第五章不定积分

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斗海文仲
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1 第四章不定积分在微积分学微分学和积分学中积分与微分互为逆运算第二章中我们讨论了如何求一个函数的导数问题但是在实际问题中常常会遇到相反的问题即已知函数的导数求原来的函数例如在经济分析中往往已知产品的边际成本 m 求产品的总成本函数 ; 已知产品的边际收益 R m 求产品的总收益函数 R 等等这是积分学的基本问题之一本章介绍不定积分的概念性质及求不定积分的基本方法第一节不定积分的概念与性质一原函数定义设 f 是定义在区间 I 有限或无穷内的已知函数如果存在一个函数 F 对区间 I 内任意一点都有 F f 或 df f d - 则称 F 为 f 在区间 I 内的一个原函数例如在内 [l ] 故 l 是在区间内的一个原函数显然 l l 等都是的原函数一般地对任意常数 l 都是的原函数由此我们得出 : 第一如果 f 在区间 I 内有一个原函数 F 那么 f 在区间 I 内就有无穷多个原函数 F 为任意常数第二如果 F 是 f 在区间 I 内的一个原函数那么 F 为任意常数是 f 在区间 I 内的全体原函数因为若 G 是 f 在区间 I 内的另一个原函数则对任何 I 有 G f F 由第三章第一节拉格朗日中值定理推论知在 I 内 G 与 F 至多相差一个常数即 G F 0 为某个常数 0 故 { F } 为全体原函数的集合 F 是原函数的一般表达式二不定积分的概念不定积分的定义

2 定义函数 f 在区间 I 内原函数的全体称为 f 如果 F 是 f f d 在区间 I 内的一个原函数那么在 I 内的不定积分记作 f d F - 其中称为积分号 f 称为被积函数 f d 称为被积表达式称为积分变量称为积分常数由此可知求已知函数的不定积分就归结为求它的一个原函数问题例求 d 解考虑 l 当 0 时当 0 时即 l 是于是 l l l l 在 0 0 内的一个原函数 d l 下一章我们将证明 : 连续函数一定有原函数即连续函数一定可积分不定积分的几何意义设 F 是 f 的一个原函数则 y F 的图形是平面直角坐标系中一条曲线称为 f 的一条积分曲线而 y F 的图形则是上述积分曲线沿着 y 轴方向任意平行移动得到 f 的无穷多条积分曲线称为 f 的积分曲线族不定积分的几何意义就是一个积分曲线族它的特点是 : 各积分曲线在横坐标相同的点 0 处的切线斜率相等均为 f 0 即各切线相互平行如图 - y O 0 图 -

3 0 y0 有时要从全体原函数中确定一个满足条件 y y 0 0 称为初始条件的原函数也即通过点的积分曲线此条件可唯一确定积分常数的值即这个原函数是唯一的例求经过 0 且其点处切线斜率为解由题设 y 所以有 y d 将 0 y 代入上式得故所求曲线方程为 y 三不定积分的基本性质由不定积分的定义得不定积分具有以下基本性质 kf d k f d k 0 常数即被积函数不为零的常数因子可移到积分号的外面 [ f g ] d f d g d 上式可推广到有限个函数代数和的积分情形 [ f f ] d f d 的曲线方程 f d [ f d] f d [ f d] f d f d f df f 性质说明了不定积分与导数或微分互为逆运算例求 d si 解 d si si 例已知 F 是 e 解由题设 F e 的一个原函数求 df 故 df F d e d 四基本积分公式由于积分运算是微分运算的逆运算所以从导数公式得相应的积分公式 : kd k k 是常数 d

4 d l d 0 l e d e si d cos cos d si sec d sec csc co d csc sec d csc d co d rcsi rccos d rc rcco 要验证这些公式只需验证等式右端的导数等于左端不定积分的被积函数这种方法也是我们验证不定积分的计算是否正确的常用方法利用基本积分公式和不定积分的性质通过对被积函数作适当代数或三角恒等变形可求简单函数的不定积分例求下列不定积分 : d d e d d 解原式 7 d d 7 0 d d 0 原式 d d d d d l 原式 e d e d d e l l

