiniz 公式 这种讲法比较直接而自然 也展现了从具体问题分析发现一般规律 再抽象到一般去加以证明这种研究问题的思路和方 法 而且 N-L 公式的证明也比较简洁易懂

63 微积分第一基本定理 : 设函数 在区间 [ ] 上连续 则变上限积分 F t dt 在 [ ] 上可导 且 F. 问题 3: 微积分第一基本定理的条件 在区间 [] 上连续是否可以放宽为 在 [] 上可积? 答 : 不能 因为可积函数的变上限定积分不一定是上限的可导函数 西安交通大学数学与统计学院李换琴 63/88 4/9/6

64 例如 : 函数 在区间 [ ] 上可积 但变上限积分 F t dt 3 3 却在 处不可导. 不过 我们有下列结论 : 西安交通大学数学与统计学院李换琴 64/88 4/9/6

65 设函数 在区间 [ ] 上可积 令 则有 : F t dt F 是 [ ] 上的连续函数 ; 若 在点 连续 则 F 在点 处可导 且有 F ' 3 若 是 [ ] 上的分段连续函数 则在 [ ] 上 F 在 间断点处均不可导 西安交通大学数学与统计学院李换琴 65/88 4/9/6 的连续点处均可导 F 在 的 证明见 : 工科数学分析基础释疑解难 魏战线主编 高教出版社

66 问题 4 如果 在区间 [ ] 上可积 非负 但不恒等于零 能否断定 d 答 : 一般情况下是不能的 例如函数 在区间 [ ] 上非负 可积且不恒等于零 但是 d 如果将条件 " 可积 " 改为 " 连续 " 则结论成立. 证明如下 : 西安交通大学数学与统计学院李换琴 66/88 4/9/6

67 设 在区间 [ ] 上连续 不恒等于零. 于是存在 ] 使 [ 不妨设 由连续函数的性质知 存在 及 q 使当 [ ] [ ] 时 有 q 从而有 d d d d d q 证毕 将上述证明结果连同其逆否命题 可写成下面几个结论 : 西安交通大学数学与统计学院李换琴 67/88 4/9/6

68 设 在区间 [ ] 上连续 若在 [ ] 上 d 且不恒等于零 则 若在 [ ] 上 不变号 且则在 [ ] 上 恒等于零. d 3 若 d 在 [ ] 上不恒等于零 则 在 [ ] 内必变号. 西安交通大学数学与统计学院李换琴 68/88 4/9/6

69 对于积分中值定理 结能否变成? 问题 5 论中的 [ ] 答 : 能 考虑变上限积分 F t dt 由 在 [ ] 上连续知 F 在 [ ] 上可导 对 F 在区间 [ ] 上运用拉格朗日定理 使得 d F F F ' 证毕 西安交通大学数学与统计学院李换琴 69/88 4/9/6

70 问题 6. 一元函数积分学中常见错误分析 考察不定积分 I d 4 用换元积分法 令 得 d dt 于是 t t I d dt I 4 4 t t. 从而 I 以上推导过程有什么错误? 西安交通大学数学与统计学院李换琴 7/88 4/9/6

71 下面两种积分方法对吗? 为什么? 由 rctn ' 得 rctn d d d 由 d rctn c 得 rctn d 西安交通大学数学与统计学院李换琴 7/88 4/9/6 错因 : rctn 不是 在 [ ] 上的原函数.

72 cos 3 对于 d 进行分部积分 : sin cos 令 u cos d dv 则 du v sin sin sin cos sin cos 函数族于是 d sin d sin sin sin cos d cos sin d sin 由此得到 解 n cos 错误在于对不定积分 d 的理解 sin 西安交通大学数学与统计学院李换琴 7/88 4/9/6 n 错在哪里? cos sin d

73 d cos u tn rctn du u u rctn 3 由于被积函数 在 [ ] 上恒大于零 故积分 cos 4 4 结果必为正 因此这个结果肯定是错误的 究竟错在何处? 错误的原因 : u tn 3 在区间 [ ] 上有间断点 4 4 所作变换不符合定积分换元公式成立的条件. 西安交通大学数学与统计学院李换琴 73/88 4/9/6

74 n 5 证明极限 lim d 时 n 有人用连续函数的积分中值定理 得 n n d 因为 所以有 n n lim d lim. n n 问这个证明对不对? 若不对 试给出正确的证明. 答 : 不对 依赖于积分区间和被积函数 应该写成 n 虽然 n 但当 n 时 n 有可能不趋于零. n n 不能直接断定 lim 例如 lim e n n n 西安交通大学数学与统计学院李换琴 74/88 4/9/6 n

75 下面给出正确的证明 : 法一 由于当 时 有 d 令 n 由夹逼准则 得 法二 n 所以有 西安交通大学数学与统计学院李换琴 75/88 4/9/6 n n d lim n n n n d 利用广义积分中值定理 得 n n d d n 利用无穷小运算法则 得 lim d n n []

76 6 在计算三叶玫瑰线 sin 3所围成图形 面积时 有人认为函数 sin 3的周期为 3 所以面积为 3 A sin 3d. 对吗? 答 : 不对 在极坐标系中 函数 的周期并不等于使函数图形开始出现重叠的 的变化周期 使图形开始出现重叠的 的变化周期是. 三叶玫瑰线的三叶 的范围是 [ ] [ ] [ ] 于三叶是对称的 3 3 A sin 3d. 西安交通大学数学与统计学院李换琴 76/88 4/9/6

