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1 EuMath (/008 來 自 身 邊 的 四 個 小 問 題 胡 奕 偉 麗 水 學 院 數 學 系 這 是 一 組 來 自 筆 者 身 邊 的 問 題 問 題 平 凡, 問 題 簡 單, 問 題 3 略 見 抽 象, 問 題 4 則 源 遠 流 長, 被 稱 為 亞 里 斯 多 德 旋 輪 悖 論 平 凡 的 問 題 呼 喚 靈 活 的 思 維, 處 理 方 法 要 創 新 ; 貌 似 簡 單 的 問 題, 未 必 真 正 簡 單, 即 使 簡 單, 辯 證 地 看, 也 可 能 蘊 含 深 刻 的 數 學 思 想 方 法 ; 抽 象 問 題 需 要 具 體 化 直 觀 化 情 景 化 ; 悖 論 要 通 過 凝 思 來 化 解 問 題 一 已 知 N *, 且 3 求 證 > ( + 這 是 一 道 頗 為 經 典 的 題 目, 幾 本 廣 泛 流 傳 的 著 作, 都 先 後 把 它 收 錄 其 中 然 而 遺 憾 的 是, 時 間 雖 然 跨 越 多 年, 處 理 方 法 卻 幾 乎 原 地 踏 步, 沒 有 任 何 實 質 性 的 進 步, 沒 有 體 現 出 代 數 研 究, 教 學 研 究, 習 題 研 究 三 結 合 應 有 的 研 究 意 味, 沒 有 意 識 到 這 本 身 就 是 一 個 問 題 幾 本 書 關 於 此 題 的 解 法 都 是, 把 兩 個 字 母 中 的 視 為 參 數, 對 作 數 學 歸 納 法 證 明 具 體 過 程 為 : 當 3 時, > ( + 3 假 設 當 ( 3 時, 命 題 成 立, 即 > ( + ( + + ( + ( + ( + ( + > ( + ( + ( + +, 即 當 + 時, 命 題 也 成 立 因 此, 命 題 得 證 我 覺 得, 至 少 可 以 加 上 一 問 : 能 否 換 一 個 思 考 角 度, 把 視 為 參 數, 對 作 數 學 歸 納 法 證 明 呢? 當 ( 3 時, ( + ( + ( + 83

2 數 學 教 育 第 二 十 六 期 (/008 0 < 由 於 數 列 { ( ( + } 嚴 格 單 調 遞 增, 且 當 時, 極 限 為 e, + < e 因 此 > > ( + ( + e > ( +, 即 當 時, 命 題 成 立 假 設 當 ( 3 時, 命 題 成 立, 即 > ( + ( + ( + ( + ( + > ( + ( + ( + ( + ( + + >, 所 以 ( + > ( +, 當 + 時, 命 題 也 成 立 因 此, 命 題 得 證 進 一 步 問, 能 否 不 使 用 數 學 歸 納 法 呢? 即 事 實 上, 要 證 明 > ( +, 只 要 證 l + l > l ( +, + l > l l + 因 為 < 又 因 為 3, 即 > ( + + < e,0 < l + <, 所 以 0 < < l 3 l, 所 以 84 l + < l > l +, 康 托 說, 數 學 的 本 質 是 自 由 的 就 一 道 題 而 言, 自 由 意 味 著 思 維 的 多 種 可 能 性, 以 及 主 體 對 於 單 一 途 徑 的 不 滿 足 問 題 二 杭 州 都 市 快 報 007 年 3 月 5 日 第 4 版 以 大 標 題 面 對 這 樣 的 小 學 二 年 級 數 學 題, 你 有 多 大 自 信 給 出 一 題 : 按 規 律 填 數 :, 3, 7, 8, 47, 次 日, 該 報 第 3 版 又 以 大 半 版 的 篇 幅 刊 登 有 關 上 題 的 解 答 的 報 導 : 有 文 化 就 是 好, 一 道 小 學 二 年 級 數 學 題 讓 許 多 男 人 揚 眉 吐 氣 報 導 中 提 出 : 這 一 天 共 位 讀 者 發 來 電 話 傳 真 或 在 網 上 聊 天 室 發 表 意 見, 其 中 多 數 讀 者 都 是 叫 苦 : 小 學 生 做 不 出 ; 小 學 生 的 老 爸 做 不 出 ; 小 學 生 老 爸 的 辦 公

