2011年北京市石景山区中考数学一模试卷

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1 2011 年北京市石景山区中考数学一模试卷 参考答案与试题解析 一 选择题 ( 共 8 小题, 每小题 4 分, 满分 32 分 ) 1.( 4 分 )(2010 衡阳 ) -的绝对值是 ( ) A. B. - 2 C. - D.2 考点 绝对值. 菁优网版权所有 分析 计算绝对值要根据绝对值的定义求解. 第一步列出绝对值的表达式 ; 第二步根据绝 对值定义去掉这个绝对值的符号. 解答 解 : =. 故选 A. 点评 规律总结 : 一个正数的绝对值是它本身 ; 一个负数的绝对值是它的相反数 ;0 的绝 对值是 0. 2.( 4 分 )(2012 葫芦岛二模 ) 据 北京日报 报道, 去年北京批准约 209 亿元公积金贷款 投入保障房建设, 数字 209 用科学记数法可表示为 ( ) A B C D 考点 科学记数法 表示较大的数. 菁优网版权所有 专题 应用题. 分析 科学记数法的表示形式为 a 10 n 的形式, 其中 1 a <10,n 为整数. 确定 n 的值时, 要看把原数变成 a 时, 小数点移动了多少位,n 的绝对值与小数点移动的位数相同. 当原数 绝对值 >1 时,n 是正数 ; 当原数的绝对值 <1 时,n 是负数. 解答 解 :209= 故选 B. 点评 此题考查科学记数法的表示方法. 科学记数法的表示形式为 a 10 n 的形式, 其中 1 a <10,n 为整数, 表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值. 3.( 4 分 )(2014 路南区一模 ) 已知 : 如图,l m, 等边 ABC 的顶点 B 在直线 m 上, 边 BC 与直线 m 所夹锐角为 20, 则 α 的度数为 ( ) A.60 B.45 C.40 D.30 考点 等边三角形的性质; 平行公理及推论 ; 平行线的性质. 菁优网版权所有 专题 计算题. 第 1 页 ( 共 21 页 )

2 分析 过 C 作 CE 直线 m, 由 l m, 推出 l m CE, 根据平行线的性质得到 ACE= α, BCE= CBF=20, 即 α+ CBF= ACB=60, 即可求出答案. 解答 解: 过 C 作 CE 直线 m l m, l m CE, ACE= α, BCE= CBF=20, 等边 ABC, ACB=60, α+ CBF= ACB=60, α=40. 故选 C. 点评 本题主要考查对平行线的性质, 等边三角形的性质, 平行公理及推论等知识点的理 解和掌握, 此题是一个比较典型的题目, 题型较好. 4.( 4 分 )(2010 遵义 ) 函数 y= 中自变量的取值范围是 ( ) A.x 0 B.x 2 C.x - 2 D.x=2 考点 函数自变量的取值范围; 分式有意义的条件. 菁优网版权所有 专题 计算题. 分析 函数表达式是分式, 分式的分母不能为 0, 依此列式求解. 解答 解 : 根据题意得 :x - 2 0, 解得 x 2. 故选 B. 点评 本题主要考查函数自变量的取值范围和分式有意义的条件, 分式有意义, 则分母不 能为 0. 5.( 4 分 )(2012 葫芦岛二模 ) 下列数据是某班六位同学定点投篮 ( 每人投 10 个 ) 的情况, 投进篮筐的个数为 6,9,8,4,0,3, 这组数据的平均数 中位数和极差分别是 ( ) A.6,6,9 B.6,5,9 C.5,6,6 D.5,5,9 考点 中位数; 算术平均数 ; 众数 ; 方差. 菁优网版权所有 专题 计算题. 分析 根据平均数 众数与方差的定义分别求出即可解答. 找中位数要把数据按从小到大 的顺序排列, 位于最中间的一个数 ( 或两个数的平均数 ) 为中位数 ; 平均数是指在一组数据 中所有数据之和再除以数据的个数. 极差就是这组数中最大值与最小值的差. 解答 解 : 平均数为 ( ) 6=5, 排列为 9,8,6,4,3,0 中位数为 (6+4) 2=5, 极差为 9-0=9. 故选 D. 第 2 页 ( 共 21 页 )

