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1 在高一 高二数学教材中可应用图形计算器部分的说明 北京市第十九中学数学教师王玉生 010 年 7 月 6 日 现在北京市各普通高级中学均使用新课程标准的数学教材, 主要是人教 (A) 版和人教 (B) 版这两套课本 ; 高中学生在高一 高二都要学习数学必修的 ; 理科学生还要学选修的 , 高三学习选修 ; 文科学生要学选修的 下面以理科学生和人教 (B) 版教材为例, 介绍课本中可以使用图形计算器学习的教学内容 当然, 对许多教学内容, 在教学中学生可以不使用计算器, 手工运算就可以得出结果, 但对于一些复杂的计算, 使用计算器计算更为快捷 准确 ; 而对有些内容, 必须要使用图形计算器或计算机, 例如关于 算法 的教学, 否则达不到新课程要求的教学标准 一 数学必修 1 第一章 集合 共有两节内容 :1.1 集合与集合的表示方法,1. 集合之间的关系与运算 在 1.1 节中有个别关于求方程解集的习题, 例如求方程 ( 1)( + 8) = 0 的解集, 可以用图形计算器求解, 并且能用计算器画出相关函数的图 象, 说明几何意义 ; 学习 1. 节内容一般不用计算器 第二章 函数 共有四节内容 :.1 函数,. 一次函数和二次函数,.3 函数的应用 (Ⅰ),.4 函数与方程 ; 第三章 基本初等函数 (Ⅰ) 共有四节内容 : 3.1 指数与指数函数,3. 对数与对数函数,3.3 幂函数,3.4 函数的应用 (Ⅱ) 这两章的教学内容, 都非常适合学生使用图形计算器自主地进行学习, 可以充分发挥图形计算器强大的绘图与计算功能 例如可以用计算器画 出函数的图象, 分析函数的单调性 奇偶性, 求函数的零点, 分析参数 a 对函数 y = lga 图象变化的影响, 等等 y = a 和 在.1 节中, 课本还专门有一节 用计算机作函数图象 的选学内容, 所编排的教学内容, 学生都可以用图形计算器自主地学习完成 对于 3.1 节中一些涉及字母的指数计算习题, 可以用 vyage000 图形计算器求解 在 3.4 节中有一道探索性质的例题, 题中给出了玉米在不同阶段生长高度的一组数据, 要求根据数据画出函数图象, 建立数学模型, 求出函数关系式 这属于函数拟合问题, 只能用图形计算器求解 二 数学必修 第一章 立体几何初步 共有两节内容 :1.1 空间几何体,1. 点 线 面之间的位置关系 在这一章的教材中,1.1 节有一些计算空间几何体的体积 表面积的习题, 如果计算结果允许用小数表示, 那么使用普通的计算器就能够满足要求 ; 如果计算结果要求用分数或根式等表示出准确值时, 那么就需要用 vyage000 这样较高级的图形计算器进行计算 另外, 这两节在教学中, 需要动画地演示一些空间几何体的形态和元素的位置关系, 可以用 TI-9 或 vyage000 图形计算器上设置的几何画板软件, 制作教学课间让学生去观察体验 ; 某些空间图形, 例如圆柱面和锥面, 还可以直接使用计算器内置的 3D 功能, 画出图形进行演示 第二章 平面解析几何初步 共有四节内容 :.1 平面直角坐标系中的基本公式,. 直线的方程,.3 圆的方程,.4 空间直角坐标系 在.1 节中课本有一些解不等式的习题, 例如 在 数轴上画出满足 > 1的点, 可以直接使用图形计算器, 输入函数的表达式后, 在数轴上 显示出满足不等式的点集 课本上还安排了一些探索性的习题, 例如 解方程 1