3 EuMath (/008 室 理 的 所 有 同 事 都 做 不 出 也 有 些 讀 者 經 過 奮 戰 或 與 他 人 研 究, 得 出 解 答 該 報 公 佈 的 解 法 共 六 個, 不 過 是 用 不 同 的 湊 法 得 到 3 而 已 我 國 數 學 開 放 題 的 研 究 專 家 戴 再 平 先 生 認 為 : 該 題 從 本 質 上 看 就 是, 已 知 數 列 的 前 5 項 依 次 為 , 求 第 項 更 一 般 地, 即 求 數 列 { a } 的 通 項 公 式 觀 察 a,a 3,a 3 7 3a a,a 4 8 3a 3 a,a a 4 a, 即 a 3a a, 其 中 3 所 以 a 3a 5 a 4 3 更 重 要 是, 由 於 a 3a a + ( ( ( 3( 4( 5 g( ( 這 理 g( 是 任 意 一 個 關 於 的 函 數 也 符 合 題 意 因 此, 數 列 { a } 的 通 項 公 式 有 無 窮 多 個 從 而 本 題 的 答 案 也 有 無 窮 多 個 但 這 些 解 答 都 已 超 出 一 個 小 學 二 年 級 學 生 的 能 力 範 圍 這 是 一 道 在 近 年 浙 江 省 公 務 員 考 試 中 也 多 次 出 現 的 題 應 該 指 出, 另 一 角 度 的 一 般 解 法 也 不 容 忽 視, 這 就 是 運 用 多 項 式 的 拉 格 朗 日 插 值 公 式 求 出 數 列 的 通 項 公 式 : 若 已 知 點 A (x, f (x A (x, f (x A (x, f (x, ( x x( x x3 x x 則 有 通 過 這 個 點 的 多 項 式 函 數 f (x f ( x + ( x x( x x3 x x ( x x( x x3 x x ( x x( x x x x f ( x + + f ( x ( x x ( x x x x ( x x ( x x x x 3 ( x ( x 3( x 4( x 5 本 題 所 對 應 的 多 項 式 函 數 是 f (x ( ( 3( 4( 5 3 ( x ( x 3( x 4( x 5 ( x ( x ( x 4( x ( ( 3( 4( 5 (3 (3 (3 4( ( x ( x ( x 3( x 5 ( x ( x ( x 3( x (4 (4 (4 3(4 5 (5 (5 (4 3(5 4 f ( + 根 據 有 關 研 究, 拉 格 朗 日 插 值 公 式 的 推 導 可 以 運 用 中 國 剩 餘 定 理 中 蘊 含 的 孫 子 思 想, 即 先 作 函 數 g (x, 使 g (x,g (x g (x 3 g (x 0 這 理 可 設 g (x (x x (x x 3 (x x, 因 為 g (x (x x (x x 3 (x x, 所 以, 即 g ( x x ( x x x x (x 3 85

