从定义可以看出它们具有很好的相似性, 就像两个双胞胎来自同一个地方区别仅在于 : 是用单位圆定义的, 自变量是角度 θ ; 双曲函数是用单位双曲线定义的, 自变量是面积 a 公式定义 : ) 定义 : 正弦 :sin θ = eiθ e iθ i 余弦 :cos θ = eiθ +e iθ 正切

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凭砾连
5 years ago
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1 论与双曲函数信院 3 系解鑫 PB0355 摘要 : 与双曲函数无论从形式上, 还是各种公式上都有极大的相似性应用时也都相伴出现细细对比会发现, 由欧拉公式必然会得出与双曲函数的诸多对应关系关键字 : 双曲函数相似性欧拉公式正文 :. 定义 : 几何定义 : ) 的定义 : 双曲函数的对比可以依据直角坐标单位圆来定义, 给定一个角度 θ, 与单位圆交于 (,y) 点, 如右图所示则有 : 正弦 :sin θ = y 余弦 :cos θ = 正切 :tanθ = sinθ / cosθ 余切 :cotθ = cosθ/ sinθ ) 双曲函数的定义 : 双曲函数可以依据直角坐标单位双曲线定义, 给定一条从原点发出的射线 p, 与 p 关于轴的镜像和双曲线之间的面积 a, 射线 p 与双曲线交于 (,y) 点, 如右图所示则有 : 3) 总结双曲正弦 :sinh a = y 双曲余弦 :cosh a = 双曲正切 :tanh a = sinh a/cosh a 双曲余切 :coth a = cosh a/sinh a

2 从定义可以看出它们具有很好的相似性, 就像两个双胞胎来自同一个地方区别仅在于 : 是用单位圆定义的, 自变量是角度 θ ; 双曲函数是用单位双曲线定义的, 自变量是面积 a 公式定义 : ) 定义 : 正弦 :sin θ = eiθ e iθ i 余弦 :cos θ = eiθ +e iθ 正切 :tanθ = sinθ / cosθ 余切 :cotθ = cosθ/ sinθ ) 双曲函数定义 : 双曲正弦 :sinh a = ea e a 双曲余弦 :cosh a = ea +e a 双曲正切 :tanh a = sinh a/cosh a 双曲余切 :coth a = cosh a/sinh a 3) 从公式定义也可以看出, 与双曲函数具有很好的相似性, 只是一些小细节稍微不同, 大体上是相同的.: 反函数 : 反 : 反定义定义域 arcsin = y sin y = [-,] arccos = y cos y = [-,] arctan = y tan y = R arccot = y cot y = R 反双曲函数: 反双曲函数定义定义域 arcsinh =ln(+ + ) sinh y = R

3 arccosh =ln(+ ) cosh y = [,+ ] arctanh = ln(+) tanh y = [-,] arccoth = ln(+) coth y = [-,-] [,+ ] 3 总结: 反与反双曲函数的定义都来自反函数的定义, 因而这是共性.3: 图像双曲函数 sin sinh cos cosh tan tanh 3

4 cot coth arcsin arcsinh arccos arccosh arctan arctanh arcco t atccot h 4

5 可以看出 : 一般是周期的, 而双曲函数没有周期性与双曲函数的奇偶性大体相同, 如正弦余弦正切余切与双曲正弦双曲余弦双曲正切双曲余切的奇偶性是一样的.4: 恒等式 sin + cos = 双曲函数 cosh sinh = 可以看出 : 只是一个正负号的区别.5: 加法公式双曲函数 sin(+y)=sin()cos(y)+cos()sin(y) sinh(+y)=sinh()cosh(y)+cosh()sinh(y) cos(+y)=cos()cos(y)-sin()sin(y) cosh(+y)=cosh()cosh(y)+sinh()sinh(y) tan(+y)= tan +tan(y) tan tan(y) tanh(+y)= tanh +tanh(y) +tanh tanh(y) 可以看出 : 加法公式具有很好的相似性, 仅个别正负号不同.6: 减法公式双曲函数 sin(-y)=sin()cos(y)-cos()sin(y) sinh(-y)=sinh()cosh(y)-cosh()sinh(y) cos(-y)=cos()cos(y)+sin()sin(y) cosh(-y)=cosh()cosh(y)-sinh()sinh(y) tan(-y)= tan tan(y) +tan tan(y) tanh(-y)= tanh tanh(y) tanh tanh(y) 可以看出 : 减法公式具有很好的相似性, 仅个别正负号不同.7: 二倍角公式 sin()=sin()cos() cos()= cos sin tan()= tan tan 双曲函数 sinh()=sinh()cosh() cosh()= cosh + sinh tanh()= tanh +tanh 可以看出 : 二倍角公式具有很好的相似性, 仅个别正负号不同.8: 三倍角公式双曲函数 5

