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崩容薛
5 years ago
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1 . 高斯消元法. 矩阵的秩. 线性方程组解的判定第二章线性方程组

2 线性方程组的解取决于 n n nn n n n n n n b b b L LLLLLLLLLLLL L L ( ),,,,, n j i ij L 系数 ( ),n,, i b i L 常数项回顾 : 根据克拉默法则

3 线性方程组的一般形式 L nn b L nn b LLLLLLLLLLLL m m L mnn bm,, L, n代表 n个未知量 ; ij ( i,,..., m; j,,..., n) b, b, L, bm () 称为方程组的系数 ; 称为常数项方程的个数没有限制, 可以 : m< n, 方程组是否有解? m n, 方形线性方程组, Cme法则 ; m> n, 解是怎样的? m

4 第一节高斯消元法是求解线性方程组的一种基本方法其基本思想是通过消元变形, 把方程组化成容易求解的同解方程组即得到能直接求出解或者能够直接判断其无解的通解方程组

5 例解线性方程组解,., 由于方程组的系数行列式 D ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

6 同理可得 D, D, D, 故方程组的解为 : D D D,,. D D D

7 例解线性方程组 9,,. 解 Step 交换第一第二个方程位置, 得, 9,.

8 解 Step 交换第一第二个方程位置, 得, 9,. Step 把第一步中得到的方程组得第一个方程的 - 倍加到第二个方程上, 得,,.

9 Step 把第一步中得到的方程组的第一个方程的 - 倍加到第二个方程上, 得,,. Step 同样的把第一步中得到的方程组的第一个方程的 - 倍加到第三个方程上, 得,,.

10 Step 同样的把第一步中得到的方程组的第一个方程的 - 倍加到第三个方程上, 得,,. Step 把上方程组中的第二个方程的倍加到第三个方程上, 得,,.

11 Step 得到的方程组具有这样的特点 : 自上而下未知数个数依次减少称为阶梯形状, 称这样的方程组为阶梯形方程组,,. 第三个方程两边同乘以 (-/) 得 : -; 将 - 代入第二个方程得 : 9; 再将 9, - 代入第一个方程得 : - 从而, 方程组的解为 :, 9,

12 分析上例 : 我们对方程组反复进行了三种变换, 即 : () 互换两个方程的位置 ; () 用一个非零数乘某个方程 ; () 把一个方程的 k 倍加到另一个方程上我们称着三种变换为线性方程组的初等变换

13 说明 : 线性方程组的初等变换是可逆的即, 方程组 () 经初等变换化为一个新方程组, 那么新方程组也可以经过初等变换还原为原方程组 () 因而, 方程组 () 与它经过若干此初等变换之后得到的新方程组是同解的

14 n nn n n n n b b b L L L L L L L L 对线性方程组的研究可转化为对这张表的研究. 线性方程组的系数与常数项按原位置可排为 m n mn m m n n n n b b b L LLLLLLLLLLLL L L 矩阵矩阵

15 定义矩阵的定义 ( ) 由 m n 个数 ij i,, L, m; j,, L, n 排成的 m行 n列的数表 M m M m L L L n n M mn 称为 m n矩阵. 记作 A Am n L m L m L L L L n n L mn ( ) ) ij m n ( ij

16 A L m L m L L L L n n L mn 矩阵 A的 ( m, n) 元这 m n个数称为 A的元素, 简称为元素 ( 元 ). 元素是实数的矩阵称为实矩阵, 元素是复数的矩阵称为复矩阵.

17 例如 9 是一个实矩阵, i 是一个复矩阵, 是一个矩阵, ( 9) 是一个矩阵, ( ) 是一个矩阵.

18 几种特殊矩阵 () 行数与列数都等于 n 的矩阵 A, 称为 n阶方阵. 也可记作 A n. 例如 i 是一个阶方阵. () 只有一行的矩阵 A (,, L, ), n 称为行矩阵 ( 或行向量 ).

19 系数矩阵 L n L n L L L L L m m mn 增广矩阵 L b n L b n L L L L L L b m m mn m

20 例的增广矩阵和系数矩阵增广矩阵系数矩阵 - 9

21 定义矩阵的初等行变换是指下列三种变换 : () 互换矩阵的第行和第行的位置 ; 记做 : i j () 用一个非零数 k乘矩阵的第行 ; 记做 : k i i j k i () 把矩阵的第行元的倍加到第行上记做 : k i j 若把定义中的行换成列, 就得到矩阵的三种初等列变换! 相应的记为 : c i c j i 初等列变换和初等列变换通称为矩阵的初等变换 j i c kc kc i j

22 如果矩阵 A 经过有限次初等变换变成矩阵 B, 记做 A B 说明 : 对线性方程组施行一次初等变换, 相当于对它的增广矩阵施行一次对应的初等行变换, 而化简线性方程组相当于用初等行变换化简它的增广矩阵

23 例例二中用消元法解线性方程的过程相当于对其增广矩阵施行初等行变换 9 9, 9,

24 以最后一个矩阵为增广矩阵的方程组为因此方程组有唯一解, 这个结果和消元法一致!