3 点评 本题为统计题, 考查众数与中位数的意义, 中位数是将一组数据从小到大 ( 或从大 到小 ) 重新排列后, 最中间的那个数 ( 最中间两个数的平均数 ), 叫做这组数据的中位数, 如果中位数的概念掌握得不好, 不把数据按要求重新排列, 就会出错. 6.( 4 分 )(2012 葫芦岛二模 ) 已知 : O 的半径为 2cm, 圆心到直线 l 的距离为 1cm, 将 直线 l 沿垂直于 l 的方向平移, 使 l 与 O 相切, 则平移的距离是 ( ) A.1cm B.2cm C.3cm D.1cm 或 3cm 考点 直线与圆的位置关系; 平移的性质. 菁优网版权所有 专题 计算题. 分析 根据直线和圆相切的数量关系, 可得点 O 到 l 的距离为 1cm, 可向上或向下平移, 使 l 与 O 相切, 即可得出答案. 解答 解 : 如图, 当 l 经过点 B 时,OB=1cm, 则 AB=1cm; 当 l 移动到 l 时, 则 BC=3cm; 故选 D. 点评 本题考查了直线和圆的位置关系以及平移的性质, 是基础知识要熟练掌握. 7.( 4 分 )(2012 葫芦岛二模 ) 为吸引顾客, 石景山万达广场某餐饮店推出转盘抽奖打折活动, 如图是可以自由转动的转盘, 转盘被分成若干个扇形, 转动转盘, 转盘停止后, 指针所指区域内的奖项可作为打折等级 ( 若指针指向两个扇形的交线时, 重新转动转盘 ), 其中一等奖打九折, 二等奖打九五折, 三等奖赠送小礼品. 小明和同学周六去就餐, 他们转动一次转盘能够得到九折优惠的概率是 ( ) A. B. C. D. 考点 几何概率. 菁优网版权所有 专题 计算题 ; 应用题. 分析 先计算出一等奖所在的扇形的圆心角, 然后用它除以 360 即可得到转动一次转盘 能够得到九折优惠的概率. 解答 解 : 一等奖所在的扇形的圆心角为 45 + = 45, 第 3 页 ( 共 21 页 )

4 而一等奖, 二等奖, 三等奖共占有 360, 得到九折优惠则要获得一等奖, 转动一次转盘能够得到九折优惠的概率 = =, 故选 C. 点评 本题考查了几何概率的求法: 用某事件所占的面积除以总面积即可. 这样是用圆心 角的比代替面积的比. 8.( 4 分 )(2014 成都模拟 ) 已知 : 如图, 无盖无底的正方体纸盒 ABCD - EFGH,P,Q 分 别为棱 FB,GC 上的点, 且 FP=2PB,GQ= QC, 若将这个正方体纸盒沿折线 AP - PQ - QH 裁剪并展开, 得到的平面图形是 ( ) A. 一个六边形 B. 一个平行四边形 C. 两个直角三角形 D. 一个直角三角形和一个直角梯形 考点 勾股定理的应用; 几何体的展开图. 菁优网版权所有 专题 计算题 ; 压轴题. 分析 四个侧面除 AEDH 没有剪开, 其它三个面都剪开, 将剪开图形展开即可判断. 解答 解 : 依题意可知,BP= BF= DH,CQ= CG= DH, 又 PB CQ DH, APB AQC AHD, A P Q H 四点共线, 平面展开图形为平行四边形 ( 如图 ) 故选 :B. 点评 本题考查了几何体的展开图. 明确只有侧面的四个面, 画出展开图. 二 填空题 ( 共 4 小题, 每小题 4 分, 满分 16 分 ) 9.( 4 分 )(2012 葫芦岛二模 ) 将二次函数 y=x 2 +6x+5 配方为 y=(x - h) 2 +k 形式, 则 h= - 3,k= - 4. 考点 二次函数的三种形式. 菁优网版权所有 专题 配方法. 分析 利用配方法先提出二次项系数, 再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式, 把一般式转化为顶点式. 第 4 页 ( 共 21 页 )