5 原式 d d d d d rc 例 6 求下列不定积分 : cos d d si cos co d d si cos cos 解原式 cos d d d cos d si 原式 d d si si cos csc d co 原式 co d co d sec d csc d co si cos 原式 d d si cos si cos sec d csc d co 例 7 设生产个单位产品时的边际成本 00 e 其中固定成本为 00 求总成本函数解 d e 00 d 0 e 固定成本即产量 0 时的成本 0 00 代入上式得所以 0 0 e 0 第二节不定积分的换元积分法从上一节例题中我们能体会到求不定积分是一种技巧性较高的运算本节我们把复合函数的微分法反过来用于求不定积分利用中间变量的代换得到较为有效的积分方法 --- 换元积分法通常分成第一类换元法和第二类换元法

6 一第一类换元法凑微分法设 F u 是 f u 的一个原函数则 F u f u f u du F u 如果 u 是的函数 u 且 df [ ] f [ ] d 可微那么由复合函数微分法有即有 f ] d [ f [ ] d u f u du F u 代回 F[ ] 以上方法我们称为第一类换元法也称凑微分法定理设 f u 有原函数 F u u 可导则 f [ ] d F[ ] - 在利用凑微分法求不定积分时以下的凑微分情形经常出现 : f b d f b d b 0 f e e d f e de f d f d f l d f l d l 0 f cos si d f cos d cos 6 f si cos d f si d si 7 f sec d f d 8 f co csc d f co d co 9 f rcsi d f rcsi d rcsi f rccos d f rccos d rccos 0 f rc d f rc d rc f rcco d f rcco d rcco 6

7 例求下列不定积分 : 0 d d d d 0 解原式 d d 原式 d 6 rc 原式 d d [ ] d d l l l 原式 d d 8 例求下列不定积分 : si d d d d l 解原式 si d cos 原式 d 7

8 d si 原式 d cos d cos l cos cos 原式 l l d rc l 例求下列不定积分 : cos d cos d si 0 cos d si cosd 解原式 cos d si d si si si si 原式 cos cos d [ d cosd cosd] 8 si si 8 0 原式 si d si si 原式 si7 si d si 7d 7 si d 7 cos7 例求下列不定积分 : cos sec d co csc d sec d cscd 解原式 sec sec d 8

9 原式 d co co csc d csc d csc csc csc cos 原式 d d cos cos d si d si si si si si l l sec si 类似可得 cscd l csc co 从上述例子我们看到用第一类换元法即凑微分法解题的关键是将被积表达式表示成 f [ ] d 进而凑成 f [ ] d 其中需要一定的技巧只有通过较多的练习才能熟练掌握二第二类换元法变量代换法通过适当的变量代换将不定积分 f d 化为容易求出的 f [ ] d 定理设是单调可导的函数且 0 又假设 f [ ] 有原函数 G 则 f d f [ ] d G[ ] - 证明由复合函数和反函数的求导法则得 G[ ] G G f f 根式代换如果被积函数中含有根式 b 或 b c d 即根号内的是一次的此时可作根式代换 b 或 b c d 例求下列不定积分 d d d 解令则 d d 原式 d d 9

10 d l l 令 6 6 则 d 6 d 原式 6 d 6 d 6 d 6 6l l 因为且所以令则 d d 原式 d d rc rc 三角代换如果被积函数中含有如下的二次根式那么利用三角恒等关系式代换若被积函数中含有因式则令 si ; 若被积函数中含有因式则令 ; 若被积函数中含有因式则令 sec 0 或 ; 例 6 求下列不定积分 d d d 9 d 0

11 解令 si 则 si cos d cosd 原式 cos d cos d si si cos rcsi 图 - 令则 sec d sec d 原式 sec cos d d sec si d si si si 图 - 当时令 sec 0 则 9 d sec d sec 原式 d d sec l sec l 9 当时令 u 则 u 由上面结果有 9 du 原式 l u u 9 u 9 图 - l 9 l 9 把及结果合起来即原式 l 9 由于令 si 则