2 = 5, 都能够用图形计算器求解 在. 节中, 有许多求直线方程的习题, 学生可以用计算器画出所求的直线验证手工运算的结果是否正确 ; 在输入直线方程表达式的过程中, 学生可以体会直线斜率的几何意义, 并且分析两条直线的位置关系 在.3 节中, 许多习题需要画圆, 这时需要把圆的方程分解为两个函数来输入表达式, 比较麻烦, 并且画出的圆有缺口, 不如使用圆的参数方程来输入表达式, 这样画出的圆没有缺口, 参数方程也是高考要考察的内容 ; 学生可以通过画出圆与直线, 分析它们的位置关系 ;.4 节内容基本不用计算器 三 数学必修 3 第一章 算法初步 共有三节内容 :1.1 算法与程序框图,1. 基本算法语句,1.3 中国古代数学中的算法案例 在这一章的教材中, 大部分习题都需要学生编出解决问题的计算程序 ; 由于不同的软件在语言输入上, 相互之间都有一些差别, 所以学生如果不在计算机或计算器上输入程序语言进行验证, 有时很难发现错误 课本上几乎所有的算法问题, 都可以使用 TI-83 图形计算器编出计算程序, 求出结果, 而且这种程序在输入时比较简便 另外, 在 1.1 节中有解线性方程 3 y = 14 组 这样的习题, 使用图形计算器输入相关的矩阵, 利用矩阵运算功能, 可以求出 + y = 方程组的解 第二章 统计 共有三节内容 :.1 随机抽样,. 用样本估计总体,.3 变量的相关性 在.1 节中, 可以用计算器打出随机数, 进行随机抽样, 代替随机数表抽样 ; 在. 节中, 可以利用图形计算器内置的统计作图功能, 输入数据, 直接画出直方图, 取代手工作图 ; 在计算样本数据的均值与方差时, 也可以输入数据, 直接得出结果 在.3 节中, 更是需要用图形计算器来画数据的散点图, 求出回归直线方程, 画出回归直线 第三章 概率 共有四节内容 :3.1 事件与概率,3. 古典概型,3.3 随机数的含义与应用, 3.4 概率的应用, 这一章仅在 3.3 节需要用计算器进行模拟试验, 其余内容不需要用计算器 3.3 节中有一道例题是 用计算器产生随机数的方法模拟掷硬币试验, 可以用图形计算器一组打出五个或十个随机数 0 或 1, 分别代表硬币的正反面, 统计正面出现的概率 还有一道例题是 利用随机数和几何概型求 π 的近似值, 可以用 TI-83 图形计算器编好程序, 输入模拟次数, 即可得出结果 四 数学必修 4 第一章 基本初等函数 (Ⅱ) 共有三节内容 :1.1 任意角的概念与弧度制,1. 任意角的三角函数,1.3 三角函数的图象与性质 这一章的各节内容, 学生都可以用计算器帮助学习 1.1 节的许多习题都涉及到度 分 秒的计算和度与弧度的互化, 学生容易出现计算错误, 一般的计算器上都内置了角度的转化计算功能, 注意调整计算器模式的设置, 都可以完成这类计算, 这一节课本上有使用计算器的例题 1. 节有许多三角函数求值的习题, 需要用到诱导公式, 一些学生常常记错公式, 得不出正确的结果 使用计算器可以轻易地得出运算结果, 验证传统的手工方法计算结果是否正确 另外, 可以使用计算器帮助学生理解 记忆三角公式, 譬如分别计算 sin( ) 和 cs 1 的值, 比较其是否相等, 从而记住公式 sin( 90 + α) = csα 1.3 节的内容, 包含大量的涉及三角函数图象的习题, 学生可以借助图形计算器画出函数图象, 理解参数变化对函数图象改变的影响, 分析单调区间, 求最大值和最小值和周期 ; 还可以利用计算器求反三角函数值的功能, 直接由三角函数值求角 第二章 平面向量 共有四节内容 :.1 向量的线性运算,. 向量的分解与向量的坐标运算,.3 平面向量的数量积,.4 向量的线性运算应用, 这一章可以使用图形计算器的内容较