5 解答 解:y=x 2 +6x+5=(x+3) 2-9+5=(x+3) 2-4, 即 y=(x+3) 2-4, h= -3,k=-4; 故答案是 :-3-4. 点评 本题考查了二次函数的解析式的三种形式:(1) 一般式 :y=ax 2 +bx+c(a 0,a b c 为常数 ); (2) 顶点式 :y=a(x-h) 2 +k;( 3) 交点式 ( 与 x 轴 ):y=a(x-x 1 )( x-x 2 ). 10.( 4 分 )(2007 天水 ) 分解因式 :ax 2-4ay 2 = a(x+2y)( x - 2y). 考点 提公因式法与公式法的综合运用. 菁优网版权所有 分析 观察原式 ax 2-4ay 2, 找到公因式 a, 提出公因式后发现 x 2-4y 2 符合平方差公式, 利用平方差公式继续分解可得. 解答 解 :ax 2-4ay 2 =a(x 2-4y 2 ) =a(x+2y)( x - 2y). 点评 本题考查了提公因式法和公式法分解因式, 难点在于提取公因式后继续利用平方差 公式进行二次因式分解. 11.( 4 分 )(2011 石景山区一模 ) 已知 : 如图,AB,BC 为 O 的弦, 点 D 在 AB 上, 若 OD=4,BC=10, ODB= B=60, 则 DB 的长为 6. 考点 垂径定理; 圆周角定理. 菁优网版权所有 专题 几何图形问题. 分析 延长 DO 交 BC 于 F, 过点 O 作 OE AB 点 E,OG BC 于点 G, 连接 OB, 设 DB 为 r; 可知 BDF 为等边三角形, 且 OF=r - 4,OG=, 结合垂径定理得出 BG=5, 分别在 Rt OBE 中和 Rt OBG 中, 根据勾股定理列出等式, 联立求解即可得出 r 的值. 解答 解: 延长 DO 交 BC 于 F, 过点 O 作 OE AB 点 E,OG BC 于点 G, 连接 OB, 设 DB 为 r; 又 ODB= B=60, 故 BDF 为等边三角形, 即 DB=DF=BF=r; 又 OD=4, 可得 OE=2, OF=r-4,OG=, 又 OG BC, 且 BC=10, 故 BG=5; 在 Rt OBE 中,OB 2 =BE 2 +OE 2 ; 在 Rt OBG 中,OB 2 =BG 2 +OG 2 ; 代入即可得出 第 5 页 ( 共 21 页 )

6 r=6; 即 BD=6; 故答案为 6. 点评 本题主要考查了垂径定理的应用以及解直角三角形的有关知识, 有一定的难度. 12.( 4 分 )(2011 石景山区一模 ) 已知 : 如图, 在平面直角坐标系 xoy 中, 点 B 1 点 C 1 的坐标分别为 (1,0),, 将 OB 1 C 1 绕原点 O 逆时针旋转 60, 再将其各边都扩大为原来的 m 倍, 使 OB 2 =OC 1, 得到 OB 2 C 2. 将 OB 2 C 2 绕原点 O 逆时针旋转 60, 再将其各边都扩大为原来的 m 倍, 使 OB 3 =OC 2, 得到 OB 3 C 3, 如此下去, 得到 OB n C n. (1)m 的值是 2 ; (2) OB 2011 C 2011 中, 点 C 2011 的坐标 : ( ). 考点 坐标与图形变化- 旋转. 菁优网版权所有 专题 压轴题 ; 规律型. 分析 (1) 易得 OB 2 =mob 1 =OC 1, 根据最初的三角形中 OB 1,OC 1 的关系可得 m 的值 ; (2) 可得旋转 6 次后, 正好旋转一周, 那么可得点 C 2011 的坐标跟 C 1 的坐标在一条射线上, 其横纵坐标均为原来的 2010 倍. 解答 解 :(1) 在 OB 1 C 1 中, OB 1 =1,B 1 C 1 =, tan C 1 OB 1 =, C 1 OB 1 =60,OC 1 =2, OB 2 =mob 1,OB 2 =OC 1, m=2, 故答案为 2; (2) 每一次的旋转角是 60, 旋转 6 次后 C 在 x 轴正半轴上, 第 6 页 ( 共 21 页 )