12 cos d cosd si 原式 cosd si d cos 图 - cos rcsi 有几个比较重要的积分公式可以补充到基本积分公式中其中 0 : d l cos co d l si sec d l sec csc d l csc co d rc d l d rcsi d l d l 第三节不定积分的分部积分法前面我们由复合函数求导法则得到了换元积分法下面我们利用两个函数乘积的求导法则推得另一个基本积分法 -- 分部积分法定理分部积分法设函数 u u v v 有连续导数则有分部积分公式或 u v d u v u v d - udv uv vdu -6 证明由两个函数乘积的导数公式 [ u v ] u v u v 两边积分并移项得

13 或 u v d u v u v d udv uv vdu 公式 -6 往往 udv 不易求而 vdu 容易求出当被积函数为两类不同函数乘积幂函数和正弦函数或余弦函数乘积 ; 幂函数和指数函数乘积 ; 幂函数和对数函数乘积 ; 幂函数和反三角函数乘积 ; 指数函数和正弦函数或余弦函数乘积时用分部积分法而分部积分的关键是选择 u v v b 形如 e d si bd cosbd 选 u ; 形如 l m d rcsi bd rccosbd rc bd rc cobd 选用分部积分公式 -6 时一般先用凑微分法把积分改写成 udv 的形式例求下列不定积分 : e d l d si d rc co d 解 e d de e e d e e l d l d l l d l d l cos si d d d cosd d si si si d si cos 8 rc co d rc co d rc co drc co rc co co d rc d rc co rc 例求下列不定积分 : cosd e si d 解 cosd si si si d d

14 故 si si d si d cos si cos cos d si cos si e si d si de e si e e e si si e d si e cos d e si cos e d cos e si e cos e si d cos de e si d e si cos 从上例我们看到有时需要多次应用分部积分公式才能求出或得到原来的积分然后通过解方程求出值得注意的是在连续使用分部积分公式时的 u v 选择要一致分部积分公式的另一个用处是它可导出一些有用的递推公式例求 I d 为正整数 0 解 I 0 I rc 时 I d d d [ d d I I I I 例求 e d 解令则 d d ;

15 于是 de d e d e e e d e e e 从上例我们看到求一个不定积分往往要用到多种方法一般我们应根据被积函数的特点选择适当的方法第四节几种特殊类型函数的积分前面已经介绍了求不定积分的两个基本方法换元积分法和分部积分法下面讨论几种比较简单的特殊类型函数的积分一有理函数的积分有理函数是指由两个多项式的商所表示的函数其形式为 m m m m b b b b Q p f 其中 m 和是非负整数 ; 0 及 m b b b 0 都是实常数且 b 当 m 时 -7 称为真分式 ; 当 m 时 -7 称为假分式利用多项式的除法总可以将一个假分式化为一个多项式与一个真分式之和而多项式的积分容易求得故归结为研究真分式的积分由代数学中实系数多项式的因式分解定理 : 任何实系数多项式 Q 在实数范围内可唯一地分解成若干个一次因式乘幂和若干个二次质因式乘幂的积即 0 k l Q b c p q r s 其中 0 0 b l k 为正整数 m l k 0 0 s r q p 那么由部分分式定理真分式 Q p 可以唯一地分解为如下部分分式 : k k Q p l l c c c q p D q p D q p D s r F E s r F E s r F E

16 其中 D E F 都是待定常数可由比较法或赋值法求出 i i i i i i M N 由此有理函数真分式的积分归结为 Ⅰ d Ⅱ d p q 0 m p q 的积分 l Ⅰ m d m m m m Ⅱ M N p q d Md bd M b l p q rc M d b d 而可由第三节例的递推公式求得例分解 0 成最简分式 6 解而真分式其中为待定常数有两种方法求出方法一 : 比较法上式是恒等式比较等式两边的同次幂系数相等得即方法二 : 赋值法令得令得故得到 0 6 例求下列不定积分 : 6

