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飞廉
5 years ago
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1 5.3 定积分应用. 定积分的微元分析法 () 能用定积分表示的量所必须具备的特征用定积分表示的量 U 必须具备三个特征 : U 是与一个变量的变化区间 [,] 有关的量 ; U 对于区间 [,] 具有可加性. 即如果把区间 [,] 分成许多部分区间, 则 U 相应地分成许多部分量 ; 3 部分量 U i的近似值可表示为 f ( ) i i

2 () 微元分析法用定积分表示量 U 的基本步骤 : 根据问题的具体情况, 选取一个变量例如为积分变量, 并确定其变化区间 [,]; 在区间 [,] 内任取一个小区间 [,, d] 求出相应于这个小区间的部分量 U 的近似值. 如果就把即 U f () d 在处的值与的乘积, f ) ( d 称为量 U 的微元, 且记作 du du f ( ) d 能近似地表示为 [,] 上的一个连续函数以直代曲, 以不变代变的思想

3 3 以所求量 U 的微元 f ( ) d 在区间 [,] 上作定积分, 得. 定积分在几何上的应用 () 平面几何图形的面积如果函数 f()( f()) 在区间 [, ] 上连续, 则由曲线 f() 轴与直线所围成的曲边梯形的面积为 O 为被积表达式 U f ( ) d f () f ()d c f ()d c A f ( ) d 曲边梯形的底在轴 3

4 如果函数 = ( )( ( ) ) 在区间 [ c, d] 上连续, 则由曲线 = ( ) 轴与直线 =c = d围成曲边梯形的面积为 A ( ) d d c d () 曲边梯形的底在轴 c 4

5 考虑如下问题 : 由上下两条连续曲线 f() g() 与左右两条直线所围成的图形的面积 S 如何求? ) 若图形在轴上方注意图形的形成 S f()d g()d [f()g()]d f () [f()g()]d g() O 5

6 ) 若图形不在轴上方 S [f()m]d [g()m]d 将图形平移到轴的上方 f()m [f()g()]d m g()m f() O g() 6

7 结论 : 由上下两条连续曲线 f() g() 与左右两条直线所围成的图形的面积为 S [f()g()]d 注 :() 当曲线 f() 或 g() 时, 上述公式也成立 f() f() O O g() g() 7

8 结论 : 由上下两条连续曲线 f() g() 与左右两条直线所围成的图形的面积为 S [f()g()]d 注 :() 当曲线 f() 或 g() 时, 上述公式也成立 () 当左右两边缩为一点时, 上述公式也成立 (3) 积分区间就是图形在轴上的投影区间 f() f() g() g() O O 8

9 结论 : 由上下两条连续曲线 f() g() 与左右两条直线所围成的图形的面积为 S [f()g()]d 注 :() 当曲线 f() 或 g() 时, 上述公式也成立 () 当左右两边缩为一点时, 上述公式也成立 (3) 积分区间就是图形在轴上的投影区间 (4) 如果 f() 有分段点 c, 则需把图形分割后计算 f() S [f ()g()]d c [f ()g()]d f () f () S [f ()g()]d c g() [f ()g()]d f ()g()]d O c 9

10 结论 : 由上下两条连续曲线 f() g() 与左右两条直线所围成的图形的面积为 S 讨论 : 由左右两条连续曲线 () () 与上下两条直线 c d 所围成的图形的面积 S 如何求? 答案 : S d [ ( ) ( )] d c d c [f()g()]d () () O

11 例 4.3. 求曲线与所围图形的面积. 解 : 为, 和及, 的交点所以面积为 A 3 3 ( ) d 3 3 3

12 例求由曲线与所围区域的面积. 解 : 由得即 ) ( 4 得交点坐标为 4,,, 取为积分变量 d A

13 例求椭圆 cos t t 所围成的面积. sin t 解 : 由对称性知, 总面积为第一象限部分的 4 倍. 取为积分变量 cos t 当时, A 4 A 4 d sin tdt A 4 sin t sin t dt t d t 当时, t sin t 4 sin tdt cos t 4 3 dt