7 2011 6=335 1, 点 C 2011 的坐标跟 C 1 的坐标在一条射线上, 第 2 次旋转后, 各边长是原来的 2 倍, 第 3 次旋转后, 各边长是原来的 2 2 倍, 点 C 2011 的横纵坐标均为原来的 2010 倍. 故答案为 (2 2010, ). 点评 考查规律旋转后点的坐标; 得到所求点的位置是解决本题的突破点 ; 得到坐标的规律是解决本题的难点. 三 解答题 ( 共 13 小题, 满分 72 分 ) 13.( 5 分 )(2011 石景山区一模 ). 考点 特殊角的三角函数值; 零指数幂 ; 负整数指数幂. 菁优网版权所有 专题 计算题. 分析 本题涉及零指数幂 负整数指数幂 特殊角的三角函数值 二次根式化简四个考点. 针 对每个考点分别进行计算, 然后根据实数的运算法则求得计算结果. 解答 解 : 原式 =,( 4 分 ) =.( 5 分 ) 点评 本题考查实数的综合运算能力, 是各地中考题中常见的计算题型. 解决此类题目的 关键是熟记特殊角的三角函数值, 熟练掌握负整数指数幂 零指数幂 二次根式 绝对值等 考点的运算. 14.( 5 分 )(2012 滨海县二模 ) 解不等式组, 并把解集在数轴上表 示出来. 考点 解一元一次不等式组; 在数轴上表示不等式的解集. 菁优网版权所有 分析 首先应该先对不等式组进行化简, 分别求出两不等式的解集, 然后在数轴上分别画 出 x 的取值, 它们的公共部分就是不等式组的解集. 解答 解 : 解不等式 3 - x>1 -, 12-4x>4 - x - 1, x<3, 解不等式 2 得 : 7x+1 5(x - 1), x - 3, 原不等式组的解集为- 3 x<3. 在数轴上表示为 : 点评 此题主要考查了一元一次不等式组的解法, 解此类题目常常要结合数轴来判断. 要 注意 x 是否取得到, 若取得到则 x 在该点是实心的. 反之 x 在该点是空心的. 第 7 页 ( 共 21 页 )

8 15.( 5 分 )(2011 石景山区一模 ) 如图, 在 ABC 中,AB BC,BE AC 于 E, 点 F 在线段 BE 上, 1= 2, 点 D 在线段 EC 上, 请你从以下两个条件中选择一个作为条件, 证明 AFD AFB. (1)DF BC; (2)BF=DF. 考点 全等三角形的判定与性质. 菁优网版权所有 专题 证明题. 分析 先根据 DF BC, 可得 FDE= C, 而 AB BC,BE AC, 易证 ABF= C, 等 量代换可得 ABF= ADF, 再结合 1= 2,AF=AF, 利用 AAS 可证 AFD AFB, 进 而可得 BF=DF. 解答 添加条件 :DF BC, 证明 : DF BC, FDE= C, AB BC,BE AC, ABF+ EBC= C+ EBC=90, ABF= C, ABF= ADF, 又 1= 2,AF=AF, AFD AFB, BF=DF. 点评 本题考查了平行线的性质 等角的余角相等 全等三角形的判定和性质. 解题的关 键是证出 ABF= ADF. 16.( 5 分 )(2011 石景山区一模 ) 已知 :2x 2 +6x - 4=0, 求代数式 的值. 考点 分式的化简求值. 菁优网版权所有 专题 计算题. 分析 已知条件得 2x 2 +6x=4, 再把所求的代数式利用分式的计算法则化简后整理出 2x 2 +6x 的形式, 再整体代入 2x 2 +6x=4, 即可求解. 解答 解 : 原式 = (1 分 ) = (2 分 ) 第 8 页 ( 共 21 页 )

9 = (3 分 ) 当 2x 2 +6x-4=0 时,2x 2 +6x=4(4 分 ) 原式 = (5 分 ). 点评 此题主要考查了方程解的定义和分式的运算, 此类题型的特点是, 利用方程解的定义找到相等关系, 再把所求的代数式化简后整理出所找到的相等关系的形式, 再把此相等关系整体代入所求代数式, 即可求出代数式的值. 17.( 5 分 )(2011 兰州 ) 已知 : 如图, 一次函数 y=kx+3 的图象与反比例函数 (x>0) 的图象交于点 P.PA x 轴于点 A,PB y 轴于点 B. 一次函数的图象分别交 x 轴 y 轴于点 C 点 D, 且 S DBP =27,. (1) 求点 D 的坐标 ; (2) 求一次函数与反比例函数的解析式 ; (3) 根据图象写出当 x 取何值时, 一次函数的值小于反比例函数的值? 考点 反比例函数与一次函数的交点问题. 菁优网版权所有 专题 计算题 ; 数形结合. 分析 (1) 本题需先根据题意一次函数与 y 轴的交点, 从而得出 D 点的坐标. (2) 本题需先根据在 Rt COD 和 Rt CAP 中,,OD=3, 再根据 S DBP =27, 从而 得出 BP 得长和 P 点的坐标, 即可求出结果. (3) 根据图形从而得出 x 的取值范围即可. 解答 解 :(1) 一次函数 y=kx+3 与 y 轴相交, 令 x=0, 解得 y=3, 得 D 的坐标为 (0,3); (2) OD OA,AP OA, DCO= ACP, DOC= CAP=90, Rt COD Rt CAP, 则 =,OD=3, AP=OB=6, DB=OD+OB=9, 在 Rt DBP 中,, 第 9 页 ( 共 21 页 )