6 sin(3)=3sin()-4sin 3 () cos(3)= 4cos 3 3cos() sinh(3)=3sinh()+4sinh 3 () cosh(3)= 4cosh 3 3cosh().9: 导数可以看出 : 三倍角公式具有很好的相似性, 仅个别正负号不同 (sin())' =cos() (cos())'= -sin() (tan())'= (cot())'= (arcsin())'= cos () (arccos())'= (arctan())'= sin () + (arccot())'= - + 双曲函数 (sinh())' =cosh() (cosh())'=sinh() (tanh())'= (coth())'= (arcsinh())'= (arccosh())'= cosh () sinh () + (arctanh())'= (arccoth())'= ( <) ( >) 可以看出 : 求导公式具有很好的相似性.0: 不定积分 cos() d =sin()+c sin() d =-cos()+c cos () sin () d =tan()+c d = cot()+c d =arcsin() +c 双曲函数 cosh d =sinh()+c sinh d =cosh()+c cosh () sinh () + \ + d=arctan()+c 可以看出 : 不定积分公式具有很好的相似性.: 泰勒展开 : 函数 sin() sin()= 3 m d =tanh()+c d =coth()+c d =arcsinh()+c d =arccosh()+c d =arctanh()+c 展开式 + + 3! ( )m + (m )! o(m ) 6

7 cos() cos()= 双曲函数 : 3 函数 sinh() sinh()= + 3 cosh() cosh()= + m + +! ( )m + (m )! o(m ) 展开式 3! + + m (m )! + o(m )! + + m (m )! + o(m ) 可以看出 : 与双曲函数的展开式同样很相似, 区别仅为展开式各项正负交替, 而双曲函数每项都是正的.: 在解微分方程中的应用与双曲函数的应用分离变量法求解 u = 0, 0 < < a, 0 < y < u y y=0 = 0, u y y= = 0, u =0 = 0, u =a = f y. 解 : 设 :u(,y)=x()y(y), 代入方程和齐次边界条件, 分离得 : Y y + λy y = 0, Y 0 = Y = 0. 和 X() 的常微分方程 : X'' λx = 0 解固有值问题得 : λ = ( nπ ), n = 0,,. 固有函数 : 相应的 : Y n y = cos nπ y X 0 = C 0 + D 0, X n = C n cosh nπ + D nsinh nπ, n =,, 3. u, y = C 0 + D [ C n cosh nπ + D nsinh nπ n= ]cos nπ y 由边界条件得 : 7

8 C n = 0, n = 0,,. D 0 = a f y dy 0 D n = sinh anπ f y cos nπ y dy 0, n =,, 3. 从而得形式解 : u, y = a 总结 : f y dy 0 + f y cos nπ y dy }sinh nπ n= sinh anπ 0 cos nπ y + { 本列不在与解法, 而在于, 从这个例子可以看出, 与双曲函数在应用场合总是相依相伴的出现 3.: 欧拉公式的推导欧拉公式为 : 推导 : e i = cos + i sin () e 的泰勒展开为 : e = + +! + + n n! + o(n ) 则 e i 的展开式为 : e i = + i + (i)! 而 : + + (i)n n! cos()+i sin()= 所以 :! 3 欧拉公式的推导 + o (i) n m m o m m! +i i 3 m+ + + i 3! m+ + io m+ m +! = + i 3 m m m+ i + + i + m+! 3! m! = + i + (i)! = e i + (i)3 3! + + (i)m (m )! + (i)m (m)! + o((i)m ) m+! + o(m ) 8

9 e i = cos + i sin() 4.: 与双曲函数的关系由欧拉公式可以得出 : sinh = e e = (ei i e i(i) ) 4 与双曲函数的关系 = { cos i + isin i cos i + isin i } = { cos i isin i cos i + isin i } = { isin i } = isin i cosh = e +e 反之, = (ei i + e i(i) ) = { cos i + isin i + cos i + isin i } = { cos i isin i + cos i + isin i } = {cos i } = cos i sin = isinh(i) cos = cosh(i) 至此, 我们得到了三角正弦余弦函数与双曲正弦余弦函数的明确关系, 其他与双曲函数的关系也可以由此得出拓展 : 事实上, 由得到的关系, 可以明确解释前面看到的关于与双曲函数一些公式的相似性下面举例说明 : ) 例 : 9

10 三角恒等式 :sin + cos = 即 : ( isinh i ) + cosh(i) = sinh i + cosh(i) = 变量代换 y=i, 有 : cosh y sinh y = 即得出了双曲函数的恒等式其它双曲函数的关系式, 都可由的关系式结合与双曲函数的关系得到参考文献 : 微积分导论( 上 ) 中国科大出版社(0 年版 ) 陈祖墀等编 ; 复变函数中国科大出版社(004 年版 ) 严镇军编 ; 3 数学物理方程科学出版社( 第二版 ) 季孝达等编 ; 4 高等数学导论中国科大出版社; 5 微积分学习辅导科学出版社陈效群等编 ; 6 维基百科 0

. h h [ x x ln x + x ] h ln h + h t ln h + h t e t h + h e t h h e t he t + h h e e t + he t h et + e t e t h,k h k k h et + + e t 4 et + e t 4 k et e

. h h [ x x ln x + x ] h ln h + h t ln h + h t e t h + h e t h h e t he t + h h e e t + he t h et + e t e t h,k h k k h et + + e t 4 et + e t 4 k et e .. x + y. { x cost y sint x, y t x y. { x sect y tant t t t t t cost,sint t r A r t.3 t A.4 t x t x Ph,k x y Ph,k P x M OP M t t t h hk x x t O M http://calculus.yuyumagic44.net . h h [ x x ln x + x ]