4 數 學 教 育 第 二 十 六 期 (/008 ( x x( x x3 x x ( x x ( x x x x 3 類 似 地, 作 函 數 g (x,, 3,,, 使 g (x,g (x g (x g (x g (x + g (x 0 同 理,g (x ( x x( x x x x ( x x+ x x 最 後 設 f (x f (x ( x x ( x x x x ( x x x x g (x + f (x g (x + + f (x g (x f ( x f ( x ( x x( x x3 x x ( x x ( x x x x 3 + ( x x( x x3 x x ( x x ( x x x x + + f ( x 3 + ( x x( x x x x ( x x ( x x x x 當 然,F(x f (x + (x (x (x 3(x 4(x 5 g(x( 其 中 g(x 是 任 意 關 於 x 的 函 數 也 符 合 題 意, 從 而 通 項 公 式 也 有 無 窮 多 個 本 題 運 用 拉 格 朗 日 插 值 公 式 角 度 的 答 案 也 仍 然 有 無 窮 多 個 問 題 三 微 軟 公 司 有 一 年 到 北 京 大 學 招 聘 博 士, 其 中 的 一 道 考 題 為 : 000 個 蘋 果 分 裝 成 0 箱, 結 果 要 求 不 拆 箱, 通 過 箱 子 的 組 合 得 到 至 000 的 任 何 數 目 的 蘋 果 如 何 分 裝? 這 是 一 道 活 用 數 學 的 題! 先 探 求 方 法 大 數 變 小,000 變 成 0, 得 到 一 個 更 容 易 駕 馭 的 問 題 : 0 個 蘋 果 分 裝 成 4 箱, 結 果 要 求 不 拆 箱, 通 過 箱 子 的 組 合 得 到 至 0 的 任 何 數 目 的 蘋 果 如 何 分 裝? 如 果 記 第 個 箱 子 所 分 裝 的 蘋 果 個 數 為 a, 並 且 a,a,a 3, a 4 0 ( + + 3, 那 麼 a, a,3 a + a,4 a 3,5 a + a 3, a + a 3,7 a + a + a 3,8 a + a 3 + a 4,9 a + a 3 + a 4,0 a + a + a 3 + a 4 所 以 至 0 的 任 何 整 數 均 可 表 示 ( 表 示 方 法 可 不 唯 一 為 a a a 3 a 4 中 若 干 個 數 的 和, 從 而 達 到 分 裝 後 不 拆 箱, 通 過 箱 子 的 組 合 得 到 至 0 的 任 何 數 目 的 蘋 果 的 要 求 對 於 000 個 蘋 果 而 言, 同 理, 如 果 記 第 個 箱 子 所 分 裝 的 蘋 果 個 數 為 a, 並 且 a,a,a 3,a 4 3,,a 9 8,a ( + + 8

5 87 EuMath (/ , 那 麼 a, a,3 a + a,4 a 3,5 a + a 3, a + a 3, 7 a + a + a 3,8 a 4,,3 7 + a + a + a 3 + a 5,, a + a + a a 9, a + a + a 3 + a 5 + a 0,,000 a + a + a a 0 所 以 至 000 的 任 何 整 數 均 可 表 示 ( 表 示 方 法 可 不 唯 一 為 a a a 9 a 0 中 若 干 個 數 的 和, 符 合 要 求 現 在, 我 們 來 討 論 初 等 數 論 中 的 一 道 類 似 的 題 : 求 證 : φ(, 其 中 N * 這 是 一 道 略 微 抽 象 的 題! 這 裡 的 歐 拉 函 數 φ(x 是 定 義 在 正 整 數 上 的 函 數, 其 值 等 於 序 列,, 3,, x 中 與 x 互 素 的 數 的 個 數 類 似 於 蘋 果 裝 箱 問 題 的 處 理 策 略 : 大 數 變 小, 這 裡 我 們 可 以 一 般 變 特 殊 取 由 於 (,,(5, ;(,,(4, ;(3, 3;(,, 所 以 根 據 (, (,, 3, 4, 5, 的 不 同 值, 可 以 把 分 成 4 類 : 與 (, 對 應 的 集 合 為 {, 5 }, 與 (, 對 應 的 