10 即 =27, BP=6, 故 P(6, - 6), 把 P 坐标代入 y=kx+3, 得到 k= -, 则一次函数的解析式为 : ; 把 P 坐标代入反比例函数解析式得 m= - 36, 则反比例解析式为 : ; (3) 根据图象可得 :, 解得 : 或 故直线与双曲线的两个交点为 ( - 4,9),(6, - 6), x>0, 当 x>6 时, 一次函数的值小于反比例函数的值. 点评 本题主要考查了反比例函数和一次函数的交点问题, 在解题时要注意知识的综合运 用与图形相结合是解题的关键. 18.( 5 分 )(2013 景德镇三模 ) 为继续进行旅游景区公共服务改造, 某市今年预算用资金 41 万元在 200 余家 A 级景区配备两种轮椅 1100 台, 其中普通轮椅每台 360 元, 轻便型轮椅 每台 500 元. (1) 若恰好全部用完预算资金, 能购买两种轮椅各多少台? (2) 由于获得了不超过 4 万元的社会捐助, 问轻便型轮椅最多可以买多少台? 考点 一元一次不等式的应用; 一元一次方程的应用. 菁优网版权所有 专题 应用题 ; 压轴题. 分析 (1) 设能买普通轮椅 x 台, 轻便型轮椅 ( x) 台, 由于恰好全部用完预算资 金, 所以得到方程 360x+500( x)=410000, 解方程即可求解 ; 第 10 页 ( 共 21 页 )

11 (2) 由于获得了不超过 4 万元的社会捐助, 所以共有资金不超过 , 由此列出不等式 360x+500(1100-x) , 解不等式即可解决问题. 解答 解:(1) 设能买普通轮椅 x 台, 轻便型轮椅 (1100-x) 台. 根据题意得 :360x+500(1100-x)=410000, 解得 :x=1000, 经检验 x=1000 符合实际意义且 1100-x=100. 答 : 能买普通轮椅 1000 台, 轻便型轮椅 100 台. (2) 设轻便型轮椅最多可以买 a 台, 则 360(1100-a)+500a , 解得 :a 385, 符合题意的整数值为 385. 答 : 轻便型轮椅最多可以买 385 台. 点评 此题考查一元一次不等式在实际生活中的运用. 正确理解题意, 列出不等式或方程是解题的关键. 19.( 5 分 )(2011 石景山区一模 ) 已知 : 如图, 直角梯形 ABCD 中, BCD=90, CDA=60, AB=AD,AB=4,DF=2, 求 BF 的长. 考点 直角梯形; 矩形的判定与性质 ; 解直角三角形. 菁优网版权所有 专题 计算题. 分析 过 A 作 AH FC 于 H, 可得四边形 ABCH 为矩形, 再利用矩形的性质和三角函数 值求得 AH,HD, 然后即可求得 CF 即可. 解答 解 : 如图, 过 A 作 AH FC 于 H, 则四边形 ABCH 为矩形, BC=AH,CH=AB, CDA=60,AD=AB=4 AH=ADsin60 = CF=CH+HD+DF=4+2+2=8, BF=. 答 ;BF 的长为 2.,HD=ADcos60 =2, 第 11 页 ( 共 21 页 )

12 点评 此题主要考查直角梯形, 矩形的判定与性质, 解直角三角形等知识点, 解得此题的 关键是过 A 作 AH FC 于 H, 得四边形 ABCH 为矩形. 20.( 5 分 )(2011 石景山区一模 ) 已知 : 如图, 在矩形 ABCD 中, 点 O 在对角线 BD 上, 以 OD 的长为半径的 O 与 AD,BD 分别交于点 E 点 F, 且 ABE= DBC. (1) 判断直线 BE 与 O 的位置关系, 并证明你的结论 ; (2) 若 sin ABE=,CD=2, 求 O 的半径. 考点 切线的判定与性质; 矩形的性质 ; 解直角三角形. 菁优网版权所有 专题 几何综合题. 分析 (1) 连接 OE, 根据矩形的性质, 可证 BEO=90, 即可得出直线 BE 与 O 相切 ; (2) 连接 EF, 先根据已知条件得出 BD 的值, 再在 BEO 中, 利用勾股定理推知 BE 的长, 设出 O 的半径为 r, 利用切线的性质, 用勾股定理列出等式解之即可得出 r 的值. 解答 解 :(1) 直线 BE 与 O 相切 (1 分 ) 证明 : 连接 OE, 在矩形 ABCD 中,AD BC, ADB= DBC, OD=OE, OED= ODE, 又 ABE= DBC, ABE= OED,( 2 分 ) 矩形 ABDC, A=90, ABE+ AEB=90, OED+ AEB=90, BEO=90,( 3 分 ) 直线 BE 与 O 相切 ; (2) 连接 EF, 方法 1: 四边形 ABCD 是矩形,CD=2, A= C=90,AB=CD=2, ABE= DBC, sin CBD=,,( 4 分 ) 在 Rt AEB 中, CD=2,, 第 12 页 ( 共 21 页 )