17 7 d d d 解因为设得恒等式令得 6 令得故有 6 所以 d d d 6 l l 6 因为设 D D 得恒等式 D D 比较等式两边的同次幂系数相等有 D 即 0 D 0 故所以 d d d d

18 8 rc l 设 E D E D 得恒等式 E D E E D D 比较等式两边的同次幂系数相等有 D 即 D E E D 0 E 故所以 d d d d d d l d d rc l l d 由第三节例 I d rc 或令则 d d sec d d d cos sec sec d si cos

19 rc 图 -6 得 d l 从理论上说利用分解成部分分式的方法求真分式的积分是行之有效的但是有时用此方法计算较麻烦故对有理函数积分可根据被积函数的特点试用拆项方法较为简捷例求不定积分 d 解因为所以 d d d l 二三角函数有理式 R si cos d 型的积分 R si cos d 型是三角函数 si cos 的有理式积分这种类型的积分可通过代换把它化为的有理函数的不定积分令于是 si cos d d 所以 Rsi cos d R d si 例求不定积分 d cos 解令于是 si d cos d d d d d d 9

20 l rc l l rc cos l rc 对三角函数有理式施行代换后可把 R si cos d 化为有理函数的不定积分即 Rsi cos d R d 但较繁对某些积分可用其它简便的方法 d 例求不定积分 si b cos 其中 b 均不为零 d sec 解 d b si cos b d b rc b b 在本章结束之前必须指出 : 对初等函数来说在其定义区间上它的原函数一定存在但原函数不一定都是初等函数如 e d d 学了无穷级数就清楚了 d l si 习题四等原函数存在但不能用初等函数表示以后已知一曲线经过 0 且其上任一点 y 处的切线斜率等于 si 求此曲线方程设 F 是 si 设 f u 可导计算 : 的一个原函数求 df d f si d df si f si d si f si d si 求不定积分 : d d d d 0

21 d 6 d e e 7 d 8 d 9 e d 0 d 6 cos sec sec d d cos si cos d si cos d si cos 用换元积分法计算下列不定积分 : 8 d d d cos d 8 7 d d si 6 d 8 d l l l 9 9 co csc d 0 d 9 d e e si cos d si si sec d si cos si d 6 si cos d 7 cos d 8 si cosd 9 d 0 d d d l d rcsi d d 6 d si d 7 d 8 d

22 9 d 0 d d d e d d d 6 d 9 7 d 8 d 6 用分部积分法计算下列不定积分 : si d sec d l d e d rc d 6 d 7 e d 8 l d 9 l d 0 rcsi d cos d e d si d e e si d l si si d 6 d cos cos 7 rc d 8 si lsi d 9 e d 0 l l d l 7 计算下列有理函数的积分 : d d 0 d d d 6 8 d

23 7 d 8 d 9 d 0 d d si d si cos 8 综合积分题 : d si d si cos d 8 d 0 d d 6 d si d si cos 7 rc d 8 d si cos cos 9 d 0 d cos si e d e d 9 某商品的需求量 Q 是价格 p 的函数该商品的最大需求量为 00 即 p 0 时 p Q 00 已知需求量的变化率为 Q p 00 l 求该商品的需求函数 0 已知 f 的一个原函数为 l 求 f d 及 f d 设 f 满足 f d e 求 f d 已知非负函数 F 是 f 的原函数且 F 0 f F e 求 f 用下列方法求 d sec 求 I si d 的递推公式

幻灯片 1

幻灯片 1 第一类换元法 ( 凑微分法 ) 学习指导复习 : 凑微分部分常用的凑微分 : () n d d( (4) d d( ); (5) d d(ln ); n n (6) e d d( e ); () d d( b); ); () d d( ); (7) sin d d (cos ) 常见凑微分公式 ); ( ) ( ) ( b d b f d b f ); ( ) ( ) ( n n n n d f

第五章 不定积分

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