3 少 在.1 节中, 如果使用 vyage000 这样的图形计算器, 利用它的几何画板功能, 可以画出两个向量的和向量与差向量 ; 另外, 在. 节中, 图形计算器也可以进行向量的坐标运算 第三章 三角恒等变换 共有三节内容 :3.1 和角公式,3. 倍角公式和半角公式,3.3 三角函数的积化和差与和差化积 与第一章类似, 这一章的许多习题, 都可以使用计算器, 直接 1 1 计算求出结果 ; 也可以用计算器理解 验证 记忆三角公式 对于 已知 tan θ =,tanϕ =, 3 且 θ, ϕ 均为锐角, 求 ϕ 进而求出 θ + ϕ θ + 的度数 这类的习题, 完全可以用计算器先求出角 θ 和 ϕ 的度数, 的度数 ; 虽然这种解法 不合常理, 但它更合乎于实际解决问题的方法 五 数学必修 5 第一章 解三角形 共有两节内容 :1.1 正弦定理和余弦定理,1. 应用举例 这一章许多习题的计算比较繁琐, 表达式中经常含有非特殊值的三角函数求值和开方运算, 使用计算器能大大减轻学生的计算困难 第二章 数列 共有三节内容 :.1 数列,.1 等差数列,. 等比数列 图形计算器把数列作为一种特殊的函数来处理, 所以只要输入表达式, 不仅能求出各项的值, 前 n 项和, 还能画出图象, 分析其变化趋势, 所以这一章的许多教学内容, 都可以用图形计算器学习 这一章的一些习题, 可以用图形计算器直接求解, 例如储蓄问题, 计算器上内置有专门的软件, 输入数据即 可得到答案 ; 对于 求数列 a n n = n 前 30 项中的最大项和最小项 这类的习题, 输入表 达式后, 画出图象或是利用数表功能, 都能够得出正确答案 课本在.1 节中有一道递推公式的 习题, 用计算器求出数列 1, cs 1,cs(cs1), L的值, 研究分析此数列的变化规律, 使用图 形计算器可以很容易地发现数列的极限值, 并能求出方程 = cs 的根, 验证这个根就是数列的极限值 第三章 不等式 共有五节内容 :3.1 不等关系与不等式,3. 均值不等式,3.3 一元二次不等式及其解法,3.4 不等式的实际应用,3.5 二元一次不等式 ( 组 ) 与简单的线性规划问题 现在提倡从函数的观点研究不等式, 所以这一章的内容, 多数都可以与函数图象相结合, 适合学 生使用图形计算器学习 例如 3.1 节中的例题 比较 和 的大小, 可以画出两个函 数的图象, 比较图象的位置, 从而使学生理解不等式的几何意义 ; 节中的许多习题, 也都可以划画出函数图象, 求函数最大值 最小值来求解 ; 图形计算器有解不等式功能, 输入不等式后, 在数轴上即显示出解集 对于 3.5 节的线性规划问题, 图形计算器也可以画出目标函数的可行域, 帮助分析求解 六 数学选修 -1 第一章 常用逻辑用语 共有三节内容 :1.1 命题与量词,1. 基本逻辑联结词,1.3 充分条件 必要条件与命题的四种形式 这一章的教学内容, 主要是分析定理 命题的逻辑结构, 基 1 本上用不到计算器, 但有个别的习题, 例如判定命题 R, + 0 是否成立, 也 4 可以用计算器求解 ; 另外, 在画分段函数的图象时, 计算器需要用逻辑用语 或 且 来确定函数的定义域 3

4 第二章 圆锥曲线与方程 共有五节内容 :.1 曲线与方程,. 椭圆,.3 双曲线,.4 抛物线,.5 直线与圆锥曲线 这一章的内容由于和函数图象有关, 所以都可以使用图形计算器辅助学生学习, 但是有的计算器可以直接输入参数画出圆锥曲线, 而有的计算器则需要将圆锥曲线方程分解为函数的形式, 所以画图象是不很方便 使用 vyage000 这样的图形计算器, 利用它的几何画板功能, 可以动态演示曲线形状的变化, 更有利于学生理解问题的几何意义 第三章 空间向量与立体几何 共有两节内容 :3.1 空间向量及其运算,3. 