13 tan CBD=tan ABE,,, 勾股定理求得, 在 Rt BEO 中, BEO=90 EO 2 +EB 2 =OB 2, 设 O 的半径为 r, 则, r=,( 5 分 ) 方法 2: DF 是 O 的直径, DEF=90, 四边形 ABCD 是矩形, A= C=90,AB=CD=2, ABE= DBC, sin CBD=, 设, 则, CD=2,,( 4 分 ) tan CBD=tan ABE,,, E 为 AD 中点. DF 为直径, FED=90, EF AB,, O 的半径为.( 5 分 ) 第 13 页 ( 共 21 页 )

14 点评 本题综合考查了切线的性质 勾股定理以及三角函数的应用等知识点, 具有较强的 综合性, 有一定的难度. 21.( 5 分 )(2011 石景山区一模 ) 远洋电器城中, 某品牌电视有 A,B,C,D 四种不同型号供顾客选择, 它们每台的价格 ( 单位 : 元 ) 依次分别是 :2500,4000,6000, 为做好下阶段的销售工作, 商场调查了一周内这四种不同型号电视的销售情况, 并根据销售情况, 将所得的数据制成统计图, 现已知该品牌一周内四种型号电视共售出 240 台, 每台的销售利润占其价格的百分比如下表 : 型号 A B C D 利润 10%12%15% 20% 请根据以上信息, 解答下列问题 : (1) 请补全统计图 ; (2) 通过计算, 说明商场这一周内该品牌哪种型号的电视总销售利润最大 ; (3) 谈谈你的建议. 考点 条形统计图; 统计表. 菁优网版权所有 分析 (1) 因为共有 240 台, 所以 =100 台, 把条形统计图补充完整即 可. (2) 根据条形统计图所给的台数和表格所给的每台的销售利润, 可求出商场这一周内该品 牌哪种型号的电视总销售利润最大. (3) 从进货角度 宣传角度等方面答对即可 解答 解 :(1) =100 台, 补全统计图如图所示 (2 分 ) (2)10% =12500, 12% =48000, 15% =63000, 20% =40000, 商场在这一周内该品牌 C 型号的电视总销售利润最大 ;(4 分 ) (3) 多宣传 C 型号的电视机, 从而多销售 C 型号的电视机.(5 分 ) 第 14 页 ( 共 21 页 )

15 点评 本题考查画条形统计图以及从条形统计图和表格获得信息的能力, 从而使问题得解. 22.( 5 分 )(2011 石景山区一模 ) 在边长为 1 的正方形网格中, 正方形 ABFE 与正方形 EFCD 的位置如图所示. (1) 请你按下列要求画图 : 1 连接 BD 交 EF 于点 M; 2 在 AE 上取一点 P, 连接 BP,MP, 使 PEM 与 PMB 相似 ; (2) 若 Q 是线段 BD 上一点, 连接 FQ 并延长交四边形 ABCD 的一边于点 R, 且满足, 则的值为 2,,1. 考点 相似三角形的判定与性质; 正方形的性质. 菁优网版权所有 专题 作图题 ; 压轴题. 分析 (1) 根据题目的要求及网格的特点, 作出图形即可 ; (2) 如图, 根据题意, 画出 R 点的三个可能的位置, 分别计算的值. 解答 解 :(1) 画图如图所示 ; (2) 如图, 第 15 页 ( 共 21 页 )