14 一般地, 当曲边梯形的曲边由参数方程给出时, 按顺时针方向规定起点和终点的参数值则曲边梯形面积 4

15 极坐标下平面面积的计算求由曲线围成的曲边扇形的面积. 在区间上任取小区间及则该小区间上曲边扇形面积的近似值为 d S ( ) d d 所求曲边扇形的面积为 r ( ) A da ( )d 5

16 例求双纽线解 : 由 cos 所围成的面积. cos 知 cos k k 或 3 k k 即 k k 3 或 k k 4 4 由对称性知, 所求面积为第一象限部分面积的 4 倍, 选积分变量为典型小区间 d 为半径,,, 相应于小区间的面积 ( 以 d 为圆心角的圆扇形面积 ) da d cos d 4 4 A 4A 4 cos d sin 6

17 () 体积旋转体的体积 : 右图为由连续曲线 f() 直线 f () 及轴所围成的曲边梯形绕轴旋转一周而成的立体 O 7

18 例由连续曲线 f 与直线,, 所围成的曲边梯形绕轴旋转一周生成旋转体. 求旋转体的体积. 解在闭区间 [,] 上任取一子区间 [, +d], 由于体积是由平面图形旋转一周生成的, 所以用底面积为高为 d 的圆柱体的体积近似代替小旋转体的体积得体积微分 : A f ( ) ( ), dv d f ( ) d f o d 在 [,] 上作定积分, 得旋转体体积为选积分变量为 V f d 位于点处垂直于轴的横截面面积 8

19 当考虑连续曲线段绕轴旋转一周围成的立体体积时, 体积微元为于是有 V c ( ) dv d d ( ) d d c o 选积分变量为 () 9

20 例计算由椭圆所围图形绕轴旋转而转而成的椭球体的体积. 解 : 方法利用直角坐标方程 o 则 V V d ( 3 )d ( 利用对称性 )

21 方法利用椭圆参数方程则 V 3 d sin t dt 特别当 = 时, 就得半径为的球体的体积. 3

22 例 : 求由, 所围成的图形绕轴旋转一周而成的立体的体积. 解 : 体积微元 dv d 所以体积 V V V o d d 4 d 5 5 3

23 平行截面面积为已知的立体体积设所给立体垂直于轴的截面面积为 S(), 上连续, 则对应于小区间 d V S( )d 的体积元素为因此所求立体体积为 V S( )d S ( ) 3

24 例设三棱锥高为 h, 底面积为 A, 求它的体积 V 解从顶点作底面的垂线, 并且以它为轴, 顶点为原点, 记处的截面面积为 S(), 由图 4.3.9, 知故 S( ) A h S( ) h A 所以 V h h Ad Ah 3 图

25 (3) 平面曲线的弧长定义 : 若在弧 AB 上任意作内接折线, o A 当折线段的最大边长时, 折线的长度趋向于一个确定的极限, 此极限为曲线弧 AB 的弧长, 即 s lim 并称此曲线弧为可求长的. n i Mi M i 定理 : 任意光滑曲线弧都是可求长的. ( 证明略 ) M i M M i B 则称 M n 5

26 曲线弧由直角坐标方程给出 : 弧长元素 ( 弧微分 ) : ds (d) (d) ds f d () d d 因此所求弧长 s d o d f ( ) d 6

27 7 曲线弧由参数方程给出 : 弧长元素 ( 弧微分 ) : 因此所求弧长 t t t s d ) ( ) ( t t t d ) ( ) ( ) (d ) (d d s

28 3 极坐标中的弧长公式 : 设曲线弧是由极坐标方程给出, 其中在, 上连续可导, 由直角坐标与极坐标的关系知 cos sin cos sin cos sin cos 弧微元 ds d sin cos sin sin cos d 所以曲线弧长 d S 8 d

29 例 4.3. 计算摆线一拱的弧长. 解 : ds ( d d t ) ( d d t ) d t ( cost) sin t dt ( cost) d t t sin dt t s sin d t t cos 8 9

30 例 4.3. 求心形线 cos 解 : sin 的全长. ds cos sin d cos cos sin d cos d 所求弧长 S cos d 4 cos d 4 sin 8 3