25 定义满足下列两个条件的矩阵称为梯 ( 行阶梯 ) 矩阵 () 若有零行, 则零行位于非零行的下方 ; () 每个首非零元 ( 非零行从左边数起第一个不为零的元 ) 前面零的个数逐行增加首非零元为, 且首非零元所在列的其它元都为零的梯矩阵, 称为最简梯矩阵, 简称最简形

26 问题 : 是否每个矩阵都可以经过初等行变换化为梯矩阵呢? 定理任意 m n矩阵 A总可以经初等行变换化为梯矩阵及最简形证明 Step 若 A 的元全为, A 已经是一个阶梯矩阵 Step 设非零矩阵 A 的第 j 列是自左而右的第一个非零列, 设 j ( 否则, 若 ij 非零, 作行变换 i, 总可使第 j 列的第一个元非零 ), 矩阵 A 的各行分别作行变换 : i ij ( ), i,,..., m. j

27 得到 : L, j, j L n A L B M L M M A L 其中 A 是 (m-)(n-j ) 矩阵, 对施行上面同样的步骤, 如此下去, 即可得梯矩阵

28 继续对行阶梯矩阵做行变换 : 每个非零行同除以该行的首非零元, 就可以将该行的首非零元化为再利用矩阵的初等行变换 (), 将首非零元所在列的其他元素化为零, 就得到最简形推论 m n矩阵 A经过初等行变换化成的最简梯矩阵是唯一的

29 A A 例用初等行变换将矩阵 A 化成行阶梯矩阵和最简形

30 - - - A - B - -

31 - B

32 - - - C - B 是所求的梯矩阵,C 是最简形

33 小结线性方程组的初等变换: 三种变换矩阵的定义矩阵的初等变换行阶梯矩阵 ( 定理及推论 )

34 第二节矩阵的秩一矩阵的 k 阶子式的概念定义在 m n 矩阵 A中任取 k 行 k 列 ( k m, k n), 位于这些行列交叉处的 k 个元素, 不改变它们在 A中所处的位置次序而得的 k阶行列式, 称为矩阵 A的 k 阶子式. m n 矩阵 A的 k 阶子式共有 k C m C k n 个.

35 二矩阵的秩的概念定义 m n 矩阵 A 中不等于零的最高阶非零子式的阶数称为矩阵 A的秩, 记作 R( A). 易知 : () RA ( ) min( mn, ) () 若矩阵 A有一个阶子式不等于零, 则 R( A) () 若矩阵 A的所有阶子式全为零, 则 R( A) () 规定零矩阵的秩为

36 () 满秩矩阵, 降秩矩阵对 n阶方阵 A ( ), 若, 则 R( A) n, 称 A ij ij 为满秩矩阵 ; 若, 则 R( A) < n, 称 A为降秩 ij 矩阵. 任何矩阵 A m n, 总可经过有限次初等行变换把它变为行阶梯形, 行阶梯形矩阵中非零行的行数是唯一确定的. 矩阵的秩

37 例求矩阵 A 的秩. 解在 A中,. 又 Q A的阶子式只有一个 A, 且 A, R( A).

38 例. 的秩求矩阵 B 解行, 其非零行有 B 是一个行阶梯形矩阵, Q B 的所有阶子式全为零., 而. ) ( B R 行阶梯形矩阵的秩非零行的行数

39 例, 求该矩阵的秩. 已知 A, Q 解计算 A 的阶子式,,,,,. ( ). A R

40 另解对矩阵 A 做初等变换,, 显然, 非零行的行数为, R ( A). 此方法简单!

41 三求矩阵秩的初等变换法因为对于任何矩阵 A m n, 总可经过有限次初等行变换把他变为行阶梯形. 问题 : 经过初等变换, 两个矩阵的秩是否相同? 定理初等变换不改变矩阵的秩

42 初等变换求矩阵秩的方法 : 把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵, 行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩. 例的一个最高阶非零子式. 秩, 并求的求矩阵设 A A A, 阶梯形矩阵 : 对 A 作初等行变换, 变成行解

43 A

44 A

45 8 7 9 A

46 8 8 8 由阶梯形矩阵有三个非零行可知. ) ( A R

47 求 A 的一个最高阶非零子式., ) ( A R Q 阶. 知 A 的最高阶非零子式为的阶子式共有 A. 个 C C 阶梯形矩阵为的行则矩阵记 ),, ( ),,,,, ( A A 考察 A 的行阶梯形矩阵, 8 A ~

48 计算的前三行构成的子式 A. 阶非零子式中必有 A. 这个子式也是 A 的一个最高阶非零子式., ) ( A Q R ),, ( A

49 例 L L 求 n阶方阵 A L 的秩. M M M M M L 解 : 初等行变换.