16 当 R 在 R 1 的位置时, = =2, 当 R 在 R 2 的位置时, = =, 当 R 在 R 3 的位置时, = =1. 故答案为 :2,,1. 点评 本题考查了相似三角形的判定与性质, 正方形的性质. 关键是能根据题意, 利用相 似三角形的判断画出图形, 利用相似三角形的性质求解. 23.( 7 分 )(2012 河东区二模 ) 已知抛物线 C:y=x 2 - (m+1)x+1 的顶点在坐标轴上. (1) 求 m 的值 ; (2)m>0 时, 抛物线 C 向下平移 n(n>0) 个单位后与抛物线 C 1 :y=ax 2 +bx+c 关于 y 轴 对称, 且 C 1 过点 (n,3), 求 C 1 的函数关系式 ; (3) - 3<m<0 时, 抛物线 C 的顶点为 M, 且过点 P(1,y 0 ). 问在直线 x= - 1 上是否存 在一点 Q 使得 QPM 的周长最小, 如果存在, 求出点 Q 的坐标, 如果不存在, 请说明理由. 考点 二次函数综合题 ; 解一元一次方程 ; 解二元一次方程组 ; 待定系数法求一次函数解 析式 ; 二次函数图象上点的坐标特征 ; 关于 x 轴 y 轴对称的点的坐标 ; 平移的性质. 菁优网版权所有 专题 计算题 ; 压轴题. 分析 (1) 当抛物线 C 的顶点在 x 轴上时, =[ - (m+1)] 2-4=0, 求出 m 的值, 当抛 物线 C 的顶点在 y 轴上时, - (m+1)=0, 求出 m 的值, 即可得到答案 ; (2) 当 m>0 时,m=1, 即可得到抛物线 C 的解析式, 向下平移 n(n>0) 个单位后得到 y=x 2-2x+1 - n, 根据抛物线 y=x 2-2x+1 - n 与抛物线 C 1 :y=ax 2 +bx+c 关于 y 轴对称, 得到 抛物线 C 1 :y=x 2 +2x+1 - n, 把点 (n,3) 代入求出即可 ; (3) 存在, 根据已知可求出抛物线 C 的解析式是 y=x 2 +1, 把 P 的坐标代入即可求出 P 的坐 标, 作点 M(0,1) 关于直线 x= - 1 的对称点 M ( - 2,1), 设直线 PM 的解析式为 y=kx+b, 把 P M 的坐标代入得到方程组, 求出方程组的解即可求出 Q 的坐标. 解答 (1) 解 : 当抛物线 C 的顶点在 x 轴上时, =[ - (m+1)] 2-4=0, 解得 m=1 或 m= - 3, 当抛物线 C 的顶点在 y 轴上时, - (m+1)=0, m= - 1, 即 :m=±1 或 m= - 3, 答 :m 的值是 m=±1 或 m= - 3. (2) 解 : 当 m>0 时,m=1, 抛物线 C 的解析式为 y=x 2-2x+1, 第 16 页 ( 共 21 页 )

17 向下平移 n(n>0) 个单位后得到 y=x 2-2x+1 - n, 抛物线 y=x 2-2x+1 - n 与抛物线 C 1 :y=ax 2 +bx+c 关于 y 轴对称, a=1,b=2,c=1 - n, 抛物线 C 1 :y=x 2 +2x+1 - n, 抛物线 C 1 过点 (n,3) n 2 +2n+1 - n=3, 即 n 2 +n - 2=0, 解得 n 1 =1,n 2 = - 2( 由题意 n>0, 舍去 ) n=1 抛物线 C 1 :y=x 2 +2x, 答 :C 1 的函数关系式是 y=x 2 +2x. (3) 解 : 存在, 理由是 : 当-3<m<0 时 m= -1, 抛物线 C 的解析式是 y=x 2 +1, 顶点 M(0,1), 过点 P(1,y 0 ), y 0 =1+1=2, P(1,2), 作点 M(0,1) 关于直线 x= -1 的对称点 M ( -2,1), 设直线 PM 的解析式为 y=kx+b, 把 P(1,2), M ( -2,1) 代入得 :, 解得 :, 直线 PM 的解析式为,, 答 : 在直线 x= - 1 上存在一点 Q, 使得 QPM 的周长最小, 点 Q 的坐标是 ( - 1, ). 点评 本题主要考查对用待定系数法求一次函数的解析式, 二次函数图象上点的坐标特征, 解一元一次方程, 解二元一次方程组, 二次函数关于 Y 轴的点的坐标, 平移的性质等知识 第 17 页 ( 共 21 页 )

