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京邵
4 years ago
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1 矩阵论主讲教师 : 徐乐 204 年 2 月 0 日星期三

2 上讲回顾第 9 讲矩阵函数的求解矩阵函数的计算利用 Jordan 标准形求矩阵函数矩阵论 2

3 矩阵函数的计算 Hamilton-Cayley 定理 n 阶矩阵 A 是其特征多项式的零点即令则有零化多项式 n ( ) det( I A) c c c n n 对于多项式 f (z), 若 f (A)=0 则称 f (z) 为 A 的零化多项式 n n n ( A) A c A c Ac I 0 方阵 A 的特征多项式为 A 的零化多项式 n n 矩阵论 3

4 利用 Jordan 标准形求矩阵函数矩阵函数的求法 ( 步骤 ) 求出 A 的 Jordan 标准形 J 及变换矩阵 P 对于的各 Jordan 块 J i 求出 f(j i ) m 即计算出 ( ), ( ),..., i f i f i f ( i) 按照顺序构成 f(j i ) 合成 f(j) 矩阵乘积给出 P AP J mi f( ) ( ) ( ) ( i ) i f f i f i f( J ) 2! mi! i mm f( A) Pf( J) P 矩阵论 4 i i

5 第 0 讲矩阵函数及其微积分矩阵函数的另外一种计算方法利用零化多项式计算矩阵函数矩阵微分方程矩阵的微分和积分一阶线性齐次常系数微分方程组一阶线性非齐次常系数微分方程组矩阵论 5

6 利用零化多项式求解矩阵函数利用 Jordan 标准形求解矩阵函数的方法比较复杂根据零化多项式求解矩阵函数 [ 定律 ] n 阶方阵 A 的最小多项式等于它的特征矩阵的第 n 个 ( 也就是最后一个 ) 不变因子 d n (λ) 可参见张远达线性代数原理 P 25 矩阵论 6

7 利用零化多项式求解矩阵函数设阶方阵的不变因子反向依次为 d ( ), d ( ),, d ( ) n n 由它们给出的初等因子分别为 s i m i n 由于 d ( ) d ( ), d ( ) d ( ),, d ( ) d ( ) n n 矩阵论 7

8 利用零化多项式求解矩阵函数根据上述定理,A 的最小多项式 r 2 ( ) ( ) m ( ) m ( ) mr 0 2 m m2 m ( ) ( ) ( ) r I A I A I A O 2 r 矩阵函数 f(a) 若存在, 矩阵论 8

9 利用零化多项式求解矩阵函数定义一个系数待定的 (m-) 次多项式假设 J P 为 A 的 Jordan 标准形及相应变换矩阵矩阵论 9

10 利用零化多项式求解矩阵函数由于 g(λ) 为待定系数的多项式上述讨论成为关于其系数的线性方程组且方程个数等于未知数个数 m 可以确定 c 0 ~ c m r m i i 矩阵论 0

11 利用零化多项式求解矩阵函数根据最小多项式求矩阵函数的一般方法求出最小多项式 m m2 mr ( ) d ( ) ( ) ( ) ( ), m m 0 n 2 r i i 形式上写出待定多项式 m i g( ) ci c c c c i0 求解关于待定系数的线性方程组 r 2 m 0 2 m 矩阵论

12 利用零化多项式求解矩阵函数例 2 ( 教材 P70 例.27) A [ 解 ] 求出最小多项式 2. 形式上写出待定多项式 A 4 ( ) 0( ) ( ). g( ) c c c c 矩阵论 2

13 利用零化多项式求解矩阵函数 3. 求解系数线性方程组 g() f() c0 c c2 c 3 g() f() c 2c 3c 2 g() f() 2c2 6c 3 3 g() f() 6c c 3, c , c, c 求出 g(a), 即可得 f(a)=g(a) f( A) 2 3 ga I A A A ( ) (5 5 5 ) 矩阵论 3

14 矩阵的微分和积分矩阵导数定义若矩阵 A(t)=(a i,j (t)) m n 的每一个元素 a i,j (t) 是变量 t 的可微函数, 则称 A(t) 可微其导数定义为 da da A ij () t dt dt m n 类似地, 可以定义矩阵高阶导数以及偏导数矩阵论 4

15 矩阵的微分和积分矩阵导数性质 A(t), B(t) 为可微矩阵,C 为与 t 无关的矩阵, 则矩阵论 5

16 矩阵的微分和积分证明 [ 证明 ] d dt d dt 2! 3! 2! tc ( e ) ( ItC tc tc ) C tc t C CItC tc 2! tc Ce 2 2 ( ) 2 2 ( I tc t C ) C 2! tc e C 矩阵论 6