50 解 L L A L M M M M M L ( n ) L L L M M M M M L ) 当, R ( A ) ) 当且 ( n ), R( A) n ) 当且 ( n ), R( A) n.

51 例, 8 b 设 A. ) ( 的秩及矩阵求矩阵 b A B A ), ~, ~ ( ~ A b B B 的行阶梯形矩阵为分析 : 设的行阶梯形矩阵, 就是则 A A ~ ). ( ) ( ) ~, ~ ( ~ B R A R A b B 及中可同时看出故从

52 8 B 解 :

53 ( ), ( ). ( ) ( ) RA RB RB RA

54 第三节线性方程组解的判定矩阵的秩与线性方程组的解之间的关系定理 n元线性方程组 (.) A b解的情况如下 : m n () 有解的充要条件是 RA ( ) RB ( ). () 有唯一解的充要条件是 RA ( ) RB ( ) n. () 有无穷多解的充要条件是 RA ( ) RB ( ) < n.

55 小结 ( A) R( B) n R ( A) R( B) n A b有唯一解 R < A b有无穷多解. 定义 : 方程组的含有方程组的通解.( n R( A)). 个独立参数的解称为齐次线性方程组 : 系数矩阵化成行最简形矩阵, 便可写出其通解 ; 非齐次线性方程组 : 增广矩阵化成行阶梯形矩阵, 便可判断其是否有解. 若有解, 化成行最简形矩阵, 便可写出其通解 ;

56 例求解齐次线性方程组. 解简形 : 对系数矩阵 A 施行初等行变换化为最一线性方程组的解法 A

57 ) ( 即得与原方程组同解的方程组,,

58 ,,,, c c c c c c :,, 得通解令 c c, c c, /, /., 为任意实数其中 c c )., ( 可任意取值

59 例求解非齐次线性方程组.,, 解对增广矩阵 B 进行初等行变换 : B, ) (, ) ( B R A R 故方程组无解.

60 例求解非齐次方程组的通解. 解对增广矩阵 B 进行初等行变换 : B ~ ~ ( ) ( ) B R A R 有解,

61 B ~ / / c c c c c., 为任意常数其中 c c 得方程组的通解 :,, c c 令, c c

62 例求出它的一切解. 在有解的情况下, 是有解的充要条件证明方程组. 解证对增广矩阵 B 进行初等变换, 方程组的增广矩阵为

63 B ~ i i ( ) ( ) i i B R A Q R

64 . i i 方程组有解的充要条件是由于原方程组等价于方程组由此得通解 : ( ). 为任意实数

65 例设有线性方程组???, 有无穷多个解有唯一解问取何值时无解解 B 作初等行变换, 对增广矩阵 ), ( b A B

66 ( ) ( )( ) ( )( ) ~ B

67 ( ), 时当 B ~ ( ) ( ), < B R A R 其通解为 c c c c ( )., 为任意实数 c c ( ) ( )( ) ( )( ) ~ B. 方程组有无穷多解

68 ( ), 时当 ( ) ~ B 这时又分两种情形 : ( ) ( ) :,, ) 方程组有唯一解时 B R A R ( ).,, ( ) ( )( ) ( )( ) ~ B, ) 时, ~ B ( ) ( )., 方程组无解 B R A R

69 二小结. 矩阵秩的概念. 求矩阵秩的方法 () 利用定义寻找矩阵的最高非零子式, 其阶数即为秩. () 初等变换法把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵, 行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩.

70 齐次线性方程组 A A A 有非零解只有零解 R ( A) < n R ( A) n 非齐次线性方程组 A b, b A b 有解 R ( A) R( A, b) A b 有唯一解 R ( A) R( A, b) n A b 有无穷解 R ( A) R( A, b) < n 返回

1989－2004数学三、四考研试题（线性代数部分3）

1989－2004数学三、四考研试题（线性代数部分3） 989- 数学三四考研试题线性代数部分 ) 三计算证明题. 已知 XXB 其中求矩阵 X. B - 5 989 年数学三四 ). 设 ) ) t) ) 问当 t 何值时向量组线性无关? ) 问当 t 何值时向量组线性相关? ) 当向量组线性相关时将表示为的线性组合. 设 ) 试求矩阵的特征值 - - 989 年数学三 ) ) 利用 ) 小题的结果求矩阵 E 的特征值其中