18 点的理解和掌握, 综合运用这些性质进行计算是解此题的关键, 此题是一个综合性很强的题 目, 题型较好, 难度适中. 24.( 7 分 )(2011 石景山区一模 ) 已知 : 如图, 正方形 ABCD 中,AC,BD 为对角线, 将 BAC 绕顶点 A 逆时针旋转 α (0<α<45), 旋转后角的两边分别交 BD 于点 P 点 Q, 交 BC,CD 于点 E 点 F, 连接 EF,EQ. (1) 在 BAC 的旋转过程中, AEQ 的大小是否改变? 若不变写出它的度数 ; 若改变, 写出它的变化范围 ( 直接在答题卡上写出结果, 不必证明 ); (2) 探究 APQ 与 AEF 的面积的数量关系, 写出结论并加以证明. 考点 旋转的性质; 正方形的性质. 菁优网版权所有 专题 压轴题. 分析 (1) 在 BAC 的旋转过程中, AEQ 的大小等于 BAC, 所以不会改变, 度数可 知 ; (2) 先确定这两个三角形的面积求法, 即找出底边和高, 然后计算这些线段之间的数量关 系即可得到答案. 解答 解 :(1) 不变, 其度数为 :45 ; 设对角线交于 O 点, 由题意可知 BAE=α, OAQ=α, 所以 BAE= OAQ 因为 ABE= AOQ=90 所以 ABE AOQ AB:AO=AE:AQ 所以 AB/AE=AO/AQ, 又因为 BAO= EAQ=45, 所以 BAO EAQ, 所以 AEQ= ABO=45, 所以 AEQ 的度数不变 ; (2) 结论 :S AEF =2S APQ 证明 : AEQ=45, EAF=45 EQA=90 过点 Q 作 QG AE 于点 G, 同理可得, 过点 P 作 PH AF 于 H, S AEF = = APQ 第 18 页 ( 共 21 页 )

19 点评 本题考查了旋转的性质 正方形的性质 三角形面积公式和直角三角形的性质. 25.( 8 分 )(2011 通州区二模 ) 已知二次函数的图象与 x 轴交于点 A(,0) 点 B, 与 y 轴交于点 C. (1) 求点 B 坐标 ; (2) 点 P 从点 C 出发以每秒 1 个单位的速度沿线段 CO 向 O 点运动, 到达点 O 后停止运 动, 过点 P 作 PQ AC 交 OA 于点 Q, 将四边形 PQAC 沿 PQ 翻折, 得到四边形 PQA C, 设点 P 的运动时间为 t. 1 当 t 为何值时, 点 A 恰好落在二次函数图象的对称轴上 ; 2 设四边形 PQA C 落在第一象限内的图形面积为 S, 求 S 关于 t 的函数关系式, 并求出 S 的最大值. 考点 二次函数综合题. 菁优网版权所有 专题 综合题 ; 压轴题. 分析 (1) 将 A(,0) 代入抛物线解析式可求 m 的值, 得到抛物线解析式, 令 y=0 求 x 的值, 得到 B 对坐标 ; (2)1 可根据解析式可得出点 C 点的在坐标, 和函数的对称轴 ; 在 Rt AOC 讨论, 可得 AQ=A Q, 同时, 过点 A 作 A H x 轴, 此时可根据两个等量式即可得出 QH 的长, 从而可 得出 t 的值, 2 此时要分情况讨论, 分当 0<t 1 时和当 1<t<2 时的情况, 利用三角函数的知识和四边 形求面积的知识即可得出. 解答 解 :(1) 将 A(,0) 代入 y= - mx 2 +3mx - 2, 解得 m=, 函数的解析式为 y= - x 2 + x - 2, 令 y=0, 解得 :x 1 =,x 2 =2, B(,0); (2)1 由解析式可得点 C(0, -2) 二次函数图象的对称轴为直线, 在 Rt AOC 中, OC=2,OA=2, tan OAC= =, OAC=30, OCA=60, 第 19 页 ( 共 21 页 )

20 PQA=150, A QH=60,AQ=A Q 过点 A 作 A H x 轴于点 H, 则 QH=AH, 解得 QH=, 则 AQ=,CP=1 t=1, 2 分两种情况 : (I) 当 0<t 1 时, 四边形 PQA C 落在第一象限内的图形为等腰三角形 QA N. NQ=A Q= t, A H=A Qsin60 = = = =, 当 t=1 时, 有最大值. (II) 当 1<t<2 时, 设四边形 PQA C 落在第一象限内的图形为四边形 MOQA, S 四边形 MOQA =S 梯形 PQA'C -S OPQ -S PC'M, =, =, 当时, 有最大值, 综上 : 当时, 四边形 PQA C 落在第一象限内的图形面积有最大值是. 第 20 页 ( 共 21 页 )

21 点评 本题是二次函数的综合题型, 其中涉及到的知识点有抛物线的顶点公式和三角形的 面积求法. 在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果. 第 21 页 ( 共 21 页 )

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