31 6. 反常积分把定积分的概念推广到积分区间是无穷或被积函数有无穷不连续点的情形, 称为广义积分. 把积分区间有限, 被积函数在积分区间, 上连续, 或至少是有界的积分, 称为常义积分. () 无限区间上的广义积分定义 4.3. 设函数 f 在区间 [, ) 上连续, [, ) 极限 lim f d 存在, 则称此极限值为函数上的广义积分. 记为 lim f d f 也称广义积分收敛, 否则发散. d, 如果 f 在 [, ) 3

32 类似地, 若 f 在区间 (, ] 上连续, (, ], 极限 lim (, ] f d 存在, 则称此极限值为函数 f 上的广义积分. 记作 f d f lim 在区间 d 则称广义积分收敛. 否则称广义积分发散. 若函数 (, ) f 在 (, ) 上的广义积分. 时, 且上连续, 称 f c f d c f d 为 f 对于 c (, ), 当与同时收敛 f d 收敛, 只要有一个发散, 则 f d c f d c f d f d 发散. d 在 3

33 例 4.3. 求 d 解 : d d lim lim d lim d d rctn rctn lim rctn rctn 33

34 化简运算 : 如果有原函数, F 且存在极限 lim F F f d lim f d lim F F lim F F F F lim F F f d lim f d lim F F F F F, 则 F 34

35 3 f d c lim f d lim c f d lim Fc F lim F Fc lim F lim F F( ) F( ) F d rctn lim rctn lim rctn 35

36 d 当 p 时收敛, 当 p p d 时, ln 例 4.3. 证明证 : 当当 p 时, d p p p p p p 时发散. p p 所以当 p 时, 该广义积分收敛, 其值为当 p 时, 该广义积分发散. p p 36

37 () 无界函数的积分定义 4.3.: f 在 (, ] 如果 lim f d 在 (, ] 设函数上连续, 当时, f, 存在, 则称此极限值为无界函数 f 上的广义积分, 记作 f d lim f d 此时称广义积分 f d 收敛, 若极限不存在, 则称广义积分发散. 类似地定义 : 当 f 在 [, ) 上连续, 而当时, f 的广义积分 f d lim f d 37

38 3 当 f f 在 [, ] 上除 c 点 ( c ) 外连续, 而当 c 时, 的广义积分 f d c f d c f d lim c f d lim c f d 是相互独立的变量, 若 f d 其中, c 与 c f d 都收敛, 则称 f d 收敛, 只要有一个发散, 则称 f d 发散. 38

39 例 4.3. 判断解 : d 为函数 lim d 的敛散性. d d 的不连续点, d lim lim d (, ) d lim lim 发散. lim lim 发散 39

40 d 例证明当 p lim p p d 所以 p p 当 p p 时收敛, 当 p 证 : 当 p 时, 是常义积分, 所以收敛 ; 当 p 时 d 当 p 时, = lim d limln d d 当 p 时 =lim p p p p lim 时发散 p, p, p, p. p 时收敛, 当 p 时发散. 4

41 汉英词汇对照面积元素体积元素 element of re element of volume 4

f ( d ) = f( d ) f ( d ) = [ f( ) f( ) ] d B: 函数 Φ ( ) 在 (, + ) 上无极值点 (5) 若函数 f ( ) 在闭区间 [, ] 上都连续., 则下列说法不正确的是 ( ) A: f () 是的函数 B: f () 是的函数 f () 是

f ( d ) = f( d ) f ( d ) = [ f( ) f( ) ] d B: 函数 Φ ( ) 在 (, + ) 上无极值点 (5) 若函数 f ( ) 在闭区间 [, ] 上都连续., 则下列说法不正确的是 ( ) A: f () 是的函数 B: f () 是的函数 f () 是高等数学第五章 - 定积分练习题 (A) 一判断正误题 :( 判断下列各题是否正确, 正确的划, 错误的划 ) n () + + + d n + = n n n () f ( d ) = f( udu ) () 若函数 f ( ) 在区间 (, + ) 上连续, c,, 为任意三个常数, 则 c f ( d ) = ( ) f d+ c f( d ) (5). () (6) sin d (7)