集 合 為 {, 4 }; 與 (, 3 對 應 的 集 合 為 { 3 },(, 對 應 的 集 合 為 { }; 再 分 別 對 每 個 集 合 元 素 的 個 數 進 行 計 數 ; 最 後 累 計 得 出 全 部 元 素 的 總 個 數 為 ( + + ( ( 各 項 分 別 對 應 於 {, 5 } {, 4 } { 3 } { } 的 元 素 個 數 (, (, 根 據 定 義,φ( 的 值 就 是 序 列,,, 個 數, 所 以 (, (, 中 與 φ( φ( 互 素 的 數 的 同 時, 由 於, 即 的 正 約 數 成 對 出 現,{ :,, 3, } { :,, 3, }, 所 以 φ( φ(

6 數 學 教 育 第 二 十 六 期 (/008 同 理, (, (, φ( φ( 大 數 變 小 ( 比 如 000 變 成 0, 一 般 變 特 殊 ( 比 如 變 成, 這 是 以 退 求 進 策 略 的 積 極 運 用 華 羅 庚 先 生 多 次 強 調 : 先 足 夠 地 退 到 我 們 所 最 容 易 看 清 楚 問 題 的 地 方, 認 透 了, 鑽 深 了, 然 後 再 上 去 這 是 我 們 解 決 數 學 問 題 的 常 用 的 有 效 策 略 問 題 四 一 學 生 提 問 : 一 個 車 輪 在 平 坦 的 路 面 上 直 線 滾 動, 如 圖 點 A 滾 過 一 周 的 同 時, 半 徑 的 中 B 點 也 轉 過 一 周, 這 樣, 豈 不 是 有 π ( π 從 而 嗎? B O A O A B 實 際 上, 水 平 方 向 的 滾 動 是 由 繞 定 軸 的 轉 動 ( 圓 周 運 動 與 在 水 平 方 向 上 的 平 移 兩 種 運 動 複 合 而 成 的 當 車 輪 滾 過 一 周 的 時 候, 點 A 在 半 徑 為 的 圓 周 上 轉 動 了 一 周 ( 即 π, 同 時 在 水 平 方 向 上 平 移 了 π ; 而 點 B 在 半 徑 為 的 圓 周 上 轉 動 了 一 周 ( 即 π, 同 時 在 水 平 方 向 上 平 移 了 π 所 以, 這 個 問 題 只 能 說 明 點 A 與 點 B 向 前 平 移 的 距 離 都 是 π, 而 它 們 作 圓 周 運 動 的 曲 線 距 離 分 別 為 π π, 兩 者 並 不 相 等 事 實 上, 車 輪 所 在 圓 面 上 任 意 一 點 作 平 移 運 動 的 直 線 距 離 都 相 等 而 由 於 A 位 於 車 輪 外 圓 周 開 始 滾 動 瞬 間 的 最 低 點, 所 以 在 車 輪 滾 動 過 程 中, 點 A 作 圓 周 運 動 的 曲 線 距 離 ( 即 對 應 圓 弧 長 度 t 與 點 A 作 平 移 運 動 的 直 線 距 離 相 等 由 於 OB, 點 B 作 圓 周 運 動 的 曲 線 距 離 等 於 車 輪 所 在 圓 面 上 任 意 一 點 作 平 移 運 動 的 直 線 距 離 的 一 半 更 一 般 地, 車 輪 上 任 意 一 點 P 作 圓 周 運 動 的 曲 線 距 離 等 於 車 輪 所 在 圓 面 上 任 意 一 點 在 水 平 方 向 上 88