17 矩阵的微分和积分矩阵积分定义若矩阵 A(t)=(a i,j (t)) m n 的每一个元素 a i,j (t) 都是区间 [t 0,t ] 上的可积函数, 则称 A(t) 在区间 [t 0,t ] 上可积定义 A(t) 在 [t 0,t ] 上的积分为 t t A() t dt aij() t dt t m n 0 0 t 矩阵论 7

18 矩阵的微分和积分矩阵积分性质矩阵论 8

19 一阶线性齐次常系数微分方程组一阶线性齐次常系数微分方程组设有一阶线性齐次常系数微分方程组 dx dt dx dt dx dt a x () t a x () t a x () t 2 2 n n n 自变量 a x () t a x () t a x () t a x () t a x () t a x () t n n2 2 nn n 常系数 n n 一元函数矩阵论 9

20 一阶线性齐次常系数微分方程组令 x() t [ x (), t x (), t, x ()] t 2 n T A a a a a a a a a a 2 n n n n2 nn 则原方程组变成如下矩阵方程 dx dt Ax() t 矩阵论 20

21 一阶线性齐次常系数微分方程组 dx Ax() t 该方程的解为 : 0 更一般的解形式为 : ( tt () ) A xt e xt ( ) [ 验证 ] dx() t dt 当 t=0 时 dt ta ta x() t e x(0) e c ta Ae c Ax() t x t e c Ic c x 0 () A (0) x(t) 确为方程的解, 积分常数亦正确 0 矩阵论 2

22 一阶线性齐次常系数微分方程组例 : 求解微分方程组解 : x(0) r x (0) r 2 2 dx dt dx dt 2 x 2 x dx Ax() t dt A 0 0 () ta ta x t e x(0) e c f ( ) e t f ( A) e ta 矩阵论 22

23 一阶线性齐次常系数微分方程组求出 A 的特征多项式 2 定义待定系数的多项式 3 解方程 2 ( ) ( ) ( j)( j) jm, ; jm, 2 2 g( ) c c 0 jt g( ) f( ) e cost jsint c jc c c 0 jt g( ) f( ) e cost jsint c jc cost sint 矩阵论 23

24 一阶线性非齐次常系数微分方程组一阶线性非齐次常系数微分方程组 dx dt dx dt dx dt a x () t a x () t a x () t b () t 2 2 n n n n 2 n a x () t a x () t a x () t b () t a x () t a x () t a x () t b () t n n2 2 nn n n 矩阵论 24

25 一阶线性非齐次常系数微分方程组类似的, 令 : bt () [ b(), t b(), t, b()] t 2 x() t [ x (), t x (), t, x ()] t 2 n n T T A a a a a a a a a a 2 n n n n2 nn 方程组化为矩阵方程 dx dt Ax b 矩阵论 25

26 一阶线性非齐次常系数微分方程组 dx dt 采用常数变易法求解之齐次方程组的解为 Ax ta e c 设非齐次方程组的解为 b ta e c() t dx d ta ta dc ( e ) c( t) e dt dt dt Ax() t e ta dc dt Ax() t bt () 初始条件 t sa ct () e bsds () 0 dc dt e ta b(t) t ta sa xt () e c(0) e bsds () 0 由积分性质 (3) 可验证 c(t) 是解矩阵论 26

27 一阶线性非齐次常系数微分方程组高阶常微分方程常可以化为一阶常微分方程组来处理例如令则 2 d y dy a b cy f 2 dt dt 一般地,n 阶常微分方程可 dy x y, x2 以化为 n 个一 dt 阶常微分方程组成的方程组 dx x2 dt dx2 c b f ( f cx bx2 ) x x2 dt a a a a 矩阵论 27

28 Gauss 消元法的矩阵形式 n 元线性方程组 a a22 ann b a a a b a a a b n n 2 n n2 2 nn n n Ax b 顺序主子式 (0) A A aij (0) a 0 nn 初始状态 A ( aij ) x [, 2, n] T b [ b, b2bn ] T 矩阵论 28

29 Gauss 消元法的矩阵形式令构造 Frobenius 矩阵 L 0 c2 cn 0 nn L c a (0) i i (0) a 0 c2 cn 0 A a a a 0 () () an2 ann (0) (0) (0) 2 n () () () (0) a22 a2n L A 矩阵论 29

30 Gauss 消元法的矩阵形式初等变换不改变行列式, 故定义构造 Frobenius 矩阵 () i 2 i 2 () a22 (0) () 2 aa22 a c ( i 3,4, n) L 2 c c 32 n2 L 2 c c 32 n2 矩阵论 30

31 Gauss 消元法的矩阵形式可得 (0) (0) (0) (0) a a2 a3 a n () () () a22 a23 a2n (2) () (2) (2) A L2 A a33 a 3n () (2) A LA 2 (2) (2) an3 a nn 矩阵论 3