空间向量在立体几何中的应用 与平面向量相同, 这一章适合使用图形计算器的内容有限, 但如果是使用 vyage000 这样的图形计算器, 可以利用几何画板功能, 定义一些关于向量的运算公式, 在确定了空间直角坐标系的条件下, 也可以解决某些立体几何问题 七 数学选修 - 第一章 导数及其应用 共有四节内容 :1.1 导数,1. 导数的运算,1.3 导数的应用,1.4 定积分与微积分基本定理 这一章的内容, 大部分适合使用图形计算器进行学习, 特别是使用 vyage000 这样的图形计算器, 可以计算一些复杂的积分, 并且得出结果的准确值 例如 1.1 节中 求抛物线 y = 在点 ( 1,1) 的切线斜率 问题, 画出函数图象后, 用计算器可以直接得出 答案 ; 又如 1. 节与 1.4 节中的求导数和原函数问题, 用 TI-83 可以得出数值解, 用 vyage000 可以得出函数解, 并且都可以划出积分表示的面积区域, 使学生理解积分的几何以意义 ; 对于 1.3 节中许多研究函数性质的习题, 图形计算器也是很好的学习工具 第二章 推理与证明 共有三节内容 :.1 合情推理与演绎推理,. 直接证明与间接证明,.3 数学归纳法 这一章的学习, 基本上不需要使用计算器, 但有个别的习题, 例如 设实数 1, 求证 : 这样的题, 也可以使用图形计算器分析求解 第三章 数系的扩充与复数 共有两节内容 :3.1 数系的扩充与复数的概念,3. 复数的运算 图形计算器内置了复数的计算功能, 所以在 3. 节中的一些关于复数的计算题, 可以用计算器求解 ;3.1 节则不用计算器 八 数学选修 -3 第一章 计数原理 共有三节内容 :1.1 基本计数原理,1. 排列与组和,1.3 二项式定理 在这一章的内容中,1.1 节不需要用计算器,1. 节则需要使用计算器, 因为在计算排列数与组合数时, 有时数值较大, 计算量很大, 手工很难完成 vyage000 图形计算器, 不仅能计算一般的排列数与组和数, 而且可以得出复杂的分数形式的准确值, 所以更为适合使用 ; 特别是在 1.3 节求二项式展开式时, 利用 vyage000 内置的展开功能, 很多习题都可以用计算器完成 第二章 概率 共有四节内容 :.1 离散型随机变量机器及其分布列,. 条件概率与事件的独立性,.3 随机变量的数字特征,.4 正态分布 前面三节内容一般可以不用计算器, 仅有少部分习题, 计算过程比较麻烦, 需要用计算器帮助进行计算 ; 但.4 节则非常需要使用图形计算器, 因为课本没有正态分布表, 学生不能查表求值, 一些题无法求解 图形计算器不仅能计算正态分布的概率值, 而且能画出正态曲线, 使学生理解它的几何意义 第三章 统计案例 共有两节内容 :3.1 独立性检验,3. 回归分析 这两节的教学内容都 适合使用图形计算器, 对于 3.1 节的 χ 检验, 在计算器上输入相应的矩阵, 立刻能计算出 χ 的 4

5 值, 从而判断事件的相关性 ; 而 3. 节中的所有习题, 都能用图形计算器画图 求出回归直线方程 计算出样本相关系数, 既快速又准确, 适合学生使用 以上的判断, 仅为个人的看法, 因为各种类型的图形计算器的功能不同, 所以适用的范围也会有所不同, 因而一些评价 判断难免不够准确 全面 5

4.C ( 详细解析见视频课程 绝对值 01 约 21 分 15 秒处 ) 5.E ( 详细解析见视频课程 绝对值 01 约 32 分 05 秒处 ) 6.D ( 详细解析见视频课程 绝对值 02 约 4 分 28 秒处 ) 7.C ( 详细解析见视频课程 绝对值 02 约 14 分 05 秒处 )

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