7 EuMath (/008 作 平 移 運 動 的 直 線 距 離 的 OP 以 上 都 是 從 滾 動 分 解 為 兩 種 簡 單 運 動 : 圓 周 運 動 與 平 移 運 動 的 角 度 來 看, 進 一 步, 如 果 從 兩 種 簡 單 運 動 複 合 後 的 複 雜 運 動 的 結 果 來 考 察, 那 麼, 點 A B P 的 軌 跡 我 們 都 稱 之 為 旋 輪 線 或 擺 線 如 圖, 點 A(x, y 的 方 程 為 : x a( t st, 這 裡 的 a y a( cost y O B A α P C 布 列 方 程 的 關 鍵 在 於 : 一 在 x 軸 上 線 段 長 AA 0 圓 上 AA 0 a t; 二 就 A 0 t 的 瞬 間 位 置 而 言, 過 圓 周 上 的 動 點 A 作 x 軸 的 垂 足 AR (R 為 垂 足, 再 過 點 O 作 AR 的 垂 線 OQ(Q 為 垂 足, 得 到 一 個 直 角 三 角 形 OQA,OQ a cos(t π a s t,aq a s(t π a cos t; 三 動 點 A 的 橫 坐 標 x x 軸 上 線 段 長 AA 0 OQ( 即 a t a s t, 動 點 A 的 縱 坐 標 y 圓 半 徑 a + AQ( 即 a a cos t 而 點 B(x, y 的 方 程 為 x at y a C A P Q R B t A 0 O a a st, 方 法 如 前 cost 車 輪 所 在 平 面 上 任 意 一 點 P(x, y 的 方 程 為 x at OP s( t α y a OP cos( t α 佛 家 典 籍 五 燈 會 元 ( 宋. 釋 普 濟 有 云 : 鴛 鴦 繡 出 從 君 看, 不 把 金 針 度 與 人 我 國 明 代 科 學 家 徐 光 啟, 針 對 學 習 幾 何 原 本 與 習 禪 的 不 同, 反 其 語 曰 : 金 針 度 去 從 君 用, 未 把 鴛 鴦 繡 與 人 其 實, 這 也 適 用 x 89

8 數 學 教 育 第 二 十 六 期 (/008 於 其 他 數 學 專 業 課 程 的 學 習 而 對 於 作 為 通 識 課 程 的 數 學 ( 包 括 中 小 學 數 學 的 學 習, 則 要 求 我 們 : 鴛 鴦 既 要 繡 出, 金 針 亦 須 度 盡 ( 張 順 燕 先 生 語 即 教 師 不 僅 要 探 求 並 呈 現 數 學 理 論 的 結 果, 而 且 還 要 把 探 求 所 採 用 的 數 學 思 想 方 法 也 充 分 暴 露 出 來 可 以 發 現, 郭 思 樂 先 生 長 期 致 力 的 研 究 課 題 加 強 數 學 知 識 發 生 過 程 ( 數 學 思 維 過 程 的 教 學 的 理 論 意 向 與 此 吻 合 一 致 我 從 內 心 對 上 述 觀 點 深 表 贊 同, 在 行 動 上 也 身 體 力 行, 雖 不 能 至, 然 心 嚮 往 之 還 望 讀 者 諸 君 不 吝 賜 教 參 考 文 獻 余 元 希 田 萬 海 毛 宏 德 (988 初 等 代 數 研 究 ( 上 冊 高 等 教 育 出 版 社 羅 增 儒 (997 數 學 解 題 學 引 論 陝 西 師 範 大 學 出 版 社 張 奠 宙 張 廣 祥 主 編 (00 中 學 代 數 研 究, 高 等 教 育 出 版 社 戴 再 平 (007 數 學 解 題 研 究, 教 育 部 數 學 教 育 高 級 研 修 班 之 專 家 報 告 寧 波 于 秀 源 瞿 維 建 (004 初 等 數 論 山 東 教 育 出 版 社 張 順 燕 (004 數 學 的 美 與 理 北 京 大 學 出 版 社 沈 康 身 (00 歷 史 數 學 名 題 賞 析, 上 海 教 育 出 版 社 郭 思 樂 (98 加 強 數 學 知 識 發 生 過 程 的 教 學, 把 傳 授 知 識 與 培 養 能 力 統 一 起 來 數 學 通 報 98 年 9 月 張 貴 欽 (005 教 學 敘 事 教 研 活 動 的 一 種 有 效 方 式 數 學 教 學 005 年 4 月 作 者 電 郵 90

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