32 Gauss 消元法的矩阵形式依此类推进行到第 (r-) 步可得 (2 r n): A a a a a a a a (0) (0) (0) (0) r r n ( r2) ( r2) ( r2) ( r) rr rr rn ( r) ( r) arr arn 则 A 的 r 阶顺序主子式 a a ( r) ( r) nr nn a a a a (0) () ( r2) r r 22 rr rr 矩阵论 32

33 A L Gauss 消元法的矩阵形式定义构造 Frobenius 矩阵 r A L A ( r) ( r) r c r r c nr L r c c ir c r r (0) (0) (0) (0) a ar ar a n a a a ( r) ( r) anr ann ( r) ( r) ( r) ( r) r rr rr rn Lr A ( r) ( r) arr arn nr a a r ir r rr 矩阵论 33

34 Gauss 消元法的矩阵形式第 (n-) 步, 得到 A a a a (0) (0) (0) 2 n () () ( n) a22 a2n a ( n) nn 完成了消元的过程消元法能进行下去的条件是 Gauss 消元过程未用行列交换矩阵论 34

35 LU 分解与 LDU 分解显然, 由 Gauss 消元过程可知 A A L A L L A L L L L A (0) () (2) ( n ) n 下三角矩阵 c 2 2 n L L L L cn cn2 c c c n n2 nn U ( n ) A 上三角矩阵矩阵论 35

36 LU 分解与 LDU 分解以上将 A 分解成一个下三角矩阵与上三角矩阵的乘积, 就称为 LU 分解或 LR 分解 L: lower U: upper L: left R: right LU 分解不唯一令 D 为对角元素不为零的 n 阶对角阵 A LU LDD U LU 矩阵论 36

37 LU 分解与 LDU 分解可采用如下方法将分解完全确定 L 为单位下三角矩阵 U 为单位上三角矩阵将 A 分解为 LDU L,U 分别为单位下三角, 单位上三角矩阵 D diag[ d, d,, d n ] D 为对角阵 2 d k k k 矩阵论 37

38 LU 分解与 LDU 分解 n 阶非奇异矩阵 A 有三角分解 LU 或 LDU 的充要条件 A 的顺序主子式 Note n 个顺序主子式全不为零的实际上较严格 a kk ( 特别是在数值计算中, k -) 很小时可能会带来大的计算误差因此, 有必要采取选主元消元方法理论基础 : 对于任何可逆矩阵 A, 存在置换矩阵 P 使得 PA 的所有顺序主子式全不为零矩阵论 38

39 LU 分解与 LDU 分解列主元素法在矩阵的某列中选取模值最大者作为新的对角元素选取范围为对角线元素以下的各元素, 比如第一步 : 找第一个未知数前的系数最大的一个, 将其所在的方程作为第一个方程, 即交换矩阵的两行, 自由项也相应变换第二步变换时, 找中最大的一个, 然后按照第一步的方法继续 a ( i 2) i 2 矩阵论 39

40 LU 分解与 LDU 分解行主元素法在矩阵的某行中选取模值最大者作为新的对角元素选取范围为对角线元素以后的各元素需要记住未知数变换的顺序, 最后再还原回去需要更多的存储空间, 不如列主元素法方便矩阵论 40

41 LU 分解与 LDU 分解全主元素法若某列元素均较小或某行元素均较小时, 可在各行各列中选取模值最大者作为对角元素与以上两种方法相比其计算稳定性更好, 精度更高, 计算量增大 Ax b A LU Ly Ux b 两个三角形方程回代即可 y 矩阵论 4

42 其他三角分解定义设 A 具有唯一的 LDU 分解 A 的 Doolittle 分解 A 的 Crout 分解矩阵论 42

43 其他三角分解算法 Crout 分解设 L l l2 l22 l l l n n2 nn U u 2 n u u 2n 矩阵论 43

44 其他三角分解矩阵论 44

45 其他三角分解矩阵论 45

46 其他三角分解厄米正定矩阵的 Cholesky 分解 A GG H i 2 2 aii gik i j k j gij ( aij gik gik ) i j g jj k 0 i j 理论上,Cholesky 具有中间量可以控制应较稳健, 但实际计算中发现, 对希尔伯特矩阵问题, 不如全主元方法 g ij 矩阵论 46

47 作业 p p 矩阵论 47

矩阵论第三章：矩阵分析

矩阵论第三章：矩阵分析矩阵论第三章 : 矩阵分析马锦华数据科学与计算机学院中山大学第三章 : 矩阵分析 3.1 矩阵序列 3.2 矩阵级数 3.3 矩阵函数 3.4 矩阵的微分与积分 3.5 矩阵分析应用举例 2 矩阵序列定义 3.1: 设有中的矩阵序列其中若 m n C lim a a i 1, 2,, m; j 1, 2,, n, ij ij, 收敛于记为或 a ij mn 不收敛的矩阵序列称为发散.,