77 7 A lim h 设 在区间 [ A B] 上连续 B的常数 有人如下求极 h d h ' d. lim h 是满足限 h h d 上述运算正确吗? 如不正确 试给出正确的解法. 答 : 不正确 错误在于 : 将极限取到积分号下是有条件的 ; 即使极限可以取到积分号下 函数也未必可导 ; 3 即使函数可导 其导函数未必在 [] 可积. 西安交通大学数学与统计学院李换琴 77/88 4/9/6

78 西安交通大学数学与统计学院李换琴 78/88 4/9/6 正确的解法如下 : 利用换元法 t h d h 令 h h dt t h d h h lim 于是 h d dt t h h h lim ' ' '' lim h h h h d h h B A B A lim ] [ 求 上连续 在

79 问题 7 利用微元法求解定积分应用题时应注意的问题 例 求如图所示的圆锥体的体积和侧面积 解先求体积 y 体积 V 非均匀分布在区间 [h] 上 表现为截圆半径 k 随点 而变化. 在微小区间 [ ] 上 将截面半径 O y k h 以常代变得 V 的近似值 从而 V dv k h k d V k k 3 西安交通大学数学与统计学院李换琴 79/88 4/9/6 h 3

80 再求侧面积 S 在微小区间 [ ] 上 用小圆柱的侧面积 作为 S的近似值 则有 y y k S k ds kd O h 于是 S h 由初等几何知识我们知道 S k kd kh k h 什么样的量才可以作为微元 ds呢? 错误出在哪里? 西安交通大学数学与统计学院李换琴 8/88 4/9/6

81 怎样利用微元法求解定积分应用问题? 两个问题 用定积分来表达的量应具备哪些特征? 都是区间 [] 上非均匀连续分布的量 都具有对区间的可加性 A d s v t dt m d 怎样建立这些量的积分表达式? 定积分能够解决 : 非均匀连续分布的可加量 F 求和问题 西安交通大学数学与统计学院李换琴 8/88 4/9/6

82 怎样建立这些量的积分表达式 四个步骤 : 分 匀 合 精 F lim d d n i 分 匀 Fi i i 合 精 F d 关键 : 寻求表达式 d. 分布在区间 [] 上的量 : F F d 可知 df d 求 df 就是寻求与 F A i i o. 西安交通大学数学与统计学院李换琴 4/9/6 8/88 成线性关系的 微元 记为 df A 且使

83 再看例 对于求圆锥体的体积 体积 V 非均匀分布在区间 [h] 上 y O y k h 在微小区间 [ ] 上 将截面半径 以常代变得 V 的近似值 V 由于 V k k [ 3 k o 3 k 3 dv 3 ] k k 西安交通大学数学与统计学院李换琴 83/88 4/9/6

84 对于求圆锥体的侧面积 S 若在微小区间 [ 作为 S的近似值 有 S k ] 上 用小圆柱的侧面积 并非是 S 的微分 y O y k h 所以 S h kd kh 就是错误的结果 西安交通大学数学与统计学院李换琴 84/88 4/9/6

85 将圆锥面沿某一母线剪开展平如图所示 S S扇形 OBB' S扇形 OAA' OB OA OA k k A OA k k k S OB OA O k k { } A k k k 所以 ds S k h k k k d k k h S B B k 西安交通大学数学与统计学院李换琴 85/88 4/9/6

86 也有人如下考虑由于 [ ] 上的一段圆锥体是夹在分别以 点处和 点处的截圆为底 高为 的两圆柱体之间 因而 k S k # 由于 k k k o 因而 S k o 这表明 k是 S 的微分 错因 : 式 # 是来自直观的错觉 O 事实上 当 k 时 S k k k 西安交通大学数学与统计学院李换琴 86/88 4/9/6 y

87 西安交通大学数学与统计学院李换琴 87/88 4/9/6 k k S k 证明如下 : 当 时 k k k k k k k ] [ ] lim [ k k k k k 所以 当 充分小时 k k k k k 从而 k

88 实际问题中 如何求非均匀连续分布量的微分? 针对所给问题 分析非均匀产生的原因 它往往是由于某一相关量 变动所引起的 确定如何将其局部量均匀化从而可以利用乘法得到此局部量的线性形式的近似值. 通常是通过对 以不变代变来得到 微元法 这样得到的近似值往往就是所需要的微分 而不必也难以逐一加以验证. 以不变代变所选用的 应为所求量 F 的变化率 而微元法的本质也就是将非均匀分布量 F 在局部均匀化 或者说 将非线性函数 F 局部线性化 西安交通大学数学与统计学院李换琴 88/88 4/9/6

89 4 年 9 月 6 日 西安交通大学数学与统计学院李换琴 89/88 4/9/6

90 例如函数 为有理数 为无理数 处处有定义 处处不连 但是对于任何 R 有 lim n n n lim n n n 续 处处不可导 lim n 西安交通大学数学与统计学院李换琴 9/88 4/9/6 n 返回